توابع انتقال سیستم تعریف تابع انتقال

می توانید با خارج کردن X(s) و Y(s) از براکت و تقسیم بر یکدیگر تبدیل کنید:

عبارت حاصل انتقال نامیده می شود

(2.4)

تابع انتقال نسبت تصویر اثر خروجی Y(s) به تصویر ورودی X در شرایط اولیه صفر نامیده می شود.

تابع انتقال یک تابع منطقی کسری از یک متغیر مختلط است:

تابع انتقال دارای ترتیبی است که با ترتیب چند جمله ای مخرج (n) تعیین می شود.

از (2.4) نتیجه می شود که تصویر سیگنال خروجی را می توان به صورت پیدا کرد

Y(s) = W(s)*X(s).

از آنجایی که تابع انتقال سیستم به طور کامل ویژگی های دینامیکی آن را تعیین می کند، وظیفه اولیه محاسبه ASR به تعیین تابع انتقال آن کاهش می یابد.

نمونه هایی از پیوندهای معمولی

پیوند یک سیستم عنصری از یک سیستم است که دارای ویژگی های دینامیکی خاصی است. لینک‌های سیستم‌های کنترل می‌توانند ماهیت فیزیکی متفاوتی داشته باشند (لینک‌های الکتریکی، پنوماتیکی، مکانیکی و غیره)، اما با همان کنترل از راه دور توصیف می‌شوند و نسبت سیگنال‌های ورودی و خروجی در لینک‌ها با همان توابع انتقال توصیف می‌شود. . در TAU، گروهی از ساده ترین واحدها متمایز می شوند که معمولاً به آنها معمولی می گویند. خصوصیات استاتیکی و دینامیکی پیوندهای معمولی به طور کامل مورد مطالعه قرار گرفته است. پیوندهای استاندارد به طور گسترده ای در تعیین ویژگی های دینامیکی اشیاء کنترلی استفاده می شوند. به عنوان مثال، با دانستن پاسخ گذرا ساخته شده با استفاده از یک دستگاه ضبط، اغلب می توان تعیین کرد که شی کنترل به چه نوع پیوندهایی تعلق دارد و بنابراین عملکرد انتقال آن، معادله دیفرانسیلو غیره، یعنی مدل شی لینک های معمولی هر پیوند پیچیده را می توان به عنوان پیوندی از پیوندهای ساده تر نشان داد.

ساده ترین پیوندهای معمولی عبارتند از:

· تشدید،

· اینرسی (دوره ای مرتبه 1)،

یکپارچه سازی (واقعی و ایده آل)،

تمایز (واقعی و ایده آل)،

· مرتبه دوم پریودیک،

· نوسانی،

· با تاخیر

1) پیوند تقویت کننده.

پیوند سیگنال ورودی را K بار تقویت می کند. معادله پیوند y = K*x، تابع انتقال W(s) = K. پارامتر K فراخوانی می شود عامل افزایش

سیگنال خروجی چنین پیوندی دقیقاً سیگنال ورودی را تکرار می کند که با K بار تقویت شده است (شکل 1.18). y = Kx.

با تاثیر گام به گام h(t) = K.

نمونه هایی از این لینک ها عبارتند از: انتقال مکانیکی، حسگرها، تقویت کننده های بدون اینرسی و غیره.

2) یکپارچه سازی

2.1) یکپارچه سازی ایده آل.

مقدار خروجی پیوند ادغام ایده آل متناسب با انتگرال مقدار ورودی است:

هنگامی که یک پیوند اقدام مرحله ای x(t) = 1 به ورودی اعمال می شود، سیگنال خروجی دائما افزایش می یابد (شکل 1.19):

h(t) = Kt.

این پیوند استاتیک است، یعنی. حالت ثابتی ندارد

نمونه ای از چنین پیوندی یک ظرف پر از مایع است. پارامتر ورودی میزان جریان مایع ورودی است، پارامتر خروجی سطح است. در ابتدا، ظرف خالی است و در صورت عدم جریان، سطح صفر است، اما اگر منبع مایع را روشن کنید، سطح شروع به افزایش یکنواخت می کند.

2.2) ادغام واقعی

تابع انتقال این پیوند به شکل (شکل 1.20) است.

پاسخ انتقال، بر خلاف یک پیوند ایده آل، یک منحنی است

اگر ولتاژ منبع تغذیه استاتور به عنوان اثر ورودی و زاویه چرخش روتور به عنوان اثر خروجی در نظر گرفته شود، یک نمونه از یک پیوند یکپارچه، یک موتور DC با تحریک مستقل است. اگر ولتاژی به موتور داده نشود، روتور حرکت نمی‌کند و زاویه چرخش آن را می‌توان برابر با صفر در نظر گرفت. هنگامی که ولتاژ اعمال می شود، روتور شروع به چرخش می کند و زاویه چرخش آن ابتدا به آرامی به دلیل اینرسی است و سپس با سرعت بیشتری افزایش می یابد تا به سرعت چرخش معینی برسد.

3) متمایز کردن

3.1) تمایز ایده آل.

مقدار خروجی متناسب با مشتق زمانی ورودی است:

با یک سیگنال ورودی پله ای، سیگنال خروجی یک پالس است (تابع d): h(t) = Kδ(t).

3.2) تمایز واقعی.

پیوندهای تمایز ایده آل از نظر فیزیکی قابل تحقق نیستند. اکثر اشیایی که پیوندهای متمایز کننده را نشان می دهند متعلق به پیوندهای متمایز کننده واقعی هستند که توابع انتقال آن شکلی دارند.

پاسخ انتقال (شکل 1.21):

مثال پیوند: ژنراتور برق. پارامتر ورودی زاویه چرخش روتور است، پارامتر خروجی ولتاژ است. اگر روتور در یک زاویه خاص بچرخد، ولتاژ در پایانه ها ظاهر می شود، اما اگر روتور بیشتر نچرخد، ولتاژ به صفر می رسد. به دلیل وجود اندوکتانس در سیم پیچ نمی تواند به شدت افت کند.

4) غیر پریودیک (اینرسی).

تصویر افکت مرحله: X(s) = Xo / s سپس تصویر مقدار خروجی:

بیایید کسر را به عدد اول تقسیم کنیم:

اصل کسر اول طبق جدول:

ثابت T نامیده می شود ثابت زمانی. اکثر اجسام حرارتی پیوندهای غیر پریودیک هستند. به عنوان مثال، هنگامی که ولتاژ به ورودی یک کوره الکتریکی اعمال می شود، دمای آن مطابق قانون مشابه تغییر می کند (شکل 1.22).

5) پیوندهای مرتبه دوم (شکل 1.23)

لینک ها دارای انواع DU و PF هستند.

هنگامی که یک اثر گام به گام دامنه Xo به ورودی اعمال می شود، منحنی گذار یکی از دو نوع خواهد داشت: غیر دوره ای (برای T1 ≥ 2T2) یا نوسانی (برای T1).< 2Т2).

در این راستا، پیوندهای مرتبه دوم متمایز می شوند:

· مرتبه دوم پریودیک (T1 ≥ 2T2)،

· اینرسی (T1< 2Т2),

· محافظه کار (T1 = 0).

6) تاخیر.

اگر هنگامی که سیگنال خاصی به ورودی یک جسم اعمال می شود، بلافاصله به این سیگنال واکنش نشان نمی دهد، اما پس از مدتی، آن شی دارای تاخیر است.

تاخیر– این فاصله زمانی از لحظه تغییر سیگنال ورودی تا شروع تغییر سیگنال خروجی است.

لینک عقب افتاده- این پیوندی است که در آن مقدار خروجی y دقیقاً مقدار ورودی x را با مقداری تاخیر t تکرار می کند.

لینک های معمولی سیستم های خطیرا می توان به روش های مختلف معادل تعیین کرد، به ویژه با استفاده از به اصطلاح تابع انتقال، که، به عنوان یک قاعده، یک شکل کسری-گویا، یعنی. که نسبت دو چند جمله ای است:

که در آن b i و a j ضرایب چند جمله ای ها هستند. این به اصطلاح است پارامترهای تابع یا پیوند انتقال

تابع انتقال تصویر Y(p) سیگنال خروجی y(t) یک لینک را به تصویر X(p) سیگنال ورودی آن x(t) متصل می کند:

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

آن ها به شما امکان می دهد خروجی y(t) را از هر سیگنال ورودی شناخته شده x(t) پیدا کنید. این بدان معنی است که از نقطه نظر TAU، تابع انتقال به طور کامل سیستم کنترل یا پیوند آن را مشخص می کند. همین امر را می توان در مورد مجموعه ضرایب چند جمله ای صورت و مخرج تابع انتقال نیز گفت.

عملکرد انتقال لینکدبلیو(پ) نسبت تبدیل لاپلاس کمیت خروجی به تبدیل لاپلاس کمیت ورودی است

2. اطلاعات مختصری در مورد پیوندهای موقعیتی

پیوندهای موقعیتی شامل پیوندهای پویا معمولی زیر هستند:

پیوند بی اینرسی،

پیوند دوره ای مرتبه اول،

پیوند دوره ای مرتبه دوم،

پیوند نوسانی

پیوند محافظه کارانه

مشخصات زمانی پیوندهای موقعیتی در جدول خلاصه شده است. 1. توابع انتقال پیوندها نیز در اینجا نشان داده شده است.

آ).پیوند بی اینرسی

این پیوند نه تنها در استاتیک، بلکه در دینامیک نیز توسط معادله جبری توصیف می شود

ایکس بیرون = k ایکس ورودی (2.1)

تابع انتقال پیوند برابر با یک مقدار ثابت است

W(p) = x بیرون (p)/x ورودی (p) = k (2.2)

نمونه ای از چنین پیوندی عبارتند از: گیربکس مکانیکی (بدون در نظر گرفتن پدیده پیچش و عکس العمل)، تقویت کننده الکترونیکی بدون اینرسی (باند پهن)، تقسیم کننده ولتاژ و غیره. بسیاری از سنسورهای سیگنال مانند سنسورهای پتانسیومتری، سنسورهای القایی، ترانسفورماتورهای دوار و سنکرونایزرها، فتوسل ها و غیره را نیز می توان به عنوان لینک های بدون اینرسی در نظر گرفت.

به طور کلی، یک پیوند بدون اینرسی ایده‌آل‌سازی خاصی از پیوندهای واقعی است. در واقع، همه پیوندها با مقداری اینرسی مشخص می شوند، بنابراین هیچ یک از لینک ها قادر به عبور یکنواخت همه فرکانس ها از 0 تا  نیست. معمولاً یکی از پیوندهای واقعی که در زیر مورد بحث قرار می‌گیرد، به عنوان مثال، غیر پریودیک یا نوسانی، به این نوع پیوند کاهش می‌یابد، اگر بتوان از تأثیر فرآیندهای دینامیکی در این پیوند (یعنی ثابت‌های زمانی) چشم پوشی کرد.

ب)پیوند دوره ای مرتبه 1

این پیوند با معادله دیفرانسیل توصیف می شود

, (2.3)

جایی که تی- ثابت زمانی، s،

k-ضریب انتقال لینک

تابع انتقال پیوند دارای فرم است

(2.4)

یک پیوند غیرپریودیک ساده ترین پیوندی است که دارای اینرسی است. در واقع، این پیوند در ابتدا بلافاصله و به سرعت انجام نمی‌شود، و سپس به تدریج به نفوذ تدریجی واکنش نشان می‌دهد. این به این دلیل اتفاق می‌افتد که در اصل فیزیکی پیوند غیرپریودیک یک عنصر انباشته‌کننده (و همچنین یک یا چند عنصر مصرف‌کننده انرژی) وجود دارد، انرژی ذخیره‌شده در آن نمی‌تواند به طور ناگهانی در زمان تغییر کند - این به قدرت بی‌نهایت نیاز دارد.

نمونه هایی از پیوندهای غیر پریودیک مرتبه 1 عبارتند از: موتور از هر نوع (الکتریکی، هیدرولیک، پنوماتیک)، ژنراتور DC، الکتریکی R.C.- و LR- مدارها، تقویت کننده مغناطیسی، مخزن گاز، کوره گرمایش. فرآیندهای کاری در این واحدها با معادله کلی (2.3) توصیف می شوند.

V)پیوند دوره ای مرتبه 2

معادله دیفرانسیل پیوند به شکل زیر است:

(2.5)

در این مورد، ریشه های معادله مشخصه

پ 2 + تی 1  پ+1=0 (2.6)

باید واقعی باشد که تحت شرط ارضا می شود

تی 1  2  تی 2 (2.7)

پس از تحولات ساده به دست می آوریم

(3.54)

قانون:عملکرد انتقال سیستم با منفیبازخورد برابر با کسری است که صورت آن تابع انتقال کانال فوروارد و مخرج آن مجموع وحدت و حاصلضرب توابع انتقال کانال های رو به جلو و معکوس سیستم است.

چه زمانی مثبتفرمول بازخورد (3.54) شکل می گیرد

(3.55)

در عمل معمولاً با سیستم‌هایی با بازخورد منفی مواجه می‌شویم که تابع انتقال طبق رابطه (54/3) پیدا می‌شود.

3.3.4. قانون انتقال

در برخی موارد، برای به دست آوردن تابع انتقال کلی سیستم با استفاده از تبدیل‌های ساختاری، راحت‌تر است که نقطه اعمال سیگنال را از طریق پیوند نزدیک‌تر به خروجی یا ورودی منتقل کنیم. با چنین تغییر شکلی از نمودار ساختاری، باید به آن پایبند بود قوانین:عملکرد انتقال سیستم باید بدون تغییر باقی بماند.

بیایید وضعیتی را در نظر بگیریم که نقطه اعمال سیگنال از طریق پیوند نزدیکتر به خروجی منتقل می شود. ساختار اولیه سیستم در شکل نشان داده شده است. 3.31. اجازه دهید تابع انتقال حاصل را برای آن تعیین کنیم

بیایید با افزودن مقداری تابع انتقال به این کانال، نقطه اعمال سیگنال را از طریق پیوند با تابع انتقال منتقل کنیم.یک نمودار بلوکی از سیستم تبدیل شده به دست می آوریم (شکل 3 32).

برنج. 3.32. بلوک دیاگرام سیستم تبدیل شده.

برای آن، تابع انتقال دارای فرم است

از آنجایی که هنگام تبدیل ساختار سیستم، تابع انتقال آن نباید تغییر کند، با معادل سازی سمت راست عبارات (3.56) و (3.57)، تابع انتقال مورد نیاز را تعیین می کنیم.

بنابراین، هنگام نزدیک‌تر کردن نقطه اعمال سیگنال به خروجی سیستم، عملکرد انتقال پیوندی که سیگنال از طریق آن ارسال می‌شود باید به کانال اضافه شود.

مشابه قانونرا می توان طوری فرمول بندی کرد که نقطه کاربرد سیگنال را به ورودی سیستم نزدیکتر کند: تابع انتقال معکوس پیوندی که سیگنال از طریق آن منتقل می شود باید به کانال مربوطه اضافه شود.

مثال 3.1

تابع انتقال کلی سیستم را که بلوک دیاگرام آن در شکل نشان داده شده است را تعیین کنید. 3.33.

اجازه دهید ابتدا توابع انتقال اتصالات پیوند معمولی را تعیین کنیم: تابع انتقال اتصال موازیپیوندها

و تابع انتقال لینک های متصل به سری

برنج. 3.33.بلوک دیاگرام سیستم

با در نظر گرفتن نمادهای معرفی شده، ساختار سیستم را می توان به شکل نشان داده شده در شکل 1 کاهش داد. 3.34.

با استفاده از تبدیلات ساختاری، تابع انتقال کلی سیستم را یادداشت می کنیم

جایگزینی ارزش های آنها به جای و، در نهایت به دست می آوریم

مثال 3.2

عملکرد انتقال سیستم ردیابی خودکار هدف ایستگاه رادار را که بلوک دیاگرام آن در شکل نشان داده شده است را تعیین کنید. 3.35.

برنج. 3.35.بلوک دیاگرام سیستم ردیابی خودکار هدف

در اینجا تابع انتقال گیرنده سیستم است. - عملکرد انتقال آشکارساز فاز؛ - عملکرد انتقال تقویت کننده قدرت؛ - عملکرد انتقال موتور؛ - عملکرد انتقال گیربکس؛ - عملکرد انتقال سنسور سرعت چرخش آنتن؛ - عملکرد انتقال دستگاه تصحیح.

با استفاده از قوانین تحولات ساختاری می نویسیم

تابع انتقال

اجازه دهید تابع انتقال حلقه داخلی را تعیین کنیم

و سیستم کانال مستقیم

اجازه دهید عملکرد انتقال کامل سیستم را تعیین کنیم

با جایگزینی مقادیر اولیه به جای توابع انتقال میانی، در نهایت به دست می آوریم

3.4. بلوک دیاگرام مربوط به معادلات دیفرانسیل

روش دوم ترسیم بلوک دیاگرام بر اساس استفاده از معادلات دیفرانسیل است. اجازه دهید ابتدا آن را برای جسمی در نظر بگیریم که رفتار آن با معادلات ماتریس برداری (2.1)، (2.2) توصیف شده است:

(3.59)

اجازه دهید معادله حالت را در (3.59) در طول زمان ادغام کنیم و متغیرهای حالت و خروجی را به شکل تعریف کنیم.

(3.60)

معادلات (3.60) برای ترسیم نمودار پایه هستند.

برنج. 3.36.بلوک دیاگرام مربوط به معادلات
حالت شی

راحت تر است که نمودار بلوک مربوط به معادلات (3.60) را با شروع متغیرهای خروجی به تصویر بکشید. yو توصیه می شود متغیرهای ورودی و خروجی شی را روی یک خط افقی قرار دهید (شکل 3.36).

برای یک شی تک کانال، نمودار ساختاری را می توان با استفاده از معادله (2.3) ترسیم کرد و آن را با توجه به بالاترین مشتق حل کرد.

داشتن یکپارچه (3.61) nیک بار، ما دریافت می کنیم

(3.62)

سیستم معادلات (3.62) با بلوک دیاگرام نشان داده شده در شکل مطابقت دارد. 3.37.

برنج. 3.37.بلوک دیاگرام مربوط به معادله (3.61)

همانطور که می بینیم، یک شی کنترلی تک کانالی، که رفتار آن با معادله (3.61) توصیف شده است، همیشه می تواند از نظر ساختاری به عنوان یک زنجیره از نمایش داده شود. nیکپارچه‌سازهای متصل به سری با بازخورد.

مثال 3.3

نمودار بلوکی یک شی را رسم کنید که مدل آن توسط سیستم معادلات دیفرانسیل زیر ارائه شده است:

اجازه دهید ابتدا معادلات حالت را یکپارچه کنیم

برنج. 3.38.تصویری از ترسیم بلوک دیاگرام
توسط معادلات حالت

مطابق با معادلات انتگرال در شکل. 3.38 ما یک بلوک دیاگرام از سیستم را به تصویر می کشیم.

3.5. انتقال از تابع انتقال به توصیف متعارف

بیایید بیشتر بحث کنیم روش های شناخته شدهدگرگونی مدل ریاضیشی به شکل یک تابع انتقال دلخواه به توضیحات در متغیرهای حالت. برای این منظور از نمودارهای ساختاری مناسب استفاده می کنیم. توجه داشته باشید که این کار مبهم است، زیرا متغیرهای حالت برای یک شی را می توان به روش های مختلف انتخاب کرد (به بخش 2.2 مراجعه کنید).

بیایید دو گزینه برای انتقال به توضیحات در متغیرهای حالت از تابع انتقال شی در نظر بگیریم

(3.63)

اجازه دهید ابتدا (3.63) را به عنوان حاصلضرب دو تابع انتقال ارائه کنیم:

هر یک از این نمایش ها (3.63) مطابق با مدل ساده خود در متغیرهای حالت است که نامیده می شود شکل متعارف

3.5.1. اولین شکل متعارف

اجازه دهید تبدیل مدل ریاضی سیستم را با تابع انتقال (3.64) در نظر بگیریم. بلوک دیاگرام آن را می توان به صورت دو لینک متصل به صورت سری نشان داد
(شکل 3.39).

برنج. 3.39.نمایش ساختاری سیستم (3.64)

برای هر لینک از سیستم معادله عملگر مربوطه را می نویسیم

(3.66)

اجازه دهید از رابطه اول (3.66) بالاترین مشتق متغیر را تعیین کنیم z، که با مقدار در فرم عملگر مطابقت دارد

عبارت به دست آمده به ما اجازه می دهد تا اولین معادله (3.66) را به صورت زنجیره ای نشان دهیم nیکپارچه سازها با بازخورد (به بخش 3.5 مراجعه کنید)، و متغیر خروجی yمطابق با معادله دوم (3.66) به عنوان مجموع متغیر تشکیل می شود zو او مترمشتقات (شکل 3.40).

برنج. 3.40.طرح مربوط به معادلات (3.66)

با استفاده از تبدیل های ساختاری، یک بلوک دیاگرام از سیستم نشان داده شده در شکل 1 را به دست می آوریم. 3.41.

برنج. 3.41.نمودار ساختاری مربوط به فرم متعارف

توجه داشته باشید که بلوک دیاگرام مربوط به تابع انتقال (3.64) از یک زنجیره تشکیل شده است nیکپارچه سازان، که در آن n- سفارش سیستم علاوه بر این، در بازخورد، ضرایب مخرج تابع انتقال اصلی (ضرایب چند جمله‌ای مشخصه)، و در ارتباط مستقیم، ضرایب چند جمله‌ای صورت‌گر آن هستند.

از بلوک دیاگرام حاصل می توان به راحتی به مدلی از سیستم در متغیرهای حالت رفت. برای این منظور خروجی هر انتگرالگر را به عنوان متغیر حالت می گیریم

که به ما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل حالت و معادله خروجی سیستم (3.63) را به شکل بنویسیم.

(3.67)

سیستم معادلات (3.67) را می توان به صورت ماتریس برداری (2.1) با ماتریس های زیر نشان داد:

مدل سیستم در متغیرهای حالت (3.67) فراخوانی خواهد شد اولین شکل متعارف

3.5.2. شکل دوم متعارف

اجازه دهید روش دوم انتقال از تابع انتقال (3.63) به توصیف در متغیرهای حالت را در نظر بگیریم، که برای آن ساختار سیستم (3.65) را به صورت شماتیک در شکل نشان می دهیم. 3.42.

برنج. 3.42.نمایش ساختاری تابع انتقال (3.65)

معادلات عملگر آن شکل دارند

(3.68)

مشابه مورد قبلی، اجازه دهید معادله اول (3.68) را به صورت زنجیره ای از نشان دهیم nادغام کننده ها با بازخورد و نفوذ ورودی zمطابق با معادله دوم (3.68) به صورت جمع کنترلی تشکیل می دهیم توو مترمشتقات آن (شکل 3.43).

در نتیجه تحولات ساختاری، ما یک بلوک دیاگرام از سیستم نشان داده شده در شکل 1 را بدست می آوریم. 3.44. همانطور که می بینیم، در این مورد، بلوک دیاگرام مربوط به تابع انتقال (3.65) از یک زنجیره تشکیل شده است. nیکپارچه سازان بازخورد همچنین شامل ضرایب چند جمله ای مشخصه و پیوند مستقیم شامل ضرایب چند جمله ای شمارشگر آن است.

برنج. 3.43.طرح مربوط به معادلات (3.68)

برنج. 3.44.بلوک دیاگرام مربوط به تابع انتقال (3.65)

مجدداً مقادیر خروجی انتگرالگرها را به عنوان متغیرهای حالت انتخاب می کنیم و معادلات دیفرانسیل حالت و معادله خروجی را برای آنها یادداشت می کنیم.

(3.69)

با استفاده از معادلات (3.69)، ماتریس ها را تعیین می کنیم

مدل سیستم در متغیرهای حالت از نوع (3.69) فراخوانی می شود شکل دوم متعارف

توجه داشته باشید که ماتریس آبرای اشکال متعارف اول یا دوم بدون تغییر است و شامل ضرایب مخرج تابع انتقال اصلی است (3.63). ضرایب عددی تابع انتقال (3.63) حاوی ماتریس است سی(در مورد اولین شکل متعارف) یا ماتریس ب(در مورد شکل دوم شرعی). بنابراین، معادلات حالت مربوط به دو نمایش متعارف سیستم را می توان مستقیماً با استفاده از تابع انتقال (3.63) بدون رفتن به نمودارهای بلوکی نشان داده شده در شکل نوشت. 3.40 و 3.43.

همانطور که می بینیم، انتقال از تابع انتقال به توضیحات در متغیرهای حالت یک کار مبهم است. ما گزینه هایی را برای انتقال به توصیف متعارف بررسی کردیم که اغلب در تئوری کنترل خودکار استفاده می شود.

مثال 3.4

دو نسخه از توضیحات متعارف و بلوک دیاگرام مربوطه را برای سیستمی که مدل آن دارای فرم است به دست آورید

ما از نمایش تابع انتقال در فرم (3.64) استفاده می کنیم و معادلات عملگر را برای آن می نویسیم

که از آن به بلوک دیاگرام نشان داده شده در شکل می رویم. 3.45.

برنج. 3.45.نمودار ساختاری مربوط به اولین شکل متعارف

بر اساس این بلوک دیاگرام، معادلات اولین فرم متعارف را در فرم می نویسیم

برای رفتن به دومین شکل متعارف، اجازه دهید تابع انتقال سیستم را به شکل (3.65) نشان دهیم و معادلات عملگر زیر را برای آن بنویسیم:

که با بلوک دیاگرام نشان داده شده در شکل مطابقت دارد. 3.46.

برنج. 3.46.نمودار ساختاری مربوط به شکل متعارف دوم

حال اجازه دهید مدل سیستم را به شکل دومین شکل متعارف بنویسیم

3.6. دامنه کاربرد روش سازه ای

روش ساختاری برای محاسبه سیستم های خودکار خطی مناسب است، اما محدودیت های خود را دارد. این روش شامل استفاده از توابع انتقال است، بنابراین می توان از آن، به عنوان یک قاعده، در شرایط اولیه صفر استفاده کرد.

هنگام استفاده از روش ساختاری، باید موارد زیر را رعایت کنید قوانین: در هنگام تغییر سیستم، ترتیب آن نباید کاهش یابد، یعنی کاهش فاکتورهای یکسان در صورت و مخرج تابع انتقال غیر قابل قبول است. با کاهش عوامل یکسان، ما پیوندهای موجود را از سیستم حذف می کنیم. اجازه دهید این بیانیه را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 3.5

بیایید سیستمی متشکل از پیوندهای یکپارچه و متمایز کننده را در نظر بگیریم که به صورت سری به هم متصل می شوند.

اولین گزینه برای اتصال پیوندها در شکل نشان داده شده است. 3.47.

با استفاده از تبدیل های ساختاری، تابع انتقال کلی را پیدا می کنیم

از این نتیجه می شود که چنین اتصال پیوندها معادل یک پیوند بدون اینرسی است، یعنی سیگنال در خروجی سیستم سیگنال را در ورودی خود تکرار می کند. ما این را با در نظر گرفتن معادلات پیوندهای جداگانه نشان خواهیم داد. سیگنال خروجی پیوند یکپارچه با رابطه تعیین می شود

شرایط اولیه انتگرال کجاست. سیگنال در خروجی پیوند متمایز کننده و در نتیجه کل سیستم دارای شکل است

که با نتیجه گیری بر اساس تحلیل عملکرد انتقال کلی پیوندها مطابقت دارد.

گزینه دوم برای اتصال پیوندها در شکل نشان داده شده است. 3.48، یعنی پیوندها تعویض شدند. عملکرد انتقال سیستم مانند حالت اول است.

با این حال، اکنون خروجی سیستم از سیگنال ورودی پیروی نمی کند. این را می توان با در نظر گرفتن معادلات پیوند تأیید کرد. سیگنال در خروجی عنصر متمایز کننده با معادله مطابقت دارد

و در خروجی سیستم توسط رابطه تعیین می شود

همانطور که می بینیم، در حالت دوم، سیگنال خروجی با سیگنال خروجی سیستم اول با مقدار اولیه متفاوت است، علیرغم این واقعیت که هر دو سیستم عملکرد انتقال یکسانی دارند.

نتیجه

این بخش ویژگی های دینامیکی پیوندهای معمولی را که سیستم های کنترلی با پیکربندی دلخواه را تشکیل می دهند، مورد بحث قرار می دهد. ویژگی های نمودارهای ساختاری ساخته شده بر اساس توابع انتقال و معادلات دیفرانسیل مورد بحث قرار می گیرد. دو روش انتقال از تابع انتقال یک سیستم از طریق نمودارهای ساختاری به مدل های آن در قالب متغیرهای حالت، مربوط به اشکال مختلف متعارف، ارائه شده است.

لازم به ذکر است که ارائه یک سیستم در قالب یک نمودار ساختاری در برخی موارد امکان ارزیابی استاتیک و دینامیک آن را فراهم می کند و اساساً یک پرتره ساختاری از سیستم ارائه می دهد.

3.1. نمودار بلوکی سیستمی را رسم کنید که معادله دیفرانسیل آن به شکل زیر است:

آ)

3.2. یک بلوک دیاگرام از سیستم رسم کنید که مدل آن در متغیرهای حالت نمایش داده شده است:

آ) ب)

V) ز)

3.3. توابع انتقال سیستمها را در صورتی تعیین کنید که نمودارهای ساختاری آنها به شکل نشان داده شده در شکل باشد. 3.49.

برنج. 3.49.بلوک دیاگرام برای کار 3.3

3.4. بلوک دیاگرام های سیستم شناخته شده است (شکل 3.50). مدل های آنها را در متغیرهای حالت ثبت کنید.

برنج. 3.50.بلوک دیاگرام برای کار 3.4

3.5. بلوک دیاگرام سیستم شناخته شده است (شکل 3.51).

برنج. 3.51.

1. تابع انتقال را با این فرض تعیین کنید

2. تابع انتقال را با فرض تعیین کنید

3. مدل سیستم را در متغیرهای حالت یادداشت کنید.

4. پاراگراف ها را تکرار کنید. 1 و 2 برای سیستمی که بلوک دیاگرام آن در شکل نشان داده شده است. 3.52.

برنج. 3.52.بلوک دیاگرام برای مشکل 3.5

3.6 .

3.7. نمودار بلوکی مربوط به اولین شکل متعارف توصیف یک سیستم دارای تابع انتقال را رسم کنید

1. اولین شکل متعارف را بنویسید.

2. یک بلوک دیاگرام متناظر با دومین شکل متعارف توصیف سیستم رسم کنید.

3. شکل متعارف دوم را بنویسید.

3.8. نمودار بلوکی مربوط به اولین شکل متعارف توصیف یک سیستم دارای تابع انتقال را رسم کنید

1. اولین شکل متعارف را بنویسید.

2. یک بلوک دیاگرام متناظر با دومین شکل متعارف توصیف سیستم رسم کنید.

3. شکل متعارف دوم را بنویسید.

ادبیات

1. آندریف یو.ن.کنترل اجسام خطی با ابعاد محدود. - M.: Nauka، 1978.

2. Beskersky V.A..,پوپوف E.P.. نظریه تنظیم خودکار. - M.: Nauka، 1974.

3. اروفیف A. A.تئوری کنترل خودکار. - سنت پترزبورگ: پلی تکنیک، 1998.

4. ایواشچنکو N.N.تنظیم خودکار - M.: Mashinostroenie، 1978.

5. پرووزوانسکی A.A.دوره تئوری کنترل خودکار. - م.: بالاتر. مدرسه، 1986.

6. پوپوف E.P.تئوری سیستم های تنظیم و کنترل خودکار خطی. - م.: بالاتر. مدرسه، 1989.

7. کونوالوف G.F.اتوماسیون رادیویی - م.: بالاتر. مدرسه، 1990.

8. فیلیپس اچ.,هاربر آر.سیستم های کنترل بازخورد - م.: آزمایشگاه دانش پایه، 1380.

هدف نهایی تجزیه و تحلیل ACS حل (در صورت امکان) یا مطالعه معادله دیفرانسیل سیستم به عنوان یک کل است. معمولاً معادلات تک تک پیوندهایی که ACS را تشکیل می دهند مشخص است و وظیفه میانی بدست آوردن معادله دیفرانسیل سیستم از DEهای شناخته شده پیوندهای آن مطرح می شود. در شکل کلاسیک نمایش DE ها، این کار مملو از مشکلات قابل توجهی است. استفاده از مفهوم تابع انتقال تا حد زیادی آن را ساده می کند.

اجازه دهید برخی از سیستم ها با یک معادله دیفرانسیل شکل توصیف شود.

با معرفی نماد = p، که در آن p عملگر یا نماد تمایز نامیده می شود و اکنون این نماد را به عنوان یک نماد معمولی در نظر می گیریم. عدد جبری، پس از خارج کردن x و خارج کردن x از براکت ها، معادله دیفرانسیل این سیستم را به صورت عملگر به دست می آوریم:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3.38)

چند جمله ای در p در مقدار خروجی است

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

عملگر ویژه نامیده می شود و چند جمله ای در مقدار ورودی عملگر تأثیر نامیده می شود

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

تابع انتقال نسبت عملگر تأثیر به اپراتور خودش است:

W(p) = K(p)/D(p) = x خارج / x در. (3.41)

در ادامه، تقریباً در همه جا از فرم عملگر نوشتن معادلات دیفرانسیل استفاده خواهیم کرد.

انواع اتصالات پیوندها و جبر توابع انتقال.

به دست آوردن تابع انتقال یک سیستم کنترل خودکار مستلزم آگاهی از قوانین برای یافتن عملکردهای انتقال گروهی از پیوندها است که در آنها پیوندها به روش خاصی به هم مرتبط هستند. سه نوع اتصال وجود دارد.

1. ترتیبی که در آن خروجی لینک قبلی ورودی لینک بعدی است (شکل 3.12):

x بیرون

برنج. 3.14. پشت به پشت - اتصال موازی.

بسته به اینکه سیگنال بازخورد x به سیگنال ورودی xin اضافه شود یا از آن کم شود، بازخورد مثبت و منفی تشخیص داده می شود.

هنوز بر اساس ویژگی تابع انتقال، می توانیم بنویسیم

W 1 (p) =x out /(x در ±x); W 2 (p) = x/x out; W c =x خارج / x در. (3.44)

با حذف مختصات داخلی x از دو معادله اول، تابع انتقال را برای چنین اتصالی بدست می آوریم:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

باید در نظر داشت که در آخرین عبارت علامت مثبت مطابقت دارد منفیبازخورد.

در حالتی که یک لینک دارای چندین ورودی باشد (مثلاً یک شیء کنترلی)، چندین تابع انتقال این پیوند مربوط به هر یک از ورودی ها در نظر گرفته می شود، مثلاً اگر معادله پیوند دارای شکل باشد.

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

که در آن Kx (p) و Kz (p) به ترتیب عملگرهای تأثیر بر ورودی‌های x و z هستند، سپس این پیوند دارای توابع انتقال در ورودی‌های x و z است:

W x (p) = K x (p)/D (p); W z (p) = K z (p)/D (p). (3.47)

در آینده، به منظور کاهش ورودی در عبارات توابع انتقال و عملگرهای مربوطه، آرگومان "p" را حذف خواهیم کرد.

از بررسی مشترک عبارات (3.46) و (3.47) نتیجه می شود که

y = W x x + W z z، (3.48)

یعنی در مورد کلیمقدار خروجی هر پیوند با چندین ورودی برابر است با مجموع حاصل از مقادیر ورودی و توابع انتقال برای ورودی های مربوطه.

عملکرد انتقال ACS بر اساس اختلال.

شکل معمول ساختار ACS، که بر روی انحراف یک متغیر کنترل شده عمل می کند، به شرح زیر است:

W o z =K z /D شی W o x =K x /D

W p y

-ایکس

شکل 3.15. ATS بسته

اجازه دهید به این واقعیت توجه کنیم که تأثیر تنظیمی با علامت تغییر یافته روی شی اعمال می شود. ارتباط بین خروجی یک شی و ورودی آن از طریق تنظیم کننده، بازخورد اصلی نامیده می شود (برخلاف بازخورد اضافی احتمالی در خود تنظیم کننده). به خودی خود معنای فلسفیمقررات، اقدام رگولاتوری در نظر گرفته شده است کاهش انحرافمتغیر کنترل شده و بنابراین بازخورد اصلی همیشه منفی است.در شکل 3.15:

W o z - تابع انتقال جسم با اختلال.

W o x - عملکرد انتقال شی با توجه به تأثیر نظارتی.

W p y - تابع انتقال کنترلر با توجه به انحراف y.

معادلات دیفرانسیل کارخانه و کنترلر به صورت زیر است:

y=W o x x + W o z z

x = - W p y y. (3.49)

با جایگزینی x از معادله دوم به اولین و انجام گروه بندی، معادله ATS را به دست می آوریم:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

از این رو عملکرد انتقال ACS برای اختلال

W c z = y/z = W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

به روشی مشابه، می توانید تابع انتقال ACS را برای عمل کنترل بدست آورید:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) ، (3.52)

که در آن W p u تابع انتقال کنترلر با توجه به عمل کنترل است.

3.4 نوسانات اجباری و ویژگی های فرکانس ACS.

در شرایط عملیاتی واقعی، ACS اغلب در معرض نیروهای مزاحم دوره ای قرار می گیرد که با تغییرات دوره ای در مقادیر کنترل شده و تأثیرات تنظیمی همراه است. به عنوان مثال، ارتعاشات کشتی هنگام حرکت در دریاهای ناآرام، نوسانات در سرعت چرخش پروانه و مقادیر دیگر. در برخی موارد، دامنه نوسانات مقادیر خروجی سیستم می تواند به مقادیر غیرقابل قبول بزرگی برسد و این با پدیده رزونانس مطابقت دارد. عواقب رزونانس اغلب برای سیستمی که آن را تجربه می کند فاجعه بار است، به عنوان مثال، واژگونی یک کشتی، از بین بردن موتور. در سیستم های کنترل، چنین پدیده هایی زمانی امکان پذیر است که خواص عناصر به دلیل سایش، تعویض، پیکربندی مجدد یا خرابی تغییر کند. سپس نیاز به تعیین محدوده ایمن شرایط عملیاتی یا پیکربندی صحیح ATS وجود دارد. این مسائل در اینجا در نظر گرفته خواهند شد زیرا در مورد سیستم های خطی اعمال می شوند.

اجازه دهید برخی از سیستم ها ساختار زیر را داشته باشند:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

شکل 3.16. ACS در حالت نوسان اجباری.

اگر سیستم تحت تأثیر دوره ای x با دامنه A x و فرکانس دایره ای w باشد، پس از پایان فرآیند انتقال، نوسانات با همان فرکانس با دامنه A y و با زاویه فاز j نسبت به نوسانات ورودی جابجا می شوند. در خروجی ایجاد شود. پارامترهای نوسان خروجی (دامنه و تغییر فاز) به فرکانس نیروی محرکه بستگی دارد. وظیفه تعیین پارامترهای نوسانات خروجی از پارامترهای شناخته شده نوسانات در ورودی است.

مطابق با تابع انتقال ACS نشان داده شده در شکل 3.14، معادله دیفرانسیل آن شکل دارد.

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

اجازه دهید عبارات x و y را در شکل (3.53) جایگزین کنیم. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

اگر الگوی نوسان را با یک چهارم دوره جابجا شده در نظر بگیریم، در رابطه (54/3) توابع سینوسی با توابع کسینوس جایگزین می‌شوند:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

بیایید معادله (3.54) را در i = ضرب کنیم و نتیجه را با (3.55) جمع کنیم:

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

با استفاده از فرمول اویلر

exp(±ibt)=cosbt±isinbt،

اجازه دهید معادله (3.56) را به شکل کاهش دهیم

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

اجازه دهید عملیات تمایز را با توجه به زمان ارائه شده توسط عملگر p=d/dt انجام دهیم:

A y exp=

x exp(iwt). (3.58)

پس از تبدیل های ساده مربوط به کاهش با exp(iwt)، به دست می آوریم

قسمت سمت راستعبارت (3.59) مشابه عبارت تابع انتقال ACS است و با جایگزینی p=iw می توان از آن به دست آورد. بر اساس قیاس، تابع انتقال پیچیده W(iw)، یا مشخصه دامنه فاز (APC) نامیده می شود. اصطلاح پاسخ فرکانسی نیز اغلب استفاده می شود. واضح است که این کسری تابعی از یک آرگومان پیچیده است و می تواند به این شکل نیز نمایش داده شود:

W(iw) = M(w) +iN(w)، (3.60)

که در آن M(w) و N(w) به ترتیب مشخصه های فرکانس واقعی و خیالی هستند.

نسبت A y / A x مدول AFC است و تابعی از فرکانس است:

A y / A x = R (w)

و پاسخ دامنه فرکانس (AFC) نامیده می شود. فاز

تغییر j =j (w) نیز تابعی از فرکانس است و پاسخ فرکانس فاز (PFC) نامیده می شود. با محاسبه R(w) و j(w) برای محدوده فرکانس (0…¥)، می توان یک نمودار AFC بر روی صفحه مختلط در مختصات M(w) و iN(w) ساخت (شکل 3.17).

R(ω)

ω cp

ω res

شکل 3.18. ویژگی های دامنه فرکانس

پاسخ فرکانسی سیستم 1 یک پیک رزونانس مربوط به بزرگترین دامنه نوسانات اجباری را نشان می دهد. کار در ناحیه نزدیک فرکانس تشدید می تواند فاجعه آمیز باشد و اغلب توسط قوانین عملکرد یک جسم تنظیم شده خاص کاملاً غیرقابل قبول است. پاسخ فرکانس نوع 2 پیک رزونانسی ندارد و برای سیستم های مکانیکی ارجحیت دارد. همچنین مشاهده می شود که با افزایش فرکانس، دامنه نوسانات خروجی کاهش می یابد. از نظر فیزیکی، این به راحتی توضیح داده می شود: هر سیستمی به دلیل ویژگی های اینرسی ذاتی خود، راحت تر در معرض تکان دادن است. فرکانس های پاییناز قد بلند با شروع از یک فرکانس مشخص، نوسان خروجی ناچیز می شود و این فرکانس را فرکانس قطع و محدوده فرکانس های زیر فرکانس قطع را پهنای باند می نامند. در تئوری کنترل خودکار، فرکانس قطعی در نظر گرفته می شود که در آن مقدار پاسخ فرکانسی 10 برابر کمتر از فرکانس صفر باشد. خاصیت یک سیستم برای تعدیل ارتعاشات فرکانس بالا، خاصیت فیلتر پایین گذر نامیده می شود.

اجازه دهید روش محاسبه پاسخ فرکانس را با استفاده از مثال پیوند مرتبه دوم در نظر بگیریم، معادله دیفرانسیل آن

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

در مسائل نوسان اجباری، شکل بصری تری از معادله اغلب استفاده می شود

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

جایی که فرکانس طبیعی نوسانات در غیاب میرایی نامیده می شود، x =T 1 w 0/2 ضریب میرایی است.

تابع انتقال به شکل زیر است:

با جایگزینی p = iw مشخصه دامنه فاز را بدست می آوریم

با استفاده از قانون تقسیم اعداد مختلط، یک عبارت برای پاسخ فرکانسی به دست می آوریم:

اجازه دهید فرکانس رزونانسی را تعیین کنیم که در آن پاسخ فرکانسی حداکثر دارد. این با حداقل مخرج بیان مطابقت دارد (3.66). با معادل سازی مشتق مخرج نسبت به فرکانس w به صفر، داریم:

2 (w 0 2 - w 2) (-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

از جایی که مقدار فرکانس تشدید را بدست می آوریم که برابر با صفر نیست:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

بیایید این عبارت را تجزیه و تحلیل کنیم، که برای آن موارد فردی را که مطابقت دارند در نظر می گیریم معانی مختلفضریب تضعیف

1. x = 0. فرکانس تشدید برابر با فرکانس طبیعی است و بزرگی پاسخ فرکانسی به بی نهایت تبدیل می شود. این یک مورد به اصطلاح رزونانس ریاضی است.

2. . از آنجایی که فرکانس به صورت یک عدد مثبت بیان می شود و از (68) برای این مورد یا صفر یا یک عدد خیالی به دست می آید، نتیجه می شود که در چنین مقادیری از ضریب تضعیف پاسخ فرکانس دارای پیک رزونانسی (منحنی) نیست. 2 در شکل 3.18).

3. . پاسخ فرکانسی دارای پیک رزونانسی است و با کاهش ضریب تضعیف، فرکانس تشدید به خود نزدیک می شود و پیک تشدید بالاتر و تیزتر می شود.

1. توابع انتقالو ویژگی های فرکانس تجهیزات ارتباطی آنالوگ

1. توابع انتقال و ویژگی های فرکانس

یک مدار الکتریکی با هر پیچیدگی که دارای دو جفت پایانه برای اتصال به منبع و گیرنده انرژی الکتریکی است، در فناوری ارتباطات نامیده می شود. چهارقطبی. پایانه هایی که منبع به آنها وصل است نامیده می شوند ورودی، و پایانه هایی که گیرنده (بار) به آنها وصل شده است پایانه های خروجی (قطب ها).

که در نمای کلیچهارقطبی همانطور که در شکل نشان داده شده است نشان داده شده است. 1.1. یک منبع انرژی الکتریکی با مقدار ولتاژ مؤثر پیچیده و مقاومت داخلی به ورودی شبکه چهار ترمینال 1-1 متصل می شود. یک بار با مقاومت به پایانه های خروجی 2-2 وصل می شود. ولتاژی با مقدار مؤثر پیچیده به پایانه های ورودی و ولتاژی با مقدار مؤثر پیچیده به پایانه های خروجی اعمال می شود. جریانی با مقدار مؤثر پیچیده از طریق پایانه های ورودی و جریانی با مقدار مؤثر پیچیده از طریق پایانه های خروجی می گذرد. توجه داشته باشید که سایر شبکه های چهار پایانه می توانند به عنوان منبع و گیرنده انرژی الکتریکی عمل کنند.

در شکل 1.1 نامگذاری نمادین برای ولتاژ و جریان استفاده می شود. این بدان معنی است که تجزیه و تحلیل یک مدار الکتریکی برای یک ارتعاش هارمونیک با فرکانس مشخص انجام می شود. برای یک نوسان هارمونیک معین، می توان تعیین کرد تابع انتقال یک شبکه چهار پورت بارگذاری شده، که نسبت مقدار مؤثر مختلط کمیت الکتریکی خروجی به مقدار مؤثر مختلط کمیت الکتریکی ورودی خواهد بود.

اگر تأثیر ورودی را ولتاژ ژنراتور با مقدار مؤثر پیچیده در نظر بگیریم و پاسخ شبکه دو ترمینالی به این تأثیر، ولتاژی با مقدار مؤثر پیچیده یا جریانی با مقدار مؤثر پیچیده باشد، آنگاه به دست می‌آییم. توابع انتقال پیچیده شکل عمومی:

, (1.1)

. (1.2)

در موارد خاص، هنگامی که تأثیرات مشخص شده ولتاژ در پایانه های ورودی یک چهار قطبی یا جریان عبوری از این پایانه ها باشد، چهار نوع تابع انتقال زیر به دست می آید:

- ضریب انتقال ولتاژ پیچیده (برای شبکه های دو ترمینالی فعال، به عنوان مثال تقویت کننده ها، به آن بهره ولتاژ می گویند).

- ضریب انتقال جریان پیچیده (برای مدارهای فعال - بهره جریان)؛

- مقاومت انتقال پیچیده؛

- هدایت انتقال پیچیده

اغلب در تئوری مدار استفاده می شود عملکرد انتقال نرمال یا در حال کارچهارقطبی:

, (1.3)

که با نرمال کردن (1.1) توسط ضریب به دست می آید.

مانند هر کمیت پیچیده ن را می توان به صورت نمایشی نشان داد:

, (1.4)

ماژول تابع انتقال مختلط کجاست و j آرگومان آن است.

تابع انتقال ولتاژ پیچیده را در نظر بگیرید

جایگزینی به (1.5) نماد مقادیر موثر پیچیده

از مقایسه این عبارت با (1.4) مشخص می شود که

به عنوان مثال، ماژول تابع انتقال ولتاژ مختلط (یا بهره ولتاژ مختلط) نشان می دهد که مقدار مؤثر (دامنه) نوسان ولتاژ هارمونیک در خروجی مدار نسبت به مقدار مشابه در ورودی مدار چند برابر تغییر می کند. و آرگومان این تابع تغییر فاز بین نوسانات ولتاژ هارمونیک در ورودی و خروجی را تعیین می کند.

به همین ترتیب می توانید پیدا کنید:

هر آنچه در بالا در مورد ضریب انتقال ولتاژ گفته شد برای ضریب انتقال جریان نیز صادق است.

اگر فرکانس نوسان هارمونیک را تغییر دهیم، عبارت (1.4) باید به شکل زیر نوشته شود:

. (1.6)

تابع فرکانس نامیده می شود مشخصه دامنه فرکانس مدار(AFC). این نشان می دهد که مدار چه تغییراتی در دامنه نوسانات هارمونیک در هر فرکانس ایجاد می کند.

تابع فرکانس نامیده می شود مشخصه فرکانس فاز مدار(FCHH). بر این اساس، این مشخصه نشان می دهد که نوسانات هارمونیک هر فرکانس با انتشار در مدار چه تغییر فازی را به دست می آورد.

تابع انتقال مختلط را می توان به شکل جبری نیز نشان داد:

که در آن Re و Im قسمت های واقعی و خیالی کمیت مختلط را نشان می دهند.

از تئوری مقادیر مختلط مشخص می شود که

مثال 1.1

ضریب انتقال ولتاژ، پاسخ فرکانس و پاسخ فاز مدار نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.2، آ.

با توجه به (1.5) می نویسیم

بیایید تابع مختلط را در خروجی مدار پیدا کنیم:

با جایگزینی در فرمول، یک تابع انتقال پیچیده بدست می آوریم:

;

با تغییر فرکانس w از 0 به Ґ، می توانیم نمودارهایی از پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز مدار را نمایش دهیم (شکل 1.2، بو V).

پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز مدار را می توان نشان داد برنامه تک، اگر وابستگی تابع انتقال مختلط را به فرکانس w در صفحه مختلط رسم کنیم. در این حالت انتهای بردار منحنی خاصی را توصیف می کند که به آن می گویند هودوگرافتابع انتقال پیچیده (شکل 1.3).

کارشناسان اغلب از این مفهوم استفاده می کنند مشخصه دامنه-فرکانس لگاریتمی(LAH):

ارزش های بهبر حسب دسی بل (dB) اندازه گیری می شوند. در مدارهای فعال حاوی تقویت کننده، مقدار بههمچنین به نام سود لگاریتمی. برای مدارهای غیرفعال، به جای ضریب بهره، مفهوم معرفی شده است شل شدن زنجیر:

, (1.7)

که با دسی بل نیز اندازه گیری می شود.

مثال 1.2

مشخص است که مدول ضریب انتقال ولتاژ مدار مقادیر زیر را می گیرد:

f= 0 کیلوهرتز ن(f) = 1

f= 1 کیلوهرتز ن(f) = 0,3

f= 2 کیلوهرتز ن(f) = 0,01

f= 4 کیلوهرتز ن(f) = 0,001

f= 8 کیلوهرتز ن(f) = 0,0001

نمودار ضعیف شدن مدار را رسم کنید.

مقادیر تضعیف زنجیره محاسبه شده طبق (1.7) در جدول آورده شده است:

f، کیلوهرتز
آ(f), دسی بل

برنامه آ(f) در شکل نشان داده شده است. 1.4.

اگر به جای مقاومت های پیچیده ظرفیت و اندوکتانس با مقاومت اپراتور خازن و اندوکتانس برخورد کنیم. pl، سپس در عبارت باید آن را با آن جایگزین کنید آر.

تابع انتقال عملگر زنجیره را می توان به صورت کلی به عنوان یک تابع کسری-گویا با ضرایب واقعی نوشت:

یا در فرم

جایی که - صفرها؛ - قطب های تابع انتقال؛ .

تعویض اپراتور در (1.8) آربر jw، دوباره تابع انتقال پیچیده مدار را بدست می آوریم

پاسخ فرکانسی مدار کجاست

با توجه به اینکه یک تابع غیرمنطقی چیست، معمولاً هنگام تجزیه و تحلیل و سنتز مدارها با مربع پاسخ فرکانسی سروکار داریم:

که در آن ضرایب با ترکیب ضرایب در توان های یکسان متغیر w بدست می آیند.

مثال 1.3

ضریب انتقال ولتاژ و مربع پاسخ فرکانس مدار را که در شکل نشان داده شده است بیابید. 1.5، آ.

ضریب انتقال ولتاژ این مدار برابر است با

جایی که ن = 1, , .

ریشه‌های صورت‌دهنده این کسر گویا، یعنی صفرهای تابع انتقال،

ریشه های مخرج یا قطب های تابع انتقال،

در شکل 1.5، بمحل صفرها و قطب های تابع را نشان می دهد .

با قضیه ویتا

پاسخ دامنه فرکانس از طریق جایگزینی تعیین می شود آرروشن و محاسبه مدول تابع حاصل

مربع پاسخ فرکانسی در فرم نوشته خواهد شد

جایی که ; ;

پاسخ فرکانسی مدار در شکل نشان داده شده است. 1.5، V.

اجازه دهید ویژگی های اصلی توابع انتقال اپراتور و پاسخ فرکانس مربع مدارهای غیرفعال را فهرست کنیم:

1. تابع انتقال یک تابع کسری - گویا با ضرایب واقعی است. مادی بودن ضرایب با این واقعیت توضیح داده می شود که آنها توسط عناصر مدار تعیین می شوند.

2. قطب های تابع انتقال در نیمه صفحه سمت چپ متغیر مختلط قرار دارند آر. هیچ محدودیتی برای مکان صفرها وجود ندارد. اجازه دهید این ویژگی را با استفاده از تابع انتقال به عنوان مثال اثبات کنیم. اجازه دهید عملکرد ورودی یا به شکل عملگر را انتخاب کنیم. تصویر ولتاژ خروجی در این مورد از نظر عددی برابر است، یعنی.

چند جمله ای از شمارنده تابع انتقال کجاست. - ضرایب بسط یک تابع گویا کسری به مجموع کسرهای ساده.

بیایید از تصویر به تصویر اصلی حرکت کنیم:

جایی که در حالت کلی .

در چهار قطبی فعال غیرفعال و پایدار، نوسانات در خروجی چهارقطبی پس از خاتمه تأثیر باید دارای ویژگی میرایی باشد. این بدان معنی است که در (1.13) قسمت های واقعی قطب ها باید منفی باشند، یعنی قطب ها باید در نیم صفحه سمت چپ متغیر باشند. آر.

3. درجات چندجمله ای های اعمار تابع انتقال و مجذور پاسخ فرکانسی از درجات چندجمله ای مخرج ها تجاوز نمی کند. nاف متر. اگر این ویژگی برآورده نمی شد، در فرکانس های بی نهایت بالا پاسخ فرکانسی بی نهایت طول می کشد. پراهمیت(از آنجایی که شمارنده با افزایش فرکانس سریعتر از مخرج رشد می کند)، یعنی مدار بهره بی نهایت خواهد داشت که با معنای فیزیکی در تضاد است.

4. پاسخ فرکانس مربع یک تابع منطقی یکنواخت از متغیر w با ضرایب واقعی است. این ویژگی به وضوح از روش به دست آوردن پاسخ فرکانس مربع از تابع انتقال ناشی می شود.

5. پاسخ فرکانس مربع نمی تواند مقادیر منفی و بی نهایت بزرگ برای w > 0 بگیرد. غیر منفی بودن از خواص مدول مجذور یک کمیت مختلط ناشی می شود. محدود بودن مقادیر پاسخ فرکانس در فرکانس های واقعی به همان شکلی که در ویژگی 3 توضیح داده شده است.

اکثر مدارهای منبع وابسته دارند حداقلدو مسیر سیگنال: رو به جلو (از ورودی به خروجی) و معکوس (از خروجی به ورودی). مسیر سیگنال معکوس با استفاده از یک مدار خاص اجرا می شود بازخورد(OS). ممکن است چندین مسیر وجود داشته باشد و بنابراین مدارهای سیستم عامل. وجود سیستم عامل در مدارهایی با منابع وابسته به آنها ویژگی های ارزشمند جدیدی می دهد که مدارهای بدون سیستم عامل فاقد آن هستند. به عنوان مثال، با استفاده از مدارهای سیستم عامل، می توان به تثبیت دمای حالت عملکرد مدار، کاهش اعوجاج غیرخطی که در مدارهای دارای عناصر غیرخطی و غیره رخ می دهد، دست یافت.

هر مدار با بازخورد را می توان به صورت متشکل از دو شبکه چهار ترمینال نشان داد (شکل 1.6).

یک شبکه دو پورت خطی فعال با تابع انتقال ولتاژ یک تقویت کننده است. گاهی اوقات عنصر اصلی مدار نامیده می شود و گفته می شود که کانال تقویت مستقیم را تشکیل می دهد.

یک شبکه چهار پایانه غیرفعال با تابع انتقال ولتاژ، مدار فیدبک نامیده می شود. در ورودی مدار، ولتاژ ورودی و ولتاژ فیدبک جمع می شوند.

اجازه دهید فرمول تابع انتقال را برای ولتاژ مدار که در شکل نشان داده شده است استخراج کنیم. 1.6. بگذارید ولتاژ به ورودی اعمال شود. تصویر دوربین او. یک ولتاژ در خروجی مدار ظاهر می شود. با توجه به شکل. 1.6 تصویر دوربین او

تصویر اپراتور را می توان از طریق تابع انتقال مدار بازخورد نوشت

سپس عبارت (1.14) را می توان به صورت بازنویسی کرد

تابع انتقال اپراتور برای ولتاژ مدار با سیستم عامل (شکل 1.6 را ببینید).

. (1.16)

مثال 1.4

در شکل شکل 1.7 مدار تقویت کننده عملیاتی (OPA) طراحی شده برای مقیاس ولتاژ را نشان می دهد. تابع انتقال این مدار را پیدا کنید.

اجازه دهید تابع انتقال این مدار را به عنوان یک مدار بازخورد با استفاده از فرمول (1.16) بدست آوریم.

مدار بازخورد در نمودار در شکل. 1.7 به عنوان یک تقسیم کننده ولتاژ L شکل، متشکل از مقاومت های مقاومتی و. ولتاژ خروجی تقویت کننده به ورودی مدار سیستم عامل عرضه می شود. ولتاژ سیستم عامل از مقاومت حذف می شود. تابع انتقال برای ولتاژ مدار سیستم عامل

بیایید از فرمول (1.16) استفاده کنیم و در نظر بگیریم که ولتاژ ورودی و ولتاژ فیدبک جمع نمی شوند، بلکه از آن کم می کنند. سپس تابع انتقال تقویت کننده مقیاس را به دست می آوریم:

با توجه به اینکه در آپ امپ های واقعی مقدار >> 1 وجود دارد، در نهایت داریم:

مثال 1.5

پیوندی روی یک آپمپ با بازخورد وابسته به فرکانس در شکل نشان داده شده است. 1.8. تابع انتقال این لینک را پیدا کنید.

برای تجزیه و تحلیل مسیر سیگنال مستقیم و مسیر سیگنال سیستم عامل، لازم است از روش برهم نهی استفاده شود. برای انجام این کار، شما باید به طور متناوب منابع ولتاژ ورودی و ولتاژ بازخورد را حذف کنید و آنها را با مقاومت داخلی جایگزین کنید. در مورد منابع ولتاژ ایده آل، مقاومت داخلی آنها صفر است. ولتاژ اعمال شده به پیوند توسط مدار ورودی که یک تقسیم کننده ولتاژ L شکل با مقاومت در شانه ها است، ضعیف می شود. تابع انتقال ولتاژ چنین تقسیم کننده ای برابر است با

مدار بازخورد نیز یک شبکه چهار پورت L شکل با عملکرد انتقال است.

بهره عملیات تقویت کننده.

مطابق با فرمول (1.16)، تابع انتقال پیوند را بدست می آوریم:

با در نظر گرفتن >> 1، دریافت می کنیم:

این لینک بسته به نوع مقاومت و. در و پیوند به یک تقویت کننده مقیاس معکوس تبدیل می شود. در و – به یکپارچه ساز؛ در و - به متمایز کننده.

مثال 1.6

یک پیوند مرتبه دوم با بهره قابل تنظیم در شکل نشان داده شده است. 1.9، آ. تابع انتقال این لینک را پیدا کنید.

تجزیه و تحلیل عبور سیگنال ورودی و سیگنال در مدار سیستم عامل نشان می دهد که پیوند دارای یک مدار ورودی است که در شکل 1 نشان داده شده است. 1.9، بو مدار سیستم عامل نشان داده شده در شکل. 1.9، V. توابع انتقال این مدارها را می توان به دست آورد روش ماتریسیبرای مثال، در نظر گرفتن هر مدار به عنوان یک اتصال آبشاری از چهار قطبی L شکل مربوطه.

برای مدار ورودی

برای مدار سیستم عامل

. (1.18)

با در نظر گرفتن (1.16)، تابع انتقال پیوند را بدست می آوریم

. (1.19)

بهره تقویت کننده. سپس با جایگزینی (1.17) و (1.18) به (1.19)، پس از تبدیل، داریم

انتقال به (1.16) از اپراتور آربه اپراتور، یک تابع انتقال پیچیده به دست می آوریم

. (1.20)

محصول تابع انتقال پیچیده تقویت کننده و مدار بازخورد است، مشروط بر اینکه فیدبک خراب باشد (شکل 1.10). این تابع تابع انتقال حلقه سیستم عامل یا نامیده می شود افزایش حلقه. اجازه دهید مفاهیم بازخورد مثبت و منفی را معرفی کنیم. این مفاهیم نقش برجسته ای در نظریه مدارهای بازخورد ایفا می کنند.

اجازه دهید ابتدا فرض کنیم که توابع انتقال، , به فرکانس بستگی ندارند و اعداد واقعی هستند. این وضعیت زمانی ممکن است که وجود نداشته باشد L.C.-عناصر. می تواند یک عدد مثبت یا منفی باشد. در حالت اول، تغییر فاز بین ولتاژ ورودی و خروجی یا به عبارت دیگر، تغییر فاز در طول حلقه فیدبک صفر یا . ک= 0، 1، 2، ... در حالت دوم، زمانی که، تغییر فاز در طول این حلقه برابر یا است.

اگر در مدار با فیدبک، تغییر فاز در طول حلقه صفر باشد، بازخورد فراخوانی می شود مثبت، اگر تغییر فاز برابر باشد، چنین بازخوردی نامیده می شود منفی.

تابع انتقال را می توان به صورت بردار نشان داد و در صفحه مختلط نشان داد. با بازخورد مثبت، بردار بر روی نیم محور واقعی مثبت و با بازخورد منفی، بر روی نیم محور واقعی منفی است.

منحنی که انتهای بردار به عنوان تغییرات فرکانس w توصیف می شود (شکل 1.11) همانطور که مشخص است، هودوگراف نامیده می شود.

نمایش در قالب هودوگراف به فرد امکان می دهد نوع بازخورد را در مورد بازخورد وابسته به فرکانس تعیین کند.

اجازه دهید مفاهیم زنجیره های پایدار و ناپایدار را معرفی کنیم. زنجیره نامیده می شود پایدار، اگر نوسانات آزاد در طول زمان به صفر تمایل داشته باشند. در غیر این صورت زنجیره نامیده می شود ناپایدار. از تئوری فرآیندهای گذرا چنین برمی‌آید که اگر ریشه‌های معادله مشخصه در نیم صفحه سمت چپ متغیر مختلط p قرار گیرند، زنجیره پایدار است. اگر ریشه های چنین معادله ای در نیمه صفحه سمت راست قرار داشته باشد، آنگاه مدار ناپایدار است، یعنی در حالت خود تحریکی قرار دارد. بنابراین، برای تعیین شرایط پایداری یک زنجیره، کافی است که پیدا کنید معادله مشخصهو ریشه های آن همانطور که می بینیم، شرایط پایداری را می توان بدون معرفی مفهوم بازخورد تعیین کرد. با این حال، تعدادی از مشکلات در اینجا ایجاد می شود. واقعیت این است که استخراج معادله مشخصه و تعیین ریشه های آن یک روش دست و پا گیر است، به ویژه برای مدارها. نظم بالا. معرفی مفهوم بازخورد به دست آوردن معادله مشخصه را آسان تر می کند یا حتی بدون آن امکان پذیر می شود. همچنین بسیار مهم است که مفهوم بازخورد برای فرآیندهای فیزیکی که در مدار اتفاق می‌افتد مناسب باشد، بنابراین واضح‌تر می‌شوند. درک عمیق فرآیندهای فیزیکی ایجاد خود نوسانگرها، تقویت کننده ها و غیره را تسهیل می کند.

بیایید مدار را در نظر بگیریم (شکل 1.6 را ببینید) و معادله مشخصه آن را استخراج کنیم. اجازه دهید و بنابراین، . سپس از (1.15) چنین می شود:

. (1.22)

اگر تابع انتقال مدار اصلی را در فرم بنویسیم ، و مدارهای سیستم عامل هستند، سپس معادله (1.22) به صورت زیر بازنویسی می شود:

این برابری زمانی برقرار است

عبارت سمت چپ این برابری یک چند جمله ای است، بنابراین (1.23) را می توان به شکل کلی نوشت:

این معادله مشخصه مدار است.

ریشه های معادله (1.24) در حالت کلی کمیت های مختلط هستند

جایی که . با دانستن ریشه های معادله مشخصه، می توانیم ولتاژ خروجی را بنویسیم:

به طوری که تنش بی حد و حصر افزایش نمی یابد، همه ریشه ها معادله مشخصه باید دارای قسمت های واقعی منفی باشد، یعنی ریشه ها باید در نیم صفحه سمت چپ متغیر مختلط قرار گیرند. مداری با سیستم عاملی که دارای چنین ویژگی هایی باشد، کاملاً پایدار نامیده می شود.

هنگام مطالعه مدارهای حلقه بسته، دو مشکل می تواند ایجاد شود. اگر مدار طراحی شده باید پایدار باشد، لازم است معیاری وجود داشته باشد که بر اساس نوع توابع، امکان قضاوت در مورد عدم وجود ریشه های معادله مشخصه در نیم صفحه سمت راست را فراهم کند. آر. اگر از بازخورد برای ایجاد یک مدار خود نوسان ناپایدار استفاده می شود، باید مطمئن شوید که ریشه های معادله (1.24) برعکس، در نیم صفحه سمت راست قرار دارند. در این مورد، لازم است چنین آرایشی از ریشه ها وجود داشته باشد که در آن خود تحریکی در فرکانس مورد نیاز رخ دهد.

اجازه دهید معیاری برای پایداری یک مدار به نام معیار نایکوئیست در نظر بگیریم که به ما این امکان را می دهد که پایداری مدار را با بازخورد بر اساس خواص مدار باز قضاوت کنیم (شکل 1.10).

تابع انتقال مدار باز یا بهره حلقه در معادله مشخصه (1.22) گنجانده شده است:

, (1.26)

اگر فرکانس w وجود داشته باشد که انتهای بردار در نقطه ای با مختصات بیفتد (1، j 0)، پس این بدان معنی است که شرط (1.26) برآورده می شود، یعنی خود تحریکی در مدار در این فرکانس رخ می دهد. این بدان معنی است که می توان از هودوگراف برای تعیین پایداری یا عدم ثبات زنجیره استفاده کرد. برای این منظور از معیار Nyquist استفاده می شود که به صورت زیر فرموله شده است: اگر هودوگراف تابع انتقال مدار باز نقطه را با مختصات پوشش ندهد(1, j 0), سپس با یک مدار بازخورد بسته مدار پایدار است.در موردی که هودوگراف نقطه (1، j X 1 را می توان به صورت دو شرط نوشت: در حالت ثابت. به= 2، منحنی 1) و ناپایدار ( به= 3، منحنی 2; به= 4، منحنی 3) زنجیره.

سوالات و وظایف برای خودآزمایی

1. تابع انتقال پیچیده چیست؟ چه نوع توابع انتقال پیچیده یک شبکه چهار قطبی شناخته شده است؟

2. ضریب انتقال ولتاژ، پاسخ فرکانس و پاسخ فاز مدار نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.2، آ، اگر ولتاژ خروجی ولتاژ دو طرف مقاومت باشد آر. نمودارهای پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز را بسازید.

پاسخ: ; ; 90 درجه - آرکتان w R.C..

3. تعیین ضریب انتقال ولتاژ در حالت بی باری و ضریب انتقال جریان در طول اتصال کوتاه برای یک شبکه چهار پورت U شکل که در آن اندوکتانس در شاخه طولی گنجانده شده است. L، و در شاخه های عرضی - ظرفیت با. پاسخ: .

4. میرایی معرفی شده توسط مدار را تعیین کنید شکل. 1.2، آ، در آر= 31.8 کیلو اهم و = 10 کیلو اهم.

پاسخ: 12 دسی بل

5. تابع انتقال اپراتور چیست؟ چه ارتباطی با تابع انتقال پیچیده دارد؟ چگونه صفرها و قطب های تابع انتقال اپراتور را تعیین کنیم؟

6. تابع انتقال اپراتور، ضریب انتقال ولتاژ مختلط، پاسخ فرکانسی و مربع پاسخ فرکانسی مدار نوسانی سری که در شکل نشان داده شده است را تعیین کنید. 1.5، آ، اگر ولتاژ خروجی ولتاژ دو طرف خازن باشد با. نموداری از پاسخ فرکانسی مدار رسم کنید.

پاسخ: ; .

7. مشخصات اصلی توابع انتقال اپراتور مدارهای غیرفعال را فهرست کنید.

8. تابع انتقال مدار حلقه بسته چگونه محاسبه می شود؟

9. ثابت کنید که تابع انتقال اپراتور دیفرانسیل در تقویت کننده عملیاتی برابر است با (- pRC). نموداری از پاسخ فرکانسی چنین متمایزکننده ای بسازید.

11. تابع انتقال فیلتر نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.13.

پاسخ: .

12. هودوگراف بهره حلقه چیست؟ چگونه با استفاده از هودوگراف نوع بازخورد را تعیین کنیم؟

13. معیار پایداری نایکیست چگونه تدوین می شود؟ برای چه مدارهایی استفاده می شود؟

14. تابع انتقال پیچیده مدار باز نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.13. وابستگی پایداری مدار به مقدار بهره را بررسی کنید به.