معنای اقتصادی ضرایب لاگرانژ. روش ضریب لاگرانژ

روش ضرایب لاگرانژیک روش کلاسیک برای حل مسائل برنامه ریزی ریاضی (به ویژه محدب) است. متاسفانه در کاربرد عملیاین روش ممکن است با مشکلات محاسباتی قابل توجهی روبرو شود و دامنه استفاده از آن را محدود کند. ما در اینجا روش لاگرانژ را عمدتاً در نظر می گیریم زیرا دستگاهی است که به طور فعال برای اثبات انواع مدرن استفاده می شود روشهای عددیبه طور گسترده در عمل استفاده می شود. در مورد تابع لاگرانژ و ضریب لاگرانژ، آنها نقش مستقل و بسیار مهمی در تئوری و کاربردهای نه تنها برنامه نویسی ریاضی دارند.

مسئله بهینه سازی کلاسیک را در نظر بگیرید

حداکثر (دقیقه) z=f(x) (7.20)

این مسئله از مسئله (7.18)، (7.19) با این واقعیت متمایز می شود که در بین قیود (7.21) نابرابری وجود ندارد، شرایطی برای منفی نبودن متغیرها، گسستگی آنها و توابع f(x وجود ندارد. ) و پیوسته هستند و نسبت به مشتقات جزئی دارند حداقلمرتبه دوم.

رویکرد کلاسیک برای حل مسئله (7.20)، (7.21) سیستمی از معادلات (شرایط ضروری) را ارائه می دهد که باید توسط نقطه x* ارضا شود، که تابع f (x) را با یک انتها محلی در مجموعه نقاط ارائه می کند. ارضای قیود (7.21) (برای مسئله برنامه نویسی محدب، نقطه x*، مطابق قضیه 7.6، یک نقطه افراطی جهانی نیز خواهد بود).

فرض کنید در نقطه x* تابع (7.20) محلی دارد افراطی مشروطو رتبه ماتریس است. سپس شرایط لازم را می توان به صورت زیر نوشت:

(7.22)

تابع لاگرانژ است. ضریب لاگرانژ هستند.

نیز وجود دارد شرایط کافی، که بر اساس آن حل سیستم معادلات (7.22) نقطه منتهی الیه تابع f(x) را تعیین می کند. این سوال بر اساس مطالعه علامت دیفرانسیل دوم تابع لاگرانژ حل شده است. با این حال، شرایط کافی عمدتاً مورد توجه نظری است.

می توان روش زیر را برای حل مسئله (7.20)، (7.21) با روش ضریب لاگرانژ نشان داد:

1) تابع لاگرانژ (7.23) را بنویسید.

2) مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به همه متغیرها پیدا کنید و آنها را با صفر برابر کنید. بدین ترتیب سیستم (7.22) متشکل از معادلات به دست خواهد آمد. سیستم حاصل را حل کنید (اگر معلوم شد که ممکن است!) و به این ترتیب تمام نقاط ثابت تابع لاگرانژ را پیدا کنید.

3) از نقاط ثابت، که بدون مختصات گرفته شده اند، نقاطی را انتخاب کنید که تابع f(x) در حضور محدودیت ها (7.21) منتهیات محلی شرطی دارد. این انتخاب برای مثال با استفاده از شرایط کافی انجام می شود افراطی موضعی. اگر از شرایط خاص مشکل استفاده شود، اغلب مطالعه ساده می شود.

مثال 7.3. پیدا کردن توزیع بهینهمنابع محدود در یک واحد بین n مصرف کننده، اگر سود دریافتی هنگام تخصیص x j واحد منبع به مصرف کننده j با فرمول محاسبه شود.

راه حل.مدل ریاضی مسئله به شکل زیر است:

تابع لاگرانژ را می سازیم:

.

ما پیدا می کنیم مشتقات جزئی تابع لاگرانژ و آنها را با صفر برابر کنید:

با حل این سیستم معادلات بدست می آوریم:

بنابراین اگر به مصرف کننده j یک واحد اختصاص داده شود. منبع، سپس کل سود به حداکثر مقدار و مقدار به den می رسد. واحدها

ما روش لاگرانژ را برای مسئله بهینه‌سازی کلاسیک در نظر گرفته‌ایم. می توان این روش را به مواردی تعمیم داد که متغیرها غیرمنفی باشند و برخی محدودیت ها به صورت نابرابری ارائه شوند. با این حال، این تعمیم عمدتاً نظری است و به الگوریتم‌های محاسباتی خاصی منجر نمی‌شود.

در نتیجه، ما یک تفسیر اقتصادی به ضرایب لاگرانژ می دهیم. برای انجام این کار، به ساده ترین مسئله بهینه سازی کلاسیک می پردازیم

حداکثر (دقیقه) z=f(ایکس 1 , ایکس 2); (7.24)

𝜑(x 1، x 2)=b. (7.25)

اجازه دهید فرض کنیم که حداکثر شرطی در نقطه به دست آمده است. مقدار شدید مربوط به تابع f(ایکس)

فرض کنید که در قیود (7.25) مقدار بمی تواند تغییر کند، سپس مختصات نقطه افراطی، و از این رو مقدار شدید f*کارکرد f(ایکس) بسته به مقدار تبدیل می شود ب، یعنی ,و بنابراین مشتق تابع (7.24)

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

شامل جایگزینی ثابت های دلخواه ck در جواب کلی است

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

متناظر معادله همگن

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

به توابع کمکی ck(t) که مشتقات آنها سیستم جبری خطی را برآورده می کند

تعیین کننده سیستم (1) Wronskian توابع z1,z2,...,zn است که حلالیت منحصر به فرد آن را با توجه به .

اگر در مقادیر ثابت ثابت های ادغام، پاد مشتق ها گرفته شده باشند، تابع

راه حلی برای معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی اصلی است. ادغام معادله ناهمگندر حضور یک راه حل کلی از معادله همگن مربوطه، بنابراین به ربع کاهش می یابد.

روش لاگرانژ (روش تغییرات ثابت دلخواه)

روشی برای به دست آوردن جواب کلی برای معادله ناهمگن، دانستن جواب کلی یک معادله همگن بدون یافتن جواب خاصی.

برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0،

که در آن y = y(x) یک تابع مجهول است، a1(x)، a2(x)، ...، an-1(x)، an(x) شناخته شده هستند، پیوسته، درست: 1) n به صورت خطی وجود دارد. حل های مستقل معادلات y1(x)، y2(x)، ...، yn(x); 2) برای هر مقدار از ثابت های c1، c2، ...، cn، تابع y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) یک حل معادله؛ 3) برای هر مقدار اولیه x0، y0، y0،1، ...، y0،n-1، مقادیر c*1، c*n، ...، c*n وجود دارد به طوری که راه حل y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) برای x = x0 شرایط اولیه y*(x0)=y0، ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

عبارت y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) نامیده می شود. راه حل مشترکمعادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n.

به مجموعه n راه حل مستقل خطی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه nام y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) سیستم بنیادی جواب های معادله می گویند.

برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابتیک الگوریتم ساده برای ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها وجود دارد. ما به دنبال حل معادله به شکل y(x) = exp(lx) خواهیم بود: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0، یعنی عدد l ریشه است معادله مشخصه ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. سمت چپ معادله مشخصه را چند جمله ای مشخصه یک معادله دیفرانسیل خطی می گویند: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. بنابراین، مسئله حل یک معادله همگن خطی مرتبه n با ضرایب ثابت به حل یک معادله جبری کاهش می یابد.

اگر معادله مشخصه دارای n ریشه واقعی متفاوت l1№ l2 № ... № ln باشد، سیستم اساسی راه حل ها از توابع y1(x) = exp(l1x)، y2(x) = exp(l2x)، تشکیل شده است. ..، yn (x) = exp(lnx) و جواب کلی معادله همگن است: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

یک سیستم اساسی از راه حل ها و یک راه حل کلی برای مورد ریشه های واقعی ساده.

اگر هر یک از ریشه های واقعی معادله مشخصه r بار تکرار شود (یک ریشه r برابر)، آنگاه توابع r با آن در سیستم اصلی راه حل ها مطابقت دارند. اگر lk=lk+1 = ... = lk+r-1، سپس در سیستم بنیادیراه حل های معادله، توابع r وجود دارد: yk(x) = exp(lkx)، yk+1(x) = xexp(lkx)، yk+2(x) = x2exp(lkx)، ...، yk+ r-1(x)=xr-1exp(lnx).

مثال 2. سیستم اساسی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های واقعی چندگانه.

اگر معادله مشخصه دارای ریشه های پیچیده باشد، آنگاه هر جفت ریشه های ساده (تکثر 1) مختلط lk,k+1=ak ± ibk در سیستم اصلی راه حل ها با یک جفت تابع yk(x) = exp(akx) مطابقت دارد. cos(bkx)، yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

مثال 4. سیستم بنیادی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های پیچیده ساده. ریشه های خیالی

اگر یک جفت ریشه مختلط دارای تعدد r باشد، چنین جفتی lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk، در سیستم بنیادی راه حل ها با توابع exp(akx)cos( bkx)، exp(akx)sin(bkx)، xexp(akx)cos(bkx)، xexp(akx)sin(bkx)، x2exp(akx)cos(bkx)، x2exp(akx)sin(bkx)، .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx)، xr-1exp(akx)sin(bkx).

مثال 5. سیستم اساسی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های پیچیده چندگانه.

بنابراین، برای یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت، باید: معادله مشخصه را یادداشت کنید. همه ریشه های معادله مشخصه l1, l2, ... , ln; سیستم اساسی راه حل های y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) را بنویسید. یک عبارت برای جواب کلی y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) بنویسید. برای حل مسئله کوشی باید عبارت جواب کلی را در شرایط اولیه جایگزین کرد و مقادیر ثابت های c1,..., cn را که راه حل های سیستم خطی هستند تعیین کرد. معادلات جبری c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی از مرتبه n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x)،

که در آن y = y(x) یک تابع مجهول است، a1(x)، a2(x)، ...، an-1(x)، an(x)، f(x) شناخته شده، پیوسته، معتبر هستند: 1 اگر y1(x) و y2(x) دو راه حل یک معادله ناهمگن باشند، تابع y(x) = y1(x) - y2(x) راه حلی برای معادله همگن مربوطه است. 2) اگر y1(x) حل معادله ناهمگن باشد و y2(x) جواب معادله همگن مربوطه باشد، تابع y(x) = y1(x) + y2(x) راه حلی است برای یک معادله ناهمگن؛ 3) اگر y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) n راه حل مستقل خطی معادله همگن باشند و ych(x) - تصمیم خودسرانهمعادله ناهمگن، سپس برای هر مقدار اولیه x0، y0، y0،1، ...، y0،n-1 مقادیر c*1، c*n، ...، c*n وجود دارد به طوری که راه حل y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) برای x = x0 شرایط اولیه y*( x0)=y0، (y*)"(x0)=y0،1، ...،(y*)(n-1)(x0)=y0،n-1.

عبارت y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) را حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه n می گویند.

برای یافتن راه حل های خاص ناهمگن معادلات دیفرانسیلبا ضرایب ثابت با سمت راست شکل: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx)، که در آن Pk(x)، Qm(x) چند جمله‌ای هستند از درجه k و m بر این اساس، یک الگوریتم ساده برای ساخت یک راه حل خاص وجود دارد که به آن روش انتخاب می گویند.

روش انتخاب یا روش ضرایب نامشخص به شرح زیر است. راه حل مورد نظر معادله به صورت زیر نوشته می شود: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs، که در آن Pr(x)، Qr(x) هستند. چند جمله ای درجه r = max(k, m) با ضرایب مجهول pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. عامل xs را عامل تشدید می نامند. رزونانس در مواردی اتفاق می افتد که در بین ریشه های معادله مشخصه یک ریشه l = a ± ib از تعدد s وجود دارد. آن ها اگر در بین ریشه های معادله مشخصه معادله همگن متناظر به گونه ای باشد که قسمت واقعی آن با ضریب توان توان منطبق باشد و قسمت خیالی با ضریب استدلال تابع مثلثاتی در سمت راست منطبق باشد. از معادله، و تعدد این ریشه s، سپس در راه حل خاص مورد نظر یک عامل تشدید xs وجود دارد. اگر چنین تصادفی وجود نداشته باشد (s=0)، فاکتور رزونانسی وجود ندارد.

با جایگزینی عبارت برای حل خاص در سمت چپ معادله، یک چند جمله ای تعمیم یافته به همان شکل چند جمله ای سمت راست معادله به دست می آوریم که ضرایب آن ناشناخته است.

دو چند جمله‌ای تعمیم‌یافته اگر و فقط در صورتی برابر هستند که ضرایب عوامل شکل xtexp(ax)sin(bx)، xtexp(ax)cos(bx) با توان‌های یکسان t برابر باشند. با معادل سازی ضرایب چنین عواملی، سیستمی از معادلات جبری خطی 2(r+1) در مجهولات 2(r+1) بدست می آوریم. می توان نشان داد که چنین سیستمی سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد.

نظریه مختصر

روش ضریب های لاگرانژ یک روش کلاسیک برای حل مسائل برنامه ریزی ریاضی (به ویژه محدب) است. متأسفانه، در کاربرد عملی روش، ممکن است مشکلات محاسباتی قابل توجهی رخ دهد که محدوده استفاده از آن را محدود می کند. ما در اینجا روش لاگرانژ را عمدتاً در نظر می گیریم زیرا دستگاهی است که به طور فعال برای توجیه روش های مختلف عددی مدرن که به طور گسترده در عمل استفاده می شوند استفاده می شود. در مورد تابع لاگرانژ و ضریب لاگرانژ، آنها نقش مستقل و بسیار مهمی در تئوری و کاربردهای نه تنها برنامه نویسی ریاضی دارند.

یک مسئله بهینه سازی کلاسیک را در نظر بگیرید:

در میان محدودیت‌های این مسئله، نابرابری وجود ندارد، شرایطی برای منفی نبودن متغیرها، گسستگی آنها و توابع وجود ندارد و پیوسته هستند و مشتقات جزئی حداقل مرتبه دوم دارند.

رویکرد کلاسیک برای حل مسئله، سیستمی از معادلات (شرایط ضروری) را ارائه می دهد که باید با نقطه ای که تابع را با یک انتها محلی در مجموعه نقاطی که محدودیت ها را برآورده می کند، برآورده شود (برای یک مسئله برنامه نویسی محدب، نقطه یافت شده). در همان زمان نقطه افراطی جهانی خواهد بود).

فرض می کنیم که تابع (1) دارای یک حد فاصل شرطی محلی در نقطه است و رتبه ماتریس برابر است با . سپس شرایط لازم را می توان به صورت زیر نوشت:

تابع لاگرانژ است. ضریب لاگرانژ هستند.

همچنین شرایط کافی وجود دارد که در آن حل سیستم معادلات (3) نقطه منتهی الیه تابع را تعیین می کند. این سوال بر اساس مطالعه علامت دیفرانسیل دوم تابع لاگرانژ حل شده است. با این حال، شرایط کافی عمدتاً مورد توجه نظری است.

شما می توانید روش زیر را برای حل مسئله (1)، (2) با روش ضریب لاگرانژ مشخص کنید:

1) تابع لاگرانژ (4) را بنویسید.

2) مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به همه متغیرها پیدا کرده و آنها را معادل سازی کنید.

صفر بنابراین، سیستم (3) متشکل از معادلات به دست می آید.سیستم حاصل را حل کنید (اگر ممکن است!) و بدین ترتیب تمام نقاط ثابت تابع لاگرانژ را بیابید.

3) از نقاط ثابتی که بدون مختصات گرفته شده اند، نقاطی را انتخاب کنید که در آن تابع در حضور محدودیت ها دارای منتهی الیه محلی شرطی باشد (2). این انتخاب برای مثال با استفاده از شرایط کافی برای یک اکستروم موضعی انجام می شود. اگر از شرایط خاص مشکل استفاده شود، اغلب مطالعه ساده می شود.

مثال حل مسئله

وظیفه

این شرکت دو نوع کالا را به مقدار و . تابع هزینه مفید با رابطه تعریف می شود. قیمت این کالاها در بازار به ترتیب برابر و برابر است.

تعیین کنید که حداکثر سود در چه حجمی از تولید به دست می آید و اگر مجموع هزینه ها از آن تجاوز نکند چه مقدار است.

آیا در درک فرآیند راه حل مشکل دارید؟ این سایت دارای خدمات حل مشکلات با روش های بهینه راه حل برای سفارش است

راه حل مشکل

مدل اقتصادی و ریاضی مسئله

تابع سود:

محدودیت هزینه:

ما مدل اقتصادی و ریاضی زیر را دریافت می کنیم:

علاوه بر این، با توجه به معنای تکلیف

روش ضریب لاگرانژ

بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم:

مشتقات جزئی مرتبه 1 را پیدا می کنیم:

ما سیستم معادلات را می سازیم و حل می کنیم:

از آن به بعد

حداکثر سود:

پاسخ

بنابراین تولید واحدها ضروری است. کالاهای نوع 1 و واحدها. کالاهای نوع 2 در این صورت سود حداکثر و 270 خواهد بود.
مثالی از حل مسئله برنامه نویسی محدب درجه دوم با روش گرافیکی آورده شده است.

حل مسئله خطی با روش گرافیکی
در نظر گرفته شده روش گرافیکیحل مسئله برنامه ریزی خطی (LPP) با دو متغیر. در مثال تکلیف، توصیف همراه با جزئیاتساختن نقشه و یافتن راه حل

مدل مدیریت موجودی ویلسون
در مثال حل مسئله، مدل اصلی مدیریت موجودی (مدل ویلسون) در نظر گرفته شده است. شاخص هایی از مدل را محاسبه کرد اندازه بهینهتعداد زیادی سفارش، هزینه های ذخیره سالانه، فاصله زمانی تحویل و نقطه سفارش.

ماتریس نسبت هزینه مستقیم و ماتریس ورودی- ستانده
در مثال حل مسئله، مدل بین بخشی لئونتیف در نظر گرفته شده است. محاسبه ماتریس ضرایب هزینه های مستقیم مواد، ماتریس "ورودی- ستانده"، ماتریس ضرایب هزینه های غیر مستقیم، بردارهای مصرف نهایی و تولید ناخالص نشان داده شده است.

روش لاگرانژروشی برای حل یک مسئله بهینه سازی شرطی است که در آن قیودها که به صورت توابع ضمنی نوشته شده اند با یک تابع هدف در قالب یک معادله جدید ترکیب می شوند. لاگرانژی.

یک مورد خاص از مشکل عمومی را در نظر بگیرید برنامه نویسی غیر خطی:

سیستم داده شده معادلات غیر خطی (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m)،

کوچکترین (یا بزرگترین) مقدار تابع (2) را پیدا کنید.

(2) f (х1،х2،…،хn)،

اگر شرایطی برای منفی نبودن متغیرها وجود نداشته باشد و f(x1,x2,…,xn) و gi(x1,x2,…,xn) توابعی هستند که همراه با مشتقات جزئی خود پیوسته هستند.

برای یافتن راه حلی برای این مشکل می توانید روش زیر را اعمال کنید: 1. مجموعه ای از متغیرهای λ1, λ2,…, λm را وارد کنید که ضریب لاگرانژ نامیده می شوند و تابع لاگرانژ را بسازید (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به متغیرهای xi و λi بیابید و آنها را با صفر برابر کنید.

3. حل سیستم معادلات، نقاطی را که در آن تابع هدفوظایف می تواند افراطی داشته باشد.

4. در بین نقاطی که مشکوک به اکستروم هستند، نقاطی را پیدا می کنند که در آنها به اکستروم رسیده است و مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه می کنند. .

4. مقادیر به دست آمده از تابع f را مقایسه کنید و بهترین را انتخاب کنید.

بر اساس برنامه تولید، این شرکت نیاز به تولید 180 محصول دارد. این محصولات را می توان به دو روش تکنولوژیکی تولید کرد. در تولید محصولات x1 به روش I هزینه ها 4 * x1 + x1 ^ 2 روبل و در ساخت محصولات x2 با روش II 8 * x2 + x2 ^ 2 روبل است. تعیین کنید که هر یک از راه ها چند محصول باید ساخته شود، به طوری که هزینه کل تولید حداقل باشد.

راه حل: فرمول ریاضی مسئله شامل تعیین است کوچکترین مقدارتوابع دو متغیر:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2، ارائه x1 +x2 = 180.

بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

مشتقات جزئی آن را با توجه به x1، x2، λ محاسبه می کنیم و آنها را با 0 برابر می کنیم:

دو معادله اول λ را به سمت راست منتقل می کنیم و سمت چپ آنها را معادل می کنیم، 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 یا x1 - x2 = 2 به دست می آوریم.

با حل آخرین معادله به همراه معادله x1 + x2 = 180، x1 = 91، x2 = 89 را پیدا می کنیم، یعنی جوابی به دست می آوریم که شرایط را برآورده می کند:

بیایید مقدار تابع هدف f را برای این مقادیر متغیرها پیدا کنیم:

F(x1، x2) = 17278

این نقطه برای یک افراطی مشکوک است. با استفاده از مشتقات جزئی دوم، می توانیم نشان دهیم که در نقطه (91.89) تابع f دارای حداقل است.

روش تعیین حداکثر شرطی با ساخت یک تابع لاگرانژ کمکی آغاز می شود که در منطقه راه حل های امکان پذیر، برای همان مقادیر متغیرها به حداکثر می رسد. ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ، که تابع هدف است z . اجازه دهید مشکل تعیین حدت شرطی تابع z=f(X) تحت محدودیت φ من ( ایکس 1 , ایکس 2 , ..., ایکس n ) = 0, من = 1, 2, ..., متر , متر < n

یک تابع بنویسید

که نامیده می شود تابع لاگرانژ. ایکس ، - عوامل ثابت ( ضرب کننده های لاگرانژ). توجه داشته باشید که به ضریب های لاگرانژ می توان معنای اقتصادی داد. اگر یک f(x 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) - درآمد طبق برنامه X = (x 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) ، و عملکرد φ من (ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) پس هزینه های منبع i-ام مربوط به این طرح است ایکس ، - قیمت (تخمین) منبع i، که تغییر در مقدار شدید تابع هدف را بسته به تغییر اندازه منبع iام (برآورد نهایی) مشخص می کند. L (X) - عملکرد n+m متغیرها (ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . تعیین نقاط ثابت این تابع به حل سیستم معادلات منجر می شود

دیدن آن آسان است . بنابراین، مشکل یافتن حد فاصل شرطی تابع z=f(X) به یافتن قسمت انتهایی محلی تابع کاهش می یابد L (X) . اگر نقطه ثابت پیدا شود، سؤال از وجود یک اکستریم در ساده ترین موارد بر اساس شرایط کافی برای اکستریم حل می شود - مطالعه علامت دیفرانسیل دوم. د 2 L (X) در یک نقطه ثابت، به شرطی که متغیر افزایش یابد Δx من - مرتبط با روابط

با تفکیک معادلات قید به دست می آید.

حل یک سیستم معادلات غیر خطی با دو مجهول با استفاده از ابزار حل

تنظیمات یافتن راه حلبه شما امکان می دهد برای یک سیستم معادلات غیر خطی با دو مجهول راه حل پیدا کنید:

جایی که
- تابع غیر خطی متغیرها ایکس و y ,
یک ثابت دلخواه است.

معلوم است که جفت ایکس , y ) جوابی است برای سیستم معادلات (10) اگر و فقط در صورتی که جواب معادله زیر در دو مجهول باشد:

از جانباز طرف دیگر، راه حل سیستم (10) نقطه تلاقی دو منحنی است: f ] (ایکس, y) = سی و f 2 (x، y) = C 2 روی سطح XOY.

از این روش روشی برای یافتن ریشه های سیستم دنبال می شود. معادلات غیر خطی:

(حداقل به طور تقریبی) فاصله وجود راه حل برای سیستم معادلات (10) یا معادله (11) را تعیین کنید. در اینجا لازم است به نوع معادلات موجود در سیستم، دامنه تعریف هر یک از معادلات آنها و غیره توجه شود. گاهی اوقات از انتخاب تقریب اولیه راه حل استفاده می شود.

حل معادله (11) را برای متغیرهای x و y در بازه انتخاب شده جدول بندی کنید یا نمودارهایی از توابع بسازید. f 1 (ایکس, y) = ج، و f 2 (x، y) = C 2 (سیستم (10)).

ریشه های تخمینی سیستم معادلات را بومی سازی کنید - چندین مقدار حداقل را از جدول جدول ریشه های معادله (11) پیدا کنید، یا نقاط تقاطع منحنی های موجود در سیستم (10) را تعیین کنید.

4. ریشه های سیستم معادلات (10) را با استفاده از افزونه پیدا کنید به دنبال راه حل باشید.