روش تغییر یک ثابت دلخواه برای حل معادلات ناهمگن خطی. روش تغییر ثابت های دلخواه

حداقل نظری

در نظریه معادلات دیفرانسیل، روشی وجود دارد که مدعی است درجه جهانی بودن به اندازه کافی برای این نظریه وجود دارد.
ما در مورد روش تغییر یک ثابت دلخواه صحبت می کنیم که برای حل کلاس های مختلف معادلات دیفرانسیل و آنها قابل استفاده است.
سیستم های. این دقیقاً موردی است که تئوری - اگر اثبات عبارات را از داخل پرانتز خارج کنید - حداقل است، اما به شما اجازه می دهد به آن دست پیدا کنید.
نتایج قابل توجهی، بنابراین تمرکز اصلی بر روی مثال ها خواهد بود.

ایده کلی روش برای فرمول بندی بسیار ساده است. اجازه دهید معادله داده شدهحل کردن (سیستم معادلات) مشکل است یا اصلاً واضح نیست،
چگونه آن را حل کنیم با این حال، مشاهده می شود که وقتی برخی از اصطلاحات از معادله حذف می شوند، حل می شود. سپس آنها چنین ساده شده را حل می کنند
معادله (سیستم)، یک راه حل حاوی تعداد معینی از ثابت های دلخواه - بسته به ترتیب معادله (تعداد) دریافت کنید
معادلات در سیستم). سپس فرض می‌شود که ثابت‌های موجود در جواب یافت شده واقعاً ثابت نیستند، راه‌حل پیدا شده
با معادله اصلی (سیستم) جایگزین می شود، یک معادله دیفرانسیل (یا سیستم معادلات) برای تعیین "ثابت" به دست می آید.
ویژگی خاصی در به کارگیری روش تغییر یک ثابت دلخواه برای مسائل مختلف وجود دارد، اما اینها قبلاً جزئیاتی هستند که مشخص خواهند شد.
با مثال نشان داده شده است.

راه حل خطی را جداگانه در نظر بگیرید معادلات ناهمگنسفارشات بالاتر، یعنی معادلات فرم
.
جواب کلی معادله ناهمگن خطی حاصل جمع جواب کلی معادله همگن مربوطه و جواب خاص است.
معادله داده شده بیایید وانمود کنیم که تصمیم مشترکمعادله همگن قبلاً پیدا شده است، یعنی سیستم اساسی راه حل ها (FSR) ساخته شده است.
. سپس جواب کلی معادله همگن است.
یافتن راه حل خاصی از معادله ناهمگن ضروری است. برای این، ثابت ها وابسته به متغیر در نظر گرفته می شوند.
بعد، شما باید سیستم معادلات را حل کنید
.
تئوری تضمین می کند که این سیستم معادلات جبریبا توجه به مشتقات توابع، وجود دارد تنها تصمیم.
هنگام یافتن خود توابع، ثابت های یکپارچه سازی ظاهر نمی شوند: در نهایت، هر راه حلی جستجو می شود.

در مورد حل سیستم های معادلات ناهمگن خطی مرتبه اول شکل

الگوریتم تقریباً بدون تغییر باقی می ماند. ابتدا باید FSR سیستم معادلات همگن مربوطه را پیدا کنید، ماتریس اساسی را بسازید.
سیستمی که ستون های آن عناصر FSR هستند. بعد، معادله
.
با حل سیستم، توابع را تعیین می کنیم، بنابراین یک راه حل خاص برای سیستم اصلی پیدا می کنیم
(ماتریس اساسی در ستون ویژگی یافت شده ضرب می شود).
ما آن را به حل کلی سیستم متناظر معادلات همگن اضافه می کنیم که بر اساس FSR قبلاً یافت شده ساخته شده است.
راه حل کلی سیستم اصلی به دست می آید.

مثال ها.

مثال 1 معادلات ناهمگن خطی مرتبه اول.

مربوطه را در نظر بگیرید معادله همگن(تابع مورد نظر را با علامت نشان می دهیم):
.
این معادله با جداسازی متغیرها به راحتی حل می شود:

.
اکنون حل معادله اصلی را به شکل نمایش می دهیم ، جایی که تابع هنوز پیدا نشده است.
ما این نوع راه حل را با معادله اصلی جایگزین می کنیم:
.
همانطور که می بینید، عبارت دوم و سوم در سمت چپ یکدیگر را خنثی می کنند - این است مشخصهروش تغییر یک ثابت دلخواه

در اینجا قبلاً - در واقع، یک ثابت دلخواه. به این ترتیب،
.

مثال 2 معادله برنولی.

ما مشابه مثال اول عمل می کنیم - معادله را حل می کنیم

روش جداسازی متغیرها معلوم می شود، بنابراین ما به دنبال حل معادله اصلی در فرم هستیم
.
این تابع را با معادله اصلی جایگزین کنید:
.
و دوباره بریدگی هایی وجود دارد:
.
در اینجا باید به یاد داشته باشید که هنگام تقسیم بر، راه حل گم نشود. و مورد مطابق با راه حل اصلی است
معادلات به یاد او باشیم. بنابراین،
.
بیا بنویسیم .
این راه حل است. هنگام نوشتن پاسخ، باید راه حلی را که قبلاً پیدا شده است نیز مشخص کنید، زیرا با هیچ مقدار نهایی مطابقت ندارد
ثابت ها .

مثال 3 معادلات ناهمگن خطی از مرتبه بالاتر.

ما فوراً متذکر می شویم که این معادله را می توان ساده تر حل کرد ، اما نشان دادن روش روی آن راحت است. اگرچه برخی از مزایای
روش تغییر یک ثابت دلخواه نیز در این مثال وجود دارد.
بنابراین، باید با FSR معادله همگن مربوطه شروع کنید. به یاد بیاورید که برای پیدا کردن FSR، مشخصه
معادله
.
بنابراین، حل کلی معادله همگن
.
ثابت های موجود در اینجا باید تغییر کنند. کامپایل یک سیستم

از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن استفاده می شود. این درس برای آن دسته از دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که در حال حاضر کم و بیش به این موضوع مسلط هستند. اگر تازه شروع به آشنایی با کنترل از راه دور کرده اید، یعنی. اگر اهل قوری هستید، توصیه می کنم از درس اول شروع کنید: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل. و اگر قبلاً در حال اتمام هستید، لطفاً تصور پیش فرض احتمالی که روش دشوار است را کنار بگذارید. چون او ساده است.

در چه مواردی از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده می شود؟

1) برای حل می توان از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده کرد خطی ناهمگن DE از مرتبه 1. از آنجایی که معادله مرتبه اول است، پس ثابت (ثابت) نیز یک است.

2) از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل برخی استفاده می شود معادلات ناهمگن خطی مرتبه دوم. در اینجا، دو ثابت (ثابت) متفاوت است.

منطقی است که فرض کنیم درس از دو پاراگراف تشکیل شده است. بنابراین من این پیشنهاد را نوشتم و برای حدود 10 دقیقه به طرز دردناکی به این فکر کردم که چه مزخرفات هوشمندانه دیگری برای انتقال آرام به آن اضافه کنم. نمونه های عملی. اما به دلایلی هیچ فکری بعد از تعطیلات وجود ندارد ، اگرچه به نظر می رسد که من از چیزی سوء استفاده نکردم. پس بیایید به پاراگراف اول برویم.

روش تغییرات ثابت دلخواه
برای یک معادله مرتبه اول ناهمگن خطی

قبل از در نظر گرفتن روش تغییر یک ثابت دلخواه، بهتر است با مقاله آشنا شوید خطی معادلات دیفرانسیلسفارش اول. در آن درس تمرین کردیم اولین راه حل DE ناهمگن از مرتبه 1. این اولین راه حل، یادآوری می کنم، نام دارد روش جایگزینییا روش برنولی(با آن اشتباه نشود معادله برنولی!!!)

اکنون در نظر خواهیم گرفت راه دوم برای حل- روش تغییر یک ثابت دلخواه. من فقط سه مثال می زنم و آنها را از درس بالا می گیرم. چرا اینقدر کم؟ زیرا در واقع راه حل در راه دوم بسیار شبیه به راه حل در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، با توجه به مشاهدات من، روش تغییر ثابت های دلخواه کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

(از مثال شماره 2 درس فاصله بگیرید DE ناهمگن خطی از مرتبه 1)

تصمیم:این معادله خطی ناهمگن است و شکلی آشنا دارد:

اولین قدم حل یک معادله ساده تر است:
یعنی ما احمقانه سمت راست را تنظیم مجدد می کنیم - در عوض صفر می نویسیم.
معادله تماس میگیرم معادله کمکی.

در این مثال باید معادله کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله قابل تفکیک، که راه حل آن (امیدوارم) دیگر برای شما سخت نباشد:

به این ترتیب:
جواب کلی معادله کمکی است.

در پله دوم جایگزین کردنثابت برخی هنوزتابع ناشناخته که به "x" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ما ثابت را تغییر می دهیم. از طرف دیگر، ثابت می تواند تابعی باشد که اکنون باید آن را پیدا کنیم.

AT اولیهمعادله ناهمگن بیایید جایگزین کنیم:

جایگزین و به معادله :

لحظه کنترل - دو عبارت سمت چپ لغو می شود. اگر این اتفاق نیفتاد، باید به دنبال خطای بالا بگردید.

در نتیجه جایگزینی، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آید. متغیرها را جدا کرده و ادغام کنید.

چه برکتی است که شارحان نیز در حال کوچک شدن هستند:

یک ثابت "عادی" را به تابع یافت شده اضافه می کنیم:

در مرحله نهایی، جایگزین خود را به یاد می آوریم:

تابع تازه پیدا شد!

بنابراین راه حل کلی این است:

پاسخ:تصمیم مشترک:

اگر دو راه حل را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما انتگرال های یکسانی پیدا کردیم. تنها تفاوت در الگوریتم حل است.

حالا چیزی پیچیده تر، من در مورد مثال دوم نیز نظر خواهم داد:

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
(از مثال شماره 8 درس متمایز شوید DE ناهمگن خطی از مرتبه 1)

تصمیم:معادله را به فرم می آوریم :

سمت راست را صفر کنید و معادله کمکی را حل کنید:

حل کلی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن، جایگزینی را انجام می دهیم:

طبق قانون تمایز محصول:

جایگزین و به معادله ناهمگن اصلی:

دو عبارت سمت چپ لغو می شوند، به این معنی که ما در مسیر درست هستیم:

ما با قطعات ادغام می کنیم. یک حرف خوشمزه از فرمول ادغام توسط قطعات قبلاً در راه حل دخیل است ، بنابراین برای مثال از حروف "a" و "be" استفاده می کنیم:

حالا بیایید به جایگزینی نگاه کنیم:

پاسخ:تصمیم مشترک:

و یک مثال برای خود راه حل:

مثال 3

یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل مربوط به شرط اولیه داده شده را پیدا کنید.

,
(از مثال درس 4 تفاوت بگیرید DE ناهمگن خطی از مرتبه 1)
تصمیم:
این DE ناهمگن خطی است. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم. بیایید معادله کمکی را حل کنیم:

متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم:

تصمیم مشترک:
در معادله ناهمگن، جایگزینی را انجام می دهیم:

بیایید جایگزینی را انجام دهیم:

بنابراین راه حل کلی این است:

یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنید:

پاسخ:راه حل خصوصی:

راه حل در پایان درس می تواند به عنوان یک مدل تقریبی برای اتمام تکلیف باشد.

روش تغییر ثابت های دلخواه
برای یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

اغلب این عقیده شنیده می شود که روش تغییر ثابت های دلخواه برای یک معادله مرتبه دوم کار آسانی نیست. اما من موارد زیر را حدس می زنم: به احتمال زیاد، این روش برای بسیاری دشوار به نظر می رسد، زیرا چندان رایج نیست. اما در واقعیت، هیچ مشکل خاصی وجود ندارد - مسیر تصمیم روشن، شفاف و قابل درک است. و زیبا.

برای تسلط بر روش، مطلوب است که بتوان با انتخاب یک راه حل خاص مطابق شکل سمت راست، معادلات ناهمگن مرتبه دوم را حل کرد. این روش در مقاله به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. DE ناهمگن از مرتبه 2. به یاد می آوریم که یک معادله ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل زیر است:

روش انتخاب که در درس بالا در نظر گرفته شد، فقط در موارد محدودی کار می کند، زمانی که چند جمله ای، توان، سینوس، کسینوس در سمت راست قرار دارند. اما وقتی در سمت راست، به عنوان مثال، کسری، لگاریتم، مماس، چه باید کرد؟ در چنین شرایطی، روش تغییر ثابت ها به کمک می آید.

مثال 4

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را پیدا کنید

تصمیم:کسری در سمت راست این معادله وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خاص کار نمی کند. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

هیچ چیز طوفان رعد و برق را به تصویر نمی کشد، آغاز راه حل کاملاً معمولی است:

بیایید پیدا کنیم تصمیم مشترکمتناظر همگنمعادلات:

معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:


- ریشه های پیچیده مزدوج به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

به رکورد راه حل کلی توجه کنید - اگر براکت وجود دارد، آنها را باز کنید.

اکنون تقریباً همان ترفند معادله مرتبه اول را انجام می دهیم: ثابت ها را تغییر می دهیم و آنها را با توابع مجهول جایگزین می کنیم. به این معنا که، راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر خواهیم بود:

جایی که - هنوزتوابع ناشناخته

به نظر می رسد یک زباله دانی است، اما اکنون همه چیز را مرتب می کنیم.

مشتقات توابع به عنوان مجهول عمل می کنند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت شده باید هر دو معادله اول و دوم سیستم را برآورده کنند.

"بازی ها" از کجا می آیند؟ لک لک آنها را می آورد. ما به راه حل کلی که قبلاً به دست آمده نگاه می کنیم و می نویسیم:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

با سمت چپ برخورد کرد. سمت راست چیه؟

- این هست قسمت راستمعادله اصلی، در این مورد:

ضریب ضریب مشتق دوم است:

در عمل، تقریباً همیشه، و مثال ما نیز از این قاعده مستثنی نیست.

همه چیز پاک شد، اکنون می توانید یک سیستم ایجاد کنید:

سیستم معمولا حل می شود طبق فرمول های کرامربا استفاده از الگوریتم استاندارد تنها تفاوت این است که به جای اعداد، توابع داریم.

تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا کنید:

اگر فراموش کردید که چگونه تعیین کننده "دو در دو" آشکار می شود، به درس مراجعه کنید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟لینک به تابلوی شرم منتهی می شود =)

بنابراین: ، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

مشتق را پیدا می کنیم:

اما این همه چیز نیست، تا کنون ما فقط مشتق را پیدا کرده ایم.
خود تابع با یکپارچه سازی بازیابی می شود:

بیایید تابع دوم را بررسی کنیم:

در اینجا یک ثابت "عادی" را اضافه می کنیم

در مرحله پایانی حل، به یاد می آوریم که در چه شکلی به دنبال حل کلی معادله ناهمگن بودیم؟ در چنین مواردی:

توابع مورد نیازتازه پیدا شد!

باقی مانده است که تعویض را انجام داده و پاسخ را بنویسید:

پاسخ:تصمیم مشترک:

در اصل، پاسخ می تواند پرانتز را باز کند.

بررسی کامل پاسخ طبق طرح استانداردی که در درس در نظر گرفته شده است انجام می شود. DE ناهمگن از مرتبه 2. اما تأیید آسان نخواهد بود، زیرا ما باید مشتقات نسبتاً سنگینی را پیدا کنیم و یک جایگزین دست و پا گیر انجام دهیم. این یک ویژگی ناخوشایند زمانی است که شما در حال حل اختلافات مانند این هستید.

مثال 5

معادله دیفرانسیل را با روش تغییرات ثابت دلخواه حل کنید

این یک مثال برای خودتان است. در واقع سمت راست نیز کسری است. ما به یاد داریم فرمول مثلثاتی، به هر حال، باید در طول راه حل اعمال شود.

روش تغییر ثابت های دلخواه بیشترین است روش عمومی. آنها می توانند هر معادله ای را که قابل حل باشد حل کنند روش انتخاب یک راه حل خاص با توجه به فرم سمت راست. این سوال پیش می آید که چرا در آنجا نیز از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده نمی شود؟ پاسخ واضح است: انتخاب یک راه حل خاص که در درس مورد توجه قرار گرفت معادلات ناهمگن مرتبه دوم، راه حل را به طور قابل توجهی سرعت می بخشد و نشانه گذاری را کاهش می دهد - با تعیین کننده ها و انتگرال ها به هم نخورید.

دو مثال را در نظر بگیرید مشکل کوشی.

مثال 6

یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل مربوط به شرایط اولیه داده شده را پیدا کنید

,

تصمیم:دوباره یک کسری و یک توان در مکان جالب.
ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

بیایید پیدا کنیم تصمیم مشترکمتناظر همگنمعادلات:



- ریشه های واقعی متفاوتی به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلاتی به شکل زیر هستیم: هنوزتوابع ناشناخته

بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

در این مورد:
,
یافتن مشتقات:
,

به این ترتیب:

ما سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل می کنیم:
، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

ما تابع را با یکپارچه سازی بازیابی می کنیم:

در اینجا استفاده شده است روش قرار دادن یک تابع تحت علامت دیفرانسیل.

تابع دوم را با ادغام بازیابی می کنیم:

چنین انتگرالی حل شده است روش جایگزینی متغیر:

از خود جایگزینی بیان می کنیم:

به این ترتیب:

این انتگرال را می توان یافت روش انتخاب مربع کامل، اما در نمونه هایی با diffurs، من ترجیح می دهم کسر را گسترش دهم روش ضرایب نامشخص:

هر دو تابع پیدا شد:

در نتیجه، جواب کلی معادله ناهمگن به صورت زیر است:

راه حل خاصی را پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند .

از نظر فنی، جستجوی راه حل به روش استاندارد انجام می شود که در مقاله مورد بحث قرار گرفت. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن.

صبر کنید، اکنون مشتق راه حل کلی پیدا شده را خواهیم یافت:

اینجا چنین رسوایی است. ساده کردن آن ضروری نیست، ساده تر است که بلافاصله یک سیستم معادلات بسازید. با توجه به شرایط اولیه :

مقادیر یافت شده ثابت ها را جایگزین کنید به یک راه حل کلی:

در پاسخ، لگاریتم ها را می توان کمی بسته بندی کرد.

پاسخ:راه حل خصوصی:

همانطور که می بینید، مشکلات می توانند در انتگرال ها و مشتقات ایجاد شوند، اما نه در الگوریتم روش تغییر ثابت های دلخواه. این من نبودم که شما را ترساندم، این همه مجموعه کوزنتسوف است!

برای آرامش، یک مثال نهایی، ساده تر و خود حل شونده:

مثال 7

مشکل کوشی را حل کنید

,

مثال ساده است، اما خلاقانه است، وقتی سیستمی را می سازید، قبل از تصمیم گیری با دقت به آن نگاه کنید ;-)




در نتیجه راه حل کلی این است:

یک راه حل خاص متناسب با شرایط اولیه پیدا کنید .



مقادیر یافت شده ثابت ها را با جواب کلی جایگزین می کنیم:

پاسخ:راه حل خصوصی:

اجازه دهید به بررسی معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی شکل بپردازیم

جایی که - تابع آرگومان مورد نظر و توابع



داده شده و در برخی فاصله ها پیوسته هستند
.

اجازه دهید یک معادله خطی همگن را در نظر بگیریم که سمت چپ آن با سمت چپ معادله ناهمگن منطبق است (2.31).

معادله ای از شکل (2.32) نامیده می شود معادله همگن مربوط به معادله ناهمگن (2.31).

قضیه زیر در مورد ساختار حل کلی معادله خطی ناهمگن (2.31) صادق است.

قضیه 2.6.حل کلی معادله ناهمگن خطی (2.31) در حوزه

مجموع هر یک از راه حل های خاص آن و حل کلی معادله همگن مربوطه (2.32) در حوزه (2.33) است، یعنی.

جایی که - یک راه حل خاص از معادله (2.31)،
سیستم اساسی حل معادله همگن (2.32) است و
ثابت دلخواه هستند

اثبات این قضیه را می توان در .

با استفاده از مثال یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، ما روشی را ارائه می کنیم که با آن می توان یک راه حل خاص از یک معادله ناهمگن خطی را پیدا کرد. این روش نامیده می شود تغییرات روش لاگرانژ ثابت دلخواه.

بنابراین، اجازه دهید یک معادله خطی ناهمگن داده شود

(2.35)

که در آن ضرایب
و سمت راست
پیوسته در برخی فاصله ها
.

با نشان دادن
و
سیستم بنیادیراه حل های معادله همگن

(2.36)

سپس راه حل کلی آن شکل می گیرد

(2.37)

جایی که و ثابت دلخواه هستند

به همین شکل به دنبال جواب معادله (2.35) خواهیم بود , و همچنین حل کلی معادله همگن مربوطه، جایگزینی ثابت های دلخواه توسط برخی از توابع متمایز پذیر (ما ثابت های دلخواه را تغییر می دهیم)،آن ها

جایی که
و
برخی از توابع قابل تمایز هستند ، که هنوز ناشناخته هستند و سعی می کنیم آنها را تعیین کنیم تا تابع (2.38) راه حلی برای معادله ناهمگن (2.35) باشد. با تمایز هر دو طرف برابری (2.38)، به دست می آوریم

به طوری که هنگام محاسبه بدون مشتقات مرتبه دوم از
و
، ما در همه جا به آن نیاز داریم
شرایط

سپس برای خواهد داشت

مشتق دوم را محاسبه کنید

جایگزینی عبارات برای ,,از (2.38)، (2.40)، (2.41) به معادله (2.35)، به دست می آوریم

عبارات داخل پرانتز در هر نقطه برابر با صفر است
، مانند و - راه حل های خاص معادله (2.36). در این حالت، (2.42) به شکل ترکیب این شرط با شرط (2.39)، سیستمی از معادلات را برای تعیین به دست می آوریم.
و

(2.43)

سیستم اخیر یک سیستم از دو معادله جبری خطی ناهمگن است
و
. تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده Wronsky برای سیستم اساسی راه حل ها است ,و از این رو با صفر در همه جا متفاوت است
. این بدان معنی است که سیستم (2.43) یک راه حل منحصر به فرد دارد. به هر طریقی در رابطه با آن حل شده است
,
پیدا کردن

جایی که
و
توابع شناخته شده هستند.

انجام ادغام و در نظر گرفتن اینکه به عنوان
,
باید هر یک جفت توابع را گرفت، ثابت های ادغام را برابر با صفر قرار می دهیم. گرفتن

با جایگزینی عبارات (2.44) به روابط (2.38)، می توانیم جواب مورد نظر معادله ناهمگن (2.35) را به شکل بنویسیم.

این روش را می توان برای یافتن یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن خطی تعمیم داد - مرتبه

مثال 2.6. معادله را حل کنید
در
اگر توابع

یک سیستم اساسی از راه حل های معادله همگن مربوطه را تشکیل می دهند.

اجازه دهید راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنیم. برای انجام این کار، مطابق با روش لاگرانژ، ابتدا باید سیستم (2.43) را حل کرد که در مورد ما شکل دارد.
کاهش دو طرف هر یک از معادلات توسط ما گرفتیم

با تفریق ترم معادله اول از معادله دوم، متوجه می شویم
و سپس از معادله اول به دست می آید
انجام ادغام و قرار دادن ثابت های یکپارچه سازی برابر با صفر، داریم

یک راه حل خاص برای این معادله را می توان به صورت

جواب کلی این معادله شکل می گیرد

جایی که و ثابت دلخواه هستند

در نهایت، یک ویژگی قابل توجه را یادداشت می کنیم که اغلب به آن اصل تحمیل راه حل ها گفته می شود و با قضیه زیر توضیح داده می شود.

قضیه 2.7.اگر در بین
عملکرد
- یک راه حل خاص از معادله تابع
یک راه حل خاص از معادله در همان بازه، تابع
یک راه حل خاص برای معادله است

اکنون معادله ناهمگن خطی را در نظر بگیرید
. (2)
فرض کنید y 1 ,y 2 ,.., y n سیستم اساسی راه حل ها باشد و جواب کلی معادله همگن متناظر L(y)=0 باشد. مشابه معادلات مرتبه اول، ما به دنبال حل معادله (2) در شکل خواهیم بود.
. (3)
اجازه دهید بررسی کنیم که راه حلی به این شکل وجود دارد. برای انجام این کار، تابع را جایگزین معادله می کنیم. برای جایگزینی این تابع در معادله، مشتقات آن را پیدا می کنیم. مشتق اول است
. (4)
هنگام محاسبه مشتق دوم، چهار جمله در سمت راست (4)، هنگام محاسبه مشتق سوم، هشت عبارت ظاهر می شود و غیره. بنابراین، برای راحتی محاسبات بعدی، جمله اول در (4) برابر با صفر در نظر گرفته شده است. با این حساب، مشتق دوم برابر است با
. (5)
به همان دلایل قبلی، در (5) جمله اول را نیز برابر صفر قرار دادیم. سرانجام، مشتق n امبرابر است با
. (6)
با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به معادله اصلی، داریم
. (7)
جمله دوم در (7) برابر با صفر است، زیرا توابع y j , j=1,2,..,n راه حل های معادله همگن متناظر L(y)=0 هستند. با ترکیب قبلی، سیستمی از معادلات جبری برای یافتن توابع C" j (x) به دست می آوریم.
(8)
تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده ورونسکی سیستم اساسی راه حل های y 1 ,y 2 ,..,y n معادله همگن متناظر L(y)=0 است و بنابراین برابر با صفر نیست. بنابراین، یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم (8) وجود دارد. با یافتن آن، توابع C "j (x)، j=1،2،…،n، و در نتیجه، C j (x)، j=1،2،…، n را به دست می آوریم و این مقادیر را جایگزین می کنیم. (3)، حل معادله ناهمگن خطی را به دست می آوریم.
روش توصیف شده روش تغییر یک ثابت دلخواه یا روش لاگرانژ نامیده می شود.

حداکثر درجه مشتق 2 3 4 5 6

مثال شماره 1. جواب کلی معادله y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x را بیابید. معادله همگن مربوطه را در نظر بگیرید y "" + 4y" + 3y = 0. ریشه های آن معادله مشخصه r 2 + 4r + 3 = 0 -1 و -3 هستند. بنابراین، سیستم اساسی راه حل های یک معادله همگن از توابع y 1 = e - x و y 2 = e -3 x تشکیل شده است. ما به دنبال راه حلی برای یک معادله ناهمگن به شکل y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x هستیم. برای یافتن مشتقات C " 1 , C " 2 سیستمی از معادلات (8) می سازیم.

حل آن، پیدا می کنیم، ادغام توابع به دست آمده، داریم
بالاخره می رسیم

مثال شماره 2. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت با روش تغییر ثابت دلخواه:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

تصمیم:
این معادله دیفرانسیل متعلق به معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت است.
حل معادله را به شکل y = e rx جستجو می کنیم. برای انجام این کار، معادله مشخصه یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت را می سازیم:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

ریشه های معادله مشخصه: r 1 = 4، r 2 = 2
بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها توابع است:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
جواب کلی معادله همگن به شکل زیر است:

یک راه حل خاص را با روش تغییر یک ثابت دلخواه جستجو کنید.
برای یافتن مشتقات C "i، سیستمی از معادلات را می سازیم:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
بیان C" 1 از معادله اول:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
و در دومی جایگزین کنید. در نتیجه، دریافت می کنیم:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
ما توابع به دست آمده C" i را ادغام می کنیم:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

از آنجا که ، سپس عبارات به دست آمده را به شکل زیر می نویسیم:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) - 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
بنابراین، حل کلی معادله دیفرانسیل به شکل زیر است:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
یا
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

ما یک راه حل خاص را تحت شرایط زیر پیدا می کنیم:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

با جایگزینی x = 0 در معادله یافت شده، به دست می آوریم:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
اولین مشتق از راه حل کلی به دست آمده را پیدا می کنیم:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
با جایگزینی x = 0، دریافت می کنیم:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 + 4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

ما یک سیستم از دو معادله بدست می آوریم:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
یا
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
یا
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
جایی که:
C1=0، C*2=2
یک راه حل خاص به صورت زیر نوشته می شود:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را در نظر بگیرید:
(1) .
سه راه برای حل این معادله وجود دارد:

• روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).

حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را با روش لاگرانژ در نظر بگیرید.

روش تغییرات ثابت (لاگرانژ)

در روش تغییرات ثابت معادله را در دو مرحله حل می کنیم. در مرحله اول، معادله اصلی را ساده کرده و معادله همگن را حل می کنیم. در مرحله دوم، ثابت یکپارچگی به دست آمده در مرحله اول حل را با یک تابع جایگزین می کنیم. سپس به دنبال جواب کلی معادله اصلی می گردیم.

معادله را در نظر بگیرید:
(1)

مرحله 1 حل معادله همگن

ما به دنبال راه حلی برای معادله همگن هستیم:

این یک معادله قابل تفکیک است

متغیرها را جدا کنید - ضرب در dx، تقسیم بر y:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال بر روی y - جدولی:

سپس

تقویت کردن:

اجازه دهید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علامت مدول را حذف کنیم که به ضرب در ثابت کاهش می یابد. ± 1، که در C قرار می دهیم:

مرحله 2 ثابت C را با تابع جایگزین کنید

حالا ثابت C را با تابع x جایگزین می کنیم:
c → u (ایکس)
یعنی به دنبال حل معادله اصلی خواهیم بود (1) مانند:
(2)
مشتق را پیدا می کنیم.

طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.
طبق قانون تمایز محصول:

.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم (1) :
(1) ;

.
دو عبارت کاهش می یابد:
;
.
ما ادغام می کنیم:
.
جایگزین در (2) :
.
در نتیجه، جواب کلی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را به دست می آوریم:
.

نمونه ای از حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش لاگرانژ

معادله را حل کنید

تصمیم گیری

معادله همگن را حل می کنیم:

جداسازی متغیرها:

بیایید ضرب کنیم:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال های جدول:

تقویت کردن:

بیایید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علائم مدول را حذف کنیم:

از اینجا:

بیایید ثابت C را با تابع x جایگزین کنیم:
c → u (ایکس)

مشتق را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم:
;
;
یا:
;
.
ما ادغام می کنیم:
;
حل معادله:
.