ریشه مربع با دست. کار تحقیقی با موضوع: استخراج ریشه های مربع از اعداد بزرگ بدون ماشین حساب

اغلب، هنگام حل مسائل، با اعداد زیادی مواجه می شویم که باید از آنها استخراج کنیم ریشه دوم . بسیاری از دانش آموزان تصمیم می گیرند که این یک اشتباه است و شروع به حل کل مثال می کنند. تحت هیچ شرایطی نباید این کار را انجام داد! دو دلیل برای این وجود دارد:

1. ریشه از اعداد بزرگدر واقع در وظایف رخ می دهد. به خصوص در متن؛
2. الگوریتمی وجود دارد که توسط آن این ریشه ها تقریباً به صورت کلامی در نظر گرفته می شوند.

ما امروز این الگوریتم را در نظر خواهیم گرفت. شاید برخی چیزها برای شما نامفهوم به نظر برسد. اما اگر به این درس توجه کنید، خواهید گرفت قوی ترین سلاحدر برابر ریشه های مربع .

بنابراین الگوریتم:

1. ریشه مورد نظر در بالا و پایین را به مضرب 10 محدود کنید. بنابراین، محدوده جستجو را به 10 عدد کاهش می دهیم.
2. از این 10 عدد، آنهایی را که قطعاً نمی توانند ریشه باشند، حذف کنید. در نتیجه، 1-2 عدد باقی می ماند.
3. این 1-2 اعداد را مربع کنید. از آنها که مربع آن برابر با عدد اصلی است، ریشه خواهد بود.

قبل از استفاده از این الگوریتم در عمل، اجازه دهید به هر مرحله جداگانه نگاه کنیم.

محدودیت ریشه ها

اول از همه، باید بفهمیم که ریشه ما بین کدام اعداد قرار دارد. بسیار مطلوب است که اعداد مضرب ده باشند:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

یک سری اعداد بدست می آوریم:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

این اعداد به ما چه می دهند؟ ساده است: ما مرزها را می گیریم. به عنوان مثال عدد 1296 را در نظر بگیرید. بین 900 و 1600 قرار دارد. بنابراین ریشه آن نمی تواند کمتر از 30 و بزرگتر از 40 باشد.

[شرح تصویر]

در مورد هر عدد دیگری که بتوان از آن جذر جذر را پیدا کرد نیز همینطور است. به عنوان مثال، 3364:

[شرح تصویر]

بنابراین، به جای یک عدد نامفهوم، یک محدوده بسیار خاص دریافت می کنیم که ریشه اصلی در آن قرار دارد. برای محدودتر کردن دامنه جستجو، به مرحله دوم بروید.

حذف اعداد آشکارا زائد

بنابراین، ما 10 عدد داریم - نامزد برای ریشه. ما آنها را خیلی سریع و بدون تفکر پیچیده و ضرب در یک ستون دریافت کردیم. وقت آن است که ادامه دهیم.

باور کنید یا نه، اکنون تعداد نامزدها را به دو نفر کاهش می دهیم - و دوباره بدون هیچ محاسبات پیچیده ای! کافی است قاعده خاص را بدانید. ایناهاش:

آخرین رقم مربع فقط به رقم آخر بستگی دارد شماره اصلی.

به عبارت دیگر، کافی است به آخرین رقم مربع نگاه کنیم - و بلافاصله متوجه خواهیم شد که عدد اصلی به کجا ختم می شود.

فقط 10 رقم وجود دارد که می تواند در آخرین مکان باشد. بیایید سعی کنیم دریابیم که وقتی مربع می شوند به چه چیزی تبدیل می شوند. به جدول نگاه کنید:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

این جدول گام دیگری برای محاسبه ریشه است. همانطور که می بینید، اعداد در خط دوم با توجه به پنج متقارن شدند. مثلا:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

همانطور که می بینید، رقم آخر در هر دو مورد یکسان است. و این بدان معنی است که مثلاً ریشه 3364 لزوماً به 2 یا 8 ختم می شود. از طرف دیگر محدودیت پاراگراف قبل را به خاطر می آوریم. ما گرفتیم:

[شرح تصویر]

مربع های قرمز نشان می دهد که ما هنوز این رقم را نمی دانیم. اما در نهایت، ریشه بین 50 و 60 نهفته است، که در آن فقط دو عدد وجود دارد که به 2 و 8 ختم می شوند:

[شرح تصویر]

همین! از بین همه ریشه های ممکن، ما فقط دو گزینه باقی گذاشتیم! و این در سخت ترین حالت است، زیرا رقم آخر می تواند 5 یا 0 باشد. و سپس تنها نامزد برای ریشه ها باقی می ماند!

محاسبات نهایی

بنابراین، ما 2 شماره نامزد باقی مانده است. چگونه می دانید ریشه کدام یک است؟ پاسخ واضح است: هر دو عدد را مربع کنید. عددی که مربع می شود، عدد اصلی را می دهد و ریشه خواهد بود.

به عنوان مثال، برای عدد 3364، دو عدد نامزد پیدا کردیم: 52 و 58. اجازه دهید آنها را مربع کنیم:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

همین! معلوم شد که ریشه 58 است! در عین حال برای ساده کردن محاسبات از فرمول مجذورات حاصل جمع و تفاضل استفاده کردم. با تشکر از این، شما حتی مجبور نیستید اعداد را در یک ستون ضرب کنید! این یک سطح دیگر از بهینه سازی محاسبات است، اما، البته، کاملا اختیاری است :)

مثال های محاسبه ریشه

البته تئوری خوب است. اما بیایید آن را در عمل آزمایش کنیم.

[شرح تصویر]

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 576 بین کدام اعداد قرار دارد:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

حالا بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم. برابر 6 است. چه زمانی این اتفاق می افتد؟ فقط اگر ریشه به 4 یا 6 ختم شود. دو عدد بدست می آوریم:

باقی مانده است که هر عدد را مربع کنید و با عدد اصلی مقایسه کنید:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عالی! مربع اول برابر با عدد اصلی بود. پس این ریشه است.

یک وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[شرح تصویر]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم:

1369 → 9;
33; 37.

بیایید آن را مربع کنیم:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

پاسخ این است: 37.

یک وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[شرح تصویر]

ما تعداد را محدود می کنیم:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم:

2704 → 4;
52; 58.

بیایید آن را مربع کنیم:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

جواب گرفتیم: 52. عدد دوم دیگر نیازی به مربع شدن ندارد.

یک وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[شرح تصویر]

ما تعداد را محدود می کنیم:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم:

4225 → 5;
65.

همانطور که می بینید بعد از مرحله دوم فقط یک گزینه باقی می ماند: 65. این همان روت مورد نظر است. اما بیایید همچنان آن را مربع کنیم و بررسی کنیم:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

همه چیز درست است. پاسخ را یادداشت می کنیم.

نتیجه

افسوس، بهتر نیست. بیایید نگاهی به دلایل بیاندازیم. دو تا از آنها وجود دارد:

• استفاده از ماشین حساب در هر امتحان ریاضی معمولی، چه GIA و چه در آزمون یکپارچه دولتی ممنوع است. و برای حمل ماشین حساب به کلاس درس، به راحتی می توان آنها را از امتحان اخراج کرد.
• مثل آمریکایی های احمق نباشید. که مانند ریشه نیستند - دوتا هستند اعداد اولنمی تواند تا شود و با دیدن کسری ها عموما دچار هیستریک می شوند.

جذر چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع هست و تفریق. ضرب وجود دارد و تقسیم وجود دارد. مربع وجود دارد ... بنابراین نیز وجود دارد استخراج ریشه دوم!همین. این اقدام ( گرفتن جذر) در ریاضیات با این نماد نشان داده می شود:

خود نماد نامیده می شود کلمه زیبا "افراطی".

چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است در نظر بگیرید مثال ها.

جذر 9 چقدر است؟ و چه عددی به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:

جذر صفر چقدر است؟ مشکلی نیست! مربع صفر چه عددی را به دست می دهد؟ بله خودش صفر میده! به معنای:

گرفتار جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; یک چهار 9; 5.

تصمیم گرفت؟ واقعاً خیلی راحت تر است!

اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟

انسان شروع به حسرت می کند... او به سادگی و سبکی ریشه ها اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...

این به این دلیل است که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها وحشیانه از آزمون ها و امتحانات انتقام می گیرند ...

نقطه یک ریشه ها را باید با دید تشخیص داد!

جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی هفت نفر هستند؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ به درستی! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49، ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا ممکن است از دست بدهند...

سختی در آنجا نهفته است استخراج ریشه. مربع کردنهر شماره ای بدون هیچ مشکلی امکان پذیر است. عدد را در خود در یک ستون ضرب کنید - و بس. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و بی دردسری وجود ندارد. حساب برای سوار کردنپاسخ دهید و آن را برای ضربه با مربع بررسی کنید.

این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید - این چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ بلافاصله 24 ظاهر می شود. اگرچه، همه آن را ندارند، بله ...

برای کار رایگان و موفق با ریشه کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو را نام ببرید، مثلاً 11 مربع و جذر 121. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این با مثال کمک زیادی خواهد کرد. دوم، تصمیم بگیرید نمونه های بیشتر. یادآوری جدول مربع ها بسیار خوب است.

و بدون ماشین حساب! فقط برای تایید در غیر این صورت، شما در طول امتحان بی رحمانه سرعت خود را کاهش خواهید داد ...

بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم قابل درک است. حالا بیایید بفهمیم از چه چیزی می توانید آنها را استخراج کنید.

نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!

از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریبا هر. فهمیدن چی راحت تره ممنوع استآنها را استخراج کنید

بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:

برای انجام این کار، باید عددی را انتخاب کنید که مربع آن -4 را به ما بدهد. انتخاب می کنیم.

چه چیزی انتخاب نشده است؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین ... هیچ عددی وجود ندارد که با مجذور شدن به ما یک عدد منفی بدهد! با اینکه اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم.) به دانشگاه بروید و خودتان متوجه شوید.

همین داستان با هر عدد منفی خواهد بود. از این رو نتیجه گیری:

عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر باشد - معنی ندارد! این یک عملیات ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر ممنوع است. این واقعیت را در نظر داشته باشید!یا به عبارت دیگر:

از اعداد منفی نمی توان جذر را استخراج کرد!

اما از بقیه - شما می توانید. به عنوان مثال، امکان محاسبه وجود دارد

در نگاه اول، این بسیار دشوار است. کسرها را بردارید، اما مربع... نگران نباشید. وقتی به خواص ریشه ها می پردازیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!

کسری خوب. اما هنوز با عباراتی مانند:

مشکلی نیست. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن آن یک دس به ما می دهد. فقط عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:

جالب است که این کسر هرگز تمام نمی شود ... چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند. در ریشه های مربع، این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:

اگر هنگام حل مثال، چیزی را دریافت کردید که قابل استخراج نیست، مانند:

سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.

شما باید به وضوح درک کنید که زیر نمادها چیست

البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف در فرم مثلا

پاسخ کاملا کامل

و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:

این دانش به ارزیابی موقعیت در کارهای پیچیده کمک زیادی می کند.

نقطه سه حیله گر ترین.

سردرگمی اصلی در کار با ریشه فقط به همین مد می رسد. اوست که به خود شک می کند... بیایید با این مد به درستی برخورد کنیم!

برای شروع، ما دوباره جذر چهار آنها را استخراج می کنیم. چی، من قبلا تو رو با این ریشه گرفتم؟) هیچی، حالا جالب میشه!

در مربع 4 چه عددی به دست می آید؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...

درست. دو اما همچنین منهای دوخواهد داد 4 مربع ... در همین حال، پاسخ

درست و جواب

اشتباه فاحش. مثل این.

پس قضیه چیه؟

در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب ... این هم جذر چهار است.

ولی! در درس ریاضی مدرسه، مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت. حتی یک اصطلاح خاص ابداع شد: از شماره آ- این هست غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج ریشه مربع حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، تمام ریشه های مربع - حسابی. اگرچه به طور خاص ذکر نشده است.

خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است با نتایج منفی به هم نخورید... هنوز سردرگمی نیست.

سردرگمی از حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.

معادله ساده است، پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):

این پاسخ (به هر حال کاملاً صحیح) فقط یک علامت اختصاری است دوپاسخ می دهد:

ایست ایست! کمی بالاتر نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (اما نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (صرفاً برای درک!) اینگونه بنویسیم:

پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. من فقط با پرانتز جدا شدم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح دیده می شود که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. بالاخره هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه x، که با جایگزینی معادله اصلی، نتیجه صحیح را به دست می دهد. ریشه پنج (مثبت!) برای معادله ما با هر دو مثبت و منفی مناسب است.

مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی که شما همیشهگرفتن یکی غیر منفینتیجه مثلا:

زیرا آن - جذر حسابی.

اما اگر معادله درجه دوم را حل کنید:

سپس همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):

زیرا حل معادله است.

امید، جذر چیستبا امتیازاتت درست متوجه شدی اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه مدها و جعبه های زیر آب ... ببخشید، سنگ ها!)

همه اینها - در درس های بعدی.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

قبل از ظهور ماشین حساب ها، دانش آموزان و معلمان ریشه های مربع را با دست محاسبه می کردند. روش های مختلفی برای محاسبه دستی جذر یک عدد وجود دارد. برخی از آنها فقط یک راه حل تقریبی ارائه می دهند، برخی دیگر پاسخ دقیقی می دهند.

مراحل

فاکتورسازی اولیه

عدد ریشه را به فاکتورهایی تبدیل کنید که اعداد مربع هستند.بسته به عدد ریشه، یک پاسخ تقریبی یا دقیق دریافت خواهید کرد. اعداد مربع اعدادی هستند که می توان کل جذر را از آنها گرفت. فاکتورها اعدادی هستند که وقتی ضرب می شوند، عدد اصلی را می دهند. به عنوان مثال، ضرایب عدد 8 2 و 4 هستند، زیرا 2 x 4 = 8، اعداد 25، 36، 49 اعداد مربع هستند، زیرا √25 = 5، √36 = 6، √49 = 7. فاکتورهایی هستند که اعداد مربعی هستند. ابتدا سعی کنید عدد ریشه را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید.

• برای مثال، جذر 400 را (به صورت دستی) محاسبه کنید. ابتدا سعی کنید 400 را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید. 400 مضربی از 100 است، یعنی بر 25 بخش پذیر است - این یک عدد مربع است. با تقسیم 400 بر 25 عدد 16 به دست می آید. عدد 16 نیز یک عدد مربع است. بنابراین، 400 را می توان در فاکتورهای مربع 25 و 16، یعنی 25 x 16 = 400 در نظر گرفت.
• این را می توان به صورت زیر نوشت: √400 = √(25 x 16).

1. جذر حاصل ضرب برخی از جمله ها برابر است با حاصل ضرب جذر هر جمله، یعنی √(a x b) = √a x √b. از این قانون استفاده کنید و جذر هر ضریب مربع را بگیرید و نتایج را ضرب کنید تا به جواب برسید.

   • در مثال ما، جذر 25 و 16 را در نظر بگیرید.
     • √ (25 × 16)
     • √25 x √16
     • 5 × 4 = 20

2. اگر عدد ریشه در دو فاکتور مربع قرار نگیرد (و در بیشتر موارد اینطور است)، نمی توانید پاسخ دقیق را به صورت یک عدد صحیح بیابید. اما می توانید با تجزیه عدد ریشه به یک ضریب مربع و یک عامل معمولی (عددی که کل جذر را نمی توان از آن گرفت) مسئله را ساده کنید. سپس جذر ضریب مربع را می گیرید و ریشه ضریب معمولی را می گیرید.

   • به عنوان مثال، جذر عدد 147 را محاسبه کنید، عدد 147 را نمی توان در دو عامل مربع قرار داد، اما می توان آن را در فاکتورهای زیر در نظر گرفت: 49 و 3. مسئله را به صورت زیر حل کنید:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. در صورت لزوم، ارزش ریشه را ارزیابی کنید.اکنون می‌توانید با مقایسه آن با مقادیر ریشه‌های اعداد مربعی که نزدیک‌ترین (در دو طرف خط اعداد) به عدد ریشه هستند، مقدار ریشه را ارزیابی کنید (مقدار تقریبی را بیابید). مقدار ریشه را به صورت کسر اعشاری دریافت خواهید کرد که باید در عدد پشت علامت ریشه ضرب شود.

   • بیایید به مثال خود برگردیم. عدد ریشه 3 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 1 (√1 = 1) و 4 (√4 = 2) هستند. بنابراین، مقدار √3 بین 1 و 2 قرار دارد. از آنجایی که مقدار √3 احتمالاً به 2 نزدیک تر است تا 1، تخمین ما این است: √3 = 1.7. ما این مقدار را در عدد در علامت ریشه ضرب می کنیم: 7 x 1.7 \u003d 11.9. اگر محاسبات را روی یک ماشین حساب انجام دهید، 12.13 دریافت می کنید که تقریباً به پاسخ ما نزدیک است.
     • این روش با اعداد زیاد نیز کار می کند. برای مثال √35 را در نظر بگیرید. عدد ریشه 35 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 25 (√25 = 5) و 36 (√36 = 6) هستند. بنابراین، مقدار √35 بین 5 و 6 قرار دارد. از آنجایی که مقدار √35 بسیار نزدیکتر به 6 است تا 5 (زیرا 35 تنها 1 کمتر از 36 است)، می توانیم بگوییم که √35 کمی کمتر از 6. بررسی با ماشین حساب پاسخ 5.92 را به ما می دهد - حق با ما بود.

4. راه دیگر این است که عدد ریشه را به فاکتورهای اول تجزیه کنید.عوامل اول اعدادی هستند که فقط بر 1 و خودشان بخش پذیرند. فاکتورهای اول را پشت سر هم بنویسید و جفت فاکتورهای یکسان را پیدا کنید. چنین عواملی را می توان از نشانه ریشه خارج کرد.

   • به عنوان مثال، ریشه دوم 45 را محاسبه کنید. ما عدد ریشه را به عوامل اول تجزیه می کنیم: 45 \u003d 9 x 5 و 9 \u003d 3 x 3. بنابراین، √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 را می توان از علامت ریشه خارج کرد: √45 = 3√5. اکنون می توانیم √5 را تخمین بزنیم.
   • مثال دیگری را در نظر بگیرید: √88.
     • = √ (2 × 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). شما سه ضریب 2 دریافت کردید. دو تا از آنها را بردارید و از علامت ریشه خارج کنید.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. اکنون می توانیم √2 و √11 را ارزیابی کرده و یک پاسخ تقریبی پیدا کنیم.

   محاسبه جذر به صورت دستی

   با استفاده از تقسیم ستون

   1. این روش شامل فرآیندی شبیه به تقسیم طولانی است و پاسخ دقیقی می دهد.ابتدا یک خط عمودی بکشید که ورق را به دو نیمه تقسیم می کند و سپس به سمت راست و کمی زیر لبه بالایی ورق به خط عمودی بکشید. خط افقی. حالا عدد ریشه را به جفت اعداد تقسیم کنید و از قسمت کسری بعد از نقطه اعشار شروع کنید. بنابراین، شماره 79520789182.47897 به صورت "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" نوشته شده است.

      • برای مثال، جذر عدد 780.14 را محاسبه می کنیم. دو خط بکشید (همانطور که در تصویر نشان داده شده است) و عدد را در بالا سمت چپ به صورت "7 80، 14" بنویسید. طبیعی است که اولین رقم از سمت چپ یک رقم جفت نشده باشد. پاسخ (ریشه عدد داده شده) در بالا سمت راست نوشته می شود.

   2. با توجه به اولین جفت اعداد (یا یک عدد) از سمت چپ، بزرگترین عدد صحیح n را پیدا کنید که مربع آن کوچکتر یا مساوی با جفت اعداد (یا یک عدد) مورد نظر باشد. به عبارت دیگر، عدد مربعی را که به اولین جفت اعداد (یا عدد منفرد) نزدیک است، اما کمتر از آن است، از سمت چپ پیدا کنید و جذر آن عدد مربع را بگیرید. عدد n را دریافت خواهید کرد. n پیدا شده را در بالا سمت راست بنویسید و مربع n را در پایین سمت راست بنویسید.

      • در مورد ما، اولین عدد سمت چپ، عدد 7 خواهد بود. بعد، 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. مربع عدد n را که تازه پیدا کردید از اولین جفت اعداد (یا یک عدد) از سمت چپ کم کنید.نتیجه محاسبه را زیر زیر خط (مربع عدد n) بنویسید.

      • در مثال ما، 4 را از 7 کم کنید تا به 3 برسد.

   4. جفت دوم اعداد را پایین آورده و در کنار مقدار بدست آمده در مرحله قبل یادداشت کنید.سپس عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید و نتیجه را در پایین سمت راست با "_×_=" ضمیمه بنویسید.

      • در مثال ما، جفت دوم اعداد "80" است. بعد از عدد 3 "80" را بنویسید. سپس با دوبرابر کردن عدد از بالا سمت راست عدد 4 به دست می آید. از پایین سمت راست "4_×_=" را بنویسید.

   5. جاهای خالی سمت راست را پر کنید.

      • در مورد ما، اگر عدد 8 را به جای خط تیره قرار دهیم، 48 x 8 \u003d 384، که بیش از 380 است. بنابراین، 8 یک عدد بسیار بزرگ است، اما 7 خوب است. 7 را به جای خط تیره بنویسید و دریافت کنید: 47 x 7 \u003d 329. 7 را از بالا سمت راست بنویسید - این دومین رقم در ریشه مربع مورد نظر عدد 780.14 است.

   6. عدد حاصل را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید.نتیجه مرحله قبل را زیر عدد فعلی در سمت چپ بنویسید، تفاوت را پیدا کنید و زیر عدد تفریق شده بنویسید.

      • در مثال ما، 329 را از 380 کم کنید، که برابر با 51 است.

   7. مرحله 4 را تکرار کنید.اگر جفت اعدادی که تخریب می شوند جزء کسری عدد اصلی است، جداکننده (کاما) اعداد صحیح و کسری را از بالا سمت راست در جذر مورد نظر قرار دهید. در سمت چپ، جفت اعداد بعدی را پایین بیاورید. عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید و نتیجه را در پایین سمت راست با "_×_=" ضمیمه بنویسید.

      • در مثال ما، جفت اعداد بعدی که باید حذف شوند، قسمت کسری عدد 780.14 خواهد بود، بنابراین جداکننده اعداد صحیح و کسری را از سمت راست بالا در جذر مربع مورد نیاز قرار دهید. 14 را خراب کنید و در پایین سمت چپ بنویسید. دو برابر بالا سمت راست (27) برابر با 54 است، بنابراین "54_×_=" را در پایین سمت راست بنویسید.

   8. مراحل 5 و 6 را تکرار کنید.پیداش کن بیشترین تعدادبه جای خط تیره در سمت راست (به جای خط تیره، باید همان عدد را جایگزین کنید) تا نتیجه ضرب کمتر یا مساوی با عدد فعلی سمت چپ باشد.

      • در مثال ما، 549 x 9 = 4941، که کمتر از عدد فعلی در سمت چپ (5114) است. 9 را در بالا سمت راست بنویسید و حاصل ضرب را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید: 5114 - 4941 = 173.

   9. اگر می خواهید اعشار بیشتری برای جذر پیدا کنید، یک جفت صفر در کنار عدد فعلی در سمت چپ بنویسید و مراحل 4، 5 و 6 را تکرار کنید. مراحل را تکرار کنید تا به دقت پاسخ مورد نیاز خود برسید (تعداد ارقام اعشاری).

   درک فرآیند

   برای جذب این روشعددی را که می‌خواهید جذر آن را به‌عنوان مساحت مربع S پیدا کنید، در نظر بگیرید. در این صورت، به دنبال طول ضلع L چنین مربعی خواهید بود. مقدار L را که برای آن L2 = S محاسبه کنید.

   برای هر رقم در پاسخ خود یک حرف وارد کنید.اولین رقم در مقدار L (ریشه دوم مورد نظر) را با A مشخص کنید. B دومین رقم، C سوم و غیره خواهد بود.

   برای هر جفت رقم اول یک حرف مشخص کنید.اولین جفت رقم در مقدار S را با S a، جفت رقم دوم را با S b و غیره نشان دهید.

   ارتباط این روش با تقسیم طولانی را توضیح دهید.همانطور که در عملیات تقسیم، که هر بار فقط به یک رقم بعدی از عدد قابل تقسیم علاقه داریم، هنگام محاسبه جذر، با یک جفت رقم به ترتیب کار می کنیم (برای به دست آوردن یک رقم بعدی در مقدار ریشه دوم). .

   1. اولین جفت ارقام Sa از عدد S را در نظر بگیرید (در مثال ما Sa = 7) و جذر آن را پیدا کنید.در این صورت، اولین رقم A از مقدار جستجوی جذر، رقمی خواهد بود که مجذور آن کوچکتر یا مساوی S a است (یعنی ما به دنبال چنین A هستیم که نابرابری A2 را برآورده کند. ≤ سا< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • فرض کنید باید 88962 را بر 7 تقسیم کنیم. در اینجا مرحله اول مشابه خواهد بود: اولین رقم عدد قابل تقسیم 88962 (8) را در نظر می گیریم و بزرگترین عددی را انتخاب می کنیم که با ضرب در 7 مقداری کمتر یا مساوی 8 به دست می دهد. یعنی به دنبال آن هستیم. عدد d که نابرابری برای آن درست است: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. به طور ذهنی مربعی را تصور کنید که مساحت آن را باید محاسبه کنید.شما به دنبال L هستید، یعنی طول ضلع مربعی که مساحت آن S است. A، B، C اعدادی در عدد L هستند. می توانید آن را متفاوت بنویسید: 10A + B \u003d L (برای دو - عدد رقمی) یا 100A + 10B + C \u003d L (برای عدد سه رقمی) و غیره.

      • اجازه دهید (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². به یاد داشته باشید که 10A+B عددی است که B آن مخفف یک ها و A مخفف ده ها است. به عنوان مثال، اگر A=1 و B=2 باشد، 10A+B برابر با عدد 12 است. (10A+B)²مساحت کل میدان است، 100A²مساحت مربع بزرگ داخلی است، B²مساحت مربع کوچک داخلی است، 10A×Bمساحت هر یک از دو مستطیل است. با اضافه کردن مناطق شکل های توصیف شده، مساحت مربع اصلی را خواهید یافت.

ایگناتیف در مقدمه چاپ اول خود، در قلمرو نبوغ (1908)، می نویسد: نتایج تنها زمانی قابل اعتماد هستند که مقدمه‌ای برای حوزه دانش ریاضی به روشی آسان و دلپذیر، بر روی اشیاء و نمونه‌هایی از موقعیت‌های روزمره و روزمره، انتخاب شده با شوخ طبعی و سرگرمی انجام شود.

در مقدمه نسخه 1911 "نقش حافظه در ریاضیات"، E.I. ایگناتیف می نویسد: "... در ریاضیات، نه فرمول ها، بلکه فرآیند تفکر را باید به خاطر داشت."

برای استخراج جذر، جداول مربع برای اعداد دو رقمی وجود دارد، می توانید عدد را به ضرایب اول تجزیه کنید و جذر را از حاصلضرب استخراج کنید. جدول مربع ها کافی نیست، استخراج ریشه با فاکتورگیری یک کار وقت گیر است که همچنین همیشه به نتیجه دلخواه منجر نمی شود. سعی کنید جذر عدد 209764 را استخراج کنید؟ تجزیه به ضرایب اول به حاصل ضرب 2 * 2 * 52441 می دهد. با آزمون و خطا، انتخاب - این، البته، می تواند انجام شود اگر مطمئن باشید که این یک عدد صحیح است. روشی که می خواهم پیشنهاد کنم به شما امکان می دهد در هر صورت جذر را بگیرید.

یک بار در موسسه (موسسه آموزشی دولتی پرم) با این روش آشنا شدیم که اکنون می خواهم در مورد آن صحبت کنم. من هرگز به این فکر نکردم که آیا این روش اثبات دارد یا خیر، بنابراین اکنون مجبور شدم خودم شواهدی را استنباط کنم.

اساس این روش ترکیب عدد = است.

=&، یعنی &2=596334.

1. عدد (5963364) را از راست به چپ به جفت تقسیم کنید (5`96`33`64)

2. جذر گروه اول را در سمت چپ استخراج می کنیم ( - شماره 2). بنابراین اولین رقم عدد & را می گیریم.

3. مربع اولین رقم (2 2 \u003d 4) را پیدا کنید.

4. تفاوت گروه اول و مربع رقم اول را بیابید (5-4=1).

5. دو رقم بعدی را خراب می کنیم (عدد 196 را گرفتیم).

6. اولین شکلی را که پیدا کردیم دو برابر می کنیم، آن را در سمت چپ پشت خط می نویسیم (2*2=4).

7. حالا باید رقم دوم عدد & را پیدا کنید: رقم اول دو برابر شده ای که پیدا کردیم تبدیل به رقم ده ها عدد می شود، وقتی در تعداد واحدها ضرب شود، باید عددی کمتر از 196 بدست آورید ( این عدد 4 است، 44 * 4 \u003d 176). 4 رقم دوم & است.

8. تفاوت را بیابید (20=196-176).

9. گروه بعدی را خراب می کنیم (عدد 2033 را می گیریم).

10. عدد 24 را دو برابر کنید، 48 به دست می آید.

11.48 ده در یک عدد ، وقتی در تعداد واحدها ضرب می شود ، باید عددی کمتر از 2033 بدست آوریم (484 * 4 \u003d 1936). رقم واحدهای یافت شده توسط ما (4) سومین رقم از عدد & است.

مدرک توسط من برای موارد زیر ارائه شده است:

1. استخراج جذر یک عدد سه رقمی;

2. استخراج جذر یک عدد چهار رقمی.

روش های تقریبی استخراج جذر (بدون استفاده از ماشین حساب).

1. بابلیان باستان از روش زیر برای یافتن مقدار تقریبی جذر عدد x خود استفاده می کردند. آنها عدد x را به صورت مجموع a 2 + b نشان دادند، جایی که a 2 نزدیکترین به x مربع دقیق عدد طبیعی a (a 2 ? x) است، و از فرمول استفاده کردند. . (1)

با استفاده از فرمول (1)، جذر را مثلاً از عدد 28 استخراج می کنیم:

نتیجه استخراج ریشه 28 با استفاده از MK 5.2915026.

همانطور که می بینیم، روش بابلی ها تقریب خوبی به دست می دهد ارزش دقیقریشه

2. اسحاق نیوتن روشی با ریشه مربع ابداع کرد که به هرون اسکندریه (حدود 100 پس از میلاد) برمی گردد. این روش (معروف به روش نیوتن) به شرح زیر است.

اجازه دهید یک 1- اولین تقریب یک عدد (به عنوان 1، می توانید مقادیر جذر یک عدد طبیعی را بگیرید - مربع دقیقی که از آن تجاوز نمی کند. ایکس) .

تقریب بعدی، دقیق تر یک 2شماره توسط فرمول پیدا شده است .

فصل اول.

استخراج بزرگترین جذر عدد صحیح از یک عدد صحیح داده شده.

170. ملاحظات مقدماتی.

آ)از آنجایی که در این فصل فقط در مورد استخراج ریشه دوم صحبت خواهیم کرد، برای اختصار در این فصل به جای ریشه مربع، به سادگی می گوییم ریشه.

ب)اگر اعداد سری طبیعی را مربع کنیم: 1،2،3،4،5. . . ، سپس جدول مربع های زیر را بدست می آوریم: 1، 4، 9، 16، 25، 36، 49، 64، 81، 100،121،144. .،

بدیهی است که تعداد زیادی اعداد صحیح در این جدول وجود ندارد. البته از چنین اعدادی نمی توان یک ریشه کامل استخراج کرد. بنابراین، برای مثال، اگر می خواهید ریشه یک عدد صحیح را بگیرید. لازم است √4082 را پیدا کنیم، سپس با درک این نیاز به صورت زیر موافقت خواهیم کرد: در صورت امکان، کل ریشه را از 4082 استخراج کنید. اگر نه، پس باید بزرگترین عدد صحیح را پیدا کنیم که مربع آن 4082 است (چنین عددی 63 است، زیرا 63 2 \u003d 3969 و 64 2 \u003d 4090 است).

که در)اگر این عدد کمتر از 100 باشد، ریشه آن در جدول ضرب است. بنابراین √60 می شود 7، زیرا نیم 7 برابر با 49 است که کمتر از 60 است و 8 برابر با 64 است که بزرگتر از 60 است.

171. استخراج ریشه عددی کوچکتر از 10000 ولی بزرگتر از 100.بگذارید لازم باشد √4082 را پیدا کنید. از آنجایی که این عدد کمتر از 10000 است، پس ریشه آن کمتر از √l0 000 = 100 است. از سوی دیگر، این عدد بزرگتر از 100 است. بنابراین ریشه آن بزرگتر از (یا مساوی 10) است. (برای مثال اگر لازم بود √ را پیدا کنید 120 ، سپس اگر چه عدد 120 > 100، اما √ 120 برابر با 10 است زیرا 11 2 = 121.) اما هر عددی که بزرگتر از 10 باشد اما کمتر از 100 باشد دارای 2 رقم است. بنابراین ریشه مورد نظر حاصل جمع است:

ده ها + واحد،

و بنابراین مربع آن باید برابر با مجموع باشد:

این مجموع باید بزرگترین مربع، شامل 4082 باشد.

بیایید بزرگترین آنها، 36، را در نظر بگیریم و فرض کنیم که مربع ده ها ریشه برابر با این بزرگترین مربع باشد. سپس تعداد ده ها در ریشه باید 6 باشد. اکنون بررسی می کنیم که همیشه باید اینطور باشد، یعنی تعداد ده ها ریشه همیشه برابر است با بزرگترین ریشه صحیح صدها عدد ریشه.

در واقع، در مثال ما، تعداد ده ها ریشه نمی تواند بیشتر از 6 باشد، زیرا (7 دسامبر) 2 = 49 صدها، که از 4082 فراتر می رود. اما از 5 دسامبر نمی تواند کمتر از 6 باشد. (با واحدها) کمتر از 6 دس و در ضمن (6 دس) 2 = 36 صد است که کمتر از 4082 است. و چون به دنبال بزرگترین ریشه عدد صحیح هستیم، نباید برای ریشه 5 دس بگیریم، وقتی 6 ده زیاد نیست.

بنابراین، تعداد ده‌های ریشه را پیدا کرده‌ایم، یعنی 6. این عدد را در سمت راست علامت = می‌نویسیم، به یاد داشته باشید که به معنای ده‌های ریشه است. با بالا بردن آن به مربع، 36 صد به دست می آوریم. این 36 صد را از 40 صد عدد ریشه کم می کنیم و دو رقم دیگر این عدد را از بین می بریم. 482 باقیمانده باید شامل 2 (6 دسامبر) (واحد) + (واحد) 2 باشد. حاصل ضرب (6 دسامبر) (واحد) باید ده باشد. بنابراین، حاصل ضرب مضاعف ده‌ها بر واحدها را باید در ده‌های باقیمانده، یعنی در 48 جستجو کرد (با جدا کردن یک رقم از سمت راست در باقیمانده 48 "2، عدد آنها را به دست خواهیم آورد). ، سپس باید عدد موجود در 48 را بدست آوریم. بنابراین 48 را بر 12 تقسیم می کنیم.

برای انجام این کار، یک خط عمودی به سمت چپ باقی مانده رسم می کنیم و در پشت آن (از خط یک مکان به سمت چپ برای هدفی که اکنون پیدا می شود حرکت می کنیم) اولین رقم دو برابر شده ریشه را می نویسیم، یعنی 12، و 48 را به آن تقسیم می کنیم در ضریب 4 می گیریم.

با این حال، نمی توان از قبل تضمین داد که عدد 4 را می توان به عنوان واحدهای ریشه در نظر گرفت، زیرا اکنون کل تعداد ده ها باقی مانده را بر 12 تقسیم کرده ایم، در حالی که ممکن است برخی از آنها به حاصل ضرب دو ده ده ها تعلق نداشته باشند. توسط واحدها، اما بخشی از مربع واحدها هستند. بنابراین، عدد 4 ممکن است بزرگ باشد. باید امتحانش کنی بدیهی است که اگر مجموع 2 (6 دسامبر) 4 + 4 2 بیشتر از باقیمانده 482 نباشد، مناسب است.

در نتیجه بلافاصله مجموع هر دو را بدست می آوریم. محصول حاصل 496 بود که بیشتر از باقیمانده 482 است. پس 4 بزرگ است. سپس عدد 3 کوچکتر بعدی را به همین ترتیب تست خواهیم کرد.

مثال ها.

در مثال چهارم، وقتی 47 ده از باقی مانده را بر 4 تقسیم می کنیم، عدد 11 را به دست می آوریم، اما از آنجایی که رقم واحد ریشه نمی تواند باشد. دو رقمی 11 یا 10، سپس باید مستقیماً عدد 9 را آزمایش کنید.

در مثال پنجم، پس از کم کردن 8 از وجه اول مربع، باقیمانده 0 است و وجه بعدی نیز از صفر تشکیل شده است. این نشان می دهد که ریشه مورد نظر فقط از 8 ده تشکیل شده است و بنابراین باید صفر را به جای واحدها قرار داد.

172. استخراج ریشه عددی بزرگتر از 10000. اجازه دهید برای یافتن √35782 مورد نیاز باشد. از آنجایی که عدد رادیکال بزرگتر از 10000 است، پس ریشه آن بزرگتر از √10000 = 100 است و بنابراین از 3 رقم یا بیشتر تشکیل شده است. مهم نیست که از چند رقم تشکیل شده باشد، همیشه می توانیم آن را تنها به عنوان مجموع ده ها و یک ها در نظر بگیریم. اگر به عنوان مثال، ریشه 482 بود، می توانیم آن را به عنوان مجموع 48 دس در نظر بگیریم. + 2 واحد سپس مربع ریشه از 3 جمله تشکیل می شود:

(دک.) 2 + 2 (دی

اکنون می‌توانیم دقیقاً به همان روشی که √4082 (در پاراگراف قبل) را پیدا کنیم، استدلال کنیم. تنها تفاوت این خواهد بود که برای یافتن ده ها ریشه 4082 باید ریشه 40 را استخراج کنیم و این کار را می توان با استفاده از جدول ضرب انجام داد. اکنون برای بدست آوردن ده ها√35782 باید ریشه 357 را بگیریم که با استفاده از جدول ضرب نمی توان این کار را انجام داد. اما با ترفندی که در پاراگراف قبل توضیح داده شد، می توانیم √357 را پیدا کنیم، زیرا عدد 357 است.< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

در مرحله بعد، همانطور که هنگام یافتن √4082 انجام دادیم، ادامه می دهیم، یعنی: در سمت چپ باقیمانده 3382 یک خط عمودی رسم می کنیم و بعد از آن می نویسیم (یک مکان از خط خارج می شود) دو برابر تعداد ده ها ریشه یافت شده، یعنی. 36 (دوبار 18). در باقیمانده یک رقم سمت راست را جدا می کنیم و تعداد ده ها باقیمانده یعنی 338 را بر 36 تقسیم می کنیم. در ضریب 9 به دست می آید. این عدد را آزمایش می کنیم که آن را به 36 در سمت راست نسبت می دهیم و آن را در آن ضرب کن محصول 3321 بود که کمتر از بقیه است. بنابراین عدد 9 خوب است، آن را در ریشه می نویسیم.

به طور کلی، برای گرفتن جذر هر عدد صحیح، ابتدا باید ریشه صدها آن را گرفت. اگر این عدد بیش از 100 باشد، باید ریشه را از تعداد صدها این صدها، یعنی از ده ها هزار عدد معین جستجو کنید. اگر این عدد بیش از 100 باشد، باید ریشه را از تعداد صدها ده هزار، یعنی از میلیون ها عدد معین و غیره بگیرید.

مثال ها.

در مثال آخر، با پیدا کردن اولین رقم و تفریق مربع آن، باقیمانده 0 به دست می‌آید، 2 رقم بعدی 51 را خراب می‌کنیم. با جدا کردن ده‌ها، 5 dec به دست می‌آید، در حالی که رقم ریشه دو برابر شده 6 است. بنابراین، تقسیم می‌کنیم. 5 در 6 0 می گیریم 0 را در ریشه در وهله دوم قرار می دهیم و 2 رقم بعدی را تا باقی مانده حذف می کنیم. 5110 می گیریم. سپس طبق معمول ادامه می دهیم.

در این مثال، ریشه مورد نظر فقط از 9 صد تشکیل شده است و بنابراین باید به جای ده ها و واحدها، صفر قرار داده شود.

قانون. برای استخراج جذر یک عدد صحیح، آن را از سمت راست به چپ در لبه، با 2 رقم در هر کدام، به جز آخرین رقم که می تواند یک رقمی داشته باشد، بشکنید.
برای پیدا کردن اولین رقم ریشه، جذر وجه اول را بگیرید.
برای یافتن رقم دوم، مربع اولین رقم ریشه از وجه اول کم می شود، وجه دوم به باقی مانده کاهش می یابد و تعداد ده ها عدد حاصل بر دو برابر رقم اول ریشه تقسیم می شود. ; عدد صحیح حاصل تست می شود.
این تست به صورت زیر انجام می شود: پشت خط عمودی (سمت چپ باقیمانده) دو برابر عدد ریشه را که قبلاً پیدا شده است می نویسند و به آن در سمت راست، شکل آزمایش، عدد حاصل را بعد از این نسبت می دهند. علاوه بر این، عدد در شکل آزمایش ضرب می شود. اگر بعد از ضرب عددی بزرگتر از باقیمانده به دست آید، رقم آزمون خوب نیست و عدد کوچکتر بعدی باید آزمایش شود.
اعداد ریشه زیر نیز با همین روش یافت می شوند.
اگر بعد از تخریب وجه، تعداد ده ها عدد حاصل از مقسوم علیه، یعنی کمتر از دو برابر قسمت یافت شده ریشه باشد، 0 در ریشه قرار می گیرد، وجه بعدی تخریب می شود و اقدام بیشتر ادامه دارد

173. تعداد ارقام ریشه.از در نظر گرفتن فرآیند یافتن ریشه، نتیجه می‌شود که به تعداد چهره‌های 2 رقمی در ریشه، تعداد ارقام در ریشه وجود دارد (ممکن است یک رقم در سمت چپ وجود داشته باشد).

فصل دوم.

استخراج جذر تقریبی از اعداد کامل و کسری .

برای استخراج جذر چند جمله ای ها، به اضافات قسمت دوم § 399 و بعد مراجعه کنید.

174. نشانه های جذر دقیق.جذر دقیق یک عدد معین عددی است که مربع آن دقیقاً برابر عدد داده شده باشد. اجازه دهید برخی از علائم را نشان دهیم که با آنها می توان قضاوت کرد که آیا ریشه دقیق از یک عدد معین استخراج شده است یا خیر:

آ)اگر ریشه عدد صحیح دقیق از یک عدد صحیح معین استخراج نشود (هنگام استخراج باقیمانده به دست می آید)، از چنین عددی نمی توان ریشه دقیق کسری پیدا کرد، زیرا هر کسری که با یک عدد صحیح برابر نباشد، وقتی در خودش ضرب شود. ، همچنین یک کسری در حاصل ضرب می دهد نه یک عدد صحیح.

ب)از آنجایی که ریشه کسر است برابر با ریشهاز صورت تقسیم بر ریشه مخرج، آنگاه ریشه دقیق کسر تقلیل‌ناپذیر را نمی‌توان یافت، اگر نتوان آن را از صورت یا از مخرج استخراج کرد. به عنوان مثال، ریشه دقیق را نمی توان از کسرهای 4/5، 8/9 و 11/15 استخراج کرد، زیرا در کسر اول نمی توان آن را از مخرج استخراج کرد، در کسر دوم - از صورت و در سوم - نه از کسر از صورت و نه از مخرج.

از چنین اعدادی که استخراج ریشه دقیق از آنها غیرممکن است، فقط می توان ریشه های تقریبی را استخراج کرد.

175. ریشه تقریبی تا 1. جذر تقریبی تا 1 از یک عدد معین (عدد صحیح یا کسری - مهم نیست) یک عدد صحیح است که دو شرط زیر را برآورده می کند:

1) مربع این عدد از عدد داده شده بزرگتر نباشد. 2) اما مجذور این عدد 1 بیشتر شده از عدد داده شده بزرگتر است. به عبارت دیگر، جذر تقریبی تا 1، بزرگترین جذر صحیح یک عدد معین است، یعنی ریشه ای که در فصل قبل یاد گرفتیم پیدا کنیم. این ریشه را تقریبی تا 1 می نامند، زیرا برای به دست آوردن یک ریشه دقیق، باید کسری کمتر از 1 به این ریشه تقریبی اضافه شود، بنابراین اگر به جای یک ریشه دقیق مجهول، این یک را تقریبی بگیریم، خطای کمتر از 1

قانون. برای استخراج یک جذر تقریبی با دقت 1، باید بزرگترین ریشه صحیح قسمت صحیح یک عدد معین را استخراج کنید.

عددی که طبق این قانون یافت می‌شود یک ریشه تقریبی با یک نقطه ضعف است، زیرا مقداری کسری (کمتر از 1) به ریشه دقیق ندارد. اگر این ریشه را 1 افزایش دهیم، عدد دیگری به دست می آید که در آن مقداری بیش از ریشه دقیق وجود دارد و این مازاد کمتر از 1 است. یک مازاد. (نام‌های «با کمبود» یا «با زیاده‌روی» در برخی از کتاب‌های ریاضی با برخی معادل‌های دیگر جایگزین می‌شوند: «با کمبود» یا «با زیاده‌روی».)

176. ریشه تقریبی با دقت 1/10. اجازه دهید برای یافتن √2.35104 تا 1/10 مورد نیاز باشد. این بدان معنی است که باید چنین کسر اعشاری را پیدا کرد که از واحدهای کامل و دهم تشکیل شده باشد و دو شرط زیر را برآورده کند:

1) مربع این کسر از 2.35104 تجاوز نمی کند، اما 2) اگر آن را 1/10 افزایش دهیم، مجذور این کسر افزایش یافته از 2.35104 بیشتر می شود.

برای یافتن چنین کسری، ابتدا یک ریشه تقریبی تا 1 پیدا می کنیم، یعنی ریشه را فقط از عدد صحیح 2 استخراج می کنیم. 1 می گیریم (و باقیمانده 1 است). عدد 1 را در ریشه می نویسیم و بعد از آن کاما می گذاریم. اکنون به دنبال عدد دهم خواهیم بود. برای این کار، اعداد 35 را تا باقیمانده 1 در سمت راست کاما پایین می آوریم و استخراج را ادامه می دهیم انگار که ریشه را از عدد صحیح 235 استخراج می کنیم. عدد حاصل را 5 در ریشه در جای خود می نویسیم. از دهمی ها ما به ارقام باقی مانده از شماره ریشه (104) نیازی نداریم. اینکه عدد حاصل 1.5 در واقع یک ریشه تقریبی با دقت 1/10 خواهد بود از موارد زیر مشهود است. اگر بخواهیم بزرگترین ریشه عدد صحیح 235 را با دقت 1 پیدا کنیم، 15 به دست می آید.

15 2 < 235، اما 16 2 > 235.

با تقسیم همه این اعداد بر 100 به دست می آید:

یعنی عدد 1.5 همان کسر اعشاری است که با دقت 1/10 آن را ریشه تقریبی نامیدیم.

همچنین با این روش ریشه های تقریبی زیر را با دقت 0.1 پیدا می کنیم:

177. جذر تقریبی با دقت 1/100 تا 1/1000 و غیره.

اجازه دهید برای پیدا کردن یک عدد تقریبی √248 با دقت 1/100 لازم باشد. این به این معنی است: برای یافتن کسری اعشاری که از اعداد صحیح، دهم و صدم تشکیل شده باشد و دو شرط را برآورده کند:

1) مربع آن از 248 تجاوز نمی کند، اما 2) اگر این کسر را 1/100 افزایش دهیم، مربع این کسر افزایش یافته از 248 بیشتر می شود.

ما چنین کسری را در دنباله زیر خواهیم یافت: ابتدا یک عدد صحیح، سپس رقم دهم و سپس رقم صدم را پیدا می کنیم. جذر یک عدد صحیح 15 ​​عدد صحیح خواهد بود. برای به دست آوردن عدد دهم، همانطور که دیدیم، باید به 23 باقیمانده 2 رقم دیگر در سمت راست نقطه اعشار پایین بیاوریم. در مثال ما، این اعداد اصلا وجود ندارند، ما صفرها را به جای آنها قرار می دهیم. با اختصاص دادن آنها به باقی مانده و ادامه عمل به گونه ای که انگار داریم ریشه عدد صحیح 24800 را پیدا می کنیم، رقم دهم 7 را خواهیم یافت. باقی مانده است که رقم صدم را پیدا کنیم. برای این کار 2 صفر دیگر به 151 باقی مانده اضافه می کنیم و استخراج را ادامه می دهیم، مثل اینکه داریم ریشه عدد صحیح 2480000 را پیدا می کنیم 15.74 به دست می آید. اینکه این عدد واقعاً ریشه تقریبی 248 تا 1/100 است، از موارد زیر مشهود است. اگر بخواهیم بزرگترین جذر عدد صحیح را از 2,480,000 پیدا کنیم، 1574 بدست می آید. به معنای:

1574 2 < 2,480,000 اما 1575 2 > 2,480,000.

با تقسیم همه اعداد بر 10000 (= 100 2)، به دست می آید:

بنابراین 15.74 آن کسر اعشاری است که ما آن را با دقت 1/100 از 248 ریشه تقریبی نامیدیم.

با استفاده از این تکنیک برای یافتن ریشه تقریبی با دقت 1/1000 تا 1/10000 و غیره به موارد زیر پی می بریم.

قانون. برای استخراج از یک عدد صحیح داده شده یا از یک کسر اعشاری یک ریشه تقریبی با دقت 1/10 تا 1/100 تا 1/100 و غیره، ابتدا یک ریشه تقریبی با دقت 1 پیدا کنید و ریشه را از عدد صحیح (اگر نه، در مورد ریشه 0 عدد صحیح می نویسند).

سپس عدد دهم را پیدا کنید. برای این کار، 2 رقم از عدد رادیکال سمت راست نقطه اعشار را به باقیمانده پایین می آورند (اگر وجود نداشته باشد، دو صفر به باقی مانده نسبت داده می شود) و استخراج را به همان ترتیب ادامه می دهند. هنگام استخراج ریشه از یک عدد صحیح انجام می شود. رقم به دست آمده در ریشه به جای دهم نوشته می شود.

سپس عدد صدم را پیدا کنید. برای انجام این کار، دو عدد دوباره به سمت باقی مانده، به سمت راست آنهایی که اخیراً تخریب شده اند و غیره تخریب می شوند.

بنابراین، هنگام استخراج ریشه از یک عدد صحیح با کسری اعشاری، لازم است که هر کدام از 2 رقم را با شروع از کاما، هم به سمت چپ (در قسمت صحیح عدد) و هم به سمت راست تقسیم کنید ( در قسمت کسری).

مثال ها.

1) تا 1/100 ریشه را پیدا کنید: a) √2; ب) √0.3;

در آخرین مثال، 3/7 را با محاسبه 8 رقم اعشار به اعشار تبدیل کردیم تا 4 وجه مورد نیاز برای یافتن 4 رقم اعشار ریشه را تشکیل دهیم.

178. شرح جدول جذر.در پایان این کتاب جدولی از ریشه های مربع با چهار رقم محاسبه شده است. با استفاده از این جدول، می توانید به سرعت جذر یک عدد صحیح (یا کسر اعشاری) را که بیش از چهار رقم بیان می شود، پیدا کنید. قبل از توضیح نحوه چیدمان این جدول، توجه داشته باشیم که همیشه می‌توانیم اولین رقم مهم ریشه مورد نظر را بدون کمک جداول با یک نگاه به شماره ریشه پیدا کنیم. ما همچنین می توانیم به راحتی تعیین کنیم که کدام رقم اعشاری به معنای رقم اول ریشه است و بنابراین، در کجای ریشه، زمانی که ارقام آن را پیدا می کنیم، باید یک کاما قرار دهیم. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

1) √5"27,3 . رقم اول 2 خواهد بود، زیرا سمت چپ عدد ریشه 5 است. و ریشه 5 برابر 2 است. علاوه بر این، از آنجایی که در قسمت صحیح تعداد رادیکال همه وجوه فقط 2 وجود دارد، پس قسمت صحیح ریشه مورد نظر باید 2 رقم داشته باشد و بنابراین رقم اول آن 2 باید به معنای ده ها.

2) √9.041. بدیهی است که در این ریشه، رقم اول 3 واحد ساده خواهد بود.

3) √0.00"83"4 . اولین رقم معنادار 9 است، زیرا وجهی که برای بدست آوردن اولین رقم مهم باید ریشه از آن استخراج شود 83 است و ریشه 83 9 است. از آنجایی که در عدد مورد نظر نه اعداد صحیح و نه دهم وجود خواهد داشت، رقم اول 9 باید به معنای صدم باشد.

4) √0.73 "85. اولین رقم قابل توجه 8 دهم است.

5) √0.00 "00" 35 "7. اولین رقم قابل توجه 5 هزارم خواهد بود.

اجازه دهید یک نکته دیگر را بیان کنیم. فرض کنید که لازم است ریشه از چنین عددی استخراج شود که پس از کنار گذاشتن عدد اشغال شده در آن، با یک سری اعداد به تصویر کشیده می شود: 5681. این ریشه می تواند یکی از موارد زیر باشد:

اگر ریشه هایی را که زیر آنها خط کشیدیم با یک خط بگیریم، همه آنها با همان سری اعداد بیان می شوند، دقیقاً اعدادی که با استخراج ریشه از 5681 به دست می آیند (اینها اعداد 7، 5، 3، 7 خواهند بود. ). دلیل این امر این است که وجه هایی که هنگام یافتن ارقام ریشه باید به آنها تقسیم شود، در همه این مثال ها یکسان خواهد بود، بنابراین ارقام هر ریشه یکسان خواهد بود (فقط موقعیت کاما). البته متفاوت خواهد بود). به همین ترتیب، در تمام ریشه هایی که با دو خط زیر آن خط کشیده ایم، باید اعداد یکسانی بدست آید، دقیقاً آنهایی که √568.1 را بیان می کنند (این اعداد 2، 3، 8، 3 خواهند بود) و به همین دلیل. بنابراین، ارقام ریشه ها از اعداد نشان داده شده (با دور انداختن کاما) توسط همان سری ارقام 5681 از نوع دوگانه (و فقط دو برابری) خواهند بود: یا این یک سری از 7، 5، 3، 7 است، یا یک سری از 2، 3، 8، 3. همین را، بدیهی است، می توان در مورد هر سری از ارقام دیگر نیز گفت. بنابراین، همانطور که اکنون خواهیم دید، در جدول، هر ردیف از ارقام عدد رادیکال با 2 ردیف رقم برای ریشه ها مطابقت دارد.

اکنون می توانیم ساختار جدول و نحوه استفاده از آن را توضیح دهیم. برای وضوح بیشتر، ابتدای صفحه اول جدول را در اینجا به تصویر کشیده ایم.

این جدول چندین صفحه را شامل می شود. روی هر کدام از آنها در ستون اول سمت چپ اعداد 10، 11، 12 ... (تا 99) قرار داده شده است. این اعداد بیانگر 2 رقم اول عددی است که از آن جذر جذر می شود. در خط افقی بالا (و همچنین در پایین) اعداد وجود دارد: 0، 1، 2، 3 ... 9 که رقم سوم این عدد است و سپس در سمت راست اعداد 1، 2 قرار دارند. ، 3. . . 9 که نشان دهنده چهارمین رقم این عدد است. تمام خطوط افقی دیگر شامل 2 است اعداد چهار رقمی، جذر اعداد مربوطه را بیان می کند.

اجازه دهید برای پیدا کردن ریشه دوم یک عدد، عدد صحیح یا بیان شده لازم باشد کسر اعشاری. اول از همه، بدون کمک جداول اولین رقم ریشه و دسته آن را می یابیم. سپس کاما را در عدد داده شده در صورت وجود کنار می گذاریم. ابتدا فرض کنید پس از حذف کاما، مثلاً فقط 3 رقم باقی می ماند. 114. در جداول در سمت چپ ترین ستون، 2 رقم اول یعنی 11 را پیدا می کنیم و از آنها در امتداد خط افقی به سمت راست حرکت می کنیم تا به ستون عمودی برسیم که در بالا (و پایین) آن رقم 3 است. از عدد، یعنی 4. در این مکان دو عدد چهار رقمی پیدا می کنیم: 1068 و 3376. کدام یک از این دو عدد را باید گرفت و در کجا کاما گذاشت، این با رقم اول ریشه مشخص می شود و تخلیه آن، که قبلاً پیدا کردیم. بنابراین، اگر باید √0.11 "4 را پیدا کنید، اولین رقم ریشه 3 دهم است، و بنابراین باید 0.3376 را برای ریشه بگیریم. اگر لازم بود √1.14 را پیدا کنید، اولین رقم ریشه خواهد بود. 1 باشد، و سپس 1.068 را می گیریم.

بنابراین ما به راحتی می توانیم پیدا کنیم:

√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80؛ √0.91"6 = 0.9571 و غیره.

اکنون فرض کنیم که لازم است ریشه عددی را که با 4 رقم بیان شده است (با دور انداختن کاما) پیدا کنیم، برای مثال √7 "45.6. با توجه به اینکه رقم اول ریشه 2 ده است، برای عدد پیدا می کنیم. 745، همانطور که اکنون توضیح داده شد، اعداد 2729 (فقط با انگشت متوجه این عدد می شویم، اما آن را یادداشت نمی کنیم.) سپس از این عدد به سمت راست حرکت می کنیم تا در سمت راست جدول (پشت) آخرین خط پررنگ) با ستون عمودی روبرو می شویم که در بالای (و پایین) رقم چهارم این عدد یعنی عدد 6 مشخص شده است و عدد 1 را در آنجا پیدا می کنیم. این اصلاحی است که باید اعمال شود (در قسمت ذهن) به عدد 2729 که قبلاً پیدا شده بود، 2730 می گیریم. این عدد را می نویسیم و در آن در جای مناسب کاما می گذاریم: 27.30.

به این ترتیب به عنوان مثال می یابیم:

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 \u003d 0.2107 و غیره

اگر عدد رادیکال فقط با یک یا دو رقم بیان شود، می توانیم فرض کنیم که بعد از این ارقام یک یا دو صفر وجود دارد و سپس همانطور که برای عدد سه رقمی توضیح داده شد، ادامه دهیم. به عنوان مثال √2.7 = √2.70 =1.643; √0.13 \u003d √0.13 "0 \u003d 0.3606 و غیره.

در نهایت، اگر عدد رادیکال با بیش از 4 رقم بیان شود، فقط 4 رقم اول را می گیریم و بقیه را حذف می کنیم و برای کاهش خطا، اگر اولین رقم حذف شده 5 یا بیشتر از 5 باشد، سپس چهارمین ارقام حفظ شده را l افزایش می دهیم. بنابراین:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; و غیره.

اظهار نظر. جداول جذر تقریبی را نشان می دهد، گاهی با کمبود، گاهی اوقات با اضافه، یعنی یکی از این ریشه های تقریبی که به ریشه دقیق نزدیکتر می شود.

179. استخراج ریشه های مربع از کسرهای معمولی.جذر دقیق یک کسر تقلیل ناپذیر را تنها زمانی می توان استخراج کرد که هر دو عبارت کسر مربع دقیق باشند. در این صورت کافی است ریشه را از صورت و مخرج به طور جداگانه استخراج کنید، به عنوان مثال:

جذر تقریبی یک کسر معمولی با مقداری دقت اعشاری را می توان به راحتی پیدا کرد اگر ابتدا معکوس کنیم. کسر مشترکبه یک اعشار، محاسبه در این کسر تعداد اعشار پس از نقطه اعشار، که دو برابر تعداد اعشار در ریشه مورد نظر خواهد بود.

با این حال، شما می توانید در غیر این صورت انجام دهید. بیایید این را با مثال زیر توضیح دهیم:

√ 5/24 تقریبی را پیدا کنید

بیایید مخرج را یک مربع دقیق بسازیم. برای این کار کافی است هر دو عبارت کسر را در مخرج 24 ضرب کنیم. اما در این مثال، شما می توانید به طور دیگری انجام دهید. ما 24 را به ضرایب اول تجزیه می کنیم: 24 \u003d 2 2 2 3. از این تجزیه می توان دریافت که اگر 24 در 2 و دیگری در 3 ضرب شود، در حاصل ضرب هر عامل اول به تعداد زوج تکرار می شود. و بنابراین، مخرج به یک مربع تبدیل می شود:

باقی مانده است که √30 را با کمی دقت محاسبه کرده و نتیجه را بر 12 تقسیم کنیم. در این صورت باید در نظر داشت که کسری که درجه دقت را نشان می دهد نیز از تقسیم بر 12 کاهش می یابد. بنابراین، اگر √30 را با دقت 1/10 پیدا کنیم و حاصل را بر 12 تقسیم کنیم، آنگاه ریشه تقریبی کسری 5/24 را با دقت 1/120 به دست می آوریم (یعنی 54/120 و 55/120)

فصل سه.

نمودار تابعx = √ y .

180. تابع معکوس.اجازه دهید معادله ای وجود داشته باشد که تعریف کند در به عنوان تابعی از ایکس مثلاً این: y = x 2 . می توان گفت که نه تنها تعیین کننده است در به عنوان تابعی از ایکس ، بلکه برعکس، تعیین می کند ایکس به عنوان تابعی از در ، هر چند به صورت ضمنی. برای اینکه این تابع واضح باشد، باید این معادله را حل کنیم ایکس ، گرفتن در برای یک عدد شناخته شده؛ بنابراین، از معادله ای که گرفته ایم، به این نتیجه می رسیم: y = x 2 .

عبارت جبری که برای x پس از حل معادله ای که y را تابعی از x تعریف می کند به دست می آید تابع معکوس آن چیزی است که y را تعریف می کند.

بنابراین تابع x = √ y تابع معکوس y = x 2 . اگر طبق معمول، متغیر مستقل مشخص شود ایکس ، و وابسته است در ، سپس می توانیم تابع معکوس بدست آمده را به صورت زیر بیان کنیم: y = √x . بنابراین، برای به دست آوردن یک تابع معکوس به یک داده شده (مستقیم)، لازم است از معادله ای که این را تعیین می کند این تابع، خروجی ایکس بسته به y و در عبارت حاصل جایگزین کنید y بر روی ایکس ، آ ایکس بر روی y .

181. نمودار یک تابع y = √x . این تابع با ارزش منفی ایکس ، اما می توان آن را (با هر دقتی) برای هر محاسبه کرد ارزش مثبت ایکس و برای هر یک از این مقدارها، تابع دو عدد دریافت می کند معانی مختلفبا همان قدر مطلق اما علائم متضاد. اگر آشناست √ ما فقط مقدار حسابی جذر را نشان می دهیم، سپس این دو مقدار تابع را می توان به صورت زیر بیان کرد: y= ± √ x برای رسم این تابع، ابتدا باید جدولی از مقادیر آن ایجاد کنید. ساده ترین راه برای کامپایل این جدول از جدول مقادیر تابع مستقیم است:

y = x 2 .

ایکس

y

اگر مقادیر در را به عنوان ارزش ها در نظر بگیرید ایکس ، و بالعکس:

y= ± √ x

با قرار دادن تمام این مقادیر در نقاشی، نمودار زیر را دریافت می کنیم.

در همان نقاشی (خط چین) و نمودار تابع مستقیم را به تصویر کشیدیم y = x 2 . بیایید این دو نمودار را با هم مقایسه کنیم.

182. رابطه بین نمودارهای توابع مستقیم و معکوس.برای تهیه جدولی از مقادیر تابع معکوس y= ± √ x گرفتیم برای ایکس اعدادی که در جدول تابع مستقیم قرار دارند y = x 2 به عنوان ارزش برای در ، و برای در آن اعداد را گرفت. که در این جدول مقادیر مربوط به آن بودند ایکس . از این نتیجه می شود که هر دو نمودار یکسان هستند، فقط نمودار تابع مستقیم نسبت به محور قرار دارد. در - نحوه قرار گرفتن نمودار تابع معکوس نسبت به محور ایکس - ov. در نتیجه اگر نقاشی را حول یک خط مستقیم تا کنیم OA نصف کردن یک زاویه قائمه xOy ، به طوری که بخشی از نقاشی حاوی نیم محور است OU ، روی قسمتی که شامل نیم محور است افتاد اوه ، سپس OU سازگار با اوه ، تمام بخش ها OU همزمان با تقسیمات اوه ، و نقاط سهمی y = x 2 منطبق با نقاط مربوطه در نمودار y= ± √ x . مثلا نقطه ها م و ن ، که دستور آن 4 ، و آبسیسا 2 و - 2 ، منطبق با نقاط م" و N" ، که آبسیسه 4 ، و احکام 2 و - 2 . اگر این نقاط منطبق باشند، این بدان معنی است که خطوط MM" و NN" عمود بر OAو این خط مستقیم را به نصف تقسیم کنید. همین امر را می توان برای سایر نکات مرتبط در هر دو نمودار گفت.

بنابراین، نمودار تابع معکوس باید با نمودار تابع مستقیم یکسان باشد، اما این نمودارها متفاوت هستند، یعنی به صورت متقارن با یکدیگر نسبت به نیمساز زاویه قرار دارند. هوی . می توان گفت که نمودار تابع معکوس انعکاسی (مانند یک آینه) از نمودار تابع مستقیم نسبت به نیمساز زاویه است. هوی .