مدل‌سازی سیستم‌های دینامیکی (روش لاگرانژ و رویکرد نمودار باند). مادون شرطی و روش ضرایب لاگرانژ

از جانبماهیت روش لاگرانژ این است که مسئله اکسترمم مشروط را به حل مشکل اکسترمم غیرشرطی تقلیل دهد. مدل را در نظر بگیرید برنامه نویسی غیر خطی:

(5.2)

جایی که
توابع شناخته شده هستند،

آ
ضرایب داده شده است.

توجه داشته باشید که در این فرمول مسئله، قیود با تساوی داده شده است و هیچ شرطی برای غیر منفی بودن متغیرها وجود ندارد. علاوه بر این، ما فرض می کنیم که توابع
با اولین مشتقات جزئی خود پیوسته هستند.

اجازه دهید شرایط (5.2) را به گونه ای تبدیل کنیم که قسمت های چپ یا راست تساوی ها شامل شوند صفر:

(5.3)

بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم. این شامل تابع هدف (5.1) و سمت راست قیود (5.3) است که به ترتیب با ضرایب گرفته شده است.
. به همان تعداد ضرایب لاگرانژ وجود خواهد داشت که در مسئله محدودیت وجود دارد.

نقاط منتهی تابع (5.4) نقاط منتهی مسئله اصلی هستند و بالعکس: طرح بهینه مسئله (5.1)-(5.2) نقطه منتهی سراسری تابع لاگرانژ است.

در واقع بگذارید راه حل پیدا شود
مسئله (5.1)-(5.2)، سپس شرایط (5.3) برآورده می شود. بیایید طرح را جایگزین کنیم
وارد تابع (5.4) شده و اعتبار برابری (5.5) را تأیید کنید.

بنابراین، برای یافتن طرح بهینه مسئله اصلی، لازم است تابع لاگرانژ برای یک امتداد بررسی شود. این تابع در نقاطی که مشتقات جزئی آن با هم برابر هستند دارای مقادیر شدید است صفر. چنین نقاطی نامیده می شود ثابت

ما مشتقات جزئی تابع (5.4) را تعریف می کنیم.

,

.

پس از تساوی صفرمشتقات ما سیستم را دریافت می کنیم m+nمعادلات با m+nناشناس

,(5.6)

در حالت کلی، سیستم (5.6)-(5.7) چندین راه حل خواهد داشت که شامل تمام ماکزیمم ها و مینیمم های تابع لاگرانژ می شود. برای برجسته کردن حداکثر یا حداقل جهانی، مقادیر تابع هدف در تمام نقاط یافت شده محاسبه می شود. بزرگترین این مقادیر حداکثر جهانی و کوچکترین آنها حداقل جهانی خواهد بود. در برخی موارد امکان استفاده وجود دارد شرایط کافی برای یک افراط گرایی شدیدتوابع پیوسته (مشکل 5.2 را در زیر ببینید):

اجازه دهید تابع
پیوسته است و در برخی از همسایگی های نقطه ثابت خود دو برابر قابل تمایز است (آنها
)). سپس:

آ ) اگر
, (5.8)

سپس حداکثر نقطه دقیق تابع است
;

ب) اگر
, (5.9)

سپس حداقل نقطه دقیق تابع است
;

جی ) اگر
,

در این صورت مسئله وجود یک افراط باز باقی می ماند.

علاوه بر این، برخی از راه حل های سیستم (5.6) - (5.7) ممکن است منفی باشد. که با مفهوم اقتصادی متغیرها همخوانی ندارد. در این مورد، امکان جایگزینی مقادیر منفی با صفر باید مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد.

معنای اقتصادی ضرایب لاگرانژ.مقدار ضریب بهینه
نشان می دهد که ارزش معیار چقدر تغییر خواهد کرد ز هنگام افزایش یا کاهش منبع jدر هر واحد، زیرا

روش لاگرانژ را می توان زمانی که محدودیت ها نابرابری هستند نیز به کار برد. بنابراین، یافتن حداکثر تابع
تحت شرایط

,

در چند مرحله انجام می شود:

1. نقاط ثابت تابع هدف را که برای آنها سیستم معادلات را حل می کنند، تعیین کنید

.

2. از نقاط ثابت، مواردی انتخاب می شوند که مختصات آنها شرایط را برآورده کند

3. روش لاگرانژ برای حل مسئله با قیود برابری (5.1)-(5.2) استفاده می شود.

4. نقاط حداکثر جهانی یافت شده در مراحل دوم و سوم را بررسی کنید: مقادیر را با هم مقایسه کنید تابع هدفدر این نقاط - بالاترین ارزشبا طرح بهینه مطابقت دارد.

وظیفه 5.1اجازه دهید مسئله 1.3 را که در بخش اول در نظر گرفته شده است با روش لاگرانژ حل کنیم. توزیع بهینه منابع آب با یک مدل ریاضی توصیف شده است

.

تابع لاگرانژ را بنویسید

حداکثر نامشروط این تابع را پیدا کنید. برای این کار مشتقات جزئی را محاسبه کرده و آنها را با صفر برابر می کنیم

,

بنابراین، ما یک سیستم معادلات خطی شکل را به دست آورده ایم

حل سیستم معادلات طرح بهینه برای توزیع منابع آب بر روی مناطق آبی است

, .

مقادیر
در صدها هزار متر مکعب اندازه گیری می شود.
- میزان درآمد خالص به ازای هر صد هزار متر مکعب آب آبیاری. بنابراین قیمت نهایی 1 متر مکعب آب آبیاری است
لانه واحدها

حداکثر درآمد خالص اضافی حاصل از آبیاری خواهد بود

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (دانشگاه واحد)

وظیفه 5.2حل مسئله برنامه نویسی غیر خطی

ما محدودیت را به صورت زیر نشان می دهیم:

.

تابع لاگرانژ را بنویسید و مشتقات جزئی آن را تعیین کنید

.

برای تعیین نقاط ثابت تابع لاگرانژ، باید مشتقات جزئی آن را با صفر برابر کرد. در نتیجه یک سیستم معادلات بدست می آوریم

.

از معادله اول به دست می آید

. (5.10)

اصطلاح معادله دوم را جایگزین کنید

,

که دو راه حل برای آن وجود دارد :

و
. (5.11)

با جایگزینی این جواب ها در معادله سوم، به دست می آوریم

,
.

مقادیر ضریب لاگرانژ و مجهول محاسبه با عبارات (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

بنابراین، ما دو نقطه افراطی گرفتیم:

;
.

برای اینکه بفهمیم این نقاط حداکثر هستند یا حداقل، از شرایط کافی برای یک اکسترم شدید (5.8)-(5.9) استفاده می کنیم. پیش بیان برای ، که از محدودیت مدل ریاضی به دست می آید، تابع هدف را جایگزین می کنیم

,

. (5.12)

برای بررسی شرایط یک اکسترموم سخت، باید علامت مشتق دوم تابع (5.11) را در نقاط انتهایی که پیدا کردیم تعیین کنیم.
و
.

,
;

.

به این ترتیب، (·)
حداقل نقطه مشکل اصلی است (
)، آ (·)
- حداکثر امتیاز

طرح بهینه:

,
,
,

.

روش لاگرانژروشی برای حل یک مشکل است بهینه سازی شرطی، که در آن قیودها که به صورت توابع ضمنی نوشته شده اند، با تابع هدف در قالب یک معادله جدید ترکیب می شوند. لاگرانژی.

یک مورد خاص از یک مسئله برنامه‌نویسی غیرخطی عمومی را در نظر بگیرید:

سیستم داده شده معادلات غیر خطی (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m)،

کوچکترین (یا بزرگترین) مقدار تابع (2) را پیدا کنید.

(2) f (х1،х2،…،хn)،

اگر شرایطی برای منفی نبودن متغیرها وجود نداشته باشد و f(x1,x2,…,xn) و gi(x1,x2,…,xn) توابعی هستند که همراه با مشتقات جزئی خود پیوسته هستند.

برای یافتن راه حلی برای این مشکل می توانید روش زیر را اعمال کنید: 1. مجموعه ای از متغیرهای λ1, λ2,…, λm را وارد کنید که ضریب لاگرانژ نامیده می شوند و تابع لاگرانژ را بسازید (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به متغیرهای xi و λi بیابید و آنها را با صفر برابر کنید.

3. حل سیستم معادلات، نقاطی را پیدا کنید که تابع هدف مسئله می تواند در آنها اکسترموم داشته باشد.

4. در بین نقاطی که مشکوک به اکستروم هستند، نقاطی را پیدا می کنند که در آنها به اکستروم رسیده است و مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه می کنند. .

4. مقادیر به دست آمده از تابع f را مقایسه کنید و بهترین را انتخاب کنید.

بر اساس برنامه تولید، این شرکت نیاز به تولید 180 محصول دارد. این محصولات را می توان به دو روش تکنولوژیکی تولید کرد. در تولید محصولات x1 به روش I هزینه ها 4 * x1 + x1 ^ 2 روبل و در ساخت محصولات x2 با روش II 8 * x2 + x2 ^ 2 روبل است. تعیین کنید که هر یک از راه ها چند محصول باید ساخته شود، به طوری که هزینه کل تولید حداقل باشد.

راه حل: فرمول ریاضی مسئله شامل تعیین است کوچکترین مقدارتوابع دو متغیر:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2، ارائه x1 +x2 = 180.

بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

مشتقات جزئی آن را با توجه به x1، x2، λ محاسبه می کنیم و آنها را با 0 برابر می کنیم:

دو معادله اول λ را به سمت راست منتقل می کنیم و سمت چپ آنها را معادل می کنیم، 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 یا x1 - x2 = 2 به دست می آوریم.

با حل آخرین معادله به همراه معادله x1 + x2 = 180، x1 = 91، x2 = 89 را پیدا می کنیم، یعنی جوابی به دست می آوریم که شرایط را برآورده می کند:

بیایید مقدار تابع هدف f را برای این مقادیر متغیرها پیدا کنیم:

F(x1، x2) = 17278

این نقطه برای یک افراطی مشکوک است. با استفاده از مشتقات جزئی دوم، می توانیم نشان دهیم که در نقطه (91.89) تابع f دارای حداقل است.

برای یافتن چند جمله ای به معنای تعیین مقادیر ضریب آن است . برای انجام این کار، با استفاده از شرط درون یابی، می توانید یک سیستم خطی تشکیل دهید معادلات جبری(SLAU).

تعیین کننده این SLAE معمولاً تعیین کننده Vandermonde نامیده می شود. تعیین کننده Vandermonde برابر با صفر نیست وقتی برای . می‌توان گفت که SLAE راه‌حلی دارد و این راه‌حل منحصربه‌فرد است. حل SLAE و تعیین ضرایب مجهول می توان یک چند جمله ای درون یابی ساخت.

یک چند جمله ای که شرایط درون یابی را برآورده می کند، هنگامی که با روش لاگرانژ درون یابی می شود، به عنوان یک ترکیب خطی از چند جمله ای های درجه n ساخته می شود:

چند جمله ای ها نامیده می شوند پایه ایچند جمله ای ها. به چند جمله ای لاگرانژشرایط درون یابی را برآورده می کند، بسیار مهم است که شرایط زیر برای چند جمله ای های اصلی آن برآورده شود:

برای .

اگر این شرایط برآورده شود، برای هر کدام از آنها داریم:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، تحقق شرایط داده شده برای چندجمله ای های پایه به این معنی است که شرایط درونیابی نیز برآورده می شود.

اجازه دهید شکل چندجمله ای های پایه را بر اساس محدودیت های اعمال شده بر آنها تعیین کنیم.

شرط اول:در .

شرط دوم: .

در نهایت برای چند جمله ای پایه می توانیم بنویسیم:

سپس، با جایگزینی عبارت به‌دست‌آمده برای چند جمله‌ای اصلی به چند جمله‌ای اصلی، شکل نهایی چند جمله‌ای لاگرانژ را به‌دست می‌آوریم:

شکل خاصی از چند جمله ای لاگرانژ در معمولاً فرمول درونیابی خطی نامیده می شود:

.

چند جمله ای لاگرانژ معمولاً فرمول درونیابی درجه دوم نامیده می شود:

روش لاگرانژ - مفهوم و انواع طبقه بندی و ویژگی های دسته "روش لاگرانژ." 2017، 2018.

روش لاگرانژ

روش کاهش یک فرم درجه دوم به مجموع مربع ها، که در سال 1759 توسط J. Lagrange نشان داده شد. بگذار داده شود

از متغیرهای x 0 ، ایکس 1 ،...، x n. با ضرایب از میدان کویژگی ها لازم است این فرم را به حالت متعارف برسانید. ذهن

با استفاده از تبدیل خطی غیرمنحط متغیرها. L. m شامل موارد زیر است. می توانیم فرض کنیم که همه ضرایب فرم (1) برابر با صفر نیستند. بنابراین دو مورد امکان پذیر است.

1) برای برخی gمورب سپس

که در آن شکل f 1 (x) دارای متغیر نیست x g 2) اگر همه ولی سپس

که در آن شکل f 2 (x) شامل دو متغیر نیست xgو x ساعتاشکال زیر علامت مربع در (4) به صورت خطی مستقل هستند. با اعمال تبدیل های فرم (3) و (4)، فرم (1) پس از تعداد محدودی از مراحل به مجموع مربع های اشکال خطی مستقل خطی کاهش می یابد. با استفاده از مشتقات جزئی، فرمول (3) و (4) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

روشن شد: G a n t m a h e r F. ر.،نظریه ماتریس ها، ویرایش دوم، مسکو، 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; الکساندروف P.S.، سخنرانی در هندسه تحلیلی ...، M.، 1968. I. V. Proskuryakov.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

ببینید "روش لاگرانژ" در فرهنگ های دیگر چیست:

روش لاگرانژ- روش لاگرانژ - روشی برای حل تعدادی از کلاس های مسائل برنامه ریزی ریاضی با یافتن یک نقطه زینی (x *، λ *) از تابع لاگرانژ که با معادل صفر کردن مشتقات جزئی این تابع نسبت به . .. ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

روش لاگرانژ- روشی برای حل تعدادی از کلاس های مسائل برنامه ریزی ریاضی با یافتن نقطه زینی (x*,?*) تابع لاگرانژ که با معادل صفر کردن مشتقات جزئی این تابع نسبت به xi و?i به دست می آید. . رجوع به لاگرانژ شود. )