ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با کمک مجموعه ای متناهی از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت A ~ B نوشته می شود.

ابتداییماتریس ماتریسی است که دارای چندین 1 در یک ردیف در ابتدای مورب اصلی است (تعداد آنها ممکن است صفر باشد) و تمام عناصر دیگر برابر با صفر هستند، برای مثال،

با کمک تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به یک ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=

و آن را به شکل متعارف برسانید.

راه حل.سطر اول را از ردیف دوم کم کنید و این ردیف ها را دوباره مرتب کنید:

.

حالا از ردیف دوم و سوم، ردیف اول را به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید. ماتریس را می گیریم

B = ,

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است و از این رو r(A)=2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را صفر می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از همه موارد بعدی، تمام عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر می کنیم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

.

قضیه کرونکر - کاپلی- معیار سازگاری سیستم خطی معادلات جبری:

به سیستم خطیسازگار است، لازم و کافی است که رتبه ماتریس توسعه یافته این سیستم با رتبه ماتریس اصلی آن برابر باشد.

اثبات (شرایط سازگاری سیستم)

نیاز داشتن

اجازه دهید سیستممفصل سپس اعدادی وجود دارد که . بنابراین، ستون ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است. از آنجایی که رتبه یک ماتریس در صورت حذف سیستم ردیف‌ها (ستون‌های) آن یا اختصاص یک ردیف (ستون) که ترکیبی خطی از سایر ردیف‌ها (ستون‌ها) است، تغییر نمی‌کند، نتیجه می‌شود که .

کفایت

اجازه دهید . بیایید مقداری جزئی اساسی در ماتریس در نظر بگیریم. از آنجایی که , پس از آن نیز مینور پایه ماتریس خواهد بود . سپس با توجه به قضیه مبنا جزئی، آخرین ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون های پایه، یعنی ستون های ماتریس خواهد بود. بنابراین ستون اعضای آزاد سیستم ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است.

عواقب

تعداد متغیرهای اصلی سیستم هایبرابر با رتبه سیستم

مفصل سیستمتعیین خواهد شد (آن راه حل منحصر به فرد است) اگر رتبه سیستم برابر با تعداد همه متغیرهای آن باشد.

سیستم معادلات همگن

جمله15 . 2 سیستم معادلات همگن

همیشه مشارکتی است

اثبات. برای این سیستم، مجموعه اعداد،،، راه حل است.

در این قسمت از نماد ماتریسی سیستم استفاده می کنیم: .

جمله15 . 3 مجموع جواب های یک سیستم همگن معادلات خطی راه حل این سیستم است. جواب ضرب در عدد نیز راه حل است.

اثبات. اجازه دهید و به عنوان راه حل های سیستم خدمت کنید. سپس و . اجازه دهید . سپس

از آنجا که، پس یک راه حل است.

اجازه دهید یک عدد دلخواه باشد، . سپس

از آنجا که، پس یک راه حل است.

نتیجه15 . 1 اگر یک سیستم همگن معادلات خطیراه حل غیر صفر دارد، سپس بی نهایت راه حل های مختلف دارد.

در واقع، با ضرب یک راه حل غیر صفر در اعداد مختلف، جواب های متفاوتی بدست می آوریم.

تعریف15 . 5 خواهیم گفت که راه حل ها سیستم ها شکل می گیرند سیستم تصمیم گیری اساسیاگر ستون ها یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این ستون ها است.

برای محاسبه رتبه یک ماتریس می توانید از روش مرزبندی مینورها یا روش گاوس استفاده کنید. روش گاوس یا روش تبدیل های ابتدایی را در نظر بگیرید.

رتبه یک ماتریس حداکثر ترتیب مینورهای آن است که در میان آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست.

رتبه یک سیستم از ردیف ها (ستون ها) نامیده می شود بیشترین مقدارردیف های مستقل خطی (ستون ها) این سیستم.

الگوریتم یافتن رتبه یک ماتریس با روش فرینگ مینورها:

1. جزئی مترتیب صفر نیست
2. اگر فرینگ مینور برای صغیر M (k+1)-thترتیب، نوشتن غیرممکن است (یعنی ماتریس شامل کخطوط یا کستون)، سپس رتبه ماتریس است ک. اگر مینورهای مرزی وجود داشته باشند و همه صفر باشند، رتبه k است. اگر در بین مینورهای مرزی حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، سعی می کنیم یک مینور جدید بسازیم. k+2و غیره.

بیایید الگوریتم را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل کنیم. ابتدا مینورهای مرتبه اول (عناصر ماتریس) ماتریس را در نظر بگیرید آ. اگر همه آنها صفر باشند، پس رتبه A = 0. اگر مینورهای مرتبه اول (عناصر ماتریس) وجود داشته باشند که برابر با صفر نیستند M1 ≠ 0، سپس رتبه RangA ≥ 1.

M1. اگر چنین خردسالی وجود داشته باشد، آنها صغیر درجه دوم خواهند بود. اگر همه خردسالان با صغیر هم مرز باشند M1پس برابر با صفر هستند رتبه A = 1. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد M2 ≠ 0، سپس رتبه RangA ≥ 2.

بررسی کنید که آیا خردسالان مرزی برای خردسال وجود دارد یا خیر M2. اگر چنین خردسالی وجود داشته باشد، آنها صغیر درجه سوم خواهند بود. اگر همه خردسالان با صغیر هم مرز باشند M2پس برابر با صفر هستند رتبه A = 2. اگر حداقل یک مینور از مرتبه سوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد M3 ≠ 0، سپس رتبه RangA ≥ 3.

بررسی کنید که آیا خردسالان مرزی برای خردسال وجود دارد یا خیر M3. اگر چنین خردسالی وجود داشته باشد، آنها صغیر درجه چهارم خواهند بود. اگر همه خردسالان با صغیر هم مرز باشند M3پس برابر با صفر هستند رتبه A = 3. اگر حداقل یک مینور از مرتبه چهارم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد M4 ≠ 0، سپس رتبه RangA ≥ 4.

بررسی اینکه آیا یک مینور حاشیه برای یک خردسال وجود دارد یا خیر M4، و غیره. اگر در مرحله ای مینورهای مرزی برابر با صفر باشند یا مینور مرزی به دست نیاید (هیچ سطر یا ستونی در ماتریس وجود ندارد) الگوریتم متوقف می شود. ترتیب یک مینور غیر صفر، که ما موفق به ایجاد آن شدیم، رتبه ماتریس خواهد بود.

مثال

در نظر گرفتن این روشمثلا. با توجه به ماتریس 4x5:

این ماتریس نمی تواند رتبه ای بیشتر از 4 داشته باشد. همچنین این ماتریس دارای عناصر غیر صفر (یک مینور مرتبه اول) است که به این معنی است که رتبه ماتریس ≥ 1 است.

مینور درست کنیم 2سفارش. بیایید از گوشه شروع کنیم.

از آنجایی که دترمینان برابر با صفر است، مینور دیگری را می سازیم.

تعیین کننده این جزئی را پیدا کنید.

مینور داده شده را تعیین کنید -2 . بنابراین رتبه ماتریس ≥ 2 .

اگر این مینور برابر با 0 بود، مینورهای دیگر اضافه می شوند. تا انتها، همه خردسالان در ردیف های 1 و 2 قرار می گرفتند. سپس در خطوط 1 و 3، در خطوط 2 و 3، در خطوط 2 و 4، تا زمانی که مینور را با 0 پیدا کنند، به عنوان مثال:

اگر همه مینورهای مرتبه دوم 0 باشند، رتبه ماتریس 1 خواهد بود. راه حل می تواند متوقف شود.

3سفارش.

صغیر معلوم شد که صفر نیست. به معنی رتبه ماتریس است ≥ 3 .

اگر این مینور صفر بود، باید مینورهای دیگر ترکیب شوند. مثلا:

اگر همه مینورهای مرتبه سوم 0 باشند، رتبه ماتریس 2 خواهد بود. راه حل می تواند متوقف شود.

ما به جستجوی رتبه یک ماتریس ادامه می دهیم. مینور درست کنیم 4سفارش.

بیایید تعیین کننده این جزئی را پیدا کنیم.

تعیین کننده صغیر برابر شد 0 . بیایید یک مینور دیگر بسازیم.

بیایید تعیین کننده این جزئی را پیدا کنیم.

صغیر برابر شد 0 .

کوچک بسازید 5سفارش کار نخواهد کرد، هیچ ردیفی در این ماتریس برای این کار وجود ندارد. آخرین مینور غیر صفر بود 3ترتیب، بنابراین رتبه ماتریس است 3 .

>> رتبه ماتریسی

رتبه ماتریسی

تعیین رتبه یک ماتریس

در نظر گرفتن ماتریس مستطیل شکل. اگر در این ماتریس خودسرانه انتخاب کنیم کخطوط و کستون‌ها، سپس عناصری که در محل تقاطع سطرها و ستون‌های انتخاب شده قرار دارند، ماتریس مربعی از مرتبه k‌ام را تشکیل می‌دهند. تعیین کننده این ماتریس نامیده می شود درجه k-ام جزئیماتریس A. بدیهی است که ماتریس A دارای مینورهایی از هر مرتبه از 1 تا کوچکترین اعداد m و n است. در میان تمام مینورهای غیر صفر ماتریس A، وجود دارد حداقلیک جزئی که ترتیب آن بزرگترین خواهد بود. بزرگترین سفارشات غیر صفر مینورهای یک ماتریس معین نامیده می شود رتبهماتریس ها اگر رتبه ماتریس A باشد r، پس این بدان معنی است که ماتریس A دارای مرتبه جزئی غیر صفر است r، اما هر جزئی از ترتیب بیشتر از r، برابر با صفر است. رتبه یک ماتریس A با r(A) نشان داده می شود. بدیهی است که رابطه

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از مینورها

رتبه یک ماتریس یا با مرزبندی خرده‌ها یا با روش تبدیل‌های ابتدایی پیدا می‌شود. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس به روش اول، باید از مینورهای درجه‌های پایین‌تر به کوچک‌ترهای بیشتر عبور کرد. نظم بالا. اگر یک D جزئی غیر صفر از مرتبه k ام ماتریس A پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (k + 1) که در مرز D جزئی قرار دارند باید محاسبه شوند، یعنی. حاوی آن به عنوان صغیر. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه ماتریس است ک.

مثال 1رتبه یک ماتریس را با روش مرزبندی مینورها پیدا کنید

.

راه حل.ما با خردسالان مرتبه اول شروع می کنیم، یعنی. از عناصر ماتریس A. اجازه دهید برای مثال، مینور (عنصر) М 1 = 1 واقع در سطر اول و ستون اول را انتخاب کنیم. به کمک سطر دوم و ستون سوم، مینور M 2 = را بدست می آوریم که با صفر متفاوت است. اکنون به خردسالان درجه 3، در مرز M 2 می پردازیم. فقط دو مورد از آنها وجود دارد (شما می توانید یک ستون دوم یا یک چهارم اضافه کنید). ما آنها را محاسبه می کنیم: = 0. بنابراین، همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر بودند. رتبه ماتریس A دو است.

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با کمک مجموعه ای متناهی از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت زیر نوشته می شود: A~ ب.

ابتداییماتریس ماتریسی است که دارای چندین 1 در یک ردیف در ابتدای مورب اصلی است (تعداد آنها ممکن است صفر باشد) و همه عناصر دیگر برابر با صفر هستند، برای مثال،

.

با کمک تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به یک ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=

و آن را به شکل متعارف برسانید.

راه حل.سطر اول را از ردیف دوم کم کنید و این ردیف ها را دوباره مرتب کنید:

.

حالا از ردیف دوم و سوم، ردیف اول را به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید. ماتریس را دریافت می کنیم

B = ,

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است و از این رو r(A)=2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را صفر می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از همه موارد بعدی، تمام عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر می کنیم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

.

تعریف. رتبه ماتریسیحداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در مورد رتبه یک ماتریس. رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر یک ماتریس است.

قبلاً در درس تعیین کننده ها به مفهوم صغیر پرداخته ایم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. بیایید چند سطر و چند ستون در ماتریس بگیریم، و این "چیزی" باید کمتر از تعداد سطرها و ستون های ماتریس باشد و برای سطرها و ستون ها این "چیزی" باید به همان تعداد باشد. سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه کوچکتر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. تعیین کننده این ماتریس در صورتی که «چیزی» ذکر شده (تعداد سطرها و ستون‌ها) با k نشان داده شود، مرتبه k مینور خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1)-th order، که در آن مینور انتخاب شده قرار دارد rمرتبه -ام، برای مینور داده شده مرز نامیده می شود.

دو روش متداول پیدا کردن رتبه یک ماتریس. آی تی روش حاشیه سازی خردسالانو روش تبدیل های ابتدایی(به روش گاوس).

روش مرزبندی مینورها از قضیه زیر استفاده می کند.

قضیه 2 در مورد رتبه یک ماتریس.اگر می توان از عناصر ماتریس یک مینور درست کرد rمرتبه ام که برابر با صفر نیست، رتبه ماتریس برابر است با r.

با روش تبدیل های ابتدایی از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی با تبدیل های ابتدایی به دست آید، رتبه این ماتریستعداد خطوط موجود در آن به جز خطوطی است که کاملاً از صفر تشکیل شده اند.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها

یک مینور مرزی، یک مینور از مرتبه بالاتر نسبت به مورد داده شده است، اگر این مینور از مرتبه بالاتر حاوی مینور معین باشد.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

لبه ها چنین خرده هایی خواهند بود:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. ما مینورهای مرتبه دوم را می یابیم که برابر با صفر نیستند. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای مرتبه سوم مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای حاشیه آن را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم مرزی صفر باشند، رتبه ماتریس سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد ادامه دهید.

مثال 1رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

.

راه حل. جزئی از مرتبه دوم .

ما آن را قاب می کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

,

,

بنابراین، تمام مینورهای مرتبه سوم مرزی برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس دو است ( r =2 ).

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 1 است، زیرا همه مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد، مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال بعدی، از دانش آموزان عزیز دعوت می شود تا خودشان تایید کنند، شاید با استفاده از قواعد محاسبه دترمینال ها)، و در بین مینورهای مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، برابر با صفر نیست.

مثال 3رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم این ماتریس است و همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس صفر هستند. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 3 است زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی (به روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 مشاهده می شود که مشکل تعیین رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها نیاز به محاسبه دارد. تعداد زیادیتعیین کننده ها با این حال، راهی برای کاهش مقدار محاسبات به حداقل وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

زیر تحولات ابتداییماتریس ها، عملیات زیر قابل درک است:

1) ضرب هر سطر یا هر ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) به عناصر هر سطر یا هر ستون ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر را که در همان عدد ضرب می شود، اضافه کنید.

3) مبادله دو سطر یا ستون از یک ماتریس.

4) حذف ردیف های "تهی"، یعنی آنهایی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب، به جز یک.

قضیه.تبدیل ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهد. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبرو به ماتریس ب، سپس .