ثابت های دلخواه حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه بالاتر به روش لاگرانژ

سخنرانی 44. معادلات ناهمگن خطی مرتبه دوم. روش تغییر ثابت های دلخواه معادلات ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت. (سمت راست ویژه).

تحولات اجتماعی دولت و کلیسا.

سیاست اجتماعی بلشویک ها عمدتاً توسط رویکرد طبقاتی آنها دیکته می شد.با فرمان 10 نوامبر 1917، نظام املاک لغو شد، درجات، عناوین و جوایز قبل از انقلاب لغو شد. انتخاب قضات برقرار شده است. سکولاریزاسیون دولت های مدنی انجام شد. آموزش و مراقبت های پزشکی رایگان را تأسیس کرد (فرمان 31 اکتبر 1918). زنان از نظر حقوق با مردان برابر شدند (احکام 16 و 18 دسامبر 1917). مصوبه ازدواج نهاد ازدواج مدنی را معرفی کرد.

با فرمان شورای کمیسرهای خلق در 20 ژانویه 1918، کلیسا از دولت و از سیستم آموزشی جدا شد. بسیاری از اموال کلیسا مصادره شد. پاتریارک مسکو و تمام روسیه تیخون (انتخاب در 5 نوامبر 1917) در 19 ژانویه 1918 تحقیر شد. قدرت شورویو خواستار مبارزه با بلشویک ها شد.

یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم را در نظر بگیرید

ساختار جواب کلی چنین معادله ای با قضیه زیر تعیین می شود:

قضیه 1.راه حل کلی نیست معادله همگن(1) به عنوان مجموع حل خاصی از این معادله و حل کلی معادله همگن مربوطه نشان داده می شود.

(2)

اثبات. ما باید ثابت کنیم که مجموع

وجود دارد تصمیم مشترکمعادلات (1). اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که تابع (3) جواب معادله (1) است.

جایگزین کردن مجموع به معادله (1) به جای در، خواهد داشت

از آنجایی که معادله (2) جواب دارد، عبارت در پرانتز اول به طور یکسان برابر با صفر است. از آنجایی که معادله (1) جواب دارد، عبارت در پرانتز دوم برابر است با f(x). بنابراین برابری (4) یک هویت است. بنابراین قسمت اول قضیه ثابت می شود.

اجازه دهید ادعای دوم را ثابت کنیم: عبارت (3) است عمومیحل معادله (1). ما باید ثابت کنیم که ثابت های دلخواه موجود در این عبارت را می توان طوری انتخاب کرد که شرایط اولیه برآورده شود:

(5)

اعداد هر چه باشد x 0، y 0و (اگر فقط x 0از منطقه ای که توابع در آن کار می کند گرفته شده است a 1، a 2و f(x)مداوم).

با توجه به اینکه می توان آن را در فرم نشان داد . سپس بر اساس شرایط (5) داریم

بیایید این سیستم را حل کنیم و پیدا کنیم از 1و از 2. بیایید سیستم را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(6)

توجه داشته باشید که تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده Wronsky برای توابع است 1و در 2در نقطه x=x 0. از آنجایی که این توابع با فرض مستقل هستند، تعیین کننده Wronsky برابر با صفر نیست. از این رو سیستم (6) یک راه حل قطعی دارد از 1و از 2، یعنی چنین ارزش هایی وجود دارد از 1و از 2، که فرمول (3) حل معادله (1) را تعیین می کند که شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند. Q.E.D.

بیایید به ادامه مطلب برویم روش رایجیافتن راه حل های خاص برای یک معادله ناهمگن

اجازه دهید حل کلی معادله همگن (2) را بنویسیم.

. (7)

ما به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن (1) در شکل (7) خواهیم بود، با توجه به از 1و از 2به عنوان برخی از ویژگی های هنوز ناشناخته از ایکس.

اجازه دهید برابری را متمایز کنیم (7):

توابع مورد نظر را انتخاب می کنیم از 1و از 2به طوری که برابری

. (8)

اگر این شرط اضافی در نظر گرفته شود، اولین مشتق شکل می گیرد

.

حال با تفکیک این عبارت، متوجه می شویم:

با جایگزینی معادله (1)، به دست می آوریم

عبارات در دو پرانتز اول ناپدید می شوند زیرا y 1و y2راه حل های یک معادله همگن هستند. بنابراین آخرین برابری شکل می گیرد

. (9)

بنابراین، تابع (7) راه حلی برای معادله ناهمگن (1) خواهد بود اگر توابع باشد از 1و از 2معادلات (8) و (9) را برآورده کنید. اجازه دهید از معادلات (8) و (9) سیستمی از معادلات بسازیم.

از آنجایی که تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده ورونسکی برای راه حل های مستقل خطی است y 1و y2معادله (2)، پس برابر با صفر نیست. بنابراین، با حل سیستم، هر دو عملکرد مشخصی از آن را خواهیم یافت ایکس.

برای یافتن جواب کلی y'' + (x) y' + (x) y = f (x) لازم است یک راه حل خاص پیدا کنیم.

می توان آن را از حل کلی معادله y'' + (x) y' + (x) y = 0 برخی از تغییرات ثابت دلخواه پیدا کرد.

جایگزین در (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) += f(x)

+ + + + (x) +

(x) += f(x)

با ادغام پیدا می کنیم و

سپس با استفاده از فرمول (5.6) جواب کلی را می سازیم

قضیه (5.2): تحمیل یک راه حل

اگر سمت راست معادله y'' + (x) y' + (x) y = f (x) مجموع 2 تابع باشد:

f(x) = (x) + (x) ,

و u یک راه حل خاص معادله است

+ (x) y' + (x) y = (x)

+ (x) y' + (x) y = (x)

آن تابع

راه حل این معادله است

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

10. معادله برنولی.

11. معادله ریکاتی.:

معادله ریکاتییکی از جالب ترین هاست غیر خطی معادلات دیفرانسیلسفارش اول. به این شکل نوشته شده است:

جایی که آ(ایکس), ب(ایکس), ج(ایکس) بسته به متغیر تابع پیوسته هستند ایکس.

معادله ریکاتی در حوزه‌های مختلفی از ریاضیات (مثلاً در هندسه جبری و در تئوری نگاشت‌های هم‌شکل) و فیزیک رخ می‌دهد. همچنین اغلب در مسائل ریاضی کاربردی به وجود می آید.

معادله فوق نامیده می شود معادله کلیریکاتی. راه حل او بر اساس قضیه زیر است:

قضیه: اگر راه حل خاصی شناخته شده باشد y 1 از معادله ریکاتی، سپس جواب کلی آن توسط

در واقع، جایگزین راه حل y=y 1 + تودر معادله ریکاتی داریم:

عبارت های خط کشیده شده در سمت چپ و راست را می توان کوتاه کرد زیرا y 1 راه حل خاصی است که معادله را برآورده می کند. در نتیجه یک معادله دیفرانسیل برای تابع بدست می آوریم تو(ایکس):

نوع دوم ریکاتی (فقط یکی از آنها را بنویسید)

AT مورد کلیدر ربع ادغام نشده است

با این حال، اگر یک راه حل خاص شناخته شود، می توان معادله ریکاتی را به معادله برنولی تقلیل داد.

برای انجام این کار، بیایید جایگزینی را انجام دهیم:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z + q(x) = 0

Z(p(x) + 2q(x)) + q(x) =0

n=2 برنولی

12. معادله لاگرانژ.:

13. معادله Clairaut.:

14. معادلات دیفرانسیل از مرتبه بالاتر از اولی. موارد تنزل رتبه.

15. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n. ورونسکیان سیستم تصمیم گیری اساسی:

16. معادلات دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت. معادله مشخصه:

یک مورد خاص از همگن خطی بالا

معادلات دیفرانسیل LODE با ثابت هستند

ضرایب

17. معادلات ناهمگن خطی. یافتن یک جواب خاص در مورد معادله ای با شبه چند جمله ای:

شبه چند جمله ای اویلر:اجازه دهید یک LIDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) شما می توانید با روش لاگرانژ به دنبال راه حل خاصی بگردید، اما در برخی موارد می توانید آن را راحت تر پیدا کنید، این موارد را در نظر بگیرید: 1. f(x) = , -چند جمله ای درجه n. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). در این موارد، f(x) را شبه چند جمله ای اویلر می نامند. در این موارد، شکل مورد انتظار راه حل را با ضرایب نامشخص بنویسید و آن را با معادله (5.1) جایگزین کنید. از هویت به دست آمده مقدار ضرایب را پیدا کنید. مورد 1 : سمت راست (5.7) به شکل: f(x) = α R -چند جمله ای درجه n است. معادله (5.7) به صورت: y” + p y” + q y = نوشته می شود (5.8) در این مورد، ما به دنبال یک راه حل خاص به شکل: = Qn (x) هستیم. (5.9) که r عدد = ضرب های α به عنوان ریشه معادله مشخصه + pk + q = 0 است، یعنی. r عددی است که نشان می‌دهد چند بار α ریشه ur-i + p k + q = 0 است، در حالی که Qn (x) = + + …. + A n چند جمله ای درجه n است که با ضرایب نامشخص Ai نوشته می شود (i= 0, 1, 2,…n) α , r = 0 و راه حل به شکل = Q n (x) جست و جو می شود. ب) فرض کنید α یک ریشه واحد (ساده) از معادله مشخصه + pk + q = 0، α = r = 1، = x Q باشد. n (x) ج) فرض کنید α = یک ریشه 2 برابری معادله مشخصه باشد + p k + q = 0 , r = 2 = Q n (x) مورد 2: سمت راست (5.7) به این شکل است: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , که در آن ) و Qm (x) به ترتیب چند جمله ای با درجه n و m هستند، α و β اعداد واقعی هستند، سپس معادله (5.7) به صورت y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ نوشته می شود) (5.10) در این حالت، جواب خاص این است: = * (Ml (x ) cosβx + Nl (x) sin βx) (5.11) عدد r برابر با تعدد (α + βi) به عنوان ریشه معادله: + pk + q = 0، Me (x) و Ne (x) هستند. چند جمله ای درجه l با ضرایب نامعین. ل - بالاترین درجهچند جمله ای ها ) و Qm (x)، l =max(n,m). یادداشت 1: پس از جایگزینی تابع (5.11) به (5.10)، چند جمله ای های مقابل مثلثی به همین نام برابر می شوند. توابع در سمت چپ و راست معادله. تبصره 2 : فرمول (5.11) نیز برای 0 و Qm (x) 0 حفظ می شود. تبصره 3 : اگر سمت راست معادله (5.7) مجموع توابع شکل 1 و 2 باشد، برای یافتن باید از قضیه (5.2) در مورد تحمیل جوابها استفاده کرد. قضیه (5.2): در تحمیل راه حل ها: اگر قسمت های سمت راست معادله (5.1) مجموع 2 تابع باشد: f(x) = (x) + (x) و u راه حل های جزئی معادله + (x) y ' + (x) y = (x) هستند. ) + (x) y ' + (x) y = (x) ادغام مرتبه n LIDE (n ضریب ثابت و سمت راست یک فرم خاص. اجازه دهید یک مرتبه n LIDE + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) را در نظر بگیریم که در آن (x) , …, (x) , f(x) داده شده است. عملکرد پیوستهدر بازه (a, b) . پاسخ همگن ur-e + (x) + ... + (x)y = 0 . جواب کلی y از مرتبه n ام LNDE = مجموع جواب خاص NU و جواب کلی OU y= . اگر جواب کلی OU = + + ... + شناخته شود 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) را می توان یافت. نوع خاصروش انتخاب یک جواب خاص برای معادله y '' + + ... + y \u003d f (x) R، که در آن f (x) شبه چند جمله‌ای اویلر است. مانند n=2 است.

یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را در نظر بگیرید:
(1) .
سه راه برای حل این معادله وجود دارد:

• روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).

حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را با روش لاگرانژ در نظر بگیرید.

روش تغییرات ثابت (لاگرانژ)

در روش تغییرات ثابت معادله را در دو مرحله حل می کنیم. در مرحله اول، معادله اصلی را ساده کرده و معادله همگن را حل می کنیم. در مرحله دوم، ثابت یکپارچگی به دست آمده در مرحله اول حل را با یک تابع جایگزین می کنیم. سپس به دنبال جواب کلی معادله اصلی می گردیم.

معادله را در نظر بگیرید:
(1)

مرحله 1 حل معادله همگن

ما به دنبال راه حلی برای معادله همگن هستیم:

این یک معادله قابل تفکیک است

متغیرها را جدا کنید - ضرب در dx، تقسیم بر y:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال بر روی y - جدولی:

سپس

تقویت کردن:

اجازه دهید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علامت مدول را حذف کنیم که به ضرب در ثابت کاهش می یابد. ± 1، که در C قرار می دهیم:

مرحله 2 ثابت C را با تابع جایگزین کنید

حالا ثابت C را با تابع x جایگزین می کنیم:
c → u (ایکس)
یعنی به دنبال حل معادله اصلی خواهیم بود (1) مانند:
(2)
مشتق را پیدا می کنیم.

طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.
طبق قانون تمایز محصول:

.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم (1) :
(1) ;

.
دو عبارت کاهش می یابد:
;
.
ما ادغام می کنیم:
.
جایگزین در (2) :
.
در نتیجه، جواب کلی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را به دست می آوریم:
.

نمونه ای از حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش لاگرانژ

معادله را حل کنید

راه حل

معادله همگن را حل می کنیم:

جداسازی متغیرها:

بیایید ضرب کنیم:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال های جدول:

تقویت کردن:

بیایید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علائم مدول را حذف کنیم:

از اینجا:

بیایید ثابت C را با تابع x جایگزین کنیم:
c → u (ایکس)

مشتق را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم:
;
;
یا:
;
.
ما ادغام می کنیم:
;
حل معادله:
.

اکنون معادله ناهمگن خطی را در نظر بگیرید
. (2)
بگذارید y 1,y 2,.., y n - سیستم بنیادیجواب می دهد و جواب کلی معادله همگن متناظر L(y)=0 است. مشابه معادلات مرتبه اول، ما به دنبال حل معادله (2) در شکل خواهیم بود.
. (3)
اجازه دهید بررسی کنیم که راه حلی به این شکل وجود دارد. برای انجام این کار، تابع را جایگزین معادله می کنیم. برای جایگزینی این تابع در معادله، مشتقات آن را پیدا می کنیم. مشتق اول است
. (4)
هنگام محاسبه مشتق دوم، چهار جمله در سمت راست (4)، هنگام محاسبه مشتق سوم، هشت عبارت ظاهر می شود و غیره. بنابراین، برای راحتی محاسبات بعدی، جمله اول در (4) برابر با صفر در نظر گرفته شده است. با این حساب، مشتق دوم برابر است با
. (5)
به همان دلایل قبلی، در (5) جمله اول را نیز برابر صفر قرار دادیم. سرانجام، مشتق n امبرابر است با
. (6)
با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به معادله اصلی، داریم
. (7)
جمله دوم در (7) برابر با صفر است، زیرا توابع y j , j=1,2,..,n راه حل های معادله همگن متناظر L(y)=0 هستند. با ترکیب قبلی، سیستم را دریافت می کنیم معادلات جبریبرای یافتن توابع C" j (x)
(8)
تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده ورونسکی سیستم اساسی راه حل های y 1 ,y 2 ,..,y n معادله همگن متناظر L(y)=0 است و بنابراین برابر با صفر نیست. بنابراین، وجود دارد تنها تصمیمسیستم ها (8). با یافتن آن، توابع C "j (x)، j=1،2،…،n، و در نتیجه، C j (x)، j=1،2،…، n را به دست می آوریم و این مقادیر را جایگزین می کنیم. (3)، حل معادله ناهمگن خطی را به دست می آوریم.
روش توصیف شده روش تغییر یک ثابت دلخواه یا روش لاگرانژ نامیده می شود.

حداکثر درجه مشتق 2 3 4 5 6

مثال شماره 1. جواب کلی معادله y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x را بیابید. معادله همگن مربوطه را در نظر بگیرید y "" + 4y" + 3y = 0. ریشه های آن معادله مشخصه r 2 + 4r + 3 = 0 -1 و -3 هستند. بنابراین، سیستم اساسی راه حل های یک معادله همگن از توابع y 1 = e - x و y 2 = e -3 x تشکیل شده است. ما به دنبال راه حلی برای یک معادله ناهمگن به شکل y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x هستیم. برای یافتن مشتقات C " 1 , C " 2 سیستمی از معادلات (8) می سازیم.

حل آن، پیدا می کنیم، ادغام توابع به دست آمده، داریم
بالاخره می رسیم

مثال شماره 2. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت با روش تغییر ثابت دلخواه:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

راه حل:
این معادله دیفرانسیل متعلق به معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت است.
حل معادله را به شکل y = e rx جستجو می کنیم. برای انجام این کار، معادله مشخصه یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت را می سازیم:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

ریشه های معادله مشخصه: r 1 = 4، r 2 = 2
بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها توابع است:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
جواب کلی معادله همگن به شکل زیر است:

یک راه حل خاص را با روش تغییر یک ثابت دلخواه جستجو کنید.
برای یافتن مشتقات C "i، سیستمی از معادلات را می سازیم:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
بیان C" 1 از معادله اول:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
و در دومی جایگزین کنید. در نتیجه، دریافت می کنیم:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
ما توابع به دست آمده C" i را ادغام می کنیم:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

از آنجا که ، سپس عبارات به دست آمده را به شکل زیر می نویسیم:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) - 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
بنابراین، حل کلی معادله دیفرانسیل به شکل زیر است:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
یا
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

ما یک راه حل خاص را تحت شرایط زیر پیدا می کنیم:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

با جایگزینی x = 0 در معادله یافت شده، به دست می آوریم:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
اولین مشتق از راه حل کلی به دست آمده را پیدا می کنیم:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
با جایگزینی x = 0، دریافت می کنیم:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 + 4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

ما یک سیستم از دو معادله بدست می آوریم:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
یا
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
یا
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
جایی که:
C1=0، C*2=2
یک راه حل خاص به صورت زیر نوشته می شود:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی با ضرایب ثابت از مرتبه n دلخواه را در نظر بگیرید:
(1) .
روش تغییرات ثابت که برای معادله مرتبه اول در نظر گرفتیم برای معادلات مرتبه بالاتر نیز قابل استفاده است.

راه حل در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول سمت راست را کنار می گذاریم و معادله همگن را حل می کنیم. در نتیجه راه حلی حاوی n ثابت دلخواه به دست می آوریم. در مرحله دوم، ثابت ها را تغییر می دهیم. یعنی در نظر می گیریم که این ثابت ها توابعی از متغیر مستقل x هستند و شکل این توابع را پیدا می کنیم.

اگرچه در اینجا معادلات با ضرایب ثابت را در نظر می گیریم، اما روش لاگرانژ برای حل هر خطی نیز قابل استفاده است معادلات ناهمگن . برای این، با این حال، سیستم اساسی راه حل های معادله همگن باید شناخته شود.

مرحله 1. حل معادله همگن

همانطور که در مورد معادلات مرتبه اول، ابتدا به دنبال حل کلی معادله همگن با معادل سازی سمت راست هستیم. بخش ناهمگنبه صفر:
(2) .
جواب کلی چنین معادله ای به شکل زیر است:
(3) .
در اینجا ثابت های دلخواه وجود دارد. - n راه حل مستقل خطی معادله همگن (2) که سیستم اساسی جواب های این معادله را تشکیل می دهند.

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

در مرحله دوم به تغییرات ثابت ها می پردازیم. به عبارت دیگر، ما ثابت ها را با توابع متغیر مستقل x جایگزین می کنیم:
.
یعنی ما به دنبال حل معادله اصلی (1) به شکل زیر هستیم:
(4) .

اگر (4) را به (1) جایگزین کنیم، یک معادله دیفرانسیل برای n تابع بدست می آوریم. در این صورت می توانیم این توابع را با معادلات اضافی به هم وصل کنیم. سپس n معادله به دست می آورید که از آن می توانید n تابع را تعیین کنید. معادلات اضافی را می توان ساخت روش های مختلف. اما ما این کار را به گونه ای انجام خواهیم داد که راه حل ساده ترین شکل را داشته باشد. برای انجام این کار، هنگام تمایز، باید با عبارت های صفر حاوی مشتقات توابع برابری کنید. بیایید این را نشان دهیم.

برای جایگزینی جواب پیشنهادی (4) به معادله اصلی (1)، باید مشتقات n مرتبه اول تابع را که به شکل (4) نوشته شده است، پیدا کنیم. (4) را با اعمال متمایز کنید قوانین تمایز جمعو آثار:
.
بیایید اعضا را گروه بندی کنیم. ابتدا عبارات را با مشتقات و سپس اصطلاحات را با مشتقات می نویسیم:

.
شرط اول را بر توابع تحمیل می کنیم:
(5.1) .
سپس عبارت اولین مشتق با توجه به شکل ساده تری خواهد داشت:
(6.1) .

به همین ترتیب، مشتق دوم را پیدا می کنیم:

.
شرط دوم را بر توابع تحمیل می کنیم:
(5.2) .
سپس
(6.2) .
و غیره. تحت شرایط اضافی، عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر می کنیم.

بنابراین، اگر معادلات اضافی زیر را برای توابع انتخاب کنیم:
(5.k) ,
سپس اولین مشتقات نسبت به ساده ترین شکل را خواهند داشت:
(6.k) .
اینجا .

مشتق n را پیدا می کنیم:
(6.n)
.

معادله اصلی (1) را جایگزین می کنیم:
(1) ;






.
ما در نظر می گیریم که همه توابع معادله (2) را برآورده می کنند:
.
سپس مجموع عبارت های حاوی صفر را به دست می دهیم. در نتیجه، دریافت می کنیم:
(7) .

در نتیجه ما یک سیستم داریم معادلات خطیبرای مشتقات:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

با حل این سیستم، عباراتی برای مشتقات به عنوان توابع x پیدا می کنیم. با ادغام، دریافت می کنیم:
.
در اینجا، ثابت هایی هستند که دیگر به x وابسته نیستند. با جایگزینی (4)، جواب کلی معادله اصلی را بدست می آوریم.

توجه داشته باشید که ما هرگز از ثابت بودن ضرایب a i برای تعیین مقادیر مشتقات استفاده نکردیم. از همین رو روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی قابل استفاده است، اگر سیستم اساسی حل معادله همگن (2) شناخته شده باشد.

مثال ها

حل معادلات با روش تغییر ضرایب (لاگرانژ).