حل سیستم معادلات به روش ماتریسی. راه حل ماتریس

در نظر گرفتن سیستم معادلات جبری خطی(آهسته) در رابطه با nناشناس ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم به صورت "تاشده" را می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i=1 آ ij ایکس j = ب من , i=1,2, ..., n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم در نظر گرفته شده است معادلات خطیرا می توان در نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم. ماتریس ستونی بکه عناصر آن قسمت های سمت راست معادلات سیستم هستند، ماتریس قسمت سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم. ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستم معادلات جبری خطی نوشته شده به صورت تبر = ب، است معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس دارد ماتریس معکوسو سپس راه حل سیستم تبر = ببا فرمول داده می شود:

x=A -1 ب.

مثالسیستم را حل کنید روش ماتریسی

راه حلماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنید

تعیین کننده را با بسط دادن روی ردیف اول محاسبه کنید:

از آنجا که Δ ≠ 0 ، سپس آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شده است.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

در نتیجه، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیبه نظر می رسد:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

در اینجا a i j و b i (i = ; j = ) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها، می توانیم سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

که در آن A = (a i j) ماتریسی است متشکل از ضرایب در سیستم های ناشناخته(5.1) که نامیده می شود ماتریس سیستم, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) بردارهای ستون T که به ترتیب از x j مجهول و عبارات آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1 , c 2 ,..., c n ) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1) اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1 , x 2 ,..., x n هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حلاگر او داشته باشد حداقلیک راه حل سیستم نامیده می شود ناسازگار،یا نامحلولاگر راه حلی نداشته باشد

,

تشکیل شده با اختصاص ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس A در سمت راست، نامیده می شود سیستم ماتریس توسعه یافته

سوال سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی . سیستم معادلات خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A بر هم منطبق باشند، یعنی. r(A) = r(A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1)، سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم دارد تنها تصمیم(در این حالت سیستم نامیده می شود مسلم - قطعی);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود نا معلوم). در حالت سوم، سیستم (5.1) دارای بی نهایت جواب است.

سیستم تنها در صورتی که r(A) = n راه حل منحصر به فردی دارد. در این مورد، تعداد معادلات نیست کمتر از عددمجهولات (mn)؛ اگر m>n، پس معادلات m-nپیامدهای دیگران هستند اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید قادر به حل سیستم هایی باشیم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است، به اصطلاح. سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) با روش گاوس، یا با روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) به روش ماتریسی.

مثال 2.12. سیستم معادلات را بررسی کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1،

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

اجازه دهید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. واضح است که مثلاً مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r(A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

از این رو، رتبه ماتریس توسعه یافته r(A) = 3 است. از آنجایی که r(A)  r(A)، سیستم ناسازگار است.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. روش ماتریسی امکان یافتن راه حل های SLAE (سیستم معادلات جبری خطی) با هر پیچیدگی را فراهم می کند. کل فرآیند حل SLAE به دو مرحله اصلی خلاصه می شود:

تعیین ماتریس معکوس بر اساس ماتریس اصلی:

ضرب ماتریس معکوس حاصل در بردار ستونی محلول ها.

فرض کنید یک SLAE به شکل زیر به ما داده می شود:

\[\left\(\begin(ماتریس) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end (ماتریس)\راست.\]

بیایید حل این معادله را با نوشتن ماتریس سیستم شروع کنیم:

ماتریس سمت راست:

بیایید یک ماتریس معکوس تعریف کنیم. شما می توانید یک ماتریس مرتبه دوم را به صورت زیر پیدا کنید: 1 - خود ماتریس باید غیر مفرد باشد. 2- عناصر آن که روی مورب اصلی قرار دارند با هم عوض می شوند و برای عناصر قطر ثانویه تغییر علامت به سمت مقابل انجام می دهیم و پس از آن عناصر به دست آمده را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\arrow arrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ شروع (pmatrix) -11 \\ 31 \end (pmatrix) \]

2 ماتریس در صورتی برابر در نظر گرفته می شوند که عناصر متناظر آنها برابر باشند. در نتیجه، ما پاسخ زیر را از راه حل SLAE داریم:

کجا می توانم یک سیستم معادلات را با استفاده از روش ماتریسی به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید.

این ماشین حساب آنلاین یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش ماتریسی حل می کند. یک راه حل بسیار دقیق ارائه شده است. برای حل یک سیستم معادلات خطی، تعداد متغیرها را انتخاب کنید. روشی را برای محاسبه ماتریس معکوس انتخاب کنید. سپس داده ها را در سلول ها وارد کرده و روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود اطلاعاتاعداد به صورت اعداد کامل (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعداد اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به صورت a/b تایپ شود، جایی که a و b اعداد کامل یا اعشاری هستند. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی

سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید:

با در نظر گرفتن تعریف ماتریس معکوس، داریم آ −1 آ=E، جایی که Eماتریس هویت است. بنابراین، (4) را می توان به صورت زیر نوشت:

بنابراین، برای حل سیستم معادلات خطی (1) (یا (2))، کافی است که معکوس را در آماتریس در بردار محدودیت ب.

نمونه هایی از حل یک سیستم معادلات خطی به روش ماتریسی

مثال 1. سیستم معادلات خطی زیر را با استفاده از روش ماتریسی حل کنید:

بیایید معکوس ماتریس A را با روش جردن-گاوس پیدا کنیم. در سمت راست ماتریس آماتریس هویت را بنویسید:

بیایید عناصر ستون 1 ماتریس را در زیر قطر اصلی حذف کنیم. برای انجام این کار، ردیف های 2،3 را با ردیف 1، به ترتیب در -1/3، -1/3 ضرب کنید:

بیایید عناصر ستون 2 ماتریس را در زیر قطر اصلی حذف کنیم. برای انجام این کار، خط 3 را با خط 2 ضرب در -24/51 اضافه کنید:

بیایید عناصر ستون 2 ماتریس را در بالای مورب اصلی حذف کنیم. برای انجام این کار، ردیف 1 را با ردیف 2، ضرب در -3/17 اضافه کنید:

سمت راست ماتریس را جدا کنید. ماتریس حاصل برعکس است آ :

شکل ماتریسی نوشتن یک سیستم معادلات خطی: تبر = ب، جایی که

تمام مکمل های جبری ماتریس را محاسبه کنید آ:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

ماتریس معکوس از عبارت زیر محاسبه می شود.

سیستم m معادلات خطی با n مجهولسیستم فرم نامیده می شود

جایی که aijو b i (من=1,…,متر; ب=1,…,n) تعدادی اعداد شناخته شده هستند و x 1،…، x n- ناشناس. در علامت گذاری ضرایب aijشاخص اول مننشان دهنده تعداد معادله، و دوم است jتعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد.

ضرایب مجهولات به صورت ماتریس نوشته می شود ، که با آن تماس خواهیم گرفت ماتریس سیستم.

اعداد سمت راست معادلات b 1,…,b mتماس گرفت اعضای رایگان

تجمیع nشماره c 1,…,c nتماس گرفت تصمیم گیریاز این سیستم، اگر هر معادله سیستم پس از جایگزینی اعداد به یک تساوی تبدیل شود c 1,…,c nبه جای مجهولات مربوطه x 1،…، x n.

وظیفه ما یافتن راه حل برای سیستم خواهد بود. در این حالت سه حالت ممکن است پیش بیاید:

سیستم معادلات خطی که حداقل یک جواب داشته باشد نامیده می شود مفصل. در غیر این صورت، یعنی اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود ناسازگار.

راه‌هایی را برای یافتن راه‌حل‌های سیستم در نظر بگیرید.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی

ماتریس ها امکان نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی را فراهم می کنند. اجازه دهید یک سیستم از 3 معادله با سه مجهول داده شود:

ماتریس سیستم را در نظر بگیرید و ستون های ماتریسی از اعضای مجهول و مجهول

بیایید محصول را پیدا کنیم

آن ها در نتیجه حاصل ضرب، سمت چپ معادلات این سیستم را بدست می آوریم. سپس با استفاده از تعریف برابری ماتریسی می توان این سیستم را به صورت زیر نوشت

یا کوتاهتر آ∙X=B.

در اینجا ماتریس ها آو بشناخته شده اند، و ماتریس ایکسناشناس. او باید پیدا شود، زیرا. عناصر آن راه حل این سیستم هستند. این معادله نامیده می شود معادله ماتریسی.

بگذارید تعیین کننده ماتریس با صفر | متفاوت باشد آ| ≠ 0. سپس معادله ماتریس به صورت زیر حل می شود. دو طرف معادله سمت چپ را در ماتریس ضرب کنید الف-1، معکوس ماتریس آ: . از آنجا که A -1 A = Eو E∙X=X، سپس حل معادله ماتریس را به شکل به دست می آوریم X = A -1 B .

توجه داشته باشید که از آنجایی که ماتریس معکوس را فقط می توان برای ماتریس های مربعی یافت، روش ماتریس فقط می تواند سیستم هایی را حل کند که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر است. با این حال، نمادگذاری ماتریسی سیستم نیز در صورتی امکان پذیر است که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر نباشد، ماتریس آمربع نیست و بنابراین یافتن راه حلی برای سیستم در قالب غیرممکن است X = A -1 B.

مثال ها.حل سیستم معادلات

قانون کرامر

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

تعیین کننده مرتبه سوم مربوط به ماتریس سیستم، یعنی. متشکل از ضرایب در مجهولات،

تماس گرفت تعیین کننده سیستم.

ما سه تعیین کننده دیگر را به صورت زیر می نویسیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از اعضای آزاد جایگزین می کنیم.

سپس می توانیم نتیجه زیر را ثابت کنیم.

قضیه (قاعده کرامر).اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم مورد بررسی یک و تنها یک راه حل دارد و

اثبات. بنابراین، یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید. معادله 1 سیستم را در متمم جبری ضرب کنید یک 11عنصر یک 11، معادله 2 - روشن A21و 3 - در A 31:

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:

هر یک از براکت ها و سمت راست این معادله را در نظر بگیرید. با قضیه بسط تعیین کننده بر حسب عناصر ستون 1

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، دیدن آن آسان است

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: .

در نتیجه، .

برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند، از آنجایی که ادعای قضیه در زیر آمده است.

بنابراین، ما توجه می کنیم که اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و بالعکس. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، آنگاه سیستم یا مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها دارد یا هیچ راه حلی ندارد، یعنی. ناسازگار

مثال ها.حل یک سیستم معادلات

روش گاوس

روش های در نظر گرفته شده قبلی را می توان تنها برای حل سیستم هایی استفاده کرد که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق است و تعیین کننده سیستم باید با صفر متفاوت باشد. روش گاوسی جهانی تر است و برای سیستم هایی با هر تعداد معادله مناسب است. این شامل حذف متوالی مجهولات از معادلات سیستم است.

دوباره سیستمی از سه معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید:

.

معادله اول را بدون تغییر می گذاریم و از 2 و 3 عبارات حاوی را حذف می کنیم x 1. برای این کار معادله دوم را بر تقسیم می کنیم آ 21 و ضرب در - آ 11 و سپس با معادله 1 جمع کنید. به همین ترتیب، معادله سوم را به تقسیم می کنیم آ 31 و ضرب در - آ 11 و سپس آن را به اولی اضافه کنید. در نتیجه، سیستم اصلی به شکل زیر خواهد بود:

حال از آخرین معادله، عبارت حاوی را حذف می کنیم x2. برای انجام این کار، معادله سوم را بر تقسیم کنید، در آن ضرب کنید و آن را به دومی اضافه کنید. سپس ما یک سیستم معادلات خواهیم داشت:

از این رو از آخرین معادله به راحتی می توان آن را پیدا کرد x 3، سپس از معادله 2 x2و در نهایت از 1 - x 1.

هنگام استفاده از روش گاوسی، در صورت لزوم می توان معادلات را تعویض کرد.

اغلب، به جای نوشتن یک سیستم جدید از معادلات، خود را به نوشتن ماتریس توسعه یافته سیستم محدود می کنند:

و سپس با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل مثلثی یا مورب بیاورید.

به تحولات ابتداییماتریس ها شامل تبدیل های زیر هستند:

1. جایگشت سطرها یا ستون ها؛
2. ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر؛
3. اضافه کردن خطوط دیگر به یک خط

مثال ها:حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس.

بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

معادلات به طور کلی، معادلات جبری خطی و سیستم های آنها و همچنین روش های حل آنها، جایگاه ویژه ای را در ریاضیات، چه به صورت نظری و چه کاربردی، به خود اختصاص داده اند.

این به این دلیل است که اکثریت قریب به اتفاق مسائل فیزیکی، اقتصادی، فنی و حتی آموزشی را می توان با استفاده از انواع معادلات و سیستم های آنها توصیف و حل کرد. اخیراً، مدل‌سازی ریاضی محبوبیت خاصی در میان محققان، دانشمندان و پزشکان تقریباً در تمام زمینه‌های موضوعی به دست آورده است، که با مزایای آشکار آن نسبت به سایر روش‌های شناخته شده و اثبات شده برای مطالعه اشیاء با طبیعت مختلف، به ویژه، به اصطلاح پیچیده توضیح داده می‌شود. سیستم های. تعاریف مختلفی از یک مدل ریاضی توسط دانشمندان در زمان‌های مختلف ارائه شده است، اما به نظر ما موفق‌ترین آنها عبارت زیر است. مدل ریاضی ایده ای است که با یک معادله بیان می شود. بنابراین، توانایی ترکیب و حل معادلات و سیستم های آنها از ویژگی های جدایی ناپذیر یک متخصص مدرن است.

برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، متداول ترین روش ها عبارتند از: کرامر، جردن-گاوس و روش ماتریسی.

روش حل ماتریسی - روشی برای حل سیستم های معادلات جبری خطی با یک تعیین کننده غیر صفر با استفاده از یک ماتریس معکوس.

اگر ضرایب مقادیر مجهول xi را در ماتریس A بنویسیم، مقادیر مجهول را در بردار ستون X و عبارات آزاد را در بردار ستون B جمع آوری کنیم، می توان سیستم معادلات جبری خطی را در آن نوشت. شکل معادله ماتریسی زیر A X = B، که تنها زمانی راه حل منحصر به فرد دارد که تعیین کننده ماتریس A برابر با صفر نباشد. در این حالت حل سیستم معادلات را می توان به صورت زیر یافت ایکس = آ-یک · ب، جایی که آ-1 - ماتریس معکوس.

روش حل ماتریسی به شرح زیر است.

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی با آن داده شود nناشناس:

می توان آن را به صورت ماتریسی بازنویسی کرد: تبر = ب، جایی که آ- ماتریس اصلی سیستم، بو ایکس- ستون های اعضای آزاد و راه حل های سیستم به ترتیب:

این معادله ماتریس سمت چپ را در ضرب کنید آ-1 - ماتریس معکوس به ماتریس آ: آ -1 (تبر) = آ -1 ب

زیرا آ -1 آ = E، ما گرفتیم ایکس= A -1 ب. سمت راست این معادله ستونی از راه حل ها را به سیستم اصلی می دهد. شرط کاربردی بودن این روش (و همچنین وجود کلی راه حل برای یک سیستم ناهمگن معادلات خطی با تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات) عدم انحطاط ماتریس است. آ. شرط لازم و کافی برای این امر این است که تعیین کننده ماتریس باشد آ: دت آ≠ 0.

برای یک سیستم همگن از معادلات خطی، یعنی زمانی که بردار ب = 0 ، در واقع قانون مخالف: سیستم تبر = 0 یک راه حل غیر ضروری (یعنی غیر صفر) دارد فقط در صورتی که det باشد آ= 0. چنین ارتباطی بین راه حل های سیستم های همگن و ناهمگن معادلات خطی جایگزین فردهولم نامیده می شود.

مثال حل یک سیستم ناهمگن معادلات جبری خطی.

اجازه دهید مطمئن شویم که تعیین کننده ماتریس، متشکل از ضرایب مجهولات سیستم معادلات جبری خطی، برابر با صفر نیست.

مرحله بعدی محاسبه مکمل های جبری برای عناصر ماتریس متشکل از ضرایب مجهولات است. آنها برای یافتن ماتریس معکوس مورد نیاز خواهند بود.