حل سیستم معادلات جبری خطی به روش تکرار. راه حل اسلاف با تکرار ساده

مزیت روش‌های تکراری، کاربرد آن‌ها برای سیستم‌ها و سیستم‌های با شرایط نامناسب، اصلاح خود و سهولت پیاده‌سازی در رایانه شخصی است. روش های تکراری برای شروع محاسبه نیاز به تقریب اولیه به راه حل مورد نظر دارند.

لازم به ذکر است که شرایط و سرعت همگرایی فرآیند تکراری اساساً به ویژگی های ماتریس بستگی دارد. ولیسیستم و انتخاب تقریب های اولیه.

برای اعمال روش تکرار، سیستم اصلی (2.1) یا (2.2) باید به شکل کاهش یابد.

سپس فرآیند تکرار شوندهتوسط فرمول های بازگشتی انجام می شود

, ک = 0, 1, 2, ... . (2.26آ)

ماتریس جیو بردار در نتیجه تبدیل سیستم (2.1) به دست می آید.

برای همگرایی (2.26 آ) برای |ل لازم و کافی است من(جی)| < 1, где lمن(جی) - همه مقادیر ویژهماتریس ها جی. همگرایی نیز در صورت || رخ خواهد داد جی|| < 1, так как |lمن(جی)| < " ||جی||، جایی که "هر کدام است.

نماد || ... || به معنای هنجار ماتریس است. هنگام تعیین مقدار آن، آنها اغلب در بررسی دو شرط متوقف می شوند:

||جی|| = یا || جی|| = , (2.27)

جایی که . اگر ماتریس اصلی باشد، همگرایی تضمین می شود ولیدارای غلبه مورب است، یعنی.

. (2.28)

اگر (2.27) یا (2.28) ارضا شود، روش تکرار برای هر تقریب اولیه همگرا می شود. اغلب، بردار به صورت صفر یا واحد در نظر گرفته می شود، یا خود بردار از (2.26) گرفته می شود.

رویکردهای زیادی برای تبدیل سیستم اصلی (2.2) با ماتریس وجود دارد ولیبرای اطمینان از فرم (2.26) یا برای ارضای شرایط همگرایی (2.27) و (2.28).

به عنوان مثال، (2.26) را می توان به صورت زیر به دست آورد.

اجازه دهید ولی = AT+ از جانب، دت AT¹ 0; سپس ( ب+ از جانب)= Þ ب= −سی+ Þ Þ ب –1 ب= −ب –1 سی+ ب–1، از آنجا = − ب –1 سی+ ب –1 .

قرار دادن - ب –1 سی = جی, ب-1 = ، (2.26) را بدست می آوریم.

از شرایط همگرایی (2.27) و (2.28) مشاهده می شود که نمایندگی ولی = AT+ از جانبنمی تواند دلخواه باشد

اگر ماتریس ولیشرایط (2.28) و سپس به عنوان یک ماتریس را برآورده می کند ATمی توانید مثلث پایین را انتخاب کنید:

, a II ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

با انتخاب پارامتر a می توانیم اطمینان حاصل کنیم که || جی|| = ||E+ الف آ|| < 1.

اگر (2.28) غالب باشد، تبدیل به (2.26) را می توان با حل هر یک انجام داد. منمعادله سیستم (2.1) نسبت به x iبا توجه به فرمول های بازگشتی زیر:

(2.28آ)

اگر در ماتریس ولیهیچ برتری مورب وجود ندارد، باید با کمک برخی تبدیلات خطی که معادل آنها را نقض نمی کند، به دست آید.

به عنوان مثال، سیستم را در نظر بگیرید

(2.29)

همانطور که مشاهده می شود، در معادلات (1) و (2) تسلط مورب وجود ندارد، اما در (3) وجود دارد، بنابراین آن را بدون تغییر می گذاریم.

اجازه دهید در رابطه (1) به تسلط مورب دست یابیم. (1) را در a، (2) در b ضرب کنید، هر دو معادله را اضافه کنید، و a و b را در معادله حاصل انتخاب کنید تا تسلط مورب وجود داشته باشد:

(2a + 3b) ایکس 1 + (-1.8a + 2b) ایکس 2 + (0.4a - 1.1b) ایکس 3 = الف.

با گرفتن a = b = 5، 25 به دست می آید ایکس 1 + ایکس 2 – 3,5ایکس 3 = 5.

برای تبدیل معادله (2) با غالب (1)، در g ضرب می کنیم، (2) در d ضرب می کنیم و (1) را از (2) کم می کنیم. گرفتن

(3 بعدی - 2 گرم) ایکس 1+(2d+1.8g) ایکس 2 + (-1.1 روز - 0.4 گرم) ایکس 3 = −g.

با قرار دادن d = 2، g = 3، 0 می گیریم ایکس 1 + 9,4 ایکس 2 – 3,4 ایکس 3 = -3. در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم

(2.30)

از این تکنیک می توان برای یافتن راه حل برای دسته وسیعی از ماتریس ها استفاده کرد.

یا

با در نظر گرفتن تقریب اولیه بردار = (0.2; -0.32; 0) تی، ما این سیستم را با استفاده از فناوری حل خواهیم کرد (2.26 آ):

ک = 0, 1, 2, ... .

فرآیند محاسبه زمانی متوقف می شود که دو تقریب همسایه بردار راه حل از نظر دقت بر هم منطبق باشند، یعنی.

.

فناوری حل تکراری شکل (2.26 آ) نامیده می شود با تکرار ساده .

مقطع تحصیلی خطای مطلقبرای روش تکرار ساده:

جایی که نماد || ... || یعنی هنجار

مثال 2.1. با استفاده از روش تکرار ساده با دقت e = 0.001 سیستم را حل کنید معادلات خطی:

تعداد مراحلی که پاسخی دقیق به 0.001 e = می دهد را می توان از رابطه تعیین کرد

0.001 پوند

اجازه دهید همگرایی را با فرمول (2.27) تخمین بزنیم. اینجا || جی|| = = حداکثر (0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

به عنوان تقریب اولیه، بردار عبارات آزاد را می گیریم، یعنی = (2.15; -0.83; 1.16; 0.44) تی. مقادیر بردار را در (2.26 آ):

در ادامه محاسبات، نتایج را در جدول وارد می کنیم:

ک	ایکس 1	ایکس 2	ایکس 3	ایکس 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

همگرایی در هزارم در مرحله دهم اتفاق می افتد.

پاسخ: ایکس 1 » 3.571; ایکس 2 » -0.957; ایکس 3 » 1.489; ایکس 4 "-0.836.

این محلول را می توان با استفاده از فرمول های (2.28 آ).

مثال 2.2. برای نشان دادن الگوریتم با استفاده از فرمول (2.28 آ) راه حل سیستم را در نظر بگیرید (فقط دو تکرار):

; . (2.31)

اجازه دهید سیستم را به شکل (2.26) مطابق (2.28) تبدیل کنیم آ):

Þ (2.32)

بیایید تقریب اولیه را در نظر بگیریم = (0; 0; 0) تی. سپس برای ک= 0 ارزش آشکار = (0.5; 0.8; 1.5) تی. اجازه دهید این مقادیر را با (2.32) جایگزین کنیم، یعنی برای ک= 1 بدست می آوریم = (1.075; 1.3; 1.175) تی.

خطا e 2 = = max(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575.

بلوک دیاگرام الگوریتم برای یافتن جواب SLAE با روش تکرارهای سادهطبق فرمول های کاری (2.28 آ) در شکل نشان داده شده است. 2.4.

یکی از ویژگی های بلوک دیاگرام وجود بلوک های زیر است:

- بلوک 13 - هدف آن در زیر مورد بحث قرار گرفته است.

- بلوک 21 - نمایش نتایج روی صفحه؛

- بلوک 22 - تأیید (شاخص) همگرایی.

اجازه دهید طرح پیشنهادی را بر اساس مثال سیستم (2.31) تحلیل کنیم ( n= 3، w = 1، e = 0.001):

= ; .

مسدود کردن 1. داده های اولیه را وارد کنید آ, , w , e , n: n= 3، w = 1، e = 0.001.

چرخه I. مقادیر اولیه بردارها را تنظیم کنید ایکس 0منو x i (من = 1, 2, 3).

مسدود کردن 5. شمارنده تعداد تکرارها را تنظیم مجدد کنید.

مسدود کردن 6. شمارنده خطای فعلی را بازنشانی کنید.

ATحلقه II شماره ردیف های ماتریس را تغییر می دهد ولیو بردار .

چرخه دوم:من = 1: س = ب 1 = 2 (بلوک 8).

به حلقه تو در تو III، block9 بروید - شمارنده اعداد ستون های ماتریس ولی: j = 1.

مسدود کردن 10: j = منبنابراین به بلوک 9 برمی گردیم و افزایش می دهیم jدر هر واحد: j = 2.

در بلوک 10 j ¹ من(2 ¹ 1) - به بلوک 11 بروید.

مسدود کردن 11: س= 2 – (–1) × ایکس 0 2 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2، به بلوک 9 بروید، که در آن jیک افزایش دهید: j = 3.

در بلوک 10، شرایط j ¹ مناجرا شد، بنابراین به بلوک 11 بروید.

مسدود کردن 11: س= 2 – (–1) × ایکس 0 3 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2، پس از آن به بلوک 9 می رویم که در آن jیک افزایش ( j= 4). معنی jبیشتر n (n= 3) - حلقه را پایان دهید و به بلوک 12 بروید.

مسدود کردن 12: س = س / آ 11 = 2 / 4 = 0,5.

مسدود کردن 13: w = 1; س = س + 0 = 0,5.

مسدود کردن 14: د = | x i – س | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

مسدود کردن 15: x i = 0,5 (من = 1).

مسدود کردن 16. شرایط را بررسی کنید د > de: 0.5 > 0، بنابراین به بلوک 17 بروید که در آن تخصیص داده ایم de= 0.5 و برگرداندن با مرجع " ولی» به مرحله بعدی چرخه II - به بلوک 7 که در آن منیک افزایش دهد.

چرخه دوم: من = 2: س = ب 2 = 4 (بلوک 8).

j = 1.

از طریق بلوک 10 j ¹ من(1 ¹ 2) - به بلوک 11 بروید.

مسدود کردن 11: س= 4 – 1 × 0 = 4، به بلوک 9 بروید، که در آن jیک افزایش دهید: j = 2.

در بلوک 10 شرط برقرار نیست، بنابراین به بلوک 9 می رویم که در آن jیک افزایش دهید: j= 3. بر اساس قیاس به بلوک 11 می گذریم.

مسدود کردن 11: س= 4 – (–2) × 0 = 4، پس از آن چرخه III را تمام کرده و به بلوک 12 می رویم.

مسدود کردن 12: س = س/ آ 22 = 4 / 5 = 0,8.

مسدود کردن 13: w = 1; س = س + 0 = 0,8.

مسدود کردن 14: د = | 1 – 0,8 | = 0,2.

مسدود کردن 15: x i = 0,8 (من = 2).

مسدود کردن 16. شرایط را بررسی کنید د > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ولی» به مرحله بعدی چرخه II - تا بلوک 7.

چرخه دوم: من = 3: س = ب 3 = 6 (بلوک 8).

به حلقه تودرتو III، block9 بروید: j = 1.

مسدود کردن 11: س= 6 – 1 × 0 = 6، به بلوک 9 بروید: j = 2.

از طریق بلوک 10 به بلوک 11 می رویم.

مسدود کردن 11: س= 6 – 1 × 0 = 6. چرخه III را تمام کرده و به بلوک 12 بروید.

مسدود کردن 12: س = س/ آ 33 = 6 / 4 = 1,5.

مسدود کردن 13: س = 1,5.

مسدود کردن 14: د = | 1 – 1,5 | = 0,5.

مسدود کردن 15: x i = 1,5 (من = 3).

طبق بلوک 16 (با در نظر گرفتن مراجع" ولی"و" از جانب”) از چرخه II خارج شده و به بلوک 18 بروید.

مسدود کردن 18. تعداد تکرارها را افزایش دهید آی تی = آی تی + 1 = 0 + 1 = 1.

در بلوک های 19 و 20 سیکل IV، مقادیر اولیه را جایگزین می کنیم ایکس 0منمقادیر دریافتی x i (من = 1, 2, 3).

مسدود کردن 21. چاپ مقادیر میانیتکرار فعلی، در این مورد: = (0.5; 0.8; 1.5) تی, آی تی = 1; de = 0,5.

به چرخه II در بلوک 7 بروید و محاسبات در نظر گرفته شده را با مقادیر اولیه جدید انجام دهید ایکس 0من (من = 1, 2, 3).

پس از آن می گیریم ایکس 1 = 1,075; ایکس 2 = 1,3; ایکس 3 = 1,175.

در اینجا روش سیدل همگرا می شود.

با فرمول (2.33)

ک	ایکس 1	ایکس 2	ایکس 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

پاسخ: ایکس 1 = 0,248; ایکس 2 = 1,115; ایکس 3 = –0,224.

اظهار نظر. اگر برای یک سیستم تکرار ساده و روش سیدل همگرا شوند، روش سیدل ارجح است. با این حال، در عمل، حوزه های همگرایی این روش ها ممکن است متفاوت باشد، به عنوان مثال، روش تکرار ساده همگرا می شود، در حالی که روش سیدل واگرا می شود، و بالعکس. برای هر دو روش، اگر || جی|| نزدیک به واحد، میزان همگرایی بسیار پایین است.

برای تسریع همگرایی، از یک تکنیک مصنوعی استفاده می شود - به اصطلاح روش آرام سازی . ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که مقدار بعدی با روش تکرار به دست می آید x i (ک) طبق فرمول دوباره محاسبه می شود

جایی که w معمولا از 0 به 2 (0) تغییر می کند< w £ 2) с каким-либо шагом (ساعت= 0.1 یا 0.2). پارامتر w طوری انتخاب می شود که همگرایی روش در حداقل تعداد تکرار حاصل شود.

آرامش- تضعیف تدریجی هر حالتی از بدن پس از قطع عوامل ایجاد کننده این حالت (فیزیکی. فنی).

مثال 2.4. نتیجه تکرار پنجم را با استفاده از فرمول آرامش در نظر بگیرید. بیایید w = 1.5 را در نظر بگیریم:

همانطور که می بینید نتیجه تقریباً هفتمین تکرار به دست آمده است.

مبحث 3. حل سیستم های خطی معادلات جبریروش های تکراری

روش‌های مستقیم برای حل SLAE که در بالا توضیح داده شد، هنگام حل سیستم‌های مقیاس بزرگ (یعنی زمانی که مقدار n به اندازه کافی بزرگ). در چنین مواردی، روش های تکرار شونده برای حل SLAE مناسب تر هستند.

روش های تکراری برای حل SLAE(نام دوم آنها روشهای تقریب متوالی به حل است) جواب دقیق SLAE را نمی دهند، بلکه فقط یک تقریب به جواب می دهند و هر تقریب بعدی از قبلی به دست می آید و دقیقتر از قبلی است. یک (به شرطی که همگراییتکرار). تقریب اولیه (یا به اصطلاح صفر) نزدیک به راه حل پیشنهادی یا به طور دلخواه انتخاب می شود (می توان آن را به عنوان بردار سمت راست سیستم در نظر گرفت). راه حل دقیق به عنوان حد این تقریب ها یافت می شود زیرا تعداد آنها به بی نهایت میل می کند. به عنوان یک قاعده، این محدودیت در تعداد محدودی از مراحل (به عنوان مثال، تکرار) به دست نمی آید. بنابراین، در عمل، مفهوم دقت راه حل، یعنی تعدادی مثبت و به اندازه کافی کوچک هو فرآیند محاسبات (تکرارها) تا زمانی که رابطه محقق شود انجام می شود .

در اینجا تقریبی به راه حل به دست آمده پس از شماره تکرار است n و راه حل دقیق SLAE است (که از قبل مشخص نیست). تعداد تکرارها n = n (ه ) لازم برای دستیابی به دقت معین برای روش های خاص را می توان از ملاحظات نظری به دست آورد (به عنوان مثال، فرمول های محاسباتی برای این کار وجود دارد). کیفیت روش های تکراری مختلف را می توان با تعداد تکرارهای مورد نیاز برای دستیابی به دقت یکسان مقایسه کرد.

برای مطالعه روش های تکراری در همگراییشما باید بتوانید هنجارهای ماتریس ها را محاسبه کنید. هنجار ماتریس- این مقداری است مقدار عددی، که بزرگی عناصر ماتریس را در مقدار مطلق مشخص می کند. در ریاضیات عالی چندین مورد وجود دارد انواع مختلفهنجارهای ماتریسی که معمولاً معادل هستند. در دوره ما فقط از یکی از آنها استفاده خواهیم کرد. یعنی زیر هنجار ماتریسخواهیم فهمید حداکثر مقدار در بین مجموع مقادیر مطلق عناصر ردیف های جداگانه ماتریس. برای تعیین هنجار یک ماتریس، نام آن از دو جفت خط تیره عمودی تشکیل شده است. بنابراین، برای ماتریس آ منظور ما از هنجار آن مقدار است

. (3.1)

بنابراین، برای مثال، هنجار ماتریس A از مثال 1 به شرح زیر است:

بیشترین استفاده برای حل SLAE سه روش تکراری است

روش تکرار ساده

روش ژاکوبی

روش Guass-Seidel.

روش تکرار ساده شامل انتقال از نوشتن SLAE به شکل اصلی (2.1) به نوشتن آن به شکل است

(3.2)

یا، که آن هم به صورت ماتریسی است،

ایکس = از جانب × ایکس + D , (3.3)

سی - ماتریس ضرایب سیستم ابعاد تبدیل شده n ´ n

ایکس - بردار مجهولات، متشکل از n جزء

D - بردار قسمت های سمت راست سیستم تبدیل شده، متشکل از n جزء.

سیستم به شکل (3.2) را می توان به صورت اختصاری نشان داد

از این منظر فرمول تکرار سادهشبیه خواهد شد

جایی که متر - عدد تکرار، و - مقدار xj بر روی متر مرحله تکرار. سپس، اگر فرآیند تکرار همگرا شود،با افزایش تعداد تکرارها مشاهده خواهد شد

ثابت کرد که فرآیند تکرار همگرا می شود،اگر هنجارماتریس ها D خواهد بود کمتر از واحدس.

اگر بردار عبارات آزاد را به عنوان تقریب اولیه (صفر) در نظر بگیریم، یعنی. ایکس (0) = D ، سپس حاشیه خطافرم را دارد

(3.5)

اینجا زیر ایکس * راه حل دقیق سیستم است. در نتیجه،

اگر ، سپس توسط دقت داده شدهه می توان از قبل محاسبه کرد تعداد تکرار مورد نیاز. یعنی از رابطه

پس از تغییرات جزئی به دست می آوریم

. (3.6)

هنگام انجام چنین تعدادی از تکرارها، دقت داده شده در یافتن راه حل برای سیستم تضمین می شود. این برآورد نظری مقدار مورد نیازمراحل تکرار تا حدودی گران است. در عمل، دقت لازم را می توان در تکرارهای کمتری به دست آورد.

جستجوی راه حل برای یک SLAE داده شده با روش تکرار ساده با وارد کردن نتایج به دست آمده در جدولی به شکل زیر راحت است:

	ایکس 1	ایکس 2		x n

مخصوصاً باید توجه داشت که در حل SLAE با این روش سخت ترین و پر زحمت ترینتبدیل سیستم از شکل (2.1) به شکل (3.2) است. این تبدیل ها باید معادل باشند، یعنی. که حل سیستم اصلی را تغییر نمی دهد و ارزش هنجار ماتریس را تضمین می کند سی (پس از انجام آنها) کمتر از یک. هیچ دستورالعمل واحدی برای چنین تحولاتی وجود ندارد. در اینجا در هر مورد لازم است خلاقیت نشان داده شود. در نظر گرفتن مثال ها، که در آن راه هایی برای تبدیل سیستم به شکل مورد نیاز ارائه خواهد شد.

مثال 1حل سیستم معادلات جبری خطی را با روش تکرار ساده (با دقت) پیدا کنیم. ه= 0.001)

این سیستم به ساده ترین شکل به شکل مورد نیاز کاهش می یابد. همه عبارت ها را از سمت چپ به سمت راست منتقل می کنیم و سپس به دو طرف هر معادله اضافه می کنیم x i (من =1، 2، 3، 4). ما یک سیستم تبدیل شده به شکل زیر بدست می آوریم

.

ماتریس سی و بردار D در این صورت به صورت زیر خواهد بود

سی = , D = .

هنجار ماتریس را محاسبه کنید سی . گرفتن

از آنجایی که معلوم شد هنجار کمتر از یک است، همگرایی روش تکرار ساده تضمین می شود. به عنوان تقریب اولیه (صفر)، اجزای بردار را می گیریم D . گرفتن

, , , .

با استفاده از فرمول (3.6)، تعداد مراحل تکرار مورد نیاز را محاسبه می کنیم. اجازه دهید ابتدا هنجار بردار را تعیین کنیم D . گرفتن

.

بنابراین برای دستیابی به دقت مشخص شده، انجام حداقل 17 تکرار ضروری است. بیایید اولین تکرار را انجام دهیم. گرفتن

با انجام تمام عملیات حسابی، دریافت می کنیم

.

به همین ترتیب ادامه می دهیم، مراحل تکرار بعدی را انجام می دهیم. نتایج آنها در جدول زیر خلاصه شده است ( D- بزرگترین تغییر در اجزای راه حل بین مراحل فعلی و قبلی)

م

از آنجایی که پس از مرحله دهم، تفاوت بین مقادیر در دو تکرار آخر کمتر از دقت مشخص شده است، فرآیند تکرار خاتمه می یابد. به عنوان راه حل یافت شده، مقادیر به دست آمده را در نظر می گیریم آخرین مرحله.

مثال 2

بیایید مانند مثال قبل عمل کنیم. گرفتن

ماتریس سی چنین سیستمی خواهد بود

سی =.

بیایید هنجار آن را محاسبه کنیم. گرفتن

بدیهی است که فرآیند تکراری برای چنین ماتریسی همگرا نخواهد شد. لازم است راه دیگری برای تبدیل سیستم معادلات داده شده پیدا شود.

بیایید معادلات فردی آن را در سیستم اصلی معادلات مرتب کنیم تا خط سوم اولین، اولین - دوم، دوم - سوم شود. سپس، با تبدیل آن به همان روش، دریافت می کنیم

ماتریس سی چنین سیستمی خواهد بود

سی =.

بیایید هنجار آن را محاسبه کنیم. گرفتن

از آنجایی که هنجار ماتریس است سی معلوم شد که کمتر از وحدت است، سیستمی که بدین ترتیب تبدیل شده برای حل با تکرار ساده مناسب است.

مثال 3ما سیستم معادلات را تغییر می دهیم

به شکلی که امکان استفاده از روش تکرار ساده را در هنگام حل آن فراهم کند.

اجازه دهید ابتدا به طور مشابه به مثال 1 ادامه دهیم

ماتریس سی چنین سیستمی خواهد بود

سی =.

بیایید هنجار آن را محاسبه کنیم. گرفتن

بدیهی است که فرآیند تکراری برای چنین ماتریسی همگرا نخواهد شد.

برای تبدیل ماتریس اصلی به فرمی مناسب برای اعمال روش تکرار ساده، به صورت زیر عمل می کنیم. اول، ما یک سیستم "واسطه" از معادلات را تشکیل می دهیم که در آن

- معادله اولمجموع معادلات اول و دوم سیستم اصلی است

- معادله دوم- مجموع معادله سوم دو برابر شده با دومی منهای اولی

- معادله سوم- تفاوت بین معادلات سوم و دوم سیستم اصلی.

در نتیجه، معادلی با سیستم معادلات «واسطه» اصلی به دست می‌آوریم

از آن به راحتی می توان یک سیستم دیگر، یک سیستم "واسطه" به دست آورد

,

و از آن تبدیل شد

.

ماتریس سی چنین سیستمی خواهد بود

سی =.

بیایید هنجار آن را محاسبه کنیم. گرفتن

فرآیند تکراری برای چنین ماتریسی همگرا خواهد بود.

روش ژاکوبی فرض می کند که تمام عناصر مورب ماتریس آ از سیستم اصلی (2.2) برابر با صفر نیستند. سپس سیستم اصلی را می توان به صورت بازنویسی کرد

(3.7)

از چنین رکوردی، سیستم تشکیل می شود فرمول تکراری روش ژاکوبی

شرط همگرایی فرآیند تکراری روش ژاکوبی به اصطلاح شرط است تسلط موربدر سیستم اصلی (از فرم (2.1)). به صورت تحلیلی، این شرط به صورت نوشته می شود

. (3.9)

لازم به ذکر است که اگر در سیستم داده شدهمعادلات، شرط همگرایی روش ژاکوبی (یعنی شرط غلبه مورب) برآورده نمی شود، در بسیاری از موارد ممکن است، با تبدیل معادل SLAE اصلی، حل آن را به حل یک SLAE معادل برسانیم که در آن این شرط ارضا شده است

مثال 4ما سیستم معادلات را تغییر می دهیم

به شکلی که امکان استفاده از روش ژاکوبی را در حل آن فراهم کند.

ما قبلاً این سیستم را در مثال 3 در نظر گرفته‌ایم، بنابراین از آن به سیستم معادلات "واسطه" به دست آمده در آنجا منتقل می‌شویم. به راحتی می توان تعیین کرد که شرط تسلط مورب برای آن برآورده شده است، بنابراین آن را به شکل لازم برای اعمال روش ژاکوبی تبدیل می کنیم. گرفتن

از آن فرمولی برای انجام محاسبات با استفاده از روش جاکوبی برای SLAE داده شده به دست می آوریم

در نظر گرفتن به عنوان اولیه، i.e. صفر، تقریب بردار عبارات آزاد تمام محاسبات لازم را انجام می دهد. ما نتایج را در یک جدول خلاصه می کنیم

متر					D

دقت نسبتا بالایی از راه حل به دست آمده در شش تکرار به دست آمد.

روش گاوس - سیدل یک پیشرفت در روش ژاکوبی است و همچنین فرض می کند که تمام عناصر مورب ماتریس آ از سیستم اصلی (2.2) برابر با صفر نیستند. سپس سیستم اصلی را می توان به شکلی شبیه به روش ژاکوبی، اما تا حدودی متفاوت از آن بازنویسی کرد.

در اینجا مهم است که به یاد داشته باشید که اگر بالانویس در علامت جمع کوچکتر از زیرنویس باشد، جمع بندی انجام نمی شود.

ایده روش گاوس - سیدل در این واقعیت نهفته است که نویسندگان روش امکان تسریع روند محاسبه را در رابطه با روش ژاکوبی به دلیل این واقعیت که در فرآیند تکرار بعدی، یافتند، می دیدند. یک ارزش جدید ایکس 1 می توان فورااز این مقدار جدید استفاده کنید در همان تکراربرای محاسبه بقیه متغیرها به طور مشابه، بیشتر، پیدا کردن یک ارزش جدید ایکس 2 همچنین می توانید بلافاصله از آن در همان تکرار و غیره استفاده کنید.

بر این اساس، فرمول تکرار برای روش گاوس - سیدلفرم زیر را دارد

برایشرایط همگراییروند تکراری روش گاوس - سیدل هنوز همان شرایط است تسلط مورب (3.9). نرخ همگراییاین روش کمی بالاتر از روش ژاکوبی است.

مثال 5ما سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس - سیدل حل می کنیم

ما قبلاً این سیستم را در مثال‌های 3 و 4 در نظر گرفته‌ایم، بنابراین بلافاصله از آن به سیستم معادلات تبدیل شده (به مثال 4 مراجعه کنید)، که در آن شرط تسلط مورب برآورده می‌شود، حرکت می‌کنیم. از آن فرمولی برای انجام محاسبات با استفاده از روش گاوس - سیدل بدست می آوریم

با در نظر گرفتن بردار عبارات آزاد به عنوان تقریب اولیه (یعنی صفر)، همه محاسبات لازم را انجام می دهیم. ما نتایج را در یک جدول خلاصه می کنیم

متر

دقت نسبتا بالایی از راه حل به دست آمده در پنج تکرار به دست آمد.

روش تکرار ساده که روش تقریب متوالی نیز نامیده می شود، یک الگوریتم ریاضی برای یافتن مقدار یک کمیت مجهول با پالایش تدریجی آن است. ماهیت این روش این است که همانطور که از نام آن پیداست، با بیان تدریجی موارد بعدی از تقریب اولیه، نتایج بیشتر و دقیق تری به دست می آورند. این روش برای یافتن مقدار یک متغیر در استفاده می شود عملکرد داده شدهو همچنین در حل سیستم های معادلات اعم از خطی و غیر خطی.

چگونگی را در نظر بگیرید این روشهنگام حل SLAE متوجه می شود. روش تکرار ساده دارای الگوریتم زیر است:

1. تأیید شرایط همگرایی در ماتریس اصلی. قضیه همگرایی: اگر ماتریس اصلی سیستم دارای تسلط مورب باشد (یعنی در هر سطر، عناصر مورب اصلی باید از نظر مدول بزرگتر از مجموع عناصر قطرهای ضلعی در مدول باشند)، روش ساده تکرارها همگرا هستند

2. ماتریس سیستم اصلی همیشه دارای تسلط مورب نیست. در چنین مواردی می توان سیستم را تغییر داد. معادلاتی که شرایط همگرایی را برآورده می‌کنند دست نخورده باقی می‌مانند و با معادلاتی که این شرایط را برآورده نمی‌کنند، ترکیب‌های خطی تشکیل می‌دهند، یعنی. ضرب، تفریق، اضافه کردن معادلات به یکدیگر تا نتیجه دلخواه به دست آید.

اگر در سیستم حاصل ضرایب نامناسبی در مورب اصلی وجود داشته باشد، آنگاه شرایط شکل c i *x i به هر دو قسمت چنین معادله ای اضافه می شود که علائم آن باید با علائم عناصر مورب مطابقت داشته باشد.

3. تبدیل سیستم حاصل به شکل عادی:

x - =β - +α*x -

این را می توان به روش های مختلفی انجام داد، به عنوان مثال، به شرح زیر: از معادله اول، x 1 را بر حسب مجهولات دیگر بیان کنید، از دوم - x 2، از سوم - x 3، و غیره. در اینجا ما از فرمول ها استفاده می کنیم:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
باید دوباره مطمئن شوید که سیستم حاصل از فرم معمولی شرایط همگرایی را برآورده می کند:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1، در حالی که i= 1،2،...n

4. ما شروع به اعمال، در واقع، خود روش تقریب های متوالی می کنیم.

x (0) - تقریب اولیه، از طریق آن x (1) را بیان می کنیم، سپس از طریق x (1) x (2) را بیان می کنیم. فرمول کلی در قالب ماتریس به صورت زیر است:

x (n) = β - +α*x (n-1)

ما محاسبه می کنیم تا زمانی که به دقت مورد نیاز برسیم:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

بنابراین، بیایید به روش تکرار ساده در عمل نگاه کنیم. مثال:
حل SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 با دقت ε=10 -3

بیایید ببینیم که آیا عناصر مورب بر مدول غالب هستند یا خیر.

می بینیم که تنها معادله سوم شرط همگرایی را برآورده می کند. معادله اول و دوم را تبدیل می کنیم، دومی را به معادله اول اضافه می کنیم:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

اولی را از سومی کم کنید:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

ما سیستم اصلی را به یک معادل تبدیل کرده ایم:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

حالا بیایید سیستم را به حالت عادی برگردانیم:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

ما همگرایی فرآیند تکراری را بررسی می کنیم:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1، یعنی. شرط برقرار است

0,3947
حدس اولیه x(0) = 0.4762
0,8511

با جایگزینی این مقادیر به معادله معمولی، مقادیر زیر را بدست می آوریم:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

با جایگزینی مقادیر جدید، دریافت می کنیم:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

محاسبات را تا زمانی ادامه می دهیم که به مقادیری که شرایط داده شده را برآورده می کنند نزدیک شویم.

x(7) = 0.441091

بیایید صحت نتایج به دست آمده را بررسی کنیم:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

نتایج به دست آمده با جایگزینی مقادیر یافت شده در معادلات اصلی شرایط معادله را کاملاً برآورده می کند.

همانطور که می بینیم، روش تکرار ساده نتایج کاملاً دقیقی به دست می دهد، با این حال، برای حل این معادله، باید زمان زیادی را صرف کرده و محاسبات دست و پا گیر انجام دهیم.

مقدمه

1. راه حل آهسته با روش تکرار ساده

1.1 شرح روش حل

1.2 پس زمینه

1.3 الگوریتم

1.4 برنامه QBasic

1.5 نتیجه برنامه

1.6 بررسی نتیجه برنامه

2. پالایش ریشه با روش مماس

2.1 شرح روش حل

2.2 داده های اولیه

2.3 الگوریتم

2.4 برنامه QBasic

2.5 نتیجه برنامه

2.6 بررسی نتیجه برنامه

3. ادغام عددی با توجه به قاعده مستطیل

3.1 شرح روش حل

3.2 داده های اولیه

3.3 الگوریتم

3.4 برنامه QBasic

3.5 بررسی نتیجه برنامه

4.1 اطلاعات کلیدر مورد برنامه

4.1.1 هدف و ویژگی های متمایز کننده

4.1.2 محدودیت های WinRAR

4.1.3 سیستم مورد نیاز WinRAR

4.2 رابط WinRAR

4.3 حالت های مدیریت فایل و آرشیو

4.4 استفاده از منوهای زمینه

نتیجه

کتابشناسی - فهرست کتب

مقدمه

این مقاله ترمتوسعه الگوریتم ها و برنامه هایی برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش گاوس است. معادله غیر خطی با استفاده از روش آکورد. برای ادغام عددی توسط قانون ذوزنقه ای.

معادلات جبری به معادلاتی گفته می شود که فقط حاوی توابع جبری (کل، عقلی، غیر منطقی) هستند. به طور خاص، چند جمله ای یک تابع جبری کامل است. معادلات حاوی توابع دیگر (مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و غیره) استعلایی نامیده می شوند.

روش های حل سیستم معادلات جبری خطی به دو گروه تقسیم می شوند:

روش‌های دقیق، که الگوریتم‌های محدودی برای محاسبه ریشه‌های یک سیستم هستند (حل سیستم‌ها با استفاده از ماتریس معکوس، قانون کرامر، روش گاوس و غیره)

· روشهای تکرار شونده که امکان به دست آوردن راه حلی از سیستم را با دقت معین با استفاده از فرآیندهای تکراری همگرا (روش تکرار، روش سیدل و غیره) می دهد.

به دلیل گرد کردن اجتناب ناپذیر، نتایج روش های حتی دقیق تقریبی است. هنگام استفاده از روش های تکراری، علاوه بر این، خطای روش اضافه می شود.

حل سیستم معادلات جبری خطی یکی از مسائل اصلی جبر خطی محاسباتی است. اگرچه مسئله حل یک سیستم معادلات خطی نسبتاً به ندرت برای کاربردها مورد توجه مستقل است، اما امکان مدل‌سازی ریاضی طیف گسترده‌ای از فرآیندها با استفاده از رایانه اغلب به توانایی حل مؤثر چنین سیستم‌هایی بستگی دارد. بخش قابل توجهی از روش های عددی برای حل مسائل مختلف (به ویژه، غیر خطی) شامل حل سیستم های معادلات خطی به عنوان یک مرحله ابتدایی از الگوریتم مربوطه است.

برای اینکه یک سیستم معادلات جبری خطی جواب داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی باشد. برابر با رتبهماتریس توسعه یافته اگر رتبه ماتریس اصلی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته و برابر با تعداد مجهولات باشد، سیستم دارای تنها تصمیم. اگر رتبه ماتریس اصلی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد، اما کمتر از تعداد مجهولات باشد، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

یکی از رایج ترین روش ها برای حل سیستم های معادلات خطی روش گاوس است. این روش در گزینه های مختلفبرای بیش از 2000 سال روش گاوس یک روش کلاسیک برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) است. این روش است طرد متوالیمتغیرها هنگام استفاده تحولات ابتداییسیستم معادلات به یک سیستم معادل به شکل پلکانی (یا مثلثی) کاهش می یابد که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند و از آخرین متغیرها (بر اساس تعداد) شروع می شوند.

به بیان دقیق، روشی که در بالا توضیح داده شد، به درستی روش حذف گاوس-جردن نامیده می شود، زیرا این روش نوعی از روش گاوس است که توسط نقشه بردار ویلهلم جردن در سال 1887 توصیف شد. همچنین جالب است بدانید که همزمان با جردن (و به گفته برخی منابع حتی قبل از او) این الگوریتم توسط کلاسن (B.-I. Clasen) ابداع شد.

زیر معادلات غیر خطیبه معادلات جبری و ماورایی شکل اشاره دارد که x یک عدد واقعی و a یک تابع غیر خطی است. برای حل این معادلات از روش آکوردها - تکراری استفاده می شود روش عددییافتن تقریبی ریشه همانطور که مشخص است، بسیاری از معادلات و سیستم های معادلات راه حل تحلیلی ندارند. اول از همه، این در مورد بیشتر معادلات ماورایی صدق می کند. همچنین ثابت شده است که نمی توان فرمولی ساخت که با آن بتوان معادله جبری دلخواه با درجه بالاتر از چهارم را حل کرد. علاوه بر این، در برخی موارد معادله حاوی ضرایبی است که فقط به طور تقریبی شناخته شده است، و بنابراین، مشکل تعیین دقیق ریشه های معادله معنای خود را از دست می دهد. برای حل آنها از روش های تکراری با درجه دقت معین استفاده می شود. حل یک معادله با روش تکراری به این معنی است که آیا ریشه دارد یا خیر، چند ریشه دارد یا نه و مقادیر ریشه ها را با دقت لازم پیدا می کنیم.

مسئله یافتن ریشه معادله f(x) = 0 به روش تکراری شامل دو مرحله است:

جداسازی ریشه ها - یافتن مقدار تقریبی ریشه یا بخش حاوی آن.

· اصلاح ریشه های تقریبی - رساندن آنها به درجه ای از دقت.

انتگرال معینتابع f(x) در بازه از آقبل از ب، به حدی گفته می شود که مجموع انتگرال به آن گرایش پیدا می کند زمانی که تمام بازه های Δx i به سمت صفر میل می کنند. طبق قانون ذوزنقه، باید نمودار تابع F (x) را با یک خط مستقیم که از دو نقطه (x 0, y 0) و (x 0 + h, y 1) می گذرد جایگزین کرد و مقدار را محاسبه کرد. عنصر مجموع انتگرال به عنوان مساحت ذوزنقه: .

راه حل آهسته با روش تکرار ساده

1.1 شرح روش تکرار ثابت

سیستم معادلات جبری (SLAE) به شکل زیر است:

یا وقتی به صورت ماتریسی نوشته می شود:

در عمل، دو نوع روش برای حل عددی SLAE استفاده می شود - مستقیم و غیر مستقیم. هنگام استفاده از روش های مستقیم، SLAE به یکی از اشکال خاص (مورب، مثلثی) کاهش می یابد که به شما امکان می دهد به طور دقیق راه حل مورد نظر را (در صورت وجود) به دست آورید. رایج ترین روش مستقیم برای حل SLAE روش گاوس است. روش های تکراری برای یافتن راه حل تقریبی SLAE با دقت معین استفاده می شود. لازم به ذکر است که فرآیند تکراری همیشه به حل سیستم همگرا نمی شود، اما فقط زمانی که دنباله تقریب های بدست آمده در محاسبات به یک راه حل دقیق تمایل دارد. هنگام حل SLAE با روش تکرار ساده، زمانی که تنها یکی از متغیرهای مورد نیاز در سمت چپ باشد، به فرم تبدیل می شود:

با ارائه چند تقریب اولیه xi، i=1،2،…،n، آنها را جایگزین کنید سمت راستعبارات و محاسبه مقادیر جدید ایکس. این فرآیند تا زمانی تکرار می شود که حداکثر باقیمانده با عبارت:

از دقت داده شده ε کمتر نمی شود. اگر حداکثر اختلاف در ک-تکرار بیشتر از حداکثر اختلاف در خواهد بود k-1تکرار -ام، سپس فرآیند به طور غیر عادی خاتمه می یابد، زیرا فرآیند تکراری واگرا می شود. برای به حداقل رساندن تعداد تکرارها، مقادیر x جدید را می توان با استفاده از مقادیر باقیمانده از تکرار قبلی محاسبه کرد.