گاوس معکوس. روش گاوس یا اینکه چرا بچه ها ریاضیات را نمی فهمند
روش گاوسیک روش است طرد متوالیناشناس.
ماهیت روش گاوس تبدیل (1) به سیستمی با ماتریس مثلثی است که از آن مقادیر همه مجهولات به صورت متوالی (معکوس) به دست می آید. بیایید یکی از طرح های محاسباتی را در نظر بگیریم. به این مدار مدار تک تقسیم می گویند. پس بیایید نگاهی به این نمودار بیندازیم. اجازه دهید 11 ≠0 (عنصر اصلی) معادله اول را بر 11 تقسیم کند. گرفتن
(2)
با استفاده از معادله (2)، به راحتی می توان مجهولات x 1 را از معادلات باقیمانده سیستم حذف کرد (برای این، کافی است معادله (2) را از هر معادله قبلاً در ضریب مربوطه در x 1 ضرب کنیم، که است، در اولین قدم به دست می آوریم
.
به عبارت دیگر، در مرحله 1، هر عنصر از سطرهای بعدی، با شروع از دوم، برابر است با تفاوت بین عنصر اصلی و حاصلضرب "طرح" آن در ستون اول و ردیف اول (تبدیل شده).
پس از آن، با رها کردن اولین معادله، بر روی بقیه معادلات سیستم به دست آمده در مرحله اول، تبدیل مشابهی را انجام می دهیم: از بین آنها معادله ای با عنصر اصلی انتخاب می کنیم و از آن برای حذف x 2 از آن استفاده می کنیم. معادلات باقی مانده (مرحله 2).
بعد از n مرحله، به جای (1) یک سیستم معادل بدست می آوریم 
(3)
بدین ترتیب در مرحله اول یک سیستم مثلثی شکل (3) بدست خواهیم آورد. به این مرحله رو به جلو گفته می شود.
در مرحله دوم ( سکته مغزی معکوس) به ترتیب از (3) مقادیر x n , x n -1 , …, x 1 را پیدا می کنیم.
جواب به دست آمده را x 0 نشان می دهیم. سپس تفاوت ε=b-A x 0 باقی مانده نامیده می شود.
اگر ε=0 باشد، جواب یافت شده x 0 صحیح است.
محاسبات به روش گاوس در دو مرحله انجام می شود:
- مرحله اول دوره مستقیم روش نامیده می شود. در مرحله اول، سیستم اصلی به شکل مثلثی تبدیل می شود.
- مرحله دوم معکوس نامیده می شود. در مرحله دوم، یک سیستم مثلثی معادل با سیستم اصلی حل می شود.
در هر مرحله فرض بر این بود که عنصر پیشرو با صفر متفاوت است. اگر اینطور نباشد، می توان از هر عنصر دیگری به عنوان رهبر استفاده کرد، گویی معادلات سیستم را مرتب می کند.
هدف از روش گاوس
روش گاوس برای حل سیستم ها طراحی شده است معادلات خطی. به روش های مستقیم حل اشاره دارد.انواع روش گاوس
- روش کلاسیک گاوس؛
- اصلاحات روش گاوس. یکی از اصلاحات روش گاوسی مدار با انتخاب عنصر اصلی است. یکی از ویژگی های روش گاوس با انتخاب عنصر اصلی، جابجایی معادلات به گونه ای است که در گام k-امین عنصر پیشرو بزرگترین عنصر در ستون k-ام است.
- روش جردن-گاوس؛
تفاوت را نشان دهید روش جردن-گاوساز روش گاوس در مثال ها.
مثال راه حل گاوس
بیایید سیستم را حل کنیم: 
برای راحتی محاسبات، خطوط را عوض می کنیم: 
ردیف دوم را در (2) ضرب کنید. خط 3 را به خط 2 اضافه کنید 
ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. ردیف 2 را به ردیف 1 اضافه کنید 
از خط 1 x 3 را بیان می کنیم:
از خط 2 x 2 را بیان می کنیم:
از خط 3 x 1 را بیان می کنیم:
نمونه ای از راه حل با روش جردن-گاوس
ما همان SLAE را با استفاده از روش Jordano-Gauss حل خواهیم کرد. 
ما به صورت متوالی عنصر تفکیک کننده RE را انتخاب می کنیم که روی مورب اصلی ماتریس قرار دارد.
عنصر فعال کننده برابر با (1) است.
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - عنصر فعال کننده (1)، A و B - عناصر ماتریسی که یک مستطیل را با عناصر STE و RE تشکیل می دهند.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:
| x 1 | x2 | x 3 | ب |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
عنصر فعال کننده برابر با (3) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب کنید که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر فعال کننده RE را شامل می شود.
| x 1 | x2 | x 3 | ب |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
عنصر فعال کننده (-4) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب کنید که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر فعال کننده RE را شامل می شود.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:
| x 1 | x2 | x 3 | ب |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
پاسخ: x 1 = 1، x 2 = 1، x 3 = 1
اجرای روش گاوس
روش گاوس در بسیاری از زبان های برنامه نویسی، به ویژه: پاسکال، سی ++، php، دلفی پیاده سازی شده است، و همچنین یک پیاده سازی آنلاین از روش گاوس وجود دارد.با استفاده از روش گاوس
کاربرد روش گاوس در نظریه بازی ها
در تئوری بازی ها، هنگام یافتن حداکثر استراتژی بهینه بازیکن، یک سیستم معادلات تدوین می شود که با روش گاوس حل می شود.کاربرد روش گاوس در حل معادلات دیفرانسیل
برای جستجوی یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل، ابتدا مشتقات درجه متناظر برای جواب خاص نوشته شده (y=f(A,B,C,D)) را پیدا کنید که در معادله اصلی جایگزین می شوند. بعدی برای پیدا کردن متغیرهای A,B,C,Dیک سیستم معادلات تدوین شده است که با روش گاوس حل می شود.کاربرد روش جردنو گاوس در برنامه ریزی خطی
AT برنامه ریزی خطیبه طور خاص، در روش سیمپلکس برای تبدیل جدول سیمپلکس در هر تکرار، از قانون مستطیل استفاده می شود که از روش جردنو-گاوس استفاده می کند.یکی از روش های جهانی و موثر برای حل سیستم های جبری خطی می باشد روش گاوس ، شامل حذف متوالی مجهولات است.
به یاد بیاورید که این دو سیستم نامیده می شوند معادل (معادل) اگر مجموعه راه حل های آنها یکسان باشد. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس. سیستم های معادل با تحولات ابتدایی معادلات سیستم:
ضرب هر دو طرف معادله در یک عدد غیر صفر؛
افزودن قسمتهای متناظر معادله دیگر، ضرب در عددی غیر از صفر به معادله ای.
جایگشت دو معادله
اجازه دهید سیستم معادلات
فرآیند حل این سیستم به روش گاوس شامل دو مرحله است. در مرحله اول (اجرای رو به جلو)، سیستم با استفاده از تبدیل های اولیه به کاهش می یابد پا گذاشت , یا مثلثی ذهن، و در مرحله دوم (حرکت معکوس) متوالی وجود دارد که از آخرین متغیر شروع می شود، تعریف مجهولات از سیستم گام حاصل.
فرض کنید ضریب این سیستم است 
، در غیر این صورت در سیستم می توان ردیف اول را با هر ردیف دیگری جایگزین کرد به طوری که ضریب در 
با صفر متفاوت بود
بیایید سیستم را تغییر دهیم و ناشناخته ها را حذف کنیم 
در تمام معادلات به جز معادلات اول برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید 
و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید. سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنید 
و آن را به معادله سوم سیستم اضافه کنید. با ادامه این روند، یک سیستم معادل به دست می آوریم
اینجا 
مقادیر جدید ضرایب و عبارات آزاد هستند که پس از مرحله اول به دست می آیند.
به همین ترتیب، با توجه به عنصر اصلی 
، ناشناخته را حذف کنید 
از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول و دوم. ما این روند را تا زمانی که ممکن است ادامه می دهیم، در نتیجه یک سیستم مرحله ای دریافت می کنیم
,
جایی که 
,
,…,
- عناصر اصلی سیستم 
.
اگر در فرآیند رساندن سیستم به یک فرم مرحله ای، معادلات ظاهر می شوند، یعنی برابری های فرم 
، آنها دور ریخته می شوند، زیرا هر مجموعه ای از اعداد آنها را برآورده می کند 
. من چاقم 
پدیدار خواهد شد معادله فرم، که هیچ راه حلی ندارد، این نشان دهنده ناهماهنگی سیستم است.
در مسیر معکوس اولین مجهول از آخرین معادله سیستم گام تبدیل شده بیان می شود 
از طریق تمام ناشناخته های دیگر 
که نامیده می شوند رایگان
.
سپس عبارت متغیر 
از آخرین معادله سیستم به معادله ماقبل آخر جایگزین شده و متغیر از آن بیان می شود. 
. متغیرها به روشی مشابه تعریف می شوند 
. متغیرها 
، که بر حسب متغیرهای آزاد بیان می شوند، نامیده می شوند پایه ای
(وابسته). نتیجه این است تصمیم مشترکسیستم های معادلات خطی
برای پیدا کردن تصمیم خصوصی
سیستم های مجهول مجهول 
در راه حل کلی مقادیر دلخواه تخصیص داده شده و مقادیر متغیرها محاسبه می شود 
.
از نظر فنی راحت‌تر است که تبدیل‌های اولیه را نه به معادلات سیستم، بلکه به ماتریس توسعه‌یافته سیستم تبدیل کنیم.
.
روش گاوس یک روش جهانی است که به شما امکان می دهد نه تنها سیستم های مربعی، بلکه مستطیلی را نیز حل کنید که در آن تعداد مجهولات وجود دارد. 
با تعداد معادلات برابر نیست 
.
مزیت این روش همچنین در این واقعیت نهفته است که در فرآیند حل، ما به طور همزمان سیستم را برای سازگاری بررسی می کنیم، زیرا با کاهش ماتریس تقویت شده 
به شکل پله ای، تعیین رتبه های ماتریس آسان است 
و ماتریس توسعه یافته 
و اعمال کنید قضیه کرونکر-کاپلی
.
مثال 2.1سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید
راه حل. تعداد معادلات 
و تعداد مجهولات 
.
اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را با اختصاص به سمت راست ماتریس ضرایب بسازیم. 
ستون اعضای رایگان 
.
بیایید ماتریس را بیاوریم 
به شکل مثلثی؛ برای انجام این کار، با استفاده از تبدیل های ابتدایی، زیر عناصر در مورب اصلی "0" دریافت می کنیم.
برای به دست آوردن "0" در موقعیت دوم ستون اول، ردیف اول را در (-1) ضرب کنید و به ردیف دوم اضافه کنید.
این تبدیل را به صورت یک عدد (-1) در مقابل خط اول می نویسیم و آن را با فلشی که از خط اول به خط دوم می رود نشان می دهیم.
برای به دست آوردن "0" در موقعیت سوم ستون اول، ردیف اول را در (-3) ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. بیایید این عمل را با یک فلش از خط اول به سوم نشان دهیم.
.
در ماتریس حاصل که در زنجیره ماتریس دوم نوشته شده است، در ستون دوم در موقعیت سوم "0" به دست می آید. برای این کار خط دوم را در (4-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید. در ماتریس به دست آمده، ردیف دوم را در (-1) ضرب می کنیم و ردیف سوم را بر (8-) تقسیم می کنیم. تمام عناصر این ماتریس که زیر عناصر مورب قرار دارند، صفر هستند.
زیرا , این سیستم مشارکتی و خاص است.
سیستم معادلات مربوط به آخرین ماتریس شکل مثلثی دارد:
از آخرین (سومین) معادله 
. در معادله دوم جایگزین کنید و بدست آورید 
.
جایگزین 
و 
در معادله اول می یابیم 
.
در اینجا می توانید یک سیستم معادلات خطی را به صورت رایگان حل کنید روش گاوس آنلایناندازه های بزرگ در اعداد مختلط با یک راه حل بسیار دقیق. ماشین حساب ما می تواند هر دو سیستم معین و نامعین معمولی معادلات خطی را با استفاده از روش گاوسی که تعداد بی نهایت راه حل دارد را به صورت آنلاین حل کند. در این صورت، در پاسخ، وابستگی برخی از متغیرها را از طریق متغیرهای دیگر، رایگان دریافت خواهید کرد. همچنین می توانید با استفاده از راه حل گاوسی، سیستم معادلات را برای سازگاری آنلاین بررسی کنید.
درباره روش
هنگام حل یک سیستم معادلات خطی روش آنلاینگاوس مراحل زیر را انجام می دهد.
- ماتریس تقویت شده را می نویسیم.
- در واقع راه حل به گام های رو به جلو و عقب روش گاوسی تقسیم می شود. حرکت مستقیم روش گاوس را کاهش ماتریس به شکل پلکانی می گویند. حرکت معکوس روش گاوس کاهش یک ماتریس به یک فرم پلکانی خاص است. اما در عمل راحت‌تر است که فوراً آنچه را که در بالا و پایین عنصر مورد نظر قرار دارد صفر کنید. ماشین حساب ما دقیقاً از این روش استفاده می کند.
- توجه به این نکته ضروری است که هنگام حل با روش گاوس، وجود حداقل یک ردیف صفر با غیر صفر در ماتریس سمت راست(ستون اعضای آزاد) نشان دهنده ناسازگاری سیستم است. راه حل سیستم خطی در این مورد وجود ندارد.
برای درک بهتر نحوه عملکرد الگوریتم گاوسی به صورت آنلاین، هر مثالی را وارد کنید، "بسیار" را انتخاب کنید راه حل دقیقو راه حل او را به صورت آنلاین جستجو کنید.
اجازه دهید یک سیستم خطی معادلات جبری، که باید حل شود (مقادیر مجهول xi را پیدا کنید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).
می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:
1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریس در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به پاسخ هدایت کنید! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان دبستانی نیز قابل دسترسی است.
تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:
1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها
2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا وجود داشته باشد)، پس از آن حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک.
3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.
4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر
5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.
در روش گاوس تحولات ابتداییحل سیستم معادلات را تغییر ندهید.
روش گاوس شامل دو مرحله است:
- "حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات جبری خطی را به شکل پلکانی "مثلثی" بیاورید: عناصر ماتریس توسعه یافته که در زیر مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). ). به عنوان مثال، به این نوع:
برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:
1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). ما در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم، اولین رابطه را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات، به جز اولی، با مجهول x 1 ضریب 0 نخواهند داشت.
2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.
3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.
- "حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.
مثال.
ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:
ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:
ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله
. به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.
اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).
2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.
3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.
4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.
5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.
نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به (0 0 11 | 23) در زیر به دست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات
ما حرکت معکوس را انجام می دهیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. در این مثال، هدیه معلوم شد:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1
پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.
بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.
x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.
با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.
این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و به آن توجهی نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.
برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی
blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.
موسسه آموزشی "ایالت بلاروس
فرهنگستان کشاورزی"
گروه ریاضیات عالی
برای مطالعه موضوع "روش گاوس برای حل سیستم های خطی
معادلات» توسط دانشجویان دانشکده حسابداری فرم غیبتآموزش و پرورش (NISPO)
گورکی، 2013
روش گاوس برای حل سیستم معادلات خطی
سیستم معادلات معادل
دو سیستم معادلات خطی در صورتی معادل نامیده می شوند که هر جواب یکی از آنها راه حل دیگری باشد. فرآیند حل یک سیستم معادلات خطی شامل تبدیل متوالی آن به یک سیستم معادل با استفاده از به اصطلاح است. تحولات ابتدایی ، که هستند:
1) جایگشت هر دو معادله سیستم.
2) ضرب هر دو قسمت هر معادله سیستم در یک عدد غیر صفر.
3) به هر معادله ای معادله دیگری را که در هر عددی ضرب می شود اضافه کنید.
4) حذف یک معادله متشکل از صفر، یعنی. معادلات نوع
حذف گاوسی
سیستم را در نظر بگیرید مترمعادلات خطی با nناشناس:
ماهیت روش گاوس یا روش حذف متوالی مجهولات به شرح زیر است.
ابتدا با کمک تبدیل های ابتدایی، مجهول از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول حذف می شود. چنین تحولات سیستم نامیده می شود مرحله حذف گاوسی . مجهول نامیده می شود حل متغیر در اولین گام تحول ضریب نامیده می شود فاکتور وضوح ، معادله اول نامیده می شود حل معادله ، و ستون ضرایب در فعال کردن ستون .
هنگام انجام یک مرحله حذف گاوسی، باید از آن استفاده کنید قوانین زیر:
1) ضرایب و مدت آزاد معادله حل بدون تغییر باقی می مانند.
2) ضرایب ستون حل، واقع در زیر ضریب حل، به صفر تبدیل می شود.
3) سایر ضرایب و عبارات آزاد در مرحله اول طبق قانون مستطیل محاسبه می شود:
، جایی که من=2,3,…,متر; j=2,3,…,n.
ما در معادله دوم سیستم، تبدیل های مشابهی را انجام می دهیم. این منجر به سیستمی می شود که در آن مجهول در تمام معادلات به جز دو معادله اول حذف می شود. در نتیجه چنین تبدیل هایی بر روی هر یک از معادلات سیستم (روش گاوس مستقیم)، سیستم اصلی به یک سیستم پله ای معادل یکی از انواع زیر کاهش می یابد.
روش گاوس معکوس
سیستم گام
دارای شکل مثلثی و تمام 
(من=1,2,…,n). چنین سیستمی راه حل منحصر به فردی دارد. مجهولات با شروع معادله آخر (معکوس روش گاوس) تعیین می شوند.
سیستم گام دارای فرم است
کجا، یعنی تعداد معادلات سیستم کمتر یا مساوی تعداد مجهولات است. این سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا آخرین معادله برای هیچ مقداری از متغیر برقرار نخواهد بود.
سیستم نمای پلکانی
دارای بی نهایت راه حل از آخرین معادله مجهول بر حسب مجهولات بیان می شود 
. سپس به جای مجهول، بیان آن بر حسب مجهولات در معادله ماقبل آخر جایگزین می شود. . ادامه مسیر معکوس روش گاوس، مجهولات 
را می توان بر حسب مجهولات بیان کرد . در این مورد، ناشناخته تماس گرفت رایگان
و می تواند هر مقدار و ناشناخته ای را بگیرد 
پایه ای.
هنگام حل سیستم ها در عمل، راحت است که همه تبدیل ها را نه با یک سیستم معادلات، بلکه با یک ماتریس توسعه یافته سیستم، متشکل از ضرایب مجهولات و ستونی از عبارت های آزاد، انجام دهیم.
مثال 1. حل یک سیستم معادلات 
راه حل. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بسازیم و تبدیلات اولیه را انجام دهیم:
.
در ماتریس توسعه یافته سیستم، عدد 3 (که مشخص شده است) ضریب وضوح، سطر اول ردیف وضوح و ستون اول ستون وضوح است. هنگام انتقال به ماتریس بعدی، ردیف حل تغییر نمی کند، تمام عناصر ستون حل زیر عنصر حل با صفر جایگزین می شوند. و تمام عناصر دیگر ماتریس طبق قانون چهار ضلعی دوباره محاسبه می شوند. به جای عنصر 4 در خط دوم می نویسیم 
، به جای عنصر -3 در خط دوم نوشته می شود 
و غیره. بنابراین، ماتریس دوم به دست می آید. این ماتریس دارای عنصر حل کننده شماره 18 در ردیف دوم خواهد بود. برای تشکیل ماتریس بعدی (ماتریس سوم)، ردیف دوم را بدون تغییر رها می کنیم، در ستون زیر عنصر حل، صفر می نویسیم و دو عنصر باقی مانده را دوباره محاسبه می کنیم: به جای عدد 1، می نویسیم. 
و به جای عدد 16 می نویسیم.
در نتیجه، سیستم اصلی به یک سیستم معادل کاهش می یابد
از معادله سوم پیدا می کنیم 
. این مقدار را با معادله دوم جایگزین کنید: 
y=3. مقادیر یافت شده را در معادله اول جایگزین کنید yو z: 
, ایکس=2.
بنابراین، راه حل این سیستم معادلات است ایکس=2, y=3, 
.
مثال 2. حل یک سیستم معادلات 
راه حل. بیایید تبدیل های اولیه را روی ماتریس توسعه یافته سیستم انجام دهیم:
در ماتریس دوم، هر عنصر ردیف سوم بر 2 تقسیم می شود.
در ماتریس چهارم، هر عنصر ردیف سوم و چهارم بر 11 تقسیم شد.
. ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد 
حل این سیستم، پیدا می کنیم 
, 
, .
مثال 3. حل یک سیستم معادلات
راه حل. بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و تبدیلات اولیه را انجام دهیم:
.
در ماتریس دوم، هر عنصر ردیف دوم، سوم و چهارم بر 7 تقسیم شد.
در نتیجه سیستم معادلات
معادل اصل
از آنجایی که دو معادله کمتر از مجهولات وجود دارد، پس از معادله دوم 
. عبارت را در معادله اول جایگزین کنید: 
.
بنابراین فرمول ها 
جواب کلی این سیستم معادلات را بدهید. ناشناخته و رایگان هستند و می توانند هر ارزشی داشته باشند.
اجازه دهید، برای مثال، 
سپس 
و 
. راه حل 
یکی از راه حل های خاص سیستم است که تعداد بیشماری از آن وجود دارد.
پرسش هایی برای خودکنترلی دانش
1) چه تحولاتی سیستم های خطیابتدایی نامیده می شود؟
2) چه دگرگونی های سیستم را مرحله حذف گاوسی می نامند؟
3) متغیر حل، ضریب حل، ستون حل چیست؟
4) هنگام انجام یک مرحله حذف گاوسی از چه قوانینی باید استفاده کرد؟
بارگذاری...