ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

خطوط بی نهایت زیادی وجود دارد که می توان از هر نقطه ای ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقابل، فقط یک خط مستقیم وجود دارد.

دو خط غیر منطبق در صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (پیروی از قبلی).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

Ah + Wu + C = 0،

و ثابت الف، بهمزمان با صفر برابر نیست. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو از جانبموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان در آن نشان داد اشکال گوناگونبسته به هر داده شده

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار نرمال.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. بیایید در A \u003d 3 و B \u003d -1 معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C \u003d 0. برای پیدا کردن ضریب C

مختصات نقطه A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نظر: 3x - y - 1 \u003d 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. در

در صفحه، معادله یک خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت فاکتور شیب سر راست.

مثال. معادله خط مستقیمی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک شیب.

اگر معادله کلی یک خط مستقیم باشد Ah + Wu + C = 0به فرم بیاورید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم روی یک نقطه و یک بردار جهت دهنده.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت خط مستقیم

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مستقیم مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. A = B.

سپس معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x=1، y=2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نظر:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ah + Wu + C = 0 C≠0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

حس هندسیضرایبی که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله Ah + Wu + C = 0تقسیم بر عدد ، که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط مستقیم.

علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. با توجه به معادله کلی یک خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن انواع مختلف معادلات مورد نیاز است

این خط مستقیم

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y \u003d k 1 x + b 1، y \u003d k 2 x + b 2، سپس گوشه ی تیزبین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود بر هم هستند

اگر k 1 \u003d -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم Ah + Wu + C = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

A 1 \u003d λA، B 1 \u003d λB. اگر همچنین С 1 \u003d λС، سپس خطوط منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خط مستقیمی که از آن می گذرد نقطه داده شدهعمود بر این خط

تعریف. خطی که از نقطه ای می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط Ah + Wu + C = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معین M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

درس از مجموعه "الگوریتم های هندسی"

سلام خواننده عزیز!

امروز شروع به یادگیری الگوریتم های مرتبط با هندسه می کنیم. واقعیت این است که مسائل المپیاد زیادی در علوم کامپیوتر مرتبط با هندسه محاسباتی وجود دارد و حل چنین مسائلی اغلب مشکلاتی را ایجاد می کند.

در چند درس، تعدادی از مسائل فرعی ابتدایی را بررسی خواهیم کرد که حل اکثر مسائل هندسه محاسباتی بر اساس آنها است.

در این درس برنامه ای برای پیدا کردن معادله یک خط مستقیمعبور از داده شده دو نقطه. برای حل مسائل هندسی، به دانش هندسه محاسباتی نیاز داریم. بخشی از درس را به شناخت آنها اختصاص خواهیم داد.

اطلاعات از هندسه محاسباتی

هندسه محاسباتی شاخه ای از علوم کامپیوتر است که به مطالعه الگوریتم هایی برای حل مسائل هندسی می پردازد.

داده‌های اولیه برای چنین مسائلی می‌تواند مجموعه‌ای از نقاط روی صفحه، مجموعه‌ای از بخش‌ها، یک چندضلعی (مثلاً با فهرستی از رئوس آن به ترتیب عقربه‌های ساعت) و غیره باشد.

نتیجه می تواند پاسخی به برخی سؤالات باشد (مثلاً آیا یک نقطه به یک قطعه تعلق دارد، آیا دو بخش متقاطع می شوند یا ...) یا یک شی هندسی (مثلاً کوچکترین چند ضلعی محدب که نقاط داده شده را به هم متصل می کند، مساحت یک چند ضلعی و غیره).

ما مسائل هندسه محاسباتی را فقط در صفحه و فقط در سیستم مختصات دکارتی در نظر خواهیم گرفت.

بردارها و مختصات

برای اعمال روش های هندسه محاسباتی، باید تصاویر هندسی را به زبان اعداد ترجمه کرد. فرض می کنیم که یک سیستم مختصات دکارتی در صفحه داده شده است که در آن جهت چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت نامیده می شود.

اکنون اجسام هندسی یک عبارت تحلیلی دریافت می کنند. بنابراین، برای تعیین یک نقطه، کافی است مختصات آن را مشخص کنید: یک جفت اعداد (x; y). یک پاره را می توان با مشخص کردن مختصات انتهای آن مشخص کرد، یک خط مستقیم را می توان با تعیین مختصات یک جفت نقطه آن مشخص کرد.

اما ابزار اصلی برای حل مسائل بردارها خواهند بود. بنابراین، اجازه دهید اطلاعاتی در مورد آنها به شما یادآوری کنم.

بخش خط AB، که یک نکته دارد ولیابتدا (نقطه کاربرد) و نقطه را در نظر گرفت AT- انتهای آن بردار نامیده می شود ABو علامت یا، یا پررنگ باشد حروف کوچک، مثلا آ .

برای نشان دادن طول یک بردار (یعنی طول قطعه مربوطه)، از نماد ماژول استفاده می کنیم (مثلاً).

یک بردار دلخواه دارای مختصاتی برابر با تفاوت بین مختصات متناظر انتهای و ابتدای آن خواهد بود:

,

نقطه اینجا آو ب مختصات دارند به ترتیب.

برای محاسبات، از مفهوم استفاده خواهیم کرد زاویه جهت دار، یعنی زاویه ای که در نظر می گیرد ترتیب متقابلبردارها

زاویه جهت بین بردارها آ و ب اگر چرخش از بردار دور باشد مثبت است آ به بردار ب در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) و در حالت دیگر منفی انجام می شود. به شکل 1a، Fig.1b مراجعه کنید. همچنین گفته می شود که یک جفت بردار آ و ب مثبت (منفی) گرا.

بنابراین، مقدار زاویه جهت‌دار به ترتیب شمارش بردارها بستگی دارد و می‌تواند مقادیری را در بازه‌ها بگیرد.

بسیاری از مسائل هندسه محاسباتی از مفهوم بردار (ارول یا شبه مقیاس) حاصل از بردارها استفاده می کنند.

حاصل ضرب برداری بردارهای a و b حاصل ضرب طول این بردارها و سینوس زاویه بین آنها است:

.

حاصل ضرب برداری بردارها در مختصات:

عبارت سمت راست یک تعیین کننده مرتبه دوم است:

برخلاف تعریف ارائه شده در هندسه تحلیلی، این یک عدد اسکالر است.

علامت ضربدر موقعیت بردارها را نسبت به یکدیگر تعیین می کند:

آ و ب مثبت گرا

اگر مقدار است، آنگاه جفت بردارها آ و ب جهت گیری منفی

ضرب ضربدر بردارهای غیرصفر صفر است اگر و فقط اگر هم خط باشند ( ). این بدان معنی است که آنها روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار می گیرند.

بیایید چند کار ساده را در نظر بگیریم که برای حل کارهای پیچیده تر ضروری است.

بیایید معادله یک خط مستقیم را با مختصات دو نقطه تعریف کنیم.

معادله خط مستقیمی که از دو می گذرد نقاط مختلفبا مختصات آنها داده می شود.

اجازه دهید دو نقطه غیر منطبق روی خط داده شود: با مختصات (x1;y1) و با مختصات (x2; y2). بر این اساس، بردار با آغاز در نقطه و پایان در نقطه دارای مختصات (x2-x1، y2-y1) است. اگر P(x، y) یک نقطه دلخواه در خط ما باشد، مختصات بردار (x-x1، y - y1) است.

با کمک ضرب ضربدر، شرط همخطی بودن بردارها را می توان به صورت زیر نوشت:

آن ها (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

معادله آخر را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

تبر + توسط + c = 0، (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

بنابراین، خط مستقیم را می توان با معادله شکل (1) به دست آورد.

وظیفه 1. مختصات دو نقطه داده شده است. نمایش آن را به شکل ax + by + c = 0 بیابید.

در این درس با اطلاعاتی از هندسه محاسباتی آشنا شدیم. مشکل یافتن معادله خط را با مختصات دو نقطه حل کردیم.

در درس بعدی برنامه ای می نویسیم تا نقطه تقاطع دو خط را که توسط معادلات ما داده شده است را پیدا کنیم.

در این مقاله معادله کلی خط مستقیم در یک صفحه را بررسی می کنیم. اگر دو نقطه از این خط مستقیم شناخته شده باشد یا یک نقطه مشخص باشد، مثال هایی از ساخت معادله کلی یک خط مستقیم می زنیم. بردار معمولیاین خط مستقیم اجازه دهید روش هایی برای تبدیل یک معادله به شکل کلی به فرم های متعارف و پارامتری ارائه کنیم.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه داده شود اکسی. یک معادله درجه یک یا در نظر بگیرید معادله خطی:

تبر + با + سی=0,

(1)

جایی که الف، ب، جبرخی از ثابت ها و حداقل یکی از عناصر هستند آو بمتفاوت از صفر

نشان خواهیم داد که یک معادله خطی در صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 1. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه روی یک صفحه، هر خط مستقیم را می توان با یک معادله خطی به دست آورد. برعکس، هر معادله خطی (1) در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه روی صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند.

اثبات برای اثبات این خط کافی است Lتوسط یک معادله خطی برای هر یک از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود، زیرا پس از آن با یک معادله خطی و برای هر انتخابی از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود.

بگذارید یک خط مستقیم روی هواپیما داده شود L. ما یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا محور گاو نربا خط هماهنگ شده است L، و محور اوهعمود بر آن بود. سپس معادله خط Lبه شکل زیر خواهد بود:

y=0.

(2)

همه نقاط روی یک خط Lمعادله خطی (2) را برآورده می کند و تمام نقاط خارج از این خط مستقیم معادله (2) را برآورده نمی کند. قسمت اول قضیه ثابت می شود.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی داده شود و معادله خطی (1) داده شود، که در آن حداقل یکی از عناصر آو بمتفاوت از صفر مکان نقاطی را که مختصات آنها معادله (1) را برآورده می کند، بیابید. از آنجایی که حداقل یکی از ضرایب آو ببا صفر متفاوت است، پس معادله (1) حداقل یک جواب دارد م(ایکس 0 ,y 0). (مثلاً وقتی آ≠0، نقطه م 0 (−C/A, 0) متعلق به مکان داده شده از نقاط است). با جایگزینی این مختصات به (1) هویت را بدست می آوریم

تبر 0 +توسط 0 +سی=0.

(3)

بیایید هویت (3) را از (1) کم کنیم:

آ(ایکس−ایکس 0)+ب(y−y 0)=0.

(4)

بدیهی است که معادله (4) معادل معادله (1) است. بنابراین، برای اثبات اینکه (4) برخی از خطوط را تعریف می کند، کافی است.

از آنجایی که ما یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در نظر می گیریم، از برابری (4) نتیجه می شود که بردار با مولفه های ( x-x 0 , y-y 0 ) متعامد بردار است nبا مختصات ( الف، ب}.

خطی را در نظر بگیرید Lعبور از نقطه م 0 (ایکس 0 , y 0) و عمود بر بردار n(عکس. 1). بگذارید نکته م(ایکس,y) متعلق به خط است L. سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 عمود بر nو معادله (4) برآورده می شود (ضرب اسکالر بردارها). nو برابر با صفر است). برعکس، اگر نقطه م(ایکس,y) روی یک خط قرار نمی گیرد L، سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 متعامد بردار نیست nو معادله (4) ارضا نمی شود. قضیه ثابت شده است.

اثبات از آنجایی که خطوط (5) و (6) یک خط را تعریف می کنند، بردارهای عادی n 1 ={آ 1 ,ب 1) و n 2 ={آ 2 ,ب 2) خطی هستند. از آنجایی که بردارها n 1 ≠0, n 2 ≠ 0، سپس یک عدد وجود دارد λ ، چی n 2 =n 1 λ . از این رو داریم: آ 2 =آ 1 λ , ب 2 =ب 1 λ . این را ثابت کنیم سی 2 =سی 1 λ . واضح است که خطوط منطبق یک نقطه مشترک دارند م 0 (ایکس 0 , y 0). ضرب معادله (5) در λ و با کم کردن معادله (6) از آن به دست می آوریم:

از آنجایی که دو برابری اول از عبارت (7) برآورده می شود، پس سی 1 λ −سی 2=0. آن ها سی 2 =سی 1 λ . تذکر ثابت شده است.

توجه داشته باشید که معادله (4) معادله یک خط مستقیم را که از نقطه عبور می کند تعریف می کند م 0 (ایکس 0 , y 0) و داشتن بردار معمولی n={الف، ب). بنابراین اگر بردار معمولی خط و نقطه متعلق به این خط مشخص باشد، می توان با استفاده از رابطه (4) معادله کلی خط را ساخت.

مثال 1. یک خط از یک نقطه عبور می کند م=(4,-1) و دارای بردار نرمال است n= (3، 5). معادله کلی یک خط مستقیم را بسازید.

راه حل. ما داریم: ایکس 0 =4, y 0 =−1, آ=3, ب=5. برای ساخت معادله کلی یک خط مستقیم، این مقادیر را با معادله (4) جایگزین می کنیم:

پاسخ:

بردار موازی با خط Lو از این رو بر بردار معمولی خط عمود است L. بیایید یک بردار خط معمولی بسازیم L، با توجه به اینکه حاصلضرب عددیبردارها nو برابر با صفر است. می توانیم مثلا بنویسیم n={1,−3}.

برای ساخت معادله کلی خط مستقیم از فرمول (4) استفاده می کنیم. اجازه دهید مختصات نقطه را با (4) جایگزین کنیم م 1 (می توانیم مختصات نقطه را نیز بگیریم م 2) و بردار نرمال n:

جایگزینی مختصات نقطه م 1 و م 2 در (9) می توانیم مطمئن شویم که خط مستقیم است توسط معادله داده شده است(9) از این نقاط عبور می کند.

پاسخ:

تفریق (10) از (1):

معادله متعارف یک خط مستقیم را به دست آورده ایم. بردار q={−ب, آ) بردار جهت خط مستقیم (12) است.

تبدیل معکوس را ببینید.

مثال 3. یک خط مستقیم در یک صفحه با معادله کلی زیر نشان داده می شود:

جمله دوم را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر 2 5 تقسیم کنید.

معادله خطی که از نقطه معینی در جهت معین می گذرد. معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد. زاویه بین دو خط. شرط موازی بودن و عمود بودن دو خط. تعیین نقطه تلاقی دو خط

1. معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد آ(ایکس 1 , y 1) در یک جهت معین، تعیین شده توسط شیب ک,

y - y 1 = ک(ایکس - ایکس 1). (1)

این معادله مدادی از خطوطی را تعریف می کند که از یک نقطه عبور می کنند آ(ایکس 1 , y 1) که مرکز پرتو نامیده می شود.

2. معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد: آ(ایکس 1 , y 1) و ب(ایکس 2 , y 2) به این صورت نوشته شده است:

شیب یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد با فرمول تعیین می شود

3. زاویه بین خطوط مستقیم آو بزاویه ای است که اولین خط مستقیم باید بر اساس آن بچرخد آاطراف نقطه تقاطع این خطوط در خلاف جهت عقربه های ساعت تا زمانی که با خط دوم منطبق شود ب. اگر دو خط با معادلات شیب داده شود

y = ک 1 ایکس + ب 1 ,

این مقاله در ادامه مبحث معادله خط مستقیم در یک صفحه است: چنین معادله ای را معادله کلی خط مستقیم در نظر بگیرید. بیایید یک قضیه را تعریف کنیم و آن را اثبات کنیم. بیایید بفهمیم که یک معادله کلی ناقص یک خط مستقیم چیست و چگونه می توان از یک معادله کلی به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم انتقال داد. ما کل نظریه را با تصاویر و حل مسائل عملی تجمیع خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y در صفحه داده شود.

قضیه 1

هر معادله درجه اول با شکل A x + B y + C \u003d 0، که در آن A، B، C برخی از اعداد واقعی هستند (A و B همزمان با صفر نیستند) یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما. به نوبه خود، هر خط در یک سیستم مختصات مستطیلی روی هواپیما با معادله ای تعیین می شود که به شکل A x + B y + C = 0 برای مجموعه خاصی از مقادیر A، B، C است.

اثبات

این قضیه از دو نکته تشکیل شده است که هر کدام را ثابت می کنیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که معادله A x + B y + C = 0 یک خط را در صفحه تعریف می کند.

بگذارید نقطه ای M 0 (x 0 , y 0) وجود داشته باشد که مختصات آن با معادله A x + B y + C = 0 مطابقت دارد. بنابراین: A x 0 + B y 0 + C = 0 . از سمت چپ و راست معادلات A x + B y + C \u003d 0 سمت چپ و راست معادله A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 کم کنید، معادله جدیدی به نظر می رسد که شبیه A است. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . معادل A x + B y + C = 0 است.

معادله حاصل A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ضروری است و شرایط کافیعمود بردارها n → = (A , B) و M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) . بنابراین، مجموعه نقاط M (x, y) در یک سیستم مختصات مستطیلی یک خط مستقیم عمود بر جهت بردار n → = (A, B) را تعریف می کند. می توانیم فرض کنیم که اینطور نیست، اما پس از آن بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) عمود نخواهند بود و برابری A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 درست نیست.

بنابراین، معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 خطی را در یک سیستم مختصات مستطیلی در صفحه تعریف می کند و بنابراین معادله معادل A x + B y + C \u003d 0 تعریف می کند. همان خط بنابراین قسمت اول قضیه را ثابت کردیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه را می توان با معادله درجه اول Ax + B y + C = 0 به دست آورد.

بیایید یک خط مستقیم a را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه قرار دهیم. نقطه M 0 (x 0 , y 0) که این خط از آن عبور می کند و همچنین بردار عادی این خط n → = (A , B) .

اجازه دهید نقطه ای M (x, y) نیز وجود داشته باشد - یک نقطه شناور از خط. در این حالت بردارهای n → = (A , B) و M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) بر یکدیگر عمود هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

بیایید معادله A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 را بازنویسی کنیم، C = - A x 0 - B y 0 را تعریف کنیم و در نهایت معادله A x + B y + C = 0 را بدست آوریم.

بنابراین، ما جزء دوم قضیه را ثابت کرده ایم و کل قضیه را به طور کلی ثابت کرده ایم.

تعریف 1

معادله ای که به نظر می رسد A x + B y + C = 0 - این هست معادله کلی یک خط مستقیمدر یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی شکلO x y .

بر اساس قضیه اثبات شده، می‌توان نتیجه گرفت که یک خط مستقیم داده‌شده روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت و معادله کلی آن به‌طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. به عبارت دیگر، خط اصلی با معادله کلی آن مطابقت دارد. معادله کلی یک خط مستقیم با یک خط مستقیم مشخص مطابقت دارد.

همچنین از اثبات قضیه برمی‌آید که ضرایب A و B برای متغیرهای x و y مختصات بردار معمولی خط مستقیم هستند که با معادله کلی خط مستقیم Ax + B y + به دست می‌آید. C = 0.

یک مثال خاص از معادله کلی یک خط مستقیم را در نظر بگیرید.

اجازه دهید معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 داده شود که مربوط به یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی است. بردار معمولی این خط بردار است n → = (2، 3). یک خط مستقیم داده شده را در نقاشی بکشید.

موارد زیر را نیز می توان استدلال کرد: خط مستقیمی که در نقاشی می بینیم با معادله کلی 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات تمام نقاط یک خط مستقیم داده شده با این معادله مطابقت دارد.

می‌توانیم معادله λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 را با ضرب دو طرف معادله خط مستقیم عمومی در یک عدد غیر صفر λ بدست آوریم. معادله به دست آمده معادل معادله کلی اصلی است، بنابراین، همان خط را در صفحه توصیف می کند.

تعریف 2

معادله کلی یک خط مستقیم را کامل کنید- چنین معادله کلی از خط A x + B y + C \u003d 0، که در آن اعداد A، B، C غیر صفر هستند. در غیر این صورت، معادله است ناقص.

اجازه دهید همه تغییرات معادله کلی ناقص خط مستقیم را تجزیه و تحلیل کنیم.

1. وقتی A \u003d 0، B ≠ 0، C ≠ 0، معادله کلی B y + C \u003d 0 می شود. چنین معادله کلی ناقص خط مستقیمی را در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y تعریف می کند که موازی با محور Ox است، زیرا برای هر مقدار واقعی x، متغیر y مقدار را به خود می گیرد. - C B. به عبارت دیگر، معادله کلی خط A x + B y + C \u003d 0، زمانی که A \u003d 0، B ≠ 0، مکان نقاط (x، y) را مشخص می کند که مختصات آنها با همان عدد برابر است. - C B.
2. اگر A \u003d 0، B ≠ 0، C \u003d 0، معادله کلی تبدیل به y \u003d 0 می شود. چنین معادله ناقصمحور x Ox را تعریف می کند.
3. وقتی A ≠ 0، B \u003d 0، C ≠ 0، یک معادله کلی ناقص A x + C \u003d 0 دریافت می کنیم که یک خط مستقیم موازی با محور y تعریف می کند.
4. اجازه دهید A ≠ 0، B \u003d 0، C \u003d 0، سپس معادله کلی ناقص به شکل x \u003d 0 خواهد بود و این معادله خط مختصات O y است.
5. در نهایت، وقتی A ≠ 0، B ≠ 0، C \u003d 0، معادله کلی ناقص شکل A x + B y \u003d 0 را به خود می گیرد. و این معادله یک خط مستقیم را توصیف می کند که از مبدا می گذرد. در واقع، جفت اعداد (0، 0) با برابری A x + B y = 0 مطابقت دارد، زیرا A · 0 + B · 0 = 0.

اجازه دهید تمام انواع بالا از معادله کلی ناقص یک خط مستقیم را به صورت گرافیکی نشان دهیم.

مثال 1

مشخص است که خط مستقیم داده شده موازی با محور y است و از نقطه 2 7 , - 11 می گذرد. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

یک خط مستقیم موازی با محور y با معادله ای به شکل A x + C \u003d 0 داده می شود که در آن A ≠ 0 است. شرط همچنین مختصات نقطه ای را که خط از آن می گذرد مشخص می کند و مختصات این نقطه با شرایط معادله کلی ناقص A x + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. برابری صحیح است:

A 2 7 + C = 0

می توان C را با دادن مقداری غیر صفر به A، به عنوان مثال، A = 7 از آن تعیین کرد. در این مورد، ما دریافت می کنیم: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. ما هر دو ضریب A و C را می دانیم، آنها را در معادله A x + C = 0 جایگزین می کنیم و معادله مورد نیاز خط را بدست می آوریم: 7 x - 2 = 0

پاسخ: 7 x - 2 = 0

مثال 2

نقاشی یک خط مستقیم را نشان می دهد، لازم است معادله آن را بنویسید.

راه حل

نقشه داده شده به ما اجازه می دهد تا به راحتی داده های اولیه را برای حل مسئله برداریم. در نقاشی می بینیم که خط داده شده موازی با محور Ox است و از نقطه (0 و 3) می گذرد.

خط مستقیم که موازی با آبسیسا است با معادله کلی ناقص B y + С = 0 تعیین می شود. مقادیر B و C را پیدا کنید. مختصات نقطه (0، 3)، از آنجایی که خط مستقیم داده شده از آن عبور می کند، معادله خط مستقیم B y + С = 0 را برآورده می کند، پس تساوی معتبر است: В · 3 + С = 0. بیایید B را مقداری غیر از صفر قرار دهیم. فرض کنید B \u003d 1، در این مورد، از برابری B · 3 + C \u003d 0 می توانیم C: C \u003d - 3 را پیدا کنیم. ما استفاده می کنیم ارزش های شناخته شده B و C معادله مورد نیاز خط را بدست می آوریم: y - 3 = 0.

پاسخ: y - 3 = 0.

معادله کلی خط مستقیمی که از نقطه معینی از صفحه می گذرد

بگذارید خط داده شده از نقطه M 0 (x 0, y 0) عبور کند، سپس مختصات آن با معادله کلی خط مطابقت دارد، یعنی. برابری درست است: A x 0 + B y 0 + C = 0. سمت چپ و راست این معادله را از سمت چپ و راست کلی کم کنید معادله کاملسر راست. دریافت می کنیم: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0، این معادله معادل معادله اصلی اصلی است، از نقطه M 0 (x 0، y 0) عبور می کند و دارای یک بردار عادی n → \u003d (A, B) .

نتیجه ای که به دست آوردیم امکان نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم را برای مختصات شناخته شده بردار عادی خط مستقیم و مختصات یک نقطه معین از این خط مستقیم فراهم می کند.

مثال 3

با توجه به نقطه M 0 (- 3, 4) که خط از آن عبور می کند و بردار عادی این خط n → = (1، - 2) . نوشتن معادله یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

شرایط اولیه به ما امکان می دهد داده های لازم را برای تدوین معادله به دست آوریم: A \u003d 1، B \u003d - 2، x 0 \u003d - 3، y 0 \u003d 4. سپس:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

مشکل را می شد به گونه ای دیگر حل کرد. معادله کلی یک خط مستقیم به شکل A x + B y + C = 0 است. بردار نرمال داده شده به شما امکان می دهد مقادیر ضرایب A و B را بدست آورید، سپس:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

حالا بیایید مقدار C را با استفاده از نقطه M 0 (- 3, 4) که با شرط مسئله که خط از آن عبور می کند، پیدا کنیم. مختصات این نقطه با معادله x - 2 · y + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. بنابراین C = 11. معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل: x - 2 · y + 11 = 0 است.

پاسخ: x - 2 y + 11 = 0 .

مثال 4

با توجه به یک خط 2 3 x - y - 1 2 = 0 و یک نقطه M 0 که روی این خط قرار دارد. فقط آبسیسا این نقطه مشخص است و برابر با - 3 است. تعیین ترتیب نقطه داده شده ضروری است.

راه حل

بیایید تعیین مختصات نقطه M 0 را x 0 و y 0 قرار دهیم. داده های اولیه نشان می دهد که x 0 \u003d - 3. از آنجایی که نقطه متعلق به یک خط معین است، پس مختصات آن با معادله کلی این خط مطابقت دارد. سپس برابری زیر صادق خواهد بود:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 را تعریف کنید: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

پاسخ: - 5 2

انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم و بالعکس

همانطور که می دانیم چندین نوع از معادله یک خط مستقیم در صفحه وجود دارد. انتخاب نوع معادله به شرایط مسئله بستگی دارد. می توان گزینه ای را انتخاب کرد که برای راه حل آن راحت تر باشد. اینجاست که مهارت تبدیل یک معادله از یک نوع به یک معادله از نوع دیگر بسیار مفید است.

ابتدا، انتقال از معادله عمومی شکل A x + B y + C = 0 به معادله متعارف x - x 1 a x = y - y 1 a y را در نظر بگیرید.

اگر A ≠ 0 باشد، عبارت B y را به آن منتقل می کنیم سمت راستمعادله کلی در سمت چپ، A را از پرانتز خارج می کنیم. در نتیجه به دست می آوریم: A x + C A = - B y .

این برابری را می توان به صورت یک نسبت نوشت: x + C A - B = y A .

اگر B ≠ 0 باشد، فقط عبارت A x را در سمت چپ معادله کلی می گذاریم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم، دریافت می کنیم: A x \u003d - B y - C. ما - B را از پرانتز خارج می کنیم، سپس: A x \u003d - B y + C B.

بیایید تساوی را به صورت نسبت بازنویسی کنیم: x - B = y + C B A .

البته نیازی به حفظ فرمول های به دست آمده نیست. کافی است الگوریتم اقدامات را در طول انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف بدانیم.

مثال 5

معادله کلی خط 3 y - 4 = 0 داده شده است. باید به یک معادله متعارف تبدیل شود.

راه حل

معادله اصلی را به صورت 3 y - 4 = 0 می نویسیم. بعد، طبق الگوریتم عمل می کنیم: عبارت 0 x در سمت چپ باقی می ماند. و در سمت راست بیرون می آوریم - 3 از براکت ها؛ دریافت می کنیم: 0 x = - 3 y - 4 3 .

بیایید تساوی حاصل را به صورت نسبت بنویسیم: x - 3 = y - 4 3 0 . بنابراین، معادله ای از شکل متعارف را به دست آورده ایم.

پاسخ: x - 3 = y - 4 3 0.

برای تبدیل معادله کلی یک خط مستقیم به پارامتری، ابتدا انتقال به شکل متعارف انجام می شود و سپس انتقال از معادله متعارفمستقیم به معادلات پارامتری

مثال 6

خط مستقیم با معادله 2 x - 5 y - 1 = 0 به دست می آید. معادلات پارامتری این خط را بنویسید.

راه حل

بیایید انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را انجام دهیم:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

حال بیایید هر دو بخش از معادله متعارف حاصل را برابر λ در نظر بگیریم، سپس:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

پاسخ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

معادله کلی را می توان به یک معادله خط مستقیم با شیب y = k x + b تبدیل کرد، اما فقط زمانی که B≠ 0 باشد. برای انتقال در سمت چپ، عبارت B y را ترک می کنیم، بقیه به سمت راست منتقل می شوند. دریافت می کنیم: B y = - A x - C . بیایید هر دو قسمت تساوی حاصل را بر B تقسیم کنیم که با صفر متفاوت است: y = - A B x - C B .

مثال 7

معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است: 2 x + 7 y = 0 . شما باید آن معادله را به یک معادله شیب تبدیل کنید.

راه حل

بیایید طبق الگوریتم اقدامات لازم را انجام دهیم:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

پاسخ: y = - 2 7 x .

از معادله کلی یک خط مستقیم، کافی است به سادگی یک معادله در بخش هایی به شکل x a + y b \u003d 1 به دست آوریم. برای انجام چنین انتقالی، عدد C را به سمت راست برابری منتقل می کنیم، هر دو قسمت تساوی حاصل را بر - С تقسیم می کنیم و در نهایت، ضرایب متغیرهای x و y را به مخرج ها منتقل می کنیم:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

لازم است معادله کلی خط مستقیم x - 7 y + 1 2 = 0 به معادله یک خط مستقیم در پاره ها تبدیل شود.

راه حل

بیایید 1 2 را به سمت راست حرکت دهیم: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

دو طرف معادله را بر 1/2- تقسیم کنید: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

پاسخ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

به طور کلی، انتقال معکوس نیز آسان است: از انواع دیگر معادلات به معادلات عمومی.

معادله یک خط مستقیم در بخش ها و معادله با یک شیب را می توان به سادگی با جمع آوری تمام عبارت های سمت چپ معادله به یک معادله کلی تبدیل کرد:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

معادله متعارف طبق طرح زیر به معادله عمومی تبدیل می شود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

برای عبور از پارامتری، ابتدا انتقال به متعارف و سپس به کلی انجام می شود:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

معادلات پارامتری خط راست x = - 1 + 2 · λ y = 4 داده شده است. باید معادله کلی این خط را یادداشت کرد.

راه حل

بیایید انتقال از معادلات پارامتری به استاندارد را انجام دهیم:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

بیایید از متعارف به کلی حرکت کنیم:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

پاسخ: y - 4 = 0

مثال 10

معادله یک خط مستقیم در قطعات x 3 + y 1 2 = 1 داده شده است. لازم است انتقال به نمای کلیمعادلات

راه حل:

بیایید فقط معادله را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

پاسخ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ترسیم معادله کلی خط مستقیم

در بالا گفتیم که معادله کلی را می توان با مختصات مشخص بردار نرمال و مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، نوشت. چنین خط مستقیمی با معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تعریف می شود. در همان مکان مثال مربوطه را تحلیل کردیم.

حالا بیایید بیشتر نگاهی بیندازیم نمونه های پیچیده، که در آن ابتدا لازم است مختصات بردار نرمال مشخص شود.

مثال 11

یک خط موازی با خط 2 x - 3 y + 3 3 = 0 داده می شود. همچنین نقطه M 0 (4، 1) که خط داده شده از آن عبور می کند نیز شناخته شده است. نوشتن معادله یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

شرایط اولیه به ما می گوید که خطوط موازی هستند، در حالی که، به عنوان بردار معمولی خطی که معادله آن باید نوشته شود، بردار هدایت کننده خط n را می گیریم → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. اکنون تمام داده های لازم برای ایجاد معادله کلی یک خط مستقیم را می دانیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

مثال 12

خط داده شده از مبدأ عمود بر خط x - 2 3 = y + 4 5 عبور می کند. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

بردار معمولی خط داده شده بردار هدایت کننده خط x - 2 3 = y + 4 5 خواهد بود.

سپس n → = (3، 5) . خط مستقیم از مبدا می گذرد، یعنی. از نقطه O (0, 0) . بیایید معادله کلی یک خط مستقیم داده شده را بسازیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

پاسخ: 3 x + 5 y = 0 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید