در حل معادلات غیرمنطقی باید به چه نکاتی توجه کرد. معادلات غیر منطقی و راه حل آنها

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

روش های حل معادلات غیر منطقی.

آمادگی اولیه برای درس: دانش آموزان باید بتوانند معادلات غیرمنطقی را به طرق مختلف حل کنند.

سه هفته قبل از این جلسه، دانش آموزان تکالیف شماره 1 را دریافت می کنند: حل معادلات غیر منطقی مختلف. (دانش آموزان به طور مستقل 6 معادله غیرمنطقی مختلف را پیدا کرده و آنها را به صورت جفت حل می کنند.)

یک هفته قبل از این درس، دانش آموزان تکالیف شماره 2 را دریافت می کنند که آنها را به صورت انفرادی انجام می دهند.

1. معادله را حل کنیدروش های مختلف.

2. مزایا و معایب هر روش را ارزیابی کنید.

3. نتیجه گیری را در قالب جدول ثبت کنید.

№ p/n	مسیر	مزایای	ایرادات

اهداف درس:

آموزشی:تعمیم دانش دانشجویان در این زمینه، نمایش روش های مختلف برای حل معادلات غیرمنطقی، توانایی دانشجویان در رویکرد به حل معادلات از موقعیت های پژوهشی.

آموزشی:آموزش استقلال، توانایی گوش دادن به دیگران و ارتباط گروهی، افزایش علاقه به موضوع.

در حال توسعه:توسعه تفکر منطقی، فرهنگ الگوریتمی، مهارت های خودآموزی، خود سازماندهی، کار دوتایی هنگام انجام تکالیف، توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، نتیجه گیری.

تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش، جدول "قوانین حل معادلات غیر منطقی" پوستر با نقل قول از M.V. لومونوسوف "ریاضیات را باید بعداً آموزش داد که ذهن را مرتب می کند".

قوانین حل معادلات غیر منطقی

نوع درس: درس - سمینار (کار در گروه های 5-6 نفره، هر گروه باید دانش آموزان قوی داشته باشد).

در طول کلاس ها

من . زمان سازماندهی

(پیام موضوع و اهداف درس)

II . ارائه کار پژوهشی"روش حل معادلات غیر منطقی"

(کار توسط دانش آموزی که آن را انجام داده ارائه می شود.)

III . تجزیه و تحلیل روش های حل تکالیف

(یک دانش آموز از هر گروه راه حل های پیشنهادی خود را روی تخته یادداشت می کند. هر گروه یکی از راه حل ها را تجزیه و تحلیل می کند، مزایا و معایب را ارزیابی می کند، نتیجه می گیرد. دانش آموزان گروه ها در صورت لزوم تکمیل می کنند. تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری گروه عبارتند از ارزیابی می شود. پاسخ ها باید واضح و کامل باشند.)

راه اول: بالا بردن دو طرف معادله به یک توان و به دنبال آن تایید.

راه حل.

بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم:

از اینجا

معاینه:

1. اگرx=42 سپس، که به معنی عدد است42 ریشه معادله نیست

2. اگرx=2، سپس، که به معنی عدد است2 ریشه معادله است.

پاسخ:2.

№ p/n

مسیر

مزایای

ایرادات

بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان

1. می فهمم.

2. موجود است.

1. ورود شفاهی.

2. بررسی پیچیده.

نتیجه. هنگام حل معادلات غیرمنطقی با بالا بردن هر دو قسمت معادله به توان یکسان، باید یک رکورد شفاهی نگه داشت که جواب را قابل درک و قابل دسترس می کند. با این حال، تأیید اجباری گاهی اوقات پیچیده و زمان بر است. از این روش می توان برای حل معادلات غیر منطقی ساده حاوی 1-2 رادیکال استفاده کرد.

راه دوم: تبدیل های معادل.

راه حل:بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

پاسخ:2.

№ p/n

مسیر

مزایای

ایرادات

تبدیل های معادل

1. عدم توصیف شفاهی.

2. بدون تایید.

3. نماد منطقی را پاک کنید.

4. دنباله ای از انتقال های معادل.

1. رکورد دست و پا گیر.

2. هنگام ترکیب علائم سیستم و کل ممکن است اشتباه کنید.

نتیجه. هنگام حل معادلات غیر منطقی با روش انتقال معادل، باید به وضوح بدانید که چه زمانی علامت سیستم را قرار دهید، و چه زمانی - کل. نمادهای دست و پا گیر، ترکیب های مختلف نشانه های سیستم و کلیت اغلب منجر به خطا می شود. با این حال، یک توالی از انتقال معادل، یک رکورد منطقی واضح و بدون توصیف شفاهی که نیازی به تأیید ندارد، از مزایای مسلم این روش است.

راه سوم: عملکردی- گرافیکی.

راه حل.

توابع را در نظر بگیریدو.

1. عملکردقدرت؛ در حال افزایش است، زیرا توان یک عدد مثبت (نه عدد صحیح) است.

D(f).

بیایید جدولی از ارزش ها تهیه کنیمایکسوf( ایکس).

	1,5		3,5
f(x)

2. عملکردقدرت؛ در حال کاهش است.

دامنه تابع را پیدا کنیدD( g).

بیایید جدولی از ارزش ها تهیه کنیمایکسوg( ایکس).


g(x)

بیایید این نمودارهای توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم.

نمودارهای تابع در نقطه ای با آبسیسا قطع می شوندزیرا عملکردf( ایکس) افزایش می یابد و عملکردg( ایکس) کاهش می یابد، سپس تنها یک راه حل برای معادله وجود دارد.

پاسخ: 2.

№p/n

مسیر

مزایای

ایرادات

عملکردی - گرافیکی

1. دید

2. عدم نیاز به انجام تبدیل های جبری پیچیده و پیروی از ODD.

3. به شما امکان می دهد تعداد راه حل ها را پیدا کنید.

1. نماد شفاهی.

2. یافتن پاسخ دقیق همیشه امکان پذیر نیست و اگر پاسخ دقیق باشد، تأیید لازم است.

نتیجه. روش عملکردی - گرافیکی گویا است، به شما امکان می دهد تعداد راه حل ها را بیابید، اما بهتر است زمانی از آن استفاده کنید که بتوانید به راحتی نمودارهایی از توابع مورد بررسی بسازید و پاسخ دقیقی دریافت کنید. اگر پاسخ تقریبی است، بهتر است از روش دیگری استفاده کنید.

راه چهارم: معرفی یک متغیر جدید.

راه حل.ما متغیرهای جدیدی را معرفی می کنیم که نشان می دهداولین معادله سیستم را بدست می آوریم

اجازه دهید معادله دوم سیستم را بسازیم.

برای یک متغیر:

برای یک متغیر

از همین رو

ما یک سیستم از دو معادله گویا را با توجه بهو

بازگشت به متغیر، ما گرفتیم

معرفی یک متغیر جدید

ساده سازی - به دست آوردن سیستمی از معادلات که حاوی رادیکال نیستند

1. نیاز به پیگیری LPV متغیرهای جدید

2. نیاز به بازگشت به متغیر اصلی

نتیجه. این روش برای معادلات غیر منطقی حاوی رادیکال بهترین استفاده را دارد درجات مختلف، یا چند جمله ای های یکسان در زیر علامت ریشه و پشت علامت ریشه یا عبارات متقابل معکوس در زیر علامت ریشه.

- بنابراین، بچه ها، برای هر معادله غیر منطقی، باید راحت ترین راه را برای حل آن انتخاب کنید: قابل درک. قابل دسترس، منطقی و به خوبی طراحی شده است. دست خود را بالا ببرید، کدام یک از شما برای حل این معادله ترجیح می دهید:

1) روش بالا بردن هر دو قسمت معادله به یک توان با تأیید؛

2) روش تبدیل های معادل.

3) کاربردی روش گرافیکی;

4) روش معرفی متغیر جدید.

IV . بخش عملی

(کار گروهی. هر گروه از دانش آموزان کارتی با یک معادله دریافت می کنند و آن را در دفترچه حل می کنند. در این زمان یک نماینده از گروه یک مثال را روی تخته حل می کند. دانش آموزان هر گروه به عنوان یکی از اعضای گروه خود همان مثال را حل می کنند. و وظایف اجرای صحیح را روی تخته نظارت کنید. اگر فردی که در تخته سیاه پاسخ می دهد اشتباه می کند، کسی که متوجه آنها می شود دست خود را بلند می کند و به اصلاح کمک می کند. در طول درس، هر دانش آموز علاوه بر مثالی که توسط گروه خود حل می شود. ، باید در یک دفترچه یادداشت و سایر پیشنهادات را به گروه ها بنویسید و در خانه حل کنید.)

گروه 1.

گروه 2

گروه 3.

V . کار مستقل

(در گروه ها ابتدا بحث صورت می گیرد و سپس دانش آموزان شروع به انجام کار می کنند. راه حل صحیحی که معلم تهیه کرده است روی صفحه نمایش داده می شود.)

VI . جمع بندی درس

اکنون می دانید که حل معادلات غیرمنطقی مستلزم داشتن دانش نظری خوب، توانایی به کارگیری آنها در عمل، توجه، کوشش و هوش سریع است.

مشق شب

معادلات پیشنهادی به گروه ها را در طول درس حل کنید.

بخش اول مطالب این مقاله ایده ای از معادلات غیر منطقی را تشکیل می دهد. پس از مطالعه آن به راحتی می توانید معادلات غیر منطقی را از معادلات انواع دیگر تشخیص دهید. در بخش دوم، روش‌های اصلی برای حل معادلات غیرمنطقی به تفصیل تجزیه و تحلیل می‌شوند، راه‌حل‌های دقیق برای تعداد زیادی مثال معمولی ارائه می‌شوند. اگر به این اطلاعات تسلط داشته باشید، تقریباً به طور قطع با تقریباً هر معادله غیرمنطقی از یک درس ریاضی مدرسه کنار خواهید آمد. در کسب دانش موفق باشید!

معادلات غیر منطقی چیست؟

اجازه دهید ابتدا توضیح دهیم که معادلات غیرمنطقی چیست. برای انجام این کار، تعاریف مناسب را در کتاب های درسی توصیه شده توسط وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه پیدا خواهیم کرد.

گفتگوی مفصل در مورد معادلات غیر منطقی و حل آنها در درس جبر انجام می شود و تجزیه و تحلیل در دبیرستان آغاز شد. با این حال، برخی از نویسندگان پیشتر معادلاتی از این دست را معرفی می کنند. به عنوان مثال، کسانی که طبق کتاب های درسی موردکوویچ A. G. درس می خوانند قبلاً در کلاس هشتم در مورد معادلات غیر منطقی یاد می گیرند: کتاب درسی بیان می کند که

نمونه هایی از معادلات غیرمنطقی نیز وجود دارد، , ، و غیره. بدیهی است که در هر یک از معادلات فوق، زیر علامت ریشه دومحاوی متغیر x است، به این معنی که با تعریف فوق، این معادلات غیر منطقی هستند. در اینجا، یکی از روش های اصلی برای حل آنها بلافاصله تجزیه و تحلیل می شود -. اما ما کمی پایین تر در مورد روش های حل صحبت خواهیم کرد، فعلاً تعاریفی از معادلات غیر منطقی را از کتاب های درسی دیگر ارائه خواهیم داد.

در کتاب های درسی Kolmogorov A. N. و Kolyagin Yu. M.

تعریف

غیر منطقیبه معادلاتی گفته می شود که در آنها یک متغیر زیر علامت ریشه قرار می گیرد.

توجه کنیم تفاوت اساسی این تعریفاز قبلی: فقط ریشه می گوید نه جذر، یعنی درجه ریشه ای که متغیر زیر آن قرار دارد مشخص نشده است. این بدان معنی است که ریشه نه تنها می تواند مربع، بلکه سوم، چهارم و غیره باشد. درجه. بنابراین، آخرین تعریف مجموعه گسترده تری از معادلات را تعریف می کند.

یک سوال طبیعی مطرح می شود، چرا ما شروع به استفاده از این تعریف گسترده تر از معادلات غیر منطقی در دبیرستان می کنیم؟ همه چیز قابل توضیح و ساده است: وقتی در کلاس هشتم با معادلات غیرمنطقی آشنا می شویم، فقط از ریشه دوم به خوبی آگاه هستیم، هنوز هیچ ریشه مکعبی، ریشه درجه چهارم و بالاتر را نمی دانیم. و در دبیرستان مفهوم ریشه تعمیم می‌یابد، یاد می‌گیریم و وقتی از معادلات غیرمنطقی صحبت می‌کنیم، دیگر محدود به جذر نمی‌شویم، بلکه منظور از ریشه درجه دلخواه است.

برای وضوح، چندین مثال از معادلات غیرمنطقی را نشان خواهیم داد. - در اینجا متغیر x در زیر علامت ریشه مکعب قرار دارد، بنابراین این معادله غیرمنطقی است. مثالی دیگر: - در اینجا متغیر x هم زیر علامت جذر و هم ریشه درجه چهارم است، یعنی این نیز یک معادله غیرمنطقی است. در اینجا چند نمونه دیگر از معادلات غیر منطقی بیشتر آورده شده است نوع پیچیده: و .

تعاریف فوق به ما امکان می دهد توجه داشته باشیم که در رکورد هر معادله غیرمنطقی نشانه هایی از ریشه ها وجود دارد. همچنین واضح است که اگر هیچ نشانه ای از ریشه وجود نداشته باشد، معادله غیرمنطقی نیست. با این حال، همه معادلات حاوی علائم ریشه غیر منطقی نیستند. در واقع، در یک معادله غیرمنطقی، باید یک متغیر زیر علامت ریشه وجود داشته باشد، اگر هیچ متغیری در زیر علامت ریشه نباشد، معادله غیرمنطقی نیست. به عنوان مثال، ما مثال هایی از معادلات را ارائه می دهیم که دارای ریشه هستند اما غیرمنطقی نیستند. معادلات و غیر منطقی نیستند، زیرا آنها دارای متغیرهایی در زیر علامت ریشه نیستند - اعداد زیر ریشه ها هستند و هیچ متغیری در زیر نشانه های ریشه وجود ندارد، بنابراین این معادلات غیر منطقی نیستند.

شایان ذکر است که تعداد متغیرهایی که می توانند در نوشتن معادلات غیرمنطقی شرکت کنند. تمامی معادلات غیرمنطقی فوق حاوی یک متغیر واحد x هستند، یعنی معادلاتی با یک متغیر هستند. با این حال، هیچ چیز ما را از در نظر گرفتن معادلات غیر منطقی با دو، سه و غیره باز نمی دارد. متغیرها اجازه دهید مثالی از یک معادله غیرمنطقی با دو متغیر بیاوریم و با سه متغیر

توجه داشته باشید که در مدرسه بیشتر باید با معادلات غیرمنطقی با یک متغیر کار کنید. معادلات غیرمنطقی با چندین متغیر بسیار کمتر رایج است. آنها را می توان در ترکیب یافت، به عنوان مثال، در کار "حل سیستم معادلات یا مثلاً در توصیف جبری اجسام هندسی، بنابراین یک نیم دایره با مرکز در مبدا، شعاع 3 واحد، که در نیم صفحه بالایی قرار دارد، با معادله مطابقت دارد.

برخی از مجموعه وظایف برای آمادگی برای امتحان در بخش "معادلات غیرمنطقی" حاوی وظایفی هستند که در آنها متغیر نه تنها زیر علامت ریشه است، بلکه تحت علامت تابع دیگری مانند ماژول، لگاریتم و غیره است. . به عنوان مثال ، برگرفته از کتاب و اینجا - از مجموعه. در مثال اول، متغیر x زیر علامت لگاریتم است و لگاریتم نیز زیر علامت ریشه است، یعنی به اصطلاح یک معادله لگاریتمی (یا لگاریتمی غیر منطقی) غیر منطقی داریم. در مثال دوم متغیر زیر علامت ماژول قرار دارد و ماژول نیز زیر علامت ریشه قرار دارد، با اجازه شما به آن معادله غیرمنطقی با ماژول می گوییم.

آیا معادلات از این دست غیر منطقی تلقی می شوند؟ سوال خوب است. به نظر می رسد که متغیری در زیر علامت ریشه وجود دارد، اما گیج می کند که در "شکل خالص" آن نیست، بلکه تحت علامت یک یا چند تابع دیگر است. به عبارت دیگر، به نظر می‌رسد هیچ تناقضی با نحوه تعریف معادلات غیرمنطقی بالا وجود ندارد، اما به دلیل وجود توابع دیگر، درجه‌ای از عدم قطعیت وجود دارد. از دیدگاه ما، نباید متعصب بود که «اشیاء را به نام خود بخوانند». در عمل، کافی است به سادگی «معادله» را بدون مشخص کردن نوع آن بگویید. و همه این اضافات «غیر عقلانی»، «لگاریتمی» و غیره هستند. بیشتر برای راحتی ارائه و گروه بندی مطالب مفید است.

با توجه به اطلاعات پاراگراف آخر، تعریف معادلات غیرمنطقی ارائه شده در کتاب درسی تالیف موردکوویچ A. G. برای کلاس 11 مورد توجه است.

تعریف

غیر منطقیمعادلاتی نامیده می شوند که در آنها متغیر تحت علامت رادیکال یا تحت علامت افزایش به توان کسری قرار می گیرد.

در اینجا علاوه بر معادلات دارای متغیر تحت علامت ریشه، معادلات دارای متغیرهای تحت علامت افزایش به توان کسری نیز غیرمنطقی در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال، طبق این تعریف، معادله غیر منطقی تلقی می شود. چرا یکدفعه؟ ما قبلاً به ریشه های معادلات غیرمنطقی عادت کرده ایم، اما اینجا یک ریشه نیست، بلکه یک درجه است، و شما می خواهید این معادله را بیشتر مثلاً قانون قدرت بنامید، نه غیر منطقی؟ همه چیز ساده است: از طریق ریشه ها تعریف می شود، و روی متغیر x برای معادله داده شده (با فرض x 2 +2 x≥0) می توان آن را با استفاده از ریشه بازنویسی کرد. و آخرین برابری یک معادله غیرمنطقی است که برای ما با یک متغیر زیر علامت ریشه آشنا است. و روش های حل معادلات با متغیرها در پایه توان های کسری دقیقاً مشابه روش های حل معادلات غیر منطقی است (در پاراگراف بعدی به آنها پرداخته خواهد شد). پس راحت است که آنها را غیرمنطقی بنامیم و در این منظر در نظر بگیریم. اما بیایید با خودمان صادق باشیم: در ابتدا ما معادله را داریم ، اما نه و زبان به دلیل عدم وجود ریشه در علامت گذاری، تمایل چندانی به نامعقول بودن معادله اصلی ندارد. همین ترفند به شما امکان می دهد از چنین نکات بحث برانگیز در مورد اصطلاحات دور شوید: معادله را صرفاً یک معادله بدون هیچ مشخصات خاصی بنامید.

ساده ترین معادلات غیر منطقی

شایان ذکر است به اصطلاح ساده ترین معادلات غیر منطقی. بیایید فوراً بگوییم که این اصطلاح در کتاب های درسی اصلی جبر و ابتدای تجزیه و تحلیل وجود ندارد، اما گاهی اوقات در کتاب های مسئله و راهنماها یافت می شود، به عنوان مثال، در. نباید به طور کلی پذیرفته شده تلقی شود، اما دانستن آنچه معمولاً با ساده ترین معادلات غیرمنطقی درک می شود، ضرری ندارد. این معمولاً نامی است که به معادلات غیرمنطقی شکل داده می شود ، که در آن f(x) و g(x) برخی هستند. در این پرتو ساده ترین معادله غیرمنطقی را می توان برای مثال معادله یا .

چگونه می توان ظاهر چنین نامی "ساده ترین معادلات غیر منطقی" را توضیح داد؟ به عنوان مثال، این واقعیت که حل معادلات غیر منطقی اغلب مستلزم کاهش اولیه آنها به شکل است و استفاده بیشتر از هر روش راه حل استاندارد. در اینجا معادلات غیر منطقی به این شکل ساده ترین هستند.

روش های اساسی برای حل معادلات غیر منطقی

با تعریف ریشه

یکی از روش های حل معادلات غیرمنطقی مبتنی بر. با کمک آن، معادلات غیر منطقی از ساده ترین شکل معمولا حل می شود ، که در آن f(x) و g(x) برخی از عبارات منطقی هستند (ما تعریف ساده ترین معادلات غیر منطقی را در ) ارائه کردیم. معادلات غیر منطقی فرم ، اما در آن f(x) و/یا g(x) عبارات غیر منطقی هستند. با این حال، در بسیاری از موارد، حل چنین معادلاتی با روش های دیگر راحت تر است، که در پاراگراف های بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

برای سهولت در ارائه مطالب، معادلات غیر منطقی را با توان های ریشه زوج، یعنی معادلات جدا می کنیم. , 2 k=2, 4, 6, … , از معادلات با توانهای ریشه فرد , 2 k+1=3, 5, 7, … بلافاصله رویکردهای حل آنها را بیان خواهیم کرد:

رویکردهای فوق مستقیماً از و .

بنابراین، روش حل معادلات غیر منطقی با تعریف ریشه به شرح زیر است:

با تعریف ریشه، راحت ترین حل ساده ترین معادلات غیرمنطقی با اعداد سمت راست است، یعنی معادلات شکل، که در آن C مقداری عدد است. وقتی یک عدد در سمت راست معادله وجود دارد، حتی با یک توان ریشه زوج، نیازی نیست به سیستم بروید: اگر C یک عدد غیر منفی است، با تعریف ریشه یک زوج درجه، و اگر C یک عدد منفی باشد، بلافاصله می توانید نتیجه بگیرید که هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد، زیرا، طبق تعریف، ریشه یک درجه زوج یک عدد غیر منفی است، به این معنی که معادله نمی چرخد. به یک برابری عددی واقعی برای هر مقدار واقعی متغیر x.

بیایید به نمونه های معمولی برویم.

ما از ساده به پیچیده خواهیم رفت. بیایید با حل ساده ترین معادله غیرمنطقی شروع کنیم، که در سمت چپ آن یک ریشه یک درجه زوج وجود دارد، و در سمت راست - یک عدد مثبت، یعنی از حل معادله ای از شکل، که در آن C یک مثبت است. عدد. تعریف ریشه به شما امکان می دهد از حل یک معادله غیرمنطقی معین به حل یک معادله ساده تر بدون ریشه C 2·k =f(x) بروید.

به همین ترتیب، با تعریف ریشه، ساده ترین معادلات غیر منطقی با صفر در سمت راست حل می شود.

اجازه دهید به طور جداگانه در معادلات غیر منطقی صحبت کنیم که در سمت چپ آنها یک ریشه یک درجه زوج با یک متغیر زیر علامت آن وجود دارد و در سمت راست یک عدد منفی وجود دارد. چنین معادلاتی روی مجموعه اعداد حقیقی راه حلی ندارند (پس از آشنایی با ریشه های مختلط صحبت خواهیم کرد. اعداد مختلط ). این کاملا واضح است: ریشه یک درجه زوج، طبق تعریف، یک عدد غیر منفی است، به این معنی که نمی تواند با یک عدد منفی برابر باشد.

سمت چپ معادلات غیرمنطقی مثال های قبلی ریشه قدرت های زوج و سمت راست اعداد بودند. حالا مثال هایی با متغیرهای سمت راست در نظر بگیرید، یعنی معادلات غیرمنطقی شکل را حل می کنیم. . برای حل آنها، با تعیین ریشه، انتقال به سیستم انجام می شود ، که مجموعه ای از راه حل های معادله اصلی را دارد.

باید در نظر داشت که سیستم ، به حل معادله غیر منطقی اصلی ، مطلوب است که نه به صورت مکانیکی، بلکه در صورت امکان، منطقی حل شود. واضح است که این سوال بیشتراز موضوع " راه حل سیستمی"، اما با این وجود ما سه موقعیت را که اغلب با آن مواجه می‌شویم با مثال‌هایی فهرست می‌کنیم که آنها را نشان می‌دهد:

به عنوان مثال، اگر اولین معادله آن g 2 k (x)=f(x) هیچ راه حلی نداشته باشد، حل نابرابری g(x)≥0 نیز فایده ای ندارد، زیرا قبلاً از عدم وجود راه حل در معادله، می توان نتیجه گرفت که هیچ راه حلی برای سیستم وجود ندارد.

به همین ترتیب، اگر نابرابری g(x)≥0 هیچ جوابی نداشته باشد، نیازی به حل معادله g 2·k (x)=f(x) نیست، زیرا حتی بدون این نیز واضح است که در این مورد سیستم هیچ راه حلی ندارد

اغلب اوقات، نابرابری g(x)≥0 اصلاً حل نمی شود، بلکه فقط بررسی می شود که کدام یک از ریشه های معادله g 2·k (x)=f(x) آن را برآورده می کند. مجموعه همه آنهایی که نابرابری را برآورده می کنند، راه حلی برای سیستم است، به این معنی که حل معادله غیرمنطقی اولیه معادل آن نیز می باشد.

در مورد معادلات با توان های ریشه زوج کافی است. وقت آن است که به معادلات غیرمنطقی با ریشه های قدرت های فرد فرم توجه کنیم . همانطور که قبلاً گفتیم برای حل آنها به معادله معادل می رویم ، که با هر روش موجود حل می شود.

در پایان این بند اشاره می کنیم تایید تصمیم. روش حل معادلات غیرمنطقی با تعیین ریشه، هم ارزی انتقال ها را تضمین می کند. این بدان معنی است که بررسی راه حل های یافت شده ضروری نیست. این لحظه را می توان به مزایای آن نسبت داد این روشحل معادلات غیر منطقی، زیرا در اکثر روش های دیگر، تأیید یک مرحله اجباری در حل است که به شما امکان می دهد ریشه های اضافی را قطع کنید. اما در عین حال، باید به خاطر داشت که بررسی با جایگزین کردن راه‌حل‌های یافت شده در معادله اصلی هرگز زائد نیست: به طور ناگهانی، جایی که یک خطای محاسباتی رخ می‌دهد.

همچنین متذکر می شویم که موضوع بررسی و فیلتر کردن ریشه های خارجی در حل معادلات غیرمنطقی بسیار مهم است، بنابراین در یکی از پاراگراف های بعدی این مقاله به آن باز خواهیم گشت.

بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان

ارائه بیشتر حاکی از آن است که خواننده ایده ای از معادلات معادل و معادلات-پیامدها دارد.

روش افزایش دو طرف معادله به توان یکسان بر اساس عبارت زیر است:

بیانیه

بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی یکسان معادله نتیجه را به دست می دهد و با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی فرد یک معادله معادله می شود.

اثبات

اجازه دهید آن را برای معادلات با یک متغیر ثابت کنیم. برای معادلات دارای چندین متغیر، اصول اثبات یکسان است.

فرض کنید A(x)=B(x) معادله اصلی و x 0 ریشه آن باشد. از آنجایی که x 0 ریشه این معادله است، A(x 0)=B(x 0) - برابری عددی واقعی. ما این ویژگی برابری های عددی را می دانیم: ضرب ترم به ترم برابری های عددی واقعی، برابری عددی صحیح را به دست می دهد. جمله را در عدد 2 k ضرب کنید که k است عدد طبیعی, برابری های عددی صحیح A(x 0)=B(x 0) , این برابری عددی صحیح را به ما می دهد A 2 k (x 0)=B 2 k (x 0) . و تساوی حاصل به این معنی است که x 0 ریشه معادله A 2 k (x)=B 2 k (x) است که از معادله اصلی با بالا بردن هر دو قسمت آن به توان طبیعی زوج برابر 2 k به دست می آید.

برای توجیه احتمال وجود ریشه معادله A 2·k (x)=B 2·k (x) که ریشه معادله اصلی A(x)=B(x) نیست، کافی است. مثال بزنم معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید ، و معادله ، که با مربع کردن هر دو قسمت آن از اصل به دست می آید. به راحتی می توان بررسی کرد که صفر ریشه معادله است ، واقعاً ، که همان 4=4 است - برابری صحیح. اما در عین حال، صفر یک ریشه خارجی برای معادله است ، از آنجایی که پس از جایگزینی صفر برابری را بدست می آوریم که همان 2=−2 است که نادرست است. این ثابت می کند که معادله به دست آمده از اصل با بالا بردن هر دو قسمت آن به توان زوج یکسان می تواند ریشه هایی داشته باشد که برای معادله اصلی بیگانه هستند.

بنابراین ثابت می شود که بالا بردن هر دو قسمت معادله به یک توان طبیعی یکسان منجر به معادله-نتیجه می شود.

باید ثابت کرد که بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی فرد یکسان معادله ای معادل به دست می دهد.

اجازه دهید نشان دهیم که هر ریشه معادله، ریشه معادله ای است که با بالا بردن هر دو جزء آن به توان فرد از معادله اصلی به دست می آید، و بالعکس، هر ریشه معادله با بالا بردن هر دو جزء خود به یک عدد از معادله اصلی به دست می آید. توان فرد ریشه معادله اصلی است.

معادله A(x)=B(x) را داشته باشیم. اجازه دهید x 0 ریشه آن باشد. سپس برابری عددی A(x 0)=B(x 0) درست است. با مطالعه ویژگی‌های برابری‌های عددی واقعی، متوجه شدیم که برابری‌های عددی واقعی را می‌توان ترم به جمله ضرب کرد. با ضرب جمله در جمله 2 k+1، که در آن k یک عدد طبیعی است، برابری های عددی صحیح A(x 0)=B(x 0) برابری عددی صحیح را بدست می آوریم A 2 k+1 (x 0) = B 2 k +1 ( x 0) ، به این معنی که x 0 ریشه معادله A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) است. حالا برگشت. فرض کنید x 0 ریشه معادله A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) باشد. این بدان معنی است که برابری عددی A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) صحیح است. به دلیل وجود یک ریشه یک درجه فرد از هر عدد حقیقی و منحصر به فرد بودن آن، برابری نیز صادق خواهد بود. آن، به نوبه خود، با توجه به هویت ، که در آن a هر عدد حقیقی است که از ویژگی های ریشه ها و توان ها به دست می آید، می توان آن را به صورت A(x 0)=B(x 0) بازنویسی کرد. و این بدان معنی است که x 0 ریشه معادله A(x)=B(x) است.

بنابراین ثابت می شود که بالا بردن هر دو قسمت یک معادله غیر منطقی به توان فرد معادله ای معادل به دست می دهد.

بیانیه اثبات شده زرادخانه شناخته شده ما را که برای حل معادلات استفاده می شود، با یک تبدیل معادلات دوباره پر می کند - افزایش هر دو بخش معادله به یک قدرت طبیعی. افزایش هر دو قسمت معادله به توان فرد یکسان، تبدیلی است که منجر به معادله پیامد می شود، و افزایش به توان زوج، تبدیلی معادل است. روش بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان بر اساس این تبدیل است.

بالا بردن هر دو بخش معادله به قدرت طبیعی یکسان عمدتاً برای حل معادلات غیرمنطقی استفاده می شود ، زیرا در موارد خاص این تبدیل به شما امکان می دهد از علائم ریشه خلاص شوید. به عنوان مثال، بالا بردن دو طرف معادله به توان n معادله را به دست می دهد ، که بعداً می تواند به معادله f(x)=g n (x) تبدیل شود که دیگر ریشه در سمت چپ ندارد. این مثال نشان می دهد ماهیت روش افزایش هر دو طرف معادله به یک توان: با استفاده از تبدیل مناسب معادله ساده تری که در علامت گذاری آن رادیکال وجود ندارد بدست آورید و از طریق حل آن جواب معادله غیر منطقی اولیه را بدست آورید.

حال می‌توانیم مستقیماً به شرح روش افزایش هر دو قسمت معادله به توان طبیعی یکسان برویم. بیایید با الگوریتمی برای حل ساده ترین معادلات غیر منطقی با توان های ریشه زوج شروع کنیم، یعنی معادلات شکل ، جایی که k یک عدد طبیعی است، f(x) و g(x) عبارات گویا هستند. الگوریتمی برای حل ساده ترین معادلات غیر منطقی با توان های ریشه فرد، یعنی معادلات شکل ، کمی بعد خواهیم داد. سپس حتی فراتر خواهیم رفت: روش افزایش دو طرف معادله را به یک قدرت به معادلات غیرمنطقی پیچیده تر شامل ریشه های زیر علائم ریشه، چندین علامت ریشه و غیره تعمیم می دهیم.

با بالا بردن دو طرف یک معادله به توان زوج یکسان:

با توجه به اطلاعات بالا مشخص می شود که پس از مرحله اول الگوریتم به معادله ای می رسیم که ریشه های آن همه ریشه های معادله اصلی را در بر می گیرد، اما ممکن است ریشه هایی نیز برای معادله اصلی داشته باشد. بنابراین، الگوریتم شامل یک بند در مورد غربال کردن ریشه های خارجی است.

بیایید کاربرد الگوریتم فوق را برای حل معادلات غیر منطقی با استفاده از مثال ها تحلیل کنیم.

بیایید با حل یک معادله غیرمنطقی ساده و نسبتاً معمولی شروع کنیم، که مربع دو طرف آن منجر به یک معادله درجه دوم می شود که ریشه ندارد.

در اینجا یک مثال آورده شده است که در آن تمام ریشه های معادله به دست آمده از معادله غیرمنطقی اصلی با مربع کردن دو طرف آن به معادله اصلی اضافه می شود. نتیجه: ریشه ندارد.

مثال بعدی کمی پیچیده تر است. راه حل آن بر خلاف دو مورد قبلی مستلزم مربع کردن هر دو قسمت دیگر نه به مربع، بلکه به توان ششم است و این دیگر به یک معادله خطی یا درجه دوم منجر نمی شود، بلکه به یک معادله مکعبی منجر می شود. در اینجا، یک بررسی به ما نشان می دهد که هر سه ریشه آن، ریشه های معادله غیرمنطقی هستند که در ابتدا داده شده است.

و در اینجا ما حتی فراتر می رویم. برای خلاص شدن از ریشه، باید هر دو طرف معادله غیرمنطقی را به درجه چهارم برسانید که به نوبه خود به معادله درجه چهارم منجر می شود. راستی‌آزمایی نشان می‌دهد که تنها یکی از چهار ریشه بالقوه، ریشه مورد نظر معادله غیرمنطقی خواهد بود و مابقی غیرمجاز خواهد بود.

سه مثال آخر بیانیه زیر است: اگر وقتی هر دو بخش از یک معادله غیرمنطقی به توان زوج یکسان برسند، معادله ای با ریشه به دست می آید، آنگاه تأیید بعدی آنها می تواند نشان دهد که

یا همه آنها ریشه های خارجی معادله اصلی هستند و هیچ ریشه ای ندارند،
یا در بین آنها اصلاً ریشه های خارجی وجود ندارد و همه ریشه های معادله اصلی هستند.
یا خارجی ها فقط برخی از آنها هستند.

وقت آن رسیده است که ساده ترین معادلات غیرمنطقی را با یک توان ریشه فرد، یعنی معادلات شکل، حل کنیم. . الگوریتم مربوطه را می نویسیم.

الگوریتم حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن دو طرف یک معادله به توان فرد یکسان:

هر دو بخش معادله غیرمنطقی به توان فرد یکسان 2·k+1 می‌رسند.
معادله به دست آمده حل می شود. جواب آن حل معادله اصلی است.

لطفاً توجه داشته باشید: الگوریتم فوق برخلاف الگوریتم حل ساده ترین معادلات غیرمنطقی با توان ریشه زوج، حاوی بند در مورد حذف ریشه های خارجی نیست. در بالا نشان دادیم که بالا بردن هر دو قسمت معادله به توان فرد معادل تبدیل معادله است، به این معنی که چنین تبدیلی منجر به پیدایش ریشه های خارجی نمی شود، بنابراین نیازی به فیلتر کردن آنها نیست.

بنابراین، حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن هر دو قسمت به یک توان فرد می تواند بدون غربال کردن افراد خارجی انجام شود. در عین حال، فراموش نکنید که هنگام افزایش قدرت یکنواخت، چک مورد نیاز است.

آگاهی از این واقعیت باعث می شود که در حل معادله غیرمنطقی، از نظر قانونی، ریشه های خارجی حذف نشود. . به خصوص در این مورد، چک با محاسبات "ناخوشایند" همراه است. به هر حال هیچ ریشه خارجی وجود نخواهد داشت، زیرا به یک توان فرد، یعنی به یک مکعب، که تبدیلی معادل است، ارتقا می یابد. واضح است که بررسی را می توان انجام داد، اما بیشتر برای خودکنترلی، به منظور تأیید صحت راه حل یافت شده.

بیایید نتایج میانی را جمع بندی کنیم. در این مرحله، ما اولاً زرادخانه راه حل هایی که قبلاً برای ما شناخته شده بود را دوباره پر کردیم معادلات مختلفتبدیل دیگر، که شامل بالا بردن هر دو طرف معادله به یک توان است. هنگامی که به قدرت یکنواخت افزایش می یابد، این تبدیل ممکن است معادل نباشد، و هنگام استفاده از آن، لازم است که ریشه های اضافی را فیلتر کنید. هنگامی که به یک توان فرد افزایش می یابد، تبدیل مشخص شده معادل است و نیازی به فیلتر کردن ریشه های خارجی نیست. و دوم، ما یاد گرفتیم که چگونه از این تبدیل برای حل ساده ترین معادلات غیر منطقی فرم استفاده کنیم ، جایی که n توان ریشه است، f(x) و g(x) عبارات گویا هستند.

اکنون زمان آن رسیده است که از نقطه نظر کلی به افزایش دو طرف معادله به یک قدرت نگاه کنیم. این به ما امکان می‌دهد تا روش مبتنی بر آن را برای حل معادلات غیرمنطقی از ساده‌ترین معادلات غیرمنطقی به معادلات غیرمنطقی با فرم پیچیده‌تر گسترش دهیم. بیایید با این کار ادامه دهیم.

در واقع، هنگام حل معادلات با بالا بردن هر دو بخش معادله به توان یکسان، از رویکرد کلی که قبلاً برای ما شناخته شده است استفاده می شود: معادله اصلی با برخی تبدیل ها به یک معادله ساده تر تبدیل می شود، به معادله ساده تر تبدیل می شود. و غیره، تا معادلاتی که می توانیم حل کنیم. واضح است که اگر در زنجیره ای از این دگرگونی ها به بالا بردن هر دو قسمت معادله به یک توان متوسل شویم، می توان گفت که بر اساس روش یکسانی عمل می کنیم تا هر دو قسمت معادله را به یک توان برسانیم. فقط باید بفهمیم که برای حل معادلات غیرمنطقی با بالا بردن هر دو قسمت معادله به یک درجه، چه نوع تبدیل و در چه ترتیبی باید انجام شود.

در اینجا یک رویکرد کلی برای حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن هر دو طرف معادله به یک توان ارائه شده است:

ابتدا باید از معادله غیرمنطقی اصلی به معادله بیشتر حرکت کنیم معادله ساده، که معمولاً با انجام چرخه ای سه عمل زیر حاصل می شود:
- جداسازی رادیکال (یا تکنیک های مشابه، به عنوان مثال، جداسازی حاصلضرب رادیکال ها، جداسازی کسری که صورت و/یا مخرج آن ریشه است، که خلاص شدن از ریشه را زمانی که هر دو طرف معادله متعاقباً به توان افزایش می یابد).
- ساده سازی نوع معادله.
در مرحله دوم، شما باید معادله حاصل را حل کنید.
در نهایت، اگر در فرآیند حل انتقال به معادلات نتیجه ای وجود داشته باشد (به ویژه، اگر هر دو بخش معادله به توان زوج افزایش یابد)، ریشه های خارجی باید حذف شوند.

بیایید دانش به دست آمده را عملی کنیم.

بیایید مثالی را حل کنیم که در آن جداسازی رادیکال معادله غیرمنطقی را به ساده‌ترین شکل آن کاهش می‌دهد، پس از آن باقی می‌ماند که مربع هر دو قسمت را انجام دهیم، معادله حاصل را حل کنیم و ریشه‌های خارجی را با استفاده از چک از بین ببریم.

معادله غیرمنطقی زیر را می توان با جدا کردن کسری با رادیکال در مخرج حل کرد که با دو طرف معادله حذف می شود. و سپس همه چیز ساده است: دریافت شده معادله منطقی کسریو چکی انجام می شود که ورود ریشه های خارجی به پاسخ را منتفی می کند.

کاملاً مشخصه معادلات غیر منطقی است که در کارنامه آنها دو ریشه وجود دارد. آنها معمولاً با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان یکسان با موفقیت حل می شوند. اگر ریشه ها دارای درجه یکسانی باشند و غیر از آنها اصطلاح دیگری وجود نداشته باشد، برای خلاص شدن از شر رادیکال ها کافی است رادیکال را جدا کرده و مانند مثال زیر یک بار توان را انجام دهید.

و در اینجا مثالی وجود دارد که در آن دو ریشه نیز وجود دارد، علاوه بر آنها اصطلاحی نیز وجود ندارد، اما درجات ریشه ها متفاوت است. در این حالت، پس از جداسازی رادیکال، توصیه می شود که هر دو طرف معادله را به توانی برسانید که همزمان از هر دو رادیکال آزاد شود. چنین درجه ای مثلاً شاخص ریشه است. در مورد ما، درجات ریشه ها 2 و 3 هستند، LCM(2, 3)=6، بنابراین، هر دو قسمت را به توان ششم می بریم. توجه داشته باشید که ما می توانیم به روش استاندارد نیز عمل کنیم، اما در این صورت باید به دو بار بالا بردن هر دو قسمت به یک توان متوسل شویم: اول به دوم و سپس به سوم. ما هر دو راه حل را نشان خواهیم داد.

در موارد پیچیده تر، حل معادلات غیرمنطقی با بالا بردن هر دو قسمت معادله به توان یکسان، باید به افزایش توان دو بار، کمتر - سه بار، حتی کمتر- متوسل شوید. بیشتریک بار. اولین معادله غیرمنطقی که بیانگر آنچه گفته شد شامل دو رادیکال و یک عبارت دیگر است.

حل معادله غیرمنطقی زیر نیز به دو توان متوالی نیاز دارد. اگر جداسازی رادیکال ها را فراموش نکنیم، برای خلاص شدن از شر سه رادیکال موجود در نشانه گذاری او، دو قدرت نمایی کافی است.

روش بالا بردن هر دو قسمت یک معادله غیرمنطقی به یک توان به شما امکان می دهد با معادلات غیرمنطقی که در آنها ریشه دیگری در زیر ریشه وجود دارد کنار بیایید. در اینجا یک راه حل برای یک مثال معمولی وجود دارد.

در نهایت، قبل از شروع به تجزیه و تحلیل روش های زیر برای حل معادلات غیر منطقی، لازم به ذکر است که بالا بردن هر دو قسمت یک معادله غیرمنطقی به یک توان، می تواند در نتیجه تبدیل های بیشتر، معادله ای به دست آورد که دارای یک توان است. بی نهایت راه حل معادله ای که بی نهایت ریشه دارد، مثلاً در نتیجه دو طرف معادله غیرمنطقی به دست می آید. و سپس ساده سازی فرم معادله حاصل. در عین حال به دلایل واضحی قادر به انجام بررسی تعویض نیستیم. در چنین مواردی، یا باید به روش‌های دیگر راستی‌آزمایی متوسل شد، که در مورد آن صحبت خواهیم کرد، یا اینکه روش افزایش هر دو بخش معادله را به یک قدرت کنار گذاشت و به نفع روش حل دیگری، به عنوان مثال، به نفع روشی که فرض می کند .

حل مشخصه ترین معادلات غیرمنطقی را با بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان در نظر گرفته ایم. رویکرد کلی مورد مطالعه امکان مقابله با سایر معادلات غیر منطقی را فراهم می کند، در صورتی که این روش حل برای آنها اصلا مناسب باشد.

حل معادلات غیر منطقی با معرفی یک متغیر جدید

وجود داشته باشد روش های کلی برای حل معادلات. آنها به شما اجازه می دهند معادلات را حل کنید انواع متفاوت. به طور خاص، روش های عمومی برای حل معادلات غیر منطقی استفاده می شود. در این پاراگراف، یکی از روش های متداول − را در نظر خواهیم گرفت روشی برای معرفی یک متغیر جدیدیا بهتر بگوییم استفاده از آن در حل معادلات دقیق غیرمنطقی. ماهیت و جزئیات خود روش در مقاله ذکر شده است که پیوند آن در جمله قبلی آورده شده است. در اینجا به قسمت عملی آن می پردازیم، یعنی حل معادلات غیرمنطقی معمولی را با معرفی یک متغیر جدید تحلیل می کنیم.

بخش‌های بعدی این مقاله به حل معادلات غیرمنطقی با روش‌های کلی دیگر اختصاص دارد.

ابتدا ارائه می دهیم الگوریتم حل معادلات با معرفی یک متغیر جدید. بلافاصله پس از آن توضیحات لازم را خواهیم داد. بنابراین الگوریتم:

حالا برای توضیح وعده داده شده.

مراحل دوم، سوم و چهارم الگوریتم کاملاً فنی هستند و اغلب دشوار نیستند. و علاقه اصلی اولین مرحله است - معرفی یک متغیر جدید. نکته اینجاست که اغلب مشخص نیست که چگونه یک متغیر جدید معرفی کنیم، و در بسیاری از موارد لازم است که برخی از تبدیل‌های معادله را به منظور نشان دادن یک عبارت مناسب برای جایگزینی با tg(x) انجام دهیم. به عبارت دیگر، معرفی یک متغیر جدید اغلب یک فرآیند خلاقانه و پیچیده است. در ادامه سعی می‌کنیم ابتدایی‌ترین و معمولی‌ترین مثال‌هایی را که نحوه معرفی یک متغیر جدید در حل معادلات غیرمنطقی را توضیح می‌دهند، بررسی کنیم.

ما به ترتیب ارائه زیر پایبند خواهیم بود:

بنابراین، اجازه دهید با ساده ترین موارد معرفی یک متغیر جدید هنگام حل معادلات غیر منطقی شروع کنیم.

بیایید معادله غیرمنطقی را حل کنیم ، که قبلاً به عنوان مثال کمی بالاتر ذکر کردیم. بدیهی است که در این صورت امکان تعویض وجود دارد. ما را به یک معادله عقلانی می رساند که همانطور که مشخص است دارای دو ریشه است که در صورت معکوس کردن، مجموعه ای از دو معادله ساده غیرمنطقی به دست می آید که حل آنها دشوار نیست. برای مقایسه، با انجام تبدیل‌هایی که به ساده‌ترین معادله غیرمنطقی منجر می‌شود، راه جایگزینی برای حل نشان خواهیم داد.

در معادله غیرمنطقی زیر امکان معرفی متغیر جدید نیز مشهود است. اما از این جهت قابل توجه است که هنگام حل آن، مجبور نیستیم به متغیر اصلی برگردیم. واقعیت این است که پس از معرفی به دست آمده است معادله متغیرهیچ راه حلی ندارد، به این معنی که معادله اصلی هیچ راه حلی ندارد.

معادله غیر منطقی مانند قبلی، با معرفی یک متغیر جدید به راحتی حل می شود. علاوه بر این، مانند مورد قبلی، هیچ راه حلی ندارد. اما عدم وجود ریشه با روش های دیگری مشخص می شود: در اینجا معادله ای که پس از معرفی متغیر به دست می آید راه حل دارد و مجموعه معادلات نوشته شده در هنگام جایگزینی معکوس هیچ راه حلی ندارد، بنابراین معادله اصلی نیز هیچ راه حلی ندارد. اجازه دهید حل این معادله را تحلیل کنیم.

بیایید مجموعه مثال‌هایی را که در آنها جایگزینی واضح است، با یک معادله غیرمنطقی که پیچیده به نظر می‌رسد، شامل ریشه زیر ریشه در نماد تکمیل کنیم. معرفی یک متغیر جدید اغلب ساختار معادله را قابل درک تر می کند، که به ویژه در مورد این مثال صادق است. در واقع اگر بپذیریم ، سپس معادله غیر منطقی اولیه به یک معادله غیر منطقی ساده تر تبدیل می شود که برای مثال می توان آن را با دو طرف معادله حل کرد. راه حل را با معرفی یک متغیر جدید ارائه می کنیم و برای مقایسه، حل را با دو طرف معادله نشان می دهیم.

رکوردهای تمام مثال های قبلی حاوی چندین عبارت یکسان بود که برای یک متغیر جدید در نظر گرفتیم. همه چیز ساده و واضح بود: ما عبارات یکسان مناسب را می بینیم و به جای آنها یک متغیر جدید معرفی می کنیم که معادله ساده تری با یک متغیر جدید به دست می دهد. اکنون کمی جلوتر خواهیم رفت - نحوه حل معادلات غیرمنطقی را دریابیم که در آنها عبارت مناسب برای جایگزینی چندان واضح نیست، اما دیدن و استخراج صریح آن با استفاده از تبدیل های ساده بسیار آسان است.

تکنیک های اساسی را در نظر بگیرید که به شما امکان می دهد به صراحت یک عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید را انتخاب کنید. اولیش اینه بیایید آنچه گفته شد را به تصویر بکشیم.

بدیهی است در معادله غیرمنطقی برای معرفی یک متغیر جدید کافی است x 2 +x=t را بگیرید. آیا می توان متغیر جدیدی را نیز در معادله وارد کرد؟ ? این یک احتمال است، زیرا بدیهی است که . آخرین برابری امکان انجام یک تبدیل معادل معادله را فراهم می کند، که عبارت است از جایگزینی عبارت با یک عبارت یکسان که ODZ را تغییر نمی دهد، که امکان انتقال از معادله اصلی به معادله معادل را فراهم می کند. و قبلا حلش کن بیایید نشان دهیم راه حل کاملمعادله غیر منطقی با معرفی یک متغیر جدید

چه چیز دیگری، علاوه بر براکت کردن عامل مشترک، این امکان را فراهم می کند که به صراحت یک عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید در یک معادله غیر منطقی را مشخص کنیم؟ در موارد خاص، اینها هستند، و. بیایید نگاهی به نمونه های معمولی بیندازیم.

چگونه یک متغیر جدید را هنگام حل یک معادله غیرمنطقی معرفی کنیم؟ ? البته قبول میکردیم و اگر وظیفه حل یک معادله غیرمنطقی بود ، آیا می توان متغیر جدیدی را به عنوان معرفی کرد؟ به صراحت - قابل مشاهده نیست، اما چنین امکانی قابل مشاهده است، زیرا در ODZ متغیر x برای این معادله، به دلیل تعریف ریشه و ویژگی های ریشه ها، برابری درست است، که به ما اجازه می دهد به معادله معادل .

بیایید یک تعمیم کوچک بر اساس مثال قبلی انجام دهیم. در مواردی که توان یک ریشه مضربی از توان یک ریشه دیگر باشد (k n و k)، معمولاً به تساوی متوسل می شود. و یک متغیر جدید به عنوان معرفی کنید. بنابراین ما عمل کردیم و معادله را حل کردیم . کمی بیشتر در مورد چگونگی حل معادلات غیر منطقی با توان های ریشه نامساوی و غیر چندگانه صحبت خواهیم کرد.

ارزش دارد به طور خلاصه در مورد معرفی یک متغیر جدید در معادلات غیر منطقی که حاوی یک ریشه و همچنین یک عبارت رادیکال و / یا درجه ای از آن است صحبت کنیم. در این موارد بدیهی است که ریشه باید به عنوان متغیر جدید در نظر گرفته شود. مثلاً هنگام حل معادله قبول می کردیم ، با تعریف ریشه، معادله اصلی را به شکل تبدیل می کنیم و پس از معرفی یک متغیر جدید، به معادله درجه دوم 2·t 2 +3·t−2=0 می رسیم.

در موارد کمی پیچیده تر، ممکن است برای استخراج عبارتی که با ریشه مطابقت دارد، یک تبدیل اضافی دیگر از معادله مورد نیاز باشد. بیایید این را توضیح دهیم. چگونه یک متغیر جدید را در معادله معرفی کنیم؟ ? بدیهی است که عبارت x 2 + 5 با عبارت رادیکال منطبق است، بنابراین با توجه به اطلاعات پاراگراف قبل، بر اساس تعریف ریشه، به معادله معادل منتقل می‌شویم. و یک متغیر جدید مانند . و اگر با یک معادله سر و کار نداشته باشیم، چگونه یک متغیر جدید معرفی می کنیم ، و با معادله ? بله همچنین. فقط این است که ابتدا باید x 2 +1 را به صورت x 2 +5−4 نشان دهیم تا صریحاً عبارت ریشه x 2 +5 را برجسته کنیم. یعنی از معادله غیرمنطقی این کار را می کنیم به معادله معادل منتقل می شود ، سپس به معادله ، پس از آن به راحتی یک متغیر جدید معرفی می کنیم.

در چنین مواردی، رویکرد جهانی‌تر دیگری برای معرفی یک متغیر جدید وجود دارد: ریشه را به‌عنوان یک متغیر جدید بگیرید و بر اساس این برابری، بقیه متغیرهای قدیمی را از طریق متغیر جدید بیان کنید. برای معادله می پذیریم، از این برابری، x 2 را بر حسب t به صورت t 2-5 بیان می کنیم (، , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 , از آنجا x 2 +1=t 2 −4 . این به ما اجازه می دهد تا با یک متغیر جدید t 2 −4+3 t=0 به معادله منتقل شویم. برای توسعه مهارت ها، یک معادله غیرمنطقی معمولی را حل خواهیم کرد.

معرفی یک متغیر جدید در چنین مثال هایی می تواند منجر به ظاهر شدن زیر نشانه های ریشه عباراتی شود که مربع کامل هستند. به عنوان مثال، اگر در یک معادله غیرمنطقی بپذیریم، آنگاه به معادله ای منجر می شود که اولین عبارت رادیکال مربع دو جمله ای خطی t-2 است و عبارت رادیکال دوم، مربع دو جمله ای خطی t-3 است. . و بهتر است از چنین معادلاتی به معادلات با ماژول ها حرکت کنیم: , . این امر به این دلیل است که چنین معادلاتی می توانند بی نهایت ریشه داشته باشند، در حالی که حل آنها با دو طرف معادله اجازه آزمون جایگزینی را نمی دهد و حل با تعیین ریشه نیاز به حل یک نابرابری غیر منطقی را به دنبال دارد. . حل چنین مثالی را در زیر در بخش انتقال از یک معادله غیرمنطقی به یک معادله با مدول نشان خواهیم داد.

چه زمانی هنوز مشاهده امکان معرفی یک متغیر جدید بسیار آسان است؟ هنگامی که معادله شامل کسرهای "معکوس" و (با اجازه شما، ما آنها را متقابلا بر اساس قیاس با معکوس می نامیم). چگونه یک معادله گویا را با چنین کسری حل کنیم؟ یکی از این کسرها را به عنوان یک متغیر جدید t در نظر می گیریم، در حالی که کسری دیگر بر حسب متغیر جدید به صورت 1/t بیان می شود. در معادلات غیرمنطقی، معرفی یک متغیر جدید به این روش کاملاً عملی نیست، زیرا برای رهایی بیشتر از ریشه، به احتمال زیاد، باید یک متغیر دیگر معرفی شود. بهترین انتخاب به عنوان جدید ریشه متغیراز کسری خوب، سپس معادله اصلی را با استفاده از یکی از تساوی ها تبدیل کنید و ، که به شما امکان می دهد با یک متغیر جدید به معادله بروید. یک مثال را در نظر بگیرید.

گزینه های جایگزین شناخته شده را فراموش نکنید. به عنوان مثال، در نوشتن یک معادله غیرمنطقی، عبارات x+1/x و x 2 +1/x 2 ممکن است ظاهر شوند، که باعث می‌شود فرد در مورد امکان معرفی یک متغیر جدید x+1/x=t فکر کند. این فکر به طور تصادفی به وجود نمی آید، زیرا ما قبلاً زمانی که تصمیم گرفتیم این کار را انجام دادیم معادلات بازگشتی. این روش معرفی یک متغیر جدید و همچنین روش های دیگری که قبلاً برای ما شناخته شده است، باید در حل معادلات غیر منطقی و همچنین معادلات انواع دیگر در نظر گرفته شود.

ما به معادلات غیرمنطقی پیچیده تری روی می آوریم، که در آنها تشخیص عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید دشوارتر است. و بیایید با معادلاتی شروع کنیم که در آنها عبارات رادیکال یکسان هستند، اما بر خلاف موردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، توان بزرگتر یک ریشه بر توان کوچکتر ریشه دیگر قابل تقسیم نیست. بیایید ببینیم در چنین مواردی چگونه عبارت مناسب را برای معرفی یک متغیر جدید انتخاب کنیم.

هنگامی که عبارات رادیکال یکسان هستند، و توان بزرگتر یک ریشه k 1 به طور مساوی بر توان کوچکتر ریشه دیگر k 2 تقسیم نمی شود، ریشه درجه LCM (k 1 , k 2) را می توان به عنوان یک در نظر گرفت. متغیر جدید، جایی که LCM است. به عنوان مثال، در یک معادله غیر منطقی، توان ریشه ها 2 و 3 هستند، سه مضرب دو نیست، LCM(3, 2)=6، بنابراین متغیر جدید را می توان به صورت معرفی کرد. . علاوه بر این، تعریف ریشه و همچنین ویژگی‌های ریشه‌ها به شما امکان می‌دهد معادله اصلی را تبدیل کنید تا به صراحت عبارت را برجسته کنید و سپس آن را با یک متغیر جدید جایگزین کنید. در اینجا یک و کامل است راه حل دقیقاین معادله

بر اساس اصول مشابه، در مواردی که عبارات زیر ریشه در درجه متفاوت هستند، متغیر جدیدی معرفی می شود. به عنوان مثال، اگر در یک معادله غیرمنطقی، متغیر فقط در زیر ریشه ها قرار داشته باشد، و خود ریشه ها شبیه و باشند، باید کمترین مضرب مشترک نماهای ریشه LCM(3, 4)=12 را محاسبه کنید و بگیرید. در این صورت با توجه به خواص ریشه و درجات، ریشه و باید به صورت تبدیل شود و به ترتیب، که امکان معرفی یک متغیر جدید را فراهم می کند.

به روشی مشابه، می توان در معادلات غیرمنطقی که در آنها کسرهای متقابل متقابل و زیر ریشه با توان های مختلف قرار دارند، عمل کرد. یعنی به عنوان یک متغیر جدید، توصیه می شود ریشه ای با اندیکاتوری برابر با LCM اندیکاتورهای ریشه بگیرید. خوب، سپس با یک متغیر جدید به معادله بروید، که به شما امکان می دهد برابری ایجاد کنید و ، تعریف ریشه و خواص ریشه و قوه. یک مثال را در نظر بگیرید.

حال بیایید در مورد معادلاتی صحبت کنیم که در آنها فقط می توان به امکان معرفی یک متغیر جدید مشکوک بود و در یک سناریوی موفق، تنها پس از تحولات نسبتاً جدی باز می شود. به عنوان مثال، یک معادله غیرمنطقی تنها پس از یک سری از بدیهی ترین تبدیل ها به شکل کاهش می یابد، که راه را برای جایگزینی باز می کند. . بیایید نگاهی به راه حل این مثال بیندازیم.

در نهایت، اجازه دهید برخی از موارد عجیب و غریب را اضافه کنیم. گاهی اوقات یک معادله غیرمنطقی را می توان با معرفی بیش از یک متغیر حل کرد. این رویکرد برای حل معادلات در کتاب درسی پیشنهاد شده است. برای حل معادله غیرمنطقی وجود دارد پیشنهاد می شود دو متغیر معرفی شود . آموزش راه حل کوتاهی می دهد، بیایید جزئیات را نیز بازیابی کنیم.

حل معادلات غیر منطقی با فاکتورگیری

علاوه بر روش معرفی یک متغیر جدید، از روش‌های عمومی دیگری نیز برای حل معادلات غیرمنطقی استفاده می‌شود، به ویژه روش فاکتورسازی. در مقاله در لینک ذکر شده در جمله قبل، به تفصیل تجزیه و تحلیل می شود که از روش فاکتورسازی چه زمانی استفاده می شود، ماهیت آن چیست و بر چه اساسی استوار است. در اینجا ما بیشتر به خود روش علاقه نداریم، بلکه به استفاده از آن در حل معادلات غیر منطقی علاقه داریم. بنابراین، ما مطالب را به شرح زیر ارائه می کنیم: به طور خلاصه مفاد اصلی روش را یادآوری می کنیم، پس از آن به طور مفصل حل معادلات غیر منطقی مشخصه را با فاکتورگیری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

از روش فاکتورسازی برای حل معادلات استفاده می شود که در قسمت های سمت چپ آنها یک محصول مشخص و در قسمت های سمت راست صفر وجود دارد، یعنی برای حل معادلات شکل. f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0، که در آن f 1، f 2، ...، f n برخی از توابع هستند. ماهیت روش جایگزینی معادله است f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0روی متغیر x برای معادله اصلی.

قسمت اول جمله آخر در مورد انتقال به مجموعه از معروف آمده است دبستانواقعیت: حاصل ضرب چند عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد برابر با صفر باشد. حضور بخش دوم در مورد ODZ با این واقعیت توضیح داده می شود که گذار از معادله f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0به مجموعه معادلات f 1 (x)=0، f 2 (x)=0، …، f n (x)=0می تواند نابرابر باشد و منجر به ظهور ریشه های خارجی شود که در این حالت می توان با در نظر گرفتن ODZ آن را از بین برد. لازم به ذکر است که غربال کردن ریشه های خارجی، در صورت راحت بودن، می تواند نه تنها از طریق ODZ، بلکه به روش های دیگر نیز انجام شود، به عنوان مثال، با بررسی با جایگزین کردن ریشه های یافت شده در معادله اصلی.

بنابراین برای حل معادله f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0روش فاکتورسازی، از جمله روش غیرمنطقی، شما نیاز دارید

به مجموعه معادلات بروید f 1 (x)=0، f 2 (x)=0، …، f n (x)=0,
مجموعه را حل کنید،
اگر مجموعه راه حل ها وجود ندارد، پس نتیجه بگیرید که معادله اصلی ریشه ندارد. اگر ریشه وجود دارد، ریشه های خارجی را از بین ببرید.

بیایید به بخش عملی آن برویم.

سمت چپ معادلات غیرمنطقی معمولی که با روش فاکتورسازی حل می‌شوند حاصل چندین عبارت جبری، معمولاً دوجمله‌ای خطی و سه جمله‌ای مربعی، و چندین ریشه با عبارات جبری در زیر آنها هستند. صفرها در سمت راست چنین معادلاتی برای کسب مهارت های اولیه در حل آنها ایده آل هستند. ما با حل یک معادله مشابه شروع می کنیم. در این راستا سعی خواهیم کرد به دو هدف دست یابیم:

هنگام حل یک معادله غیرمنطقی، تمام مراحل الگوریتم روش فاکتورسازی را در نظر بگیرید،
سه راه اصلی الک کردن ریشه های خارجی را به یاد بیاورید (بر اساس ODZ، با توجه به شرایط ODZ، و با جایگزین کردن مستقیم راه حل ها در معادله اصلی).

معادله غیرمنطقی زیر از این نظر معمولی است که وقتی با روش فاکتورسازی حل می شود، به راحتی می توان ریشه های خارجی را با توجه به شرایط ODZ، و نه بر اساس ODZ در قالب یک مجموعه عددی، از بین برد. به دست آوردن ODZ در قالب یک عامل عددی دشوار است. مشکل در این واقعیت نهفته است که یکی از شرایط تعیین کننده DHS است نابرابری غیر منطقی . رویکرد نشان داده شده برای غربال کردن ریشه های اضافی امکان انجام بدون حل آن را فراهم می کند، علاوه بر این، گاهی اوقات در درس ریاضیات مدرسه به هیچ وجه با حل نابرابری های غیر منطقی آشنا نمی شوند.

زمانی خوب است که معادله در سمت چپ یک ضرب داشته باشد و در سمت راست صفر باشد. در این صورت می‌توانید بلافاصله به سراغ مجموعه معادلات بروید، آن را حل کنید، ریشه‌هایی را که برای معادله اصلی اضافی هستند، پیدا کرده و دور بریزید، که جواب مورد نظر را به دست می‌دهد. اما اغلب معادلات شکل دیگری به خود می گیرند. اگر همزمان می‌توان آنها را به شکلی مناسب برای اعمال روش فاکتورسازی تبدیل کرد، پس چرا برای انجام تبدیل‌های مناسب تلاش نکنیم. برای مثال، برای بدست آوردن حاصلضرب سمت چپ معادله غیرمنطقی زیر، کافی است به اختلاف مربع ها متوسل شویم.

کلاس دیگری از معادلات وجود دارد که معمولاً با روش فاکتورسازی حل می شوند. این شامل معادلاتی است که هر دو بخش محصولی هستند که عامل یکسانی در قالب یک عبارت با یک متغیر دارند. مثلاً معادله غیرمنطقی چنین است . شما می توانید با تقسیم هر دو قسمت معادله بر یک فاکتور پیش بروید، اما فراموش نکنید که مقادیری را که این عبارات را صفر می کنند به طور جداگانه بررسی کنید، در غیر این صورت می توانید جواب ها را از دست بدهید، زیرا تقسیم هر دو قسمت معادله بر یکسان است. بیان می تواند یک تبدیل غیر معادل باشد. عمل کردن بر اساس روش فاکتورسازی قابل اطمینان تر است، این امر باعث می شود با یک راه حل صحیح بیشتر از از دست دادن ریشه ها جلوگیری شود. واضح است که برای این کار ابتدا باید حاصلضرب سمت چپ معادله را بدست آورید و در سمت راست صفر را بدست آورید. این آسان است: کافی است عبارت را از سمت راست به سمت چپ منتقل کنید و علامت آن را تغییر دهید و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنید. اجازه دهید حل کامل یک معادله غیرمنطقی مشابه اما کمی پیچیده تر را نشان دهیم.

شروع حل هر معادله (و همچنین حل بسیاری از مسائل دیگر) با یافتن ODZ مفید است، به خصوص اگر ODZ به راحتی پیدا شود. در اینجا برخی از واضح ترین استدلال ها به نفع این موضوع است.

بنابراین، با دریافت وظیفه برای حل معادله، نباید بدون نگاه کردن به عقب در محاسبات تبدیل عجله کنید، شاید فقط به ODZ نگاه کنید؟ این به وضوح با معادله غیرمنطقی زیر نشان داده می شود.

روش عملکردی – گرافیکی

روش عملکردی- گرافیکیروش کلی دیگری برای حل معادلات است. مانند هر روش کلی، به شما امکان می دهد معادلات را حل کنید انواع مختلفبه ویژه می توان از آن برای حل معادلات غیر منطقی استفاده کرد. این کاربرد روش عملکردی- گرافیکی است که بیش از همه ما را در چارچوب مقاله فعلی مورد توجه قرار می دهد.

روش تابعی- گرافیکی شامل توابع، خواص و نمودارها در فرآیند حل معادلات است. این یک ابزار بسیار قدرتمند است. و مانند هر ابزار قدرتمندی، معمولاً زمانی که ابزارهای ساده تر ناتوان هستند به آن متوسل می شود.

سه جهت اصلی روش تابعی- گرافیکی برای حل معادلات وجود دارد:

اولین مورد استفاده از نمودارهای تابع است. این جهت را روش گرافیکی می نامند.
دوم استفاده از خواص افزایش و کاهش توابع است.
سومین مورد استفاده از ویژگی های توابع محدود شده است. احتمالاً تحت روش ارزیابی، که در اخیرابا گوش، آنها دقیقاً این جهت از روش عملکردی - گرافیکی را درک می کنند.

این سه جهت، کنار آمدن با اکثریت قریب به اتفاق معادلات غیرمنطقی را ممکن می‌سازد، که به طور کلی روش تابعی-گرافیکی مناسب است. در دنباله مشخص شده - استفاده از نمودارها، استفاده از افزایش-کاهش، استفاده از ویژگی های توابع محدود - ما راه حل های معمولی ترین نمونه ها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

روش گرافیکی

بنابراین، اجازه دهید با یک روش گرافیکی برای حل معادلات غیر منطقی شروع کنیم.

با توجه به روش گرافیکی، شما نیاز دارید:

ابتدا در یک سیستم مختصات، نمودارهای توابع f و g مربوط به قسمت های چپ و راست معادله حل شده را رسم کنید.
ثانیاً به گفته آنها موقعیت نسبیدر مورد ریشه های معادله نتیجه گیری کنید:
- اگر نمودار توابع همدیگر را قطع نکنند، معادله هیچ جوابی ندارد،
- اگر نمودار توابع دارای نقاط تقاطع باشند، ریشه های معادله ابسیساهای این نقاط هستند.

حل معادلات غیر منطقی از طریق ODZ

اغلب، بخشی از فرآیند حل معادلات است. دلایل جستجوی ODZ می تواند متفاوت باشد: لازم است تبدیل معادله انجام شود و همانطور که می دانید آنها بر روی ODZ انجام می شوند ، روش انتخابی حل شامل یافتن ODZ ، بررسی مطابق ODZ و غیره است. و در موارد خاص، ODZ نه تنها به عنوان یک ابزار کمکی یا کنترلی عمل می کند، بلکه به شما امکان می دهد یک راه حل برای معادله به دست آورید. در اینجا ما دو حالت را در ذهن داریم: زمانی که ODZ یک مجموعه خالی است و زمانی که ODZ مجموعه ای محدود از اعداد است.

واضح است که اگر ODZ یک معادله، به ویژه، یک معادله غیرمنطقی، یک مجموعه خالی باشد، آنگاه معادله هیچ راه حلی ندارد. بنابراین ODZ متغیر x برای معادله غیرمنطقی زیر یک مجموعه خالی است، به این معنی که معادله هیچ راه حلی ندارد.

هنگامی که ODZ یک متغیر برای یک معادله مجموعه ای محدود از اعداد است، پس از بررسی متوالی با جایگزینی این اعداد، می توانید یک راه حل برای معادله بدست آورید. به عنوان مثال یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید که ODZ آن از دو عدد تشکیل شده است و جایگزینی نشان می دهد که تنها یکی از آنها ریشه معادله است که از آن نتیجه می شود که این ریشه تنها راه حل معادله است.

حل معادلات غیر منطقی به شکل "کسری برابر با صفر است"

هر معادله شکل "کسری برابر با صفر است"به طور خاص، غیر منطقی، در ODZ متغیر x برای این معادله معادل معادله f(x)=0 است. دو رویکرد برای حل معادلات از این نوع از این بیانیه به دست می آید:

واضح است که وقتی یافتن ODZ آسانتر از حل معادله f(x)=0 است، بهتر است به اولین رویکرد برای حل معادله متوسل شویم. در این حالت ، ODZ ممکن است یک مجموعه خالی یا متشکل از چندین عدد باشد ، در این موارد می توان بدون حل معادله f (x) = 0 اصلاً انجام داد (نگاه کنید به). بیایید یک معادله غیرمنطقی معمولی را حل کنیم.

روش صوتی دوم برای حل معادله زمانی ارجح است که حل معادله f(x)=0 بسیار آسان باشد. پس از حل معادله f(x)=0، باید ریشه های یافت شده را بررسی کنیم که معمولاً به یکی از روش های زیر انجام می شود:

از طریق جایگزینی به مخرج معادله اصلی، ریشه های یافت شده که مخرج را به صفر یا به عبارتی که معنی ندارد تبدیل می کنند، ریشه نیستند و ریشه های یافت شده که مخرج را به عددی غیر صفر تبدیل می کنند، ریشه هستند. از معادله اصلی
مستقیماً از ODZ (زمانی که ODZ به راحتی پیدا می شود، در حالی که رویکرد اول و دوم برای حل معادلات غیر منطقی به شکل "کسری برابر با صفر" عملاً معادل هستند)، ریشه های یافت شده متعلق به ODZ ریشه های معادله اصلی هستند. ، و تعلق نداشتن - نیستند.
یا از طریق شرایط ODZ (معمولاً نوشتن شرایط تعیین کننده ODZ آسان است، اما یافتن ODZ از آنها در قالب یک مجموعه عددی دشوار است)، آنهایی از ریشه های یافت شده که همه موارد را برآورده می کنند. شرایط ODZ ریشه های معادله اصلی هستند، بقیه نه.

معادلات غیر منطقی تقلیل به معادلات عددی

پرش به ماژول ها

اگر در نماد یک معادله غیرمنطقی، در زیر علامت ریشه یک درجه زوج، درجه یک عبارت با توان وجود دارد، مساوی با root، سپس می توانید به ماژول بروید. چنین تبدیلی به دلیل یکی از , که مطابق با فرمول , که در آن 2·m یک عدد زوج است، a هر عدد واقعی است، رخ می دهد. شایان ذکر است که این تبدیل معادل تبدیل معادله است. در واقع، با چنین تبدیلی، ریشه با یک ماژول یکسان برابر جایگزین می شود، در حالی که ODZ تغییر نمی کند.

یک معادله غیرمنطقی مشخصه را در نظر بگیرید که با عبور از مدول قابل حل است.

آیا همیشه ارزش جابجایی به ماژول ها را در صورت امکان دارد؟ در اکثریت قریب به اتفاق موارد، چنین انتقالی موجه است. استثنا مواردی است که بدیهی است که روش های جایگزین برای حل یک معادله غیرمنطقی نیاز به کار نسبتاً کمتری دارند. بیایید یک معادله غیرمنطقی که هم با رفتن به ماژول ها و هم با چند روش دیگر حل می شود، مثلاً با دو طرف معادله یا با تعیین ریشه حل می شود و ببینیم کدام یک از راه حل ها ساده ترین و فشرده ترین خواهد بود.

در مثال حل شده، بهترین راه حل تعیین ریشه است: از راه حل از طریق انتقال به مدول کوتاه تر و ساده تر است، و راه حل با روش مربع کردن دو طرف معادله. آیا قبل از حل معادله با هر سه روش می توانستیم این را بدانیم؟ بیایید با آن روبرو شویم، واضح نبود. بنابراین هنگامی که چندین روش راه حل مشاهده می شود و بلافاصله مشخص نیست که کدام یک را ترجیح می دهید، ارزش تلاش برای یافتن راه حل با هر یک از آنها را دارد. اگر نتیجه داد، خوب است. اگر روش انتخاب شده به نتیجه ای منجر نمی شود یا راه حل بسیار دشوار است، ارزش آن را دارد که روش دیگری را امتحان کنید.

برای جمع‌بندی این پاراگراف، اجازه دهید به معادله غیرمنطقی بازگردیم. در پاراگراف قبلی قبلاً آن را حل کردیم و دیدیم که تلاش برای حل آن از طریق جداسازی رادیکال و مربع کردن هر دو قسمت معادله منجر به برابری عددی 0=0 و عدم امکان نتیجه‌گیری در مورد ریشه‌ها شد. و تصمیم برای تعیین ریشه با حل یک نابرابری غیر منطقی همراه بود که به خودی خود بسیار دشوار است. یک روش خوب برای حل این معادله غیرمنطقی، رفتن به ماژول ها است. بیایید یک راه حل دقیق ارائه دهیم.

تبدیل معادلات غیر منطقی

حل معادلات غیر منطقی تقریباً هرگز بدون تبدیل آنها کامل نمی شود. در زمان مطالعه معادلات غیرمنطقی، ما قبلاً با تبدیل معادلات معادلات آشنا شده ایم. هنگام حل معادلات غیر منطقی، از آنها به همان روشی استفاده می شود که در حل انواع معادلات قبلاً مطالعه شده است. شما نمونه هایی از چنین تبدیل معادلات غیرمنطقی را در پاراگراف های قبلی مشاهده کردید، و، موافقید، آنها کاملاً طبیعی درک شدند، زیرا برای ما کاملاً شناخته شده هستند. در بالا، ما همچنین در مورد یک تبدیل جدید برای خود یاد گرفتیم - بالا بردن هر دو بخش معادله به یک درجه، که برای معادلات غیر منطقی معمول است. مورد کلیمعادل نیست برای دانستن تمام نکات ظریفی که در حین اجرای آنها بوجود می آیند و از اشتباه جلوگیری می کنند، ارزش دارد که در مورد همه این تحولات به تفصیل صحبت کنیم.

تبدیل معادلات غیر منطقی را به ترتیب زیر تحلیل خواهیم کرد:

جایگزینی عبارات با عبارات یکسانی که DPV را تغییر نمی دهند.
اضافه کردن یک عدد به دو طرف یک معادله یا کم کردن یک عدد از دو طرف یک معادله.
افزودن همان عبارتی که DPV را به دو طرف معادله تغییر نمی دهد، یا کم کردن همان عبارتی که DPV را تغییر نمی دهد از هر دو طرف معادله.
انتقال عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف.
ضرب و تقسیم دو طرف یک معادله در یک عدد غیر صفر یکسان.
ضرب و تقسیم هر دو قسمت معادله با عبارت یکسان که دامنه مقادیر قابل قبول متغیر را تغییر نمی دهد و روی آن ناپدید نمی شود.
دو طرف معادله را به توان یکسان ببرید.

بنابراین، دایره سؤالات مشخص شده است. بیایید با مثال ها شروع کنیم.

اولین تبدیل مورد علاقه ما جایگزینی عبارات در معادله با عبارات یکسان است. می دانیم که اگر ODZ برای معادله ای که در نتیجه تبدیل به دست می آید با ODZ معادله اصلی یکسان باشد، معادل است. از اینجا مشخص می شود که دو دلیل اصلی برای وقوع خطا در طول این تبدیل وجود دارد: اولی تغییر در ODZ که در نتیجه تبدیل رخ می دهد، دوم جایگزینی یک عبارت با عبارتی است که یکسان با آن برابر نیست. اجازه دهید با در نظر گرفتن نمونه هایی از تبدیل های معمولی از این نوع، این جنبه ها را با جزئیات و به ترتیب تجزیه و تحلیل کنیم.

ابتدا، اجازه دهید به تبدیل‌های معمولی معادلات بپردازیم، که عبارتند از جایگزین کردن یک عبارت با عبارتی که به طور یکسان با آن برابر است، که همیشه معادل هستند. در اینجا لیست مربوطه آمده است.

بازآرایی اصطلاحات و عوامل. این تبدیل را می توان هم در سمت چپ و هم در سمت راست معادله غیرمنطقی انجام داد. به عنوان مثال می توان از آن برای گروه بندی و سپس کاهش عبارات مشابه به منظور ساده کردن شکل معادله استفاده کرد. بدیهی است که مبادله عبارات یا عوامل تبدیل معادل معادله است. قابل درک است: عبارت اصلی و عبارت با اصطلاحات یا عوامل بازآرایی شده به طور یکسان برابر هستند (البته اگر جایگشت به درستی انجام شود) و بدیهی است که چنین تبدیلی ODZ را تغییر نمی دهد. بیایید یک مثال بزنیم. در سمت چپ معادله غیرمنطقی در حاصلضرب x 3 x، می توانید عامل اول و دوم x و 3 را مبادله کنید، که در آینده به شما امکان می دهد چند جمله ای را در زیر علامت ریشه به شکل استاندارد نشان دهید. و در سمت راست معادله در مجموع 4 + x + 5، می توانید عبارت های 4 و x را دوباره مرتب کنید، که در آینده به شما امکان می دهد اعداد 4 و 5 را اضافه کنید. پس از این جایگشت ها، معادله غیرمنطقی شکل می گیرد، معادله حاصل معادل معادله اصلی است.
باز شدن براکت. معادل بودن این تبدیل معادلات واضح است: عبارات قبل و بعد از باز شدن پرانتزها به طور یکسان برابر هستند و دارای محدوده مقادیر معتبر یکسانی هستند. برای مثال، معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید . حل آن مستلزم باز کردن پرانتز است. با باز کردن پرانتز در سمت چپ معادله و همچنین در سمت راست معادله، به یک معادله معادل می رسیم.
گروه بندی اصطلاحات و/یا عوامل. این تبدیل یک معادله، در اصل خود، جایگزینی هر عبارتی است که بخشی از معادله است با عبارتی که به طور یکسان با آن برابر است با عبارت ها یا عوامل گروه بندی شده. بدیهی است که این ODZ را تغییر نمی دهد. بنابراین، تبدیل نشان داده شده معادله معادل است. برای توضیح، اجازه دهید یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیریم. جایگشت اصطلاحات (دو پاراگراف بالا در مورد آن صحبت کردیم) و گروه بندی اصطلاحات به ما امکان می دهد به یک معادله معادل برویم. هدف از چنین گروه بندی اصطلاحات به وضوح قابل مشاهده است - انجام تبدیل معادل زیر، که به ما امکان می دهد یک متغیر جدید را معرفی کنیم.
براکت کردن عامل مشترک واضح است که عبارات قبل از پرانتز ضریب مشترک و بعد از پرانتز عامل مشترک یکسان هستند. همچنین واضح است که خارج کردن فاکتور مشترک از براکت ها ODZ را تغییر نمی دهد. بنابراین، خارج کردن عامل مشترک از داخل پرانتز در عبارتی که بخشی از یک معادله است، تبدیل معادل معادله است. چنین تبدیلی به عنوان مثال برای نشان دادن سمت چپ معادله به عنوان یک محصول به منظور حل آن با روش فاکتورسازی استفاده می شود. در اینجا یک مثال خاص است. یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید. سمت چپ این معادله را می توان به عنوان یک محصول نشان داد، برای این کار باید عامل مشترک را از براکت ها خارج کنید. در نتیجه این تبدیل یک معادله غیر منطقی به دست خواهد آمد ، معادل اصلی است که با روش فاکتورگیری قابل حل است.
جایگزینی عبارات عددی با مقادیر آنها. واضح است که اگر مقداری عبارت عددی در رکورد معادله وجود داشته باشد و این عبارت عددی را با مقدار آن (به درستی محاسبه شده) جایگزین کنیم، چنین جایگزینی معادل خواهد بود. در واقع، در واقع، در واقع، عبارت با عبارتی برابر با آن جایگزین می شود و در عین حال ODZ معادله تغییر نمی کند. بنابراین، جایگزینی در معادله غیر منطقی از مجموع دو عدد -3 و 1 با مقدار این مجموع که برابر با 2- است، معادله غیرمنطقی معادل بدست می آوریم. به طور مشابه، ما می توانیم تبدیل معادل معادله غیرمنطقی را انجام دهیم ، انجام عملیات با اعداد زیر علامت ریشه (1+2=3 و )، این تبدیل ما را به معادله معادل هدایت می کند .
انجام اعمالی با تک جمله ها و چندجمله ای هایی که در رکورد یک معادله غیر منطقی هستند. واضح است که اجرای صحیحاین اقدامات منجر به یک معادله معادل خواهد شد. در واقع، در این حالت، عبارت با عبارتی جایگزین می شود که به طور یکسان با آن برابر است و DPV تغییر نخواهد کرد. مثلاً در معادله غیرمنطقی می‌توانید تک‌جملات x 2 و 3 x 2 را اضافه کنید و به یک معادله معادل بروید . مثال دیگر: تفریق چند جمله‌ای در سمت چپ یک معادله غیرمنطقی، تبدیلی معادل است که منجر به معادله معادل می‌شود. .

ما همچنان تبدیل معادلات را در نظر می گیریم که عبارتند از جایگزینی عبارات با عبارات یکسان. چنین تبدیل‌هایی همچنین می‌توانند نابرابر باشند، زیرا می‌توانند ODZ را تغییر دهند. به طور خاص، گسترش ODZ می تواند اتفاق بیفتد. این می‌تواند هنگام جمع کردن عبارت‌های مشابه، هنگام کاهش کسرها، هنگام صفر کردن یک محصول با چندین عامل صفر یا کسری با عدد صفر، و اغلب هنگام استفاده از فرمول‌هایی که با ویژگی‌های ریشه‌ها مطابقت دارند، رخ دهد. به هر حال، استفاده بی دقت از خواص ریشه ها نیز می تواند منجر به باریک شدن ODZ شود. و اگر تبدیل‌هایی که ODZ را گسترش می‌دهند در هنگام حل معادلات قابل قبول باشند (آنها می‌توانند باعث ظهور ریشه‌های خارجی شوند که به روشی خاص حذف می‌شوند)، پس از تبدیل‌هایی که ODZ را باریک می‌کنند باید بدون شکست رها شوند، زیرا می‌توانند باعث از دست دادن ریشه بیایید به این نکات بپردازیم.

اولین معادله غیر منطقی است . حل آن با تبدیل معادله به شکل آغاز می شود بر اساس یکی از ویژگی های درجه. این تبدیل معادل است، زیرا عبارت با یک عبارت یکسان جایگزین می شود و DPV تغییر نمی کند. اما انتقال بعدی به معادله، که بر اساس تعریف ریشه انجام می شود، ممکن است یک تبدیل غیر معادل معادله باشد، زیرا با چنین تبدیلی ODZ گسترش می یابد. اجازه دهید جواب کامل این معادله را نشان دهیم.

دومین معادله غیرمنطقی که به خوبی برای نشان دادن این موضوع مناسب است که تبدیل معادلات غیرمنطقی با استفاده از خواص ریشه و تعریف ریشه می‌تواند غیرمعادل باشد. . خوب، اگر به خود اجازه ندهید که تصمیم را اینگونه شروع کنید

یا همینطور

با مورد اول شروع می کنیم. اولین تبدیل، گذار از معادله غیرمنطقی اولیه است به معادله عبارت است از جایگزینی عبارت x+3 با عبارت . این عبارات به طور یکسان برابر هستند. اما با چنین جایگزینی، ODZ از مجموعه (-∞، -3)∪[-1، +∞) به مجموعه [-1، +∞) محدود می شود. و ما موافقت کردیم که از اصلاحاتی که ODZ را محدود می کند خودداری کنیم، زیرا آنها می توانند به از دست دادن ریشه ها منجر شوند.

مورد دوم چه اشکالی دارد؟ گسترش ODZ در آخرین انتقال از به عدد -3 نه تنها این. اولین انتقال از معادله غیرمنطقی اصلی، نگرانی بزرگی است به معادله . ماهیت این انتقال جایگزینی عبارت x + 3 با عبارت است. اما این عبارات به طور یکسان برابر نیستند: برای x + 3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата ، از آنجا نتیجه می گیرد که .

پس چگونه می توان این معادله غیرمنطقی را حل کرد ? در اینجا بهتر است بلافاصله یک متغیر جدید معرفی کنید ، در حالی که (x+3) (x+1)=t 2 . بیایید یک راه حل دقیق ارائه دهیم.

اجازه دهید اولین تبدیل معادلات در نظر گرفته شده را خلاصه کنیم - جایگزینی عبارتی که بخشی از معادله است با عبارتی که به طور یکسان با آن برابر است. هر بار که انجام می شود، دو شرط باید برآورده شود: اول اینکه عبارت دقیقاً با عبارت یکسان جایگزین شود و دوم اینکه باریک شدن ODZ رخ ندهد. اگر با چنین جایگزینی، ODZ تغییر نکند، در نتیجه تبدیل، معادله ای معادل به دست می آید. اگر با چنین جایگزینی ODZ منبسط شود، ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شوند و باید مراقب حذف آنها بود.

ما به دومین تبدیل لیست می رویم - یک عدد را به دو طرف معادله اضافه می کنیم و همان عدد را از هر دو طرف معادله کم می کنیم. این تبدیل معادل معادله است. معمولاً زمانی که اعداد یکسانی در سمت چپ و راست معادله وجود دارد به آن متوسل می شویم، کم کردن این اعداد از دو طرف معادله به ما امکان می دهد در آینده از شر آنها خلاص شویم. به عنوان مثال، در هر دو سمت چپ و راست معادله غیر منطقی یک اصطلاح 3 وجود دارد. با تفریق ثلاث از دو طرف معادله به معادله ای منجر می شود که پس از انجام دستکاری با اعداد، شکل می گیرد. و ساده تر به . با توجه به نتیجه، تبدیل مورد نظر با انتقال یک عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف، اما در مورد این تبدیل کمی دیرتر، مشترک است. نمونه های دیگری از اعمال این تبدیل وجود دارد. به عنوان مثال، در یک معادله غیرمنطقی، افزودن عدد 3 به هر دو طرف برای سازماندهی یک مربع کامل در سمت چپ معادله و تبدیل بیشتر معادله به فرم به منظور معرفی یک متغیر جدید ضروری است.

تعمیم تبدیلی که اکنون در نظر گرفته شده است، جمع کردن هر دو بخش معادله یا تفریق از هر دو بخش معادله یک عبارت است. این تبدیل معادلات زمانی معادل است که ODZ تغییر نکند. این تبدیل عمدتاً به منظور خلاص شدن از شر همان اصطلاحاتی که به طور همزمان در سمت چپ و راست معادله هستند انجام می شود. بیایید یک مثال بزنیم. فرض کنید یک معادله غیرمنطقی داریم. بدیهی است که در هر دو سمت چپ و راست معادله یک عبارت وجود دارد. منطقی است که این عبارت را از دو طرف معادله کم کنیم: . در مورد ما، در طول چنین انتقالی، ODZ تغییر نمی کند، بنابراین تبدیل انجام شده معادل است. و به منظور حرکت به یک معادله غیر منطقی ساده تر انجام می شود.

تبدیل بعدی معادلات که در این پاراگراف به آن خواهیم پرداخت، انتقال عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف است. این تبدیل معادله همیشه معادل است. دامنه کاربرد آن بسیار گسترده است. با کمک آن می توان به عنوان مثال، رادیکال را جدا کرد یا عبارت های مشابه را در بخشی از معادله جمع آوری کرد، به طوری که بعداً بتوان آنها را کاهش داد و در نتیجه شکل معادله را ساده کرد. بیایید یک مثال بزنیم. برای حل یک معادله غیر منطقی ما می توانیم شرایط −1 را به داخل منتقل کنیم سمت راستبا تغییر علامت آنها، معادله معادل به دست می آید ، که می توان آن را بیشتر حل کرد، به عنوان مثال، با مربع کردن دو طرف معادله.

در مسیر در نظر گرفتن تبدیل معادلات به ضرب یا تقسیم هر دو قسمت معادله بر عددی مشابه غیر از صفر حرکت می کنیم. این تبدیل تبدیل معادل معادله است. ضرب دو طرف یک معادله در یک عدد عمدتاً برای حرکت از کسری به اعداد صحیح استفاده می شود. مثلاً در یک معادله غیرمنطقی برای خلاص شدن از شر کسرها، هر دو قسمت آن را در 8 ضرب کنید که معادله ای معادل به دست می آید. ، که بیشتر به شکل کاهش می یابد . تقسیم هر دو قسمت معادله عمدتاً به منظور کاهش ضرایب عددی انجام می شود. برای مثال، هر دو طرف معادله غیرمنطقی توصیه می شود که بر ضرایب عددی 18 و 12 تقسیم شود، یعنی بر 6، چنین تقسیمی معادله ای معادل به دست می دهد. ، که بعداً می توانیم از آن به معادله منتقل کنیم ، که دارای ضرایب کوچکتر و در عین حال عدد صحیح است.

تبدیل بعدی معادله ضرب و تقسیم دو طرف معادله بر یک عبارت است. این تبدیل زمانی معادل است که عبارتی که توسط آن ضرب یا تقسیم انجام می شود، دامنه مقادیر مجاز متغیر را تغییر ندهد و روی آن ناپدید نشود. معمولاً، ضرب هر دو طرف در یک عبارت مشابه، بر اساس اهداف، مانند ضرب هر دو طرف یک معادله در یک عدد است. بیشتر اوقات ، برای خلاص شدن از شر کسری با تبدیل های بیشتر ، به این تبدیل متوسل می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

ما از معادلات غیرمنطقی که برای حل آنها باید به تقسیم هر دو قسمت معادله بر یک عبارت متوسل شویم، نخواهیم گذشت. کمی بالاتر، ما خاطرنشان کردیم که اگر چنین تقسیمی بر ODZ تأثیر نگذارد و این عبارت روی ODZ ناپدید نشود، تبدیل معادل است. اما گاهی اوقات تقسیم باید بر روی عبارتی انجام شود که در ODZ ناپدید می شود. اگر همزمان، صفرهای این عبارت به طور جداگانه بررسی شوند تا ببینیم آیا ریشه های معادله در حال حل در بین آنها وجود دارد یا خیر، انجام این کار کاملا امکان پذیر است، در غیر این صورت ممکن است این ریشه ها در طول چنین تقسیم بندی از بین بروند.

آخرین تبدیل معادلات غیرمنطقی که در این بخش به آن خواهیم پرداخت، بالا بردن دو طرف معادله به یک توان است. این تبدیل را می توان برای معادلات غیر منطقی معمولی نامید، زیرا عملاً در حل معادلات انواع دیگر استفاده نمی شود. ما قبلاً در مقاله فعلی هنگام تجزیه و تحلیل به این تحول اشاره کردیم. همچنین نمونه های زیادی از این تحول وجود دارد. ما در اینجا خودمان را تکرار نخواهیم کرد، بلکه فقط یادآوری می کنیم که در حالت کلی این دگرگونی معادل نیست. می تواند منجر به ظهور ریشه های خارجی شود. بنابراین، اگر در روند حل به این تبدیل روی آوردیم، ریشه های یافت شده باید برای وجود ریشه های خارجی در بین آنها بررسی شوند.

در مورد از دست دادن ریشه

چه چیزی می تواند باعث از بین رفتن ریشه ها در حل یک معادله شود؟ دلیل اصلی از بین رفتن ریشه ها، تبدیل معادله است که در آن ODZ باریک می شود. برای درک این نکته، مثالی می زنیم.

بیایید یک معادله غیر منطقی در نظر بگیریم ، که قبلا در مقاله حاضر حل کرده ایم. ما حل آن را با هشدار نسبت به تبدیل معادله زیر شروع کردیم

اولین تبدیل، انتقال از معادله است به معادله - ODZ را باریک می کند. در واقع، ODZ برای معادله اصلی (-∞، -3)∪[-1، +∞) است، و برای معادله حاصل [-1، +∞) است. این مستلزم از بین رفتن بازه (-∞، -3) از در نظر گرفتن و در نتیجه از بین رفتن تمام ریشه های معادله از این بازه است. در مورد ما، هنگام انجام تبدیل نشان داده شده، تمام ریشه های معادله که دو و هستند از بین می روند.

بنابراین، اگر تبدیل معادله منجر به باریک شدن ODZ شود، تمام ریشه های معادله که در قسمتی که باریک شدن روی آن رخ داده است از بین می رود. به همین دلیل است که ما می خواهیم به اصلاحاتی که DHS را محدود می کند متوسل نشویم. با این حال، یک هشدار وجود دارد.

این رزرو برای تبدیل هایی که در آن ODZ با یک یا چند عدد باریک می شود، اعمال می شود. مشخص ترین تبدیل، که در آن چندین اعداد جداگانه از ODZ خارج می شوند، تقسیم هر دو بخش معادله به یک عبارت است. واضح است که هنگام انجام چنین تبدیلی، تنها ریشه هایی که در میان این مجموعه محدود اعداد هستند، که هنگام باریک شدن ODZ از بین می روند، می توانند از بین بروند. بنابراین، اگر همه اعداد این مجموعه به طور جداگانه بررسی شوند تا ببینیم آیا ریشه های معادله در حال حل در بین آنها وجود دارد، مثلاً با جایگزینی، و ریشه های یافت شده در پاسخ گنجانده شوند، می توان تبدیل مورد نظر را انجام داد. بیشتر بدون ترس از از دست دادن ریشه ها. بیایید با یک مثال موارد فوق را توضیح دهیم.

معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید که در پاراگراف قبل نیز حل شده است. برای حل این معادله با معرفی یک متغیر جدید، مفید است که ابتدا دو طرف معادله را بر 1+x تقسیم کنیم. با چنین تقسیم بندی، عدد -1 از ODZ خارج می شود. جایگزینی این مقدار در معادله اصلی یک برابری عددی نادرست () به دست می‌دهد که نشان می‌دهد -1 ریشه معادله نیست. پس از چنین بررسی، می توانید با خیال راحت تقسیم مورد نظر را بدون ترس از دست دادن ریشه انجام دهید.

در پایان این پاراگراف، متذکر می شویم که اغلب هنگام حل معادلات غیرمنطقی، تقسیم هر دو قسمت معادله با عبارت یکسان و همچنین تبدیل بر اساس ویژگی های ریشه ها منجر به باریک شدن ODZ می شود. بنابراین هنگام انجام چنین تحولاتی باید بسیار مراقب باشید و اجازه ندهید ریشه ها از بین بروند.

درباره ریشه های خارجی و راه های از بین بردن آنها

حل اکثریت قریب به اتفاق معادلات از طریق تبدیل معادلات انجام می شود. برخی از تبدیل‌ها می‌توانند به معادلات نتیجه‌ای منجر شوند، و در میان راه‌حل‌های معادله نتیجه ممکن است ریشه‌هایی وجود داشته باشند که خارج از معادله اصلی باشند. ریشه های خارجی ریشه معادله اصلی نیستند، بنابراین نباید در پاسخ گنجانده شوند. به عبارت دیگر باید آنها را از بین برد.

بنابراین، اگر حداقل یک معادله پیامد در زنجیره تبدیل معادله حل شده وجود داشته باشد، باید مراقب شناسایی و غربال کردن ریشه های خارجی باشید.

روش‌های شناسایی و از بین بردن ریشه‌های خارجی به دلایلی بستگی دارد که باعث ظاهر بالقوه آنها می‌شود. و دو دلیل برای ظهور احتمالی ریشه های خارجی در حل معادلات غیر منطقی وجود دارد: اولی گسترش ODZ در نتیجه تبدیل معادله، دوم افزایش هر دو قسمت معادله به توان زوج است. . بیایید نگاهی به روش های مربوطه بیندازیم.

بیایید با روش های غربال کردن ریشه های خارجی شروع کنیم، زمانی که تنها دلیل ظاهر احتمالی آنها گسترش ODZ است. در این مورد، وجین ریشه های خارجی به یکی از سه روش زیر انجام می شود:

به گزارش ODZ. برای این کار ODZ متغیر معادله اصلی پیدا شده و تعلق ریشه های یافت شده به آن بررسی می شود. آن ریشه هایی که به ODZ تعلق دارند، ریشه های معادله اصلی هستند و آنهایی که به ODZ تعلق ندارند، ریشه های خارجی معادله اصلی هستند.
از طریق شرایط ODZ. شرایطی که ODV متغیر را برای معادله اصلی تعیین می کند، نوشته شده و ریشه های یافت شده به نوبه خود جایگزین آنها می شوند. ریشه هایی که همه شرایط را برآورده می کنند، ریشه هستند و آنهایی که حداقل یک شرط را برآورده نمی کنند، ریشه های خارجی معادله اصلی هستند.
از طریق جایگزینی در معادله اصلی (یا در هر معادله ای معادل آن). ریشه های یافت شده به نوبه خود به معادله اصلی جایگزین می شوند، آنهایی که با جایگزین کردن آنها معادله به تساوی عددی صحیح تبدیل می شود، ریشه هستند و آنهایی که در هنگام جایگزینی عبارتی که معنی ندارد، ریشه های خارجی هستند. برای معادله اصلی

هنگام حل معادله غیرمنطقی زیر، بیایید ریشه های اضافی را به هر یک از روش های مشخص شده حذف کنیم تا در مورد هر یک از آنها یک ایده کلی به دست آوریم.

واضح است که ما هر بار ریشه های خارجی را با همه روش های شناخته شده شناسایی و از بین نخواهیم برد. برای فیلتر کردن ریشه های خارجی، در هر مورد مناسب ترین روش را انتخاب می کنیم. به عنوان مثال، در مثال زیر، فیلتر کردن ریشه های خارجی از طریق شرایط ODZ راحت تر است، زیرا در این شرایط یافتن ODZ در قالب یک مجموعه عددی دشوار است.

حالا بیایید در مورد غربال کردن ریشه های خارجی صحبت کنیم، زمانی که حل یک معادله غیرمنطقی با بالا بردن هر دو قسمت معادله به توان زوج انجام می شود. در اینجا، غربالگری از طریق ODZ یا از طریق شرایط ODZ دیگر کمکی نخواهد کرد، زیرا به ما اجازه نمی دهد ریشه های خارجی را که به دلیل دیگری به وجود می آیند - به دلیل بالا بردن هر دو قسمت معادله به یک توان یکسان، از بین ببریم. . چرا زمانی که هر دو طرف معادله به توان زوج یکسان می رسند، ریشه های خارجی ظاهر می شوند؟ ظهور ریشه‌های خارجی در این مورد از این واقعیت ناشی می‌شود که افزایش هر دو بخش یک برابری عددی نادرست به توان زوج می‌تواند یک برابری عددی صحیح به دست دهد. به عنوان مثال، تساوی عددی نادرست 3=−3، پس از دو طرف آن، به تساوی عددی صحیح 3 2 =(-3) 2 تبدیل می شود که همان 9=9 است.

دلایل پیدایش ریشه‌های خارجی زمانی که هر دو قسمت معادله به یک درجه بالا می‌روند، مرتب شده‌اند. باقی مانده است که نشان دهیم چگونه ریشه های خارجی در این مورد از بین می روند. غربالگری عمدتاً با جایگزینی ریشه های پتانسیل یافت شده در معادله اصلی یا هر معادله ای معادل آن انجام می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

اما ارزش این را دارد که روش دیگری را در نظر داشته باشید که به شما امکان می دهد در مواردی که هر دو بخش یک معادله غیرمنطقی با یک رادیکال منفرد به یک قدرت یکسان می رسند، ریشه های خارجی را از بین ببرید. هنگام حل معادلات غیر منطقی ، که در آن 2·k یک عدد زوج است، با بالا بردن هر دو قسمت معادلات به یک توان، الک کردن ریشه های خارجی را می توان از طریق شرط g(x)≥0 (یعنی در واقع حل یک معادله غیر منطقی انجام داد. با تعیین ریشه). این روش اغلب زمانی به کمک می آید که الک کردن ریشه های خارجی از طریق جایگزینی با محاسبات پیچیده مرتبط باشد. مثال زیر به خوبی بیانگر آنچه گفته شد است.

ادبیات

موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - م.: Mnemozina، 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
موردکوویچ A.G.جبر و شروع تحلیل ریاضی. درجه 11. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطح مشخصات) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. شابک 978-5-346-01027-2.
جبرو آغاز تجزیه و تحلیل: Proc. برای 10-11 سلول. آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
جبرو شروع تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح / [یو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ ویرایش A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم - م.: روشنگری، 1389.- 368 ص: Ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
ریاضی. افزایش سطح USE-2012 (C1, C3). تست های موضوعی معادلات، نابرابری ها، سیستم ها / ویرایش شده توسط F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 p. - (آماده شدن برای امتحان) ISBN 978-5-91724-094-7
فارغ التحصیل 1383. ریاضیات. مجموعه ای از وظایف برای podkotovka به امتحان. قسمت 1. I. V. Boikov, L. D. Romanova.

معادله غیرمنطقی هر معادله ای است که تابعی در زیر علامت ریشه داشته باشد. مثلا:

چنین معادلاتی همیشه در 3 مرحله حل می شوند:

ریشه را جدا کنید. به عبارت دیگر، اگر علاوه بر ریشه، اعداد یا توابع دیگری در سمت چپ علامت مساوی وجود داشته باشد، همه اینها باید با تغییر علامت به سمت راست منتقل شوند. در همان زمان، فقط رادیکال باید در سمت چپ باقی بماند - بدون هیچ ضرایبی.
2. دو طرف معادله را مربع می کنیم. در عین حال، به یاد داشته باشید که دامنه ریشه همه اعداد غیر منفی هستند. از این رو تابع سمت راست است معادله غیر منطقیهمچنین باید غیر منفی باشد: g (x) ≥ 0.
مرحله سوم به طور منطقی از مرحله دوم پیروی می کند: باید یک بررسی انجام دهید. واقعیت این است که در مرحله دوم می‌توانیم ریشه‌های اضافی داشته باشیم. و برای قطع آنها، لازم است اعداد نامزد به دست آمده را جایگزین معادله اصلی کنید و بررسی کنید: آیا واقعاً برابری عددی صحیح به دست آمده است؟

حل یک معادله غیر منطقی

بیایید به معادله غیرمنطقی خود که در همان ابتدای درس داده شد بپردازیم. در اینجا ریشه از قبل منزوی است: در سمت چپ علامت مساوی چیزی جز ریشه وجود ندارد. بیایید هر دو طرف را مربع کنیم:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

معادله درجه دوم حاصل را از طریق ممیز حل می کنیم:

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

تنها جایگزینی این اعداد در معادله اصلی باقی مانده است، یعنی. انجام یک بررسی اما حتی در اینجا می توانید برای ساده کردن تصمیم نهایی کار درست را انجام دهید.

چگونه تصمیم گیری را ساده کنیم

بیایید فکر کنیم: چرا حتی در پایان حل یک معادله غیرمنطقی بررسی می کنیم؟ ما می خواهیم مطمئن شویم که هنگام جایگزینی ریشه های خود، یک عدد غیر منفی در سمت راست علامت مساوی وجود دارد. از این گذشته ، ما قبلاً با اطمینان می دانیم که این یک عدد غیر منفی در سمت چپ است ، زیرا جذر حسابی (که به همین دلیل معادله ما غیر منطقی نامیده می شود) طبق تعریف نمی تواند کمتر از صفر باشد.

بنابراین، تنها چیزی که باید بررسی کنیم این است که تابع g ( x ) = 5 − x، که در سمت راست علامت مساوی است، غیر منفی است:

g(x) ≥ 0

ریشه های خود را در این تابع جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

از مقادیر به دست آمده، نتیجه می شود که ریشه x 1 = 6 برای ما مناسب نیست، زیرا هنگام جایگزینی در سمت راست معادله اصلی، یک عدد منفی دریافت می کنیم. اما ریشه x 2 \u003d -2 برای ما کاملاً مناسب است، زیرا:

این ریشه راه حل است معادله درجه دومدر نتیجه ساخت هر دو طرف به دست آمده است معادله غیر منطقیبه یک مربع
سمت راست معادله غیرمنطقی اولیه، هنگامی که ریشه x 2 = -2 جایگزین شود، به یک عدد مثبت تبدیل می شود، یعنی. محدوده ریشه حسابی نقض نمی شود.

این همه الگوریتم است! همانطور که می بینید، حل معادلات با رادیکال ها چندان دشوار نیست. نکته اصلی این است که فراموش نکنید ریشه های دریافت شده را بررسی کنید، در غیر این صورت احتمال دریافت پاسخ های اضافی بسیار زیاد است.