یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را در نظر بگیرید:
(1) .
سه راه برای حل این معادله وجود دارد:

• روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).

حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را با روش لاگرانژ در نظر بگیرید.

روش تغییرات ثابت (لاگرانژ)

در روش تغییرات ثابت معادله را در دو مرحله حل می کنیم. در مرحله اول، معادله اصلی را ساده کرده و معادله همگن را حل می کنیم. در مرحله دوم، ثابت یکپارچگی به دست آمده در مرحله اول حل را با یک تابع جایگزین می کنیم. سپس به دنبال جواب کلی معادله اصلی می گردیم.

معادله را در نظر بگیرید:
(1)

مرحله 1 حل معادله همگن

ما به دنبال راه حل هستیم معادله همگن:

این یک معادله قابل تفکیک است

متغیرها را جدا کنید - ضرب در dx، تقسیم بر y:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال بر روی y - جدولی:

سپس

تقویت کردن:

اجازه دهید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علامت مدول را حذف کنیم که به ضرب در ثابت کاهش می یابد. ± 1، که در C قرار می دهیم:

مرحله 2 ثابت C را با تابع جایگزین کنید

حالا ثابت C را با تابع x جایگزین می کنیم:
c → u (ایکس)
یعنی به دنبال حل معادله اصلی خواهیم بود (1) مانند:
(2)
مشتق را پیدا می کنیم.

طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.
طبق قانون تمایز محصول:

.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم (1) :
(1) ;

.
دو عبارت کاهش می یابد:
;
.
ما ادغام می کنیم:
.
جایگزین در (2) :
.
در نتیجه، جواب کلی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را به دست می آوریم:
.

نمونه ای از حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش لاگرانژ

معادله را حل کنید

راه حل

معادله همگن را حل می کنیم:

جداسازی متغیرها:

بیایید ضرب کنیم:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال های جدول:

تقویت کردن:

بیایید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علائم مدول را حذف کنیم:

از اینجا:

بیایید ثابت C را با تابع x جایگزین کنیم:
c → u (ایکس)

مشتق را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم:
;
;
یا:
;
.
ما ادغام می کنیم:
;
حل معادله:
.

روش تعیین حداکثر شرطی با ساخت یک تابع لاگرانژ کمکی آغاز می شود که در منطقه راه حل های امکان پذیر، برای همان مقادیر متغیرها به حداکثر می رسد. ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ، که است تابع هدف z . اجازه دهید مشکل تعیین حدت شرطی تابع z=f(X) تحت محدودیت φ من ( ایکس 1 , ایکس 2 , ..., ایکس n ) = 0, من = 1, 2, ..., متر , متر < n

یک تابع بنویسید

که نامیده می شود تابع لاگرانژ. ایکس ، - عوامل ثابت ( ضرب کننده های لاگرانژ). توجه داشته باشید که ضرب کننده های لاگرانژ را می توان داد حس اقتصادی. اگر یک f(x 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) - درآمد طبق برنامه X = (x 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) ، و عملکرد φ من (ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) پس هزینه های منبع i-ام مربوط به این طرح است ایکس ، - قیمت (تخمین) منبع iام، که تغییر در مقدار شدید تابع هدف را بسته به تغییر اندازه منبع iام (برآورد نهایی) مشخص می کند. L (X) - عملکرد n+m متغیرها (ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . تعیین نقاط ثابت این تابع به حل سیستم معادلات منجر می شود

دیدن آن آسان است . بنابراین، مشکل یافتن حد فاصل شرطی تابع z=f(X) به یافتن قسمت انتهایی محلی تابع کاهش می یابد L (X) . اگر نقطه ثابت پیدا شود، سؤال از وجود یک اکستریم در ساده ترین موارد بر اساس شرایط کافی برای اکستروم حل می شود - مطالعه علامت دیفرانسیل دوم. د 2 L (X) در یک نقطه ثابت، به شرطی که متغیر افزایش یابد Δx من - مرتبط با روابط

با تفکیک معادلات قید به دست می آید.

حل یک سیستم معادلات غیر خطی با دو مجهول با استفاده از ابزار حل

تنظیمات یافتن راه حلبه شما امکان می دهد راه حلی برای سیستم پیدا کنید معادلات غیر خطیبا دو مجهول:

جایی که
- تابع غیر خطی متغیرها ایکس و y ,
یک ثابت دلخواه است.

معلوم است که جفت ایکس , y ) جوابی است برای سیستم معادلات (10) اگر و فقط در صورتی که جواب معادله زیر در دو مجهول باشد:

از جانباز طرف دیگر، جواب سیستم (10) نقطه تلاقی دو منحنی است: f ] (ایکس, y) = سی و f 2 (x، y) = C 2 روی سطح XOY.

از این روش روشی برای یافتن ریشه های سیستم دنبال می شود. معادلات غیر خطی:

فاصله وجود یک راه حل برای سیستم معادلات (10) یا معادله (11) را (حداقل تقریباً) تعیین کنید. در اینجا لازم است نوع معادلات موجود در سیستم، دامنه تعریف هر یک از معادلات آنها و غیره در نظر گرفته شود. گاهی اوقات از انتخاب تقریب اولیه راه حل استفاده می شود.

حل معادله (11) را برای متغیرهای x و y در بازه انتخاب شده جدول بندی کنید یا نمودارهایی از توابع بسازید. f 1 (ایکس, y) = ج، و f 2 (x، y) = C 2 (سیستم (10)).

ریشه های فرضی سیستم معادلات را بومی سازی کنید - چندین مقدار حداقل را از جدول جدول ریشه های معادله (11) پیدا کنید، یا نقاط تقاطع منحنی های موجود در سیستم (10) را تعیین کنید.

4. ریشه های سیستم معادلات (10) را با استفاده از افزونه پیدا کنید به دنبال راه حل باشید.

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

شامل جایگزینی ثابت های دلخواه ck در جواب کلی است

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

معادله همگن مربوطه

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

به توابع کمکی ck(t) که مشتقات آنها سیستم جبری خطی را برآورده می کند

تعیین کننده سیستم (1) Wronskian توابع z1,z2,...,zn است که حلالیت منحصر به فرد آن را با توجه به .

اگر در مقادیر ثابت ثابت های ادغام، پاد مشتق ها گرفته شده باشند، تابع

راه حلی برای معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی اصلی است. ادغام معادله ناهمگندر حضور یک راه حل کلی از معادله همگن مربوطه، بنابراین به ربع کاهش می یابد.

روش لاگرانژ (روش تغییرات ثابت دلخواه)

روشی برای به دست آوردن جواب کلی برای معادله ناهمگن، دانستن جواب کلی یک معادله همگن بدون یافتن جواب خاصی.

برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0،

که در آن y = y(x) یک تابع مجهول است، a1(x)، a2(x)، ...، an-1(x)، an(x) شناخته شده هستند، پیوسته، درست: 1) n به صورت خطی وجود دارد. حل های مستقل معادلات y1(x)، y2(x)، ...، yn(x); 2) برای هر مقدار از ثابت های c1، c2، ...، cn، تابع y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) یک حل معادله؛ 3) برای هر مقدار اولیه x0، y0، y0،1، ...، y0،n-1، مقادیر c*1، c*n، ...، c*n وجود دارد به طوری که راه حل y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) برای x = x0 شرایط اولیه y*(x0)=y0، ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

عبارت y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) نامیده می شود. راه حل مشترکمعادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n.

به مجموعه n راه حل مستقل خطی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه nام y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) سیستم بنیادی جواب های معادله گفته می شود.

برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابتیک الگوریتم ساده برای ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها وجود دارد. ما به دنبال حل معادله به شکل y(x) = exp(lx) خواهیم بود: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0، یعنی عدد l ریشه است معادله مشخصه ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. سمت چپ معادله مشخصه را چند جمله ای مشخصه یک معادله دیفرانسیل خطی می گویند: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. بنابراین، مسئله حل معادله همگن خطی مرتبه n با ضرایب ثابت به حل یک معادله جبری کاهش می یابد.

اگر معادله مشخصه دارای n ریشه واقعی متفاوت l1№ l2 № ... № ln باشد، سیستم اساسی راه حل ها از توابع y1(x) = exp(l1x)، y2(x) = exp(l2x)، تشکیل شده است. ..، yn (x) = exp(lnx) و جواب کلی معادله همگن است: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

یک سیستم اساسی از راه حل ها و یک راه حل کلی برای مورد ریشه های واقعی ساده.

اگر هر یک از ریشه های واقعی معادله مشخصه r بار تکرار شود (یک ریشه r برابر)، آنگاه توابع r با آن در سیستم اصلی راه حل ها مطابقت دارند. اگر lk=lk+1 = ... = lk+r-1، سپس در سیستم بنیادیراه حل های معادله، توابع r وجود دارد: yk(x) = exp(lkx)، yk+1(x) = xexp(lkx)، yk+2(x) = x2exp(lkx)، ...، yk+ r-1(x)=xr-1exp(lnx).

مثال 2. سیستم اساسی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های واقعی چندگانه.

اگر معادله مشخصه دارای ریشه های پیچیده باشد، آنگاه هر جفت ریشه های ساده (از تعدد 1) lk,k+1=ak ± ibk در سیستم اصلی راه حل ها با یک جفت تابع yk(x) = exp(akx) مطابقت دارد. cos(bkx)، yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

مثال 4. سیستم بنیادی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های پیچیده ساده. ریشه های خیالی

اگر یک جفت ریشه مختلط دارای تعدد r باشد، چنین جفتی lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk، در سیستم بنیادی راه حل ها با توابع exp(akx)cos( bkx)، exp(akx)sin(bkx)، xexp(akx)cos(bkx)، xexp(akx)sin(bkx)، x2exp(akx)cos(bkx)، x2exp(akx)sin(bkx)، .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx)، xr-1exp(akx)sin(bkx).

مثال 5. سیستم اساسی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های پیچیده چندگانه.

بنابراین، برای یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت، باید: معادله مشخصه را یادداشت کنید. همه ریشه های معادله مشخصه l1, l2, ... , ln; سیستم اساسی راه حل های y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) را بنویسید. یک عبارت برای جواب کلی y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) بنویسید. برای حل مسئله کوشی باید عبارت جواب کلی را در شرایط اولیه جایگزین کنیم و مقادیر ثابت های c1,..., cn را که جواب های سیستم خطی هستند تعیین کنیم. معادلات جبری c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی از مرتبه n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x)،

که در آن y = y(x) یک تابع مجهول است، a1(x)، a2(x)، ...، an-1(x)، an(x)، f(x) شناخته شده، پیوسته، معتبر هستند: 1 اگر y1(x) و y2(x) دو راه حل یک معادله ناهمگن باشند، تابع y(x) = y1(x) - y2(x) راه حلی برای معادله همگن مربوطه است. 2) اگر y1(x) حل معادله ناهمگن باشد و y2(x) جواب معادله همگن مربوطه باشد، تابع y(x) = y1(x) + y2(x) راه حلی است برای یک معادله ناهمگن؛ 3) اگر y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) n راه حل مستقل خطی معادله همگن باشند و ych(x) - تصمیم خودسرانهمعادله ناهمگن، سپس برای هر مقدار اولیه x0، y0، y0،1، ...، y0،n-1 مقادیر c*1، c*n، ...، c*n وجود دارد به طوری که راه حل y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) برای x = x0 شرایط اولیه y*( x0)=y0، (y*)"(x0)=y0،1، ...،(y*)(n-1)(x0)=y0،n-1.

عبارت y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) را حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه n می گویند.

برای یافتن راه حل های خاص ناهمگن معادلات دیفرانسیلبا ضرایب ثابت با سمت راست شکل: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx)، که در آن Pk(x)، Qm(x) چند جمله‌ای هستند از درجه k و m بر این اساس، یک الگوریتم ساده برای ساخت یک راه حل خاص وجود دارد که به آن روش انتخاب می گویند.

روش انتخاب یا روش ضرایب نامشخص به شرح زیر است. راه حل مورد نظر معادله به صورت زیر نوشته می شود: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs، که در آن Pr(x)، Qr(x) هستند. چند جمله ای درجه r = max(k, m) با ضرایب مجهول pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. عامل xs را عامل تشدید می نامند. رزونانس در مواردی اتفاق می افتد که در بین ریشه های معادله مشخصه یک ریشه l = a ± ib از تعدد s وجود دارد. آن ها اگر در بین ریشه های معادله مشخصه معادله همگن متناظر به گونه ای باشد که قسمت واقعی آن با ضریب توان نما منطبق باشد و قسمت خیالی با ضریب استدلال تابع مثلثاتی در سمت راست منطبق باشد. از معادله، و تعدد این ریشه s، سپس در راه حل خاص مورد نظر یک عامل تشدید xs وجود دارد. اگر چنین تصادفی وجود نداشته باشد (s=0)، فاکتور رزونانسی وجود ندارد.

با جایگزینی عبارت برای راه حل خاص در سمت چپ معادله، یک چند جمله ای تعمیم یافته به همان شکل چند جمله ای در سمت راست معادله به دست می آوریم که ضرایب آن ناشناخته است.

دو چند جمله‌ای تعمیم‌یافته اگر و فقط در صورتی برابر هستند که ضرایب عوامل شکل xtexp(ax)sin(bx)، xtexp(ax)cos(bx) با توان‌های یکسان t برابر باشند. با معادل سازی ضرایب چنین عواملی، سیستمی از معادلات جبری خطی 2(r+1) در مجهولات 2(r+1) بدست می آوریم. می توان نشان داد که چنین سیستمی سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد.

• آموزش

هر کس روز خوب. در این مقاله می خواهم یکی از آنها را نشان دهم روش های گرافیکیساخت مدل های ریاضی برای سیستم های دینامیکی که نامیده می شود نمودار اوراق قرضه("پیوند" - اتصالات، "گراف" - نمودار). در ادبیات روسی، من توصیفات این روش را فقط در راهنمای مطالعه تامسکی یافتم دانشگاه پلی تکنیک، A.V. Voronin "MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008. همچنین روش کلاسیک را از طریق معادله لاگرانژ از نوع دوم نشان دهید.

روش لاگرانژ

من تئوری را نقاشی نمی کنم، مراحل محاسبات را نشان می دهم و با چند نظر. شخصاً یادگیری از مثال‌ها آسان‌تر از ۱۰ بار خواندن تئوری است. به نظر من در ادبیات روسی، توضیح این روش، و در واقع ریاضیات یا فیزیک، بسیار پر از فرمول های پیچیده است، که بر این اساس، نیاز به یک پیش زمینه ریاضی جدی دارد. در حین تحصیل در روش لاگرانژ (تحصیل در دانشگاه پلی تکنیک تورین ایتالیا) به منظور مقایسه روش های محاسباتی به مطالعه ادبیات روسی پرداختم و پیگیری روند حل این روش برایم سخت بود. حتی با یادآوری دوره های مدل سازی در موسسه هوانوردی خارکف، استخراج چنین روش هایی بسیار دست و پا گیر بود و هیچ کس تلاش برای درک این موضوع را به خود زحمت نمی داد. این همان چیزی است که تصمیم گرفتم بنویسم ، کتابچه راهنمای ساخت مدل های تشک طبق لاگرانژ ، همانطور که معلوم شد ، اصلاً دشوار نیست ، کافی است بدانید که چگونه مشتقات زمانی و مشتقات جزئی را محاسبه کنید. برای مدل های پیچیده تر، ماتریس های چرخشی اضافه می شوند، اما هیچ چیز پیچیده ای در آنها وجود ندارد.

ویژگی های روش های مدل سازی:

• نیوتن اویلر: معادلات برداری بر اساس تعادل دینامیکی نیروها (نیروها)و لحظات
• لاگرانژ: معادلات اسکالر بر اساس توابع حالت مربوط به جنبشی و پتانسیل انرژی
• نمودار اوراق قرضه: روش مبتنی بر جریان قدرت (قدرت)بین عناصر سیستم

بیا شروع کنیم با یک مثال ساده. وزن با فنر و دمپر. ما از نیروی جاذبه غافل هستیم.

عکس. 1. وزن با فنر و دمپر

اول از همه تعریف می کنیم:

• سیستم مختصات اولیه(NSK) یا sk ثابت R0(i0,j0,k0). جایی که؟ شما می توانید انگشت خود را به آسمان بکشید، اما با تکان دادن نوک نورون های مغز، ایده قرار دادن NSC روی خط حرکت بدن M1 عبور می کند.
• سیستم های مختص هر بدن با جرم(ما M1 داریم R1(i1,j1,k1)، جهت گیری می تواند دلخواه باشد، اما چرا زندگی شما را پیچیده می کنیم، ما آن را با حداقل تفاوت از NSC تنظیم می کنیم
• مختصات تعمیم یافته q_i(حداقل تعداد متغیرهایی که می توانند حرکت را توصیف کنند)، در این مثال، یک مختصات تعمیم یافته، حرکت فقط در امتداد محور j

شکل 2. قرار دادن سیستم های مختصات و مختصات تعمیم یافته

شکل 3. موقعیت و سرعت بدنه M1

بعد از اینکه انرژی های جنبشی (C) و پتانسیل (P) و تابع اتلاف (D) را برای دمپر طبق فرمول پیدا کردیم:

شکل 4. فرمول کاملانرژی جنبشی

در مثال ما، هیچ چرخشی وجود ندارد، جزء دوم 0 است.

شکل 5. محاسبه تابع جنبشی، انرژی پتانسیل و اتلاف

معادله لاگرانژ به شکل زیر است:

شکل 6. معادله لاگرانژ و لاگرانژ

دلتا W_iاین یک کار مجازی است که توسط نیروها و لحظات اعمال شده انجام می شود. بیایید آن را پیدا کنیم:

شکل 7. محاسبه کار مجازی

جایی که دلتا q_1حرکت مجازی

ما همه چیز را در معادله لاگرانژ جایگزین می کنیم:

شکل 8. مدل جرم حاصل با فنر و دمپر

این جایی بود که روش لاگرانژ به پایان رسید. همانطور که می بینید، این کار چندان دشوار نیست، اما این هنوز یک مثال بسیار ساده است، که روش نیوتن-اویلر به احتمال زیاد حتی ساده تر است. برای سیستم‌های پیچیده‌تر، که در آن چندین جسم نسبت به یکدیگر در زوایای مختلف چرخانده می‌شوند، روش لاگرانژ آسان‌تر خواهد بود.

روش نمودار پیوند

برای مثالی با جرم فنر و دمپر، فوراً به شما نشان خواهم داد که چگونه مدل در نمودار پیوند شبیه است:

شکل 9. جرم گراف پیوند با فنر و دمپر

در اینجا باید یک نظریه کوچک بگوییم که برای ساختن آن کافی است مدل های ساده. اگر کسی علاقه مند است می تواند کتاب را مطالعه کند ( روش شناسی نمودار اوراق قرضه) یا ( Voronin A.V. مدل سازی سیستم های مکاترونیک: آموزش. - تامسک: انتشارات دانشگاه پلی تکنیک تومسک، 2008).

اجازه دهید ابتدا تعریف کنیم که سیستم های پیچیده از چندین حوزه تشکیل شده اند. به عنوان مثال، یک موتور الکتریکی از قطعات یا دامنه های الکتریکی و مکانیکی تشکیل شده است.

نمودار اوراق قرضهمبتنی بر تبادل توان بین این حوزه‌ها، زیرسیستم‌ها است. توجه داشته باشید که تبادل توان، به هر شکلی که باشد، همیشه توسط دو متغیر تعیین می شود ( قدرت های متغیر) که به کمک آن می توانیم تعامل زیرسیستم های مختلف را به عنوان بخشی از یک سیستم پویا مطالعه کنیم (جدول را ببینید).

همانطور که از جدول مشخص است، بیان قدرت تقریباً در همه جا یکسان است. به طور خلاصه، قدرت- این کار " جریان - f"در" تلاش - ه».

یک تلاش(انگلیسی) تلاش) در حوزه الکتریکی ولتاژ (e)، در حوزه مکانیکی نیرو (F) یا گشتاور (T) و در هیدرولیک فشار (p) است.

جریان(انگلیسی) جریان) در حوزه الکتریکی جریان (i)، در حوزه مکانیکی سرعت (v) یا سرعت زاویه ای (امگا)، در هیدرولیک جریان یا جریان سیال (Q) است.

با در نظر گرفتن این نمادها، یک عبارت برای قدرت به دست می آوریم:

شکل 10. فرمول توان بر حسب متغیرهای توان

در زبان باند-گراف، ارتباط بین دو زیرسیستم که قدرت را مبادله می کنند با پیوند نشان داده می شود. رابطه، رشته). به همین دلیل به آن می گویند این روش نمودار اوراق قرضهیا g اتصالات raf، نمودار متصل. در نظر گرفتن نمودار بلوکیپیوندها در مدل با موتور الکتریکی (این هنوز نمودار پیوند نیست):

شکل 11. بلوک دیاگرام جریان قدرت بین دامنه ها

اگر منبع ولتاژی داشته باشیم، بر این اساس ولتاژ تولید می کند و آن را برای پیچیدن به موتور می دهد (بنابراین، فلش به سمت موتور هدایت می شود)، بسته به مقاومت سیم پیچ، جریانی مطابق قانون اهم ظاهر می شود. موتور به منبع). بر این اساس، یک متغیر ورودی زیرسیستم است و متغیر دوم باید ضروری باشد. راه خروجاز زیر سیستم در اینجا ولتاژ ( تلاش) - جریان ورودی ( جریان) - خروج.

اگر از منبع فعلی استفاده کنید، نمودار چگونه تغییر می کند؟ به درستی. جریان به موتور و ولتاژ به منبع هدایت می شود. سپس جریان ( جریان) - ولتاژ ورودی ( تلاش) - خروج.

به یک مثال در مکانیک توجه کنید. نیرویی که بر روی یک جرم عمل می کند.

شکل 12. نیروی اعمال شده به جرم

بلوک دیاگرام به صورت زیر خواهد بود:

شکل 13. نمودار بلوکی

در این مثال، قدرت ( تلاش) متغیر ورودی جرم است. (نیروی اعمال شده به جرم)
طبق قانون دوم نیوتن:

توده با سرعت پاسخ می دهد:

در این مثال، اگر یک متغیر ( استحکام - قدرت - تلاش) است ورودبه حوزه مکانیکی، سپس یک متغیر قدرت دیگر ( سرعت - جریان) - به طور خودکار تبدیل می شود راه خروج.

برای تشخیص محل ورودی و محل خروجی، از یک خط عمودی در انتهای فلش (اتصال) بین عناصر استفاده می شود، این خط نامیده می شود. نشانه علیت یا علیت (علیت). معلوم می شود: نیروی اعمال شده علت است و سرعت معلول است. این علامت برای ساخت صحیح یک مدل سیستم بسیار مهم است، زیرا علیت نتیجه رفتار فیزیکی و تبادل توان دو زیر سیستم است، بنابراین انتخاب مکان علامت علیت نمی تواند دلخواه باشد.

شکل 14. نشانه گذاری علیت

این خط عمودی نشان می دهد که کدام زیرسیستم نیرو را دریافت می کند ( تلاش) و در نتیجه یک جریان تولید می کند ( جریان). در مثال انبوه، به این صورت خواهد بود:

شکل 14. علیت نیروی وارد بر جرم

با فلش مشخص است که ورودی برای جرم - استحکام - قدرت، و خروجی است سرعت. این کار به گونه ای انجام می شود که طرح و سیستم سازی ساختمان مدل با فلش ها به هم نریزد.

نکته مهم بعدی. حرکت تعمیم یافته(میزان حرکت) و در حال حرکت(متغیرهای انرژی).

جدول متغیرهای توان و انرژی در حوزه های مختلف

جدول بالا دو کمیت فیزیکی اضافی مورد استفاده را معرفی می کند روش باند گراف. آنها نامیده می شوند حرکت تعمیم یافته (آر) و جابجایی عمومی (q) یا متغیرهای انرژی، و آنها را می توان با ادغام متغیرهای توان در طول زمان به دست آورد:

شکل 15. رابطه بین متغیرهای توان و انرژی

در حوزه برق :

طبق قانون فارادی، ولتاژدر انتهای هادی برابر با مشتق شار مغناطیسی از طریق این هادی است.

ولی قدرت فعلی - کمیت فیزیکی، برابر با نسبت مقدار بار Q که مدتی t از سطح مقطع هادی عبور کرده است، به مقدار این بازه زمانی.

حوزه مکانیکی:

از قانون دوم نیوتن، استحکام - قدرتمشتق زمانی تکانه است

و به همین ترتیب، سرعت- مشتق زمانی جابجایی:

بیایید تعمیم دهیم:

عناصر اساسی

تمام عناصر در سیستم های دینامیکی را می توان به اجزای دو قطبی و چهار قطبی تقسیم کرد.
در نظر گرفتن اجزای دوقطبی:

منابع
منابع هم تلاش و هم جریان هستند. قیاس در حوزه الکتریکی: منبع تلاش – منبع ولتاژ, منبع جریان – منبع فعلی. علائم علت و معلولی برای منابع باید فقط چنین باشد.

شکل 16. پیوندهای علّی و تعیین منابع

جزء R - عنصر اتلاف کننده

جزء I - عنصر اینرسی

جزء C - عنصر خازنی

همانطور که از شکل ها مشخص است، عناصر مختلف یکسان هستند نوع R,C,Iبا همین معادلات توصیف شده است. فقط برای ظرفیت الکتریکی تفاوت وجود دارد، فقط باید آن را به خاطر بسپارید!

اجزای چهارقطبی:

دو جزء ترانسفورماتور و گیراتور را در نظر بگیرید.

آخرین اجزای مهم در روش باند-گراف، اتصالات هستند. دو نوع گره وجود دارد:

این پایان اجزاء است.

مراحل اصلی برای از بین بردن روابط علی پس از ساختن نمودار پیوند:

1. علیت را روی همه چیز قرار دهید منابع
2. تمام گره ها را مرور کنید و بعد از نقطه 1 روابط علی را کنار بگذارید
3. برای اجزای Iیک علیت ورودی (تلاش در این جزء گنجانده شده است) برای اجزای Cیک علیت خروجی اختصاص دهید (تلاش از این مؤلفه خارج می شود)
4. نقطه 2 را تکرار کنید
5. رسم پیوندهای علّی برای اجزای R

این مینی دوره تئوری را به پایان می رساند. اکنون همه چیزهایی که برای ساختن مدل ها نیاز داریم در اختیار داریم.
بیایید یکی دو مثال را حل کنیم. بیایید با مدار الکتریکی شروع کنیم، قیاس ساختن یک نمودار پیوند را بهتر درک کنیم.

مثال 1

بیایید شروع به ساخت یک نمودار پیوند از یک منبع ولتاژ کنیم. فقط Se را بنویسید و یک فلش قرار دهید.

می بینید همه چیز ساده است! ما بیشتر نگاه می کنیم، R و L به صورت سری متصل هستند، به این معنی که جریان یکسانی در آنها جریان می یابد، اگر از نظر متغیرهای قدرت صحبت کنیم - جریان یکسان. کدام گره جریان یکسانی دارد؟ پاسخ صحیح 1 گره است. ما یک منبع، مقاومت (کامپوننت - R) و اندوکتانس (کامپوننت - I) را به گره 1 متصل می کنیم.

بعد، ظرفیت و مقاومت را به صورت موازی داریم، یعنی ولتاژ یا نیروی یکسانی دارند. 0-node مانند هیچ گره دیگری جا می شود. خازن (جزء C) و مقاومت (جزء R) را به گره 0 وصل می کنیم.

گره های 1 و 0 نیز به هم متصل هستند. جهت فلش ها به صورت دلخواه انتخاب می شود، جهت اتصال فقط بر علامت موجود در معادلات تأثیر می گذارد.

نمودار لینک زیر را دریافت کنید:

اکنون باید روابط علی را کنار بگذاریم. با پیروی از دستورالعمل های مربوط به ترتیب چسباندن آنها، اجازه دهید با منبع شروع کنیم.

1. ما منبع استرس (تلاش) داریم، چنین منبعی فقط یک گزینه علیت دارد - خروجی. ما گذاشتیم.
2. سپس جزء I وجود دارد، ما به آنچه توصیه می شود نگاه می کنیم. ما گذاشتیم
3. برای 1 گره گذاشتیم. وجود دارد
4. یک گره 0 باید یک ورودی و همه پیوندهای علی خروجی داشته باشد. یک روز مرخصی داریم ما به دنبال اجزای C یا I هستیم. ما گذاشتیم
5. نمایش آنچه باقی مانده است

همین. باند-گراف ساخته شده است. هورا، رفقا!

تنها کاری که باید انجام شود نوشتن معادلاتی است که سیستم ما را توصیف می کند. برای این کار جدولی با 3 ستون ایجاد می کنیم. اولی شامل تمام اجزای سیستم، دومی شامل متغیر ورودی برای هر عنصر و سومی شامل متغیر خروجی برای همان جزء است. ما قبلاً ورود و خروج را بر اساس علیت تعیین کرده ایم. بنابراین نباید هیچ مشکلی وجود داشته باشد.

اجازه دهید هر اتصال را برای راحتی نوشتن معادلات شماره گذاری کنیم. معادلات هر عنصر را از لیست اجزای C, R, I می گیریم.

پس از جمع آوری جدول، متغیرهای حالت را تعریف می کنیم، در این مثال 2، p3 و q5 وجود دارد. در مرحله بعد باید معادلات حالت را بنویسید:

این همه مدل آماده است.

مثال 2. من فقط می خواهم بابت کیفیت عکس عذرخواهی کنم، نکته اصلی این است که می توانید بخوانید

بیایید مثال دیگری را برای یک سیستم مکانیکی حل کنیم، همان مثالی که با روش لاگرانژ حل کردیم. راه حل را بدون نظر نشان خواهم داد. بیایید بررسی کنیم که کدام یک از این روش ها ساده تر و راحت تر است.

در مت بال، هر دو مدل تشک با پارامترهای یکسانی که با روش لاگرانژ و باند-گراف به دست آمد، گردآوری شدند. نتیجه زیر: برچسب‌ها را اضافه کنید

نام پارامتر	معنی
موضوع مقاله:	روش لاگرانژ
روبریک (دسته موضوعی)	ریاضی

برای یافتن چند جمله ای به معنای تعیین مقادیر ضریب آن است . برای انجام این کار، با استفاده از شرط درون یابی، می توانید یک سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) تشکیل دهید.

تعیین کننده این SLAE معمولاً تعیین کننده Vandermonde نامیده می شود. تعیین کننده Vandermonde برابر با صفر نیست وقتی برای . می‌توان گفت که SLAE راه‌حلی دارد و این راه‌حل منحصربه‌فرد است. حل SLAE و تعیین ضرایب مجهول می توان یک چند جمله ای درون یابی ساخت.

یک چند جمله ای که شرایط درون یابی را برآورده می کند، هنگامی که با روش لاگرانژ درون یابی می شود، به عنوان یک ترکیب خطی از چند جمله ای های درجه n ساخته می شود:

چند جمله ای ها نامیده می شوند پایه ایچند جمله ای ها. به چند جمله ای لاگرانژشرایط درون یابی را برآورده می کند، بسیار مهم است که شرایط زیر برای چند جمله ای های اصلی آن برآورده شود:

برای .

اگر این شرایط برآورده شود، برای هر کدام از آنها داریم:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، تحقق شرایط داده شده برای چندجمله ای های پایه به این معنی است که شرایط درونیابی نیز برآورده می شود.

اجازه دهید شکل چندجمله ای های پایه را بر اساس محدودیت های اعمال شده بر آنها تعیین کنیم.

شرط اول:در .

شرط دوم: .

در نهایت برای چند جمله ای پایه می توانیم بنویسیم:

سپس، با جایگزینی عبارت به‌دست‌آمده برای چند جمله‌ای اصلی به چند جمله‌ای اصلی، شکل نهایی چند جمله‌ای لاگرانژ را به‌دست می‌آوریم:

شکل خاصی از چند جمله ای لاگرانژ در معمولاً فرمول درونیابی خطی نامیده می شود:

.

چند جمله ای لاگرانژ معمولاً فرمول درونیابی درجه دوم نامیده می شود:

روش لاگرانژ - مفهوم و انواع طبقه بندی و ویژگی های دسته "روش لاگرانژ." 2017، 2018.

- روش لاگرانژ (روش تغییر یک ثابت دلخواه).

کنترل از راه دور خطی تعریف. کنترل نوع یعنی خطی نسبت به تابع مجهول و مشتق آن خطی نامیده می شود. برای حلی از این نوع، ur-th دو روش را در نظر بگیرید: روش لاگرانژ و روش برنولی.بیایید یک DE همگن را در نظر بگیریم.

- کنترل از راه دور خطی، همگن و ناهمگن. مفهوم یک راه حل کلی. روش لاگرانژ برای تغییر محصولات ثابت.

تعریف. اگر f-i را بتوان در رابطه با آرگومان های آنها به صورت f-i نشان داد، DU همگن نامیده می شود. و- به من همگن می گویند اندازه گیری fاگر مثالها: 1) - مرتبه اول همگنی. 2) - مرتبه دوم همگنی. 3) - مرتبه صفر همگنی (فقط همگن... .

- سخنرانی 8. کاربرد مشتقات جزئی: وظایف برای اکستروم. روش لاگرانژ

وظایف افراطی دارند پراهمیتدر محاسبات اقتصادی این محاسبه، برای مثال، حداکثر درآمد، سود، حداقل هزینه، بسته به چندین متغیر است: منابع، دارایی های تولیدیو غیره. تئوری یافتن اکستروم توابع... .

- T.2.3. DE از دستورات بالاتر. معادله در مجموع دیفرانسیل. T.2.4. DE خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت. روش لاگرانژ

3. 2. 1. DE با متغیرهای قابل تفکیک S.R. 3. در علوم طبیعی، فناوری و اقتصاد، اغلب باید با فرمول های تجربی سر و کار داشت، یعنی. فرمول های گردآوری شده بر اساس پردازش داده های آماری یا ...