جستجوی شماره های خود مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس

بردار ویژه یک ماتریس مربع بردار ویژه ای است که وقتی در یک ماتریس داده شده ضرب شود، یک بردار خطی ایجاد می کند. به زبان ساده، هنگامی که یک ماتریس در یک بردار ویژه ضرب می شود، دومی ثابت می ماند، اما در عددی ضرب می شود.

تعریف

بردار ویژه یک بردار غیر صفر V است که وقتی در یک ماتریس مربع M ضرب می شود، به خودش تبدیل می شود و مقداری λ افزایش می یابد. AT نماد جبریبه نظر می رسد:

M × V = λ × V،

که در آن λ یک مقدار ویژه از ماتریس M است.

بیایید یک مثال عددی را در نظر بگیریم. برای راحتی نوشتن، اعداد در ماتریس با یک نقطه ویرگول از هم جدا می شوند. فرض کنید یک ماتریس داریم:

M = 0; چهار
6; 10.

بیایید آن را در یک بردار ستون ضرب کنیم:

V = -2;

وقتی یک ماتریس را در بردار ستونی ضرب می کنیم، یک بردار ستونی نیز بدست می آوریم. در زبان ریاضی دقیق، فرمول ضرب یک ماتریس 2×2 در بردار ستونی به صورت زیر است:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 x V11 + M22 x V21.

M11 به معنای عنصر ماتریس M است که در ردیف اول و ستون اول قرار دارد و M22 عنصری است که در ردیف دوم و ستون دوم قرار دارد. برای ماتریس ما، این عناصر M11 = 0، M12 = 4، M21 = 6، M22 10 هستند. برای بردار ستونی، این مقادیر V11 = –2، V21 = 1 هستند. طبق این فرمول، موارد زیر را بدست می آوریم. حاصل حاصل ضرب یک ماتریس مربع بردار:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

برای راحتی، بردار ستون را در یک ردیف می نویسیم. بنابراین، ماتریس مربع را در بردار (-2; 1) ضرب کرده ایم و بردار (4; -2) را به دست می آوریم. بدیهی است که این همان بردار ضرب در λ = -2 است. Lambda در این مورد نشان دهنده یک مقدار ویژه از ماتریس است.

بردار ویژه یک ماتریس یک بردار خطی است، یعنی جسمی که وقتی در یک ماتریس ضرب می شود، موقعیت خود را در فضا تغییر نمی دهد. مفهوم هم خطی در جبر برداری مشابه اصطلاح توازی در هندسه است. در تفسیر هندسی، بردارهای خطی، بخش های موازی جهت دار با طول های مختلف هستند. از زمان اقلیدس، می دانیم که یک خط دارای تعداد بی نهایت خط موازی با آن است، بنابراین منطقی است که فرض کنیم هر ماتریس دارای تعداد بی نهایت بردار ویژه است.

از مثال قبل، می توان دریافت که هر دو (-8; 4)، و (16; -8)، و (32، -16) می توانند بردار ویژه باشند. همه اینها بردارهای خطی مربوط به مقدار ویژه λ = -2 هستند. وقتی ماتریس اصلی را در این بردارها ضرب کنیم، باز هم در نتیجه یک بردار خواهیم داشت که 2 برابر با اصلی تفاوت دارد. به همین دلیل است که هنگام حل مسائل برای یافتن بردار ویژه، باید فقط اشیاء بردار مستقل خطی را پیدا کرد. اغلب، برای یک ماتریس n × n، تعداد n بردار ویژه وجود دارد. ماشین حساب ما برای تجزیه و تحلیل ماتریس های مربع مرتبه دوم طراحی شده است، بنابراین تقریباً همیشه دو بردار ویژه در نتیجه پیدا می شود، مگر زمانی که بر هم منطبق باشند.

در مثال بالا، ما از قبل بردار ویژه ماتریس اصلی را می دانستیم و عدد لامبدا را به صورت بصری تعیین کردیم. با این حال، در عمل، همه چیز برعکس اتفاق می افتد: در ابتدا مقادیر ویژه و تنها پس از آن بردارهای ویژه وجود دارد.

الگوریتم حل

بیایید دوباره به ماتریس اصلی M نگاه کنیم و سعی کنیم هر دو بردار ویژه آن را پیدا کنیم. بنابراین ماتریس به نظر می رسد:

M = 0; چهار
6; 10.

برای شروع، باید مقدار ویژه λ را تعیین کنیم، که برای آن باید تعیین کننده ماتریس زیر را محاسبه کنیم:

(0 - λ); چهار
6; (10 - λ).

این ماتریس با کم کردن λ مجهول از عناصر روی قطر اصلی به دست می آید. تعیین کننده با فرمول استاندارد تعیین می شود:

detA = M11 × M21 - M12 × M22
detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

از آنجایی که بردار ما نباید صفر باشد، معادله حاصل را به صورت خطی وابسته می‌گیریم و detA تعیین‌مان را با صفر برابر می‌کنیم.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

بیایید براکت ها را باز کنیم و معادله مشخصه ماتریس را بدست آوریم:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

این استاندارد است معادله درجه دوم، که قرار است از نظر ممیز حل شود.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

ریشه تفکیک کننده sqrt(D) = 14 است، بنابراین λ1 = -2، λ2 = 12. حال برای هر مقدار لامبدا، باید یک بردار ویژه پیدا کنیم. اجازه دهید ضرایب سیستم را برای λ = -2 بیان کنیم.

M - λ × E = 2; چهار
6; 12.

در این فرمول E ماتریس هویت است. بر اساس ماتریس به دست آمده، سیستم را ترکیب می کنیم معادلات خطی:

2x + 4y = 6x + 12y

که در آن x و y عناصر بردار ویژه هستند.

بیایید تمام X در سمت چپ و همه Y ها در سمت راست را جمع آوری کنیم. بدیهی است - 4x = 8y. عبارت را بر - 4 تقسیم کنید و x = -2y را بدست آورید. اکنون می توانیم اولین بردار ویژه ماتریس را با گرفتن مقادیر مجهولات تعیین کنیم (بی نهایت بردارهای ویژه وابسته به خطی را به خاطر بسپاریم). بیایید y = 1 و سپس x = -2 را در نظر بگیریم. بنابراین، اولین بردار ویژه شبیه V1 = (-2; 1) است. به ابتدای مقاله برگردید. برای این است جسم برداریما برای نشان دادن مفهوم بردار ویژه، ماتریس را ضرب کرده ایم.

حال بیایید بردار ویژه را برای λ = 12 پیدا کنیم.

M - λ × E = -12; چهار
6; -2.

اجازه دهید همان سیستم معادلات خطی را بسازیم.

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6y
3x=y.

حال بیایید x = 1 را در نظر بگیریم، بنابراین y = 3. بنابراین، بردار ویژه دوم شبیه V2 = (1؛ 3) است. هنگام ضرب ماتریس اصلی در این بردار، نتیجه همیشه همان بردار ضرب در 12 خواهد بود. این الگوریتم حل را کامل می کند. اکنون می دانید که چگونه به صورت دستی بردار ویژه یک ماتریس را تعریف کنید.

تعیین کننده؛
ردیابی، یعنی مجموع عناصر روی مورب اصلی؛
رتبه، یعنی بیشترین مقدارسطرها/ستون های مستقل خطی

این برنامه طبق الگوریتم فوق عمل می کند و فرآیند حل را به حداقل می رساند. ذکر این نکته ضروری است که در برنامه لامبدا با حرف "c" نشان داده می شود. بیایید به یک مثال عددی نگاه کنیم.

نمونه برنامه

بیایید سعی کنیم بردارهای ویژه را برای ماتریس زیر تعریف کنیم:

M=5; 13;
4; 14.

بیایید این مقادیر را در سلول های ماشین حساب وارد کرده و به شکل زیر پاسخ را دریافت کنیم:

رتبه ماتریس: 2;
تعیین کننده ماتریس: 18;
ردیابی ماتریس: 19;
محاسبه بردار ویژه: c 2 − 19.00c + 18.00 (معادله مشخصه).
محاسبه بردار ویژه: 18 (مقدار لامبدا اول)؛
محاسبه بردار ویژه: 1 (مقدار لامبدا دوم)؛
سیستم معادلات بردار 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
سیستم معادله برداری 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
بردار ویژه 1: (1; 1);
بردار ویژه 2: (-3.25؛ 1).

بنابراین، ما دو بردار ویژه مستقل خطی به دست آورده ایم.

نتیجه

جبر خطی و هندسه تحلیلی دروس استاندارد برای هر دانشجوی سال اول مهندسی هستند. تعداد زیادی از بردارها و ماتریس ها وحشتناک است و به راحتی می توان در چنین محاسبات دست و پا گیر اشتباه کرد. برنامه ما به دانش آموزان اجازه می دهد تا محاسبات خود را بررسی کنند یا به طور خودکار مشکل پیدا کردن بردار ویژه را حل کنند. ماشین حساب های جبر خطی دیگری در کاتالوگ ما وجود دارد، از آنها در مطالعه یا کار خود استفاده کنید.

بخش اول به تشریح مقرراتی می‌پردازد که حداقل برای درک شیمی‌سنجی ضروری هستند، و بخش دوم حاوی حقایقی است که برای درک عمیق‌تر روش‌های آنالیز چند متغیره باید بدانید. Matrix.xlsکه همراه این سند است.

پیوندهای نمونه ها به عنوان اشیاء اکسل در متن قرار می گیرند. این نمونه ها ماهیتی انتزاعی دارند و به هیچ وجه با مسائل شیمی تحلیلی مرتبط نیستند. مثال‌های واقعی استفاده از جبر ماتریسی در شیمی‌سنجی در متون دیگری که به کاربردهای مختلف شیمی‌سنجی اختصاص داده شده‌اند، مورد بحث قرار گرفته‌اند.

بسیاری از اندازه گیری های انجام شده در شیمی تجزیه مستقیم نیستند بلکه غیر مستقیم. یعنی در آزمایش به جای مقدار آنالیت مورد نظر C (غلظت)، مقدار دیگری به دست می آید. ایکس(سیگنال) مربوط به C اما مساوی نیست، i.e. ایکس(C) ≠ C. به عنوان یک قاعده، نوع وابستگی ایکس(C) شناخته شده نیست، اما خوشبختانه در شیمی تجزیه، اکثر اندازه گیری ها متناسب هستند. این بدان معناست که با توجه به غلظت C در آبار، سیگنال X به همان مقدار افزایش می یابد، یعنی. ایکس(آج) = تبر(ج). علاوه بر این، سیگنال ها نیز افزودنی هستند، بنابراین سیگنال از یک نمونه حاوی دو ماده با غلظت های C 1 و C 2 خواهد بود. برابر با مجموع استسیگنال های هر جزء، به عنوان مثال. ایکس(C1 + C2) = ایکس(C1)+ ایکس(C2). تناسب و افزایش با هم می دهد خطی بودن. برای نشان دادن اصل خطی بودن می توان مثال های زیادی آورد، اما به ذکر دو مورد از آنها بسنده می شود. نمونه های روشن- کروماتوگرافی و طیف سنجی دومین ویژگی ذاتی آزمایش در شیمی تجزیه است چند کاناله. تجهیزات تحلیلی مدرن به طور همزمان سیگنال های بسیاری از کانال ها را اندازه گیری می کنند. به عنوان مثال، شدت عبور نور برای چندین طول موج به طور همزمان اندازه گیری می شود، یعنی. طیف بنابراین در آزمایش با انواع سیگنال ها سروکار داریم ایکس 1 , ایکس 2 ,...., ایکس n مشخص کننده مجموعه غلظت های C 1 , C 2 , ..., C m از مواد موجود در سیستم مورد مطالعه.

برنج. 1 طیف

بنابراین، آزمایش تحلیلی با خطی بودن و چند بعدی بودن مشخص می شود. بنابراین، راحت است که داده های تجربی را به عنوان بردار و ماتریس در نظر بگیریم و آنها را با استفاده از دستگاه جبر ماتریسی دستکاری کنیم. ثمربخشی این رویکرد با مثال نشان داده شده در نشان داده شده است، که سه طیف گرفته شده برای 200 طول موج از 4000 تا 4796 سانتی متر-1 را نشان می دهد. اولین ( ایکس 1) و دوم ( ایکس 2) طیف ها برای نمونه های استاندارد به دست آمد که در آنها غلظت دو ماده A و B مشخص است: در نمونه اول [A] = 0.5، [B] = 0.1، و در نمونه دوم [A] = 0.2، [ B] = 0.6. در مورد یک نمونه جدید ناشناخته که طیف آن مشخص شده است، چه می توان گفت ایکس 3 ?

سه طیف تجربی را در نظر بگیرید ایکس 1 , ایکس 2 و ایکس 3 به عنوان سه بردار بعد 200. با استفاده از جبر خطی می توان به راحتی آن را نشان داد ایکس 3 = 0.1 ایکس 1 +0.3 ایکس 2، بنابراین نمونه سوم بدیهی است که فقط حاوی مواد A و B در غلظت های [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 و [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19 است.

1. اطلاعات اولیه

1.1 ماتریس

ماتریسبه عنوان مثال یک جدول مستطیلی از اعداد نامیده می شود

برنج. 2 ماتریس

ماتریس ها با حروف درشت بزرگ نشان داده می شوند ( آ، و عناصر آنها - مربوطه حروف کوچکبا شاخص ها، یعنی آ ij . شاخص اول ردیف ها را شماره گذاری می کند و شماره دوم ستون ها. در شیمی سنجی مرسوم است که حداکثر مقدار شاخص را با همان حرف خود شاخص اما با حروف بزرگ تعیین می کنند. بنابراین، ماتریس آهمچنین می توان به صورت ( آ ij , من = 1,..., من; j = 1,..., جی). برای مثال ماتریس من = 4, جی= 3 و آ 23 = −7.5.

جفت اعداد منو جیبعد ماتریس نامیده می شود و به صورت نشان داده می شود من× جی. نمونه ای از یک ماتریس در شیمی سنجی مجموعه ای از طیف های به دست آمده برای مننمونه بر روی جیطول موج

1.2. ساده ترین عملیات با ماتریس

ماتریس ها می توانند ضرب در اعداد. در این حالت هر عنصر در این عدد ضرب می شود. مثلا -

برنج. 3 ضرب یک ماتریس در یک عدد

دو ماتریس از یک بعد می توانند از نظر عنصر باشند تا کردنو تفریق کردن. مثلا،

برنج. 4 اضافه کردن ماتریس

در نتیجه ضرب در عدد و جمع، ماتریسی با همان ابعاد به دست می آید.

ماتریس صفر ماتریسی متشکل از صفر است. تعیین شده است O. بدیهی است که آ+O = آ, آ−آ = Oو 0 آ = O.

ماتریس می تواند جابجا کردن. در طی این عملیات، ماتریس برعکس می شود، یعنی. سطرها و ستون ها با هم عوض می شوند. جابجایی با یک خط تیره نشان داده می شود، آ" یا نمایه آتی . بنابراین، اگر آ = {آ ij , من = 1,..., من; j = 1,...,جی)، سپس آ t = ( آ جی , j = 1,...,جی; i = 1،...، من). مثلا

برنج. 5 جابجایی ماتریس

واضح است که ( آ t) t = آ, (آ+ب) t = A t + بتی .

1.3. ضرب ماتریس

ماتریس ها می توانند تکثیر کردن، اما به شرطی که دارای ابعاد مناسب باشند. چرایی این چنین است از تعریف مشخص خواهد شد. محصول ماتریسی آ، بعد، ابعاد، اندازه من× کو ماتریس ها ب، بعد، ابعاد، اندازه ک× جی، ماتریس نامیده می شود سی، بعد، ابعاد، اندازه من× جی، که عناصر آن اعداد هستند

بنابراین برای محصول ABلازم است تعداد ستون ها در ماتریس سمت چپ باشد آبرابر تعداد سطرهای ماتریس سمت راست بود ب. نمونه محصول ماتریسی -

شکل 6 محصول ماتریس ها

قانون ضرب ماتریس را می توان به صورت زیر فرموله کرد. برای پیدا کردن یک عنصر از یک ماتریس سیایستاده در تقاطع من-خط و jستون -ام ( ج ij) باید عنصر به عنصر ضرب شود من-مین ردیف از ماتریس اول آبر روی jستون -ام ماتریس دوم بو تمام نتایج را جمع کنید. بنابراین در مثال نشان داده شده، عنصر از ردیف سوم و ستون دوم به عنوان مجموع حاصلضرب عناصر ردیف سوم به دست می آید. آو ستون دوم ب

شکل 7 عنصر حاصل ضرب ماتریس ها

حاصل ضرب ماتریس ها به ترتیب بستگی دارد، یعنی. AB ≠ BA، حداقل به دلایل ابعادی. گفته می شود غیر قابل تعویض است. با این حال، حاصل ضرب ماتریس ها تداعی کننده است. معنیش اینه که ABC = (AB)سی = آ(قبل از میلاد مسیح). علاوه بر این، توزیعی نیز هست، یعنی. آ(ب+سی) = AB+AC. بدیهی است که AO = O.

1.4. ماتریس های مربع

اگر تعداد ستون های یک ماتریس برابر با تعداد سطرهای آن باشد ( من = J=N، سپس چنین ماتریسی مربع نامیده می شود. در این بخش، تنها این ماتریس ها را در نظر خواهیم گرفت. از بین این ماتریس ها می توان ماتریس هایی با ویژگی های خاص را مشخص کرد.

منفرد، مجد، تنها، منزوی، انفرادیماتریس (نشان داده شده است منو گاهی اوقات E) ماتریسی است که در آن همه عناصر برابر با صفر هستند، به جز عناصر مورب که برابر با 1 هستند، یعنی.

به طور مشخص هوش مصنوعی = IA = آ.

ماتریس نامیده می شود مورب، اگر همه عناصر آن، به جز عناصر مورب ( آ ii) برابر با صفر هستند. مثلا

برنج. 8 ماتریس مورب

ماتریس آبالا نامیده می شود مثلثی، اگر تمام عناصر آن که زیر قطر قرار دارند برابر با صفر باشند، یعنی. آ ij= 0، در من>j. مثلا

برنج. 9 ماتریس مثلثی بالا

ماتریس مثلثی پایین به طور مشابه تعریف شده است.

ماتریس آتماس گرفت متقارن، اگر آ t = آ. به عبارت دیگر آ ij = آ جی. مثلا

برنج. 10 ماتریس متقارن

ماتریس آتماس گرفت متعامد، اگر

آتی آ = AA t = من.

ماتریس نامیده می شود طبیعیاگر

1.5. ردیابی و تعیین کننده

ذیلماتریس مربع آ(با علامت Tr( آ) یا Sp( آ)) مجموع عناصر مورب آن است،

مثلا،

برنج. 11 ردیابی ماتریسی

بدیهی است که

Sp(α آ) = α Sp( آ) و

Sp( آ+ب) = Sp( آ)+ Sp( ب).

می توان نشان داد که

Sp( آ) = Sp( آ t)، Sp( من) = ن,

و همچنین آن

Sp( AB) = Sp( BA).

یکی دیگر از ویژگی های مهم ماتریس مربعی بودن آن است تعیین کننده(مشخص شده با det( آ)). تعریف تعیین کننده در مورد کلیبسیار پیچیده است، بنابراین ما با ساده ترین گزینه - ماتریس شروع می کنیم آابعاد (2×2). سپس

برای یک ماتریس (3×3)، دترمینان برابر خواهد بود

در مورد ماتریس ( ن× ن) تعیین کننده به صورت مجموع 1 2 3 محاسبه می شود ... ن= ن! شرایط که هر کدام برابر است با

شاخص ها ک 1 , ک 2 ,..., k Nبه عنوان همه جایگشت های مرتب شده ممکن تعریف می شوند rاعداد در مجموعه (1، 2، ...، ن). محاسبه تعیین کننده ماتریس یک روش پیچیده است که در عمل با استفاده از برنامه های خاص انجام می شود. مثلا،

برنج. 12 تعیین کننده ماتریس

ما فقط ویژگی های واضح را یادداشت می کنیم:

دت( من) = 1، det( آ) = دت( آت)

دت( AB) = دت( آ)دت( ب).

1.6. بردارها

اگر ماتریس فقط یک ستون داشته باشد ( جی= 1)، سپس چنین شیئی فراخوانی می شود بردار. به طور دقیق تر، یک بردار ستونی. مثلا

به عنوان مثال، ماتریس های متشکل از یک ردیف را نیز می توان در نظر گرفت

این شی نیز بردار است، اما وکتور ردیف. هنگام تجزیه و تحلیل داده ها، مهم است که بفهمیم با کدام بردارها سروکار داریم - ستون ها یا ردیف ها. بنابراین طیف گرفته شده برای یک نمونه را می توان به عنوان بردار ردیف در نظر گرفت. سپس مجموعه شدت های طیفی در برخی از طول موج ها برای همه نمونه ها باید به عنوان بردار ستون در نظر گرفته شود.

بعد یک بردار تعداد عناصر آن است.

واضح است که هر بردار ستونی را می توان با جابجایی به بردار ردیفی تبدیل کرد.

در مواردی که شکل یک بردار به طور خاص مشخص نشده است، بلکه صرفاً یک بردار گفته می شود، منظور آنها بردار ستونی است. ما نیز به این قانون پایبند خواهیم بود. یک بردار با یک حروف پررنگ مستقیم کوچک نشان داده می شود. بردار صفر برداری است که همه عناصر آن برابر با صفر هستند. نشان داده شده است 0 .

1.7. ساده ترین عملیات با بردارها

بردارها را می توان مانند ماتریس ها با اعداد اضافه و ضرب کرد. مثلا،

برنج. 13 عملیات با بردارها

دو بردار ایکسو yتماس گرفت خطی، اگر عدد α وجود داشته باشد به طوری که

1.8. محصولات بردارها

دو بردار با ابعاد یکسان نقابل ضرب است. بگذارید دو بردار وجود داشته باشد ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 ,...,ایکسن) t و y = (y 1 , y 2 ,...,yن) تی. با هدایت قانون ضرب "ردیف به ستون"، می توانیم از آنها دو محصول بسازیم: ایکستی yو xyتی . کار اول

تماس گرفت اسکالریا درونی؛ داخلی. نتیجه آن یک عدد است. همچنین از نماد ( ایکس,y)= ایکستی y. مثلا،

برنج. 14 محصول داخلی (اسکالر).

کار دوم

تماس گرفت خارجی. نتیجه آن یک ماتریس ابعاد است ( ن× ن). مثلا،

برنج. 15 محصول بیرونی

بردارها، حاصلضرب عددیکه برابر با صفر است نامیده می شوند متعامد.

1.9. هنجار برداری

حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش را مربع اسکالر می نامند. این مقدار

مربع را تعریف می کند طولبردار ایکس. برای نشان دادن طول (همچنین نامیده می شود عرفبردار) از نماد استفاده می شود

مثلا،

برنج. 16 هنجار برداری

بردار طول واحد (|| ایکس|| = 1) نرمال شده نامیده می شود. بردار غیر صفر ( ایکس ≠ 0 ) را می توان با تقسیم آن بر طول نرمال کرد، یعنی. ایکس = ||ایکس|| (ایکس/||ایکس||) = ||ایکس|| ه. اینجا ه = ایکس/||ایکس|| یک بردار نرمال شده است.

بردارها در صورتی متعامد نامیده می شوند که همگی نرمال شده و متعامد به صورت زوجی باشند.

1.10. زاویه بین بردارها

محصول اسکالر و گوشهφ بین دو بردار ایکسو y

اگر بردارها متعامد باشند، cosφ = 0 و φ = π/2، و اگر آنها خطی باشند، cosφ = 1 و φ = 0.

1.11. نمایش برداری از یک ماتریس

هر ماتریس آاندازه من× جیرا می توان به صورت مجموعه ای از بردارها نشان داد

در اینجا هر بردار آ jاست j-بردار ستون و سطر ب مناست من-مین ردیف ماتریس آ

1.12. بردارهای وابسته خطی

بردارهای یک بعد ( ن) را می توان مانند ماتریس ها در یک عدد اضافه و ضرب کرد. نتیجه یک بردار با همان بعد است. بگذارید چندین بردار با یک بعد وجود داشته باشد ایکس 1 , ایکس 2 ,...,ایکس K و همان تعداد اعداد α α 1 , α 2 ,...,α ک. بردار

y= α 1 ایکس 1 + α 2 ایکس 2 +...+α ک ایکس ک

تماس گرفت ترکیب خطیبردارها ایکس ک .

اگر چنین اعداد غیر صفر α وجود داشته باشد ک ≠ 0, ک = 1,..., ک، چی y = 0 ، سپس چنین مجموعه ای از بردارها ایکس کتماس گرفت وابسته به خط. در غیر این صورت، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند. به عنوان مثال، بردارها ایکس 1 = (2، 2) t و ایکس 2 = (-1، -1) t به صورت خطی وابسته هستند، زیرا ایکس 1 +2ایکس 2 = 0

1.13. رتبه ماتریسی

مجموعه ای را در نظر بگیرید کبردارها ایکس 1 , ایکس 2 ,...,ایکس کابعاد ن. رتبه این سیستم از بردارها حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی است. به عنوان مثال در مجموعه

برای مثال فقط دو بردار مستقل خطی وجود دارد ایکس 1 و ایکس 2، بنابراین رتبه آن 2 است.

بدیهی است که اگر تعداد بردارها در مجموعه بیشتر از ابعاد آنها باشد ( ک>ن، پس آنها لزوماً به طور خطی وابسته هستند.

رتبه ماتریسی(با رتبه مشخص می شود) آ)) رتبه سیستم بردارهایی است که از آن تشکیل شده است. اگرچه هر ماتریس را می توان به دو صورت نمایش داد (بردارهای ستونی یا بردارهای ردیفی)، این بر مقدار رتبه تأثیر نمی گذارد، زیرا

1.14. ماتریس معکوس

ماتریس مربع آاگر منحصر به فرد باشد، غیر منحط نامیده می شود معکوسماتریس آ-1، با شرایط تعیین می شود

AA −1 = آ −1 آ = من.

ماتریس معکوس برای همه ماتریس ها وجود ندارد. شرط لازم و کافی برای عدم انحطاط است

دت( آ) ≠ 0 یا رتبه( آ) = ن.

وارونگی ماتریس یک روش پیچیده است که برنامه های خاصی برای آن وجود دارد. مثلا،

برنج. 17 وارونگی ماتریس

ما فرمول هایی را برای ساده ترین حالت - ماتریس های 2 × 2 ارائه می دهیم

اگر ماتریس ها آو بپس منحط نیستند

(AB) −1 = ب −1 آ −1 .

1.15. ماتریس شبه معکوس

اگر ماتریس آمنحط است و ماتریس معکوس وجود ندارد، پس در برخی موارد می توان از آن استفاده کرد شبه معکوسماتریس که به عنوان چنین ماتریسی تعریف می شود آ+ اون

AA + آ = آ.

ماتریس شبه معکوس تنها یک ماتریس نیست و شکل آن به روش ساخت بستگی دارد. به عنوان مثال برای ماتریس مستطیل شکلمی توان از روش مور-پنروز استفاده کرد.

اگر تعداد ستون ها کمتر از عددخطوط، پس

آ + =(آتی آ) −1 آتی

مثلا،

برنج. 17a وارونگی شبه ماتریس

اگر تعداد ستون ها تعداد بیشترخطوط، پس

آ + =آ t( AAت) −1

1.16. ضرب یک بردار در یک ماتریس

بردار ایکسرا می توان در یک ماتریس ضرب کرد آبعد مناسب در این حالت بردار ستون در سمت راست ضرب می شود تبر، و رشته برداری در سمت چپ است ایکستی آ. اگر بعد بردار جی، و بعد ماتریس من× جیسپس نتیجه یک بردار بعد است من. مثلا،

برنج. 18 ضرب بردار-ماتریس

اگر ماتریس آ- مربع ( من× من، سپس بردار y = تبرهمان ابعاد را دارد ایکس. بدیهی است که

آ(α 1 ایکس 1 + α 2 ایکس 2) = α 1 تبر 1 + α 2 تبر 2 .

بنابراین ماتریس ها را می توان به عنوان تبدیل خطی بردارها در نظر گرفت. به خصوص ایکس = ایکس, گاو نر = 0 .

2. اطلاعات تکمیلی

2.1. سیستم های معادلات خطی

اجازه دهید آ- اندازه ماتریس من× جی، آ ب- بردار ابعاد جی. معادله را در نظر بگیرید

تبر = ب

با توجه به بردار ایکس، ابعاد من. در اصل، این یک سیستم است منمعادلات خطی با جیناشناس ایکس 1 ,...,ایکس جی. راه حل وجود دارد اگر و فقط اگر

رتبه( آ) = رتبه ( ب) = آر,

جایی که بماتریس ابعاد تقویت شده است من×( J+1) متشکل از ماتریس آ، با یک ستون پر شده است ب, ب = (آ ب). در غیر این صورت، معادلات ناسازگار هستند.

اگر یک آر = من = جی، سپس راه حل منحصر به فرد است

ایکس = آ −1 ب.

اگر یک آر < من، پس تعداد زیادی وجود دارد راه حل های مختلفکه می توان آن را در قالب یک ترکیب خطی بیان کرد جی−آربردارها سیستم معادلات همگن تبر = 0 با ماتریس مربع آ (ن× ن) راه حلی غیر پیش پا افتاده دارد ( ایکس ≠ 0 ) اگر و فقط اگر det( آ) = 0. اگر آر= رتبه( آ)<ن، سپس وجود دارد ن−آرراه حل های مستقل خطی

2.2. اشکال دو خطی و درجه دوم

اگر یک آیک ماتریس مربع است و ایکسو y- بردارهای بعد مربوطه، سپس حاصل ضرب اسکالر فرم ایکستی آیتماس گرفت دو خطیشکل تعریف شده توسط ماتریس آ. در ایکس = yاصطلاح ایکستی تبرتماس گرفت درجه دومفرم.

2.3. ماتریس های قطعی مثبت

ماتریس مربع آتماس گرفت مثبت قطعی، اگر برای هر بردار غیر صفر باشد ایکس ≠ 0 ,

ایکستی تبر > 0.

این منفی (ایکستی تبر < 0), غیر منفی (ایکستی تبر≥ 0) و غیر مثبت (ایکستی تبر≤ 0) ماتریس های خاص.

2.4. تجزیه کولسکی

اگر ماتریس متقارن آمثبت قطعی است، پس یک ماتریس مثلثی منحصر به فرد وجود دارد Uبا عناصر مثبت، که برای آن

آ = Uتی U.

مثلا،

برنج. 19 تجزیه کولسکی

2.5. تجزیه قطبی

اجازه دهید آیک ماتریس مربع غیر منحط از ابعاد است ن× ن. سپس یک منحصر به فرد وجود دارد قطبیکارایی

آ = SR،

جایی که اسیک ماتریس متقارن غیر منفی است و آریک ماتریس متعامد است. ماتریس ها اسو آررا می توان به صراحت تعریف کرد:

اس 2 = AA t یا اس = (AAت) ½ و آر = اس −1 آ = (AA t) -½ آ.

مثلا،

برنج. 20 تجزیه قطبی

اگر ماتریس آمنحط است، پس تجزیه منحصر به فرد نیست - یعنی: اسهنوز تنهاست اما آرممکن است بسیاری وجود داشته باشد. تجزیه قطبی یک ماتریس را نشان می دهد آبه عنوان یک ترکیب فشرده سازی / کششی اسو چرخش آر.

2.6. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه

اجازه دهید آیک ماتریس مربع است. بردار vتماس گرفت بردار خودماتریس ها آ، اگر

Av = λ v,

جایی که عدد λ نامیده می شود مقدار خاصماتریس ها آ. بنابراین، تبدیلی که ماتریس انجام می دهد آبیش از بردار v، به یک کشش یا فشرده سازی ساده با ضریب λ کاهش می یابد. بردار ویژه تا ضرب در ثابت α ≠ 0 تعیین می شود، یعنی. اگر vیک بردار ویژه است، سپس α vهمچنین یک بردار ویژه است.

2.7. مقادیر ویژه

در ماتریس آ، بعد، ابعاد، اندازه ( ن× ن) نمی تواند بزرگتر از نمقادیر ویژه راضی می کنند معادله مشخصه

دت( آ − λ من) = 0,

بودن معادله جبری ن- مرتبه به طور خاص، برای یک ماتریس 2×2، معادله مشخصه شکل دارد

مثلا،

برنج. 21 مقادیر ویژه

مجموعه ای از مقادیر ویژه λ 1،...، λ نماتریس ها آتماس گرفت طیف آ.

طیف دارای خواص مختلفی است. به خصوص

دت( آ) = λ 1×...×λ ن, Sp( آ) = λ 1 +...+λ ن.

مقادیر ویژه یک ماتریس دلخواه می تواند اعداد مختلط باشد، اما اگر ماتریس متقارن باشد ( آ t = آ، سپس مقادیر ویژه آن واقعی هستند.

2.8. بردارهای ویژه

در ماتریس آ، بعد، ابعاد، اندازه ( ن× ن) نمی تواند بزرگتر از نبردارهای ویژه که هر کدام با مقدار خود مطابقت دارد. برای تعیین بردار ویژه v nشما باید یک سیستم معادلات همگن را حل کنید

(آ − λ n من)v n = 0 .

این یک راه حل غیر ضروری دارد زیرا det( آ-λ n من) = 0.

مثلا،

برنج. 22 بردار ویژه

بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن متعامد هستند.

چگونه فرمول های ریاضی را در سایت درج کنیم؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانگونه است که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که Wolfram Alpha به طور خودکار تولید می کند در سایت درج می شوند. علاوه بر سادگی، این روش جهانی به بهبود دید سایت در داخل کمک خواهد کرد موتورهای جستجو. مدت زیادی است که کار می کند (و فکر می کنم برای همیشه کار خواهد کرد) اما از نظر اخلاقی قدیمی است.

اگر دائماً از فرمول‌های ریاضی در سایت خود استفاده می‌کنید، توصیه می‌کنم از MathJax استفاده کنید، یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه‌گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می‌دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود آپلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم پیچیده‌تر و زمان‌برتر است و به شما این امکان را می‌دهد که سرعت بارگذاری صفحات سایت خود را افزایش دهید و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، به هیچ وجه روی سایت شما تأثیری نخواهد داشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم، زیرا ساده تر، سریع تر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در وب سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا از صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها ویا درست بعد از برچسب . طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را ردیابی و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را بچسبانید، صفحات کندتر بارگیری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد بارگذاری بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیک تر قرار دهید. ابتدای الگو (به هر حال، این به هیچ وجه ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب خود جاسازی کنید.

هر فراکتال بر اساس ساخته شده است قاعده معین، که به صورت متوالی تعداد نامحدودی اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. به نظر می رسد مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند به صورت نامحدود، اسفنج منگر را به دست می آوریم.

با ماتریس A، اگر یک عدد l وجود داشته باشد که AX = lX باشد.

در این حالت عدد l نامیده می شود مقدار خاصعملگر (ماتریس A) مربوط به بردار X.

به عبارت دیگر، بردار ویژه برداری است که تحت عمل یک عملگر خطی، به یک بردار خطی تبدیل می شود، یعنی. فقط در یک عدد ضرب کنید در مقابل، تبدیل بردارهای نامناسب دشوارتر است.

ما تعریف بردار ویژه را به عنوان یک سیستم معادلات می نویسیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

آخرین سیستم را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:

(A - lE)X \u003d O

سیستم حاصل همیشه یک جواب صفر دارد X = O. چنین سیستم هایی که در آنها تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شوند. همگن. اگر ماتریس چنین سیستمی مربع باشد و تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، با فرمول های کرامر همیشه به دست می آوریم. تنها تصمیم- صفر می توان ثابت کرد که سیستم راه حل های غیر صفر دارد اگر و تنها در صورتی که تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر باشد، یعنی.

|A - lE| = = 0

این معادله با l مجهول نامیده می شود معادله مشخصه (چند جمله ای مشخصه) ماتریس A (عملگر خطی).

می توان ثابت کرد که چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی به انتخاب مبنا بستگی ندارد.

برای مثال، بیایید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی را که توسط ماتریس A = ارائه شده است، پیدا کنیم.

برای این کار معادله مشخصه |А - lЕ| را می سازیم = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; مقادیر ویژه l 1 = (2 - 12)/2 = -5؛ l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

برای یافتن بردارهای ویژه، دو سیستم معادله را حل می کنیم

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

برای اولین مورد، ماتریس گسترش یافته شکل خواهد گرفت

از آنجا x 2 \u003d c، x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s، یعنی. X (1) \u003d (- (2/3) s؛ s).

برای دومی از آنها، ماتریس گسترش یافته شکل خواهد گرفت

از آنجا x 2 \u003d c 1، x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1، یعنی. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

بنابراین، بردارهای ویژه این عملگر خطی همه بردارهایی به شکل (-(2/3)c؛ c) با مقدار ویژه (-5) و همه بردارهای شکل ((2/3)c 1 ; c 1) با مقدار ویژه 7.

می توان ثابت کرد که ماتریس عملگر A در پایه متشکل از بردارهای ویژه آن مورب است و به شکل زیر است:

جایی که l i مقادیر ویژه این ماتریس هستند.

برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس A در برخی از پایه ها مورب باشد، تمام بردارهای این مبنا بردارهای ویژه این ماتریس خواهند بود.

همچنین می توان ثابت کرد که اگر یک عملگر خطی دارای n مقدار ویژه متمایز به صورت جفتی باشد، بردارهای ویژه متناظر به صورت خطی مستقل هستند و ماتریس این عملگر در مبنای متناظر دارای فرم مورب است.

بیایید این را با مثال قبلی توضیح دهیم. اجازه دهید مقادیر غیر صفر دلخواه c و c 1 را در نظر بگیریم، اما به گونه ای که بردارهای X (1) و X (2) به صورت خطی مستقل باشند، یعنی. مبنایی را تشکیل خواهد داد. برای مثال، اجازه دهید c \u003d c 1 \u003d 3، سپس X (1) \u003d (-2; 3)، X (2) \u003d (2; 3).

اجازه دهید استقلال خطی این بردارها را تأیید کنیم:

12 ≠ 0. در این مبنای جدید، ماتریس A به شکل A * = خواهد بود.

برای تأیید این موضوع، از فرمول A * = C -1 AC استفاده می کنیم. بیایید ابتدا C -1 را پیدا کنیم.

C -1 = ;

فرم های درجه دوم

فرم درجه دوم f (x 1, x 2, x n) از n متغیر مجموع نامیده می شود که هر جمله آن یا مجذور یکی از متغیرها است یا حاصل ضرب دو متغیر مختلف با یک ضریب معین: f (x 1 ، x 2، x n) = (a ij = a ji).

ماتریس A که از این ضرایب تشکیل شده است نامیده می شود ماتریسفرم درجه دوم همیشه هست متقارنماتریس (یعنی یک ماتریس متقارن در مورد قطر اصلی، a ij = a ji).

در نمادگذاری ماتریسی، شکل درجه دوم به شکل f(X) = X T AX است، که در آن

در واقع

برای مثال بیایید فرم درجه دوم را به صورت ماتریسی بنویسیم.

برای انجام این کار، ماتریس یک فرم درجه دوم را پیدا می کنیم. عناصر مورب آن برابر با ضرایب در مربع متغیرها و عناصر باقی مانده برابر با نیمی از ضرایب متناظر شکل درجه دوم هستند. از همین رو

اجازه دهید ماتریس-ستون متغیرهای X با تبدیل خطی غیرمنحط از ماتریس-ستون Y به دست آید، یعنی. X = CY، که در آن C یک ماتریس غیر منحط از مرتبه n است. سپس فرم درجه دوم f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

بنابراین، تحت یک تبدیل خطی غیر انحطاط C، ماتریس شکل درجه دوم شکل: A * = C T AC.

به عنوان مثال، بیایید شکل درجه دوم f(y 1, y 2) را که از شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 با تبدیل خطی به دست می آید، پیدا کنیم.

شکل درجه دوم نامیده می شود ابتدایی(این دارد دیدگاه متعارف) اگر تمام ضرایب آن a ij = 0 برای i ≠ j، یعنی.
f(x 1، x 2، x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

ماتریس آن مورب است.

قضیه(اثبات در اینجا ارائه نشده است). هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل خطی غیر انحطاط به شکل متعارف کاهش داد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم را به شکل متعارف کاهش دهیم
f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

برای انجام این کار، ابتدا مربع کامل متغیر x 1 را انتخاب کنید:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

حالا مربع کامل را برای متغیر x 2 انتخاب می کنیم:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

سپس تبدیل خطی غیر منحط y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 و y 3 \u003d x 3 این شکل درجه دوم را به شکل متعارف f (y 1 می کند. , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

توجه داشته باشید که شکل متعارف یک فرم درجه دوم به طور مبهم تعریف شده است (همان شکل درجه دوم را می توان به شکل متعارف کاهش داد. روش های مختلف). با این حال روش های مختلفاشکال متعارف یک عدد دارند خواص مشترک. به طور خاص، تعداد عبارات با ضرایب مثبت (منفی) یک فرم درجه دوم به نحوه کاهش شکل به این شکل بستگی ندارد (به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده همیشه دو ضریب منفی و یک ضریب مثبت وجود خواهد داشت). این ویژگی را قانون اینرسی اشکال درجه دوم می نامند.

اجازه دهید این را با کاهش همان شکل درجه دوم به شکل متعارف به روشی دیگر تأیید کنیم. اجازه دهید تبدیل را با متغیر x 2 شروع کنیم:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2 x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1، y 2، y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2، که در آن y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3، y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 و y 3 = x 1 . در اینجا، یک ضریب منفی -3 در y 1 و دو ضریب مثبت 3 و 2 در y 2 و y 3 (و با استفاده از روش دیگر، ضریب منفی (-5) در y 2 و دو ضریب مثبت به دست آوردیم: 2 در y 1 و 1/20 برای y 3).

همچنین لازم به ذکر است که رتبه یک ماتریس از فرم درجه دوم، به نام رتبه فرم درجه دوم، برابر با تعداد ضرایب غیر صفر شکل متعارف است و تحت تبدیل های خطی تغییر نمی کند.

شکل درجه دوم f(X) نامیده می شود مثبت (منفی) مسلم - قطعی، اگر برای همه مقادیر متغیرهایی که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، مثبت است، یعنی. f(X) > 0 (منفی، یعنی.
f (X)< 0).

به عنوان مثال، شکل درجه دوم f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 مثبت است، زیرا مجموع مربع ها است و شکل درجه دوم f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 منفی قطعی است، زیرا نشان می دهد که می توان آن را به صورت f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 نشان داد.

در اکثر موقعیت‌های عملی، تعیین قطعیت علامت یک شکل درجه دوم تا حدودی دشوارتر است، بنابراین یکی از قضایای زیر برای این مورد استفاده می‌شود (ما آنها را بدون برهان صورت‌بندی می‌کنیم).

قضیه. یک شکل درجه دوم مثبت (منفی) قطعی است اگر و فقط در صورتی که همه مقادیر ویژه ماتریس آن مثبت (منفی) باشند.

قضیه(معیار سیلوستر). یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و فقط در صورتی که همه جزئی های اصلی ماتریس این شکل مثبت باشند.

ماژور (گوشه) جزئیمرتبه k ام ماتریس A از مرتبه n را تعیین کننده ماتریس می گویند که از k ردیف و ستون اول ماتریس A () تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که برای اشکال درجه دوم منفی-معین، علائم صغیر اصلی متناوب هستند و صغیر مرتبه اول باید منفی باشد.

به عنوان مثال، شکل درجه دوم f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 را برای مشخص بودن علامت بررسی می کنیم.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. بنابراین با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

شکل درجه دوم دیگری را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم، f (x 1، x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس به شکل درجه دوم А = بسازیم. معادله مشخصهشبیه خواهد شد = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم قطعی منفی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. بنابراین، با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم قطعی منفی است (علائم صغیر اصلی متناوب، شروع از منهای).

و به عنوان مثال دیگری، شکل درجه دوم f (x 1، x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم.

روش 1. بیایید یک ماتریس به شکل درجه دوم А = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

یکی از این اعداد منفی و دیگری مثبت است. نشانه های مقادیر ویژه متفاوت است. بنابراین، شکل درجه دوم نمی تواند معین منفی یا مثبت باشد، یعنی. این شکل درجه دوم علامت مشخص نیست (می تواند مقادیر هر علامتی را بگیرد).

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

مقادیر ویژه (اعداد) و بردارهای ویژه.
نمونه های راه حل

خودت باش

از هر دو معادله نتیجه می شود که .

پس بگذاریم: .

در نتیجه: بردار ویژه دوم است.

نکات مهم را مرور می کنیم:

– سیستم حاصل قطعاً دارد تصمیم مشترک(معادلات به صورت خطی وابسته هستند)؛

- "Y" به گونه ای انتخاب می شود که عدد صحیح و اولین مختصات "x" عدد صحیح، مثبت و تا حد امکان کوچک باشد.

- بررسی می کنیم که راه حل خاص هر معادله سیستم را برآورده کند.

پاسخ .

"نقاط بازرسی" میانی کاملاً کافی بود، بنابراین بررسی برابری ها، در اصل، اضافی است.

در منابع مختلف اطلاعات، مختصات بردارهای ویژه اغلب نه در ستون ها، بلکه در ردیف ها نوشته می شود، به عنوان مثال: (و راستش من خودم آنها را در خط می نوشتم). این گزینه قابل قبول است، اما با توجه به موضوع تبدیل های خطیاستفاده از نظر فنی راحت تر است بردارهای ستونی.

شاید راه حل برای شما بسیار طولانی به نظر می رسید، اما این تنها به این دلیل است که من در مورد مثال اول با جزئیات بسیار توضیح دادم.

مثال 2

ماتریس ها

ما خودمان تمرین می کنیم! نمونه تقریبی طرح نهایی تکلیف در پایان درس.

گاهی اوقات شما نیاز به انجام یک کار اضافی دارید، یعنی:

تجزیه متعارف ماتریس را بنویسید

آن چیست؟

اگر بردارهای ویژه ماتریس تشکیل شود اساس، سپس می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

کجا یک ماتریس از مختصات بردارهای ویژه تشکیل شده است، - موربماتریس با مقادیر ویژه مربوطه

این تجزیه ماتریس نامیده می شود ابتدایییا مورب.

ماتریس مثال اول را در نظر بگیرید. بردارهای خودش مستقل خطی(غیر خطی) و پایه را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از مختصات آنها بسازیم:

در مورب اصلیماتریس ها به ترتیب مقتضیمقادیر ویژه قرار دارند و عناصر باقیمانده برابر با صفر هستند:
- یک بار دیگر بر اهمیت ترتیب تأکید می کنم: "دو" با بردار 1 مطابقت دارد و بنابراین در ستون 1 قرار دارد، "سه" - به بردار 2.

طبق الگوریتم معمول برای یافتن ماتریس معکوسیا روش گاوس-اردنپیدا کردن . نه، اشتباه تایپی نیست! - در مقابل شما نادر است، مانند خورشید گرفتگیرویداد زمانی که معکوس با ماتریس اصلی مطابقت داشت.

باقی مانده است که تجزیه متعارف ماتریس را بنویسیم:

سیستم را می توان با حل کرد تحولات ابتداییو در مثال های زیر به آن متوسل می شویم این روش. اما در اینجا روش "مدرسه" بسیار سریعتر کار می کند. از معادله 3 بیان می کنیم: - جایگزین به معادله دوم:

از آنجایی که مختصات اول صفر است، سیستمی به دست می آید که از هر معادله آن نتیجه می شود.

و دوباره به حضور اجباری یک رابطه خطی توجه کنید. اگر فقط یک راه حل پیش پا افتاده به دست آید ، سپس یا مقدار ویژه اشتباه پیدا شد یا سیستم با یک خطا کامپایل / حل شد.

مختصات فشرده ارزش می دهد

بردار ویژه:

و یک بار دیگر، ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. در پاراگراف های بعدی و در کارهای بعدی توصیه می کنم که این آرزو به عنوان یک قانون اجباری پذیرفته شود.

2) برای مقدار ویژه، طبق همان اصل، سیستم زیر را به دست می آوریم:

از معادله 2 سیستم بیان می کنیم: - جایگزین به معادله سوم:

از آنجایی که مختصات "Z" برابر با صفر است، سیستمی به دست می آوریم که از هر معادله آن یک وابستگی خطی به دست می آید.

اجازه دهید

ما بررسی می کنیم که راه حل تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

بنابراین، بردار ویژه: .

3) و در نهایت، سیستم با مقدار خود مطابقت دارد:

معادله دوم ساده ترین به نظر می رسد، بنابراین ما آن را از آن بیان می کنیم و آن را با معادلات 1 و 3 جایگزین می کنیم:

همه چیز خوب است - یک وابستگی خطی آشکار شد که ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم:

در نتیجه "X" و "Y" از طریق "Z" بیان شد: . در عمل، دستیابی به چنین روابطی ضروری نیست؛ در برخی موارد بیان کردن از طریق یا از طریق راحت تر است. یا حتی یک "قطار" - به عنوان مثال، "X" از "Y"، و "Y" از طریق "Z"

پس بگذاریم:

ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است هر معادله سیستم را برآورده می کند و بردار ویژه سوم را می نویسد

پاسخ: بردارهای ویژه:

از نظر هندسی، این بردارها سه جهت فضایی مختلف را تعریف می کنند ("آنجا و دوباره بازگشت")، که بر اساس آن تبدیل خطیبردارهای غیر صفر (بردارهای ویژه) را به بردارهایی هم خط با آنها تبدیل می کند.

اگر طبق شرط لازم بود که بسط متعارفی پیدا شود، در اینجا این امکان وجود دارد، زیرا مقادیر ویژه مختلف با بردارهای ویژه مستقل خطی متفاوت مطابقت دارند. ما یک ماتریس درست می کنیم از مختصات آنها، ماتریس مورب از جانب مربوطمقادیر ویژه و پیدا کردن ماتریس معکوس .

اگر بنا به شرط لازم است بنویسیم ماتریس تبدیل خطی بر اساس بردارهای ویژه، سپس پاسخ را در فرم می دهیم. یک تفاوت وجود دارد و یک تفاوت قابل توجه!برای این ماتریس ماتریس "de" است.

یک مسئله با محاسبات ساده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

بردارهای ویژه تبدیل خطی که با ماتریس داده شده است را بیابید

هنگام پیدا کردن اعداد خود، سعی کنید مورد را به چند جمله ای درجه 3 وارد نکنید. علاوه بر این، راه حل های سیستم شما ممکن است با راه حل های من متفاوت باشد - هیچ ابهامی در اینجا وجود ندارد. و بردارهایی که پیدا می کنید ممکن است تا تناسب با مختصات مربوطه با بردارهای نمونه متفاوت باشد. به عنوان مثال، و . از نظر زیبایی شناختی بهتر است که پاسخ را به شکل ارائه کنید، اما اگر روی گزینه دوم متوقف شوید اشکالی ندارد. با این حال، محدودیت های معقولی برای همه چیز وجود دارد، نسخه دیگر خیلی خوب به نظر نمی رسد.

نمونه نهایی تقریبی تکلیف در پایان درس.

چگونه مشکل را در صورت وجود مقادیر ویژه چندگانه حل کنیم؟

الگوریتم کلی یکسان باقی می ماند، اما ویژگی های خاص خود را دارد، و توصیه می شود برخی از بخش های راه حل را به سبک دانشگاهی دقیق تر نگه دارید:

مثال 6

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

راه حل

البته، بیایید ستون اول افسانه ای را با حروف بزرگ بنویسیم:

و پس از فاکتورگیری مثلث مربع:

در نتیجه مقادیر ویژه به دست می آید که دو عدد از آنها مضرب هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) ما با یک سرباز تنها طبق یک طرح "ساده شده" برخورد خواهیم کرد:

از دو معادله آخر، برابری به وضوح قابل مشاهده است، که بدیهی است که باید به معادله 1 سیستم جایگزین شود:

ترکیب بهتری وجود ندارد:
بردار ویژه:

2-3) اکنون چند نگهبان را حذف می کنیم. در این مورد، ممکن است یا دو یا یکبردار ویژه صرف نظر از تعدد ریشه ها، مقدار را در تعیین کننده جایگزین می کنیم ، که موارد زیر را برای ما به ارمغان می آورد سیستم همگن معادلات خطی:

بردارهای ویژه دقیقا همان بردارها هستند
سیستم تصمیم گیری اساسی

در واقع، در طول درس، ما فقط درگیر یافتن بردارهای سیستم بنیادی بودیم. فقط در حال حاضر، این اصطلاح به ویژه مورد نیاز نبود. به هر حال، آن دانش آموزان ماهر که، در استتار معادلات همگن، اکنون مجبور به کشیدن آن می شود.

تنها اقدام حذف خطوط اضافی بود. نتیجه یک ماتریس "یک به سه" با یک "گام" رسمی در وسط است.
– متغیر پایه، – متغیرهای آزاد. دو متغیر رایگان وجود دارد، بنابراین همچنین دو بردار از سیستم بنیادی وجود دارد.

بیایید متغیر پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم: . ضریب صفر در مقابل "x" به آن اجازه می دهد تا کاملاً هر مقداری را بگیرد (که از سیستم معادلات نیز به وضوح قابل مشاهده است).

در زمینه این مشکل، راحت تر است که راه حل کلی را نه در یک ردیف، بلکه در یک ستون بنویسید:

جفت مربوط به بردار ویژه است:
جفت مربوط به بردار ویژه است:

توجه داشته باشید : خوانندگان پیشرفته می توانند این بردارها را به صورت شفاهی انتخاب کنند - فقط با تجزیه و تحلیل سیستم ، اما در اینجا به مقداری دانش نیاز است: سه متغیر وجود دارد، رتبه ماتریس سیستم- واحد یعنی سیستم تصمیم گیری اساسیشامل 3 – 1 = 2 بردار است. با این حال، بردارهای یافت شده حتی بدون این دانش، کاملاً در سطح شهودی کاملاً قابل مشاهده هستند. در این صورت، بردار سوم حتی "زیباتر" نوشته می شود: . با این حال، من به شما هشدار می دهم، در مثال دیگری، ممکن است انتخاب ساده ای وجود نداشته باشد، به همین دلیل است که رزرو برای افراد با تجربه در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، چرا به عنوان بردار سوم، مثلاً، را نمی گیریم؟ از این گذشته، مختصات آن نیز هر معادله سیستم و بردارها را برآورده می کند به صورت خطی مستقل هستند. این گزینه، در اصل، مناسب است، اما "کم"، زیرا بردار "دیگر" ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی است.

پاسخ: مقادیر ویژه: , بردارهای ویژه:

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

نمونه تقریبی اتمام در پایان درس.

لازم به ذکر است که در هر دو مثال ششم و هفتم، سه بردار ویژه خطی مستقل به دست می آید و بنابراین ماتریس اصلی را می توان در بسط متعارف نشان داد. اما چنین تمشک در همه موارد اتفاق نمی افتد:

مثال 8