نحوه حل معادلات به روش کرامر روش کرامر: حل سیستم معادلات جبری خطی (Slau)

روش کرامر یا به اصطلاح قانون کرامر روشی برای جستجوی مقادیر مجهول از سیستم معادلات است. فقط در صورتی می توان از آن استفاده کرد که تعداد مقادیری که به دنبال آن هستید معادل عدد باشد معادلات جبریدر سیستم، یعنی ماتریس اصلی تشکیل شده از سیستم باید مربع باشد و دارای ردیف صفر نباشد و همچنین اگر تعیین کننده آن صفر نباشد.

قضیه 1

قضیه کرامراگر تعیین کننده اصلی $D$ ماتریس اصلی، که بر اساس ضرایب معادلات گردآوری شده است، برابر با صفر نباشد، سیستم معادلات سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد. حل چنین سیستمی از طریق فرمول های به اصطلاح Cramer برای حل سیستم ها محاسبه می شود معادلات خطی: $x_i = \frac(D_i)(D)$

روش کرامر چیست؟

ماهیت روش Cramer به شرح زیر است:

برای یافتن راه حلی برای سیستم به روش کرامر، ابتدا تعیین کننده اصلی ماتریس $D$ را محاسبه می کنیم. هنگامی که تعیین کننده محاسبه شده ماتریس اصلی، هنگامی که با روش کرامر محاسبه می شود، برابر با صفر است، آنگاه سیستم یک جواب واحد ندارد یا تعداد بی نهایت راه حل دارد. در این مورد، برای یافتن یک پاسخ کلی یا اساسی برای سیستم، توصیه می شود از روش گاوسی استفاده کنید.
سپس باید آخرین ستون ماتریس اصلی را با ستون اعضای آزاد جایگزین کنید و تعیین کننده $D_1$ را محاسبه کنید.
همین کار را برای همه ستون‌ها تکرار کنید، تعیین‌کننده‌ها را از $D_1$ به $D_n$، که در آن $n$ تعداد سمت راست‌ترین ستون است.
پس از یافتن همه عوامل تعیین کننده $D_1$...$D_n$، متغیرهای مجهول را می توان با استفاده از فرمول $x_i = \frac(D_i)(D)$ محاسبه کرد.

تکنیک های محاسبه دترمینان یک ماتریس

برای محاسبه دترمینان یک ماتریس با ابعاد بزرگتر از 2 در 2 می توان از چند روش استفاده کرد:

قاعده مثلث ها یا قاعده ساروس شبیه همین قاعده است. ماهیت روش مثلث این است که هنگام محاسبه تعیین کننده حاصلضرب تمام اعدادی که در شکل با یک خط قرمز در سمت راست متصل شده اند، آنها با علامت مثبت نوشته می شوند و همه اعداد به روشی مشابه در شکل روی متصل می شوند. سمت چپ با علامت منفی هستند. هر دو قانون برای ماتریس های 3*3 مناسب هستند در مورد قانون ساروس ابتدا خود ماتریس بازنویسی می شود و در کنار آن ستون اول و دوم آن دوباره بازنویسی می شود. مورب ها از طریق ماتریس رسم می شوند و این ستون های اضافی، اعضای ماتریس که روی مورب اصلی یا موازی آن قرار دارند با علامت مثبت و عناصری که روی مورب ثانویه یا موازی با آن قرار دارند با علامت منفی نوشته می شوند.

شکل 1. قانون مثلث ها برای محاسبه تعیین کننده برای روش کرامر

با روشی به نام روش گاوسی، این روش گاهی اوقات به عنوان کاهش تعیین کننده نیز شناخته می شود. در این حالت، ماتریس تبدیل شده و به شکل مثلثی در می آید و سپس تمام اعداد روی مورب اصلی ضرب می شوند. باید به خاطر داشت که در چنین جستجویی برای تعیین کننده، نمی توان سطرها یا ستون ها را بر اعداد ضرب یا تقسیم کرد، بدون اینکه آنها را به عنوان عامل یا مقسوم علیه خارج کنیم. در مورد جستجوی تعیین کننده، فقط می توان ردیف ها و ستون ها را به یکدیگر تفریق و اضافه کرد، زیرا قبلاً ردیف تفریق شده را در یک ضریب غیر صفر ضرب کرده باشید. همچنین، با هر جایگشت سطرها یا ستون‌های ماتریس، باید لزوم تغییر علامت نهایی ماتریس را به خاطر داشت.
هنگام حل Cramer's SLAE با 4 مجهول، بهتر است از روش گاوسی برای جستجو و یافتن دترمینال ها یا تعیین دترمینان از طریق جستجوی جزئی استفاده شود.

حل سیستم معادلات به روش کرامر

ما روش کرامر را برای یک سیستم 2 معادله و دو کمیت مورد نیاز اعمال می کنیم:

$\begin(موارد) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end (موارد)$

بیایید برای راحتی، آن را به شکل گسترده نمایش دهیم:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

تعیین کننده ماتریس اصلی را پیدا کنید که به آن تعیین کننده اصلی سیستم نیز می گویند:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

اگر تعیین کننده اصلی برابر با صفر نباشد، برای حل لجن به روش کرامر، لازم است یک جفت تعیین کننده دیگر از دو ماتریس محاسبه شود که ستون های ماتریس اصلی با ردیفی از عبارت های آزاد جایگزین شده اند:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

حالا بیایید مجهول های $x_1$ و $x_2$ را پیدا کنیم:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

مثال 1

روش کرامر برای حل یک SLAE با ماتریس اصلی مرتبه سوم (3×3) و سه مورد دلخواه.

حل سیستم معادلات:

$\begin(موارد) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end (موارد)$

ما تعیین کننده اصلی ماتریس را با استفاده از قانون فوق در پاراگراف شماره 1 محاسبه می کنیم:

$D = \begin(array)(|cccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 دلار

و حالا سه عامل دیگر:

$D_1 = \begin(array)(|cccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 دلار

$D_2 = \begin(array)(|cccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 دلار

$D_3 = \begin(array)(|cccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 دلار

بیایید مقادیر مورد نیاز را پیدا کنیم:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

روش کرامر مبتنی بر استفاده از تعیین کننده ها در حل سیستم های معادلات خطی است. این امر روند حل را تا حد زیادی سرعت می بخشد.

از روش کرامر می توان برای حل یک سیستم معادلات خطی به تعداد مجهولات موجود در هر معادله استفاده کرد. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر نباشد، می توان از روش کرامر در حل استفاده کرد و اگر برابر با صفر باشد، نمی تواند. علاوه بر این، از روش کرامر می توان برای حل سیستم های معادلات خطی که دارای تنها تصمیم.

تعریف. تعیین کننده که از ضرایب مجهولات تشکیل شده است، تعیین کننده سیستم نامیده می شود و با (دلتا) نشان داده می شود.

عوامل تعیین کننده

با جایگزین کردن ضرایب در مجهولات مربوطه با عبارت آزاد به دست می آیند:

;

قضیه کرامر. اگر تعیین کننده سیستم غیر صفر باشد، سیستم معادلات خطی دارای یک جواب واحد است و مجهول برابر است با نسبت دترمینال ها. مخرج، تعیین کننده سیستم است و صورت، تعیین کننده ای است که با جایگزین کردن ضرایب با مجهول توسط عبارات آزاد، از تعیین کننده سیستم به دست می آید. این قضیه برای سیستم معادلات خطی از هر مرتبه صادق است.

مثال 1حل سیستم معادلات خطی:

مطابق با قضیه کرامرما داریم:

بنابراین، حل سیستم (2):

ماشین حساب آنلاین، روش تعیین کنندهکرامر.

سه مورد در حل سیستم های معادلات خطی

همانطور که از قضایای کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی، سه حالت ممکن است رخ دهد:

حالت اول: سیستم معادلات خطی راه حل منحصر به فردی دارد

(سیستم ثابت و قطعی است)

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم سازگار و نامشخص است)

** ,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

بنابراین سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیرها نامیده می شود ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد و مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم مشترکمعادلاتی که فقط یک جواب دارند نامیده می شود مسلم - قطعی، و بیش از یک نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی به روش کرامر

اجازه دهید سیستم

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
-

شناسه سیستم تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده با جایگزینی ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با اعضای آزاد به‌دست می‌آیند:

مثال 2

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با فرمول های کرامر در می یابیم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی حل سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین به روش حل کرامر استفاده کنید.

اگر هیچ متغیری در سیستم معادلات خطی در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، در تعیین کننده عناصر مربوط به آنها برابر با صفر است! این مثال بعدی است.

مثال 3حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

با دقت به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در کدام موارد یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین، سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با فرمول های کرامر در می یابیم:

بنابراین، راه حل سیستم (2; -1; 1) است.

برای بررسی حل سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین به روش حل کرامر استفاده کنید.

بالای صفحه

ما به حل سیستم ها با استفاده از روش کرامر با هم ادامه می دهیم

همانطور که قبلا ذکر شد، اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد و تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نباشد، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. بیایید با مثال زیر توضیح دهیم.

مثال 6حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

تعیین کننده سیستم برابر با صفر است، بنابراین سیستم معادلات خطی یا ناسازگار و معین است یا ناسازگار است، یعنی راه حلی ندارد. برای روشن شدن، ما تعیین کننده ها را برای مجهولات محاسبه می کنیم

تعیین کننده ها برای مجهولات برابر با صفر نیستند، بنابراین، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد.

برای بررسی حل سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین به روش حل کرامر استفاده کنید.

در مسائل مربوط به سیستم معادلات خطی، مواردی نیز وجود دارد که علاوه بر حروف نشان دهنده متغیرها، حروف دیگری نیز وجود دارد. این حروف مخفف یک عدد هستند که اغلب یک عدد واقعی است. در عمل، چنین معادلات و سیستم های معادلات منجر به مشکلات جستجو می شود خواص مشترکهر پدیده یا شی یعنی هیچی اختراع کردی مواد جدیدیا یک دستگاه، و برای توصیف ویژگی های آن، که بدون توجه به اندازه یا تعداد نسخه ها رایج است، باید یک سیستم معادلات خطی را حل کرد که به جای برخی ضرایب برای متغیرها حروف وجود دارد. برای مثال لازم نیست خیلی دور بگردید.

مثال بعدی برای یک مسئله مشابه است، فقط تعداد معادلات، متغیرها و حروفی که برخی از اعداد واقعی را نشان می دهند افزایش می یابد.

مثال 8حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

اجازه دهید سیستم معادلات خطی به اندازه تعداد متغیرهای مستقل شامل معادلات باشد. فرم را دارد

چنین سیستم های معادلات خطی را درجه دوم می نامند. تعیین کننده متشکل از ضرایب متغیرهای مستقل سیستم (1.5) را تعیین کننده اصلی سیستم می نامند. ما آن را برچسب گذاری می کنیم نامه یونانی D. بنابراین

. (1.6)

اگر در تعیین کننده اصلی دلخواه ( j th) ستون، آن را با ستون اعضای آزاد سیستم (1.5) جایگزین کنید، سپس می توانیم بیشتر دریافت کنیم nعوامل کمکی:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

قانون کرامرحل سیستم های درجه دوم معادلات خطی به شرح زیر است. اگر تعیین کننده اصلی D سیستم (1.5) غیر صفر باشد، آنگاه سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با فرمول های زیر می توان آن را پیدا کرد:

(1.8)

مثال 1.5.سیستم معادلات را با استفاده از روش کرامر حل کنید

بیایید تعیین کننده اصلی سیستم را محاسبه کنیم:

از زمان D¹0، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که با استفاده از فرمول (1.8) می توان آن را یافت:

به این ترتیب،

اقدامات ماتریسی

1. ضرب یک ماتریس در یک عدد.عمل ضرب یک ماتریس در یک عدد به صورت زیر تعریف می شود.

2. برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، باید تمام عناصر آن را در این عدد ضرب کنید. به این معنا که

. (1.9)

مثال 1.6. .

اضافه کردن ماتریس

این عملیات فقط برای ماتریس هایی با همان ترتیب معرفی شده است.

برای اضافه کردن دو ماتریس، لازم است عناصر مربوط به ماتریس دیگر را به عناصر یک ماتریس اضافه کنید:

(1.10)
عملیات جمع ماتریس دارای ویژگی های انجمنی و جابه جایی است.

مثال 1.7. .

ضرب ماتریس.

اگر تعداد ستون های ماتریس ولیبا تعداد ردیف های ماتریس مطابقت دارد AT، سپس برای چنین ماتریس هایی عملیات ضرب معرفی می شود:

بنابراین، هنگام ضرب ماتریس ولیابعاد متر´ nبه ماتریس ATابعاد n´ کما یک ماتریس می گیریم از جانبابعاد متر´ ک. در این مورد، عناصر ماتریس از جانببر اساس فرمول های زیر محاسبه می شود:

مشکل 1.8.در صورت امکان، حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنید ABو BA:

راه حل. 1) برای یافتن کار AB، به ردیف های ماتریسی نیاز دارید آضرب در ستون های ماتریس ب:

2) آثار هنری BAوجود ندارد، زیرا تعداد ستون های ماتریس است ببا تعداد ردیف های ماتریس مطابقت ندارد آ.

ماتریس معکوس حل سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

ماتریس آ- 1 معکوس ماتریس مربع نامیده می شود ولیاگر برابری برقرار باشد:

از کجا مننشان دهنده ماتریس هویت با همان ترتیب ماتریس است ولی:

برای اینکه یک ماتریس مربع معکوس داشته باشد، کافی و ضروری است که تعیین کننده آن غیر صفر باشد. ماتریس معکوس با فرمول به دست می آید:

, (1.13)

جایی که یک ij- اضافات جبری به عناصر aijماتریس ها ولی(توجه داشته باشید که جمع های جبری به ردیف های ماتریس ولیدر ماتریس معکوس به شکل ستون های متناظر مرتب شده اند).

مثال 1.9.ماتریس معکوس را پیدا کنید آ- 1 به ماتریس

ماتریس معکوس را با فرمول (1.13) پیدا می کنیم که برای مورد n= 3 به نظر می رسد:

بیا دت را پیدا کنیم آ = | آ| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی با صفر متفاوت است، پس ماتریس معکوس وجود دارد.

1) اضافات جبری را بیابید یک ij:

برای راحتی پیدا کردن ماتریس معکوس، اضافات جبری به سطرهای ماتریس اصلی را در ستون های مربوطه قرار دادیم.

از دریافت شده اضافات جبرییک ماتریس جدید بسازید و آن را بر دترمینان det تقسیم کنید آ. بنابراین، ماتریس معکوس را دریافت خواهیم کرد:

سیستم های درجه دوم معادلات خطی با تعیین کننده اصلی غیر صفر را می توان با استفاده از یک ماتریس معکوس حل کرد. برای این منظور، سیستم (1.5) به صورت ماتریسی نوشته شده است:

جایی که

ضرب دو طرف برابری (1.14) در سمت چپ در آ- 1، ما راه حل سیستم را دریافت می کنیم:

، جایی که

بنابراین، برای یافتن راه‌حلی برای یک سیستم مربعی، باید ماتریس معکوس ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنید و آن را در سمت راست در ماتریس ستون عبارت‌های آزاد ضرب کنید.

مشکل 1.10.حل یک سیستم معادلات خطی

با استفاده از ماتریس معکوس

راه حل.ما سیستم را به صورت ماتریسی می نویسیم:

جایی که ماتریس اصلی سیستم، ستون مجهولات و ستون عبارات آزاد است. از آنجایی که تعیین کننده اصلی سیستم است ، سپس ماتریس اصلی سیستم ولیماتریس معکوس دارد ولی-یک. برای یافتن ماتریس معکوس ولی-1، مکمل های جبری همه عناصر ماتریس را محاسبه کنید ولی:

از اعداد به دست آمده یک ماتریس می سازیم (علاوه بر این، اضافات جبری به ردیف های ماتریس ولیدر ستون های مناسب بنویسید) و آن را بر تعیین کننده D تقسیم کنید. بنابراین، ماتریس معکوس را پیدا کردیم:

جواب سیستم با فرمول (1.15) بدست می آید:

به این ترتیب،

حل سیستم های معادلات خطی با استثناهای معمولی جردن

اجازه دهید یک سیستم دلخواه (نه لزوما مربع) از معادلات خطی داده شود:

(1.16)

لازم است راه حلی برای سیستم پیدا شود، یعنی. چنین مجموعه ای از متغیرها که تمام برابری های سیستم را برآورده می کند (1.16). AT مورد کلیسیستم (1.16) می تواند نه تنها یک راه حل، بلکه بی نهایت راه حل نیز داشته باشد. همچنین ممکن است اصلاً راه حلی نداشته باشد.

هنگام حل چنین مشکلاتی از روش حذف مجهولات شناخته شده در دوره مدرسه استفاده می شود که به آن روش حذف های معمولی جردن نیز می گویند. ماهیت این روش در این است که در یکی از معادلات سیستم (1.16) یکی از متغیرها بر حسب سایر متغیرها بیان شده است. سپس این متغیر با معادلات دیگر سیستم جایگزین می شود. نتیجه سیستمی است که دارای یک معادله و یک متغیر کمتر از سیستم اصلی است. معادله ای که از آن متغیر بیان شده است به خاطر سپرده می شود.

این روند تا زمانی که آخرین معادله در سیستم باقی بماند تکرار می شود. برای مثال، در فرآیند حذف مجهولات، برخی معادلات می توانند به هویت های واقعی تبدیل شوند. چنین معادلاتی از سیستم حذف می شوند، زیرا برای هر مقدار از متغیرها معتبر هستند و بنابراین بر حل سیستم تأثیر نمی گذارند. اگر در فرآیند حذف مجهولات، حداقل یک معادله به تساوی تبدیل شود که برای هیچ یک از مقادیر متغیرها (به عنوان مثال، ) قابل ارضا نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم هیچ راه حلی ندارد.

اگر در حین حل معادلات ناسازگاری به وجود نیامد، یکی از متغیرهای باقی مانده در آن از آخرین معادله پیدا می شود. اگر فقط یک متغیر در آخرین معادله باقی بماند، آنگاه به صورت یک عدد بیان می شود. اگر سایر متغیرها در آخرین معادله باقی بمانند، آنگاه پارامتر در نظر گرفته می شوند و متغیر بیان شده از طریق آنها تابعی از این پارامترها خواهد بود. سپس به اصطلاح سکته مغزی معکوس". متغیر یافت شده در آخرین معادله حفظ شده جایگزین می شود و متغیر دوم پیدا می شود. سپس دو متغیر یافت شده در معادله حفظ شده ماقبل آخر جایگزین می شوند و متغیر سوم پیدا می شود و به همین ترتیب تا اولین معادله حفظ شده است.

در نتیجه راه حل سیستم را می گیریم. اگر متغیرهای یافت شده اعداد باشند، این راه حل تنها راه حل خواهد بود. اگر اولین متغیر یافت شده و سپس همه متغیرهای دیگر به پارامترها بستگی داشته باشند، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل خواهد بود (هر مجموعه از پارامترها مربوط به یک راه حل جدید است). فرمول هایی که امکان یافتن راه حلی برای سیستم را بسته به مجموعه خاصی از پارامترها فراهم می کنند، راه حل کلی سیستم نامیده می شوند.

مثال 1.11.

ایکس

بعد از حفظ معادله اول و با آوردن عبارت های مشابه در معادلات دوم و سوم به سیستم می رسیم:

بیان yاز معادله دوم و جایگزین آن به معادله اول:

معادله دوم را به خاطر بسپارید و از معادله اول پیدا می کنیم z:

با انجام حرکت معکوس، پی در پی پیدا می کنیم yو z. برای انجام این کار، ابتدا آخرین معادله حفظ شده را جایگزین می کنیم که از آن پیدا می کنیم y:

سپس اولین معادله حفظ شده را جایگزین و وارد می کنیم از جایی که ما پیدا می کنیم ایکس:

مسئله 1.12.حل یک سیستم معادلات خطی با حذف مجهولات:

. (1.17)

راه حل.اجازه دهید متغیر را از معادله اول بیان کنیم ایکسو آن را با معادلات دوم و سوم جایگزین کنید:

معادله اول را به خاطر بسپارید

در این سیستم معادله اول و دوم با هم در تضاد هستند. در واقع، بیان می کند y این برابری برای هیچ یک از مقادیر متغیرها برآورده نمی شود. ایکس, y، و z. در نتیجه، سیستم (1.17) ناسازگار است، به عنوان مثال، هیچ راه حلی ندارد

از خوانندگان دعوت می شود تا به طور مستقل تأیید کنند که تعیین کننده اصلی سیستم اصلی (1.17) برابر با صفر است.

سیستمی را در نظر بگیرید که با سیستم (1.17) تنها با یک جمله آزاد تفاوت دارد.

مسئله 1.13.حل یک سیستم معادلات خطی با حذف مجهولات:

. (1.18)

راه حل.مانند قبل، متغیر را از معادله اول بیان می کنیم ایکسو آن را با معادلات دوم و سوم جایگزین کنید:

معادله اول را به خاطر بسپارید و اصطلاحات مشابه را در معادلات دوم و سوم ارائه می کنیم. به سیستم می رسیم:

بیان کننده yاز معادله اول و جایگزینی آن با معادله دوم ، هویت 14 = 14 را دریافت می کنیم که بر حل سیستم تأثیر نمی گذارد و بنابراین می توان آن را از سیستم حذف کرد.

در آخرین برابری حفظ شده، متغیر zبه عنوان یک پارامتر در نظر گرفته خواهد شد. ما معتقدیم. سپس

جایگزین yو zبه اولین برابری حفظ شده و پیدا کنید ایکس:

بنابراین، سیستم (1.18) دارای مجموعه بی نهایت راه حل است و هر جوابی را می توان از فرمول (1.19) با انتخاب مقدار دلخواه پارامتر پیدا کرد. تی:

(1.19)
بنابراین، راه‌حل‌های سیستم، برای مثال، مجموعه‌ای از متغیرهای زیر هستند (1؛ 2؛ 0)، (2؛ 26؛ 14)، و غیره. فرمول‌های (1.19) جواب کلی (هر) سیستم (1.18) را بیان می‌کنند. ).

در صورتی که سیستم اصلی (1.16) دارای تعداد کافی معادلات و مجهولات باشد، روش ذکر شده حذف معمولی جردن دست و پا گیر به نظر می رسد. با این حال، اینطور نیست. کافی است یک الگوریتم برای محاسبه مجدد ضرایب سیستم در یک مرحله استخراج شود. نمای کلیو حل مشکل را در قالب میزهای مخصوص جردن رسمی کنند.

اجازه دهید یک سیستم از اشکال خطی (معادلات) داده شود:

, (1.20)
جایی که xj- متغیرهای مستقل (مطلوب)، aij- ضرایب ثابت
(من = 1, 2,…, متر; j = 1, 2,…, n). قسمت های سمت راست سیستم y من (من = 1, 2,…, متر) می تواند هم متغیر (وابسته) و هم ثابت باشد. باید با حذف مجهولات راه حل هایی برای این سیستم پیدا کرد.

اجازه دهید عملیات زیر را در نظر بگیریم که در ادامه به آن "یک مرحله از استثناهای معمولی اردن" می گویند. از یک دلخواه ( rث) برابری، یک متغیر دلخواه را بیان می کنیم ( x s) و همه برابری های دیگر را جایگزین کنید. البته این فقط در صورتی امکان پذیر است یک RS¹ 0. ضریب یک RSعنصر حل کننده (گاهی راهنما یا اصلی) نامیده می شود.

ما سیستم زیر را دریافت خواهیم کرد:

. (1.21)

از جانب سبرابری سیستم (1.21)، متعاقباً متغیر را پیدا خواهیم کرد x s(پس از یافتن سایر متغیرها). اسخط هفتم به خاطر سپرده می شود و متعاقباً از سیستم حذف می شود. سیستم باقیمانده دارای یک معادله و یک متغیر مستقل کمتر از سیستم اصلی خواهد بود.

اجازه دهید ضرایب سیستم حاصل (1.21) را بر حسب ضرایب سیستم اصلی (1.20) محاسبه کنیم. بیا شروع کنیم با rمعادله ام که پس از بیان متغیر x sاز طریق بقیه متغیرها به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، ضرایب جدید rمعادله با فرمول های زیر محاسبه می شود:

(1.23)
اکنون ضرایب جدید را محاسبه می کنیم b ij(من¹ r) معادله دلخواه. برای انجام این کار، متغیر بیان شده در (1.22) را جایگزین می کنیم. x sکه در منمعادله سیستم (1.20):

پس از آوردن اصطلاحات مشابه، دریافت می کنیم:

(1.24)
از برابری (1.24) فرمول هایی را به دست می آوریم که با آن ضرایب باقیمانده سیستم (1.21) محاسبه می شود (به استثنای rمعادله):

(1.25)
تبدیل سیستم معادلات خطی با روش حذف معمولی اردن در قالب جداول (ماتریس) ارائه شده است. به این میزها «میزهای جردن» می گویند.

بنابراین، مشکل (1.20) با جدول جردن زیر مرتبط است:

جدول 1.1

	ایکس 1	ایکس 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	آ 11	آ 12		آ 1j		آ 1س		آ 1n
…………………………………………………………………..
y من=	یک من 1	یک من 2		aij		a است		یک اینچ
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		یک rj		یک RS		یک rn
………………………………………………………………….
y n=	صبح 1	صبح 2		یک ام جی		یک MS		آمن

جدول جردن 1.1 شامل ستون سمت چپ است که در آن قسمت های سمت راست سیستم (1.20) نوشته شده است و خط سر بالایی که در آن متغیرهای مستقل نوشته شده است.

عناصر باقیمانده جدول، ماتریس اصلی ضرایب سیستم را تشکیل می دهند (1.20). اگر ماتریس را ضرب کنیم ولیبه ماتریسی متشکل از عناصر ردیف بالای سرصفحه، سپس ماتریسی متشکل از عناصر ستون هدر سمت چپ را دریافت می کنیم. یعنی در اصل جدول جردن یک شکل ماتریسی از نوشتن یک سیستم معادلات خطی است: . در این مورد، جدول جردن زیر مربوط به سیستم (1.21) است:

جدول 1.2

	ایکس 1	ایکس 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	ب 11	ب 12		ب 1 j		ب 1 س		ب 1 n
…………………………………………………………………..
y من =	b i 1	b i 2		b ij		b است		صندوقچه
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

عنصر مجاز یک RS به صورت پررنگ برجسته خواهیم کرد. به یاد بیاورید که برای اجرای یک مرحله از استثناهای اردن، عنصر حل باید غیر صفر باشد. سطر جدول حاوی یک عنصر مجاز، ردیف مجاز نامیده می شود. ستون حاوی عنصر enable را ستون فعال می نامند. هنگام انتقال از یک جدول به جدول بعدی، یک متغیر ( x s) از ردیف بالای جدول به ستون هدر سمت چپ و برعکس یکی از اعضای آزاد سیستم ( y r) از ستون هدر سمت چپ جدول به ردیف بالای سرصفحه منتقل می شود.

اجازه دهید الگوریتم محاسبه مجدد ضرایب در عبور از جدول جردن (1.1) به جدول (1.2) را شرح دهیم که از فرمول های (1.23) و (1.25) پیروی می کند.

1. عنصر فعال با عدد معکوس جایگزین می شود:

2. عناصر باقی مانده از خط مجاز با عنصر مجاز تقسیم می شوند و علامت را به مخالف تغییر می دهند:

3. عناصر باقی مانده از ستون فعال کننده به عنصر فعال کننده تقسیم می شوند:

4. عناصری که در سطر و ستون حل‌کننده گنجانده نشده‌اند، طبق فرمول‌ها مجدداً محاسبه می‌شوند:

اگر متوجه شوید که عناصر تشکیل دهنده کسر به راحتی می توانید آخرین فرمول را به خاطر بسپارید ، در تقاطع هستند من-آه و r-ام خطوط و jهفتم و سستون‌های -ام (ردیف حل‌کننده، ستون حل‌کننده و سطر و ستونی که در تقاطع آنها عنصری که باید دوباره محاسبه شود قرار دارد). به طور دقیق تر، هنگام حفظ فرمول می توانید از نمودار زیر استفاده کنید:

-21 -26 -13 -37

اجرای اولین مرحله از استثناهای اردن، هر عنصر جدول 1.3 که در ستون ها قرار دارد ایکس 1 ,…, ایکس 5 (همه عناصر مشخص شده برابر با صفر نیستند). شما نباید تنها عنصر فعال را در آخرین ستون انتخاب کنید، زیرا نیاز به یافتن متغیرهای مستقل ایکس 1 ,…, ایکس 5 . مثلاً ضریب را انتخاب می کنیم 1 با یک متغیر ایکس 3 در ردیف سوم جدول 1.3 (عنصر فعال کننده به صورت پررنگ نشان داده شده است). هنگام انتقال به جدول 1.4، متغیر ایکسعدد 3 از ردیف بالای سرصفحه با ثابت 0 ستون هدر سمت چپ (ردیف سوم) تعویض می شود. در عین حال، متغیر ایکس 3 بر حسب متغیرهای باقی مانده بیان می شود.

رشته ایکس 3 (جدول 1.4) را می توان با یادآوری قبلی از جدول 1.4 حذف کرد. جدول 1.4 همچنین ستون سوم را با یک صفر در خط سرصفحه بالا حذف می کند. نکته اینجاست که بدون توجه به ضرایب این ستون b i 3 تمام عبارات مربوط به آن از هر معادله 0 b i 3 سیستم برابر با صفر خواهد بود. بنابراین نمی توان این ضرایب را محاسبه کرد. حذف یک متغیر ایکس 3 و با یادآوری یکی از معادلات، به سیستمی مطابق با جدول 1.4 می رسیم (با خط خط زده شده ایکس 3). انتخاب در جدول 1.4 به عنوان عنصر حل ب 14 = -5، به جدول 1.5 بروید. در جدول 1.5، سطر اول را به خاطر می آوریم و به همراه ستون چهارم (با صفر در بالا) از جدول حذف می کنیم.

جدول 1.5 جدول 1.6

از آخرین جدول 1.7 در می یابیم: ایکس 1 = - 3 + 2ایکس 5 .

با جایگزینی متوالی متغیرهای از قبل یافت شده در خطوط حفظ شده، متغیرهای باقی مانده را پیدا می کنیم:

بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. متغیر ایکس 5، می توانید مقادیر دلخواه را اختصاص دهید. این متغیر به عنوان یک پارامتر عمل می کند ایکس 5 = t. ما سازگاری سیستم را ثابت کردیم و آن را پیدا کردیم تصمیم مشترک:

ایکس 1 = - 3 + 2تی

ایکس 2 = - 1 - 3تی

ایکس 3 = - 2 + 4تی . (1.27)
ایکس 4 = 4 + 5تی

ایکس 5 = تی

دادن پارامتر تی معانی مختلف، ما بی نهایت راه حل برای سیستم اصلی دریافت می کنیم. بنابراین، به عنوان مثال، راه حل سیستم مجموعه ای از متغیرهای زیر است (- 3؛ - 1؛ - 2؛ 4؛ 0).

در بخش اول مطالب نظری، روش جایگزینی و همچنین روش جمع ترم به ترم معادلات سیستم را در نظر گرفتیم. به همه کسانی که از طریق این صفحه وارد سایت شده اند، توصیه می کنم قسمت اول را مطالعه کنند. شاید برخی از بازدیدکنندگان مطالب را خیلی ساده بیابند، اما در جریان حل سیستم های معادلات خطی، نکات و نتیجه گیری های بسیار مهمی را در مورد حل بیان کردم. مشکلات ریاضیبطور کلی.

و اکنون قاعده کرامر و همچنین حل یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از ماتریس معکوس (روش ماتریس) تحلیل خواهیم کرد. همه مطالب به سادگی، با جزئیات و به وضوح ارائه شده است، تقریباً همه خوانندگان قادر خواهند بود نحوه حل سیستم ها را با استفاده از روش های فوق بیاموزند.

ابتدا قانون کرامر را برای سیستمی متشکل از دو معادله خطی در دو مجهول به تفصیل در نظر می گیریم. برای چی؟ - گذشته از همه اینها ساده ترین سیستمرا می توان با روش مدرسه، با اضافه ترم حل کرد!

واقعیت این است که حتی اگر گاهی اوقات، اما چنین وظیفه ای وجود دارد - برای حل یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول با استفاده از فرمول های کرامر. ثانیاً، یک مثال ساده‌تر به شما کمک می‌کند بفهمید که چگونه از قانون کرامر برای یک مورد پیچیده‌تر استفاده کنید - سیستمی از سه معادله با سه مجهول.

علاوه بر این، سیستم های معادلات خطی با دو متغیر وجود دارد که توصیه می شود دقیقاً طبق قانون کرامر حل شوند!

سیستم معادلات را در نظر بگیرید

در مرحله اول، دترمینان را محاسبه می کنیم که نامیده می شود تعیین کننده اصلی سیستم.

روش گاوس

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و برای یافتن ریشه ها باید دو عامل دیگر را محاسبه کنیم:
و

در عمل، تعیین کننده های فوق را نیز می توان نشان داد حرف لاتین.

ریشه های معادله با فرمول های زیر بدست می آید:
,

مثال 7

حل یک سیستم معادلات خطی

راه حل: می بینیم که ضرایب معادله بسیار بزرگ است، در سمت راست وجود دارد اعداد اعشاریبا کاما کاما یک مهمان نسبتاً نادر در کارهای عملی در ریاضیات است؛ من این سیستم را از یک مسئله اقتصادسنجی گرفتم.

چگونه چنین سیستمی را حل کنیم؟ می توانید سعی کنید یک متغیر را بر حسب متغیر دیگری بیان کنید، اما در این صورت، مطمئناً کسرهای فانتزی وحشتناکی خواهید داشت که کار با آنها بسیار ناخوشایند است و طراحی راه حل بسیار وحشتناک به نظر می رسد. می توانید معادله دوم را در 6 ضرب کنید و جمله به جمله را کم کنید، اما همان کسرها در اینجا ظاهر می شوند.

چه باید کرد؟ در چنین مواردی، فرمول های کرامر به کمک می آیند.

;

پاسخ: ,

هر دو ریشه دارای دم بی نهایت هستند و تقریباً یافت می شوند که برای مسائل اقتصاد سنجی کاملاً قابل قبول (و حتی عادی) است.

در اینجا به نظرات نیازی نیست، زیرا کار طبق فرمول های آماده حل می شود، با این حال، یک اخطار وجود دارد. هنگام استفاده این روش, اجباریقطعه تکلیف قطعه زیر است: "بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد". در غیر این صورت، داور ممکن است شما را به دلیل بی احترامی به قضیه کرامر مجازات کند.

بررسی اضافی نخواهد بود، که برای انجام آن در ماشین حساب راحت است: ما مقادیر تقریبی را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم. در نتیجه با یک خطای کوچک باید اعدادی که در سمت راست قرار دارند به دست آید.

مثال 8

پاسخ خود را با کسرهای نامناسب معمولی بیان کنید. چک کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (نمونه ای از طراحی زیبا و پاسخ در پایان درس).

ما به بررسی قاعده کرامر برای یک سیستم سه معادله با سه مجهول می پردازیم:

ما تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا می کنیم:

اگر، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است (راه حلی ندارد). در این مورد، قانون کرامر کمکی نخواهد کرد، شما باید از روش گاوس استفاده کنید.

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و برای یافتن ریشه ها باید سه عامل دیگر را محاسبه کنیم:
, ,

و در نهایت، پاسخ با فرمول محاسبه می شود:

همانطور که می بینید، حالت "سه در سه" اساساً با حالت "دو در دو" تفاوتی ندارد، ستون اصطلاحات آزاد به طور متوالی از چپ به راست در امتداد ستون های تعیین کننده اصلی "راه می رود".

مثال 9

سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید.

راه حل: بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم.

، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

پاسخ: .

در واقع، با توجه به این که تصمیم بر اساس فرمول های آماده گرفته می شود، در اینجا دیگر چیز خاصی برای اظهار نظر وجود ندارد. اما چند نکته وجود دارد.

این اتفاق می افتد که در نتیجه محاسبات، کسرهای تقلیل ناپذیر "بد" به دست می آیند، به عنوان مثال: .
من الگوریتم "درمان" زیر را توصیه می کنم. اگر کامپیوتری در دسترس نباشد، این کار را انجام می دهیم:

1) ممکن است اشتباهی در محاسبات وجود داشته باشد. به محض اینکه با یک ضربه "بد" روبرو شدید، باید فورا بررسی کنید که آیا آیا شرط به درستی بازنویسی شده است. اگر شرط بدون خطا بازنویسی شود، باید با استفاده از بسط در یک ردیف دیگر (ستون) عوامل تعیین کننده را دوباره محاسبه کنید.

2) اگر در نتیجه بررسی خطایی پیدا نشد، به احتمال زیاد در شرایط تکلیف اشتباه تایپی صورت گرفته است. در این صورت با آرامش و با احتیاط کار را تا آخر حل کنید و سپس حتما بررسی کنیدو پس از تصمیم گیری آن را روی یک نسخه تمیز ترسیم کنید. البته، بررسی یک پاسخ کسری کار ناخوشایندی است، اما برای معلم که، خوب، واقعاً دوست دارد برای هر چیز بدی مانند منهای قرار دهد، استدلالی خلع سلاح خواهد شد. نحوه برخورد با کسرها در پاسخ مثال 8 به تفصیل آمده است.

اگر رایانه ای در دست دارید، از یک برنامه خودکار برای بررسی آن استفاده کنید، که در همان ابتدای درس به صورت رایگان قابل دانلود است. به هر حال، استفاده از برنامه فوراً سودمندتر است (حتی قبل از شروع راه حل)، بلافاصله مرحله میانی را که در آن اشتباه کرده اید مشاهده خواهید کرد! همین ماشین حساب به طور خودکار جواب سیستم را محاسبه می کند روش ماتریسی.

تذکر دوم. هر از چند گاهی سیستم هایی وجود دارد که در معادلات آنها برخی از متغیرها وجود ندارد، به عنوان مثال:

اینجا در معادله اول هیچ متغیری وجود ندارد، در معادله دوم هیچ متغیری وجود ندارد. در چنین مواردی، نوشتن صحیح و با دقت عامل اصلی بسیار مهم است:
- به جای متغیرهای گمشده، صفرها قرار می گیرند.
به هر حال، منطقی است که تعیین کننده ها را با صفر در ردیف (ستونی) که صفر در آن قرار دارد باز کنید، زیرا محاسبات به میزان قابل توجهی کمتر است.

مثال 10

سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید.

این یک مثال برای حل خود (نمونه پایان و پاسخ در پایان درس) است.

برای سیستمی متشکل از 4 معادله با 4 مجهول، فرمول های کرامر بر اساس اصول مشابه نوشته می شوند. می توانید یک مثال زنده را در درس Determinant Properties ببینید. کاهش ترتیب تعیین کننده - پنج تعیین کننده مرتبه 4 کاملاً قابل حل هستند. اگرچه این کار قبلاً بسیار یادآور کفش یک استاد بر روی سینه یک دانش آموز خوش شانس است.

حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس

روش ماتریس معکوس اساسا یک مورد خاص است معادله ماتریسی(به مثال شماره 3 درس مشخص شده مراجعه کنید).

برای مطالعه این بخش، باید بتوانید تعیین کننده ها را گسترش دهید، ماتریس معکوس را پیدا کنید و ضرب ماتریس را انجام دهید. با پیشرفت توضیحات لینک های مربوطه داده خواهد شد.

مثال 11

سیستم را با روش ماتریسی حل کنید

راه حل: سیستم را به صورت ماتریسی می نویسیم:
، جایی که

لطفا به سیستم معادلات و ماتریس ها نگاه کنید. با چه اصل ما عناصر را در ماتریس می نویسیم، فکر می کنم همه متوجه می شوند. تنها نظر: اگر برخی از متغیرها در معادلات گم شده بودند، باید صفرها در مکان های مربوطه در ماتریس قرار داده شوند.

ماتریس معکوس را با فرمول پیدا می کنیم:
، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

ابتدا به عامل تعیین کننده می پردازیم:

در اینجا تعیین کننده با خط اول بسط می یابد.

توجه! اگر، پس ماتریس معکوس وجود ندارد و حل سیستم با روش ماتریسی غیرممکن است. در این حالت سیستم با حذف مجهولات (روش گاوس) حل می شود.

اکنون باید 9 مینور را محاسبه کرده و در ماتریس مینورها بنویسید

ارجاع:دانستن معنی دو زیرنویس در جبر خطی مفید است. اولین رقم شماره خطی است که عنصر در آن قرار دارد. رقم دوم تعداد ستونی است که عنصر در آن قرار دارد:

یعنی یک زیرنویس دوتایی نشان می دهد که عنصر در ردیف اول، ستون سوم قرار دارد، در حالی که، برای مثال، عنصر در ردیف سوم، ستون 2 قرار دارد.

سیستمی متشکل از 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید

با استفاده از تعیین کننده های مرتبه سوم، حل چنین سیستمی را می توان به همان شکلی که برای یک سیستم از دو معادله نوشته شده است، یعنی.

(2.4)

اگر 0. اینجا

این است قانون کرامر حل یک سیستم از سه معادله خطی در سه مجهول.

مثال 2.3.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از قانون کرامر:

راه حل . یافتن تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم

از آنجایی که 0 است، پس برای یافتن راه حلی برای سیستم، می توانید قانون کرامر را اعمال کنید، اما ابتدا سه عامل دیگر را محاسبه کنید:

معاینه:

بنابراین راه حل درست پیدا می شود. 

قوانین کرامر به دست آمده برای سیستم های خطی مرتبه 2 و 3 نشان می دهد که قوانین مشابهی را می توان برای سیستم های خطی از هر مرتبه فرموله کرد. واقعا اتفاق می افتد

قضیه کرامر. سیستم درجه دوم معادلات خطی با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی سیستم (0) دارای یک و تنها یک راه حل است و این راه حل با فرمول ها محاسبه می شود

(2.5)

جایی که  – تعیین کننده ماتریس اصلی,  من – تعیین کننده ماتریس, برگرفته از اصلی، جایگزینمنستون اعضای آزاد ستون.

توجه داشته باشید که اگر =0 باشد، قانون کرامر قابل اجرا نیست. این بدان معناست که سیستم یا اصلاً راه حلی ندارد یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

پس از فرمول‌بندی قضیه کرامر، این سؤال به طور طبیعی در مورد محاسبه تعیین‌کننده‌های مرتبه بالاتر مطرح می‌شود.

2.4. تعیین کننده های مرتبه n

جزئی اضافی م ijعنصر آ ijتعیین کننده ای نامیده می شود که از داده شده با حذف به دست می آید من-خط و jستون -ام. جمع جبری آ ijعنصر آ ijجزئی این عنصر نامیده می شود که با علامت (-1) گرفته می شود. من + j، یعنی آ ij = (–1) من + j م ij .

به عنوان مثال، بیایید جزئی ها و مکمل های جبری عناصر را پیدا کنیم آ 23 و آ 31 عامل تعیین کننده

ما گرفتیم



با استفاده از مفهوم متمم جبری می توانیم فرمول بندی کنیم قضیه انبساط تعیین کنندهn-ام مرتبه بر اساس سطر یا ستون.

قضیه 2.1. تعیین کننده ماتریسآبرابر است با مجموع حاصلضرب تمام عناصر یک ردیف (یا ستون) و مکمل های جبری آنها:

(2.6)

این قضیه زیربنای یکی از روش های اصلی برای محاسبه دترمینال ها، به اصطلاح. روش کاهش سفارش. در نتیجه بسط تعیین کننده nدر مرتبه هر سطر یا ستون، n تعیین کننده ( n–1)-امین مرتبه. برای اینکه چنین عوامل تعیین کننده کمتری داشته باشید، بهتر است سطر یا ستونی را انتخاب کنید که بیشترین صفر را دارد. در عمل، فرمول بسط برای تعیین کننده معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

آن ها اضافات جبری به صراحت بر حسب جزئی نوشته می شود.

مثال 2.4.ابتدا تعیین کننده ها را در هر سطر یا ستونی بسط دهید. معمولا در چنین مواقعی ستون یا ردیفی را انتخاب کنید که بیشترین صفر را دارد. سطر یا ستون انتخاب شده با یک فلش مشخص می شود.



2.5. ویژگی های اساسی عوامل تعیین کننده

با گسترش دترمینان در هر سطر یا ستون، n تعیین کننده ( n–1)-امین مرتبه. سپس هر یک از این عوامل ( nمرتبه -1-ام همچنین می تواند به مجموع عوامل تعیین کننده تجزیه شود ( n-2)مین مرتبه. با ادامه این روند، می توان به تعیین کننده های مرتبه 1 رسید، یعنی. به عناصر ماتریسی که تعیین کننده آنها در حال محاسبه است. بنابراین، برای محاسبه تعیین‌کننده‌های مرتبه دوم، باید مجموع دو جمله را محاسبه کنید، برای تعیین‌کننده‌های مرتبه 3 - مجموع 6 جمله، برای تعیین‌کننده‌های مرتبه 4 - 24 جمله. با افزایش ترتیب تعیین کننده، تعداد عبارت ها به شدت افزایش می یابد. این بدان معنی است که محاسبه تعیین کننده های سفارشات بسیار بالا به یک کار نسبتاً پرزحمت تبدیل می شود، فراتر از قدرت حتی یک رایانه. با این حال، تعیین کننده ها را می توان به روش دیگری با استفاده از ویژگی های تعیین کننده ها محاسبه کرد.

ملک 1 . اگر ردیف ها و ستون ها در آن جابجا شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند، یعنی. هنگام جابجایی یک ماتریس:

این ویژگی برابری سطرها و ستون های تعیین کننده را نشان می دهد. به عبارت دیگر، هر جمله ای در مورد ستون های یک تعیین کننده برای ردیف های آن صادق است و بالعکس.

ملک 2 . هنگامی که دو سطر (ستون) با هم عوض می شوند، تعیین کننده علامت آن را تغییر می دهد.

نتیجه . اگر تعیین کننده دو ردیف (ستون) یکسان داشته باشد، آنگاه برابر با صفر است.

ملک 3 . ضریب مشترک همه عناصر در هر ردیف (ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد..

مثلا،

نتیجه . اگر همه عناصر یک ردیف (ستون) تعیین کننده برابر با صفر باشند، خود تعیین کننده برابر با صفر است..

ملک 4 . اگر عناصر یک سطر (ستون) به عناصر سطر دیگر (ستون) ضرب در تعدادی اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد..

مثلا،

ملک 5 . تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس برابر است با حاصلضرب عوامل ماتریس: