روش برنامه ریزی غیرخطی ضریب های لاگرانژ. روش لاگرانژ (روش تغییرات ثابت دلخواه)

نقطه M برای برخی از مجموعه G درونی نامیده می شود که به همراه مقداری از همسایگی آن به این مجموعه تعلق داشته باشد. نقطه N را در صورتی نقطه مرزی برای مجموعه G می نامند که در هر همسایگی کامل آن نقاطی وجود داشته باشد که هم متعلق به G و هم به آن نیست.

مجموعه تمام نقاط مرزی یک مجموعه G را مرز G می نامند.

مجموعه G اگر تمام نقاط آن درونی باشند (مجموعه باز) منطقه نامیده می شود. مجموعه G با مرز متصل به Γ، ناحیه بسته نامیده می شود. به یک ناحیه محدود گفته می شود که به طور کامل در دایره ای با شعاع به اندازه کافی بزرگ قرار داشته باشد.

حداقل و بزرگترین ارزشتوابع موجود در یک ناحیه معین، منتهی الیه مطلق تابع در این ناحیه نامیده می شوند.

قضیه وایرشتراس: تابعی که در یک ناحیه محدود و بسته پیوسته است به کوچکترین و بزرگترین مقادیر خود در این ناحیه می رسد.

نتیجه. حداکثر مطلق یک تابع در یک منطقه داده شده یا در یک نقطه بحرانی از یک تابع متعلق به این منطقه به دست می آید، یا برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک منطقه بسته G، لازم است تمام نقاط بحرانی آن در این منطقه، مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید (از جمله با مقایسه اعداد به دست آمده، بزرگترین و کوچکترین آنها را انتخاب کنید.

مثال 4.1.حداکثر مطلق یک تابع (بزرگترین و کوچکترین مقدار) را پیدا کنید.
در یک منطقه مثلثی D با رئوس
,
,
(عکس. 1).

;
,

یعنی نقطه O(0, 0) یک نقطه بحرانی متعلق به منطقه D است. z(0,0)=0.

کاوش در مرز:

الف) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1، 0)=0،

ب) RH: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0، 2)=0،

تاکسی: ؛
,

مثال 4.2.بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک ناحیه بسته که با محورهای مختصات و یک خط مستقیم محدود شده است، پیدا کنید.
.

1) نقاط بحرانی موجود در منطقه را پیدا کنید:

,
,

.

بیایید مرز را بررسی کنیم. زیرا از آنجایی که مرز شامل بخش OA از محور Ox، بخش OB از محور Oy و قطعه AB است، بنابراین بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع z را در هر یک از این بخش ها تعیین می کنیم.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3،7/3)، z(5/3، 7/3)=–10/3.

از بین تمام مقادیر یافت شده، z max =z(4, 0)=13 را انتخاب می کنیم. z naim =z(1, 2)=–4.

5. افراط مشروط. روش ضریب لاگرانژ

یک مشکل خاص برای توابع چندین متغیر را در نظر بگیرید، زمانی که حداکثر آن را نه در کل دامنه تعریف، بلکه در مجموعه ای جستجو کنید که شرایط خاصی را برآورده می کند.

اجازه دهید تابع
، استدلال ها و که شرایط را برآورده می کند
، معادله محدودیت نامیده می شود.

نقطه
اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد که برای همه نقاط، حداکثر شرطی (حداقل) نقطه نامیده می شود
از این محله شرایط را ارضا می کند
، نابرابری
یا
.

شکل 2 حداکثر نقطه مشروط را نشان می دهد
. بدیهی است که یک نقطه اکسترومی بدون قید و شرط تابع نیست
(در شکل 2 این نکته است
).

ساده ترین راه برای یافتن حد فاصل یک تابع از دو متغیر این است که مسئله را به یافتن حد فاصل یک تابع از یک متغیر کاهش دهیم. معادله محدودیت را فرض کنید
موفق به حل با توجه به یکی از متغیرها، به عنوان مثال، به بیان از طریق :
. با جایگزینی عبارت به دست آمده با تابعی از دو متغیر، به دست می آوریم

آن ها تابع یک متغیر حداكثر آن، حداكثر مشروط تابع خواهد بود
.

مثال 5.1.حداکثر و حداقل نقاط یک تابع را بیابید
به شرط
.

راه حل. از معادله بیان می کنیم
متغیر از طریق یک متغیر و عبارت حاصل را جایگزین کنید
به یک تابع . گرفتن
یا
. این تابع یک حداقل واحد دارد
. مقدار تابع مربوطه
. به این ترتیب،
– نقطه حدی مشروط (حداقل).

در مثال در نظر گرفته شده، معادله محدودیت
خطی بود، بنابراین با توجه به یکی از متغیرها به راحتی حل شد. با این حال، در موارد پیچیده تر، نمی توان این کار را انجام داد.

برای یافتن حدی مشروط در مورد کلیاز روش ضرب کننده لاگرانژ استفاده می شود. تابعی از سه متغیر را در نظر بگیرید. این تابع تابع لاگرانژ و ضریب لاگرانژ است. قضیه زیر درست است.

قضیه.اگر نقطه
نقطه منتهی شرطی تابع است
به شرط
، سپس یک مقدار وجود دارد به طوری که نقطه
نقطه منتهی تابع است
.

بنابراین، برای یافتن حد اخر شرطی تابع
به شرط
باید راه حلی برای سیستم پیدا کرد

پ آخرین مورد از این معادلات با معادله محدودیت منطبق است. دو معادله اول سیستم را می توان به این شکل بازنویسی کرد. در نقطه منتهی الیه شرطی، گرادیان توابع
و
خطی روی انجیر شکل 3 معنای هندسی شرایط لاگرانژ را نشان می دهد. خط
نقطه چین، خط تراز
کارکرد
جامد. از انجیر نتیجه این است که در نقطه ی حد فاصل شرطی خط تراز تابع
خط را لمس می کند
.

مثال 5.2. نقاط انتهایی یک تابع را پیدا کنید
به شرط
با استفاده از روش ضریب لاگرانژ

راه حل. تابع لاگرانژ را می سازیم. با برابر کردن مشتقات جزئی آن با صفر، سیستمی از معادلات را به دست می آوریم:

تنها راه حل او بنابراین، تنها نقطه (3؛ 1) می تواند یک نقطه حدی مشروط باشد. بررسی اینکه در این مرحله تابع آسان است
حداقل مشروط دارد. اگر تعداد متغیرها بیش از دو باشد، می توان چندین معادله اتصال را نیز در نظر گرفت. بر این اساس، در این حالت چندین ضریب لاگرانژ وجود خواهد داشت.

مشکل یافتن اکستریم مشروط در حل مشکلات اقتصادی مانند یافتن توزیع بهینه منابع، انتخاب پرتفوی بهینه اوراق بهادار و غیره استفاده می شود.

روش لاگرانژ

روش کاهش یک فرم درجه دوم به مجموع مربع ها، که در سال 1759 توسط J. Lagrange نشان داده شد. بگذار داده شود

از متغیرهای x 0 ، ایکس 1 ،...، x n. با ضرایب از میدان کویژگی ها لازم است این فرم را به حالت متعارف برسانید. ذهن

با استفاده از تبدیل خطی غیرمنحط متغیرها. L. m شامل موارد زیر است. می توانیم فرض کنیم که همه ضرایب فرم (1) برابر با صفر نیستند. بنابراین دو مورد امکان پذیر است.

1) برای برخی gمورب سپس

که در آن شکل f 1 (x) دارای متغیر نیست x g 2) اگر همه ولی سپس

که در آن شکل f 2 (x) شامل دو متغیر نیست xgو x ساعتاشکال زیر علامت مربع در (4) به صورت خطی مستقل هستند. با اعمال تبدیل های فرم (3) و (4)، فرم (1) پس از تعداد محدودی از مراحل به مجموع مربع های اشکال خطی مستقل خطی کاهش می یابد. با استفاده از مشتقات جزئی، فرمول (3) و (4) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

روشن شد: G a n t m a h e r F. ر.،نظریه ماتریس ها، ویرایش دوم، مسکو، 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; الکساندروف P.S.، سخنرانی در هندسه تحلیلی ...، M.، 1968. I. V. Proskuryakov.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

ببینید "روش لاگرانژ" در فرهنگ های دیگر چیست:

روش لاگرانژ- روش لاگرانژ - روشی برای حل تعدادی از کلاس های مسائل برنامه ریزی ریاضی با یافتن یک نقطه زینی (x *، λ *) از تابع لاگرانژ که با معادل صفر کردن مشتقات جزئی این تابع نسبت به . .. ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

روش لاگرانژ- روشی برای حل تعدادی از کلاس های مسائل برنامه ریزی ریاضی با یافتن نقطه زینی (x*,?*) تابع لاگرانژ که با معادل صفر کردن مشتقات جزئی این تابع نسبت به xi و?i به دست می آید. . رجوع به لاگرانژ شود. )