آیا انتگرال نامناسب همگرا می شود؟ چگونه یک انتگرال نامناسب را محاسبه کنیم و به همگرایی آن پی ببریم

انتگرال های قطعی آنلاین در سایت برای دانش آموزان و دانش آموزان مدرسه برای تجمیع مطالبی که پوشش داده اند. و مهارت های عملی خود را آموزش دهید. یک راه حل کامل از انتگرال های خاص به صورت آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید. انتگرال های آنلاین - انتگرال معینبرخط. انتگرال‌های خاص آنلاین در سایت برای دانش‌آموزان و دانش‌آموزان برای تجمیع کامل مطالبی که پوشش داده‌اند و آموزش مهارت‌های عملی آنها. راه حل کامل انتگرال های قطعی آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید انتگرال آنلاین - انتگرال قطعی آنلاین. برای ما، استفاده از یک انتگرال قطعی آنلاین چیزی فوق العاده طبیعی به نظر نمی رسد، زیرا این موضوع را از روی کتابی از نویسندگان برجسته مطالعه کرده ایم. ما از آنها بسیار تشکر می کنیم و احترام خود را به این افراد ابراز می کنیم. به تعیین انتگرال معین کمک می کند سرویس آنلاینبرای محاسبه چنین مشکلاتی در کوتاه ترین زمان. فقط اطلاعات صحیح را ارائه دهید و همه چیز خوب خواهد شد! هر انتگرال قطعی به عنوان راه حل یک مشکل، سواد دانش آموزان را بهبود می بخشد. هر تنبلی این خواب را می بیند و ما نیز از این قاعده مستثنی نیستیم، صادقانه به آن اعتراف می کنیم. اگر هنوز موفق به محاسبه یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل به صورت رایگان هستید، لطفاً آدرس وب سایت را برای همه کسانی که می خواهند از آن استفاده کنند بنویسید. همانطور که می گویند، یک لینک مفید به اشتراک بگذارید و آنها از شما تشکر خواهند کرد مردم خوبرایگان. سوال تجزیه و تحلیل مسئله ای که در آن یک انتگرال مشخص توسط ماشین حساب به تنهایی حل می شود و نه با اتلاف وقت گرانبهای شما بسیار جالب خواهد بود. به همین دلیل است که آنها ماشین هستند تا برای مردم کار کنند. با این حال، حل انتگرال های معین به صورت آنلاین چیزی نیست که هر وب سایت بتواند از عهده آن برآید، و بررسی آن آسان است، یعنی فقط باید آن را انجام دهید. مثال پیچیدهو سعی کنید با استفاده از هر یک از این سرویس ها آن را حل کنید. تفاوت را از نزدیک احساس خواهید کرد. اغلب، یافتن یک انتگرال قطعی آنلاین بدون هیچ تلاشی بسیار دشوار می شود و پاسخ شما در پس زمینه مضحک به نظر می رسد. تصویر بزرگارائه نتیجه بهتر است ابتدا یک دوره برای یک مبارز جوان بگذرانید. هر راه حل انتگرال های نامناسب به صورت آنلاین ابتدا به محاسبه نامحدود کاهش می یابد و سپس با استفاده از تئوری حدود، به عنوان یک قاعده، حدود یک طرفه از عبارات حاصل با مرزهای جایگزین A و B محاسبه می شود. آنلاین با راه حل دقیق، به این نتیجه رسیدیم که در مرحله پنجم یعنی استفاده از فرمول جایگزینی متغیر Chebyshev اشتباه کرده اید. در تصمیم گیری بعدی بسیار مراقب باشید. اگر انتگرال قطعی شماست ماشین حساب آنلایناگر بار اول نتوانستید آن را انجام دهید، قبل از هر چیز باید داده های نوشته شده را در فرم های مناسب در وب سایت دوباره بررسی کنید. مطمئن شوید که همه چیز مرتب است و بروید، برو برو! برای هر دانش آموز، مانع محاسبه انتگرال های نادرست آنلاین با خود معلم است، زیرا این یا یک امتحان است، یا یک گفتگو، یا فقط تستروی یک جفت.. به محض اینکه ماشین حساب آنلاین انتگرال نادرست داده شده در اختیار شما قرار گرفت، بلافاصله وارد شوید عملکرد داده شده، جایگزین محدودیت های مشخص شدهادغام و روی دکمه Solution کلیک کنید، پس از آن به یک پاسخ کامل و دقیق دسترسی خواهید داشت. با این حال، وقتی سایت فوق العاده ای به عنوان یک سایت وجود داشته باشد خوب است، زیرا رایگان است، استفاده از آن آسان است و همچنین شامل بخش های زیادی است. که دانش آموزان هر روز از آن استفاده می کنند، یکی از آنها یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل به صورت کامل است. در همان بخش، می توانید انتگرال نامناسب را به صورت آنلاین با یک راه حل دقیق برای کاربردهای بیشتر پاسخ چه در مؤسسه و چه در کارهای مهندسی محاسبه کنید. اگر چنین مثالی را از قبل بدون کران بالا و پایین، یعنی نه یک انتگرال لایبنیتس، بلکه یک انتگرال نامعین حل کنید، به نظر می رسد تعیین یک انتگرال قطعی آنلاین برای همه یک موضوع ساده است. اما در اینجا من و شما به طور قاطع مخالفیم، زیرا در نگاه اول ممکن است دقیقاً اینگونه به نظر برسد، اما یک تفاوت قابل توجه وجود دارد، بیایید همه چیز را از هم جدا کنیم. راه حل چنین انتگرال مشخصی را به صراحت ارائه نمی دهد، بلکه در نتیجه تبدیل عبارت به یک مقدار محدود کننده است. به عبارت دیگر، ابتدا باید انتگرال را با جایگزینی مقادیر نمادین مرزها حل کنید و سپس حد را در بی نهایت یا در یک نقطه خاص محاسبه کنید. از این رو، محاسبه یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل به صورت رایگان به معنای ارائه راه حل دقیق با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس نیست. اگر ماشین حساب انتگرال قطعی خود را در نظر بگیریم، به شما کمک می کند تا آن را در چند ثانیه درست در مقابل چشمان خود محاسبه کنید. این عجله برای هر کسی که می خواهد کار را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهد و برای مسائل شخصی آزاد باشد ضروری است. شما نباید در اینترنت به دنبال سایت هایی بگردید که از شما بخواهند ثبت نام کنید، سپس پولی را به موجودی خود اضافه کنید، همه اینها به خاطر اینکه یک فرد باهوش راه حل هایی را برای انتگرال های خاص به ظاهر آنلاین آماده می کند. به یاد داشته باشید آدرس Math24 یک سرویس رایگان برای حل مجموعه است مسائل ریاضی، ما همچنین به شما کمک می کنیم تا یک انتگرال قطعی آنلاین پیدا کنید، و برای اطمینان از این موضوع، لطفاً بیانیه ما را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنید. انتگرال را در فیلد مناسب وارد کنید، سپس یا مقادیر حدی بی نهایت را مشخص کنید (در این صورت جواب انتگرال های نامناسب به صورت آنلاین محاسبه و به دست می آید)، یا حدود عددی یا نمادین خود و انتگرال قطعی را به صورت آنلاین با یک راه حل دقیق مشخص کنید. پس از کلیک بر روی دکمه "راه حل" در صفحه نمایش داده می شود. اینطور نیست - بسیار ساده است، نیازی به اقدامات غیر ضروری از شما ندارد، رایگان است، که مهمترین چیز است، و در عین حال موثر است. شما می توانید خودتان از این سرویس استفاده کنید تا یک ماشین حساب آنلاین یکپارچه خاص حداکثر سود را برای شما به ارمغان بیاورد، و بدون استرس بر پیچیدگی همه فرآیندهای محاسباتی، حالتی راحت به دست آورید، اجازه دهید ما همه چیز را برای شما انجام دهیم و قدرت کامل فناوری رایانه را نشان دهیم. دنیای مدرن. اگر به جنگل فرمول های پیچیده شیرجه بزنید و به تنهایی محاسبه انتگرال های نامناسب را به صورت آنلاین مطالعه کنید، این قابل ستایش است و می توانید واجد شرایط برای نوشتن یک پایان نامه دکتری باشید، اما اجازه دهید به واقعیت برگردیم. زندگی دانشجویی. دانشجو کیست؟ اول از همه، او یک مرد جوان، پرانرژی و شاد است، که می خواهد زمانی برای استراحت و انجام تکالیف خود داشته باشد! بنابراین، ما از دانش آموزانی مراقبت کردیم که سعی می کنند یک ماشین حساب آنلاین انتگرال نادرست را در وسعت شبکه جهانی پیدا کنند، و در اینجا مورد توجه شماست - سایت مفیدترین حل کننده آنلاین برای جوانان است. ضمناً، اگرچه خدمات ما به عنوان دستیار به دانش آموزان و دانش آموزان ارائه می شود، اما برای هر مهندسی کاملاً مناسب است، زیرا ما قادر به هر نوع مشکلی هستیم و راه حل آنها در قالب حرفه ای ارائه می شود. به عنوان مثال، ما یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل کامل در مراحل ارائه می دهیم، یعنی به هر بلوک منطقی (subtask) یک ورودی جداگانه با تمام محاسبات در طول فرآیند داده می شود. راه حل کلی. این، البته، درک طرح‌بندی‌های متوالی چند مرحله‌ای را ساده می‌کند، و بنابراین مزیت پروژه سایت نسبت به خدمات مشابه برای یافتن انتگرال‌های نامناسب آنلاین با یک راه‌حل دقیق است.

انتگرال نامناسب با حد انتگرال بی نهایت

گاهی به چنین انتگرال نادرستی، انتگرال نادرست از نوع اول نیز گفته می شود..gif" width="49" height="19 src=">.

انتگرال هایی با حد پایین بی نهایت یا با دو حد نامحدود کمتر رایج هستند: .

ما محبوب ترین مورد را در نظر خواهیم گرفت https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? نه همیشه نه یکپارچه سازیhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

اجازه دهید نمودار تابع انتگرال را در نقاشی ترسیم کنیم. یک نمودار معمولی و ذوزنقه منحنی برای این مورد به شکل زیر است:

انتگرال نامناسبhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">"، به عبارت دیگر مساحت هم بی نهایت است. ممکن است اینطور باشد.در این صورت می گویند که انتگرال نادرست واگرا می شود.

2) ولی. هر چقدر هم که متناقض به نظر برسد، مساحت یک رقم بی نهایت می تواند برابر با ... یک عدد متناهی باشد! به عنوان مثال: .. در حالت دوم، انتگرال نامناسب همگرا می شود.

اگر ذوزنقه منحنی نامتناهی در زیر محور قرار گیرد چه اتفاقی می‌افتد؟.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

مثال 1

تابع انتگرال https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">، به این معنی که همه چیز خوب است و انتگرال نامناسب را می توان با استفاده از " محاسبه کرد روش استاندارد».

کاربرد فرمول ما https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

یعنی انتگرال نامناسب واگرا می شود و مساحت ذوزنقه منحنی سایه دار برابر با بی نهایت است.

هنگام حل انتگرال های نامناسب، بسیار مهم است که بدانید نمودارهای توابع ابتدایی اولیه چگونه هستند!

مثال 2

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ابتدا به موارد زیر توجه می کنیم: انتگرال در نیم بازه پیوسته است. خوب..gif" width="327" height="53">

(1) ساده ترین انتگرال را می گیریم تابع توان(این مورد خاص در بسیاری از جداول موجود است). بهتر است بلافاصله علامت منهای را از علامت حد خارج کنید تا در محاسبات بعدی مانعی ایجاد نکند.

(2) حد بالا و پایین را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس جایگزین می کنیم.

(3) اشاره می کنیم که https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (آقایان، این را باید مدت زیادی درک کنید زمان پیش) و پاسخ را ساده کنید.

در اینجا مساحت یک ذوزنقه منحنی نامتناهی یک عدد محدود است! باور نکردنی اما واقعی.

مثال 3

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

انتگرال پیوسته است.

ابتدا بیایید سعی کنیم تابع ضد مشتق (انتگرال نامعین) را پیدا کنیم.

انتگرال شبیه کدام یک از انتگرال های جدول است؟ من را به یاد یک آرکتانژانت می اندازد: . این ملاحظات نشان می دهد که داشتن یک مربع در مخرج خوب است. این کار با جایگزینی انجام می شود.

بیایید جایگزین کنیم:

انجام یک بررسی، یعنی متمایز کردن نتیجه به دست آمده، همیشه مفید است:

اکنون انتگرال نامناسب را پیدا می کنیم:

(1) محلول را مطابق فرمول می نویسیم . بهتر است بلافاصله ثابت را فراتر از علامت حد منتقل کنید تا در محاسبات بعدی تداخل ایجاد نکند.

(2) ما حد بالا و پایین را مطابق با فرمول نیوتن-لایبنیتز جایگزین می کنیم..gif" width="56" height="19 src=">؟ نمودار ارتجانت را در مقاله ای که قبلاً بارها توصیه شده است ببینید.

(3) ما پاسخ نهایی را دریافت می کنیم. واقعیتی که دانستن آن از روی قلب مفید است.

دانش‌آموزان پیشرفته ممکن است انتگرال نامعین را جداگانه پیدا نکنند و از روش جایگزینی استفاده نکنند، بلکه از روش جایگزین کردن تابع زیر علامت دیفرانسیل و حل انتگرال نامناسب "فورا" استفاده کنند. در این مورد، راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:

“

تابع انتگرال در https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104"> پیوسته است.
“

مثال 4

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

! این نمونه معمولی، و انتگرال های مشابه اغلب اتفاق می افتد. خوب کار کن! تابع ضد مشتقدر اینجا با روش جداسازی یک مربع کامل یافت می شود.

مثال 5

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

این انتگرال را می توان با جزئیات حل کرد، یعنی ابتدا با تغییر متغیر، انتگرال نامعین را پیدا کنید. یا می توانید آن را "فورا" حل کنید - با قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل..

انتگرال های نامناسب توابع نامحدود

گاهی به این گونه انتگرال های نادرست، انتگرال های نادرست نوع دوم می گویند. انتگرال های نادرست نوع دوم به طور موذیانه تحت انتگرال معین معمول "رمزگذاری" می شوند و دقیقاً یکسان به نظر می رسند: ..gif" width="39" height="15 src=">، 2) یا در نقطه، 3) یا در هر دو نقطه به طور همزمان، 4) یا حتی در بخش ادغام. ما دو مورد اول را در نظر خواهیم گرفت، برای موارد 3-4 در پایان مقاله پیوندی به یک درس اضافی وجود دارد.

فقط یک مثال برای روشن شدن مطلب: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">، سپس مخرج ما به صفر می رسد، یعنی انتگرال در این مرحله به سادگی وجود ندارد!

به طور کلی، هنگام تجزیه و تحلیل یک انتگرال نامناسب شما همیشه باید هر دو محدودیت یکپارچه سازی را با انتگرال جایگزین کنید..jpg" alt="انتگرال نادرست، نقطه ناپیوستگی در حد پایین ادغام" width="323" height="380">!}

در اینجا همه چیز تقریباً مانند انتگرال نوع اول است.
انتگرال ما عددی است برابر مساحتیک ذوزنقه منحنی سایه دار که در بالا محدود نمی شود. در این مورد، دو گزینه می تواند وجود داشته باشد: انتگرال نامناسب واگرا می شود (مساحت نامحدود است) یا انتگرال نامناسب برابر با یک عدد متناهی است (یعنی مساحت یک رقم نامتناهی محدود است!).

تنها چیزی که باقی می ماند اصلاح فرمول نیوتن-لایبنیتس است. همچنین با کمک یک حد اصلاح می شود، اما حد دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه بها دادنhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> سمت راست.

مثال 6

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

انتگرال در یک نقطه یک ناپیوستگی بی نهایت دارد (فراموش نکنید که به صورت شفاهی یا پیش نویس بررسی کنید که همه چیز با حد بالایی خوب است!)

ابتدا بیایید انتگرال نامعین را محاسبه کنیم:

جایگزینی:

بیایید انتگرال نامناسب را محاسبه کنیم:

(1) اینجا چه چیز جدیدی است؟ عملاً هیچ چیز از نظر فناوری راه حل وجود ندارد. تنها چیزی که تغییر کرده است ورودی زیر نماد محدودیت است: . اضافه به این معنی است که ما برای مقدار سمت راست تلاش می کنیم (که منطقی است - نمودار را ببینید). به چنین حدی در نظریه حدود، حد یک طرفه می گویند. در این مورد ما یک حد راست دست داریم.

(2) حد بالا و پایین را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس جایگزین می کنیم.

(3) بیایید بفهمیم https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. چگونه تعیین کنیم که عبارت باید کجا باشد؟ ، در شما فقط باید مقدار را جایگزین کنید، سه چهارم را جایگزین کنید و نشان دهید که .. پاسخ را شانه می کنیم.

در این حالت انتگرال نامناسب برابر با یک عدد منفی است.

مثال 7

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

مثال 8

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

اگر انتگرال در نقطه وجود نداشته باشد

ذوزنقه منحنی نامتناهی برای چنین انتگرال نامناسبی اساساً به این صورت است:

در اینجا همه چیز کاملاً یکسان است، با این تفاوت که حد ما به آن گرایش دارد بها دادنhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> باید بی نهایت به نقطه شکست نزدیک شویم ترک کرد.

انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال

فقط در صورت رعایت شرایط می تواند وجود داشته باشد (یعنی دارای یک مقدار نهایی مشخص باشد).

اگر حداقل یکی از این شرایط نقض شود، تعریف مفهوم خود را از دست می دهد. در واقع، در مورد یک قطعه نامتناهی، برای مثال [ آ; ) نمی توان آن را به تقسیم کرد پقطعات با طول محدود
، که علاوه بر این، با افزایش تعداد بخش ها به صفر گرایش پیدا می کند. در مورد نامحدود در برخی از نقطه با[آ; ب] شرط انتخاب نقطه دلخواه نقض شده است در بخش های جزئی - نمی توان انتخاب کرد =با، از آنجایی که مقدار تابع در این نقطه تعریف نشده است. با این حال، حتی برای این موارد نیز می توان مفهوم انتگرال معین را با معرفی گذر دیگری به حد تعمیم داد. انتگرال در بازه های نامتناهی و بیش از توابع ناپیوسته (نامحدود) نامیده می شوند مال خودت نیست.

تعریف.

اجازه دهید تابع
در بازه [ آ; ) و در هر بازه محدود [ آ; ب]، یعنی وجود دارد
برای هرکس ب > آ. محدودیت نوع
تماس گرفت انتگرال نامناسب اولین نوع (یا انتگرال نامناسب در یک بازه نامتناهی) و نشان می دهد
.

بنابراین، طبق تعریف،
=
.

اگر حد سمت راست وجود داشته باشد و متناهی باشد، انتگرال نامناسب
تماس گرفت همگرا . اگر این حد نامحدود باشد یا اصلاً وجود نداشته باشد، می گویند انتگرال نادرست واگرا می شود .

به طور مشابه، می‌توانیم مفهوم یک انتگرال نامناسب تابع را معرفی کنیم
در امتداد بازه (–; ب]:

=
.

و انتگرال نامناسب تابع
در بازه (–؛ +) به عنوان مجموع انتگرال های معرفی شده در بالا تعریف می شود:

=
+
,

جایی که آ- نقطه دلخواه این انتگرال اگر هر دو عبارت همگرا باشند همگرا می شود و اگر حداقل یکی از عبارت ها واگرا شود واگرا می شود.

از دیدگاه هندسی، انتگرال
,
، مقدار عددی مساحت یک ذوزنقه منحنی خطی نامتناهی را تعیین می کند که در بالا با نمودار تابع محدود شده است.
، چپ - راست
، از پایین – توسط محور OX. همگرایی انتگرال به معنای وجود مساحت محدود چنین ذوزنقه ای و برابری آن تا حد مساحت ذوزنقه منحنی با دیوار سمت راست متحرک است.
.

در مورد انتگرال با حد نامتناهی، می توانیم تعمیم دهیم فرمول نیوتن لایب نیتس:

=
=F( + ) – F( آ),

جایی که F( + ) =
. اگر این حد وجود داشته باشد، انتگرال همگرا می شود، در غیر این صورت واگرا می شود.

ما تعمیم مفهوم یک انتگرال معین را در مورد یک بازه نامتناهی در نظر گرفتیم.

اجازه دهید اکنون یک تعمیم برای مورد یک تابع نامحدود در نظر بگیریم.

تعریف

اجازه دهید تابع
در بازه [ آ; ب) در برخی از محله های نقطه نامحدود است ب، و در هر بازه ای پیوسته است
، جایی که> 0 (و بنابراین، در این بازه قابل ادغام است، یعنی.
وجود دارد). محدودیت نوع
تماس گرفت انتگرال نادرست نوع دوم (یا انتگرال نامناسب یک تابع نامحدود) و نشان داده می شود
.

بنابراین، انتگرال نادرست از نامحدود در نقطه بتوابع طبق تعریف وجود دارند

=
.

اگر حد سمت راست وجود داشته باشد و متناهی باشد، انتگرال نامیده می شود همگرا. اگر حد محدودی وجود نداشته باشد، انتگرال نامناسب نامیده می شود واگرا.

به طور مشابه، ما می توانیم انتگرال نامناسب تابع را تعریف کنیم
داشتن یک ناپیوستگی بی نهایت در نقطه آ:

=
.

اگر تابع
یک شکاف بی نهایت در نقطه داخلی دارد با
، سپس انتگرال نامناسب به صورت زیر تعریف می شود

=
+
=
+
.

این انتگرال اگر هر دو عبارت همگرا باشند همگرا می شود و اگر حداقل یک جمله واگرا شود واگرا می شود.

از نقطه نظر هندسی، انتگرال نامناسب یک تابع نامحدود نیز ناحیه یک ذوزنقه منحنی نامحدود را مشخص می کند:

از آنجایی که یک انتگرال نامناسب با عبور از حد یک انتگرال معین به دست می‌آید، تمام ویژگی‌های یک انتگرال معین را می‌توان (با اصلاحات مناسب) به انتگرال‌های نادرست نوع اول و دوم منتقل کرد.

در بسیاری از مسائلی که منجر به انتگرال های نامناسب می شود، لازم نیست که بدانیم این انتگرال با چه چیزی برابری می کند، فقط کافی است همگرایی یا واگرایی آن را بررسی کنیم. برای این استفاده می کنند نشانه های همگرایی. نشانه های همگرایی انتگرال های نامناسب:

1) علامت مقایسه.

بگذار برای همه باشد ایکس

. سپس اگر
همگرا می شود، سپس همگرا می شود
، و

. اگر
واگرا می شود، سپس واگرا می شود و
.

2) اگر همگرا باشد
، سپس همگرا می شود و
(آخرین انتگرال در این مورد نامیده می شود کاملا همگرا).

نشانه های همگرایی و واگرایی انتگرال های نامناسب توابع نامحدود مشابه مواردی است که در بالا فرموله شد.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1.

آ)
; ب)
; V)

ز)
; د)
.

راه حل.

الف) طبق تعریف داریم:

.

ب) به همین ترتیب

بنابراین این انتگرال همگرا می شود و برابر است با .

ج) طبق تعریف
=
+
، و آ- شماره دلخواه بیایید در مورد خود قرار دهیم
، سپس دریافت می کنیم:

این انتگرال همگرا می شود.

این بدان معنی است که این انتگرال واگرا می شود.

ه) بیایید در نظر بگیریم
. برای یافتن پاد مشتق انتگرال، باید از روش یکپارچه سازی توسط قطعات استفاده کرد. سپس دریافت می کنیم:

از آنجایی که هیچ کدام
، هیچ کدام
وجود ندارد، پس وجود ندارد و

بنابراین، این انتگرال از هم جدا می شود.

مثال 2.

همگرایی انتگرال را بررسی کنید بسته به پ.

راه حل.

در
ما داریم:

اگر
، آن
و. بنابراین، انتگرال واگرا می شود.

اگر
، آن
، آ
، سپس

=,

بنابراین، انتگرال همگرا می شود.

اگر
، آن

بنابراین، انتگرال واگرا می شود.

بدین ترتیب،

مثال 3.

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید:

آ)
; ب)
; V)
.

راه حل.

الف) انتگرال
یک انتگرال نادرست از نوع دوم است، زیرا انتگرال است
در یک نقطه محدود نمی شود

. سپس طبق تعریف،

.

انتگرال همگرا می شود و برابر است با .

ب) در نظر بگیرید
. در اینجا نیز انتگرال در نقطه محدود نیست
. بنابراین، این انتگرال از نوع دوم نامناسب است و بنا به تعریف،

بنابراین، انتگرال واگرا می شود.

ج) در نظر بگیرید
. یکپارچه سازی
در دو نقطه از شکاف بی نهایت رنج می برد:
و
که اولین آن متعلق به بازه ادغام است
. در نتیجه، این انتگرال یک انتگرال نادرست از نوع دوم است. سپس، طبق تعریف

=

=

.

بنابراین، انتگرال همگرا می شود و برابر است با
.