معادله با یک متغیر ریشه معادله

سخنرانی 26

1. مفهوم معادله با یک متغیر

2. معادلات معادل. قضایای هم ارزی برای معادلات

3. حل معادلات با یک متغیر

بیایید دو عبارت را با یک متغیر در نظر بگیریم: 4 ایکسو 5 ایکس+ 2. با وصل کردن آنها با علامت مساوی، جمله را به دست می آوریم 4 برابر= 5ایکس+ 2. حاوی یک متغیر است و هنگام جایگزینی مقادیر متغیر، به یک دستور تبدیل می شود. مثلاً وقتی x =-2 پیشنهاد 4 برابر= 5ایکس+ 2 به برابری عددی واقعی 4 (-2) = 5 (-2) + 2 تبدیل می شود و وقتی x = 1 - نادرست 4 1 = 5 1 + 2. بنابراین، جمله 4x = 5x + 2یک فرم بیانی وجود دارد. به او زنگ می زنند معادله با یک متغیر

AT نمای کلییک معادله متغیر را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

تعریف. فرض کنید f(x) و g(x) دو عبارت با متغیر x و دامنه X باشند. سپس شکل گزاره ای شکل f(x) = g(x) معادله ای با یک متغیر نامیده می شود.

مقدار متغیر ایکساز بسیاری ایکس،که در آن معادله به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود نامیده می شود ریشه معادله(یا تصمیم او). حل معادله -به معنای یافتن مجموعه ریشه های آن است.

بنابراین، ریشه معادله 4x = 5x+ 2 اگر آن را در مجموعه در نظر بگیریم آراعداد واقعی، عدد -2 است. این معادله ریشه دیگری ندارد. پس مجموعه ریشه های آن (-2) است.

اجازه دهید معادله ( ایکس - 1) (x+ 2) = 0. دو ریشه دارد - اعداد 1 و -2. بنابراین مجموعه ریشه های این معادله عبارتند از: (-2,-1).

معادله (3x + 1)-2 = 6ایکس+ 2، داده شده در مجموعه اعداد واقعی، به برابری عددی واقعی برای همه مقادیر واقعی متغیر تبدیل می شود. ایکس: اگر براکت های سمت چپ را باز کنیم به دست می آید 6x + 2 = 6x + 2.در این صورت می گوییم ریشه آن هر عدد حقیقی است و مجموعه ریشه ها مجموعه همه اعداد حقیقی است.

معادله (3x+ 1) 2 = 6 ایکس+ 1 که روی مجموعه اعداد واقعی داده می شود، برای هیچ مقدار واقعی به یک برابری عددی واقعی تبدیل نمی شود. ایکس:پس از باز کردن براکت های سمت چپ، به عدد 6 می رسیم ایکس + 2 = 6x + 1، که تحت هر یک غیر ممکن است ایکس.در این صورت می گوییم معادله داده شده ریشه ندارد و مجموعه ریشه های آن خالی است.

برای حل هر معادله ای، ابتدا تبدیل می شود و معادله ای ساده تر جایگزین آن می شود. معادله به دست آمده دوباره تبدیل می شود و آن را با یک معادله ساده تر جایگزین می کند و غیره. این روند تا زمانی ادامه می یابد که معادله ای به دست آید که بتوان ریشه های آن را پیدا کرد راه شناخته شده. اما برای اینکه این ریشه ها ریشه یک معادله معین باشند، لازم است که در فرآیند تبدیل معادلاتی به دست آید که مجموعه ریشه های آنها منطبق باشند. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادل.

سخنرانی 26

1. مفهوم معادله با یک متغیر

2. معادلات معادل. قضایای هم ارزی برای معادلات

3. حل معادلات با یک متغیر

معادلات با یک متغیر

به طور کلی معادله تک متغیری را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

برای حل هر معادله ای، ابتدا تبدیل می شود و معادله ای ساده تر جایگزین آن می شود. معادله به دست آمده دوباره تبدیل می شود و آن را با یک معادله ساده تر جایگزین می کند و غیره. این روند تا زمانی ادامه می یابد که معادله ای به دست آید که ریشه های آن به روشی شناخته شده پیدا شود. اما برای اینکه این ریشه ها ریشه یک معادله معین باشند، لازم است که در فرآیند تبدیل معادلاتی به دست آید که مجموعه ریشه های آنها منطبق باشند. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادل.

برابری با متغیر f(x) = g(x)معادله ای با یک متغیر x نامیده می شود. هر مقدار از متغیری که در آن f(x) و g(x) مقادیر عددی مساوی بگیرند، ریشه چنین معادله ای نامیده می شود. بنابراین حل معادله به معنای یافتن تمام ریشه های معادله یا اثبات عدم وجود آنهاست.

معادله x 2 + 1 \u003d 0 ریشه واقعی ندارد، اما ریشه های خیالی دارد: در این مورد، اینها ریشه های x 1 \u003d i، x 2 \u003d -i هستند. در ادامه، تنها به ریشه های واقعی معادله علاقه مند خواهیم بود.

اگر معادلات دارای ریشه های یکسان باشند، معادل نامیده می شوند. معادلاتی که ریشه ندارند معادل هستند.

بیایید تعیین کنیم که آیا معادلات معادل هستند:

الف) x + 2 = 5 و x + 5 = 8

1. معادله اول را حل کنید

2. معادله دوم را حل کنید

ریشه معادلات یکسان است، بنابراین x + 2 = 5 و x + 5 = 8 معادل هستند.

ب) x 2 + 1 = 0 و 2x 2 + 5 = 0

هر دوی این معادلات ریشه واقعی ندارند، بنابراین هم ارز هستند.

ج) x - 5 \u003d 1 و x 2 \u003d 36

1. ریشه های معادله اول را بیابید

2. ریشه های معادله دوم را بیابید

x 1 = 6، x 2 = -6

ریشه های معادلات مطابقت ندارند، بنابراین x - 5 \u003d 1 و x 2 \u003d 36 معادل نیستند.

هنگام حل معادله، سعی می کنند آن را با یک معادل، اما بیشتر جایگزین کنند معادله ساده. بنابراین مهم است که بدانیم این معادله در اثر چه تبدیلی به معادله ای معادل آن تبدیل می شود.

قضیه 1. اگر هر جمله ای در معادله از قسمتی به قسمت دیگر منتقل شود و علامت آن تغییر کند، معادله ای معادل معادله به دست می آید.

به عنوان مثال، معادله x 2 + 2 = 3x معادل معادله x 2 + 2 - 3x = 0 است.

قضیه 2. اگر هر دو قسمت معادله در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند (برابر صفر نیست)، معادله ای به دست می آید که معادل معادله داده شده است.

به عنوان مثال، معادله (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x معادل معادله x 2 - 1 \u003d 6x است. دو طرف معادله اول را در 3 ضرب می کنیم.

یک معادله خطی با یک متغیر معادله ای به شکل ax \u003d b است که a و b اعداد واقعی هستند و a ضریب متغیر نامیده می شود و b عبارت آزاد است.

سه حالت برای معادله خطی ax = b در نظر بگیرید.

1. a ≠ 0. در این مورد، x \u003d b / a (زیرا a غیر صفر است).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. معادله به شکل زیر خواهد بود: 0 ∙ x \u003d 0. این معادله برای هر x صادق است. ریشه معادله هر عدد واقعی است.

3. a \u003d 0، b ≠ 0. در این حالت، معادله ریشه نخواهد داشت، زیرا تقسیم بر صفر ممنوع است (0 ∙ x = b).

در نتیجه تبدیل ها، بسیاری از معادلات به معادلات خطی کاهش می یابد.

حل معادلات

الف) (1/5) x + 2/15 = 0

1. جزء 2/15 را با علامت مخالف از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهید. چنین تبدیلی توسط قضیه 1 اداره می شود. بنابراین، معادله به شکل زیر خواهد بود: (1/5)x = -2/15.

2. برای خلاص شدن از مخرج، هر دو طرف معادله را در 15 ضرب می کنیم. قضیه 2 این امکان را به ما می دهد.

(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

بنابراین، ریشه معادله -2/3 است.

ب) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. برای خلاص شدن از مخرج، هر دو قسمت معادله را ضرب می کنیم در 12 (توسط قضیه 2). معادله به شکل زیر خواهد بود:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12 (5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. با استفاده از قضیه 1، تمام اعداد سمت راست و مولفه های x در سمت چپ را "جمع آوری" می کنیم. معادله به شکل زیر خواهد بود:

10 +12 \u003d 5x - x

بنابراین، ریشه معادله 5.5 است.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

در این ویدیو نگاهی به کل مجموعه خواهیم داشت. معادلات خطی، که با همان الگوریتم حل می شوند - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

برای شروع، اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک از آنها را باید ساده ترین نامید؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین آنها کاهش می یابد:

در صورت وجود، پرانتز را باز کنید؛
عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

معادله اصلاً راه حلی ندارد. به عنوان مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ دریافت می کنید، یعنی. در سمت چپ صفر و در سمت راست یک عدد غیر صفر است. در ویدیوی زیر به چند دلیل برای امکان پذیر بودن این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

و اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها بر روی مثال مشکلات واقعی کار می کند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سروکار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

اول از همه، باید پرانتزها را در صورت وجود باز کنید (مانند نمونه آخر ما).
سپس مشابه بیاورید
در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - به یک طرف منتقل می شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند به طرف دیگر منتقل می شود.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید در هر طرف برابری حاصل مشابه بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام شمارش «مضافات» و «منهای» اشتباه می شود.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با بیشترین مقدار شروع خواهیم کرد کارهای ساده.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

در صورت وجود، پرانتز را باز کنید.
جدا کردن متغیرها، به عنوان مثال هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی دارد و اکنون با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید براکت ها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را ایزوله کنیم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیا بنویسیم:

ما عبارت‌های مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می‌کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

اینجا جواب گرفتیم

وظیفه شماره 2

در این کار، می‌توانیم براکت‌ها را مشاهده کنیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. متغیرهای sequester:

در اینجا مواردی مانند:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، فقط علائم مختلفی در جلوی خود دارند. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید محاسبه کنیم:

اجرا می کنیم آخرین مرحله- همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم کنید:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می‌خواهم موارد زیر را بگویم:

همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
حتی اگر ریشه‌هایی وجود داشته باشد، صفر می‌تواند در میان آنها وارد شود - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد بقیه است، شما نباید به نوعی آن را متمایز کنید یا فرض کنید که اگر صفر دریافت کنید، پس کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به گسترش پرانتز است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به تغییر می دهیم مقابل. و سپس می توانیم آن را طبق الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست خواهیم آورد.

درک این موضوع واقعیت سادهزمانی که انجام چنین کارهایی بدیهی تلقی می شود، شما را از انجام اشتباهات احمقانه و آزاردهنده در دبیرستان باز می دارد.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به ادامه مطلب برویم معادلات پیچیده. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، یک معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوما کاهش می یابد.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید حریم خصوصی را در نظر بگیریم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا مواردی مانند:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین در پاسخ به صورت زیر می نویسیم:

\[\تنوع \]

یا بدون ریشه

مثال شماره 2

ما همین مراحل را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا مواردی مانند:

بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به صورت زیر می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا بدون ریشه

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. در مثال این دو عبارت، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز می تواند چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت زیاد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.

اما من می خواهم توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب کنم: نحوه کار با براکت ها و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در جلوی آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "x" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب کنید هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب شده است.

و تنها پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توان براکت را از این نظر باز کرد که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها انجام شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر فقط علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. زیرا حل معادلات همیشه یک دنباله است تحولات ابتدایی، جایی که ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره یاد می گیرند که چگونه چنین معادلات ساده ای را حل کنند.

البته، روزی فرا می رسد که این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید عقب نشینی کنیم:

در اینجا مواردی مانند:

بیایید آخرین مرحله را انجام دهیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، اما آنها متقابلاً لغو شدند، که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد، نه مربع.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دومی ضرب کنید. در مجموع، چهار عبارت جدید باید پس از تبدیل به دست آید:

و اکنون ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهید:

بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

ما پاسخ قطعی دریافت کرده ایم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی کنیم که در آنها یک جمله بزرگتر از آن وجود دارد، آنگاه این کار مطابق با آن انجام می شود. قانون بعدی: جمله اول را از اولی می گیریم و در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم به دست می آید.

در مجموع جبری

با آخرین مثال، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم می کنیم. در جبر، منظور ما از این است که: به عدد "یک" یک عدد دیگر، یعنی "منهای هفت" اضافه می کنیم. این مجموع جبری با مجموع حسابی معمول متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.

در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها، باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسری

برای حل چنین کارهایی، یک مرحله دیگر باید به الگوریتم ما اضافه شود. اما ابتدا الگوریتم خود را یادآوری می کنم:

پرانتزها را باز کنید.
متغیرها را جدا کنید
مشابه بیاورید
تقسیم بر یک فاکتور.

افسوس که این الگوریتم فوق العاده با همه کارایی که دارد، زمانی که کسری در مقابل خود داریم کاملا مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

از شر کسری خلاص شوید.
پرانتزها را باز کنید.
متغیرها را جدا کنید
مشابه بیاورید
تقسیم بر یک فاکتور.

منظور از "خلاص شدن از کسری" چیست؟ و چرا هم بعد از اولین مرحله استاندارد و هم قبل از آن می توان این کار را انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها از نظر مخرج عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو قسمت معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص خواهیم شد.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot چهار\]

لطفاً توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که شما دو براکت دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در "چهار" ضرب کنید. بیا بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید آن را باز کنیم:

ما جداسازی یک متغیر را انجام می دهیم:

ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

ما جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شد.

این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی به شرح زیر است:

الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
قابلیت باز کردن براکت ها
اگر جایی دارید نگران نباشید توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی، آنها کاهش خواهند یافت.
ریشه ها در معادلات خطی، حتی ساده ترین آنها، سه نوع هستند: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است، اصلاً ریشه وجود ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

بیایید دو عبارت را با یک متغیر بگیریم: 4x و 5x + 2. با اتصال آنها با علامت مساوی، جمله 4x \u003d 5x + 2 را دریافت می کنیم. این شامل یک متغیر است و هنگام جایگزینی مقادیر متغیر، تبدیل به بیانیه.

مثلا،در x = -2، جمله 4x = 5x + 2 به یک برابری عددی واقعی 4-(-2) = 5-(-2) + 2 تبدیل می شود و در x = 1 - به یک 4-1 = 5- نادرست تبدیل می شود. 1 + 2. بنابراین، جمله 4x = 5x + 2 یک صورت گزاره ای است. به او زنگ می زنند معادله با یک متغیر

به طور کلی معادله تک متغیری را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

تعریف.فرض کنید f(x) و q(x) دو عبارت با متغیر x و دامنه X باشند. سپس شکل گزاره ای شکل f(x) =q(x) معادله ای با یک متغیر نامیده می شود.

مقدار متغیر ایکساز بسیاری ایکس،که در آن معادله به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود نامیده می شود ریشه معادله (یا تصمیم او). حل معادله به معنای یافتن مجموعه ریشه های آن است. .

بنابراین، اگر آن را در مجموعه در نظر بگیریم، ریشه معادله 4x \u003d 5x + 2 است. آراعداد واقعی، عدد -2 است. این معادله ریشه دیگری ندارد. پس مجموعه ریشه های آن (-2) است.

اجازه دهید معادله (x-1)(x+2)=0 روی مجموعه اعداد واقعی داده شود. این دو ریشه دارد - اعداد 1 و -2. بنابراین مجموعه ریشه های این معادله عبارتند از: (-2,- 1).

معادله (3x + 1) × 2 = 6x + 2 که روی مجموعه اعداد واقعی داده می‌شود، به برابری عددی واقعی برای همه مقادیر واقعی متغیر x تبدیل می‌شود: اگر براکت‌های سمت چپ را باز کنیم، 6x + 2 = 6 می گیریم ایکس+ 2. در این صورت می گوییم ریشه آن هر عدد حقیقی است و مجموعه ریشه ها مجموعه همه اعداد حقیقی است.

معادله (3x + 1)-2 = 6x + 1، که در مجموعه اعداد واقعی داده شده است، به برابری عددی واقعی برای هیچ مقدار واقعی x تبدیل نمی‌شود: پس از باز کردن پرانتزها در سمت چپ، به 6x + می‌رسیم. 2 = 6x + 1 که برای هر x غیر ممکن است. در این صورت می گوییم معادله داده شده ریشه ندارد و مجموعه ریشه های آن خالی است.

برای حل هر معادله ای، ابتدا تبدیل می شود و معادله ای ساده تر جایگزین آن می شود. معادله به دست آمده دوباره تبدیل می شود و آن را با یک معادله ساده تر جایگزین می کند و غیره. این روند تا زمانی ادامه می یابد که معادله ای به دست آید که ریشه های آن به روشی شناخته شده پیدا شود. اما برای اینکه این ریشه ها ریشه های یک معادله داده شده باشند، لازم است که در فرآیند تبدیل معادلاتی به دست آید که مجموعه ریشه های آنها منطبق باشند. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادل.

تعریف.دو معادله f 1 (x) =q 1 (x) و f 2 (x) =q 2 (х) در صورتی معادل نامیده می شوند که مجموعه ریشه های آنها منطبق باشند.

مثلا،معادلات x 2 - 9 = 0 و (2x + 6) (x - 3) = 0 معادل هستند زیرا هر دو دارای ریشه 3 و -3 هستند. معادلات (3x + 1)-2 = 6x + 1 و x 2 + 1 نیز معادل هستند. = 0, چون هر دو ریشه ندارند، یعنی. مجموعه ریشه های آنها یکسان است.

تعریف. جایگزینی معادله با معادله معادل را تبدیل معادل می گویند.

اکنون بیایید دریابیم که چه تبدیلی به دست آوردن معادلات معادل را ممکن می کند.

قضیه 1. فرض کنید معادله f(x) = q(x) روی یک مجموعه داده شود و h(x) یک عبارت تعریف شده در همان مجموعه باشد. سپس معادله f(x) = q(x) (1) و f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) معادل هستند.

اثباتمجموعه راه حل های معادله (1) را با T 1 و از طریق T 2 مجموعه راه حل های معادله (2) را نشان دهید. سپس معادلات (1) و (2) معادل خواهند بود اگر T 1 = T 2 . برای تأیید این موضوع، لازم است نشان داده شود که هر ریشه ای از T 1 ریشه معادله (2) است و برعکس، هر ریشه ای از T 2 ریشه معادله (1) است.

عدد a را ریشه معادله (1) قرار دهید. سپس a н T 1، و هنگام جایگزینی به معادله (1) آن را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند f(a) = q(a)، و عبارت h(x) آن را به یک عبارت عددی h(a) تبدیل می کند. حس در مجموعه X. اجازه دهید به هر دو قسمت برابری واقعی f(a) = q(a) عبارت عددی h(a) را اضافه کنیم. با توجه به ویژگی‌های برابری‌های عددی واقعی، برابری عددی واقعی f (a) + h (a) \u003d q (a) + h (a) را به دست می‌آوریم که نشان می‌دهد عدد a ریشه معادله (2) است. ).

پس ثابت شده است که هر ریشه معادله (1) یک ریشه معادله (2) است، یعنی. T 1 Ì T 2.

حال اجازه دهید a ریشه معادله (2) باشد. سپس a Î T 2، و هنگام جایگزینی با معادله (2) آن را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند f(a) + h(a) = q(a) + h(a). بیایید به هر دو قسمت این برابری یک عبارت عددی اضافه کنیم - h (a). برابری عددی واقعی f (a) \u003d q (a) را بدست می آوریم، که عدد a ریشه معادله (1) است.

پس ثابت شده است که هر ریشه معادله (2) یک ریشه معادله (1) است، یعنی. T 2 Ì T 1 .

از آنجایی که T 1 Ì T 2 و T 2 Ì T 1 , پس با تعریف مجموعه های مساوی T 1 = T 2 , و بنابراین معادلات (1) و (2) معادل هستند.

این قضیه 1 را می توان به صورت متفاوتی فرمول بندی کرد: اگر به هر دو بخش معادله با دامنه X همان عبارت را با یک متغیر تعریف شده در همان مجموعه اضافه کنیم، آنگاه معادله جدیدی معادل معادله داده شده به دست می آوریم.

پیامدهایی از این قضیه به دست می آید که در حل معادلات استفاده می شود:

1. اگر یک عدد را به دو طرف معادله اضافه کنیم، معادله ای معادل معادله بدست می آید.

2. اگر هر عبارتی (عبارت عددی یا عبارت با متغیر) از قسمتی از معادله به قسمت دیگر منتقل شود و علامت عبارت را به مخالف تغییر دهد، معادله ای معادل این معادله به دست می آید.

قضیه 2.اجازه دهید معادله f(x) = q(x) روی مجموعه X داده شود و h(x) عبارتی است که در همان مجموعه تعریف شده است و برای هیچ مقدار x از مجموعه X ناپدید نمی شود. معادلات f(x) = q(х) و f(х) × h(х) = q(х) × h(х) معادل هستند.

اثبات این قضیه مشابه اثبات قضیه 1 است.

قضیه 2 را می توان به صورت متفاوتی فرموله کرد: اگر هر دو قسمت معادله با دامنه X در یک عبارت ضرب شوند که در یک مجموعه تعریف شده است و روی آن ناپدید نمی شود، معادله جدیدی معادل معادله داده شده به دست می آوریم.

نتیجه از این قضیه به دست می آید: اگر هر دو قسمت معادله در یک عدد غیر از صفر ضرب (یا تقسیم) شوند، معادله ای معادل معادله به دست می آوریم.

بیایید معادله , х н R را حل کنیم و تمام تبدیل هایی که در فرآیند حل انجام خواهیم داد را توجیه کنیم.