حل معادله با دو مجهول به روش جایگزینی. سیستم معادلات

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. روش جایگزینی حل سیستم های معادلات خطی با هر پیچیدگی را آسان می کند. ماهیت روش این است که با استفاده از عبارت اول سیستم، "y" را بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را به جای "y" در معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم. از آنجایی که معادله در حال حاضر شامل دو مجهول نیست، بلکه فقط یک مجهول دارد، می‌توانیم به راحتی مقدار این متغیر را پیدا کنیم و سپس از آن برای تعیین مقدار دوم استفاده کنیم.

فرض کنید به ما یک سیستم معادلات خطی به شکل زیر داده شده است:

\[\left\(\begin(ماتریس) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

بیان \

\[\left\(\begin(ماتریس) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

عبارت بدست آمده را با معادله دوم جایگزین کنید:

\[\left\(\begin(ماتریس) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end (ماتریس)\راست.\]

مقدار \

با باز کردن پرانتزها و در نظر گرفتن قوانین انتقال عبارت، معادله را ساده و حل کنید:

اکنون مقدار \\ بیایید از این برای پیدا کردن \\ استفاده کنیم

پاسخ: \[(4;2).\]

کجا می توانم یک سیستم معادلات را به روش جایگزینی به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما این امکان را می دهد که یک معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید.

1. حل سیستم به روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.

به منظور حل سیستم معادلات روش جایگزینیشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان می کنیم. از هر معادله ای یک متغیر را بیان می کنیم.
2. جایگزین. به جای متغیر بیان شده، مقدار حاصل را در معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل می کنیم. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

برطرف كردن سیستم با جمع ترم به ترم (تفریق)نیاز داشتن:
1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسانی ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا کم می کنیم، در نتیجه معادله ای با یک متغیر به دست می آید.
3. معادله خطی حاصل را حل می کنیم. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.

اجازه دهید راه حل سیستم ها را با استفاده از مثال ها با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال شماره 1:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم

2x+5y=1 (1 معادله)
x-10y=3 (معادله دوم)

1. اکسپرس
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد، بنابراین مشخص می شود که بیان متغیر x از معادله دوم ساده ترین است.
x=3+10y

2. پس از بیان، به جای متغیر x، 3 + 10y را در معادله اول جایگزین می کنیم.
2(3+10y)+5y=1

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل می کنیم.
2(3+10y)+5y=1 (پرانتز باز)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

راه حل سیستم معادلات، نقاط تلاقی نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، بیایید x را پیدا کنیم، در اولین پاراگراف که بیان کردیم، y را در آنجا جایگزین می کنیم.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

مرسوم است که در مرحله اول امتیاز می نویسیم، متغیر x و در مرحله دوم متغیر y.
پاسخ: (1؛ -0.2)

مثال شماره 2:

بیایید با جمع ترم (تفریق) حل کنیم.

3x-2y=1 (1 معادله)
2x-3y=-10 (معادله دوم)

1. یک متغیر را انتخاب کنید، فرض کنید x را انتخاب می کنیم. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 است، در دومی - 2. ما باید ضرایب را یکسان کنیم، برای این ما حق داریم معادلات را ضرب کنیم یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول را در 2 و دومی را در 3 ضرب می کنیم و ضریب کل 6 به دست می آید.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. از معادله اول، دومی را کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. حل کنید معادله خطی.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x را پیدا کنید. y یافت شده را در هر یک از معادلات، مثلاً در معادله اول، جایگزین می کنیم.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

نقطه تقاطع x=4.6 خواهد بود. y=6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)

آیا می خواهید برای امتحانات به صورت رایگان آماده شوید؟ معلم آنلاین رایگان است. شوخی نکن.

1. روش تعویض: از هر معادله ای از سیستم یک مجهول را از طریق دیگری بیان می کنیم و آن را جایگزین معادله دوم سیستم می کنیم.

یک وظیفه.حل سیستم معادلات:

راه حل.از معادله اول سیستم بیان می کنیم دراز طریق ایکسو جایگزین معادله دوم سیستم کنید. بیایید سیستم را دریافت کنیم معادل اصل

پس از آوردن چنین شرایطی، سیستم به شکل زیر در می آید:

از معادله دوم در می یابیم: . جایگزینی این مقدار در معادله در = 2 - 2ایکس، ما گرفتیم در= 3. بنابراین، راه حل این سیستم یک جفت اعداد است.

2. روش جمع جبری: با جمع دو معادله، معادله ای با یک متغیر بدست آورید.

یک وظیفه.حل معادله سیستم:

راه حل.با ضرب دو طرف معادله دوم در 2، سیستم را بدست می آوریم معادل اصل با جمع دو معادله این سیستم به سیستم می رسیم

پس از کاهش اصطلاحات مشابه، این سیستم به شکل زیر در می آید: از معادله دوم پیدا می کنیم. جایگزینی این مقدار در معادله 3 ایکس + 4در= 5، می گیریم ، جایی که . بنابراین راه حل این سیستم یک جفت اعداد است.

3. روشی برای معرفی متغیرهای جدید: ما به دنبال عبارات تکرار شده در سیستم هستیم که با متغیرهای جدید نشان می دهیم و در نتیجه شکل سیستم را ساده می کنیم.

یک وظیفه.حل سیستم معادلات:

راه حل.بیایید این سیستم را متفاوت بنویسیم:

اجازه دهید x + y = تو، هو = vسپس سیستم را دریافت می کنیم

بیایید آن را با روش جایگزینی حل کنیم. از معادله اول سیستم بیان می کنیم تواز طریق vو جایگزین معادله دوم سیستم کنید. بیایید سیستم را دریافت کنیم آن ها

از معادله دوم سیستم پیدا می کنیم v 1 = 2, v 2 = 3.

جایگزینی این مقادیر در معادله تو = 5 - v، ما گرفتیم تو 1 = 3,
تو 2 = 2. سپس دو سیستم داریم

با حل اولین سیستم، دو جفت عدد (1؛ 2)، (2؛ 1) به دست می آوریم. سیستم دوم هیچ راه حلی ندارد.

تمرین برای کار مستقل

1. حل سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی.

سیستم معادلات خطی در دو مجهول دو یا چند معادله خطی است که برای آنها باید همه آنها را پیدا کنید. راه حل های کلی. ما سیستم های دو معادله خطی با دو مجهول را در نظر خواهیم گرفت. فرم کلییک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول در شکل زیر نشان داده شده است:

(a1*x + b1*y = c1،
(a2*x + b2*y = c2

در اینجا x و y متغیرهای ناشناخته هستند، a1، a2، b1، b2، c1، c2 برخی از اعداد واقعی هستند. راه حل یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول، یک جفت اعداد (x,y) است به طوری که اگر این اعداد جایگزین معادلات سیستم شوند، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود. یکی از راه های حل یک سیستم معادلات خطی، یعنی روش جایگزینی را در نظر بگیرید.

الگوریتم حل به روش جایگزینی

الگوریتم حل سیستم معادلات خطی به روش جایگزینی:

1. یک معادله را انتخاب کنید (بهتر است معادله ای را انتخاب کنید که اعداد کوچکتر هستند) و یک متغیر را از طریق دیگری بیان کنید، مثلاً x تا y. (شما همچنین می توانید y از طریق x).

2. عبارت حاصل را به جای متغیر مربوطه در معادله دیگری جایگزین کنید. بنابراین، یک معادله خطی با یک مجهول دریافت می کنیم.

3. معادله خطی حاصل را حل می کنیم و جواب را می گیریم.

4. محلول به دست آمده را جایگزین عبارت به دست آمده در پاراگراف اول می کنیم، مجهول دوم را از محلول بدست می آوریم.

5. محلول حاصل را بررسی کنید.

مثال

برای روشن شدن بیشتر، اجازه دهید یک مثال کوچک را حل کنیم.

مثال 1حل سیستم معادلات:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

راه حل:

1. از معادله اول این سیستم، متغیر x را بیان می کنیم. x= (12 -2*y) داریم.

2. این عبارت را با معادله دوم جایگزین کنید، 2*x-3*y=-18 بدست می آوریم. 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. معادله خطی حاصل را حل می کنیم: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. نتیجه به دست آمده را با عبارت به دست آمده در پاراگراف اول جایگزین می کنیم. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. راه حل به دست آمده را بررسی می کنیم، برای این کار اعداد موجود در سیستم اصلی را جایگزین می کنیم.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

ما برابری های صحیح را بدست آوردیم، بنابراین، راه حل را به درستی پیدا کردیم.

برای حل یک سیستم معادلات خطی با دو روش متغیرتعویض ها به شرح زیر انجام می شود:

1) یک متغیر را از طریق دیگری در یکی از معادلات سیستم بیان می کنیم (x تا y یا y تا x).

2) عبارت حاصل را با معادله دیگری از سیستم جایگزین می کنیم و یک معادله خطی با یک متغیر بدست می آوریم.

3) معادله خطی حاصل را با یک متغیر حل می کنیم و مقدار این متغیر را پیدا می کنیم.

4) مقدار یافت شده متغیر را با عبارت (1) با متغیر دیگری جایگزین می کنیم و مقدار این متغیر را پیدا می کنیم.

مثال ها. یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش جایگزینی حل کنید.

بیان ایکساز طریق y از معادله 1. دریافت می کنیم: x \u003d 7 + y. به جای عبارت (7 + y) قرار می دهیم ایکسبه معادله 2 سیستم.

معادله را بدست آوردیم: 3 · (7+y)+2y=16. این یک معادله یک متغیر است در. حلش می کنیم. بیایید پرانتزها را باز کنیم: 21+3y+2y=16. جمع آوری اصطلاحات با یک متغیر دردر سمت چپ، و شرایط رایگان در سمت راست. هنگام انتقال یک عبارت از یک قسمت برابری به قسمت دیگر، علامت عبارت را به مخالف تغییر می دهیم.

دریافت می کنیم: 3y + 2y \u003d 16-21. ما در هر قسمت از برابری عبارت های مشابهی می دهیم. 5y=-5. دو طرف تساوی را بر ضریب متغیر تقسیم می کنیم. y=-5:5; y=-1. این مقدار را جایگزین کنید درعبارت x=7+y را وارد کنید و پیدا کنید ایکس. دریافت می کنیم: x=7-1; x=6. یک جفت مقادیر متغیر x=6 و y=-1 راه حل این سیستم است.

بنویسید: (6; -1). پاسخ: (6؛ -1). نوشتن این آرگومان ها همانطور که در زیر نشان داده شده است راحت است، به عنوان مثال، سیستم های معادلات - در سمت چپ زیر یکدیگر. در سمت راست - محاسبات، توضیحات لازم، تأیید راه حل و غیره.