سیستم های نابرابری های خطی مفاهیم اساسی، حل سیستم های نابرابری های خطی

سیستم نابرابری هامرسوم است که هر مجموعه ای از دو یا چند نامساوی را که حاوی یک کمیت مجهول است، نامیده می شود.

این فرمول به وضوح به عنوان مثال، توسط چنین نشان داده شده است سیستم های نابرابری:

سیستم نابرابری ها را حل کنید - به معنای یافتن تمام مقادیر متغیر مجهول که هر نابرابری سیستم برای آنها محقق می شود، یا اثبات اینکه چنین نابرابری وجود ندارد. .

بنابراین، برای هر فرد نابرابری های سیستمیمتغیر مجهول را محاسبه کنید علاوه بر این، از مقادیر به دست آمده، فقط مقادیری را انتخاب می کند که برای هر دو نابرابری اول و دوم صادق هستند. بنابراین، هنگام جایگزینی مقدار انتخاب شده، هر دو نابرابری سیستم صحیح می شوند.

بیایید حل چند نابرابری را تجزیه و تحلیل کنیم:

یکی را زیر جفت دیگر خطوط عددی قرار دهید. مقدار را در بالا قرار دهید ایکس، که تحت آن اولین نامساوی o ( ایکس> 1) درست می شود، و در پایین، مقدار ایکسکه حل نابرابری دوم هستند ( ایکس> 4).

با مقایسه داده ها در خطوط عددی، توجه داشته باشید که راه حل برای هر دو نابرابری هاخواهد بود ایکس> 4. پاسخ دهید، ایکس> 4.

مثال 2

محاسبه اولی نابرابریما -3 می گیریم ایکس< -6, или ایکس> 2، دوم - ایکس> -8 یا ایکس < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения ایکس، که تحت آن اولین نابرابری سیستمو در خط اعداد پایین، تمام آن مقادیر ایکس، که تحت آن نابرابری دوم سیستم محقق می شود.

با مقایسه داده ها، متوجه می شویم که هر دو نابرابری هابرای تمام مقادیر اجرا خواهد شد ایکساز 2 تا 8 قرار گرفته است. مجموعه ای از ارزش ها ایکسمشخص کن نابرابری مضاعف 2 < ایکس< 8.

مثال 3بیایید پیدا کنیم

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در طول مدتی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این بحث شده است شوک منطقیبرای همه نسل های بعدی. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در حال حاضر ادامه دارد تا به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسیم جامعه علمیهنوز موفق نشده... تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشد ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از دیدگاه ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من متوجه شدم، دستگاه ریاضی برای به کارگیری واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. بیانیه انیشتین در مورد غیرقابل عبور بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازنگری و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، و از آنجا که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید نقاط مختلففضا در یک نقطه از زمان است، اما تعیین واقعیت حرکت از آنها غیرممکن است (به طور طبیعی، داده های اضافی برای محاسبات هنوز مورد نیاز است، مثلثات به شما کمک می کند). چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی برای کاوش فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. ما نگاه می کنیم.

همانطور که می بینید، "مجموعه نمی تواند دو عنصر یکسان داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "مولتی مجموعه" می گویند. موجودات عاقل هرگز چنین منطق پوچی را درک نمی کنند. این سطح است طوطی های سخنگوو میمون های تربیت شده که در آنها ذهن از کلمه "به طور کامل" غایب است. ریاضیدانان مانند مربیان عادی عمل می کنند و عقاید پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساختند در هنگام آزمایش پل در قایق زیر پل بودند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "به من فکر کن، من در خانه هستم" یا بهتر است بگوییم "ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کند" پنهان می شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضیات را خیلی خوب خواندیم و حالا پشت میز پول نشسته ایم و حقوق می دهیم. اینجا یک ریاضی دان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می چینیم که در آن اسکناس هایی از همان فرقه می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و «مجموعه حقوق ریاضی» را به ریاضیدان می دهیم. ما ریاضیات را توضیح می دهیم که او بقیه صورت حساب ها را فقط زمانی دریافت می کند که ثابت کند مجموعه بدون عناصر یکسان با مجموعه با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اولاً منطق نمایندگان جواب می دهد: "شما می توانید آن را برای دیگران اعمال کنید، اما برای من نه!" علاوه بر این، ما شروع به اطمینان خواهیم کرد که روی اسکناس هایی با همان ارزش وجود دارد اعداد مختلفصورتحساب، به این معنی که آنها را نمی توان عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، ما حقوق را در سکه حساب می کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار فیزیک را به یاد می آورد: سکه های مختلف دارای مقادیر مختلف کثیفی هستند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است ...

و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: مرزی که در آن سوی عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شود کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم در اینجا حتی نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مساحت فیلدها یکسان است، یعنی ما یک مولتی مجموعه داریم. اما اگر نام همان ورزشگاه ها را در نظر بگیریم، خیلی به دست می آید، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، مجموعه یکسانی از عناصر به طور همزمان هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. چقدر درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شولر یک آستین ترامپ را از آستین خود بیرون می آورد و شروع به گفتن از یک مجموعه یا چند مجموعه به ما می کند. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ «متصور به عنوان یک کل واحد» یا «معمولا به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما آنها برای این کار شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که با آن بتوان مجموع ارقام هر عددی را پیدا کرد. پس از همه، اعداد هستند نمادهای گرافیکی، که با کمک آن اعداد را می نویسیم و به زبان ریاضی وظیفه به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را که نشان دهنده هر عددی هستند را بیابید." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به طور ابتدایی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، فرض کنید که عدد 12345 را داریم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد گرافیکی عدد تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک عکس دریافتی را به چند عکس حاوی اعداد جداگانه برش دادیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. شخصیت های گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را جمع کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 می باشد. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که عدد را در کدام سیستم عددی بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفبا محاسبه، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. از جانب تعداد زیادی 12345 من نمی خواهم سرم را گول بزنم، شماره 26 را از مقاله مربوط به آن در نظر بگیرید. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ در نظر نخواهیم گرفت، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر پیدا کنید، نتایج کاملاً متفاوتی به شما می دهد.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این هم دلیل دیگری بر این واقعیت است که . یک سوال برای ریاضیدانان: چگونه در ریاضیات به چیزی که عدد نیست نشان داده می شود؟ چه چیزی برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ برای شمن ها، من می توانم این اجازه را بدهم، اما برای دانشمندان، نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به‌عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عمل ریاضی به مقدار عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

آخ! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این یک آزمایشگاه برای مطالعه تقدس نامحدود ارواح در هنگام عروج به بهشت ​​است! نیمبوس در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... یک هاله در بالا و یک فلش به پایین نر است.

اگر چنین اثری از هنر طراحی دارید که چندین بار در روز از جلوی چشمانتان چشمک می زند،

پس جای تعجب نیست که شما ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیب چند تصویر: علامت منفی ، شماره چهار ، تعیین درجه). و من این دختر را احمقی نمی دانم که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوسی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. به عنوان مثال.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این یک "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در است سیستم هگزادسیمالحساب کردن افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار عدد و حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

نابرابری ها و سیستم های نابرابری یکی از موضوعاتی است که در آن به آن پرداخته شده است دبیرستاندر جبر از نظر سختی، سخت ترین نیست، زیرا قوانین ساده ای دارد (در مورد آنها کمی بعد). به عنوان یک قاعده، دانش آموزان مدرسه راه حل سیستم های نابرابری را به راحتی یاد می گیرند. این نیز به این دلیل است که معلمان به سادگی دانش آموزان خود را در مورد این موضوع "آموزش" می دهند. و آنها نمی توانند این کار را انجام دهند، زیرا در آینده با استفاده از مقادیر ریاضی دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین برای OGE و آزمون یکپارچه ایالت بررسی می شود. AT کتاب های درسی مدرسهمبحث نابرابری ها و سیستم های نابرابری با جزئیات کامل پوشش داده شده است، بنابراین اگر قصد مطالعه آن را دارید، بهتر است به آنها متوسل شوید. این مقاله فقط مطالب بزرگ را بازگو می کند و ممکن است مواردی از قلم افتاده باشد.

مفهوم سیستم نابرابری

اگر به زبان علمی بپردازیم، می‌توان مفهوم «نظام نابرابری‌ها» را تعریف کرد. این یک مدل ریاضی است که چندین نابرابری را نشان می دهد. این مدل البته نیاز به یک راه حل دارد و پاسخ کلی برای تمام نابرابری های سیستم پیشنهادی در کار خواهد بود (معمولاً در آن نوشته می شود: "نظام نابرابری ها را حل کنید 4 x + 1 > 2 و 30 - x > 6..."). با این حال، قبل از رفتن به انواع و روش های راه حل، باید چیز دیگری را درک کنید.

سیستم های نابرابری ها و سیستم های معادلات

در روند مطالعه موضوع جدیداغلب اوقات سوء تفاهم وجود دارد. از یک طرف، همه چیز روشن است و من ترجیح می دهم شروع به حل وظایف کنم، اما از طرف دیگر، برخی از لحظات در "سایه" می مانند، آنها به خوبی درک نمی شوند. همچنین، برخی از عناصر دانش از قبل به دست آمده را می توان با موارد جدید در هم آمیخت. در نتیجه این "همپوشانی" اغلب خطاها رخ می دهد.

بنابراین، قبل از شروع به تجزیه و تحلیل موضوع خود، باید تفاوت بین معادلات و نابرابری ها، سیستم های آنها را یادآور شویم. برای این کار باید یک بار دیگر توضیح دهید که این مفاهیم ریاضی چیست. یک معادله همیشه یک برابر است و همیشه با چیزی برابر است (در ریاضیات این کلمه با علامت "=" نشان داده می شود). نابرابری مدلی است که در آن یک مقدار یا بزرگتر یا کوچکتر از مقدار دیگر است یا حاوی این ادعا است که آنها یکسان نیستند. بنابراین، در مورد اول، مناسب است در مورد برابری صحبت کنیم، و در مورد دوم، هر چقدر هم که از نام خود واضح به نظر برسد، در مورد نابرابری داده های اولیه. سیستم های معادلات و نابرابری ها عملاً با یکدیگر تفاوتی ندارند و روش حل آنها یکسان است. تنها تفاوت این است که اولی از برابری ها استفاده می کند، در حالی که دومی از نابرابری ها استفاده می کند.

انواع نابرابری ها

دو نوع نامساوی وجود دارد: عددی و با متغیر مجهول. نوع اول مقادیر (اعداد) ارائه شده است که با یکدیگر نابرابر هستند، به عنوان مثال، 8 > 10. دومی نابرابری های حاوی یک متغیر ناشناخته (که با برخی از حروف الفبای لاتین، اغلب X نشان داده شده است). این متغیر باید پیدا شود. بسته به تعداد آنها، مدل ریاضی بین نابرابری ها با یک (آنها سیستمی از نابرابری ها را با یک متغیر می سازند) یا چندین متغیر (یک سیستم نابرابری را با چندین متغیر می سازند) تمایز قائل می شود.

دو نوع آخر با توجه به درجه ساخت و میزان پیچیدگی راه حل به ساده و پیچیده تقسیم می شوند. ساده ها را نابرابری خطی نیز می گویند. آنها به نوبه خود به سختگیرانه و غیر سختگیرانه تقسیم می شوند. به طور خاص "بگویید" که یک مقدار باید یا کمتر یا بیشتر باشد، بنابراین این نابرابری محض است. چندین مثال وجود دارد: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، و غیره. موارد غیر دقیق نیز شامل برابری می شوند. یعنی یک مقدار می تواند بزرگتر یا مساوی با مقدار دیگری باشد (علامت "≥") یا کمتر یا مساوی با مقدار دیگر (علامت "≤"). همچنین در نابرابری های خطی ah متغیر در ریشه، مربع، قابل تقسیم بر چیزی نیست، به همین دلیل است که آنها را "ساده" می نامند. پیچیده شامل متغیرهای ناشناخته است که یافتن آنها نیاز به اجرا دارد بیشترعملیات ریاضی آنها اغلب در یک مربع، مکعب یا زیر ریشه هستند، می توانند مدولار، لگاریتمی، کسری و غیره باشند. اما از آنجایی که وظیفه ما درک حل سیستم های نامساوی است، در مورد سیستم نابرابری های خطی صحبت خواهیم کرد. اما قبل از آن باید چند کلمه در مورد خواص آنها گفت.

ویژگی های نابرابری ها

خواص نابرابری ها شامل مقررات زیر است:

1. اگر عمل تغییر ترتیب اضلاع اعمال شود، علامت نابرابری معکوس می شود (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2، سپس t 2 ≥ t 1).
2. هر دو بخش نابرابری به شما این امکان را می دهند که همان عدد را به خود اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2، سپس t 1 + عدد ≤ t 2 + عدد).
3. دو یا چند نابرابری که علامت یکسانی دارند به شما امکان می‌دهند قسمت چپ و راست آنها را اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، سپس t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. هر دو بخش نابرابری به خود اجازه می دهند که بر یک عدد مثبت یکسان ضرب یا تقسیم شوند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و عدد ≤ 0، آنگاه عدد t 1 ≥ عدد t 2).
5. دو یا چند نابرابری که دارای جملات مثبت و علامتی در یک جهت هستند به خود اجازه می دهند در یکدیگر ضرب شوند (مثلاً اگر t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 سپس t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. هر دو بخش نابرابری به خود اجازه می دهند که در یک عدد منفی یکسان ضرب یا تقسیم شوند، اما علامت نابرابری تغییر می کند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و عدد ≤ 0، سپس عدد t 1 ≥ t 2 ).
7. همه نابرابری ها دارای خاصیت گذر هستند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و t 2 ≤ t 3، سپس t 1 ≤ t 3).

حال پس از مطالعه مفاد اصلی نظریه مربوط به نابرابری ها، می توان مستقیماً به بررسی قواعد حل سیستم های آنها پرداخت.

حل سیستم های نابرابری. اطلاعات کلی. راه حل ها

همانطور که در بالا ذکر شد، راه حل مقادیر متغیری است که با تمام نابرابری های سیستم داده شده مطابقت دارد. حل سیستم های نابرابری، اجرای عملیات ریاضی است که در نهایت به حل کل سیستم می انجامد یا ثابت می کند که هیچ راه حلی ندارد. در این مورد، گفته می شود که متغیر به مجموعه عددی خالی اشاره دارد (به شکل زیر نوشته شده است: حرفی که نشان دهنده یک متغیر است∈ (علامت «متعلق است») ø (علامت «مجموعه خالی»)، به عنوان مثال، x ∈ ø (می خواند: «متغیر «x» متعلق به مجموعه خالی است»). روش های مختلفی برای حل سیستم های نابرابری وجود دارد: روش گرافیکی، جبری، روش جایگزینی. لازم به ذکر است که هستند مدل های ریاضی، که دارای چندین متغیر ناشناخته هستند. در موردی که فقط یکی وجود دارد، روش فاصله مناسب است.

روش گرافیکی

به شما امکان می دهد یک سیستم نابرابری را با چندین مجهول (از دو یا بیشتر) حل کنید. به لطف این روش، سیستم نابرابری های خطی به راحتی و سریع حل می شود، بنابراین رایج ترین روش است. این به این دلیل است که رسم کردن میزان نوشتن عملیات ریاضی را کاهش می دهد. زمانی که کار زیادی انجام شده است و کمی تنوع می خواهید، کمی استراحت از قلم، برداشتن یک مداد با خط کش و انجام اقدامات بعدی با کمک آنها بسیار لذت بخش می شود. با این حال این روشبرخی آن را دوست ندارند زیرا باید از کار جدا شوید و فعالیت ذهنی خود را به نقاشی تغییر دهید. با این حال، این یک راه بسیار موثر است.

برای حل یک سیستم نابرابری با استفاده از روش گرافیکی، لازم است تمام عبارات هر نابرابری به سمت چپ آنها منتقل شود. علائم معکوس خواهند شد، صفر باید در سمت راست نوشته شود، سپس هر نابرابری باید جداگانه نوشته شود. در نتیجه توابع از نابرابری ها به دست خواهند آمد. پس از آن، می توانید یک مداد و یک خط کش دریافت کنید: اکنون باید نموداری از هر تابع به دست آمده را رسم کنید. کل مجموعه اعدادی که در بازه تقاطع آنها خواهد بود، حل سیستم نامساوی خواهد بود.

راه جبری

به شما امکان می دهد یک سیستم نابرابری را با دو متغیر مجهول حل کنید. همچنین، نابرابری‌ها باید علامت نابرابری یکسانی داشته باشند (یعنی فقط علامت «بزرگتر از» یا فقط علامت «کمتر از» و غیره را داشته باشند.) علیرغم محدودیت‌هایی که دارد، این روش نیز پیچیده‌تر است. در دو مرحله اعمال می شود.

اولی شامل اقداماتی برای خلاص شدن از شر یکی از متغیرهای ناشناخته است. ابتدا باید آن را انتخاب کنید، سپس وجود اعداد در مقابل این متغیر را بررسی کنید. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد (پس متغیر شبیه یک حرف واحد خواهد بود)، پس ما چیزی را تغییر نمی دهیم، اگر وجود داشته باشد (نوع متغیر مثلاً 5y یا 12y خواهد بود)، پس باید مطمئن شد که در هر نابرابری عدد مقابل متغیر انتخاب شده یکسان است. برای انجام این کار، باید هر یک از اعضای نابرابری ها را در یک عامل مشترک ضرب کنید، به عنوان مثال، اگر در نامعادله اول 3y و در دومی 5y نوشته شود، باید تمام اعضای نامعادله اول را ضرب کنید. با 5 و دومی با 3. به ترتیب 15 و 15 سال خواهد شد.

مرحله دوم تصمیم گیری لازم است سمت چپ هر نابرابری را با تغییر علامت هر جمله به سمت مقابل به سمت راست آنها منتقل کنید، در سمت راست صفر بنویسید. سپس بخش سرگرم کننده می آید: خلاص شدن از متغیر انتخاب شده (که به عنوان "کاهش" شناخته می شود) در حالی که نابرابری ها را جمع می کند. یک نابرابری با یک متغیر دریافت خواهید کرد که باید حل شود. پس از آن، شما باید همین کار را انجام دهید، فقط با یک متغیر ناشناخته دیگر. نتایج به دست آمده راه حل سیستم خواهد بود.

روش تعویض

به شما این امکان را می دهد که در صورت امکان یک متغیر جدید، سیستمی از نابرابری ها را حل کنید. معمولاً از این روش زمانی استفاده می شود که متغیر مجهول در یک جمله نابرابری به توان چهارم و در جمله دیگر مجذور شود. بنابراین، این روش با هدف کاهش درجه نابرابری در سیستم است. نابرابری نمونه x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 به این ترتیب به صورت زیر حل می شود. یک متغیر جدید معرفی شده است، به عنوان مثال t. آنها می نویسند: "T = x 2"، سپس مدل به شکل جدیدی بازنویسی می شود. در مورد ما، t 2 - t - 1 ≤0 را دریافت می کنیم. این نابرابری باید با روش بازه حل شود (در مورد آن کمی بعد)، سپس به متغیر X برگردید، سپس همین کار را با نابرابری دیگر انجام دهید. پاسخ های دریافتی تصمیم سیستم خواهد بود.

روش فاصله گذاری

این ساده ترین راه برای حل سیستم های نابرابری است و در عین حال جهانی و گسترده است. این در دبیرستان و حتی در دبیرستان استفاده می شود. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که دانش آموز به دنبال فواصل نابرابری در خط اعداد است که در یک دفترچه رسم شده است (این یک نمودار نیست، بلکه فقط یک خط مستقیم معمولی با اعداد است). در جایی که فواصل نابرابری ها تلاقی می کنند، جواب سیستم پیدا می شود. برای استفاده از روش فاصله گذاری، باید مراحل زیر را دنبال کنید:

1. همه اعضای هر نابرابری با تغییر علامت به سمت چپ به سمت چپ منتقل می شوند (در سمت راست صفر نوشته شده است).
2. نابرابری ها به طور جداگانه نوشته می شوند، راه حل هر یک از آنها مشخص می شود.
3. تقاطع نابرابری ها روی خط واقعی پیدا می شود. همه اعداد در این تقاطع ها راه حل خواهند بود.

از کدام راه استفاده کنیم؟

بدیهی است که آسان ترین و راحت ترین به نظر می رسد، اما مواقعی وجود دارد که وظایف به روش خاصی نیاز دارند. اغلب آنها می گویند که باید با استفاده از نمودار یا با استفاده از روش فاصله حل کنید. روش جبری و جایگزینی به ندرت استفاده می شود یا اصلاً استفاده نمی شود ، زیرا کاملاً پیچیده و گیج کننده هستند و علاوه بر این ، بیشتر برای حل سیستم معادلات به جای نامساوی استفاده می شوند ، بنابراین باید به رسم نمودارها و فواصل متوسل شوید. آنها دید را به ارمغان می آورند، که نمی تواند به انجام کارآمد و سریع عملیات ریاضی کمک کند.

اگر چیزی کار نمی کند

در طول مطالعه یک موضوع خاص در جبر، البته ممکن است مشکلاتی در درک آن ایجاد شود. و این طبیعی است، زیرا مغز ما به گونه ای طراحی شده است که قادر به درک مطالب پیچیده در یک حرکت نیست. اغلب شما نیاز دارید که یک پاراگراف را دوباره بخوانید، از یک معلم کمک بگیرید یا حل مسائل معمولی را تمرین کنید. در مورد ما، به عنوان مثال، آنها به این شکل به نظر می رسند: "نظام نابرابری ها را حل کنید 3 x + 1 ≥ 0 و 2 x - 1 > 3". بنابراین، تلاش شخصی، کمک افراد ثالث و تمرین به درک هر موضوع پیچیده کمک می کند.

رشبنیک؟

و کتاب راه حل نیز بسیار مناسب است، اما نه برای تقلب در مشق شب، بلکه برای خودیاری. شما می توانید سیستم های نابرابری را با یک راه حل در آنها پیدا کنید، به آنها نگاه کنید (به عنوان الگو)، سعی کنید بفهمید نویسنده راه حل دقیقا چگونه با این کار کنار آمده است، و سپس سعی کنید آن را به تنهایی انجام دهید.

نتیجه گیری

جبر یکی از سخت ترین درس ها در مدرسه است. خوب، چه کاری می توانید انجام دهید؟ ریاضیات همیشه اینگونه بوده است: برای برخی آسان است و برای برخی دیگر دشوار است. اما در هر صورت باید به خاطر داشت که برنامه آموزش عمومی به گونه ای طراحی شده است که هر دانش آموزی بتواند با آن کنار بیاید. علاوه بر این، باید تعداد زیادی دستیار را در نظر داشته باشید. برخی از آنها در بالا ذکر شده است.

یکی از موضوعاتی که حداکثر توجه و پشتکار دانش آموزان را می طلبد حل نابرابری ها است. بسیار شبیه به معادلات و در عین حال بسیار متفاوت از آنها. زیرا حل آنها نیازمند رویکرد خاصی است.

ویژگی های مورد نیاز برای یافتن پاسخ

همه آنها برای جایگزینی یک ورودی موجود با یک معادل استفاده می شوند. بسیاری از آنها شبیه به آنچه در معادلات بود. اما تفاوت هایی نیز وجود دارد.

• تابعی که در DPV یا هر عددی تعریف شده است را می توان به هر دو قسمت نابرابری اصلی اضافه کرد.
• به طور مشابه، ضرب ممکن است، اما فقط با یک تابع یا عدد مثبت.
• اگر این عمل با یک تابع یا عدد منفی انجام شود، علامت نابرابری باید معکوس شود.
• کارکردهایی که غیرمنفی هستند را می توان به یک قدرت مثبت ارتقا داد.

گاهی اوقات حل نابرابری ها با اقداماتی همراه است که پاسخ های اضافی می دهد. آنها باید با مقایسه ناحیه ODZ و مجموعه راه حل ها حذف شوند.

با استفاده از روش فاصله گذاری

ماهیت آن کاهش نابرابری به معادله ای است که در آن صفر در سمت راست است.

1. ناحیه ای را که مقادیر مجاز متغیرها در آن قرار دارد، یعنی ODZ تعیین کنید.
2. نابرابری را با استفاده از عملیات ریاضی تبدیل کنید تا سمت راست آن صفر شود.
3. علامت نامساوی را با "=" جایگزین کنید و معادله مربوطه را حل کنید.
4. روی محور عددی، تمام پاسخ هایی که در حین حل به دست آمده اند و همچنین فواصل ODZ را علامت بزنید. در صورت نابرابری شدید، نقاط باید سوراخ شوند. اگر علامت مساوی وجود داشته باشد، قرار است روی آنها نقاشی شود.
5. علامت تابع اصلی را در هر بازه حاصل از نقاط ODZ و پاسخ های تقسیم کننده آن مشخص کنید. اگر علامت تابع در هنگام عبور از نقطه ای تغییر نکند، وارد پاسخ می شود. در غیر این صورت منتفی است.
6. نقاط مرزی برای ODZ باید به طور اضافی بررسی شوند و تنها پس از آن در پاسخ گنجانده شوند یا نه.
7. پاسخی که به دست می آید باید به صورت مجموعه های متحد نوشته شود.

کمی در مورد نابرابری های مضاعف

آن ها همزمان از دو علامت نابرابری در رکورد استفاده می کنند. یعنی برخی از عملکردها توسط شرایط دو بار در یک زمان محدود می شود. چنین نابرابری‌هایی به صورت یک سیستم دوتایی حل می‌شوند، زمانی که یکی اصلی به بخش‌ها تقسیم می‌شود. و در روش فواصل، پاسخ از حل هر دو معادله مشخص شده است.

برای حل آنها، استفاده از خواص ذکر شده در بالا نیز مجاز است. با کمک آنها، کاهش نابرابری به صفر راحت است.

در مورد نابرابری هایی که مدول دارند چطور؟

در این مورد، حل نابرابری ها از ویژگی های زیر استفاده می کند و آنها برای مقدار مثبت "a" معتبر هستند.

اگر "x" یک عبارت جبری بگیرد، جایگزین های زیر معتبر هستند:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a روی x< -a или х >آ.

اگر نابرابری ها دقیق نباشند، فرمول ها نیز درست هستند، فقط در آنها، علاوه بر علامت بزرگ یا کمتر، "=" ظاهر می شود.

چگونه سیستم نابرابری ها حل می شود؟

این دانش در مواردی مورد نیاز خواهد بود که چنین وظیفه ای داده شود یا سابقه یک نابرابری مضاعف وجود داشته باشد یا یک ماژول در رکورد ظاهر شود. در چنین شرایطی، راه حل، مقادیری از متغیرها خواهد بود که تمام نابرابری های موجود در رکورد را برآورده می کند. اگر چنین اعدادی وجود نداشته باشند، سیستم هیچ راه حلی ندارد.

طرحی که بر اساس آن حل سیستم نابرابری ها انجام می شود:

• هر کدام را جداگانه حل کنید؛
• تمام فواصل روی محور عددی را به تصویر بکشید و تقاطع آنها را تعیین کنید.
• پاسخ سیستم را بنویسید که اتحاد اتفاقات پاراگراف دوم خواهد بود.

در مورد نابرابری های کسری چطور؟

از آنجایی که در حین حل آنها ممکن است نیاز به تغییر علامت نابرابری باشد، باید تمام نکات طرح را با دقت و دقت بسیار رعایت کرد. در غیر این صورت ممکن است پاسخی برعکس دریافت کنید.

راه حل نابرابری های کسریهمچنین از روش فاصله استفاده می کند. و برنامه عملیاتی این خواهد بود:

• با استفاده از ویژگی های توصیف شده، به کسری شکلی بدهید که فقط صفر در سمت راست علامت باقی بماند.
• نامبرابری را با "="" جایگزین کنید و نقاطی را که تابع برابر با صفر خواهد بود، تعیین کنید.
• آنها را روی محور مختصات علامت گذاری کنید. در این حالت، اعداد حاصل از محاسبات در مخرج همیشه حذف خواهند شد. بقیه بر اساس شرط نابرابری است.
• فواصل پایداری را تعیین کنید.
• در پاسخ، اتحاد آن فواصل را بنویسید که علامت آنها مطابق با نابرابری اولیه است.

موقعیت هایی که بی منطقی در نابرابری ظاهر می شود

به عبارت دیگر، یک ریشه ریاضی در رکورد وجود دارد. از آنجایی که بیشتر تکالیف درس جبر مدرسه برای جبر است، این اوست که در نظر گرفته می شود.

حل نابرابری های غیرمنطقی به دست آوردن یک سیستم دو یا سه است که معادل سیستم اصلی خواهد بود.

نمونه هایی از حل انواع نابرابری ها

برای وضوح بیشتر نظریه حل نابرابری ها، مثال هایی در زیر آورده شده است.

مثال اول 2x - 4 > 1 + x

راه حل: برای تعیین DHS، فقط باید به نابرابری دقت کرد. از تشکیل شده است توابع خطی، بنابراین برای تمام مقادیر متغیر تعریف شده است.

اکنون از هر دو طرف نابرابری باید (1 + x) را کم کنید. معلوم می شود: 2x - 4 - (1 + x) > 0. پس از باز شدن پرانتزها و ارائه عبارت های مشابه، نابرابری به شکل زیر خواهد بود: x - 5 > 0.

با برابر کردن آن با صفر، به راحتی می توان جواب آن را پیدا کرد: x = 5.

حالا این نقطه با عدد 5 روی پرتو مختصات مشخص شود. سپس علائم عملکرد اصلی را بررسی کنید. در بازه اول از منهای بی نهایت تا 5 می توانید عدد 0 را گرفته و آن را به نامساوی به دست آمده پس از تبدیل ها جایگزین کنید. پس از محاسبات به نظر می رسد -7>0. در زیر قوس فاصله باید علامت منفی را امضا کنید.

در فاصله بعدی از 5 تا بی نهایت، می توانید عدد 6 را انتخاب کنید. سپس معلوم می شود که 1 > 0. علامت "+" در زیر قوس امضا می شود. این بازه دوم پاسخ نابرابری خواهد بود.

پاسخ: x در بازه (5؛ ∞) قرار دارد.

مثال دوم برای حل یک سیستم از دو معادله لازم است: 3x + 3 ≤ 2x + 1 و 3x - 2 ≤ 4x + 2.

راه حل. ODZ این نابرابری ها نیز در ناحیه هر عددی قرار دارد، زیرا توابع خطی داده شده است.

نابرابری دوم به شکل معادله زیر خواهد بود: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. پس از تبدیل: -x - 4 =0. برای متغیر مقداری برابر با -4 تولید می کند.

این دو عدد باید روی محور مشخص شوند و فواصل زمانی را نشان دهند. از آنجایی که نابرابری سخت نیست، همه نقاط باید سایه دار شوند. بازه اول از منهای بی نهایت تا -4 است. بگذارید عدد -5 انتخاب شود. نابرابری اول مقدار -3 و دومی 1 را می دهد. بنابراین این فاصله در پاسخ گنجانده نشده است.

بازه دوم از -4 تا -2 است. می توانید عدد -3 را انتخاب کنید و آن را در هر دو نامساوی جایگزین کنید. در اولی و دومی مقدار -1 به دست می آید. بنابراین، در زیر قوس "-".

در آخرین بازه از 2- تا بی نهایت، صفر بهترین عدد است. شما باید آن را جایگزین کنید و مقادیر نابرابری ها را پیدا کنید. در اولی آنها یک عدد مثبت و در دومی صفر به دست می آید. این فاصله نیز باید از پاسخ حذف شود.

از بین سه بازه، تنها یکی راه حل نابرابری است.

پاسخ: x متعلق به [-4; -2].

مثال سوم. |1 - x| > 2 |x - 1|.

راه حل. اولین قدم تعیین نقاطی است که در آن توابع ناپدید می شوند. برای سمت چپ، این عدد 2 خواهد بود، برای سمت راست - 1. آنها باید روی پرتو مشخص شوند و فواصل پایداری باید تعیین شوند.

در بازه اول، از منهای بی نهایت تا 1، تابع سمت چپ نابرابری می گیرد. ارزش های مثبت، و از سمت راست - منفی. در زیر قوس، باید دو علامت "+" و "-" را در کنار یکدیگر بنویسید.

فاصله بعدی از 1 تا 2 است. در آن، هر دو تابع مقادیر مثبت می گیرند. بنابراین، دو مثبت در زیر قوس وجود دارد.

بازه سوم از 2 تا بی نهایت نتیجه زیر را به دست می دهد: تابع چپ منفی است، سمت راست مثبت است.

با در نظر گرفتن علائم حاصل، لازم است مقادیر نابرابری برای تمام فواصل محاسبه شود.

در مورد اول، نابرابری زیر به دست می آید: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). منهای قبل از دو در نابرابری دوم به دلیل منفی بودن این تابع است.

پس از تبدیل، نابرابری به صورت زیر است: x > 0. بلافاصله مقادیر متغیر را می دهد. یعنی از این بازه فقط بازه 0 تا 1 در پاسخ خواهد رفت.

در دوم: 2 - x\u003e 2 (x - 1). تبدیل ها چنین نابرابری را به دست می دهند: -3x + 4 بزرگتر از صفر است. صفر آن مقدار x = 4/3 خواهد بود. با توجه به علامت نابرابری، معلوم می شود که x باید کمتر از این عدد باشد. به این معنی که این فاصله از 1 به 4/3 کاهش می یابد.

دومی رکورد زیر را از نابرابری به دست می دهد: - (2 - x) > 2 (x - 1). تبدیل آن به این منجر می شود: -x > 0. یعنی معادله برای x کمتر از صفر صادق است. این بدان معنی است که نابرابری در بازه مورد نیاز راه حل نمی دهد.

در دو بازه اول، عدد مرز 1 بود. باید جداگانه بررسی شود. یعنی با نابرابری اصلی جایگزین کنید. معلوم شد: |2 - 1| > 2 | 1 - 1|. شمارش نشان می دهد که 1 بزرگتر از 0 است. این یک جمله درست است، بنابراین یک در پاسخ گنجانده شده است.

پاسخ: x در بازه (0؛ 4/3) قرار دارد.

در این مقاله اطلاعات اولیه در مورد سیستم های نابرابری جمع آوری شده است. در اینجا ما یک تعریف از یک سیستم نابرابری و یک تعریف از یک راه حل برای یک سیستم نابرابری ارائه می دهیم. همچنین انواع اصلی سیستم‌هایی را که اغلب باید در درس‌های جبر در مدرسه با آن‌ها کار کنید، فهرست می‌کند و مثال‌هایی آورده شده است.

پیمایش صفحه.

سیستم نابرابری چیست؟

راحت است که سیستم های نابرابری را به همان روشی که تعریف سیستم معادلات را معرفی کردیم، یعنی با توجه به نوع رکورد و معنای تعبیه شده در آن، تعریف کنیم.

تعریف.

سیستم نابرابری هارکوردی است که تعداد معینی از نابرابری‌ها را نشان می‌دهد که یکی زیر دیگری نوشته می‌شوند و در سمت چپ توسط یک براکت فرفری متحد شده‌اند و مجموعه‌ای از همه راه‌حل‌ها را نشان می‌دهد که به طور همزمان راه‌حل هر نابرابری سیستم هستند.

اجازه دهید مثالی از یک سیستم نابرابری ارائه دهیم. دو مورد دلخواه را در نظر بگیرید، برای مثال، 2 x−3>0 و 5−x≥4 x−11، آنها را یکی زیر دیگری بنویسید.
2x−3>0،
5-x≥4 x-11
و با علامت سیستم - یک براکت فرفری متحد شوید، در نتیجه یک سیستم نابرابری به شکل زیر دریافت می کنیم:

به طور مشابه، ایده ای در مورد سیستم های نابرابری در کتاب های درسی مدرسه ارائه شده است. شایان ذکر است که تعاریف در آنها به صورت محدودتر ارائه شده است: برای نابرابری های با یک متغیر یا با دو متغیر

انواع اصلی سیستم های نابرابری

واضح است که تعداد بی نهایت زیاد است سیستم های مختلفنابرابری ها برای اینکه در این تنوع گم نشوید، توصیه می شود آنها را توسط گروه هایی که خود را دارند در نظر بگیرید امکانات. تمام سیستم های نابرابری را می توان بر اساس معیارهای زیر به گروه هایی تقسیم کرد:

• با تعداد نابرابری های سیستم؛
• با تعداد متغیرهای درگیر در ضبط؛
• به دلیل ماهیت نابرابری ها

با توجه به تعداد نابرابری های موجود در رکورد، سیستم های دو، سه، چهار و غیره متمایز می شوند. نابرابری ها در پاراگراف قبل مثالی از سیستمی زدیم که یک سیستم دو نامساوی است. اجازه دهید مثال دیگری از یک سیستم چهار نابرابری را نشان دهیم .

به طور جداگانه، ما می گوییم که منطقی نیست در مورد سیستم یک نابرابری صحبت کنیم، در این مورد، در واقع ما داریم صحبت می کنیمدر مورد خود نابرابری، نه در مورد سیستم.

اگر به تعداد متغیرها نگاه کنید، سیستم های نابرابری با یک، دو، سه و غیره وجود دارد. متغیرها (یا همانطور که می گویند مجهولات). به آخرین سیستم نابرابری که در دو پاراگراف بالا نوشته شده است نگاه کنید. این یک سیستم با سه متغیر x، y و z است. توجه داشته باشید که دو نابرابری اول او شامل هر سه متغیر نیست، بلکه فقط یکی از آنها را شامل می شود. در زمینه این سیستم، آنها را باید به عنوان نابرابری با سه متغیر به شکل x+0 y+0 z≥−2 و 0 x+y+0 z≤5 درک کرد. توجه داشته باشید که مدرسه بر روی نابرابری ها با یک متغیر تمرکز می کند.

باقی مانده است که در مورد چه نوع نابرابری هایی در سیستم های نوشتاری دخیل هستند بحث کنیم. در مدرسه، آنها عمدتاً سیستم های دو نابرابری (کمتر - سه، حتی به ندرت - چهار یا بیشتر) را با یک یا دو متغیر در نظر می گیرند و خود نابرابری ها معمولاً نابرابری های عدد صحیحدرجه اول یا دوم (به ندرت - بیش از درجات بالایا به صورت کسری عقلانی). اما تعجب نکنید اگر در مواد آماده سازی OGE با سیستم هایی از نابرابری های حاوی نابرابری های غیر منطقی، لگاریتمی، نمایی و غیره مواجه شدید. به عنوان مثال، سیستم نابرابری ها را ارائه می کنیم ، برگرفته از .

راه حل یک سیستم نابرابری چیست؟

ما تعریف دیگری را در رابطه با سیستم های نابرابری معرفی می کنیم - تعریف راه حل برای یک سیستم نابرابری:

تعریف.

حل یک سیستم نابرابری با یک متغیربه چنین مقداری از متغیری گفته می شود که هر یک از نابرابری های سیستم را به درست تبدیل می کند، به عبارت دیگر راه حل هر نابرابری سیستم است.

با یک مثال توضیح می دهیم. بیایید یک سیستم دو نامساوی با یک متغیر را در نظر بگیریم. بیایید مقدار متغیر x را برابر با 8 در نظر بگیریم، این یک راه‌حل برای سیستم نابرابری‌های ما است، زیرا جایگزینی آن با نامعادله‌های سیستم، دو نامعادله عددی صحیح 8>7 و 2−3 8≤0 را به دست می‌دهد. برعکس، واحد راه‌حلی برای سیستم نیست، زیرا وقتی آن را جایگزین متغیر x می‌کنیم، اولین نامعادله به یک نامعادله عددی نادرست 1>7 تبدیل می‌شود.

به همین ترتیب، می‌توانیم برای یک سیستم نابرابری با دو، سه یا چند متغیر، راه‌حل را معرفی کنیم:

تعریف.

حل یک سیستم نابرابری با دو، سه و غیره متغیرهاجفت، سه تایی و غیره نامیده می شود. مقادیر این متغیرها که به طور همزمان راه حلی برای هر نابرابری سیستم است، یعنی هر نابرابری سیستم را به یک نابرابری عددی واقعی تبدیل می کند.

به عنوان مثال، یک جفت مقادیر x=1، y=2، یا در نماد دیگری (1، 2) راه حلی برای یک سیستم نابرابری با دو متغیر است، زیرا 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

سیستم های نابرابری ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، ممکن است تعداد راه حل های محدودی داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. اغلب از مجموعه ای از راه حل ها برای یک سیستم نابرابری صحبت می شود. وقتی یک سیستم راه حلی ندارد، مجموعه ای از راه حل های آن خالی است. هنگامی که تعداد راه حل های محدود وجود دارد، مجموعه راه حل ها شامل تعداد محدودی از عناصر است، و زمانی که تعداد راه حل ها بی نهایت باشد، مجموعه راه حل ها از تعداد نامتناهی عنصر تشکیل شده است.

برخی منابع تعاریفی از راه‌حل خاص و کلی برای سیستم نابرابری‌ها ارائه می‌کنند، مثلاً در کتاب‌های موردکوویچ. زیر یک راه حل خاص برای سیستم نابرابری هاتنها راه حل آن را درک کنید. در نوبتش حل کلی سیستم نابرابری ها- اینها همه تصمیمات خصوصی او هستند. با این حال، این عبارات تنها زمانی معنا پیدا می‌کنند که نیاز به تأکید بر راه‌حل مورد بحث باشد، اما معمولاً این موضوع از قبل واضح است، بنابراین بسیار رایج‌تر است که به سادگی بگوییم «راه‌حل یک سیستم نابرابری».

از تعاریف سیستم نابرابری ها و راه حل های آن که در این مقاله معرفی شد، چنین بر می آید که حل یک سیستم نابرابری، محل تلاقی مجموعه راه حل های همه نابرابری های این سیستم است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
2. جبر:پایه نهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-021134-5.
3. موردکوویچ A.G.جبر. درجه 9 در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ سیزدهم، Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. شابک 978-5-346-01752-3.
4. موردکوویچ A.G.جبر و شروع تحلیل ریاضی. درجه 11. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطح مشخصات) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. شابک 978-5-346-01027-2.
5. استفاده کنید-2013. ریاضیات: گزینه های امتحانی معمولی: 30 گزینه / ویرایش. A. L. Semenova، I. V. Yashchenko. - م .: انتشارات "آموزش ملی"، 1391. - 192 ص. - (USE-2013. FIPI - مدرسه).