روش گاوس معکوس آنلاین. روش گاوس معکوس

از آغاز قرن 16-18، ریاضیدانان به طور فشرده شروع به مطالعه توابع کردند، که به لطف آن چیزهای زیادی در زندگی ما تغییر کرده است. فناوری کامپیوتر بدون این دانش به سادگی وجود نخواهد داشت. برای حل مسائل پیچیده، معادلات و توابع خطی، مفاهیم، قضایا و تکنیک های حل مختلفی ایجاد شده است. یکی از این راه ها و روش های جهانی و عقلانی حل است معادلات خطیو سیستم آنها به روش گاوسی تبدیل شد. ماتریس ها، رتبه آنها، تعیین کننده - همه چیز را می توان بدون استفاده از عملیات پیچیده محاسبه کرد.

SLAU چیست

در ریاضیات، مفهوم SLAE وجود دارد - یک سیستم خطی معادلات جبری. او چه چیزی را نمایندگی می کند؟ این مجموعه ای از معادلات m با n مجهول مورد نیاز است که معمولاً به صورت x، y، z، یا x 1، x 2 ... x n یا نمادهای دیگر نشان داده می شود. حل این سیستم با روش گاوسی به معنای یافتن همه مجهولات است. اگر سیستمی تعداد مجهولات و معادلات یکسانی داشته باشد آنگاه سیستم مرتبه n نامیده می شود.

محبوب ترین روش ها برای حل SLAE

AT موسسات آموزشیآموزش متوسطه در حال مطالعه تکنیک های مختلف برای حل چنین سیستم هایی هستند. اغلب این معادلات ساده، متشکل از دو مجهول است، بنابراین هر روش موجود برای یافتن پاسخ آنها زمان زیادی نمی برد. این می تواند مانند یک روش جایگزینی باشد، زمانی که معادله دیگری از یک معادله مشتق شده و به معادله اصلی جایگزین شود. یا تفریق و جمع ترم به عبارت. اما روش گاوس ساده ترین و جهانی ترین در نظر گرفته می شود. حل معادلات با هر تعداد مجهول را ممکن می سازد. چرا این تکنیک منطقی تلقی می شود؟ همه چیز ساده است. روش ماتریسینکته خوب این است که در اینجا لازم نیست کاراکترهای غیر ضروری را چندین بار به شکل مجهول بازنویسی کنید، کافی است عملیات حسابی روی ضرایب انجام دهید - و نتیجه قابل اعتمادی خواهید گرفت.

SLAEها در عمل در کجا استفاده می شوند؟

راه حل SLAE نقاط تقاطع خطوط روی نمودار توابع هستند. در عصر کامپیوتر پیشرفته ما، افرادی که از نزدیک در توسعه بازی ها و سایر برنامه ها درگیر هستند باید بدانند چگونه چنین سیستم هایی را حل کنند، چه چیزی را نشان می دهند و چگونه صحت نتیجه حاصل را بررسی کنند. اغلب، برنامه نویسان ماشین حساب های جبر خطی ویژه ای را توسعه می دهند، این شامل یک سیستم معادلات خطی است. روش گاوس به شما امکان می دهد تمام راه حل های موجود را محاسبه کنید. سایر فرمول ها و تکنیک های ساده شده نیز استفاده می شود.

معیار سازگاری SLAE

چنین سیستمی تنها در صورتی قابل حل است که سازگار باشد. برای وضوح، ما SLAE را به شکل Ax=b ارائه می کنیم. اگر rang(A) برابر با rang(A,b) باشد راه حل دارد. در این مورد، (A,b) یک ماتریس فرم توسعه یافته است که می توان از ماتریس A با بازنویسی آن با عبارت های آزاد به دست آورد. به نظر می رسد که حل معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی بسیار آسان است.

شاید برخی از نمادها کاملاً واضح نباشد، بنابراین لازم است همه چیز را با یک مثال در نظر بگیریم. فرض کنید یک سیستم وجود دارد: x+y=1; 2x-3y=6. این فقط از دو معادله تشکیل شده است که در آنها 2 مجهول وجود دارد. سیستم تنها در صورتی راه حل خواهد داشت که رتبه ماتریس آن با رتبه ماتریس تقویت شده برابر باشد. رتبه چیست؟ این تعداد خطوط مستقل سیستم است. در مورد ما، رتبه ماتریس 2 است. ماتریس A شامل ضرایبی است که در نزدیکی مجهولات قرار دارند و ضرایب پشت علامت "=" نیز در ماتریس گسترش یافته قرار می گیرند.

چرا SLAE را می توان به شکل ماتریس نشان داد

بر اساس معیار سازگاری بر اساس قضیه اثبات شده کرونکر-کاپلی، سیستم معادلات جبری خطی را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. با استفاده از روش آبشار گاوسی، می توانید ماتریس را حل کنید و تنها پاسخ قابل اعتماد برای کل سیستم را دریافت کنید. اگر رتبه یک ماتریس معمولی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته آن باشد، اما کمتر از تعداد مجهولات باشد، آنگاه سیستم بی نهایت پاسخ دارد.

تبدیل های ماتریسی

قبل از رفتن به حل ماتریس ها، لازم است بدانیم چه اقداماتی را می توان روی عناصر آنها انجام داد. چندین تغییر اساسی وجود دارد:

با بازنویسی سیستم به شکل ماتریسی و انجام حل آن، می توان تمام عناصر سری را در یک ضریب ضرب کرد.
برای تبدیل یک ماتریس به فرم متعارف، می توان دو ردیف موازی را با هم عوض کرد. شکل متعارف نشان می دهد که تمام عناصر ماتریس که در امتداد مورب اصلی قرار دارند یک می شوند و بقیه به صفر تبدیل می شوند.
عناصر مربوط به ردیف های موازی ماتریس را می توان یکی به دیگری اضافه کرد.

روش جردن-گاوس

ماهیت حل سیستم های خطی همگن و معادلات ناهمگنروش گاوسی حذف تدریجی مجهولات است. فرض کنید سیستمی متشکل از دو معادله داریم که در آن دو مجهول وجود دارد. برای پیدا کردن آنها، باید سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید. معادله گاوسی بسیار ساده حل شده است. لازم است ضرایب واقع در نزدیکی هر مجهول را به صورت ماتریسی بنویسید. برای حل سیستم، باید ماتریس تقویت شده را بنویسید. اگر یکی از معادلات دارای تعداد مجهول کمتری باشد، باید به جای عنصر گمشده، «0» قرار داده شود. همه در ماتریس اعمال می شود روش های شناخته شدهتبدیل: ضرب، تقسیم بر یک عدد، اضافه کردن عناصر مربوط به سری به یکدیگر و موارد دیگر. به نظر می رسد که در هر ردیف لازم است یک متغیر با مقدار "1" بگذارید، بقیه باید به صفر کاهش یابد. برای درک دقیق تر، لازم است روش گاوس را با مثال در نظر بگیریم.

یک مثال ساده از حل یک سیستم 2x2

برای شروع، بیایید یک سیستم ساده از معادلات جبری را در نظر بگیریم که در آن 2 مجهول وجود خواهد داشت.

بیایید آن را در یک ماتریس تقویت شده بازنویسی کنیم.

برای حل این سیستم معادلات خطی، تنها دو عمل مورد نیاز است. ما باید ماتریس را به شکل متعارف برسانیم تا واحدهایی در امتداد مورب اصلی وجود داشته باشد. بنابراین، با ترجمه از فرم ماتریس به سیستم، معادلات 1x+0y=b1 و 0x+1y=b2 را بدست می آوریم، که در آن b1 و b2 پاسخ هایی هستند که در فرآیند حل به دست می آیند.

اولین مرحله در حل ماتریس تقویت شده به این صورت خواهد بود: ردیف اول باید در 7- ضرب شود و عناصر مربوطه را به ترتیب به ردیف دوم اضافه کرد تا از شر یک مجهول در معادله دوم خلاص شود.
از آنجایی که حل معادلات به روش گاوس مستلزم رساندن ماتریس به شکل متعارف است، بنابراین لازم است همان عملیات را با معادله اول انجام دهیم و متغیر دوم را حذف کنیم. برای انجام این کار، خط دوم را از خط اول کم می کنیم و پاسخ لازم را می گیریم - حل SLAE. یا همانطور که در شکل نشان داده شده است، ردیف دوم را در ضریب ۱- ضرب می کنیم و عناصر ردیف دوم را به ردیف اول اضافه می کنیم. این هم همینطور.

همانطور که می بینید، سیستم ما با روش جردن-گاوس حل می شود. ما آن را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم: x=-5، y=7.

نمونه ای از حل SLAE 3x3

فرض کنید سیستم پیچیده تری از معادلات خطی داریم. روش گاوس امکان محاسبه پاسخ را حتی برای به ظاهر گیج کننده ترین سیستم فراهم می کند. بنابراین، برای کاوش بیشتر در روش محاسبه، می توانید به موارد بیشتری بروید مثال پیچیدهبا سه مجهول

مانند مثال قبلی، سیستم را به شکل یک ماتریس بسط یافته بازنویسی می کنیم و شروع به آوردن آن به شکل متعارف می کنیم.

برای حل این سیستم، باید اقدامات بسیار بیشتری نسبت به مثال قبلی انجام دهید.

ابتدا باید در ستون اول یک عنصر واحد و بقیه صفر ایجاد کنید. برای این کار، معادله اول را در -1 ضرب کرده و معادله دوم را به آن اضافه کنید. مهم است که به یاد داشته باشید که ما خط اول را به شکل اصلی آن بازنویسی می کنیم و خط دوم - قبلاً به شکل اصلاح شده.
سپس همان مجهول اول را از معادله سوم حذف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم. اکنون خطوط اول و دوم به شکل اصلی خود بازنویسی می شوند، و سوم - در حال حاضر با تغییرات. همانطور که از نتیجه می بینید، اولین مورد را در ابتدای قطر اصلی ماتریس به دست آوردیم و بقیه صفر هستند. چند عمل دیگر، و سیستم معادلات با روش گاوس به طور قابل اعتماد حل خواهد شد.
اکنون باید عملیاتی را روی عناصر دیگر ردیف ها انجام دهید. مراحل سوم و چهارم را می توان در یکی ترکیب کرد. باید خطوط دوم و سوم را بر 1- تقسیم کنیم تا خطوط منفی روی مورب خلاص شویم. ما قبلاً خط سوم را به فرم مورد نیاز آورده ایم.
بعد، خط دوم را متعارف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف سوم را در -3 ضرب می کنیم و به خط دوم ماتریس اضافه می کنیم. از نتیجه می توان دریافت که خط دوم نیز به شکل مورد نیاز ما کاهش می یابد. باقی مانده است که چند عملیات دیگر انجام دهیم و ضرایب مجهولات را از ردیف اول حذف کنیم.
برای ایجاد 0 از عنصر دوم ردیف، باید ردیف سوم را در -3 ضرب کنید و به ردیف اول اضافه کنید.
مرحله تعیین کننده بعدی اضافه کردن عناصر ضروری ردیف دوم به ردیف اول است. بنابراین شکل متعارف ماتریس و بر این اساس، پاسخ را می گیریم.

همانطور که می بینید، حل معادلات با روش گاوس بسیار ساده است.

مثالی از حل یک سیستم معادلات 4*4

برخی از سیستم های پیچیده تر معادلات را می توان با روش گاوسی با استفاده از برنامه های کامپیوتری حل کرد. لازم است ضرایب مجهولات را به سلول های خالی موجود هدایت کنیم و برنامه نتیجه مورد نیاز را گام به گام محاسبه می کند و هر عمل را با جزئیات شرح می دهد.

در زیر شرح داده شده است آموزش گام به گامراه حل های این مثال

در مرحله اول ضرایب رایگان و اعداد مجهولات در سلول های خالی وارد می شوند. بنابراین، همان ماتریس تقویت شده ای را که با دست می نویسیم، دریافت می کنیم.

و تمام عملیات حسابی لازم برای رساندن ماتریس توسعه یافته به شکل متعارف انجام می شود. باید درک کرد که پاسخ به یک سیستم معادلات همیشه اعداد صحیح نیست. گاهی اوقات راه حل می تواند از اعداد کسری باشد.

بررسی صحت محلول

روش جردن-گاوس بررسی صحت نتیجه را فراهم می کند. برای اینکه بفهمید آیا ضرایب به درستی محاسبه می شوند، فقط باید نتیجه را با سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. سمت چپ معادله باید با سمت راست که پشت علامت تساوی است مطابقت داشته باشد. اگر پاسخ ها مطابقت ندارند، باید سیستم را دوباره محاسبه کنید یا سعی کنید روش دیگری را برای حل SLAE که برای شما شناخته شده است، مانند جایگزینی یا تفریق و جمع ترم به ترم اعمال کنید. از این گذشته ، ریاضیات علمی است که تعداد زیادی روش مختلف برای حل دارد. اما به یاد داشته باشید: نتیجه باید همیشه یکسان باشد، مهم نیست از چه روش راه حلی استفاده کرده اید.

روش گاوس: رایج ترین خطاها در حل SLAE

در حین حل سیستم های خطی معادلات، اغلب خطاهایی مانند انتقال نادرست ضرایب به یک فرم ماتریسی رخ می دهد. سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعدادی مجهول در یکی از معادلات وجود ندارد، سپس با انتقال داده ها به ماتریس گسترش یافته، می توان آنها را از دست داد. در نتیجه، هنگام حل این سیستم، نتیجه ممکن است با واقعی مطابقت نداشته باشد.

یکی دیگر از اشتباهات اصلی می تواند نوشتن نادرست نتیجه نهایی باشد. باید به وضوح درک کرد که ضریب اول با اولین ناشناخته از سیستم، دوم - به دوم و غیره مطابقت دارد.

روش گاوس حل معادلات خطی را با جزئیات شرح می دهد. با تشکر از او، انجام عملیات لازم و یافتن نتیجه مناسب آسان است. علاوه بر این، این یک ابزار جهانی برای یافتن پاسخ قابل اعتماد برای معادلات با هر پیچیدگی است. شاید به همین دلیل است که اغلب در حل SLAE استفاده می شود.

روش گاوسعالی برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE). چندین مزیت نسبت به روش های دیگر دارد:

اولاً، نیازی به پیش‌بررسی سیستم معادلات برای سازگاری نیست.
ثانیاً، روش گاوس را می توان نه تنها برای حل SLAE هایی که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و ماتریس اصلی سیستم غیرمنحط است، بلکه برای سیستم هایی از معادلات که در آنها تعداد معادلات منطبق نیست، استفاده کرد. با تعداد متغیرهای مجهول یا تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر است.
ثالثاً، روش گاوسی منجر به نتیجه ای با تعداد نسبتاً کمی از عملیات محاسباتی می شود.

بررسی مختصر مقاله.

ابتدا تعاریف لازم را ارائه می کنیم و نمادهایی را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، الگوریتم روش گاوس را برای ساده ترین حالت توصیف می کنیم، یعنی برای سیستم های معادلات جبری خطی، تعداد معادلاتی که در آنها با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم نیست. برابر با صفر هنگام حل چنین سیستم های معادلات، ماهیت روش گاوس به وضوح قابل مشاهده است، که شامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است. بنابراین روش گاوسی را روش حذف متوالی مجهولات نیز می نامند. بیایید نشان دهیم راه حل های دقیقچند نمونه

در نتیجه، ما حل گاوسی سیستم های معادلات جبری خطی را در نظر می گیریم که ماتریس اصلی آن مستطیل یا منحط است. راه حل چنین سیستم هایی دارای ویژگی هایی است که با استفاده از مثال ها به تفصیل آن ها را تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعاریف اساسی و نماد.

سیستمی از p معادلات خطی با n مجهول را در نظر بگیرید (p می تواند برابر با n باشد):

جایی که متغیرهای ناشناخته هستند، اعداد (واقعی یا مختلط) هستند، اعضای آزاد هستند.

اگر یک ، سپس سیستم معادلات جبری خطی نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول که در آن تمام معادلات سیستم به هویت تبدیل می شوند، نامیده می شود. تصمیم SLAU.

اگر حداقل یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی وجود داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل، در غیر این صورت - ناسازگار.

اگر SLAE داشته باشد تنها تصمیم، سپس نامیده می شود مسلم - قطعی. اگر بیش از یک راه حل وجود داشته باشد، سیستم فراخوانی می شود نا معلوم.

گفته می شود که این سیستم در نوشته شده است فرم مختصاتاگر فرم داشته باشد
.

این سیستم در فرم ماتریسیرکورد دارای فرم، جایی است - ماتریس اصلی SLAE، - ماتریس ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس اعضای آزاد.

اگر ماتریس-ستون عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n + 1) - به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس تقویت شده با حرف T مشخص می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود.

ماتریس مربع A نامیده می شود منحطاگر تعیین کننده آن صفر باشد. اگر، ماتریس A فراخوانی می شود غیر منحط.

نکته زیر باید مورد توجه قرار گیرد.

اگر اعمال زیر با سیستم معادلات جبری خطی انجام شود

مبادله دو معادله،
هر دو طرف هر معادله ای را در یک عدد واقعی (یا مختلط) دلخواه و غیر صفر ضرب کنید،
به هر دو قسمت هر معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را با عدد دلخواه k ضرب کنید،

سپس یک سیستم معادل به دست می آوریم که راه حل های یکسانی دارد (یا، مانند نمونه اصلی، هیچ راه حلی ندارد).

برای یک ماتریس توسعه یافته از یک سیستم معادلات جبری خطی، این اقدامات به معنای تبدیل های ابتدایی با ردیف ها هستند:

تعویض دو رشته
ضرب تمام عناصر هر ردیف از ماتریس T در عدد غیر صفر k،
به عناصر هر ردیف از ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر را که در عدد دلخواه k ضرب می شود، اضافه می کنیم.

حال می توانیم به توضیح روش گاوس برویم.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، به روش گاوس.

اگر وظیفه یافتن راه حلی برای یک سیستم معادلات به ما محول شود، در مدرسه چه می کنیم؟ .

برخی این کار را انجام می دهند.

توجه داشته باشید که با اضافه کردن سمت چپ معادله اول به سمت چپ معادله دوم و سمت راست به سمت راست، می توانید از شر متغیرهای مجهول x 2 و x 3 خلاص شوید و بلافاصله x 1 را پیدا کنید:

مقدار یافت شده x 1 \u003d 1 را در معادلات اول و سوم سیستم جایگزین می کنیم:

اگر هر دو قسمت از معادله سوم سیستم را در -1 ضرب کنیم و به قسمت های مربوط به معادله اول اضافه کنیم، آنگاه از متغیر مجهول x 3 خلاص می شویم و می توانیم x 2 را پیدا کنیم:

مقدار بدست آمده x 2 \u003d 2 را در معادله سوم جایگزین می کنیم و متغیر مجهول باقی مانده x 3 را پیدا می کنیم:

دیگران غیر از این عمل می کردند.

بیایید معادله اول سیستم را با توجه به متغیر مجهول x 1 حل کنیم و عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم کنیم تا این متغیر از آنها حذف شود:

حال اجازه دهید معادله دوم سیستم را با توجه به x 2 حل کنیم و نتیجه را در معادله سوم جایگزین کنیم تا متغیر مجهول x 2 از آن حذف شود:

از معادله سوم سیستم می توان دریافت که x 3 = 3. از معادله دوم پیدا می کنیم ، و از معادله اول بدست می آوریم.

راه حل های آشنا، درست است؟

جالب ترین چیز در اینجا این است که روش حل دوم اساساً روش حذف متوالی مجهولات است، یعنی روش گاوس. وقتی متغیرهای مجهول را بیان کردیم (اول x 1، بعد x 2) و آنها را در بقیه معادلات سیستم جایگزین کردیم، در نتیجه آنها را حذف کردیم. ما استثنا را تا لحظه ای انجام دادیم که آخرین معادله فقط یک متغیر مجهول باقی گذاشت. فرآیند حذف متوالی مجهولات نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام حرکت رو به جلو، این فرصت را داریم که متغیر مجهول را در آخرین معادله محاسبه کنیم. با کمک آن، از معادله ماقبل آخر، متغیر مجهول بعدی و غیره را پیدا می کنیم. فرآیند یافتن متوالی متغیرهای مجهول در حین حرکت از آخرین معادله به معادله اول نامیده می شود روش گاوس معکوس.

لازم به ذکر است که وقتی x 1 را بر حسب x 2 و x 3 در معادله اول بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم می کنیم، اقدامات زیر به همین نتیجه منجر می شود:

در واقع، چنین رویه ای به ما اجازه می دهد تا متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم:

تفاوت های ظریف با حذف متغیرهای ناشناخته با روش گاوس زمانی به وجود می آیند که معادلات سیستم شامل برخی از متغیرها نباشد.

به عنوان مثال، در SLAU در معادله اول، هیچ متغیر مجهولی x 1 وجود ندارد (به عبارت دیگر، ضریب مقابل آن صفر است). بنابراین، نمی‌توانیم معادله اول سیستم را با توجه به x 1 حل کنیم تا این متغیر مجهول را از بقیه معادلات حذف کنیم. راه برون رفت از این وضعیت، تعویض معادلات سیستم است. از آنجایی که ما سیستم‌هایی از معادلات خطی را در نظر می‌گیریم که تعیین‌کننده‌های ماتریس‌های اصلی با صفر متفاوت هستند، همیشه معادله‌ای وجود دارد که متغیر مورد نیاز ما در آن وجود دارد و می‌توانیم این معادله را به موقعیتی که نیاز داریم بازآرایی کنیم. برای مثال ما کافی است معادلات اول و دوم سیستم را مبادله کنیم ، سپس می توانید معادله اول را برای x 1 حل کنید و آن را از بقیه معادلات سیستم حذف کنید (اگرچه x 1 قبلاً در معادله دوم وجود ندارد).

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش گاوس

اجازه دهید سیستمی از n معادله جبری خطی را با n متغیر مجهول شکل حل کنیم. و اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی آن غیر صفر باشد.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف می کنیم و از معادله دوم شروع می کنیم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب، اولین ضرب در معادله n را اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر کنیم، به همین نتیجه می رسیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار، معادله دوم ضرب در معادله سوم سیستم را اضافه کنید، دومی ضرب شده در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب، دومی ضرب شده در را به معادله nام اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که به طور مشابه با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است عمل می کنیم.

بنابراین مسیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را آغاز می کنیم: x n را از آخرین معادله محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار x n به دست آمده، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله می یابیم. معادله اول

بیایید الگوریتم را با یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

روش گاوسی

راه حل.

ضریب a 11 با صفر متفاوت است، پس بیایید به مسیر مستقیم روش گاوس یعنی حذف متغیر مجهول x 1 از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول برویم. برای انجام این کار، به قسمت های چپ و راست معادله دوم، سوم و چهارم، قسمت های چپ و راست معادله اول را به ترتیب ضرب در و:

متغیر مجهول x 1 حذف شده است، اجازه دهید به سمت حذف x 2 برویم. به قسمت های چپ و راست معادله سوم و چهارم سیستم، قسمت های چپ و راست معادله دوم را ضرب می کنیم. و :

برای تکمیل مسیر رو به جلو روش گاوس، باید متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. اجازه دهید به ترتیب به قسمت های چپ و راست معادله چهارم، سمت چپ و را اضافه کنیم سمت راستمعادله سوم ضرب در :

می توانید مسیر معکوس روش گاوس را شروع کنید.

از آخرین معادله ای که داریم ,
از معادله سوم بدست می آوریم
از دومی
از اول.

برای بررسی، می توانید مقادیر به دست آمده از متغیرهای مجهول را در سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. همه معادلات به هویت تبدیل می شوند، به این معنی که راه حل با روش گاوس به درستی پیدا شده است.

پاسخ:

و اکنون حل همان مثال را به روش گاوس به صورت ماتریسی می دهیم.

مثال.

یک راه حل برای سیستم معادلات پیدا کنید روش گاوسی

راه حل.

ماتریس توسعه یافته سیستم دارای فرم است . بالای هر ستون، متغیرهای ناشناخته نوشته شده است که با عناصر ماتریس مطابقت دارد.

سیر مستقیم روش گاوس در اینجا شامل آوردن ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل ذوزنقه ای با استفاده از تبدیل های ابتدایی است. این فرآیند شبیه به حذف متغیرهای ناشناخته است که ما با سیستم به صورت مختصات انجام دادیم. حالا شما از آن متقاعد خواهید شد.

اجازه دهید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول، از ستون دوم، صفر شوند. برای انجام این کار، به عناصر ردیف های دوم، سوم و چهارم، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید، و به ترتیب:

در مرحله بعد، ماتریس به دست آمده را طوری تبدیل می کنیم که در ستون دوم، همه عناصر، که از ستون سوم شروع می شوند، صفر شوند. این با حذف متغیر مجهول x 2 مطابقت دارد. برای انجام این کار، عناصر مربوط به ردیف اول ماتریس را به عناصر ردیف سوم و چهارم اضافه کنید، ضرب در و :

باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به عناصر آخرین ردیف ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف ماقبل آخر را ضرب می کنیم. :

لازم به ذکر است که این ماتریس با سیستم معادلات خطی مطابقت دارد

که زودتر پس از حرکت مستقیم به دست آمد.

وقت آن است که به عقب برگردیم. در شکل ماتریسی نماد، مسیر معکوس روش گاوس شامل چنین تبدیلی از ماتریس حاصل است به طوری که ماتریس مشخص شده در شکل

مورب شد، یعنی شکل گرفت

تعدادی اعداد کجا هستند

این تبدیل‌ها شبیه به روش گاوس است، اما نه از خط اول به آخر، بلکه از آخرین خط به اول انجام می‌شود.

به عناصر ردیف های سوم، دوم و اول، عناصر مربوط به ردیف آخر را ضرب کنید. ، در و در به ترتیب:

حالا بیایید به عناصر ردیف دوم و اول عناصر مربوط به ردیف سوم را اضافه کنیم که به ترتیب در و در ضرب می شوند:

در آخرین مرحلهاز حرکت معکوس روش گاوس، به عناصر ردیف اول، عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب می کنیم:

ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد ، که از آن متغیرهای مجهول را پیدا می کنیم.

پاسخ:

توجه داشته باشید.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، باید از محاسبات تقریبی خودداری شود، زیرا این امر می تواند منجر به نتایج کاملاً نادرست شود. توصیه می کنیم اعشار را گرد نکنید. بهتر از کسرهای اعشاریقابل اعتماد و متخصص کسرهای معمولی.

مثال.

حل سیستم سه معادله با روش گاوسی .

راه حل.

توجه داشته باشید که در این مثال، متغیرهای مجهول دارای نام متفاوتی هستند (نه x 1، x 2، x 3، بلکه x، y، z). بیایید به کسرهای معمولی برویم:

x مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنید:

در سیستم حاصل، متغیر مجهولی y در معادله دوم وجود ندارد و y در معادله سوم وجود دارد، بنابراین، معادله دوم و سوم را با هم عوض می کنیم:

در این مرحله، دوره مستقیم روش گاوس به پایان رسیده است (نیازی نیست y را از معادله سوم حذف کنید، زیرا این متغیر مجهول دیگر وجود ندارد).

بیا برگردیم.

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ,
از ماقبل آخر

از اولین معادله ای که داریم

پاسخ:

X=10، y=5، z=-20.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منحط است، به روش گاوس.

سیستم‌هایی از معادلات که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا مربع انحطاط است ممکن است هیچ جوابی نداشته باشند، ممکن است یک جواب واحد داشته باشند یا ممکن است تعداد بی‌نهایت جواب داشته باشند.

اکنون خواهیم فهمید که چگونه روش گاوس به ما اجازه می دهد تا سازگاری یا ناسازگاری یک سیستم معادلات خطی را تعیین کنیم و در صورت سازگاری آن، همه راه حل ها (یا یک راه حل واحد) را تعیین کنیم.

در اصل، روند حذف متغیرهای ناشناخته در مورد چنین SLAE ها یکسان است. با این حال، ارزش آن را دارد که به طور مفصل در مورد برخی از موقعیت هایی که ممکن است رخ دهد صحبت کنیم.

بیایید به مهمترین مرحله برویم.

بنابراین، فرض می کنیم که سیستم معادلات جبری خطی پس از اتمام حرکت رو به جلو روش گاوس به شکل و هیچ یک از معادلات به (در این مورد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است). یک سوال منطقی مطرح می شود: "بعد چه باید کرد"؟

متغیرهای مجهولی را که در وهله اول تمام معادلات سیستم حاصل قرار دارند، می نویسیم:

در مثال ما، اینها x 1، x 4 و x 5 هستند. در قسمت‌های سمت چپ معادلات سیستم، فقط عبارت‌هایی را می‌گذاریم که حاوی متغیرهای مجهول نوشته شده x 1، x 4 و x 5 هستند، باقی‌مانده‌ها را با علامت مخالف به سمت راست معادلات منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید مقادیر دلخواه را به متغیرهای مجهول که در سمت راست معادلات قرار دارند، اختصاص دهیم، جایی که - اعداد دلخواه:

پس از آن، اعداد در قسمت های سمت راست تمام معادلات SLAE ما پیدا می شوند و می توانیم به مسیر معکوس روش گاوس برویم.

از آخرین معادله سیستمی که داریم، از معادله ماقبل آخری که پیدا می کنیم، از معادله اول به دست می آوریم.

راه حل سیستم معادلات مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول است

دادن اعداد معانی مختلف، دریافت خواهیم کرد راه حل های مختلفسیستم های معادلات یعنی سیستم معادلات ما بی نهایت راه حل دارد.

پاسخ:

جایی که - اعداد دلخواه

برای ادغام مطالب، راه حل های چندین مثال دیگر را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

تصميم گرفتن سیستم همگنمعادلات جبری خطی روش گاوسی

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای این کار، قسمت های چپ و راست معادله اول را به ترتیب به قسمت های چپ و راست معادله دوم ضرب کنید و به قسمت های چپ و راست معادله سوم، قسمت های چپ و راست معادله را اضافه کنید. معادله اول ضربدر:

اکنون y را از معادله سوم سیستم معادلات به دست آمده حذف می کنیم:

SLAE حاصل معادل سیستم است .

فقط عبارت‌های حاوی متغیرهای مجهول x و y را در سمت چپ معادلات سیستم می‌گذاریم و عبارت‌های دارای متغیر مجهول z را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

به دو سیستم معادلات خطی معادل گفته می شود که مجموعه تمام جواب های آنها یکسان باشد.

تبدیل های اولیه سیستم معادلات عبارتند از:

حذف از سیستم معادلات بی اهمیت، یعنی. آنهایی که تمام ضرایب آنها برابر با صفر است.

ضرب هر معادله در یک عدد غیر صفر؛

جمع هر معادله i-ام هر معادله j-ام، ضرب در هر عدد.

متغیر x i در صورتی که این متغیر مجاز نباشد آزاد نامیده می شود و کل سیستم معادلات مجاز است.

قضیه. تبدیل های ابتدایی سیستم معادلات را به یک معادل تبدیل می کند.

منظور از روش گاوس تبدیل سیستم اصلی معادلات و به دست آوردن یک سیستم مجاز یا معادل ناسازگار است.

بنابراین، روش گاوس شامل مراحل زیر است:

معادله اول را در نظر بگیرید. اولین ضریب غیر صفر را انتخاب می کنیم و کل معادله را بر آن تقسیم می کنیم. معادله ای به دست می آوریم که در آن مقداری از متغیر x i با ضریب 1 وارد می شود.
این معادله را از بقیه کم کنید و آن را در اعداد ضرب کنید به طوری که ضرایب متغیر x i در معادلات باقیمانده صفر شود. ما سیستمی را دریافت می کنیم که با توجه به متغیر x i حل می شود و معادل سیستم اصلی است.
اگر معادلات جزئی بوجود آیند (به ندرت، اما این اتفاق می افتد؛ به عنوان مثال، 0 = 0)، ما آنها را از سیستم حذف می کنیم. در نتیجه، معادلات یک کمتر می شوند.
مراحل قبلی را بیش از n بار تکرار نمی کنیم که n تعداد معادلات سیستم است. هر بار که متغیر جدیدی را برای "پردازش" انتخاب می کنیم. اگر معادلات متضاد ایجاد شود (مثلاً 0 = 8)، سیستم ناسازگار است.

در نتیجه، پس از چند مرحله، یا یک سیستم مجاز (احتمالاً با متغیرهای آزاد) یا یک سیستم ناسازگار به دست می‌آوریم. سیستم های مجاز به دو حالت تقسیم می شوند:

تعداد متغیرها برابر است با تعداد معادلات. بنابراین سیستم تعریف شده است.
تعداد متغیرها تعداد بیشترمعادلات ما همه متغیرهای رایگان را در سمت راست جمع آوری می کنیم - فرمول هایی برای متغیرهای مجاز دریافت می کنیم. این فرمول ها در پاسخ نوشته شده است.

همین! سیستم معادلات خطی حل شد! این یک الگوریتم نسبتاً ساده است و برای تسلط بر آن، نیازی به تماس با معلم خصوصی در ریاضیات نیست. به یک مثال توجه کنید:

یک وظیفه. حل سیستم معادلات:

شرح مراحل:

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم و معادله سوم را بر (-3) تقسیم می کنیم - دو معادله بدست می آوریم که در آن متغیر x 2 با ضریب 1 وارد می شود.
معادله دوم را به معادله اول اضافه می کنیم و از معادله سوم کم می کنیم. بیایید متغیر مجاز x 2 را بدست آوریم.
در نهایت، معادله سوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 3 را دریافت می کنیم.
ما یک سیستم مجاز دریافت کرده ایم، پاسخ را یادداشت می کنیم.

تصمیم مشترک سیستم مشترکمعادلات خطی یک سیستم جدید معادل معادل اصلی است که در آن تمامی متغیرهای مجاز بر حسب متغیر آزاد بیان می شوند.

چه زمانی ممکن است مورد نیاز باشد تصمیم مشترک? اگر باید انجام دهید قدم های کمتراز k (k در مجموع چند معادله است). با این حال، دلایلی که چرا این فرآیند در مرحله 1 به پایان می رسد< k , может быть две:

پس از مرحله l -ام، سیستمی به دست می آید که دارای معادله ای با عدد (l + 1) نیست. در واقع، این خوب است، زیرا. سیستم حل شده به هر حال دریافت می شود - حتی چند قدم زودتر.
بعد از مرحله l معادله ای به دست می آید که در آن تمام ضرایب متغیرها برابر با صفر و ضریب آزاد با صفر متفاوت است. این یک معادله ناسازگار است، و بنابراین، سیستم ناسازگار است.

درک این نکته مهم است که ظهور یک معادله ناسازگار با روش گاوس دلیل کافی برای ناسازگاری است. در همان زمان، ما توجه می کنیم که در نتیجه گام l، معادلات بی اهمیت نمی توانند باقی بمانند - همه آنها به طور مستقیم در فرآیند حذف می شوند.

شرح مراحل:

معادله اول را 4 از دومی کم کنید. و همچنین اولین معادله را به معادله سوم اضافه کنید - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
معادله سوم را که در 2 ضرب می کنیم از دومی کم می کنیم - معادله متناقض 0 = -5 را به دست می آوریم.

بنابراین، سیستم ناسازگار است، زیرا یک معادله ناسازگار پیدا شده است.

یک وظیفه. بررسی سازگاری و یافتن راه حل کلی سیستم:

شرح مراحل:

معادله اول را از دومی (پس از ضرب در دو) و سومی کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
معادله دوم را از معادله سوم کم کنید. از آنجایی که همه ضرایب در این معادلات یکسان هستند، معادله سوم بی اهمیت می شود. در همان زمان، ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم.
معادله دوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 2 را بدست می آوریم. کل سیستم معادلات هم اکنون حل شده است.
از آنجایی که متغیرهای x 3 و x 4 آزاد هستند، برای بیان متغیرهای مجاز آنها را به سمت راست منتقل می کنیم. این پاسخ است.

بنابراین، سیستم مشترک و نامعین است، زیرا دو متغیر مجاز (x 1 و x 2) و دو متغیر آزاد (x 3 و x 4) وجود دارد.

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی داده شود، که باید حل شود (مقادیر مجهولات хi را بیابید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
۲) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسی در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به پاسخ هدایت کنید! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین‌کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان مقطع ابتدایی نیز قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا وجود داشته باشد)، پس از آن حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک.

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

"حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات جبری خطی را به شکل پلکانی "مثلثی" بیاورید: عناصر ماتریس توسعه یافته که در زیر مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). ). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). ما در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم، معادله اول را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات به جز اولی، با مجهول x 1، ضریب 0 نخواهند داشت.

2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

« معکوس» روش گاوس - به دست آوردن یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی (از پایین به بالا). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از سازماندهی شود دگرگونی ابتدایی. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به (0 0 11 | 23) در زیر به دست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات

ما یک حرکت معکوس انجام می دهیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. در این مثال، هدیه معلوم شد:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و به آن توجهی نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
۲) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

"حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات جبری خطی را به شکل پلکانی "مثلثی" بیاورید: عناصر ماتریس توسعه یافته که در زیر مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). ). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

"حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و ویژگی های خاص ضرایب مجهولات را در نظر نمی گیرد، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! مدرس دیمیتری آیستراخانوف.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.