قانون توزیع یک متغیر تصادفی x. متغیر تصادفی گسسته: نمونه هایی از راه حل های مسئله
ایکس; معنی اف(5)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بازه دریافت می کند. یک چند ضلعی توزیع بسازید.
- تابع توزیع F(x) یک متغیر تصادفی گسسته شناخته شده است ایکس:
قانون توزیع یک متغیر تصادفی را مشخص کنید ایکسدر قالب یک جدول
- با توجه به قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:
| ایکس | –28 | –20 | –12 | –4 | |
| پ | 0,22 | 0,44 | 0,17 | 0,1 | 0,07 |
- احتمال اینکه فروشگاه دارای گواهینامه کیفیت برای طیف کامل محصولات باشد 0.7 است. کمیسیون در دسترس بودن گواهینامه ها را در چهار فروشگاه در منطقه بررسی کرد. قانون توزیع تهیه کنید، محاسبه کنید ارزش مورد انتظارو اختلاف در تعداد فروشگاه هایی که گواهی کیفیت در طول بازرسی پیدا نکردند.
- برای تعیین میانگین زمان سوختن لامپ های الکتریکی در دسته ای از 350 جعبه یکسان، از هر جعبه یک لامپ الکتریکی برای آزمایش گرفته شد. اگر مشخص باشد که انحراف استاندارد زمان سوختن لامپ‌های الکتریکی، میانگین زمان سوختن لامپ‌های الکتریکی انتخاب‌شده را با مقدار مطلق کمتر از 7 ساعت، از پایین‌تر تخمین بزنید. در هر جعبه کمتر از 9 ساعت است.
- در مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 500 اتصال وجود داشته باشد:
تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. توابع و . میانگین، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.
- دستگاه اتوماتیک غلتک می سازد. اعتقاد بر این است که قطر آنها یک متغیر تصادفی معمولی با مقدار متوسط 10 میلی متر است. اگر قطر با احتمال 0.99 در محدوده 9.7 میلی متر تا 10.3 میلی متر باشد، انحراف معیار چقدر است.
نمونه A: 6 9 7 6 4 4
نمونه B: 55 72 54 53 64 53 59 48
42 46 50 63 71 56 54 59
54 44 50 43 51 52 60 43
50 70 68 59 53 58 62 49
59 51 52 47 57 71 60 46
55 58 72 47 60 65 63 63
58 56 55 51 64 54 54 63
56 44 73 41 68 54 48 52
52 50 55 49 71 67 58 46
50 51 72 63 64 48 47 55
گزینه 17.
- از بین 35 قطعه، 7 قطعه غیر استاندارد هستند. احتمال استاندارد بودن دو قسمت انتخاب شده به صورت تصادفی را بیابید.
- سه تاس بیندازید. این احتمال را پیدا کنید که مجموع نقاط روی صورت های افتاده مضرب 9 باشد.
- کلمه "ADVENTURE" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. این احتمال را پیدا کنید که حروف بیرون آمده به ترتیب شکل یک کلمه را تشکیل دهند: a) ADVENTURE; ب) گرفتن.
- یک کوزه شامل 6 توپ سیاه و 5 توپ سفید است. 5 توپ به صورت تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
- 2 توپ سفید؛
- کمتر از 2 توپ سفید؛
- حداقل یک توپ سیاه
- ولیدر یک تست 0.4 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
- رویداد ولی 3 بار در یک سری 7 تایی ظاهر می شود تست های مستقل;
- رویداد ولیحداقل 220 و بیش از 235 بار در یک سری از 400 چالش ظاهر می شود.
- این کارخانه 5000 محصول باکیفیت را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب دیدن هر محصول در حین حمل 0.002 است. این احتمال را پیدا کنید که بیش از 3 محصول در راه آسیب نبینند.
- کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 9 توپ سیاه و کوزه دوم شامل 7 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 3 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 4 توپ از کوزه دوم کشیده می شود احتمال اینکه همه توپ های کشیده شده همرنگ باشند را پیدا کنید.
- با توجه به قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:
انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.
- 10 مداد در جعبه وجود دارد. 4 مداد به صورت تصادفی کشیده شده است. مقدار تصادفی ایکستعداد مدادهای آبی در میان انتخاب شده است. قانون توزیع آن، گشتاورهای اولیه و مرکزی مرتبه 2 و 3 را بیابید.
- بخش کنترل فنی 475 محصول را از نظر ایراد بررسی می کند. احتمال معیوب بودن یک محصول 0.05 است. با احتمال 0.95 مرزهایی را پیدا کنید که شامل تعداد محصولات معیوب در بین محصولات آزمایش شده است.
- در مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.003 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 1000 اتصال وجود داشته باشد:
- حداقل 4 اتصال نادرست؛
- بیش از دو اتصال نادرست
- متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع داده می شود:
تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی X را محاسبه کنید.
- متغیر تصادفی توسط تابع توزیع داده می شود:
- بر اساس نمونه ولیوظایف زیر را حل کنید:
- ساخت یک سری تغییرات؛
میانگین نمونه؛
واریانس نمونه
حالت و میانه؛
نمونه A: 0 0 2 2 1 4
- محاسبه ویژگی های عددی سری تغییرات:
میانگین نمونه؛
واریانس نمونه
· انحراف معیار؛
حالت و میانه؛
نمونه B: 166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
گزینه 18.
- در بین 10 بلیط بخت آزمایی 2 برنده هستند این احتمال را پیدا کنید که یکی از پنج بلیطی که به صورت تصادفی کشیده شده اند برنده باشد.
- سه تاس بیندازید. احتمال اینکه مجموع نقاط نورد شده بیشتر از 15 باشد را پیدا کنید.
- کلمه "PERIMETER" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از یک کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) PERIMETER; ب) متر.
- یک کوزه شامل 5 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به صورت تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
- 4 توپ سفید؛
- کمتر از 2 توپ سفید؛
- حداقل یک توپ سیاه
- احتمال وقوع یک رویداد ولیدر یک آزمون 0.55 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
- رویداد ولی 3 بار در یک سری از 5 چالش ظاهر می شود.
- رویداد ولیحداقل 130 و بیش از 200 بار در یک سری از 300 چالش ظاهر می شود.
- احتمال نشت در قوطی کنسرو 0.0005 است. احتمال نشتی دو شیشه از 2000 شیشه را پیدا کنید.
- کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 8 توپ سیاه و گلدان دوم شامل 7 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. 2 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 3 توپ به طور تصادفی از کوزه دوم کشیده می شود. احتمال اینکه همه توپ های کشیده شده همرنگ باشند را پیدا کنید.
- در میان قطعات وارد شده برای مونتاژ، از دستگاه اول 0.1٪ معیوب است، از دوم - 0.2٪، از سوم - 0.25٪، از چهارم - 0.5٪. بهره وری ماشین ها بر این اساس به صورت 4:3:2:1 مرتبط است. بخشی که به صورت تصادفی گرفته شد استاندارد بود. احتمال اینکه آیتم در اولین ماشین ساخته شده است را بیابید.
- با توجه به قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:
انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.
- یک برقکار سه لامپ دارد که هر کدام ایراد دارد به احتمال 0.1 .. لامپ ها به پریز پیچ می شوند و جریان وصل می شود. هنگامی که جریان روشن می شود، لامپ معیوب بلافاصله می سوزد و لامپ دیگری جایگزین می شود. قانون توزیع، انتظارات ریاضی و واریانس تعداد لامپ های آزمایش شده را بیابید.
- احتمال اصابت به هدف برای هر 900 شلیک مستقل 0.3 است. با استفاده از نابرابری چبیشف، احتمال اصابت حداقل 240 بار و حداکثر 300 بار به هدف را تخمین بزنید.
- در مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که در بین 800 اتصال وجود داشته باشد:
- حداقل سه اتصال نادرست؛
- بیش از چهار اتصال نادرست
- متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع داده می شود:
تابع توزیع متغیر تصادفی X را بیابید. نمودارهای توابع و . میانگین، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.
- متغیر تصادفی توسط تابع توزیع داده می شود:
- بر اساس نمونه ولیوظایف زیر را حل کنید:
- ساخت یک سری تغییرات؛
- محاسبه فرکانس های نسبی و انباشته؛
- یک تابع توزیع تجربی بسازید و نمودار آن را بسازید.
- محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:
میانگین نمونه؛
واریانس نمونه
· انحراف معیار؛
حالت و میانه؛
نمونه A: 4 7 6 3 3 4
- برای نمونه B، مسائل زیر را حل کنید:
- ساخت یک سری تغییرات گروهی.
- ساخت یک هیستوگرام و یک چند ضلعی از فرکانس ها.
- محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:
میانگین نمونه؛
واریانس نمونه
· انحراف معیار؛
حالت و میانه؛
نمونه B: 152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
گزینه 19.
1. 16 زن و 5 مرد در محل کار می کنند. 3 نفر با توجه به تعداد پرسنل به صورت تصادفی انتخاب شدند. این احتمال را پیدا کنید که همه افراد انتخاب شده مرد باشند.
2. چهار سکه پرتاب می شود. احتمال اینکه فقط دو سکه دارای نشان باشند را پیدا کنید.
3. کلمه «روانشناسی» از کارتهایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از یک کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) روانشناسی. ب) کارکنان.
4. یک گلدان حاوی 6 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به صورت تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
آ. 3 توپ سفید؛
ب کمتر از 3 توپ سفید؛
ج. حداقل یک توپ سفید
5. احتمال وقوع ولیدر یک تست 0.5 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
آ. رویداد ولی 3 بار در یک سری از 5 آزمایش مستقل ظاهر می شود.
ب رویداد ولیحداقل 30 و بیش از 40 بار در یک سری 50 چالش ظاهر می شود.
6. 100 دستگاه با قدرت یکسان وجود دارد که به طور مستقل از یکدیگر در یک حالت کار می کنند که درایو آنها به مدت 0.8 ساعت کاری روشن است. احتمال اینکه در هر زمان معینی بین 70 تا 86 ماشین روشن باشد چقدر است؟
7. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 7 گلوله سیاه و کوزه دوم شامل 8 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 4 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 1 توپ از کوزه دوم کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین توپ های کشیده شده فقط 4 توپ سیاه وجود دارد.
8. هر روز سه مارک خودرو در حجم به نمایندگی خودرو تحویل داده می شود: Moskvich - 40%; "Oka" - 20٪؛ "ولگا" - 40 درصد از کل خودروهای وارداتی. در بین خودروهای نام تجاری Moskvich، 0.5٪ دارای دستگاه ضد سرقت هستند، Oka - 0.01٪، Volga - 0.1٪. احتمال اینکه خودرویی که برای تست گرفته شده است دارای یک دستگاه ضد سرقت باشد را بیابید.
9. اعداد و به طور تصادفی در بخش انتخاب می شوند. احتمال اینکه این اعداد نابرابری ها را برآورده کنند را بیابید.
10. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:
| ایکس | ||||
| پ | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس; معنی اف(2)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بازه دریافت خواهد کرد. یک چند ضلعی توزیع بسازید.
قانون توزیع و خصوصیات
مقادیر تصادفی
متغیرهای تصادفی، طبقه بندی آنها و روش های توصیف.
مقدار تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می تواند یک یا مقدار دیگری را به خود بگیرد، اما کدام یک از قبل شناخته شده نیست. بنابراین، برای یک متغیر تصادفی، فقط مقادیری را می توان مشخص کرد که لزوماً در نتیجه آزمایش یکی از آنها را می گیرد. به این مقادیر به عنوان مقادیر احتمالی متغیر تصادفی اشاره خواهد شد. از آنجایی که یک متغیر تصادفی به طور کمی نتیجه تصادفی یک آزمایش را مشخص می کند، می توان آن را به عنوان یک مشخصه کمی یک رویداد تصادفی در نظر گرفت.
معمولاً متغیرهای تصادفی مشخص می شوند حروف بزرگالفبای لاتین، به عنوان مثال، X..Y..Z، و مقادیر ممکن آنها در حروف کوچک مربوطه است.
سه نوع متغیر تصادفی وجود دارد:
گسسته؛ مداوم؛ مختلط.
گسستهچنین متغیر تصادفی نامیده می شود که تعداد مقادیر ممکن آن مجموعه ای قابل شمارش را تشکیل می دهد. به نوبه خود، مجموعه قابل شمارش مجموعه ای است که عناصر آن قابل شماره گذاری هستند. کلمه "گسسته" از کلمه لاتین discretus گرفته شده است که به معنای "ناپیوسته، متشکل از بخش های جداگانه" است.
مثال 1. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد قطعات معیوب X در یک دسته از nfl است. در واقع، مقادیر ممکن این متغیر تصادفی یک سری اعداد صحیح از 0 تا n است.
مثال 2. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد شلیک های قبل از اولین ضربه به هدف است. در اینجا، مانند مثال 1، مقادیر ممکن را می توان شماره گذاری کرد، اگرچه در حالت محدود، مقدار ممکن یک عدد بی نهایت بزرگ است.
مداوممتغیر تصادفی نامیده می شود که مقادیر ممکن آن به طور مداوم یک بازه مشخص از محور عددی را پر می کند که گاهی اوقات فاصله وجود این متغیر تصادفی نامیده می شود. بنابراین، در هر بازه محدود وجود، تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت زیاد است.
مثال 3. یک متغیر تصادفی پیوسته، مصرف برق در شرکت برای یک ماه است.
مثال 4. یک متغیر تصادفی پیوسته خطا در اندازه گیری ارتفاع با استفاده از ارتفاع سنج است. از اصل عملکرد ارتفاع سنج معلوم شود که خطا در محدوده 0 تا 2 متر است، بنابراین فاصله زمانی وجود این متغیر تصادفی فاصله بین 0 تا 2 متر است.
قانون توزیع متغیرهای تصادفی
یک متغیر تصادفی در صورتی کاملاً مشخص در نظر گرفته می‌شود که مقادیر ممکن آن در محور عددی نشان داده شود و قانون توزیع ایجاد شود.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای نامیده می شود که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه رابطه برقرار می کند.
به یک متغیر تصادفی گفته می شود که بر اساس یک قانون معین توزیع می شود یا تابع یک قانون توزیع معین است. تعدادی از احتمالات، یک تابع توزیع، یک چگالی احتمال، یک تابع مشخصه به عنوان قوانین توزیع استفاده می شود.
قانون توزیع یک توصیف احتمالی کامل از یک متغیر تصادفی را ارائه می دهد. طبق قانون توزیع، می توان قبل از تجربه قضاوت کرد که کدام مقادیر ممکن از یک متغیر تصادفی بیشتر ظاهر می شود و کدام یک کمتر.
برای یک متغیر تصادفی گسسته، قانون توزیع را می توان به صورت جدول، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی ارائه کرد.
ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته یک جدول (ماتریس) است که تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را به ترتیب صعودی فهرست می کند.
به چنین جدولی مجموعه ای از توزیع یک متغیر تصادفی گسسته می گویند. یکی
رویدادهای X 1 , X 2 ,..., X n شامل این واقعیت است که در نتیجه آزمون متغیر تصادفی X به ترتیب مقادیر x 1 , x 2 ,... x n را می گیرد. ، ناسازگار و تنها موارد ممکن هستند (زیرا جدول تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را فهرست می کند)، یعنی. فرم گروه کامل. بنابراین، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است. بنابراین، برای هر متغیر تصادفی گسسته
(این واحد به نوعی بین مقادیر متغیر تصادفی توزیع می شود، از این رو اصطلاح "توزیع" نامیده می شود).
یک سری توزیع را می توان به صورت گرافیکی نمایش داد اگر مقادیر یک متغیر تصادفی در امتداد محور آبسیسا و احتمالات مربوط به آنها در امتداد محور ارتین رسم شوند. اتصال نقاط به دست آمده یک خط شکسته را تشکیل می دهد که چند ضلعی یا چندضلعی توزیع احتمال نامیده می شود (شکل 1).
مثالقرعه کشی انجام می شود: یک ماشین به ارزش 5000 den. واحد 4 تلوزیون 250 د. واحد، 5 دستگاه VCR به ارزش 200 den. واحدها در مجموع، 1000 بلیط به قیمت 7 دانه فروخته می شود. واحدها قانون توزیع برنده خالص دریافت شده توسط شرکت کننده در قرعه کشی که یک بلیط خریداری کرده است را تنظیم کنید.
راه حل. مقادیر احتمالی متغیر تصادفی X - برنده خالص هر بلیط - 0-7 = -7 den است. واحدها (اگر بلیط برنده نشد)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 den. واحدها (اگر بلیط به ترتیب برنده VCR، تلویزیون یا ماشین شود). با توجه به اینکه از 1000 بلیط تعداد افراد غیر برنده 990 و برنده های ذکر شده به ترتیب 5، 4 و 1 بلیط می باشد و با استفاده از تعریف کلاسیکاحتمالات، دریافت می کنیم.
موسسه آموزشی "ایالت بلاروس
آکادمی کشاورزی"
گروه ریاضیات عالی
رهنمودها
بررسی موضوع "متغیرهای تصادفی" توسط دانشجویان دانشکده حسابداری آموزش مکاتبه ای (NISPO)
گورکی، 2013
متغیرهای تصادفی
متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته
یکی از مفاهیم اساسی در نظریه احتمال، مفهوم است متغیر تصادفی . متغیر تصادفی کمیتی نامیده می شود که در نتیجه آزمایش از مجموعه ای از مقادیر ممکن فقط یک عدد می گیرد و از قبل معلوم نیست کدام یک.
متغیرهای تصادفی هستند گسسته و پیوسته . متغیر تصادفی گسسته (DSV) یک متغیر تصادفی نامیده می شود که می تواند تعداد محدودی از مقادیر جدا شده از یکدیگر را به خود بگیرد. اگر بتوان مقادیر ممکن این کمیت را دوباره محاسبه کرد. متغیر تصادفی پیوسته (CRV) یک متغیر تصادفی نامیده می شود که تمام مقادیر ممکن آن یک فاصله مشخص از خط واقعی را به طور کامل پر می کند.
متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین X، Y، Z و غیره نشان داده می شوند. مقادیر احتمالی متغیرهای تصادفی با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شود.
در حال ضبط 
به معنای "احتمالی است که یک متغیر تصادفی ایکسمقداری برابر با 5، برابر با 0.28 اینچ خواهد گرفت.
مثال 1 . یک تاس یک بار پرتاب می شود. در این حالت، اعداد از 1 تا 6 ممکن است ظاهر شوند که تعداد امتیازها را نشان می دهد. متغیر تصادفی را مشخص کنید ایکس=(تعداد امتیازات کاهش یافته). این متغیر تصادفی در نتیجه آزمون می تواند تنها یکی از شش مقدار را بگیرد: 1، 2، 3، 4، 5 یا 6. بنابراین، متغیر تصادفی ایکس DSV وجود دارد.
مثال 2 . وقتی سنگی پرتاب می شود، مقداری پرواز می کند. متغیر تصادفی را مشخص کنید ایکس=(فاصله پرواز سنگ). این متغیر تصادفی می تواند هر مقدار، اما فقط یک، را از یک بازه معین بگیرد. بنابراین، متغیر تصادفی ایکس NSV وجود دارد.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته
یک متغیر تصادفی گسسته با مقادیری که می تواند بگیرد و احتمالاتی که این مقادیر با آن گرفته می شوند مشخص می شود. مطابقت بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته و احتمالات مربوط به آنها نامیده می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته .
اگر همه مقادیر ممکن شناخته شده باشند 
متغیر تصادفی ایکسو احتمالات 
ظاهر این ارزش ها، اعتقاد بر این است که قانون توزیع های CWRایکسشناخته شده است و می توان آن را به صورت جدول نوشت:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
اگر نقاط در یک سیستم مختصات مستطیلی رسم شوند، قانون توزیع DSV را می توان به صورت گرافیکی نشان داد. 
,
,
…,
و آنها را با خطوط مستقیم وصل کنید. شکل حاصل را چندضلعی توزیع می نامند.
مثال 3 . دانه در نظر گرفته شده برای تمیز کردن حاوی 10٪ علف های هرز است. 4 دانه به صورت تصادفی انتخاب می شود. متغیر تصادفی را مشخص کنید ایکس= (تعداد علف های هرز در بین چهار انتخاب شده). قانون توزیع DSV را بسازید ایکسو چند ضلعی توزیع
راه حل . طبق مثال. سپس:
قانون توزیع DSV X را به شکل جدول می نویسیم و یک چند ضلعی توزیع می سازیم:
|
|
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته
مهم ترین ویژگی های یک متغیر تصادفی گسسته با ویژگی های آن توصیف می شود. یکی از این خصوصیات است ارزش مورد انتظار متغیر تصادفی
اجازه دهید قانون توزیع DSV شناخته شود ایکس:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
انتظارات ریاضی
DSV ایکسمجموع حاصل از هر مقدار از این مقدار با احتمال مربوطه نامیده می شود: 
.
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی تقریباً برابر با میانگین حسابی همه مقادیر آن است. بنابراین، در مسائل عملی، مقدار متوسط این متغیر تصادفی اغلب به عنوان انتظار ریاضی در نظر گرفته می شود.
مثال 8 . تیرانداز امتیازهای 4، 8، 9 و 10 را با احتمالات 0.1، 0.45، 0.3 و 0.15 حذف می کند. انتظارات ریاضی تعداد امتیازات در یک ضربه را پیدا کنید.
راه حل . متغیر تصادفی را مشخص کنید ایکس=(تعداد امتیازهای کسب شده). سپس . بدین ترتیب میانگین امتیازات مورد انتظار با یک ضربه 8.2 و با 10 شوت 82 است.
خواص اصلی انتظارات ریاضی عبارتند از:
.
.
، جایی که 
,
.
.
، جایی که ایکسو Yمتغیرهای تصادفی مستقل هستند.
تفاوت 
تماس گرفت انحراف
متغیر تصادفی ایکساز انتظارات ریاضی آن این تفاوت یک متغیر تصادفی است و انتظار ریاضی آن برابر با صفر است. 
.
پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته
برای توصیف یک متغیر تصادفی، علاوه بر انتظارات ریاضی، از آن نیز استفاده می شود پراکندگی ، که تخمین پراکندگی (پراکندگی) مقادیر یک متغیر تصادفی را در اطراف انتظارات ریاضی آن ممکن می سازد. هنگام مقایسه دو متغیر تصادفی همگن با انتظارات ریاضی برابر، "بهترین" متغیری در نظر گرفته می شود که دارای گسترش کمتری باشد، به عنوان مثال. پراکندگی کمتر
پراکندگی متغیر تصادفی ایکسانتظار ریاضی مجذور انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن نامیده می شود: .
در مسائل عملی از یک فرمول معادل برای محاسبه واریانس استفاده می شود.
خواص اصلی پراکندگی عبارتند از:
.
ایکستوسط قانون توزیع احتمال داده شده است: سپس میانگین آن انحراف معیاربرابر … 0.80
راه حل:
انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی X به صورت تعریف شده است 
، که در آن واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را می توان با فرمول محاسبه کرد. 
راه حل:
آ(توپی که به طور تصادفی کشیده شده سیاه است) ما فرمول احتمال کل را اعمال می کنیم: در اینجا احتمال انتقال یک توپ سفید از کوزه اول به کوزه دوم وجود دارد. احتمال انتقال یک توپ سیاه از کوزه اول به کوزه دوم است. احتمال مشروط این است که توپ کشیده شده سیاه است اگر یک توپ سفید از اولین کوزه به دوم منتقل شود. این احتمال مشروط است که توپ کشیده شده سیاه است اگر یک توپ سیاه از اولین کوزه به دوم منتقل شود.
متغیر تصادفی گسسته X توسط قانون توزیع احتمال داده می شود: سپس احتمال 
برابر ...
راه حل:
واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد. سپس
یا . با حل آخرین معادله دو ریشه و
موضوع: تعریف احتمال
5 قطعه معیوب در یک دسته 12 قسمتی وجود دارد. سه آیتم به صورت تصادفی انتخاب شدند. در این صورت احتمال عدم وجود قطعات مناسب در بین قطعات انتخاب شده برابر است با ...
راه حل:
برای محاسبه رویداد A (هیچ قسمت مناسبی در بین قسمت های انتخاب شده وجود ندارد) از فرمول Where استفاده می کنیم n متر- تعداد پیامدهای ابتدایی که به نفع وقوع رویداد A. در مورد ما هستند تعداد کلپیامدهای ابتدایی ممکن برابر است با تعداد روش هایی که در آنها می توان سه جزئیات را از 12 استخراج کرد، یعنی .
و مجموع نتایج مطلوب برابر است با تعداد راههایی که می توان از پنج قسمت سه قسمت معیوب استخراج کرد، یعنی. 
بانک 44 درصد از کل وام ها را به اشخاص حقوقی و 56 درصد را به اشخاص حقیقی اعطا می کند. احتمال اینکه وجود، موجودیتوام را به موقع بازپرداخت نمی کند، برابر با 0.2 است. و برای یک فرد، این احتمال 0.1 است. سپس احتمال بازپرداخت وام بعدی به موقع برابر است با ...
| 0,856 |
راه حل:
برای محاسبه احتمال یک رویداد آ(وام به موقع بازپرداخت می شود) از فرمول احتمال کامل استفاده کنید: . در اینجا - احتمال اینکه وام به یک شخص حقوقی صادر شده است. - احتمال صدور وام به یک فرد; - احتمال مشروط بازپرداخت به موقع وام در صورتی که به یک شخص حقوقی صادر شده باشد. - احتمال مشروط بازپرداخت به موقع وام در صورتی که برای شخصی صادر شده باشد. سپس 
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
برای یک متغیر تصادفی گسسته X 
| 0,655 |
موضوع: تعریف احتمال
تاس دو بار پرتاب می شود. سپس احتمال اینکه مجموع نقاط نورد شده کمتر از نه نباشد برابر است با ...
راه حل:
برای محاسبه رویداد (مجموع امتیازهای حذف شده حداقل 9 خواهد بود)، از فرمول استفاده می کنیم، که در آن تعداد کل نتایج اولیه احتمالی آزمون است، و متر- تعداد پیامدهای ابتدایی که به نفع وقوع رویداد هستند آ. در مورد ما این امکان وجود دارد 
نتایج آزمون ابتدایی که نتایج مطلوب آن عبارتند از , , , , , , و . در نتیجه، 
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
تابع توزیع احتمال به شکل زیر است: 
سپس مقدار پارامتر می تواند برابر با ...
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
راه حل:
طبق تعریف 
. بنابراین، و . این شرایط برای مثال با مقدار برآورده می شود
موضوع: ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی
یک متغیر تصادفی پیوسته توسط تابع توزیع احتمال داده می شود: 
سپس واریانس آن ...
راه حل:
این متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. سپس واریانس آن را می توان با فرمول محاسبه کرد 
. به این معنا که 
موضوع: احتمال کامل فرمول های بیز
کوزه اول شامل 6 توپ سیاه و 4 توپ سفید است. کوزه دوم شامل 2 توپ سفید و 8 توپ سیاه است. از یک کوزه که به طور تصادفی گرفته شده بود، یک توپ کشیده شد که معلوم شد سفید است. سپس احتمال این که این توپ از اولین کوزه کشیده شده باشد ...
راه حل:
آ(توپی که به طور تصادفی کشیده شده سفید است) طبق فرمول احتمال کل: . در اینجا، احتمال این است که توپ از اولین کوزه کشیده شود. احتمال این است که توپ از کوزه دوم کشیده شود. احتمال شرطی این است که توپ کشیده شده در صورتی که از اولین کوزه کشیده شود سفید باشد. احتمال شرطی این است که توپ کشیده شده در صورتی که از کوزه دوم کشیده شود سفید باشد.
سپس 
.
اکنون با استفاده از فرمول بیز، احتمال مشروط بودن این توپ از اولین کوزه را محاسبه می کنیم: 
موضوع: ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی
متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع احتمال ارائه شده است: 
سپس واریانس آن ...
| 7,56 | |||
| 3,2 | |||
| 3,36 | |||
| 6,0 |
راه حل:
واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را می توان با فرمول محاسبه کرد
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
راه حل:
طبق تعریف . سپس
الف) در،،
ب) در،،
ج) در،،
د) در،،
ه) در، .
در نتیجه،
موضوع: تعریف احتمال
یک نقطه به طور تصادفی در داخل دایره ای به شعاع 4 پرتاب می شود. سپس احتمال اینکه نقطه خارج از مربع محاط شده در دایره باشد برابر است با ...
موضوع: تعریف احتمال
5 قطعه معیوب در یک دسته 12 قسمتی وجود دارد. سه آیتم به صورت تصادفی انتخاب شدند. سپس احتمال عدم وجود قطعات معیوب در بین قطعات انتخاب شده برابر است با ...
راه حل:
برای محاسبه رویداد (هیچ قسمت معیوب در بین قطعات انتخاب شده وجود ندارد) از فرمول , Where استفاده می کنیم nتعداد کل نتایج آزمون ابتدایی ممکن است و مترتعداد پیامدهای ابتدایی است که به نفع ظاهر رویداد است. در مورد ما، تعداد کل پیامدهای ابتدایی ممکن برابر است با تعداد روش‌هایی که می‌توان سه جزئیات را از 12 مورد استخراج کرد، یعنی . و مجموع نتایج مطلوب برابر است با تعداد راههایی که می توان از هفت قسمت سه قسمت غیر معیوب استخراج کرد، یعنی. در نتیجه، 
موضوع: احتمال کامل فرمول های بیز
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
راه حل:
برای محاسبه احتمال یک رویداد آ
سپس 
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
یک متغیر تصادفی گسسته توسط قانون توزیع احتمال داده می شود:
سپس احتمال 
برابر ...
راه حل:
بیایید از فرمول استفاده کنیم 
. سپس 
موضوع: احتمال کامل فرمول های بیز
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
راه حل:
ابتدا احتمال یک رویداد را محاسبه کنید آ 
.
.
موضوع: ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی
سپس انتظارات ریاضی آن ...
راه حل:
بیایید از فرمول استفاده کنیم . سپس .
موضوع: تعریف احتمال
راه حل:
موضوع: ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی
یک متغیر تصادفی پیوسته با توزیع چگالی احتمال داده می شود 
. سپس انتظارات ریاضی آو انحراف معیار این متغیر تصادفی برابر است با ...
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
راه حل:
چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال شکل دارد 
، جایی که ، . از همین رو .
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
یک متغیر تصادفی گسسته توسط قانون توزیع احتمال داده می شود:
سپس مقادیر آو بممکن است برابر باشد ...
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
راه حل:
از آنجایی که مجموع احتمالات مقادیر ممکن 1 است، پس . پاسخ این شرط را برآورده می کند: .
موضوع: تعریف احتمال
یک دایره کوچکتر به شعاع 5 در دایره ای به شعاع 8 قرار می گیرد. سپس احتمال اینکه نقطه ای که به طور تصادفی در یک دایره بزرگتر پرتاب می شود نیز به یک دایره کوچکتر بیفتد برابر است با ...
راه حل:
برای محاسبه احتمال رخداد مورد نظر از فرمول استفاده می کنیم که مساحت دایره کوچکتر و مساحت دایره بزرگتر است. در نتیجه، .
موضوع: احتمال کامل فرمول های بیز
اولین کوزه شامل 3 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. کوزه دوم شامل 4 توپ سفید و 5 توپ سیاه است. یک توپ از کوزه اول به کوزه دوم منتقل می شود. سپس احتمال اینکه توپی که به طور تصادفی از کوزه دوم کشیده می شود سفید باشد ...
| 0,47 | |||
| 0,55 | |||
| 0,35 | |||
| 0,50 |
راه حل:
برای محاسبه احتمال یک رویداد آ(یک توپ رسم شده به طور تصادفی سفید است) فرمول احتمال کل را اعمال می کنیم: . در اینجا احتمال انتقال یک توپ سفید از کوزه اول به کوزه دوم وجود دارد. احتمال انتقال یک توپ سیاه از کوزه اول به کوزه دوم است. اگر یک توپ سفید از اولین کوزه به دومی منتقل شود، احتمال مشروط سفید بودن توپ کشیده شده است. اگر یک توپ سیاه از اولین کوزه به دومی منتقل شود، احتمال مشروط سفید بودن توپ کشیده شده است.
سپس 
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
برای یک متغیر تصادفی گسسته:
تابع توزیع احتمال به شکل زیر است:
سپس مقدار پارامتر می تواند برابر با ...
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
TASK N 10 یک خطا را گزارش کنید
موضوع: احتمال کامل فرمول های بیز
بانک 70 درصد کل وام ها را به اشخاص حقوقی و 30 درصد را به اشخاص حقیقی اعطا می کند. احتمال اینکه یک شخص حقوقی وام را به موقع بازپرداخت نکند 0.15 است. و برای یک فرد، این احتمال 0.05 است. پیامی مبنی بر عدم بازپرداخت وام دریافت کرد. سپس احتمال عدم بازپرداخت این وام توسط شخص حقوقی برابر با ...
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
راه حل:
ابتدا احتمال یک رویداد را محاسبه کنید آ(وام صادر شده به موقع بازپرداخت نمی شود) طبق فرمول احتمال کل: . در اینجا - احتمال اینکه وام به یک شخص حقوقی صادر شده است. - احتمال اینکه وام به یک فرد صادر شده است. - احتمال مشروط عدم بازپرداخت به موقع وام در صورت اعطای آن به یک شخص حقوقی. - احتمال مشروط عدم بازپرداخت به موقع وام در صورت اعطای وام به شخص. سپس .
اکنون با استفاده از فرمول بیز، احتمال مشروط عدم بازپرداخت این وام توسط یک شخص حقوقی را محاسبه می کنیم: .
TASK N 11 یک خطا را گزارش کنید
موضوع: تعریف احتمال
5 قطعه معیوب در یک دسته 12 قسمتی وجود دارد. سه آیتم به صورت تصادفی انتخاب شدند. در این صورت احتمال عدم وجود قطعات مناسب در بین قطعات انتخاب شده برابر است با ...
راه حل:
برای محاسبه رویداد (هیچ قسمت مناسبی در بین قطعات انتخاب شده وجود ندارد) از فرمول , Where استفاده می کنیم nتعداد کل نتایج آزمون ابتدایی ممکن است و مترتعداد پیامدهای ابتدایی است که به نفع ظاهر رویداد است. در مورد ما، تعداد کل پیامدهای ابتدایی ممکن برابر است با تعداد روش‌هایی که می‌توان سه جزئیات را از 12 مورد استخراج کرد، یعنی . و مجموع نتایج مطلوب برابر است با تعداد راههایی که می توان از پنج قسمت سه قسمت معیوب استخراج کرد، یعنی. در نتیجه،
TASK N 12 یک خطا را گزارش کنید
موضوع: ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی
یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی توزیع احتمال داده می شود: 
سپس واریانس آن ...
راه حل:
پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با فرمول محاسبه کرد
سپس 
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
یک متغیر تصادفی گسسته توسط قانون توزیع احتمال داده می شود:
سپس تابع توزیع احتمال آن به شکل ...
| |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
راه حل:
طبق تعریف . سپس
الف) در،،
ب) در،،
ج) در،،
د) در،،
ه) در، .
در نتیجه، 
موضوع: احتمال کامل فرمول های بیز
سه کوزه حاوی 5 توپ سفید و 5 توپ سیاه و هفت کوزه حاوی 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه وجود دارد. یک توپ از یک کوزه به طور تصادفی کشیده می شود. سپس احتمال سفید بودن توپ ...
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
راه حل:
برای محاسبه احتمال یک رویداد آ(یک توپ رسم شده به طور تصادفی سفید است) فرمول احتمال کل را اعمال می کنیم: . در اینجا، این احتمال وجود دارد که توپ از اولین سری کوزه ها کشیده شود. احتمال این است که توپ از سری دوم کوزه ها کشیده شود. احتمال مشروط سفید بودن توپ رسم شده در صورتی است که از سری اول کوزه ها کشیده شده باشد. این احتمال مشروط است که اگر توپ کشیده شده از سری دوم کوزه ها کشیده شده باشد سفید است.
سپس .
موضوع: قوانین توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته
یک متغیر تصادفی گسسته توسط قانون توزیع احتمال داده می شود:
سپس احتمال برابر ...
موضوع: تعریف احتمال
تاس دو بار پرتاب می شود. سپس احتمال اینکه مجموع نقاط نورد شده ده باشد برابر است با ...
ما می توانیم رایج ترین قوانین توزیع متغیرهای تصادفی گسسته را مشخص کنیم:
- قانون توزیع دوجمله ای
- قانون توزیع پواسون
- قانون توزیع هندسی
- قانون توزیع هایپرهندسی
برای توزیع های داده شده از متغیرهای تصادفی گسسته، محاسبه احتمالات مقادیر آنها، و همچنین ویژگی های عددی (انتظار ریاضی، واریانس، و غیره) با توجه به "فرمول" خاصی انجام می شود. بنابراین شناخت این نوع توزیع ها و خواص اساسی آنها بسیار مهم است.
1. قانون توزیع دوجمله ای.
متغیر تصادفی گسسته $X$ تابع است قانون دوجمله ایتوزیع احتمال اگر مقادیر $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ را با احتمالات $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\ چپ( 1-p\راست))^(n-k)$. در واقع، متغیر تصادفی $X$ تعداد وقوع رویداد $A$ در $n$ آزمایشات مستقل است. قانون توزیع احتمال برای متغیر تصادفی $X$:
$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\راست) & P_n\left(1\راست) & \dots & P_n\left(n\راست) \\
\hline
\end(آرایه)$
برای چنین متغیر تصادفی، انتظار $M\left(X\right)=np$، واریانس $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ است.
مثال . در خانواده دو فرزند وجود دارد. با فرض اینکه احتمال تولد یک پسر و یک دختر برابر با $0.5 باشد، قانون توزیع متغیر تصادفی $\xi $ - تعداد پسران خانواده را پیدا کنید.
متغیر تصادفی $\xi $ تعداد پسران خانواده باشد. مقادیری که $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ می تواند بگیرد. احتمالات این مقادیر را می توان با فرمول $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k پیدا کرد. )$، که در آن $n =2$ - تعداد آزمایش‌های مستقل، $p=0.5$ - احتمال وقوع یک رویداد در یک سری آزمایش‌های $n$. ما گرفتیم:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 = 0.25; دلار
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\راست))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$
سپس قانون توزیع متغیر تصادفی $\xi $ مطابقت بین مقادیر $0،\ 1،\ 2$ و احتمالات آنها است، یعنی:
$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) و 0.25 و 0.5 و 0.25 \\
\hline
\end(آرایه)$
مجموع احتمالات در قانون توزیع باید برابر با $1 باشد، یعنی $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 = 1 دلار
انتظار $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$، واریانس $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$، انحراف استاندارد $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\تقریباً 0.707 دلار.
2. قانون توزیع پواسون.
اگر یک متغیر تصادفی گسسته $X$ بتواند فقط مقادیر صحیح غیر منفی را بگیرد $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ با احتمالات $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
اظهار نظر. ویژگی این توزیع این است که بر اساس داده‌های تجربی، تخمین‌های $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ را می‌یابیم، اگر تخمین‌های به‌دست‌آمده به هم نزدیک باشند، آنگاه ما دلیلی برای اثبات اینکه متغیر تصادفی تابع قانون توزیع پواسون است.
مثال . نمونه هایی از متغیرهای تصادفی مشمول قانون توزیع پواسون عبارتند از: تعداد خودروهایی که فردا توسط پمپ بنزین سرویس می شوند. تعداد اقلام معیوب در محصول تولیدی.
مثال . این کارخانه 500 دلار محصولات را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب دیدن محصول در حمل و نقل 0.002 دلار است. قانون توزیع متغیر تصادفی $X$ برابر با تعداد محصولات آسیب دیده را پیدا کنید. که برابر است با $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
اجازه دهید یک متغیر تصادفی گسسته $X$ تعداد آیتم های آسیب دیده باشد. چنین متغیر تصادفی تابع قانون توزیع پواسون با پارامتر $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ است. احتمالات مقادیر $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) است}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}
قانون توزیع متغیر تصادفی $X$:
$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(آرایه)$
برای چنین متغیر تصادفی، انتظارات و واریانس ریاضی با یکدیگر برابر و برابر با پارامتر $\lambda $ است، یعنی $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
3. قانون هندسی توزیع.
اگر یک متغیر تصادفی گسسته $X$ بتواند فقط مقادیر طبیعی $1,\ 2,\ \dots,\ n$ با احتمالات $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) بگیرد. راست)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $، سپس می گوییم که چنین متغیر تصادفی $X$ تابع قانون هندسی توزیع احتمال است. در واقع، به نظر می رسد توزیع هندسی آزمایش برنولی برای اولین موفقیت باشد.
مثال . نمونه هایی از متغیرهای تصادفی که دارای توزیع هندسی هستند می توانند عبارتند از: تعداد شلیک قبل از اولین ضربه به هدف. تعداد تست های دستگاه قبل از اولین شکست؛ تعداد پرتاب‌های سکه قبل از اولین سر بالا و غیره.
انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی تابع توزیع هندسیبه ترتیب برابر با $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$ هستند.
مثال . در مسیر حرکت ماهی به محل تخم ریزی یک قفل 4 دلاری وجود دارد. احتمال عبور ماهی از هر قفل $p=3/5$ است. یک سری توزیع از متغیر تصادفی $X$ بسازید - تعداد قفل هایی که ماهی قبل از اولین توقف در قفل عبور داده است. $M\left(X\right)،\ D\left(X\right)،\ \sigma \left(X\right)$ را پیدا کنید.
اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد دریچه‌هایی باشد که ماهی قبل از اولین توقف در شکاف عبور کرده است. چنین متغیر تصادفی تابع قانون هندسی توزیع احتمال است. مقادیری که متغیر تصادفی $X می تواند بگیرد عبارتند از: 1، 2، 3، 4. احتمالات این مقادیر با فرمول محاسبه می شود: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$، که در آن: $ p=2/5$ - احتمال صید ماهی از طریق قفل، $q=1-p=3/5$ - احتمال عبور ماهی از قفل، $k=1، \ 2، \ 3، \ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\راست))^0=((2)\ بیش از (5)) = 0.4; $
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\راست))^2=((2)\ بیش از (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\راست))^3+(\left(( (3)\over (5))\راست))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i و 1 و 2 و 3 و 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(آرایه)$
ارزش مورد انتظار:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
پراکندگی:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ چپ(1-2,176\راست))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\راست))^2+0,144\cdot (\ چپ (3-2,176\راست))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\راست))^2\حدود 1.377.$
انحراف معیار:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\تقریباً 1173.$
4. قانون توزیع هایپرهندسی.
اگر اشیاء $N$ وجود داشته باشد که در میان آنها اشیاء $m$ دارای ویژگی داده شده هستند. به‌طور تصادفی، بدون جایگزینی، اشیاء $n$ استخراج می‌شوند که در میان آنها، اشیاء $k$ وجود دارند که دارای یک ویژگی هستند. توزیع فرا هندسی تخمین این احتمال را می دهد که دقیقاً اشیاء $k$ در یک نمونه دارای یک ویژگی معین هستند. اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد اشیایی در نمونه باشد که دارای خاصیت معین هستند. سپس احتمالات مقادیر متغیر تصادفی $X$:
$P\left(X=k\راست)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
اظهار نظر. تابع آماری HYPERGEOMET در Excel $f_x$ Function Wizard به شما امکان می دهد تا احتمال موفقیت تعداد معینی از آزمایشات را تعیین کنید.
$f_x\ به $ آماری$\ به $ هایپرژئومت$\ به $ خوب. یک کادر محاوره ای ظاهر می شود که باید آن را پر کنید. در نمودار تعداد_موفقیت_در_نمونهمقدار $k$ را مشخص کنید. اندازهی نمونهبرابر $n$ است. در نمودار تعداد_موفقیت_ها_در_جمعیتمقدار $m$ را مشخص کنید. میزان جمعیتبرابر $N$ است.
انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی گسسته $X$ تابع قانون توزیع هندسی $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\ چپ) است. (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\راست))\over (N-1))$.
مثال . واحد اعتبارات بانک 5 نفر متخصص با تحصیلات عالی مالی و 3 نفر متخصص با تحصیلات عالی حقوقی استخدام می کند. مدیریت بانک تصمیم گرفت 3 متخصص را به صورت تصادفی برای آموزش پیشرفته اعزام کند.
الف) یک سری توزیع از تعداد متخصصان دارای تحصیلات مالی عالی که می توانند به آموزش های پیشرفته هدایت شوند، تهیه کنید.
ب) مشخصه های عددی این توزیع را بیابید.
فرض کنید متغیر تصادفی $X$ تعداد متخصصان دارای تحصیلات مالی بالاتر در بین سه انتخاب شده باشد. مقادیری که $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ می تواند بگیرد. این متغیر تصادفی $X$ بر اساس توزیع فوق هندسی با پارامترهای زیر توزیع می‌شود: $N=8$ - اندازه جمعیت، $m=5$ - تعداد موفقیت‌ها در جامعه، $n=3$ - حجم نمونه، $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - تعداد موفقیت‌ها در نمونه. سپس احتمالات $P\left(X=k\right)$ را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ بیش از C_(N)^(n)) $. ما داریم:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\حدود 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\حدود 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\حدود 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\حدود 0.179.$
سپس سری توزیع متغیر تصادفی $X$:
$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i و 0 و 1 و 2 و 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(آرایه)$
اجازه دهید ویژگی های عددی متغیر تصادفی $X$ را با استفاده از فرمول های عمومی توزیع فراهندسی محاسبه کنیم.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\چپ(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\راست)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\راست))\over (8-1))=((225)\بیش از (448))\تقریبا 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\حدود 0.7085.$
بارگذاری...