سیستم معادلات خطی همگن

سیستم همگن معادلات خطیسیستم فرم نامیده می شود

واضح است که در این مورد ، زیرا تمام عناصر یکی از ستون ها در این تعیین کننده ها برابر با صفر هستند.

از آنجایی که مجهولات با فرمول ها پیدا می شوند ، در صورتی که Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل صفر منحصر به فرد دارد ایکس = y = z= 0. با این حال، در بسیاری از مسائل این سوال که آیا یک سیستم همگن راه حل هایی غیر از صفر دارد یا خیر، مورد توجه است.

قضیه.به منظور سیستم خطی معادلات همگنیک راه حل غیر صفر دارد، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.

بنابراین، اگر دترمینال Δ ≠ 0 باشد، سیستم دارای است تنها تصمیم. اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی دارای بی نهایت جواب است.

مثال ها.

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس

اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود , ایکسیک ماتریس-ستون است که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است آ. .

در بسیاری از مسائل، باید معادله را در نظر گرفت ایکس

جایی که λ مقداری است. واضح است که برای هر λ این معادله یک جواب صفر دارد.

عدد λ که این معادله برای آن جواب های غیر صفر دارد نامیده می شود مقدار خاصماتریس ها آ، آ ایکسبرای چنین λ نامیده می شود بردار خودماتریس ها آ.

بیایید بردار ویژه ماتریس را پیدا کنیم آ. از آنجا که E∙X=X، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد یا . در شکل بسط یافته، این معادله را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی بازنویسی کرد. واقعا .

و بنابراین

بنابراین، سیستمی از معادلات خطی همگن برای تعیین مختصات به دست آوردیم x 1, x2, x 3بردار ایکس. برای اینکه سیستم جواب های غیر صفر داشته باشد، کافی و لازم است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی.

این یک معادله درجه 3 با توجه به λ است. نامیده می شود معادله مشخصهماتریس ها آو برای تعیین مقادیر ویژه λ خدمت می کند.

هر مقدار ویژه λ مربوط به یک بردار ویژه است ایکس، که مختصات آن از سیستم در مقدار متناظر λ تعیین می شود.

مثال ها.

جبر برداری. مفهوم بردار

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، کمیت هایی وجود دارد که با تنظیم مقادیر عددی آنها به طور کامل تعیین می شوند، مثلاً طول، مساحت، جرم، دما و غیره. به چنین مقادیری اسکالر می گویند. اما علاوه بر آنها، کمیت هایی نیز وجود دارد که برای تعیین آنها علاوه بر مقدار عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز دانست، مثلاً نیروی وارد بر بدن، سرعت و شتاب. زمانی که بدن در فضا حرکت می کند، تنش میدان مغناطیسیدر یک نقطه معین از فضا و غیره به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند.

اجازه دهید یک تعریف دقیق ارائه کنیم.

بخش جهت داربیایید یک قطعه را نام ببریم که نسبت به انتهای آن مشخص است که کدام یک از آنها اول است و کدام دوم.

برداریک قطعه جهت دار نامیده می شود که طول معینی دارد، یعنی. این قسمتی با طول مشخص است که در آن یکی از نقاط محدود کننده آن به عنوان ابتدا و دومی به عنوان پایان در نظر گرفته می شود. اگر یک آآغاز بردار است، بپایان آن است، سپس بردار با نماد مشخص می شود، علاوه بر این، بردار اغلب با یک حرف مشخص می شود. در شکل، بردار با یک قطعه و جهت آن با یک فلش نشان داده شده است.

مدولیا طولانیبردار طول پاره جهتی است که آن را تعریف می کند. نشان داده شده با || یا ||.

به اصطلاح بردار صفر که ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق است، بردار نیز نامیده می شود. مشخص شده است. بردار صفر جهت مشخصی ندارد و مدول آن برابر با صفر ||=0 است.

بردارها و نامیده می شوند خطیاگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند. در این صورت، اگر بردارها و به طور مساوی جهت باشند، برعکس می نویسیم.

بردارهایی که روی خطوط مستقیم موازی با همان صفحه قرار دارند نامیده می شوند هم صفحه.

دو بردار و نامیده می شوند برابراگر خطی باشند، جهت یکسانی داشته باشند و از نظر طول برابر باشند. در این صورت بنویسید.

از تعریف برابری بردارها چنین برمی‌آید که یک بردار را می‌توان با قرار دادن مبدأ آن در هر نقطه از فضا به موازات خود حرکت داد.

مثلا.

عملیات خطی روی بردارها

1. ضرب بردار در عدد.

   حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ نامیده می شود بردار جدیدبه طوری که:

   حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ با نشان داده می شود.

   

   مثلا،برداری است که در همان جهت بردار است و طول آن نصف بردار است.

   عملیات وارد شده دارای موارد زیر است خواص:

2. جمع بردارها

   اجازه دهید و دو بردار دلخواه باشد. یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید Oو بردار بسازید. پس از آن، از نقطه آوکتور را کنار بگذارید . بردار اتصال ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم نامیده می شود مجموعاز این بردارها و نشان داده می شود .

   

   تعریف فرمول بندی شده جمع بردار نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع، از آنجایی که همان مجموع بردارها را می توان به صورت زیر بدست آورد. نقطه را کنار بگذارید Oبردارها و . روی این بردارها متوازی الاضلاع بسازید OABC. از آنجایی که بردارها، پس بردار، که مورب متوازی الاضلاع است که از راس کشیده شده است. O، بدیهی است که مجموع بردارها خواهد بود.

   

   بررسی موارد زیر آسان است خواص افزودن بردار.

3. تفاوت بردارها

   بردار هم خط به یک بردار معین، از نظر طول مساوی و جهت مخالف، نامیده می شود مقابلبردار برای یک بردار و با نشان داده می شود. بردار مقابل را می توان حاصل ضرب بردار در عدد λ = –1: .

ماتریس های مورب به سادگی مرتب می شوند. این سوال مطرح می شود که آیا می توان مبنایی را پیدا کرد که در آن ماتریس یک عملگر خطی شکل مورب داشته باشد؟ چنین مبنایی وجود دارد.
اجازه دهید یک فضای خطی R n و یک عملگر خطی A که در آن عمل می کند، داده شود. در این حالت عملگر A R n را در خود می گیرد، یعنی A:R n → R n .

تعریف. یک بردار غیرصفر بردار ویژه عملگر A نامیده می شود که عملگر A به بردار هم خط با آن تبدیل شود، یعنی . عدد λ را مقدار ویژه یا مقدار ویژه عملگر A متناظر با بردار ویژه می نامند.
ما به برخی از ویژگی های مقادیر ویژه و بردارهای ویژه توجه می کنیم.
1. هر ترکیب خطی از بردارهای ویژه از عملگر A مربوط به مقدار ویژه λ یک بردار ویژه با مقدار ویژه یکسان است.
2. بردارهای ویژه عملگر A با مقادیر ویژه متمایز جفتی λ 1، λ 2، ...، λ m به صورت خطی مستقل هستند.
3. اگر مقادیر ویژه λ 1 = λ 2 = λ m = λ، آنگاه مقدار ویژه λ با بیش از m بردارهای ویژه مستقل خطی مطابقت ندارد.

بنابراین، اگر n بردار ویژه مستقل خطی وجود داشته باشد مربوط به مقادیر ویژه مختلف λ 1 , λ 2 , …, λ n , سپس به صورت خطی مستقل هستند بنابراین می توان آنها را به عنوان مبنای فضای R n در نظر گرفت. اجازه دهید شکل ماتریس عملگر خطی A را بر اساس بردارهای ویژه آن پیدا کنیم، که برای آن با عملگر A بر اساس بردارهای پایه عمل می کنیم: سپس .
بنابراین، ماتریس عملگر خطی A بر اساس بردارهای ویژه آن شکل مورب دارد و مقادیر ویژه عملگر A روی قطر قرار دارد.
آیا مبنای دیگری وجود دارد که در آن ماتریس شکل مورب داشته باشد؟ پاسخ این سوال با قضیه زیر داده می شود.

قضیه. ماتریس عملگر خطی A در پایه (i = 1..n) شکل مورب دارد اگر و فقط اگر همه بردارهای پایه باشند. بردارهای ویژهاپراتور A.

قانون برای یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

اجازه دهید بردار ، که در آن x 1، x 2، ...، x n - مختصات بردار نسبت به پایه و بردار ویژه عملگر خطی A مربوط به مقدار ویژه λ است، یعنی. این رابطه را می توان به صورت ماتریسی نوشت

. (*)

معادله (*) را می توان به عنوان معادله ای برای یافتن در نظر گرفت، و به عبارت دیگر، ما به راه حل های غیر پیش پا افتاده علاقه مند هستیم، زیرا بردار ویژه نمی تواند صفر باشد. مشخص است که راه حل های غیر ضروری یک سیستم همگن معادلات خطی وجود دارد اگر و فقط اگر det(A - λE) = 0. بنابراین، برای اینکه λ یک مقدار ویژه عملگر A باشد لازم و کافی است که det(A - λE) ) = 0.
اگر معادله (*) با جزئیات به صورت مختصات نوشته شده باشد، سیستم معادلات همگن خطی به دست می آید:

(1)
جایی که ماتریس عملگر خطی است.

اگر سیستم (1) تعیین کننده D برابر با صفر باشد، جواب غیر صفر دارد

معادله ای برای یافتن مقادیر ویژه به دست آوردیم.
این معادله معادله مشخصه نامیده می شود و سمت چپ آن چند جمله ای مشخصه ماتریس (عملگر) A نامیده می شود. اگر چند جمله ای مشخصه ریشه واقعی نداشته باشد، ماتریس A فاقد بردار ویژه است و نمی توان آن را به شکل مورب تقلیل داد.
بگذارید λ 1 , λ 2 , …, λ n ریشه های واقعی معادله مشخصه باشند و ممکن است در بین آنها مضرب وجود داشته باشد. با جایگزینی این مقادیر به نوبه خود با سیستم (1)، بردارهای ویژه را پیدا می کنیم.

مثال 12. عملگر خطی A در R 3 طبق قانون عمل می کند، که در آن x 1، x 2، ..، x n مختصات بردار در پایه هستند. , , . مقادیر ویژه و بردارهای ویژه این عملگر را پیدا کنید.
راه حل. ماتریس این عملگر را می سازیم:
.
ما یک سیستم برای تعیین مختصات بردارهای ویژه می سازیم:

معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

.
λ 1،2 = -1، λ 3 = 3.
با جایگزینی λ = -1 در سیستم، داریم:
یا
زیرا ، سپس دو متغیر وابسته و یک متغیر آزاد وجود دارد.
پس اجازه دهید x 1 یک مجهول رایگان باشد ما این سیستم را به هر طریقی حل می کنیم و پیدا می کنیم تصمیم مشترکاز این سیستم: سیستم اساسی راه حل ها از یک راه حل تشکیل شده است، زیرا n - r = 3 - 2 = 1.
مجموعه بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه λ = -1 به شکل زیر است که در آن x 1 هر عددی غیر از صفر است. بیایید یک بردار را از این مجموعه انتخاب کنیم، به عنوان مثال، با تنظیم x 1 = 1: .
با استدلال مشابه، بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = 3 را می یابیم: .
در فضای R 3 اساس از سه بردار مستقل خطی تشکیل شده است، اما ما تنها دو بردار ویژه خطی مستقل به دست آورده ایم، که اساس در R3 نمی تواند از آنها تشکیل شود. در نتیجه، ماتریس A یک عملگر خطی را نمی توان به شکل مورب کاهش داد.

مثال 13 با توجه به یک ماتریس .
1. ثابت کنید که بردار یک بردار ویژه از ماتریس A است. مقدار ویژه مربوط به این بردار ویژه را پیدا کنید.
2. مبنایی را پیدا کنید که در آن ماتریس A شکل مورب داشته باشد.
راه حل.
1. اگر، آنگاه بردار ویژه است

.
بردار (1, 8, -1) یک بردار ویژه است. مقدار ویژه λ = -1.
ماتریس دارای یک فرم مورب در پایه است که از بردارهای ویژه تشکیل شده است. یکی از آنها معروف است. بیا بقیه رو پیدا کنیم
ما به دنبال بردارهای ویژه از سیستم هستیم:

معادله مشخصه: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3، λ 2 = 1، λ 3 = -1.
بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = -3 را پیدا کنید:

رتبه ماتریس این سیستم برابر با دو و برابر با تعداد مجهولات است، بنابراین این سیستم فقط یک جواب صفر دارد x 1 = x 3 = 0. x 2 در اینجا می تواند هر چیزی غیر از صفر باشد، برای مثال، x 2 = 1. بنابراین، بردار (0،1،0) یک بردار ویژه مربوط به λ = -3 است. بیایید بررسی کنیم:
.
اگر λ = 1، سیستم را دریافت می کنیم
رتبه ماتریس دو است. معادله آخر را خط بزنید.
اجازه دهید x 3 مجهول رایگان باشد. سپس x 1 \u003d -3x 3، 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3، x 2 \u003d -9x 3.
با فرض x 3 = 1، (-3،-9،1) داریم - یک بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = 1. بررسی کنید:

.
از آنجایی که مقادیر ویژه واقعی و متفاوت هستند، بردارهای مربوط به آنها به صورت خطی مستقل هستند، بنابراین می توان آنها را به عنوان پایه در R3 در نظر گرفت. بنابراین، در اساس , , ماتریس A به شکل زیر است:
.
هر ماتریس یک عملگر خطی A:R n → R n را نمی توان به شکل مورب کاهش داد، زیرا برای برخی از عملگرهای خطی ممکن است کمتر از n بردار ویژه خطی مستقل وجود داشته باشد. با این حال، اگر ماتریس متقارن باشد، دقیقاً m بردار مستقل خطی با ریشه معادله مشخصه تعدد m مطابقت دارد.

تعریف. ماتریس متقارن ماتریس مربعی است که در آن عناصری که نسبت به قطر اصلی متقارن هستند با هم برابرند، یعنی در آن .
ملاحظات. 1. تمام مقادیر ویژه یک ماتریس متقارن واقعی هستند.
2. بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن متناظر با مقادیر ویژه جفتی مختلف متعامد هستند.
به عنوان یکی از کاربردهای متعدد دستگاه مورد مطالعه، مسئله تعیین شکل یک منحنی مرتبه دوم را در نظر می گیریم.

www.siteبه شما امکان می دهد پیدا کنید. سایت محاسبه را انجام می دهد. در عرض چند ثانیه سرور راه حل صحیح را ارائه می دهد. معادله مشخصه برای ماتریسیک عبارت جبری خواهد بود که توسط قانون محاسبه دترمینان پیدا می شود ماتریس ها ماتریس ها، در حالی که در مورب اصلی تفاوت هایی در مقادیر عناصر مورب و متغیر وجود خواهد داشت. هنگام محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین، هر عنصر ماتریس هابا سایر عناصر مربوطه ضرب خواهد شد ماتریس ها. در حالت پیدا کنید برخطفقط برای مربع امکان پذیر است ماتریس ها. عملیات را پیدا کنید معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبه محاسبه مجموع جبری حاصلضرب عناصر کاهش می یابد ماتریس هادر نتیجه یافتن عامل تعیین کننده ماتریس ها، فقط به منظور تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. این عملیات جایگاه ویژه ای در تئوری دارد ماتریس ها، به شما امکان می دهد مقادیر ویژه و بردارها را با استفاده از ریشه پیدا کنید. یافتن وظیفه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینضرب عناصر است ماتریس هاپس از جمع بندی این محصولات به پایان رسید قاعده معین. www.siteپیدا می کند معادله مشخصه برای ماتریسبعد داده شده در حالت برخط. محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبرای یک بعد معین، این یافتن یک چند جمله ای با ضرایب عددی یا نمادین است که توسط قانون برای محاسبه تعیین کننده پیدا می شود. ماتریس ها- به عنوان مجموع حاصل از عناصر مربوطه ماتریس ها، فقط به منظور تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. پیدا کردن چند جمله ای با توجه به یک متغیر برای مربع ماتریس ها، به عنوان تعریف معادله مشخصه برای ماتریس، در تئوری رایج است ماتریس ها. مقدار ریشه های چند جمله ای معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبرای تعریف بردارهای ویژه و مقادیر ویژه برای ماتریس ها. با این حال، اگر تعیین کننده ماتریس هاپس صفر خواهد بود معادله مشخصه ماتریسبر خلاف عکس، همچنان وجود خواهد داشت ماتریس ها. به منظور محاسبه معادله مشخصه برای ماتریسیا همزمان چندین مورد را جستجو کنید معادلات مشخصه ماتریس، شما نیاز به صرف زمان و تلاش زیادی دارید، در حالی که سرور ما پیدا خواهد کرد معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. در این مورد، پاسخ با پیدا کردن معادله مشخصه برای ماتریس آنلایندرست و با دقت کافی خواهد بود، حتی اگر اعداد در هنگام پیدا کردن معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینغیر منطقی خواهد بود در سایت www.siteورود کاراکترها در عناصر مجاز است ماتریس ها، به این معنا که معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینهنگام محاسبه می توان به شکل نمادین کلی نشان داد ماتریس معادله مشخصه آنلاین. بررسی پاسخ به دست آمده هنگام حل مشکل یافتن مفید است معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبا استفاده از سایت www.site. هنگام انجام عملیات محاسبه چند جمله ای - معادله مشخصه ماتریس، باید در حل این مشکل دقت و تمرکز فوق العاده داشت. به نوبه خود، سایت ما به شما کمک می کند تا تصمیم خود را در مورد موضوع بررسی کنید ماتریس معادله مشخصه آنلاین. اگر برای بررسی طولانی مشکلات حل شده وقت ندارید، پس www.siteمطمئناً ابزار مناسبی برای بررسی هنگام یافتن و محاسبه خواهد بود معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین.

مقادیر ویژه (اعداد) و بردارهای ویژه.
نمونه های راه حل

خودت باش

از هر دو معادله نتیجه می شود که .

پس بگذاریم: .

در نتیجه: بردار ویژه دوم است.

نکات مهم را مرور می کنیم:

- سیستم حاصل مطمئناً یک راه حل کلی دارد (معادلات به صورت خطی وابسته هستند).

- "Y" به گونه ای انتخاب می شود که عدد صحیح باشد و مختصات "x" اول عدد صحیح، مثبت و تا حد امکان کوچک باشد.

- بررسی می کنیم که راه حل خاص هر معادله سیستم را برآورده کند.

پاسخ .

"نقاط بازرسی" میانی کاملاً کافی بود، بنابراین بررسی برابری ها، در اصل، اضافی است.

در منابع مختلف اطلاعات، مختصات بردارهای ویژه اغلب نه در ستون ها، بلکه در ردیف ها نوشته می شود، به عنوان مثال: (و راستش من خودم آنها را در خط می نوشتم). این گزینه قابل قبول است، اما با توجه به موضوع تبدیلات خطیاستفاده از نظر فنی راحت تر است بردارهای ستونی.

شاید راه حل برای شما بسیار طولانی به نظر می رسید، اما این تنها به این دلیل است که من در مورد مثال اول با جزئیات بسیار توضیح دادم.

مثال 2

ماتریس ها

ما خودمان تمرین می کنیم! نمونه تقریبی طرح نهایی تکلیف در پایان درس.

گاهی اوقات شما نیاز به انجام یک کار اضافی دارید، یعنی:

تجزیه متعارف ماتریس را بنویسید

آن چیست؟

اگر بردارهای ویژه ماتریس تشکیل شود اساس، سپس می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

کجا یک ماتریس از مختصات بردارهای ویژه تشکیل شده است، - موربماتریس با مقادیر ویژه مربوطه

این تجزیه ماتریس نامیده می شود ابتدایییا مورب.

ماتریس مثال اول را در نظر بگیرید. بردارهای خودش مستقل خطی(غیر خطی) و پایه را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از مختصات آنها بسازیم:

در مورب اصلیماتریس ها به ترتیب مقتضیمقادیر ویژه قرار دارند و عناصر باقیمانده برابر با صفر هستند:
- یک بار دیگر بر اهمیت ترتیب تأکید می کنم: "دو" با بردار 1 مطابقت دارد و بنابراین در ستون 1 قرار دارد، "سه" - به بردار 2.

طبق الگوریتم معمول برای یافتن ماتریس معکوسیا روش گاوس-اردنپیدا کردن . نه، اشتباه تایپی نیست! - در مقابل شما نادر است، مانند خورشید گرفتگیرویداد زمانی که معکوس با ماتریس اصلی مطابقت داشت.

باقی مانده است که تجزیه متعارف ماتریس را بنویسیم:

سیستم را می توان با حل کرد تحولات ابتداییو در مثال های زیر به آن متوسل می شویم این روش. اما در اینجا روش "مدرسه" بسیار سریعتر کار می کند. از معادله 3 بیان می کنیم: - جایگزین به معادله دوم:

از آنجایی که مختصات اول صفر است، سیستمی به دست می آید که از هر معادله آن نتیجه می شود.

و دوباره به حضور اجباری یک رابطه خطی توجه کنید. اگر فقط یک راه حل پیش پا افتاده به دست آید ، سپس یا مقدار ویژه اشتباه پیدا شد یا سیستم با یک خطا کامپایل / حل شد.

مختصات فشرده ارزش می دهد

بردار ویژه:

و یک بار دیگر، ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. در پاراگراف های بعدی و در کارهای بعدی توصیه می کنم که این آرزو به عنوان یک قانون اجباری پذیرفته شود.

2) برای مقدار ویژه، طبق همان اصل، سیستم زیر را به دست می آوریم:

از معادله 2 سیستم بیان می کنیم: - جایگزین به معادله سوم:

از آنجایی که مختصات "Z" برابر با صفر است، سیستمی به دست می آوریم که از هر معادله آن یک وابستگی خطی به دست می آید.

اجازه دهید

ما بررسی می کنیم که راه حل تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

بنابراین، بردار ویژه: .

3) و در نهایت، سیستم با مقدار خود مطابقت دارد:

معادله دوم ساده ترین به نظر می رسد، بنابراین ما آن را از آن بیان می کنیم و آن را با معادلات 1 و 3 جایگزین می کنیم:

همه چیز خوب است - یک وابستگی خطی آشکار شد که ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم:

در نتیجه "X" و "Y" از طریق "Z" بیان شد: . در عمل، دستیابی به چنین روابطی ضروری نیست؛ در برخی موارد بیان کردن از طریق یا و از طریق راحت تر است. یا حتی یک "قطار" - به عنوان مثال، "X" از "Y"، و "Y" از طریق "Z"

پس بگذاریم:

ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است هر معادله سیستم را برآورده می کند و بردار ویژه سوم را می نویسد

پاسخ: بردارهای ویژه:

از نظر هندسی، این بردارها سه جهت فضایی مختلف را تعریف می کنند ("آنجا و دوباره بازگشت")، بر اساس آن تبدیل خطیبردارهای غیر صفر (بردارهای ویژه) را به بردارهایی هم خط با آنها تبدیل می کند.

اگر طبق شرط لازم بود که بسط متعارفی پیدا شود، در اینجا این امکان وجود دارد، زیرا مقادیر ویژه مختلف با بردارهای ویژه مستقل خطی متفاوت مطابقت دارند. ما یک ماتریس درست می کنیم از مختصات آنها، ماتریس مورب از جانب مربوطمقادیر ویژه و پیدا کردن ماتریس معکوس .

اگر بنا به شرط لازم است بنویسیم ماتریس تبدیل خطی بر اساس بردارهای ویژه، سپس پاسخ را در فرم می دهیم. یک تفاوت وجود دارد و یک تفاوت قابل توجه!برای این ماتریس ماتریس "de" است.

یک کار با محاسبات ساده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

بردارهای ویژه تبدیل خطی که با ماتریس داده شده است را بیابید

هنگام پیدا کردن اعداد خود، سعی کنید مورد را به چند جمله ای درجه 3 وارد نکنید. علاوه بر این، راه حل های سیستم شما ممکن است با راه حل های من متفاوت باشد - هیچ ابهامی در اینجا وجود ندارد. و بردارهایی که پیدا می کنید ممکن است تا تناسب با مختصات مربوطه با بردارهای نمونه متفاوت باشد. به عنوان مثال، و . از نظر زیبایی شناختی بهتر است که پاسخ را به شکل ارائه کنید، اما اگر روی گزینه دوم متوقف شوید اشکالی ندارد. با این حال، محدودیت های معقولی برای همه چیز وجود دارد، نسخه دیگر خیلی خوب به نظر نمی رسد.

نمونه نهایی تقریبی تکلیف در پایان درس.

چگونه مشکل را در صورت وجود مقادیر ویژه چندگانه حل کنیم؟

الگوریتم کلی یکسان باقی می ماند، اما ویژگی های خاص خود را دارد و توصیه می شود برخی از بخش های راه حل را به سبک آکادمیک دقیق تری نگه دارید:

مثال 6

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

راه حل

البته، بیایید ستون اول افسانه ای را با حروف بزرگ بنویسیم:

و پس از فاکتورگیری مثلث مربع:

در نتیجه مقادیر ویژه به دست می آید که دو عدد از آنها مضرب هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) ما با یک سرباز تنها طبق یک طرح "ساده شده" برخورد خواهیم کرد:

از دو معادله آخر، تساوی به وضوح قابل مشاهده است، که بدیهی است که باید به معادله 1 سیستم جایگزین شود:

ترکیب بهتری وجود ندارد:
بردار ویژه:

2-3) اکنون چند نگهبان را حذف می کنیم. در این صورت ممکن است باشد یا دو یا یکبردار ویژه صرف نظر از تعدد ریشه ها، مقدار را در تعیین کننده جایگزین می کنیم ، که موارد زیر را برای ما به ارمغان می آورد سیستم همگن معادلات خطی:

بردارهای ویژه دقیقا همان بردارها هستند
سیستم تصمیم گیری اساسی

در واقع، در طول درس، ما فقط درگیر یافتن بردارهای سیستم بنیادی بودیم. فقط در حال حاضر، این اصطلاح به ویژه مورد نیاز نبود. به هر حال، آن دانش آموزان ماهر که، در استتار معادلات همگن، اکنون مجبور به کشیدن آن می شود.

تنها اقدام حذف خطوط اضافی بود. نتیجه یک ماتریس "یک به سه" با یک "گام" رسمی در وسط است.
– متغیر پایه، – متغیرهای آزاد. دو متغیر رایگان وجود دارد، بنابراین همچنین دو بردار از سیستم بنیادی وجود دارد.

بیایید متغیر پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم: . ضریب صفر در مقابل "x" به آن اجازه می دهد تا کاملاً هر مقداری را به خود بگیرد (که از سیستم معادلات نیز به وضوح قابل مشاهده است).

در زمینه این مشکل، راحت تر است که راه حل کلی را نه در یک ردیف، بلکه در یک ستون بنویسید:

جفت مربوط به بردار ویژه است:
جفت مربوط به بردار ویژه است:

توجه داشته باشید : خوانندگان پیشرفته می توانند این بردارها را به صورت شفاهی انتخاب کنند - فقط با تجزیه و تحلیل سیستم ، اما در اینجا به مقداری دانش نیاز است: سه متغیر وجود دارد، رتبه ماتریس سیستم- واحد یعنی سیستم تصمیم گیری اساسیشامل 3 – 1 = 2 بردار است. با این حال، بردارهای یافت شده حتی بدون این دانش، کاملاً در سطح شهودی کاملاً قابل مشاهده هستند. در این صورت، بردار سوم حتی "زیباتر" نوشته می شود: . با این حال، من به شما هشدار می دهم، در مثال دیگری، ممکن است انتخاب ساده ای وجود نداشته باشد، به همین دلیل است که رزرو برای افراد با تجربه در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، چرا به عنوان بردار سوم، مثلاً، را نمی گیریم؟ از این گذشته، مختصات آن نیز هر معادله سیستم و بردارها را برآورده می کند به صورت خطی مستقل هستند. این گزینه، در اصل، مناسب است، اما "کج" است، زیرا بردار "دیگر" ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی است.

پاسخ: مقادیر ویژه: , بردارهای ویژه:

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

نمونه تقریبی اتمام در پایان درس.

لازم به ذکر است که در هر دو مثال ششم و هفتم، سه بردار ویژه خطی مستقل به دست می آید و بنابراین ماتریس اصلی را می توان در بسط متعارف نشان داد. اما چنین تمشک در همه موارد اتفاق نمی افتد:

مثال 8

راه حل: معادله مشخصه را بنویسید و حل کنید:

ما تعیین کننده را با ستون اول گسترش می دهیم:

ما ساده سازی های بیشتری را طبق روش در نظر گرفته شده انجام می دهیم و از چند جمله ای درجه 3 اجتناب می کنیم:

مقادیر ویژه هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) هیچ مشکلی با ریشه وجود ندارد:

تعجب نکنید، علاوه بر کیت، متغیرها نیز در حال استفاده هستند - در اینجا تفاوتی وجود ندارد.

از معادله 3 که بیان می کنیم - معادلات 1 و 2 را جایگزین می کنیم:

از هر دو معادله به شرح زیر است:

سپس اجازه دهید:

2-3) برای مقادیر متعدد، سیستم را دریافت می کنیم .

اجازه دهید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل پلکانی در آوریم:

با ماتریس A، اگر یک عدد l وجود داشته باشد که AX = lX باشد.

در این حالت عدد l نامیده می شود مقدار خاصعملگر (ماتریس A) مربوط به بردار X.

به عبارت دیگر، بردار ویژه برداری است که تحت عمل یک عملگر خطی، به یک بردار خطی تبدیل می شود، یعنی. فقط در یک عدد ضرب کنید در مقابل، تبدیل بردارهای نامناسب دشوارتر است.

ما تعریف بردار ویژه را به عنوان یک سیستم معادلات می نویسیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

آخرین سیستم را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:

(A - lE)X \u003d O

سیستم حاصل همیشه یک جواب صفر دارد X = O. چنین سیستم هایی که در آنها تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شوند. همگن. اگر ماتریس چنین سیستمی مربع باشد و تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، طبق فرمول های کرامر، همیشه یک راه حل منحصر به فرد - صفر به دست می آوریم. می توان ثابت کرد که سیستم راه حل های غیر صفر دارد اگر و تنها در صورتی که تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر باشد، یعنی.

|A - lE| = = 0

این معادله با l مجهول نامیده می شود معادله مشخصه (چند جمله ای مشخصه) ماتریس A (عملگر خطی).

می توان ثابت کرد که چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی به انتخاب مبنا بستگی ندارد.

برای مثال، بیایید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی را که توسط ماتریس A = ارائه شده است، پیدا کنیم.

برای این کار معادله مشخصه |А - lЕ| را می سازیم = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; مقادیر ویژه l 1 = (2 - 12)/2 = -5؛ l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

برای یافتن بردارهای ویژه، دو سیستم معادله را حل می کنیم

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

برای اولین مورد، ماتریس گسترش یافته شکل خواهد گرفت

,

از آنجا x 2 \u003d c، x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s، یعنی. X (1) \u003d (- (2/3) s؛ s).

برای دومی از آنها، ماتریس گسترش یافته شکل خواهد گرفت

,

از آنجا x 2 \u003d c 1، x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1، یعنی. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

بنابراین، بردارهای ویژه این عملگر خطی همه بردارهایی به شکل (-(2/3)c؛ c) با مقدار ویژه (-5) و همه بردارهای شکل ((2/3)c 1 ; c 1) با مقدار ویژه 7.

می توان ثابت کرد که ماتریس عملگر A در پایه متشکل از بردارهای ویژه آن مورب است و به شکل زیر است:

,

جایی که l i مقادیر ویژه این ماتریس هستند.

عکس آن نیز صادق است: اگر ماتریس A در برخی از پایه ها مورب باشد، تمام بردارهای این مبنا بردارهای ویژه این ماتریس خواهند بود.

همچنین می توان ثابت کرد که اگر یک عملگر خطی n مقدار ویژه متمایز به صورت جفتی داشته باشد، بردارهای ویژه متناظر به صورت خطی مستقل هستند و ماتریس این عملگر در مبنای متناظر دارای فرم مورب است.

بیایید این را با مثال قبلی توضیح دهیم. اجازه دهید مقادیر غیر صفر دلخواه c و c 1 را در نظر بگیریم، اما به گونه ای که بردارهای X (1) و X (2) به صورت خطی مستقل باشند، یعنی. مبنایی را تشکیل خواهد داد. برای مثال، اجازه دهید c \u003d c 1 \u003d 3، سپس X (1) \u003d (-2; 3)، X (2) \u003d (2; 3).

اجازه دهید استقلال خطی این بردارها را تأیید کنیم:

12 ≠ 0. در این مبنای جدید، ماتریس A به شکل A * = خواهد بود.

برای تأیید این موضوع، از فرمول A * = C -1 AC استفاده می کنیم. بیایید ابتدا C -1 را پیدا کنیم.

C -1 = ;

فرم های درجه دوم

فرم درجه دوم f (x 1, x 2, x n) از n متغیر مجموع نامیده می شود که هر جمله آن یا مجذور یکی از متغیرها است یا حاصل ضرب دو متغیر مختلف با یک ضریب معین: f (x 1 ، x 2، x n) = (a ij = a ji).

ماتریس A که از این ضرایب تشکیل شده است نامیده می شود ماتریسفرم درجه دوم همیشه هست متقارنماتریس (یعنی یک ماتریس متقارن در مورد قطر اصلی، a ij = a ji).

در نمادگذاری ماتریسی، شکل درجه دوم به شکل f(X) = X T AX است، که در آن

در واقع

برای مثال بیایید فرم درجه دوم را به صورت ماتریسی بنویسیم.

برای انجام این کار، ماتریس یک فرم درجه دوم را پیدا می کنیم. عناصر مورب آن برابر با ضرایب در مربع متغیرها و عناصر باقی مانده برابر با نیمی از ضرایب متناظر شکل درجه دوم هستند. از همین رو

اجازه دهید ماتریس-ستون متغیرهای X با تبدیل خطی غیرمنحط از ماتریس-ستون Y به دست آید، یعنی. X = CY، که در آن C یک ماتریس غیر منحط از مرتبه n است. سپس فرم درجه دوم f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

بنابراین، تحت یک تبدیل خطی غیر انحطاط C، ماتریس شکل درجه دوم شکل: A * = C T AC.

به عنوان مثال، بیایید شکل درجه دوم f(y 1, y 2) را که از شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 با تبدیل خطی به دست می آید، پیدا کنیم.

شکل درجه دوم نامیده می شود ابتدایی(این دارد دیدگاه متعارف) اگر تمام ضرایب آن a ij = 0 برای i ≠ j، یعنی.
f(x 1، x 2، x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

ماتریس آن مورب است.

قضیه(اثبات در اینجا ارائه نشده است). هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل خطی غیر انحطاط به شکل متعارف کاهش داد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم را به شکل متعارف کاهش دهیم
f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

برای انجام این کار، ابتدا مربع کامل متغیر x 1 را انتخاب کنید:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

حالا مربع کامل را برای متغیر x 2 انتخاب می کنیم:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

سپس تبدیل خطی غیر منحط y 1 \u003d x 1 + x 2، y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 و y 3 \u003d x 3 این شکل درجه دوم را به شکل متعارف f (y 1 می کند. , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

توجه داشته باشید که شکل متعارف یک فرم درجه دوم به طور مبهم تعریف شده است (همان شکل درجه دوم را می توان به شکل متعارف کاهش داد. روش های مختلف). با این حال روش های مختلفاشکال متعارف یک عدد دارند خواص مشترک. به طور خاص، تعداد عبارات با ضرایب مثبت (منفی) یک فرم درجه دوم به چگونگی کاهش شکل به این شکل بستگی ندارد (به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده همیشه دو ضریب منفی و یک ضریب مثبت وجود خواهد داشت). این ویژگی را قانون اینرسی اشکال درجه دوم می نامند.

اجازه دهید این را با کاهش همان شکل درجه دوم به شکل متعارف به روشی دیگر تأیید کنیم. اجازه دهید تبدیل را با متغیر x 2 شروع کنیم:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2 x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1، y 2، y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2، که در آن y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3، y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 و y 3 = x 1 . در اینجا، یک ضریب منفی -3 در y 1 و دو ضریب مثبت 3 و 2 در y 2 و y 3 (و با استفاده از روشی دیگر، ضریب منفی (5-) در y 2 و دو ضریب مثبت به دست آوردیم: 2 در y 1 و 1/20 برای y 3).

همچنین لازم به ذکر است که رتبه یک ماتریس از فرم درجه دوم، به نام رتبه فرم درجه دوم، برابر با تعداد ضرایب غیر صفر شکل متعارف است و تحت تبدیل های خطی تغییر نمی کند.

شکل درجه دوم f(X) نامیده می شود مثبت (منفی) مسلم - قطعی، اگر برای همه مقادیر متغیرهایی که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، مثبت است، یعنی. f(X) > 0 (منفی، یعنی.
f (X)< 0).

به عنوان مثال، شکل درجه دوم f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 مثبت است، زیرا مجموع مربع ها است و شکل درجه دوم f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 منفی قطعی است، زیرا نشان می دهد که می توان آن را به صورت f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 نشان داد.

در بیشتر موقعیت‌های عملی، تعیین قطعیت نشانه یک شکل درجه دوم تا حدودی دشوارتر است، بنابراین یکی از قضایای زیر برای این مورد استفاده می‌شود (ما آنها را بدون برهان صورت‌بندی می‌کنیم).

قضیه. یک شکل درجه دوم مثبت (منفی) قطعی است اگر و تنها در صورتی که همه مقادیر ویژه ماتریس آن مثبت (منفی) باشند.

قضیه(معیار سیلوستر). یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و فقط در صورتی که همه جزئی های اصلی ماتریس این شکل مثبت باشند.

ماژور (گوشه) جزئیمرتبه k ام ماتریس A از مرتبه n را تعیین کننده ماتریس می گویند که از اولین k ردیف و ستون ماتریس A () تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که برای اشکال درجه دوم منفی-معین، علائم صغیر اصلی متناوب است و صغیر مرتبه اول باید منفی باشد.

به عنوان مثال، شکل درجه دوم f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 را برای مشخص بودن علامت بررسی می کنیم.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. بنابراین با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

شکل درجه دوم دیگری را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم، f (x 1، x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس به شکل درجه دوم А = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم قطعی منفی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. بنابراین، با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم قطعی منفی است (علائم صغیر اصلی متناوب، شروع از منهای).

و به عنوان مثالی دیگر، شکل درجه دوم f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم.

روش 1. بیایید یک ماتریس به شکل درجه دوم А = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

یکی از این اعداد منفی و دیگری مثبت است. نشانه های مقادیر ویژه متفاوت است. بنابراین، شکل درجه دوم نمی تواند قطعی منفی یا مثبت باشد، یعنی. این شکل درجه دوم علامت مشخص نیست (می تواند مقادیر هر علامتی را بگیرد).

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).