روش تکرارهای ساده به طور کلی. روش تکرار ساده برای حل سیستم معادلات خطی (آهسته)
اجازه دهید معادله اصلی را با یک معادل جایگزین کنیم و تکرارها را طبق قانون می سازیم 
. بنابراین، روش تکرار ساده یک فرآیند تکراری یک مرحله‌ای است. برای شروع این فرآیند، باید تقریب اولیه را بدانید. اجازه دهید شرایط همگرایی روش و انتخاب تقریب اولیه را دریابیم.
بلیط شماره 29
روش سیدل
روش سیدل (گاهی اوقات روش گاوس-سایدل نامیده می شود) اصلاح روش تکرار ساده است، به این معنی که هنگام محاسبه تقریب بعدی x (k + 1) (به فرمول های (1.13)، (1.14) مراجعه کنید) اجزای قبلاً به دست آمده آن را محاسبه کنید. x 1 (k+1), ...,x i - 1 (k+1) بلافاصله برای محاسبه x i (k+1) استفاده می شود.
در نماد مختصات، روش سیدل به شکل زیر است:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
که در آن x(0) مقداری تقریب اولیه برای حل است.
بنابراین، مولفه i-ام تقریب (k+1) -ام با فرمول محاسبه می شود
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
شرط خاتمه برای فرآیند تکراری Seidel پس از رسیدن به دقت ε در شکل ساده شده عبارت است از:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
بلیط شماره 30
روش جارو زدن
برای حل سیستم‌های A x = b با ماتریس سه‌ضلعی، اغلب از روش جابجایی استفاده می‌شود که انطباق روش گاوس با این مورد است.
ما سیستم معادلات را می نویسیم
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
به شکل ماتریس: A x = b که در آن
A= 
اجازه دهید فرمول های روش sweep را به ترتیب کاربرد آنها بنویسیم.
1. اجرای مستقیم روش جارو (محاسبه مقادیر کمکی):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i /، i=2، ...، n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] /، i=2، ...، n-1 | (1.9) |
2. معکوسروش جارو کردن (یافتن راه حل):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1، i = n-1، ...، 1 |
شماره بلیط 31
روش تکرار ساده
ماهیت روش تکرارهای سادهشامل عبور از معادله است
f(x)= 0 (*)
به معادله معادل
ایکس=φ(x). (**)
این انتقال می تواند انجام شود روش های مختلف، بسته به نوع f(x). برای مثال می توانید قرار دهید
φ(x) = ایکس+bf(x),(***)
جایی که ب= const، در حالی که ریشه های معادله اصلی تغییر نخواهد کرد.
اگر تقریب اولیه به ریشه معلوم باشد x0، سپس تقریب جدید
x 1=φx(0),
آن ها طرح کلی فرآیند تکراری:
xk+1=φ(xk).(****)
ساده ترین معیار برای خاتمه فرآیند
|x k +1 -x k |<ε.
معیار همگراییروش تکرار ساده:
اگر نزدیک ریشه | φ / (x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого ایکس، سپس تکرارها برای هر تقریب اولیه همگرا می شوند.
بررسی انتخاب یک ثابت باز نظر اطمینان از حداکثر سرعت همگرایی. مطابق با معیار همگرایی، بالاترین نرخ همگرایی پیش بینی شده است |φ / (x)| = 0. در عین حال، بر اساس (***)، b = -1/f / (x)،و فرمول تکرار شونده (****) وارد می شود x i \u003d x i-1 -f (x i-1) / f / (x i-1).-آن ها به فرمول روش نیوتن. بنابراین، روش نیوتن یک مورد خاص از روش تکرارهای ساده است که بالاترین میزان همگرایی را در بین همه گزینه های ممکن برای انتخاب تابع ارائه می دهد. φ(x).
شماره بلیط 32
روش نیوتن
ایده اصلی روش به شرح زیر است: یک تقریب اولیه در نزدیکی ریشه فرضی مشخص می شود، پس از آن یک مماس بر تابع مورد مطالعه در نقطه تقریب ساخته می شود که برای آن تقاطع با محور آبسیسا پیدا می شود. این نقطه به عنوان تقریب بعدی در نظر گرفته می شود. و به همین ترتیب تا رسیدن به دقت لازم.
اجازه دهید یک تابع با ارزش واقعی تعریف شده بر روی یک بخش و قابل تمایز بر روی آن باشد. سپس فرمول محاسبه تکراری تقریب ها را می توان به صورت زیر بدست آورد:
که α زاویه میل مماس در نقطه است.
بنابراین، عبارت مورد نظر برای شکل زیر را دارد:
شماره بلیط 33
روش مقطع طلایی
روش مقطع طلایی به شما امکان می دهد با محاسبه تنها یک مقدار تابع در هر تکرار، فواصل را حذف کنید. در نتیجه دو مقدار در نظر گرفته شده تابع، فاصله زمانی تعیین می شود که باید در آینده استفاده شود. این بازه شامل یکی از نقاط قبلی و نقطه بعدی به صورت متقارن با آن خواهد بود. نقطه فاصله را به دو قسمت تقسیم می کند به طوری که نسبت کل به قسمت بزرگتر برابر با نسبت قسمت بزرگتر به کوچکتر است، یعنی برابر با به اصطلاح "قطع طلایی".
تقسیم فاصله به قسمت های نابرابر به شما امکان می دهد روش کارآمدتری پیدا کنید. اجازه دهید تابع را در انتهای بخش محاسبه کنیم [ آ,ب] و بگذار آ=ایکس 1 , ب=ایکس 2. اجازه دهید تابع را در دو نقطه داخلی نیز محاسبه کنیم ایکس 3 , ایکسچهار . بیایید هر چهار مقدار تابع را با هم مقایسه کنیم و از بین آنها کوچکترین را انتخاب کنیم. مثلاً کوچکترین باشد f(x 3). بدیهی است که حداقل در یکی از بخش های مجاور آن قرار دارد. بنابراین، بخش [ ایکس 4 ,ب] را می توان دور انداخت و بخش را ترک کرد. 
قدم اول برداشته شده است. در قسمت، دوباره باید دو نقطه داخلی را انتخاب کنید، مقادیر تابع را در آنها و در انتها محاسبه کنید و مرحله بعدی را بردارید. اما در مرحله قبل از محاسبات، تابع را در انتهای بخش جدید و در یکی از نقاط داخلی آن پیدا کرده ایم. ایکسچهار . بنابراین، کافی است یک نقطه دیگر را در داخل انتخاب کنید x5مقدار تابع موجود در آن را تعیین کرده و مقایسه های لازم را انجام دهید. این مقدار محاسبات را در یک مرحله از فرآیند به میزان چهار برابر کاهش می دهد. چگونه می توان به طور سودآور امتیاز داد؟ هر بار بخش باقی مانده به سه قسمت تقسیم می شود و سپس یکی از بخش های افراطی کنار گذاشته می شود.
اجازه دهید بازه عدم قطعیت اولیه را به عنوان نشان دهیم D.
از آنجایی که، در حالت کلی، هر یک از بخش ها را می توان دور انداخت X 1، X 3یا X 4، X 2سپس نقاط را انتخاب کنید X 3و X 4به طوری که طول این بخش ها یکسان است:
x 3 -x 1 = x 4 -x 2.
پس از دور انداختن، بازه عدم قطعیت طول جدیدی به دست خواهد آمد D'.
رابطه را مشخص کنید D/D'حرف φ:
یعنی ما تعیین می کنیم که فاصله عدم قطعیت بعدی کجاست. ولی
از نظر طول برابر با بخش حذف شده در مرحله قبل است، یعنی
بنابراین دریافت می کنیم:
.
این منجر به معادله یا، که همان است 
.
ریشه مثبت این معادله می دهد
.
شماره بلیط 34
درون یابی تابع، به عنوان مثال ساخت توسط عملکرد داده شدهدیگری (معمولاً ساده تر) که مقادیر آن با مقادیر تابع داده شده در تعداد معینی از نقاط مطابقت دارد. علاوه بر این، درونیابی دارای اهمیت عملی و نظری است.
بر اساس قیاس با (2.1)، سیستم (5.1) را می توان به شکل معادل زیر نشان داد:
که در آن g(x) یک تابع بردار تکراری آرگومان برداری است. سیستم ها نیستند معادلات خطیاغلب مستقیماً به شکل (5.2) بوجود می آیند (به عنوان مثال، در طرح های عددی برای معادلات دیفرانسیل)، در این مورد هیچ تلاش اضافی برای تبدیل معادلات (5.1) به سیستم (5.2) لازم نیست. اگر قیاس را با روش تکرار ساده برای یک معادله ادامه دهیم، آنگاه فرآیند تکراری بر اساس معادله (5.2) را می توان به صورت زیر سازماندهی کرد:
- 1) مقداری بردار اولیه x ((,) e 5 o (x 0 , آ)(فرض می شود که x * e 5 "(x 0، آ))؛
- 2) تقریب های بعدی با فرمول محاسبه می شوند
سپس فرآیند تکراری تکمیل می شود و
مثل قبل باید بفهمیم در چه شرایطی
بیایید با یک تحلیل ساده در مورد این موضوع بحث کنیم. ابتدا خطای تقریب i ام را به عنوان معرفی می کنیم
ما این عبارات را به (5.3) جایگزین می کنیم و g(x* + e (/i)) را در توان ها گسترش می دهیم. e(k>در همسایگی x* به عنوان تابعی از آرگومان برداری (با فرض اینکه تمام مشتقات جزئی تابع g(x) پیوسته هستند). همچنین با در نظر گرفتن x* = g(x*)، دریافت می کنیم
یا به صورت ماتریسی
B = (b nm)= I (х*) 1 - ماتریس تکراری.
اگر میزان خطا ||e®|| به اندازه کافی کوچک است، سپس عبارت دوم در سمت راست عبارت (5.4) را می توان نادیده گرفت و سپس با عبارت (2.16) منطبق می شود. در نتیجه، شرط همگرایی فرآیند تکراری (5.3) نزدیک به جواب دقیق توسط قضیه 3.1 توضیح داده شده است.
همگرایی روش تکرار ساده. لازم و شرایط کافیبرای همگرایی فرآیند تکرار شونده (5.3): 
و شرط کافی:
این شرایط اهمیت نظری دارند تا عملی، زیرا ما x' را نمی‌دانیم. با قیاس با (1.11)، شرطی را بدست می آوریم که می تواند مفید باشد. اجازه دهید x* e 5 o (x 0, آ)و ماتریس ژاکوبی برای تابع g(x)
برای همه x e وجود دارد S n (x 0 , a) (توجه داشته باشید که C(x*) = B). اگر عناصر ماتریس C(x) نابرابری را ارضا کنند
برای همه x e 5 "(x 0, آ)،سپس شرط کافی (5.5) نیز برای هر هنجار ماتریسی برقرار است.
مثال 5.1 (روش تکرار ساده) سیستم معادلات زیر را در نظر بگیرید:
یکی از راه های نمایش این سیستم به شکل معادل (5.2) بیان است ایکساز معادله اول و x 2از معادله دوم: 
سپس طرح تکراری شکل می گیرد
راه حل دقیق x* e 5n((2، 2)، 1). ما یک بردار اولیه x (0) = (2,2) و را انتخاب می کنیم ? p =سی تی 5. نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است. 5.1.
جدول 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
این نتایج نشان می دهد که همگرایی نسبتا کند است. برای به دست آوردن یک مشخصه کمی همگرایی، اجازه دهید یک تحلیل ساده انجام دهیم، با این فرض که x (1/) راه حل دقیق است. ماتریس ژاکوبی C(x) برای تابع تکراری ما شکل دارد
سپس ماتریس B تقریباً به صورت تخمین زده می شود
بررسی اینکه نه شرط (5.5) و نه شرط (5.6) برآورده نمی شود آسان است، اما همگرایی صورت می گیرد، زیرا 5 (B) ~ 0.8 است.
اغلب می توان با تغییر اندکی در فرآیند محاسبه، همگرایی یک روش تکرار ساده را تسریع کرد. ایده چنین اصلاحی بسیار ساده است: محاسبه پ-امین جزء بردار x (A+1)نه تنها می توان استفاده کرد (t = n,..., ن)، بلکه اجزای قبلا محاسبه شده بردار تقریب بعدی x k ^ (/= 1،پ -یک). بنابراین، روش تکرار ساده اصلاح شده را می توان به عنوان طرح تکراری زیر نشان داد:
اگر تقریب های تولید شده توسط فرآیند تکراری (5.3) همگرا شوند، فرآیند تکراری (5.8) معمولاً به دلیل استفاده کاملتر از اطلاعات سریعتر همگرا می شود.
مثال 5.2 (روش تکرار ساده اصلاح شده) تکرار ساده اصلاح شده برای سیستم (5.7) به صورت نمایش داده می شود
مانند قبل، بردار اولیه x (0) = (2، 2) و را انتخاب می کنیم g p == 10 -5. نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است. 5.2.
جدول 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
تغییر I Tebolyn در ترتیب محاسبات منجر به کاهش تعداد تکرارها به نصف و در نتیجه کاهش در تعداد عملیات به نصف شد.
اجازه دهید سیستم n باشد معادلات جبریبا n مجهول:
الگوریتم روش تکرار ساده:
توجه داشته باشید که در اینجا و در ادامه، زیرنویس مؤلفه متناظر بردار مجهولات را نشان می‌دهد و رونوشت نشان‌دهنده عدد تکرار (تقریبی) است.
سپس یک فرآیند ریاضی چرخه ای شکل می گیرد که هر چرخه آن نشان دهنده یک تکرار است. در نتیجه هر تکرار، مقدار جدیدی از بردار مجهولات به دست می آید. برای سازماندهی فرآیند تکراری، سیستم (1) را به شکل بالا می نویسیم. در این حالت، عبارات روی مورب اصلی نرمال می شوند و در سمت چپ علامت مساوی باقی می مانند، در حالی که بقیه به سمت راست. سیستم معادلات کاهش یافته استبه نظر می رسد:
توجه کنید که هرگز به دست نخواهد آمد، با این حال، با هر تکرار بعدی، بردار مجهولات به جواب دقیق نزدیکتر و نزدیکتر می شود.
12. فرمول اصلی تکراری که در روش تکرار ساده برای حل استفاده می شود معادله غیر خطی:
13. معیار توقف فرآیند تکراری در روش تکرار ساده برای حل معادله غیرخطی:
اگر برای هر کدام فرآیند تکرار شونده به پایان می رسد جزء i-امبردار مجهولات، شرط دستیابی به دقت برآورده می شود.
توجه کنید که راه حل دقیق در روش تکرار سادههرگز به دست نخواهد آمد، با این حال، با هر تکرار بعدی، بردار مجهولات به جواب دقیق نزدیک و نزدیکتر می شود.
14. معیارهای انتخاب تابع کمکی F(x) برای بخش تکرار بازه:
هنگام اجرای یک آزمون ریاضی برای حل روش تکرار ساده، ابتدا باید شرط همگرایی بررسی شود. برای همگرایی روش، لازم و کافی است که در ماتریس A مقادیر مطلق همه عناصر مورب بیشتر از مجموع ماژول های همه عناصر دیگر در ردیف مربوطه باشد:
معایب روش های تکرار شوندهاین یک شرایط همگرایی نسبتاً سختگیرانه است که برای همه سیستم های معادلات برآورده نمی شود.
اگر شرط همگرایی برآورده شود، در مرحله بعد باید تقریب اولیه بردار مجهولات را تنظیم کرد که معمولاً بردار صفر است:
15. روش گاوس مورد استفاده برای حل سیستم های معادلات خطی موارد زیر را ارائه می دهد:
این روش مبتنی بر تبدیل ماتریس به شکل مثلثی است. این محقق می شود محرومیت متوالیمجهولات از معادلات سیستم.
روش تکرار ساده که روش تقریب متوالی نیز نامیده می شود، یک الگوریتم ریاضی برای یافتن مقدار یک کمیت مجهول با پالایش تدریجی آن است. ماهیت این روش این است که همانطور که از نام آن پیداست، با بیان تدریجی موارد بعدی از تقریب اولیه، نتایج بیشتر و دقیق تری به دست می آورند. این روش برای یافتن مقدار یک متغیر در یک تابع معین و همچنین در حل سیستم معادلات خطی و غیر خطی استفاده می شود.
چگونگی را در نظر بگیرید این روشهنگام حل SLAE متوجه می شود. روش تکرار ساده دارای الگوریتم زیر است:
1. تأیید شرایط همگرایی در ماتریس اصلی. قضیه همگرایی: اگر ماتریس اصلی سیستم دارای تسلط مورب باشد (یعنی در هر سطر، عناصر مورب اصلی باید از نظر مدول بزرگتر از مجموع عناصر قطرهای ضلعی در مدول باشند)، روش ساده تکرارها همگرا هستند
2. ماتریس سیستم اصلی همیشه دارای تسلط مورب نیست. در چنین مواردی می توان سیستم را تبدیل کرد. معادلاتی که شرایط همگرایی را برآورده می‌کنند دست نخورده باقی می‌مانند و با معادلاتی که این شرایط را برآورده نمی‌کنند، ترکیب‌های خطی تشکیل می‌دهند، یعنی. ضرب، تفریق، اضافه کردن معادلات به یکدیگر تا نتیجه دلخواه به دست آید.
اگر در سیستم حاصل ضرایب نامناسبی در مورب اصلی وجود داشته باشد، آنگاه شرایط شکل c i *x i به هر دو قسمت چنین معادله ای اضافه می شود که علائم آن باید با علائم عناصر مورب مطابقت داشته باشد.
3. تبدیل سیستم حاصل به شکل عادی:
x - =β - +α*x -
این را می توان به روش های مختلفی انجام داد، به عنوان مثال، به شرح زیر: از معادله اول، x 1 را بر حسب مجهولات دیگر بیان کنید، از دوم - x 2، از سوم - x 3، و غیره. در اینجا ما از فرمول ها استفاده می کنیم:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
باید دوباره مطمئن شوید که سیستم حاصل از فرم معمولی شرایط همگرایی را برآورده می کند:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1، در حالی که i= 1،2،...n
4. ما شروع به اعمال، در واقع، خود روش تقریب های متوالی می کنیم.
x (0) - تقریب اولیه، از طریق آن x (1) را بیان می کنیم، سپس از طریق x (1) x (2) را بیان می کنیم. فرمول کلی در قالب ماتریس به صورت زیر است:
x (n) = β - +α*x (n-1)
ما محاسبه می کنیم تا زمانی که به دقت مورد نیاز برسیم:
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
بنابراین، بیایید به روش تکرار ساده در عمل نگاه کنیم. مثال:
حل SLAE:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 با دقت ε=10 -3
بیایید ببینیم که آیا عناصر مورب بر مدول غالب هستند یا خیر.
می بینیم که تنها معادله سوم شرط همگرایی را برآورده می کند. معادله اول و دوم را تبدیل می کنیم، دومی را به معادله اول اضافه می کنیم:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
اولی را از سومی کم کنید:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
ما سیستم اصلی را به یک معادل تبدیل کرده ایم:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
حالا بیایید سیستم را به حالت عادی برگردانیم:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
ما همگرایی فرآیند تکراری را بررسی می کنیم:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1، یعنی. شرط برقرار است
0,3947
حدس اولیه x(0) = 0.4762
0,8511
با جایگزینی این مقادیر به معادله معمولی، مقادیر زیر را بدست می آوریم:
0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639
با جایگزینی مقادیر جدید، دریافت می کنیم:
0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336
محاسبات را تا زمانی ادامه می دهیم که به مقادیری که شرایط داده شده را برآورده می کنند نزدیک شویم.
x(7) = 0.441091
بیایید صحت نتایج به دست آمده را بررسی کنیم:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
نتایج به دست آمده با جایگزینی مقادیر یافت شده در معادلات اصلی شرایط معادله را کاملاً برآورده می کند.
همانطور که می بینیم، روش تکرار ساده نتایج کاملاً دقیقی به دست می دهد، با این حال، برای حل این معادله، باید زمان زیادی را صرف کرده و محاسبات دست و پا گیر انجام دهیم.
حل عددی معادلاتو سیستم های آنها شامل تعیین تقریبی ریشه های یک معادله یا سیستم معادلات است و در مواردی که روش حل دقیق ناشناخته یا پر زحمت است استفاده می شود.
فرمول بندی مسئله[ | ]
روش‌هایی را برای حل عددی معادلات و سیستم‌های معادلات در نظر بگیرید:
f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(array)(lcr)f_(1 )(x_(1)،x_(2)،\ldots،x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1)،x_(2)،\ldots،x_( n))&=&0\پایان(آرایه))\راست.)
روش های عددی برای حل معادلات[ | ]
بیایید نشان دهیم که چگونه می توانید سیستم اصلی معادلات را بدون استفاده از روش های بهینه سازی حل کنید. اگر سیستم ما SLAE است، بهتر است به روش هایی مانند روش گاوس یا روش ریچاردسون متوسل شویم. با این حال، همچنان از این فرض که شکل تابع برای ما ناشناخته است، ادامه می‌دهیم و از یکی از روش‌های تکراری حل عددی استفاده می‌کنیم. در میان طیف گسترده ای از آنها، ما یکی از معروف ترین آنها را انتخاب می کنیم - روش نیوتن. این روش به نوبه خود بر اساس اصل نگاشت انقباض است. بنابراین، ابتدا اصل موضوع اخیر بیان خواهد شد.
نقشه برداری فشاری[ | ]
بیایید اصطلاحات را تعریف کنیم:
عملکرد گفته می شود که انجام می دهد نقشه برداری انقباض در اگر
سپس قضیه اصلی زیر برقرار است:
| قضیه باناخ (اصل نگاشت انقباض). اگر یک φ (\displaystyle \varphi)- نقشه انقباض در [a، b] (\displaystyle)، سپس: |
از آخرین نکته این قضیه برمی‌آید که نرخ همگرایی هر روشی که بر اساس نگاشت انقباضی است حداقل خطی است.
معنی پارامتر را توضیح دهید α (\displaystyle \alpha)برای مورد یک متغیر با توجه به قضیه لاگرانژ داریم:
φ (x) ∈ C 1 [ a , b ] . ∀ x 1، x 2 ∈ (a، b)، x 1< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}از این رو نتیجه می شود که α ≈ | φ ′ (ξ) | (\displaystyle \alpha \approx |\varphi "(\xi)|). بنابراین، برای همگرایی روش، کافی است که ∀ x ∈ [ a , b ] | φ ' (x) | ≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)
الگوریتم کلی تقریب های متوالی[ | ]
همانطور که در مورد کلی معادلات عملگر اعمال می شود، این روش نامیده می شود روش تقریب های متوالییا روش تکرار ساده. با این حال، معادله را می توان به روش های مختلف به نقشه انقباضی، که ریشه یکسانی دارد، تبدیل کرد. این باعث ایجاد تعدادی روش خاص می شود که هم همگرایی خطی و هم نرخ بالاتری دارند.
همانطور که در مورد SLAU اعمال می شود[ | ]
سیستم را در نظر بگیرید:
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+ \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(آرایه))\راست.)
برای آن، محاسبه تکراری به صورت زیر خواهد بود:
(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x ) ) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\ پایان (آرایه))\راست)^(i+1)=\left((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_ ( 22) +1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\پایان(آرایه))\ راست )\چپ((\شروع(آرایه)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\پایان(آرایه)\راست)^(i)-\چپ ((\begin(آرایه)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(آرایه))\راست))
این روش با نرخ خطی همگرا می شود اگر ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
میله های عمودی دوتایی به معنای هنجارهای ماتریس هستند.
حل معادله f(x)=0 به روش نیوتن، تقریب اولیه: x 1 =a.
روش نیوتن (روش مماس)[ | ]
مورد تک بعدی[ | ]
بهینه سازی تبدیل معادله اصلی f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)به نقشه انقباضی x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x))به شما امکان می دهد روشی با نرخ همگرایی درجه دوم بدست آورید.
برای اینکه نگاشت بیشترین کارایی را داشته باشد، لازم است که در نقطه تکرار بعدی انجام شود x ∗ (\displaystyle x^(*))انجام شد φ ′ (x∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). ما به دنبال حل این معادله در فرم خواهیم بود φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x))، سپس:
φ ′ (x∗) = 1 + α ′ (x∗) f (x∗) + α (x∗) f ′ (x∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\alpha (x^(*))f"(x^(*))=0)از چی استفاده کنیم f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)، و فرمول نهایی را دریافت می کنیم α (x) (\displaystyle \alpha (x)):
α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))با در نظر گرفتن این موضوع، تابع انقباض به شکل زیر خواهد بود:
φ (x) = x − f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))سپس الگوریتم یافتن جواب عددی معادله f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)به یک روش محاسبه تکراری کاهش می دهد:
x i + 1 = x i − f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i)))(f"(x_(i) ))))
بارگذاری...