نابرابری های لگاریتمی پیچیده دانشگاه ها همه چیز درباره نابرابری های لگاریتمی

اهداف درس:

اموزشی:

• سطح 1 - آموزش نحوه حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی، با استفاده از تعریف لگاریتم، خواص لگاریتم.
• سطح 2 - حل نابرابری های لگاریتمی، انتخاب روش حل خود.
• سطح 3 - توانایی به کارگیری دانش و مهارت در موقعیت های غیر استاندارد.

در حال توسعه:توسعه حافظه، توجه، تفکر منطقی، مهارت های مقایسه، قادر به تعمیم و نتیجه گیری باشد

آموزشی:پرورش دقت، مسئولیت کار انجام شده، کمک متقابل.

شیوه های آموزش: کلامی , دیداری , کاربردی , جستجوی جزئی , خودگردانی , کنترل.

اشکال سازمان فعالیت شناختیدانش آموزان: جلویی , شخصی , به صورت جفت کار کنید

تجهیزات: مجموعه ای از وظایف تست، یادداشت مرجع، برگه های خالی برای راه حل ها.

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.موضوع و اهداف درس اعلام می شود، طرح درس: به هر دانش آموز یک برگه ارزیابی داده می شود که دانش آموز در طول درس آن را پر می کند. برای هر جفت دانش آموز - مطالب چاپ شده با وظایف، باید وظایف را به صورت جفت انجام دهید. ورق های تمیزبرای راه حل ها؛ برگه های مرجع: تعریف لگاریتم. نمودار یک تابع لگاریتمی، خواص آن؛ خواص لگاریتم؛ الگوریتم حل نابرابری های لگاریتمی

کلیه تصمیمات پس از خودارزیابی به معلم ارائه می شود.

برگه نمره دانش آموز

2. فعلیت بخشیدن به دانش.

دستورات معلم تعریف لگاریتم، نمودار تابع لگاریتمی و خواص آن را به خاطر بسپارید. برای انجام این کار، متن صفحات 88-90، 98-101 کتاب درسی "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل 10-11" ویرایش شده توسط Sh.A Alimov، Yu.M Kolyagin و دیگران را بخوانید.

به دانش آموزان برگه هایی داده می شود که روی آنها نوشته شده است: تعریف لگاریتم; نمودار یک تابع لگاریتمی، خواص آن را نشان می دهد. خواص لگاریتم؛ الگوریتم حل نابرابری های لگاریتمی، نمونه ای از حل نابرابری لگاریتمی که به مربع کاهش می یابد.

3. یادگیری مطالب جدید.

حل نابرابری های لگاریتمی بر اساس یکنواختی تابع لگاریتمی است.

الگوریتم حل نابرابری های لگاریتمی:

الف) دامنه تعریف نابرابری را بیابید (عبارت زیر لگاریتمی بزرگتر از صفر است).
ب) قسمت چپ و راست نابرابری را (در صورت امکان) به صورت لگاریتمی در یک پایه ارائه دهید.
ج) تعیین کنید که آیا تابع لگاریتمی در حال افزایش یا کاهش است: اگر t>1، سپس افزایش می یابد. اگر 0 1، سپس کاهش می یابد.
د) به ادامه مطلب بروید نابرابری ساده(عبارات زیر لگاریتمی)، با توجه به اینکه علامت نابرابری در صورت افزایش تابع حفظ می شود و در صورت کاهش تغییر می کند.

عنصر یادگیری شماره 1.

هدف: حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی را حل کنیم

شکل سازماندهی فعالیت شناختی دانش آموزان: کار فردی.

وظایف برای کار مستقلبه مدت 10 دقیقه برای هر نابرابری، چندین پاسخ وجود دارد، شما باید پاسخ مناسب را انتخاب کنید و با کلید بررسی کنید.

KEY: 13321، حداکثر امتیاز - 6 ص.

عنصر یادگیری شماره 2.

هدف: رفع نابرابری های لگاریتمی با اعمال خواص لگاریتم.

دستورات معلم ویژگی های اصلی لگاریتم ها را به یاد بیاورید. برای این کار متن کتاب درسی ص 92، 103–104 را مطالعه کنید.

وظایف برای کار مستقل به مدت 10 دقیقه.

کلید: 2113، حداکثر تعداد امتیاز 8 b است.

عنصر یادگیری شماره 3.

هدف: بررسی حل نابرابری های لگاریتمی با روش کاهش به مربع.

دستورات معلم: روش کاهش نابرابری به مربع این است که نابرابری را به شکلی تبدیل می کنیم که یک تابع لگاریتمی خاص با یک متغیر جدید نشان داده شود، در حالی که نسبت به این متغیر نابرابری مربع به دست می آید.

بیایید از روش فاصله استفاده کنیم.

شما اولین سطح جذب مواد را گذرانده اید. حالا باید خودتان روش حل را انتخاب کنید معادلات لگاریتمیبا استفاده از تمام دانش و توانایی های خود

عنصر آموزشی شماره 4.

هدف: ادغام راه حل نابرابری های لگاریتمی با انتخاب یک روش منطقی برای حل آن.

وظایف برای کار مستقل به مدت 10 دقیقه

عنصر آموزشی شماره 5.

دستورات معلم آفرین! شما به حل معادلات سطح دوم پیچیدگی تسلط دارید. هدف از کار بعدی شما این است که دانش و مهارت های خود را در موقعیت های پیچیده تر و غیر استاندارد به کار ببرید.

وظایف برای راه حل مستقل:

دستورات معلم اگر همه کارها را انجام داده باشید عالی است. آفرین!

نمره کل درس به تعداد امتیازات کسب شده برای همه عناصر آموزشی بستگی دارد:

• اگر N ≥ 20 باشد، نمره "5" را دریافت می کنید،
• برای 16 ≤ N ≤ 19 - نمره "4"،
• برای 8 ≤ N ≤ 15 - نمره "3"،
• در N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

روباه های تخمینی برای تحویل به معلم.

5. مشق شب: اگر بیش از 15 b امتیاز ندارید - روی اشتباهات کار کنید (راه حل ها را می توان از معلم گرفت) ، اگر بیش از 15 b امتیاز گرفتید - یک کار خلاقانه با موضوع "نابرابری های لگاریتمی" انجام دهید.

آیا فکر می کنید هنوز تا امتحان زمان باقی است و برای آماده شدن زمان خواهید داشت؟ شاید اینطور باشد. اما در هر صورت، دانش آموز هر چه زودتر آموزش را شروع کند، امتحانات را با موفقیت بیشتری پشت سر می گذارد. امروز تصمیم گرفتیم مقاله ای را به نابرابری های لگاریتمی اختصاص دهیم. این یکی از وظایف است، یعنی فرصتی برای گرفتن یک امتیاز اضافی.

آیا می دانید لگاریتم (log) چیست؟ ما واقعا امیدواریم. اما حتی اگر پاسخی برای این سوال ندارید، مشکلی نیست. درک اینکه لگاریتم چیست بسیار آسان است.

چرا دقیقا 4؟ برای بدست آوردن 81 باید عدد 3 را به چنین توانی برسانید. وقتی اصل را فهمیدید، می توانید محاسبات پیچیده تری را انجام دهید.

شما چند سال پیش از نابرابری ها گذشتید. و از آن زمان، شما دائماً آنها را در ریاضیات ملاقات می کنید. اگر در حل نابرابری ها مشکل دارید، بخش مربوطه را بررسی کنید.
حال که با مفاهیم به صورت جداگانه آشنا شدیم، به طور کلی به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

ساده ترین نابرابری لگاریتمی

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به این مثال محدود نمی شود، سه مورد دیگر وجود دارد، فقط با علائم مختلف. چرا این مورد نیاز است؟ برای درک بهتر نحوه حل نابرابری با لگاریتم. اکنون یک مثال کاربردی‌تر می‌آوریم، که هنوز هم بسیار ساده است، نابرابری‌های لگاریتمی پیچیده را برای بعد می‌گذاریم.

چگونه آن را حل کنیم؟ همه چیز با ODZ شروع می شود. اگر می خواهید همیشه هر نابرابری را به راحتی حل کنید، باید در مورد آن بیشتر بدانید.

ODZ چیست؟ DPV برای نابرابری های لگاریتمی

مخفف عبارت محدوده مقادیر معتبر است. در تکالیف برای امتحان، این عبارت اغلب ظاهر می شود. DPV نه تنها در مورد نابرابری های لگاریتمی برای شما مفید است.

دوباره به مثال بالا نگاه کنید. ما ODZ را بر اساس آن در نظر می گیریم تا اصل را بفهمید و حل نابرابری های لگاریتمی سؤالی ایجاد نمی کند. از تعریف لگاریتم بر می آید که 2x+4 باید بزرگتر از صفر باشد. در مورد ما، این به معنای زیر است.

این عدد باید طبق تعریف مثبت باشد. نابرابری ارائه شده در بالا را حل کنید. حتی می توان این کار را به صورت شفاهی انجام داد، در اینجا مشخص است که X نمی تواند کمتر از 2 باشد. حل نابرابری، تعریف محدوده مقادیر قابل قبول خواهد بود.
حالا بیایید به حل ساده ترین نابرابری لگاریتمی برویم.

ما خود لگاریتم ها را از هر دو قسمت نابرابری حذف می کنیم. در نتیجه چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ نابرابری ساده

حل آن آسان است. X باید بزرگتر از -0.5 باشد. اکنون دو مقدار بدست آمده را در سیستم ترکیب می کنیم. به این ترتیب،

این منطقه مقادیر قابل قبول برای نابرابری لگاریتمی در نظر گرفته شده خواهد بود.

چرا اصلاً ODZ مورد نیاز است؟ این فرصتی است برای از بین بردن پاسخ های نادرست و غیرممکن. اگر پاسخ در محدوده مقادیر قابل قبول نباشد، پاسخ به سادگی معنا ندارد. این ارزش را برای مدت طولانی به یاد داشته باشید، زیرا در امتحان اغلب نیاز به جستجوی ODZ وجود دارد و نه تنها به نابرابری های لگاریتمی مربوط می شود.

الگوریتم حل نابرابری لگاریتمی

راه حل شامل چندین مرحله است. ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کرد. دو مقدار در ODZ وجود خواهد داشت، ما این را در بالا در نظر گرفتیم. مرحله بعدی حل خود نابرابری است. روش های حل به شرح زیر است:

• روش جایگزینی چند برابر؛
• تجزیه؛
• روش منطقی سازی

بسته به شرایط باید از یکی از روش های فوق استفاده کرد. بیایید مستقیم به سراغ راه حل برویم. ما محبوب ترین روشی را که برای حل وظایف USE در تقریباً همه موارد مناسب است، نشان خواهیم داد. در ادامه روش تجزیه را در نظر خواهیم گرفت. اگر با یک نابرابری «مختلف» مواجه شدید، می تواند کمک کند. بنابراین، الگوریتم برای حل نابرابری لگاریتمی.

نمونه های راه حل :

بیهوده نیست که دقیقاً چنین نابرابری را گرفتیم! به پایه توجه کنید. به یاد داشته باشید: اگر بزرگتر از یک باشد، هنگام یافتن محدوده مقادیر معتبر علامت ثابت می ماند. در غیر این صورت، علامت نابرابری باید تغییر کند.

در نتیجه، نابرابری را دریافت می کنیم:

حالا سمت چپ را به شکل معادله برابر با صفر می آوریم. به جای علامت "کمتر از"، "برابر" قرار می دهیم، معادله را حل می کنیم. بنابراین، ما ODZ را پیدا خواهیم کرد. امیدواریم با حل چنین مواردی معادله سادهشما مشکلی نخواهید داشت پاسخ ها -4 و -2 هستند. این همش نیست. شما باید این نقاط را روی نمودار نمایش دهید، "+" و "-" را قرار دهید. برای این کار چه باید کرد؟ اعداد را از فواصل در عبارت جایگزین کنید. در جایی که مقادیر مثبت هستند، "+" را در آنجا قرار می دهیم.

پاسخ: x نمی تواند بزرگتر از -4 و کوچکتر از -2 باشد.

ما محدوده مقادیر معتبر را فقط برای سمت چپ پیدا کردیم، اکنون باید محدوده مقادیر معتبر را برای سمت راست پیدا کنیم. این به هیچ وجه ساده تر نیست. پاسخ: -2. هر دو ناحیه دریافتی را قطع می کنیم.

و فقط اکنون شروع به حل خود نابرابری می کنیم.

بیایید آن را تا حد امکان ساده کنیم تا تصمیم گیری آسان تر شود.

ما دوباره از روش فاصله در محلول استفاده می کنیم. بیایید از محاسبات بگذریم، با او همه چیز از مثال قبلی واضح است. پاسخ.

اما این روش در صورتی مناسب است که نابرابری لگاریتمی دارای پایه های یکسان باشد.

حل معادلات لگاریتمی و نامساوی با زمینه های مختلفمستلزم کاهش اولیه به یک پایه است. سپس از روش فوق استفاده کنید. اما یک مورد پیچیده تر نیز وجود دارد. یکی از مهمترین آنها را در نظر بگیرید انواع پیچیدهنابرابری های لگاریتمی

نابرابری های لگاریتمی با پایه متغیر

چگونه می توان نابرابری ها را با چنین ویژگی هایی حل کرد؟ بله، و چنین چیزی را می توان در امتحان یافت. حل نابرابری ها به روش زیر نیز تأثیر مفیدی بر شما خواهد داشت فرآیند آموزشی. بیایید موضوع را درک کنیم در جزئیات. بیایید تئوری را کنار بگذاریم و مستقیم به سراغ عمل برویم. برای حل نابرابری های لگاریتمی کافی است یک بار با مثال آشنا شوید.

برای حل نابرابری لگاریتمی شکل ارائه شده، باید کاهش داد سمت راستبه لگاریتم با همان پایه. این اصل شبیه انتقال های معادل است. در نتیجه، نابرابری به این شکل خواهد بود.

در واقع، ایجاد سیستمی از نابرابری ها بدون لگاریتم باقی مانده است. با استفاده از روش منطقی سازی، به سیستم معادلی از نابرابری ها می رویم. زمانی که مقادیر مناسب را جایگزین کنید و تغییرات آنها را دنبال کنید، خود قانون را درک خواهید کرد. این سیستم دارای نابرابری های زیر خواهد بود.

با استفاده از روش منطقی سازی هنگام حل نابرابری ها، باید موارد زیر را به خاطر بسپارید: باید یکی را از پایه کم کنید، x، با تعریف لگاریتم، از هر دو قسمت نابرابری (راست از چپ)، دو کم می شود. عبارات ضرب می شوند و در زیر علامت اصلی نسبت به صفر قرار می گیرند.

راه حل بیشتر با روش فاصله انجام می شود، همه چیز در اینجا ساده است. برای شما مهم است که تفاوت های روش های راه حل را درک کنید، سپس همه چیز به راحتی شروع به کار می کند.

تفاوت های ظریف زیادی در نابرابری های لگاریتمی وجود دارد. ساده ترین آنها به اندازه کافی آسان برای حل هستند. چگونه می توان آن را به گونه ای ساخت که هر یک از آنها را بدون مشکل حل کنیم؟ شما قبلا تمام پاسخ ها را در این مقاله دریافت کرده اید. اکنون تمرین طولانی در پیش رو دارید. به طور مداوم حل مسائل مختلف را در آزمون تمرین کنید و خواهید توانست بالاترین امتیاز را کسب کنید. در کار دشوار خود موفق باشید!

اگر نابرابری دارای تابع لگاریتمی باشد، لگاریتمی نامیده می شود.

روش‌های حل نابرابری‌های لگاریتمی به جز دو چیز تفاوتی ندارند.

اول، هنگام عبور از نابرابری لگاریتمی به نابرابری زیر توابع لگاریتمیباید علامت نابرابری حاصل را دنبال کنید. از قانون زیر پیروی می کند.

اگر پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از $1 باشد، هنگام عبور از نابرابری لگاریتمی به نامساوی توابع زیر لگاریتمی، علامت نابرابری حفظ می‌شود و اگر کمتر از $1 باشد، معکوس می‌شود.

ثانیاً، حل هر نابرابری یک بازه است و بنابراین، در پایان حل نابرابری توابع زیر لگاریتمی، لازم است یک سیستم از دو نامساوی تشکیل شود: اولین نابرابری این سیستم، نابرابری خواهد بود. توابع زیر لگاریتمی و دومی بازه دامنه تعریف توابع لگاریتمی است که در نابرابری لگاریتمی گنجانده شده است.

تمرین.

بیایید نابرابری ها را حل کنیم:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

پایه لگاریتم $2>1$ است، بنابراین علامت تغییر نمی کند. با استفاده از تعریف لگاریتم، به دست می آوریم:

$x+3 \geq 2^(3)،$

$x \in )