مؤسسه آموزشی شهرداری

سالن بدنسازی شماره 6

با موضوع "تعریف کلاسیک احتمال".

توسط دانش آموز کلاس هشتم "ب" تکمیل شد

کلیمانتووا الکساندرا.

معلم ریاضیات: Videnkina V. A.

ورونژ، 2008

بسیاری از بازی ها از تاس استفاده می کنند. قالب دارای 6 وجه است، هر صورت تعداد نقاط متفاوتی دارد، از 1 تا 6. بازیکن قالب را پرتاب می کند و به چند نقطه روی صورت افتاده (روی صورت که در بالا قرار دارد) نگاه می کند. اغلب نقاط روی لبه قالب با عدد مربوطه جایگزین می شوند و سپس در مورد یک رول 1، 2 یا 6 صحبت می کنند. پرتاب یک قالب را می توان تجربه، آزمایش، آزمایش و نتیجه به دست آورد نتیجه آزمون یا یک رویداد ابتدایی است. مردم علاقه مند هستند که شروع یک رویداد را حدس بزنند و نتیجه آن را پیش بینی کنند. وقتی تاس ریخته می شود چه پیش بینی هایی می توانند انجام دهند؟ مثلاً اینها:

1) رویداد A - عدد 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 می افتد.

2) رویداد B - عدد 7، 8 یا 9 می افتد.

3) رویداد C - عدد 1 می افتد.

رویداد A که در مورد اول پیش بینی شده بود، قطعاً خواهد آمد. به طور کلی، رویدادی که مطمئناً در یک تجربه خاص رخ می دهد نامیده می شود رویداد خاص .

رویداد B، که در مورد دوم پیش‌بینی شده است، هرگز رخ نخواهد داد، به سادگی غیرممکن است. به طور کلی، رویدادی که نمی تواند در یک آزمایش مشخص رخ دهد نامیده می شود اتفاق غیر ممکن .

آیا رویداد C که در مورد سوم پیش‌بینی شده است اتفاق می‌افتد یا خیر؟ ما نمی‌توانیم با اطمینان کامل به این سؤال پاسخ دهیم، زیرا ممکن است 1 بیفتد یا نشود. رویدادی که در یک تجربه خاص ممکن است رخ دهد یا رخ ندهد نامیده می شود رویداد تصادفی .

با فکر کردن به شروع یک رویداد خاص، به احتمال زیاد از کلمه "احتمالا" استفاده نمی کنیم. به عنوان مثال، اگر امروز چهارشنبه است، پس فردا پنجشنبه است، این یک رویداد خاص است. روز چهارشنبه نمی گوییم: «احتمالاً فردا پنجشنبه است»، به اختصار و صریح می گوییم: «فردا پنج شنبه است». در واقع، اگر ما تمایل داشته باشیم عبارات زیبا، پس می توان گفت: "به احتمال صد در صد می گویم فردا پنجشنبه است." برعکس، اگر امروز چهارشنبه است، آمدن فردا جمعه اتفاقی غیر ممکن است. در ارزیابی این رویداد در روز چهارشنبه می توان گفت: "من مطمئن هستم که فردا جمعه نیست." یا مانند این: "باور نیست که فردا جمعه است." خوب، اگر ما مستعد عبارات زیبا هستیم، می توانیم این را بگوییم: "احتمال اینکه فردا جمعه باشد صفر است." بنابراین، یک رویداد معین رویدادی است که در شرایط معین رخ می دهد. با اطمینان 100%(یعنی آمدن در 10 مورد از 10، در 100 مورد از 100، و غیره). یک رویداد غیرممکن رویدادی است که هرگز در شرایط معین رخ نمی دهد، یک رویداد با احتمال صفر .

اما، متأسفانه (و شاید خوشبختانه)، همه چیز در زندگی آنقدر واضح و روشن نیست: همیشه خواهد بود (رویداد معین)، این هرگز اتفاق نخواهد افتاد (رویداد غیرممکن). بیشتر اوقات، ما با رویدادهای تصادفی روبرو می شویم که احتمال برخی از آنها بیشتر و برخی دیگر کمتر است. معمولاً مردم از کلمات "به احتمال زیاد" یا "کمتر احتمال دارد" استفاده می کنند، همانطور که می گویند، بر اساس آنچه آنها می گویند، از روی هوس استفاده می کنند. حس مشترک. اما اغلب چنین برآوردهایی ناکافی به نظر می رسد، زیرا دانستن آن مهم است چقدردرصد به احتمال زیاد یک رویداد تصادفی یا چند باریک رویداد تصادفی بیشتر از دیگری محتمل است. به عبارت دیگر، ما به دقیق نیاز داریم کمیویژگی ها، شما باید بتوانید احتمال را با یک عدد مشخص کنید.

ما قبلاً اولین قدم ها را در این راستا برداشته ایم. گفتیم که احتمال وقوع یک رویداد خاص به این صورت مشخص می شود صد در صد، و احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن است صفر. با توجه به اینکه 100% برابر با 1 است، افراد در موارد زیر توافق کرده اند:

1) احتمال وقوع یک رویداد معین برابر در نظر گرفته می شود 1;

2) احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن برابر در نظر گرفته می شود 0.

چگونه احتمال یک رویداد تصادفی را محاسبه می کنید؟ بالاخره این اتفاق افتاد اتفاقی، به این معنی که از قوانین، الگوریتم ها، فرمول ها تبعیت نمی کند. به نظر می رسد که قوانین خاصی در دنیای تصادفی عمل می کنند و به شما امکان می دهند احتمالات را محاسبه کنید. این شاخه ای از ریاضیات است که به آن می گویند - نظریه احتمال .

ریاضیات با مدلبرخی از پدیده های واقعیت اطراف ما از بین تمام مدل های مورد استفاده در نظریه احتمال، ما خود را به ساده ترین آنها محدود می کنیم.

طرح احتمالی کلاسیک

برای یافتن احتمال یک رویداد A در طول آزمایش، باید:

1) عدد N را از تمام نتایج ممکن از این تجربه بیابید.

2) این فرض را بپذیرید که همه این نتایج به یک اندازه محتمل (به همان اندازه ممکن) هستند.

3) عدد N(A) را از نتایج تجربه ای که در آن رویداد A رخ می دهد، بیابید.

4) یک خصوصی پیدا کنید ; برابر با احتمال رویداد A خواهد بود.

مرسوم است که احتمال یک رویداد A را به عنوان P(A) تعیین می کنند. توضیح این نام گذاری بسیار ساده است: کلمه "احتمال" در زبان فرانسوی است احتمال، به انگلیسی- احتمال.تعریف از حرف اول کلمه استفاده می کند.

با استفاده از این نماد، احتمال رویداد A توسط الگوی کلاسیکرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

P(A)=.

اغلب تمام نکات طرح احتمالی کلاسیک در یک عبارت نسبتا طولانی بیان می شود.

تعریف کلاسیک احتمال

احتمال یک رویداد A در طول یک آزمون معین، نسبت تعداد پیامدهایی است که در نتیجه آن رویداد A رخ می دهد، به تعداد کلهمه نتایج به یک اندازه ممکن این آزمون.

مثال 1. این احتمال را بیابید که در یک پرتاب تاس: a) 4; ب) 5; ج) تعداد نقاط زوج؛ د) تعداد امتیازات بیشتر از 4. ه) تعداد امتیازها مضرب سه نباشد.

راه حل. در مجموع، N=6 نتیجه ممکن وجود دارد: انداختن یک وجه مکعب با تعداد نقاط برابر با 1، 2، 3، 4، 5، یا 6. ما معتقدیم که هیچ یک از آنها مزیتی نسبت به بقیه ندارند. یعنی ما فرض شباهت این نتایج را می پذیریم.

الف) دقیقاً در یکی از نتایج، رویداد مورد علاقه ما A رخ می دهد - از دست دادن عدد 4. بنابراین، N (A) \u003d 1 و

پ ( آ )= =.

ب) راه حل و پاسخ مانند بند قبل است.

ج) رویداد B مورد علاقه ما دقیقاً در سه مورد رخ می دهد که تعداد نقاط 2، 4 یا 6 باشد.

ن ( ب )=3 و پ ( ب )==.

د) رویداد C مورد علاقه ما دقیقاً در دو مورد رخ می دهد که تعداد نقاط 5 یا 6 باشد.

ن ( سی ) =2 و P(C)=.

ه) از شش عدد ممکن ترسیم شده، چهار عدد (1، 2، 4 و 5) مضرب سه نیستند و دو عدد باقی مانده (3 و 6) بر سه بخش پذیرند. این بدان معنی است که رویداد مورد علاقه ما دقیقاً در چهار مورد از شش مورد ممکن رخ می دهد و در بین آنها به همان اندازه احتمال دارد و در بین آنها به همان اندازه احتمال دارد نتایج تجربه. بنابراین، پاسخ این است

. ; ب)؛ که در) ؛ ز)؛ ه)

یک تاس بازی واقعی ممکن است با یک تاس ایده آل (مدل) متفاوت باشد، بنابراین، برای توصیف رفتار آن، با در نظر گرفتن مزایای یک چهره نسبت به دیگری، وجود احتمالی آهنربا و غیره، مدل دقیق و دقیق تری مورد نیاز است. اما "شیطان در جزئیات است" و دقت بیشتر منجر به پیچیدگی بیشتر می شود و دریافت پاسخ مشکل ساز می شود. ما خود را به در نظر گرفتن ساده ترین مدل احتمالی محدود می کنیم، که در آن همه نتایج ممکن به یک اندازه محتمل هستند.

تبصره 1. بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم. سوال پرسیده شد: "احتمال گرفتن سه روی یک رول قالب چقدر است؟" دانش آموز اینگونه پاسخ داد: احتمالش 0.5 است. و پاسخ خود را توضیح داد: «این سه یا می افتند یا نه. این بدان معنی است که در مجموع دو نتیجه وجود دارد و دقیقاً در یک رویداد رویداد مورد علاقه ما رخ می دهد. با توجه به طرح احتمالی کلاسیک، پاسخ 0.5 را دریافت می کنیم. آیا در این استدلال خطایی وجود دارد؟ در نگاه اول نه. با این حال، هنوز وجود دارد، و در یک لحظه اساسی. بله، در واقع، سه گانه یا سقوط می کند یا نه، یعنی با چنین تعریفی از نتیجه پرتاب، N = 2. همچنین درست است که N(A)=1 و البته درست است که

0.5 =، یعنی سه نقطه از طرح احتمالی در نظر گرفته شده است، اما تحقق نقطه 2) مشکوک است. البته، از نقطه نظر کاملا قانونی، ما حق داریم باور کنیم که از دست دادن یک سه گانه به همان اندازه احتمال شکست دارد. اما آیا می‌توانیم بدون نقض پیش‌فرض‌های طبیعی خود درباره «یکسانی» چهره‌ها، چنین فکر کنیم؟ البته که نه! در اینجا با استدلال صحیح در یک مدل سروکار داریم. فقط خود این مدل "اشتباه" است و با پدیده واقعی مطابقت ندارد.

تبصره 2. هنگام بحث درباره احتمال، از شرایط مهم زیر غافل نشوید. اگر بگوییم که وقتی یک قالب رول می شود، احتمال کسب یک امتیاز است

این به هیچ وجه به این معنا نیست که با 6 بار چرخاندن قالب دقیقاً یک امتیاز، با 12 بار چرخاندن قالب دقیقاً دو بار یک امتیاز و با 18 بار چرخاندن قالب دقیقاً سه بار یک امتیاز دریافت می کنید. و غیره این کلمه احتمالاً خصلت حدسی دارد. ما فرض می کنیم که احتمال وقوع آن وجود دارد. احتمالاً اگر قالب را 600 بار بچرخانیم، یک نقطه 100 بار یا حدود 100 بار بالا می آید.

برای مقایسه کمی رویدادها با یکدیگر با توجه به میزان امکان آنها، بدیهی است که با هر رویداد مرتبط شود. تعداد معین، که هر چه بزرگتر باشد، رویداد امکان پذیرتر است. ما به این عدد می گوییم احتمال وقوع. به این ترتیب، احتمال رویداداندازه گیری عددی درجه امکان عینی این رویداد است.

تعریف کلاسیک احتمال که از تجزیه و تحلیل قمار برخاسته و در ابتدا به طور شهودی به کار گرفته شد را باید اولین تعریف احتمال در نظر گرفت.

روش کلاسیک تعیین احتمال مبتنی بر مفهوم رویدادهای به همان اندازه محتمل و ناسازگار است که نتایج یک تجربه و شکل معین هستند. گروه کاملرویدادهای ناسازگار

ساده‌ترین مثال از رویدادهای به همان اندازه ممکن و ناسازگار که یک گروه کامل را تشکیل می‌دهند، ظاهر شدن یک یا آن توپ از یک کوزه حاوی چندین توپ با اندازه، وزن و سایر ویژگی‌های ملموس یکسان است که فقط از نظر رنگ متفاوت هستند و قبل از بیرون آوردن کاملاً مخلوط شده‌اند. .

بنابراین، آزمایشی که نتایج آن گروه کاملی از رویدادهای ناسازگار و به همان اندازه محتمل را تشکیل می دهد، گفته می شود که به طرح urns یا طرح موارد تقلیل داده می شود یا در طرح کلاسیک قرار می گیرد.

رویدادهای به همان اندازه ممکن و ناسازگار که یک گروه کامل را تشکیل می‌دهند، به سادگی موارد یا شانس نامیده می‌شوند. علاوه بر این، در هر آزمایش، همراه با موارد، رویدادهای پیچیده تری نیز می تواند رخ دهد.

مثال: هنگام پرتاب تاس، همراه با موارد A i - افتادن نقاط i روی وجه بالایی، رویدادهایی مانند B - تعداد زوجی که از بین می روند، C - مضربی از سه نقطه افتادن ...

در رابطه با هر رویدادی که می تواند در حین اجرای آزمایش رخ دهد، موارد به دو دسته تقسیم می شوند مطلوب، که در آن این رویداد رخ می دهد، و نامطلوب، که در آن رویداد رخ نمی دهد. در مثال قبلی، رویداد B مورد علاقه موارد A 2، A 4، A 6 است. رویداد C - موارد A 3 , A 6 .

احتمال کلاسیکوقوع برخی از رویدادها نسبت تعداد مواردی است که به نفع ظاهر این رویداد است به تعداد کل موارد به همان اندازه ممکن، ناسازگار، که یک گروه کامل را در یک تجربه معین تشکیل می دهد:

جایی که P(A)- احتمال وقوع رویداد A؛ متر- تعداد موارد مساعد برای رویداد A؛ nتعداد کل موارد است.

مثال ها:

1) (نمونه بالا را ببینید) P(B)= , P(C) =.

2) یک کوزه حاوی 9 توپ قرمز و 6 توپ آبی است. احتمال قرمز بودن یک یا دو توپی که به طور تصادفی کشیده شده اند را پیدا کنید.

ولی- یک توپ قرمز که به طور تصادفی کشیده شده است:

متر= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

ب- دو توپ قرمز به صورت تصادفی کشیده شده اند:

ویژگی‌های زیر از تعریف کلاسیک احتمال به دست می‌آیند (خودتان را نشان دهید):

1) احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن 0 است.

2) احتمال وقوع یک رویداد معین 1 است.

3) احتمال هر رویدادی بین 0 و 1 است.

4) احتمال وقوع یک رویداد در مقابل رویداد A،

در تعریف کلاسیک احتمال فرض می شود که تعداد نتایج یک آزمایش محدود است. اما در عمل اغلب آزمایشاتی وجود دارد که تعداد موارد احتمالی آن بی نهایت است. علاوه بر این، ضعف تعریف کلاسیک این است که اغلب غیرممکن است که نتیجه یک آزمون را در قالب مجموعه ای از رویدادهای ابتدایی نشان دهیم. حتی دشوارتر است که دلایلی را برای در نظر گرفتن نتایج ابتدایی آزمون به یک اندازه محتمل نشان دهیم. معمولاً برابری نتایج ابتدایی آزمون از ملاحظات تقارن به دست می آید. با این حال، چنین وظایفی در عمل بسیار نادر است. به همین دلایل در کنار تعریف کلاسیک احتمال، تعاریف دیگری از احتمال نیز به کار می رود.

احتمال آماریرویداد A فراوانی نسبی وقوع این رویداد در تست های انجام شده است:

احتمال وقوع رویداد A کجاست.

فراوانی نسبی وقوع رویداد A.

تعداد آزمایشاتی که در آن رویداد A ظاهر شد.

تعداد کل آزمایشات

برخلاف احتمال کلاسیک، احتمال آماری مشخصه یک احتمال تجربی است.

مثال: برای کنترل کیفیت محصولات از یک دسته، 100 محصول به صورت تصادفی انتخاب شد که از بین آنها 3 محصول معیوب بود. احتمال ازدواج را تعیین کنید.

.

روش آماری تعیین احتمال فقط برای رویدادهایی قابل استفاده است که دارای ویژگی های زیر هستند:

رویدادهای مورد بررسی باید فقط نتایج آن آزمایش‌هایی باشد که می‌توانند تعداد نامحدودی بارها تحت مجموعه‌ای از شرایط تکرار شوند.

رویدادها باید دارای ثبات آماری (یا ثبات فرکانس های نسبی) باشند. این بدان معناست که در سری های مختلف تست، فرکانس نسبی رویداد تغییر قابل توجهی نمی کند.

تعداد آزمایش هایی که منجر به رویداد A می شود باید به اندازه کافی زیاد باشد.

به راحتی می توان تأیید کرد که ویژگی های احتمال، که از تعریف کلاسیک ناشی می شوند، در تعریف آماری احتمال نیز حفظ می شوند.

در ابتدا، که تنها مجموعه ای از اطلاعات و مشاهدات تجربی از بازی تاس است، نظریه احتمال به یک علم جامد تبدیل شده است. فرما و پاسکال اولین کسانی بودند که به آن چارچوب ریاضی دادند.

از تأملات در مورد ازلی تا نظریه احتمال

بلز پاسکال و توماس بیز، دو فردی که نظریه احتمالات، بسیاری از فرمول‌های بنیادی را مدیون آنهاست، به‌عنوان افرادی عمیقاً مذهبی شناخته می‌شوند که دومی یک وزیر پروتستان بود. ظاهراً تمایل این دو دانشمند برای اثبات غلط بودن عقیده در مورد فورچون خاص و اعطای خوش شانسی به افراد مورد علاقه او، انگیزه ای برای تحقیقات در این زمینه ایجاد کرد. در واقع، هر قماربا برد و باختش، فقط سمفونی از اصول ریاضی است.

به لطف هیجان شوالیه دو مر، که به همان اندازه قمارباز و فردی بود که نسبت به علم بی تفاوت نبود، پاسکال مجبور شد راهی برای محاسبه احتمال بیابد. De Mere به این سوال علاقه داشت: "چند بار باید دو تاس را به صورت جفت پرتاب کنید تا احتمال کسب 12 امتیاز از 50٪ بیشتر شود؟". سوال دوم که آقا را به شدت مورد توجه قرار داد: "چگونه شرط را بین شرکت کنندگان در بازی ناتمام تقسیم کنیم؟" البته، پاسکال با موفقیت به هر دو سؤال دو مر، که آغازگر ناخواسته توسعه نظریه احتمال شد، پاسخ داد. جالب است که شخص دومر در این حوزه شناخته شده ماند و نه در ادبیات.

پیش از این، هیچ ریاضی دانی هنوز تلاشی برای محاسبه احتمالات رخدادها نکرده است، زیرا اعتقاد بر این بود که این تنها یک راه حل حدسی است. بلز پاسکال اولین تعریف از احتمال یک رویداد را ارائه کرد و نشان داد که این رقم خاصی است که می توان آن را از نظر ریاضی توجیه کرد. نظریه احتمالات مبنایی برای آمار شده است و به طور گسترده در علم مدرن استفاده می شود.

تصادفی چیست

اگر تستی را در نظر بگیریم که می تواند بی نهایت بار تکرار شود، می توانیم یک رویداد تصادفی تعریف کنیم. این یکی از نتایج احتمالی این تجربه است.

تجربه اجرای اقدامات خاص در شرایط ثابت است.

برای اینکه بتوانیم با نتایج تجربه کار کنیم، رویدادها معمولاً با حروف A، B، C، D، E نشان داده می شوند.

احتمال وقوع یک رویداد تصادفی

برای اینکه بتوانیم به قسمت ریاضی احتمالات برویم، باید تمام اجزای آن را تعریف کنیم.

احتمال وقوع یک اندازه گیری عددی امکان وقوع یک رویداد (A یا B) در نتیجه یک تجربه است. احتمال به صورت P(A) یا P(B) نشان داده می شود.

نظریه احتمال عبارت است از:

• قابل اعتمادتضمین شده است که این رویداد در نتیجه آزمایش رخ دهد Р(Ω) = 1.
• غیر ممکنرویداد هرگز نمی تواند اتفاق بیفتد Р(Ø) = 0;
• تصادفیرویداد بین قطعی و غیرممکن قرار دارد، یعنی احتمال وقوع آن ممکن است، اما تضمین نشده است (احتمال یک رویداد تصادفی همیشه در محدوده 0≤P(A)≤1 است).

روابط بین رویدادها

هر دو یک و مجموع رویدادهای A + B زمانی در نظر گرفته می شوند که رویداد در اجرای حداقل یکی از اجزای A یا B یا هر دو - A و B محاسبه شود.

در رابطه با یکدیگر، رویدادها می توانند به شرح زیر باشند:

• به همان اندازه ممکن است.
• سازگار.
• ناسازگار.
• مخالف (متقابل انحصاری).
• وابسته.

اگر دو رویداد می توانند با احتمال مساوی اتفاق بیفتند، پس آنها به همان اندازه ممکن است.

اگر وقوع رویداد A احتمال وقوع رویداد B را باطل نمی کند، آنها سازگار.

اگر رویدادهای A و B هرگز به طور همزمان در یک آزمایش اتفاق نیفتند، آنها را فراخوانی می‌کنیم ناسازگار. بازی شیر یا خط سکه - مثال خوب: ظاهر دم ها خود به خود عدم ظاهر شدن سر است.

احتمال مجموع چنین رویدادهای ناسازگاری از مجموع احتمالات هر یک از رویدادها تشکیل می شود:

P(A+B)=P(A)+P(B)

اگر وقوع یک واقعه، وقوع رویداد دیگر را غیرممکن کند، آنها را متضاد می گویند. سپس یکی از آنها به عنوان A تعیین می شود و دیگری - Ā (خوانده شده به عنوان "نه A"). وقوع رویداد A به این معنی است که Ā رخ نداده است. این دو رویداد یک گروه کامل با مجموع احتمالات برابر با 1 را تشکیل می دهند.

رویدادهای وابسته تأثیر متقابل دارند و احتمال یکدیگر را کاهش یا افزایش می دهند.

روابط بین رویدادها مثال ها

درک اصول تئوری احتمالات و ترکیب رویدادها با استفاده از مثال ها بسیار ساده تر است.

آزمایشی که انجام می شود بیرون کشیدن توپ ها از جعبه است و نتیجه هر آزمایش یک نتیجه ابتدایی است.

یک رویداد یکی از نتایج احتمالی یک تجربه است - یک توپ قرمز، یک توپ آبی، یک توپ با عدد شش و غیره.

تست شماره 1. 6 توپ وجود دارد که سه تای آنها آبی با اعداد فرد و سه توپ دیگر قرمز با اعداد زوج هستند.

تست شماره 2. 6 توپ شرکت می کنند از رنگ آبیبا اعداد از یک تا شش

بر اساس این مثال می‌توان ترکیب‌ها را نام برد:

• رویداد قابل اعتمادبه اسپانیایی شماره 2، رویداد "به دست آوردن توپ آبی" قابل اعتماد است، زیرا احتمال وقوع آن 1 است، زیرا همه توپ ها آبی هستند و امکان از دست دادن وجود ندارد. در حالی که رویداد "به دست آوردن توپ با عدد 1" تصادفی است.
• اتفاق غیر ممکنبه اسپانیایی شماره 1 با توپ های آبی و قرمز، رویداد "به دست آوردن توپ بنفش" غیرممکن است، زیرا احتمال وقوع آن 0 است.
• رویدادهای معادلبه اسپانیایی شماره 1، رویدادهای "با عدد 2 توپ بگیر" و "با عدد 3 توپ بگیر" به یک اندازه محتمل هستند و رویدادهای "توپ را با عدد زوج بگیر" و "توپ را با عدد 2 بگیر" ” احتمالات مختلفی دارند.
• رویدادهای سازگارگرفتن شش در فرآیند پرتاب یک قالب دو بار متوالی، رویدادهای سازگار هستند.
• رویدادهای ناسازگاردر همان اسپانیایی رویدادهای شماره 1 "توپ قرمز را بگیر" و "توپ را با عدد فرد بگیر" را نمی توان در یک تجربه ترکیب کرد.
• رویدادهای متضاداکثر یک مثال برجستهاین پرتاب سکه است، زمانی که کشیدن سرها مانند نکشیدن دم است و مجموع احتمالات آنها همیشه 1 است (گروه کامل).
• رویدادهای وابسته. بنابراین، در اسپانیایی شماره 1، شما می توانید برای خود هدف قرار دهید که دو بار متوالی یک توپ قرمز را استخراج کنید. استخراج یا عدم استخراج آن در بار اول بر احتمال استخراج آن برای بار دوم تأثیر می گذارد.

مشاهده می شود که رویداد اول به طور قابل توجهی بر احتمال دوم (40٪ و 60٪) تأثیر می گذارد.

فرمول احتمال رویداد

انتقال از فال به داده های دقیق با انتقال موضوع به صفحه ریاضی اتفاق می افتد. یعنی قضاوت در مورد یک رویداد تصادفی مانند "احتمال زیاد" یا "حداقل احتمال" را می توان به داده های عددی خاصی ترجمه کرد. ارزیابی، مقایسه و معرفی چنین مطالبی در محاسبات پیچیده تر از قبل مجاز است.

از نقطه نظر محاسبه، تعریف احتمال یک رویداد، نسبت تعداد پیامدهای مثبت اولیه به تعداد تمام نتایج ممکن تجربه با توجه به یک رویداد خاص است. احتمال با P (A) نشان داده می شود، جایی که P به معنای کلمه "احتمال" است که از فرانسوی به "احتمال" ترجمه شده است.

بنابراین، فرمول احتمال یک رویداد:

در جایی که m تعداد نتایج مطلوب برای رویداد A است، n مجموع همه نتایج ممکن برای این تجربه است. احتمال وقوع یک رویداد همیشه بین 0 و 1 است:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

محاسبه احتمال وقوع یک رویداد. مثال

بیایید اسپانیایی بگیریم. شماره 1 با توپ که قبلا توضیح داده شد: 3 توپ آبی با شماره 1/3/5 و 3 توپ قرمز با شماره 2/4/6.

بر اساس این آزمون، چندین کار مختلف را می توان در نظر گرفت:

• الف - ریزش توپ قرمز. 3 توپ قرمز وجود دارد و در کل 6 گزینه وجود دارد ساده ترین مثال، که در آن احتمال یک رویداد P(A)=3/6=0.5 است.
• ب - انداختن عدد زوج. در مجموع 3 عدد زوج (2،4،6) وجود دارد و تعداد کل گزینه های عددی ممکن 6 عدد است. احتمال این رویداد P(B)=3/6=0.5 است.
• ج - از دست دادن یک عدد بزرگتر از 2. 4 گزینه از این قبیل (3،4،5،6) از مجموع نتایج ممکن وجود دارد. 6. احتمال رویداد C P(C)=4/6= است. 0.67.

همانطور که از محاسبات مشاهده می شود، رویداد C احتمال بیشتری دارد، زیرا تعداد پیامدهای مثبت احتمالی بیشتر از A و B است.

رویدادهای ناسازگار

چنین رویدادهایی نمی توانند به طور همزمان در یک تجربه ظاهر شوند. همانطور که در اسپانیایی شماره 1، گرفتن یک توپ آبی و قرمز به طور همزمان غیرممکن است. یعنی می توانید یا یک توپ آبی یا قرمز بگیرید. به همین ترتیب، یک عدد زوج و یک عدد فرد نمی توانند همزمان در یک قالب ظاهر شوند.

احتمال دو رویداد به عنوان احتمال مجموع یا حاصل ضرب آنها در نظر گرفته می شود. مجموع چنین رویدادهایی A + B رویدادی در نظر گرفته می شود که شامل ظهور یک رویداد A یا B و حاصل ضرب AB آنها - در ظاهر هر دو است. به عنوان مثال، ظاهر شدن دو شش در یک بار روی صورت دو تاس در یک پرتاب.

مجموع چند رویداد رویدادی است که بر وقوع، توسط حداقل، یکی از آنها محصول چندین رویداد، وقوع مشترک همه آنهاست.

در نظریه احتمال، به عنوان یک قاعده، استفاده از اتحادیه "و" نشان دهنده مجموع، اتحادیه "یا" - ضرب است. فرمول های همراه با مثال به شما در درک منطق جمع و ضرب در نظریه احتمال کمک می کنند.

احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار

اگر احتمال رویدادهای ناسازگار در نظر گرفته شود، احتمال مجموع رویدادها برابر است با مجموع احتمالات آنها:

P(A+B)=P(A)+P(B)

به عنوان مثال: ما احتمال را محاسبه می کنیم که در اسپانیایی. شماره 1 با توپ های آبی و قرمز عددی بین 1 و 4 را کاهش می دهد. بنابراین، در چنین آزمایشی تنها 6 توپ یا 6 توپ از همه نتایج ممکن وجود دارد. اعدادی که شرط را برآورده می کنند 2 و 3 هستند. احتمال به دست آوردن عدد 2 1/6 است، احتمال عدد 3 نیز 1/6 است. احتمال بدست آوردن عددی بین 1 و 4 برابر است با:

احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل 1 است.

بنابراین، اگر در آزمایش با یک مکعب، احتمال به دست آوردن همه اعداد را جمع کنیم، در نتیجه یک به دست می‌آوریم.

این امر در مورد رویدادهای متضاد نیز صادق است، به عنوان مثال، در آزمایش با یک سکه، که یکی از اضلاع آن رویداد A است و دیگری رویداد مخالف Ā است، همانطور که مشخص است.

Р(А) + Р(Ā) = 1

احتمال ایجاد رویدادهای ناسازگار

ضرب احتمالات هنگام در نظر گرفتن وقوع دو یا چند رویداد ناسازگار در یک مشاهده استفاده می شود. احتمال اینکه رویدادهای A و B همزمان در آن ظاهر شوند برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها یا:

P(A*B)=P(A)*P(B)

به عنوان مثال، احتمال اینکه در شماره 1 در نتیجه دو تلاش، یک توپ آبی دو بار، برابر با

یعنی احتمال وقوع یک رویداد زمانی رخ می دهد که در نتیجه دو تلاش با استخراج توپ، فقط توپ های آبی استخراج شوند، 25٪ است. انجام آزمایش های عملی بر روی این مشکل بسیار آسان است و اینکه آیا واقعاً چنین است یا خیر.

رویدادهای مشترک

رویدادها زمانی مشترک تلقی می شوند که ظاهر یکی از آنها با ظاهر دیگری مطابقت داشته باشد. با وجود مشترک بودن آنها، احتمال وقوع رویدادهای مستقل در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، پرتاب دو تاس زمانی می تواند نتیجه دهد که عدد 6 روی هر دوی آنها بیفتد. اگرچه رویدادها همزمان و همزمان ظاهر شدند، آنها مستقل از یکدیگر هستند - فقط یک شش تاس می تواند بیفتد، تاس دوم تأثیری بر آن ندارد. .

احتمال اتفاقات مشترک به عنوان احتمال مجموع آنها در نظر گرفته می شود.

احتمال مجموع رویدادهای مشترک. مثال

احتمال مجموع رویدادهای A و B که نسبت به یکدیگر مشترک هستند برابر است با مجموع احتمالات رویداد منهای احتمال حاصلض آنها (یعنی اجرای مشترک آنها):

مفصل R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

احتمال اصابت یک شلیک به هدف را 0.4 فرض کنید. سپس رویداد A - ضربه زدن به هدف در اولین تلاش، B - در تلاش دوم. این رویدادها مشترک هستند، زیرا امکان اصابت به هدف هم از شلیک اول و هم از شلیک دوم وجود دارد. اما رویدادها وابسته نیستند. احتمال اصابت به هدف با دو شلیک (حداقل یک شلیک) چقدر است؟ طبق فرمول:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

پاسخ سوال این است: احتمال اصابت به هدف با دو شلیک 64 درصد است.

این فرمول برای احتمال یک رویداد را می توان برای رویدادهای ناسازگار نیز اعمال کرد، جایی که احتمال وقوع مشترک یک رویداد P(AB) = 0. این بدان معنی است که احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار را می توان یک مورد خاص در نظر گرفت. از فرمول پیشنهادی

هندسه احتمال برای وضوح

جالب توجه است که احتمال مجموع رویدادهای مشترک را می توان به صورت دو ناحیه A و B که با یکدیگر تلاقی می کنند نشان داد. همانطور که از تصویر می بینید، مساحت اتحاد آنها برابر است با مساحت کل منهای مساحت تقاطع آنها. این توضیح هندسی فرمول به ظاهر غیرمنطقی را قابل درک تر می کند. توجه داشته باشید که راه حل های هندسی در نظریه احتمال غیر معمول نیستند.

تعریف احتمال مجموع یک مجموعه (بیش از دو) از رویدادهای مشترک نسبتاً دست و پا گیر است. برای محاسبه آن باید از فرمول هایی که برای این موارد ارائه شده است استفاده کنید.

رویدادهای وابسته

رویدادهای وابسته در صورتی نامیده می شوند که وقوع یکی (A) از آنها بر احتمال وقوع دیگری (B) تأثیر بگذارد. علاوه بر این، تأثیر هر دو وقوع رویداد A و عدم وقوع آن در نظر گرفته شده است. اگرچه رویدادها بنا به تعریف وابسته نامیده می شوند، اما تنها یکی از آنها وابسته است (B). احتمال معمول به صورت P(B) یا احتمال رویدادهای مستقل نشان داده شد. در مورد وابستگان، مفهوم جدیدی معرفی می شود - احتمال شرطی P A (B) که احتمال رویداد وابسته B است به شرطی که رویداد A (فرضیه) رخ داده باشد که به آن بستگی دارد.

اما رویداد A نیز تصادفی است، بنابراین احتمالی نیز دارد که باید و می تواند در محاسبات در نظر گرفته شود. مثال زیر نحوه کار با رویدادهای وابسته و یک فرضیه را نشان می دهد.

مثالی از محاسبه احتمال رویدادهای وابسته

یک مثال خوب برای محاسبه رویدادهای وابسته یک دسته استاندارد کارت است.

به عنوان مثال یک دسته از 36 کارت، رویدادهای وابسته را در نظر بگیرید. لازم است احتمال اینکه کارت دومی که از روی عرشه کشیده می شود، یک لباس الماس باشد، مشخص شود، اگر اولین کارت کشیده شده به صورت زیر باشد:

1. تنبور.
2. کت و شلوار دیگه

بدیهی است که احتمال رویداد دوم B به A اول بستگی دارد. بنابراین، اگر گزینه اول درست باشد که 1 کارت (35) و 1 الماس (8) کمتر در عرشه است، احتمال رویداد B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

اگر گزینه دوم درست باشد، 35 کارت در عرشه وجود دارد تعداد کلتنبور (9)، سپس احتمال رویداد B زیر:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

مشاهده می شود که اگر رویداد A مشروط به الماس بودن کارت اول باشد، احتمال رویداد B کاهش می یابد و بالعکس.

ضرب رویدادهای وابسته

بر اساس فصل قبل، رویداد اول (الف) را به عنوان یک واقعیت می پذیریم، اما در اصل، یک شخصیت تصادفی دارد. احتمال این رویداد، یعنی بیرون کشیدن تنبور از یک دسته کارت، برابر است با:

P(A) = 9/36 = 1/4

از آنجایی که این نظریه به خودی خود وجود ندارد، اما برای خدمت به اهداف عملی فراخوانده شده است، منصفانه است که توجه داشته باشیم که اغلب به احتمال تولید رویدادهای وابسته نیاز است.

با توجه به قضیه حاصل ضرب احتمالات رویدادهای وابسته، احتمال وقوع رویدادهای A و B به طور مشترک وابسته برابر است با احتمال یک رویداد A ضرب در احتمال شرطی رویداد B (بسته به A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

سپس در مثال با یک عرشه، احتمال کشیدن دو کارت با کت و شلوار الماس است:

9/36*8/35=0.0571 یا 5.7%

و احتمال استخراج نه الماس در ابتدا و سپس الماس برابر است با:

27/36*9/35=0.19 یا 19%

مشاهده می شود که احتمال وقوع رویداد B بیشتر است، مشروط بر اینکه ابتدا کارتی از کت و شلواری غیر از الماس کشیده شود. این نتیجه کاملا منطقی و قابل درک است.

احتمال کل یک رویداد

هنگامی که یک مسئله با احتمالات شرطی چند وجهی می شود، پس روش های مرسومقابل محاسبه نیست هنگامی که بیش از دو فرضیه وجود دارد، یعنی A1، A2، ...، A n، .. یک گروه کامل از رویدادها را تحت شرایط زیر تشکیل می دهد:

• P(A i)>0، i=1،2،…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

بنابراین، فرمول احتمال کل برای رویداد B با یک گروه کامل از رویدادهای تصادفی A1، A2، ...، A n است:

نگاهی به آینده

احتمال وقوع یک رویداد تصادفی در بسیاری از زمینه‌های علم ضروری است: اقتصاد سنجی، آمار، فیزیک، و غیره. از آنجایی که برخی از فرآیندها را نمی‌توان به‌طور قطعی توصیف کرد، زیرا خود آنها احتمالاتی هستند، روش‌های خاصی برای کار مورد نیاز است. احتمال یک نظریه رویداد می تواند در هر زمینه تکنولوژیکی به عنوان راهی برای تعیین احتمال خطا یا نقص استفاده شود.

می توان گفت که با شناخت احتمال، به نوعی گامی نظری به آینده برمی داریم و از منشور فرمول ها به آن نگاه می کنیم.

تعریف کلاسیک و آماری احتمال

برای فعالیت عملی، لازم است بتوانیم رویدادها را با توجه به میزان احتمال وقوع آنها مقایسه کنیم. بیایید مورد کلاسیک را در نظر بگیریم. یک گلدان حاوی 10 توپ است که 8 توپ آن سفید و 2 توپ سیاه است. بدیهی است که رویداد «توپ سفید از کوزه کشیده می شود» و رویداد «توپ سیاه از کوزه کشیده می شود» درجات مختلفی از احتمال وقوع دارند. بنابراین، برای مقایسه رویدادها، به یک معیار کمی خاص نیاز است.

یک معیار کمی برای احتمال وقوع یک رویداد است احتمال . پرکاربردترین آنها دو تعریف از احتمال یک رویداد است: کلاسیک و آماری.

تعریف کلاسیکاحتمال با مفهوم نتیجه مطلوب مرتبط است. بیایید در این مورد با جزئیات بیشتر صحبت کنیم.

بگذارید نتایج یک آزمایش یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل دهد و به همان اندازه محتمل باشد، یعنی. منحصراً ممکن، ناسازگار و به همان اندازه ممکن هستند. چنین نتایجی نامیده می شود نتایج ابتدایی، یا موارد. گفته می شود که آزمون به کاهش می یابد نمودار موردییا " طرح کوزه"، زیرا هر مشکل احتمالی برای چنین آزمایشی را می توان با یک مسئله معادل با کوزه ها و توپ های رنگ های مختلف جایگزین کرد.

خروج نامیده می شود مطلوبرویداد ولیدر صورتی که وقوع این مورد مستلزم وقوع واقعه باشد ولی.

طبق تعریف کلاسیک احتمال رویداد A برابر است با نسبت تعداد پیامدهایی که به نفع این رویداد هستند به تعداد کل پیامدها، یعنی

,

(1.1)

جایی که P(A)- احتمال وقوع یک رویداد ولی; متر- تعداد موارد مساعد برای رویداد ولی; nتعداد کل موارد است.

مثال 1.1.هنگام پرتاب تاس، شش نتیجه ممکن است - از دست دادن 1، 2، 3، 4، 5، 6 امتیاز. احتمال کسب تعداد امتیاز زوج چقدر است؟

راه حل. همه n= 6 پیامد یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند و به همان اندازه محتمل هستند، یعنی. منحصراً ممکن، ناسازگار و به همان اندازه ممکن هستند. رویداد A - "ظاهر تعداد امتیاز زوج" - با 3 نتیجه (مورد) - از دست دادن 2، 4 یا 6 امتیاز مورد علاقه است. با توجه به فرمول کلاسیک برای احتمال یک رویداد، به دست می آوریم

P(A) = = . ◄

بر اساس تعریف کلاسیک احتمال یک رویداد، ویژگی های آن را یادداشت می کنیم:

1. احتمال هر رویدادی بین صفر و یک قرار دارد، یعنی.

0 ≤ آر(ولی) ≤ 1.

2. احتمال وقوع یک رویداد معین برابر با یک است.

3. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن صفر است.

همانطور که قبلاً ذکر شد، تعریف کلاسیک احتمال فقط برای آن دسته از رویدادهایی قابل استفاده است که می توانند در نتیجه آزمایش هایی ظاهر شوند که دارای تقارن نتایج احتمالی هستند، به عنوان مثال. قابل تقلیل به طرح موارد با این حال، دسته بزرگی از رویدادها وجود دارد که احتمالات آنها را نمی توان با استفاده از تعریف کلاسیک محاسبه کرد.

برای مثال، اگر سکه را مسطح فرض کنیم، بدیهی است که رویدادهای «ظهور نشان» و «ظهور دم» را نمی‌توان به یک اندازه ممکن دانست. بنابراین، فرمول تعیین احتمال با توجه به طرح کلاسیک در این مورد قابل اجرا نیست.

با این حال، رویکرد دیگری برای ارزیابی احتمال رویدادها وجود دارد که بر اساس تعداد دفعات وقوع یک رویداد معین در آزمون‌های انجام‌شده، وجود دارد. در این مورد از تعریف آماری احتمال استفاده می شود.

احتمال آماریرویداد A فرکانس (فرکانس) نسبی وقوع این رویداد در n تست انجام شده است، یعنی.

,

(1.2)

جایی که R * (A)احتمال آماری یک رویداد است ولی; w(A)فراوانی نسبی رویداد است ولی; مترتعداد آزمایشاتی است که در آن رویداد رخ داده است ولی; nتعداد کل آزمایشات است.

بر خلاف احتمال ریاضی P(A)در تعریف کلاسیک، احتمال آماری در نظر گرفته شده است R * (A)یک مشخصه است با تجربه, تجربی. به عبارت دیگر، احتمال آماریتحولات ولیعددی نامیده می شود که فرکانس نسبی نسبت به آن تثبیت می شود (تثبیت می شود) w(A)با افزایش نامحدود در تعداد آزمایشات انجام شده در شرایط یکسان.

مثلاً وقتی در مورد تیراندازی می گویند که با احتمال 0.95 به هدفی می زند، این بدان معناست که از صد تیر شلیک شده توسط او در شرایط خاص (همان هدف در همان فاصله، همان تفنگ و غیره). ) به طور متوسط ​​حدود 95 نفر موفق هستند. طبیعتاً هر صد نفر 95 شلیک موفق نخواهد داشت، گاهی اوقات کمتر و گاهی بیشتر می شود، اما به طور متوسط ​​با تکرار مکرر تیراندازی در شرایط یکسان، این درصد ضربه ها بدون تغییر باقی می ماند. عدد 0.95 که به عنوان نشانگر مهارت تیرانداز عمل می کند، معمولاً بسیار است. پایدار، یعنی درصد ضربات در بیشتر تیراندازی ها برای یک تیرانداز معین تقریباً یکسان است، فقط در موارد نادری به طور قابل توجهی از مقدار میانگین آن انحراف دارد.

یکی دیگر از معایب تعریف کلاسیک احتمال ( 1.1 ) که کاربرد آن را محدود می کند این است که تعداد محدودی از نتایج آزمون ممکن را فرض می کند. در برخی موارد، با استفاده از تعریف هندسی احتمال می توان این نقص را برطرف کرد. یافتن احتمال برخورد به یک نقطه در یک منطقه خاص (بخش، بخشی از هواپیما و غیره).

اجازه دهید یک شکل صاف gبخشی از یک شکل صاف را تشکیل می دهد جی(شکل 1.1). روی شکل جییک نقطه به طور تصادفی پرتاب می شود. این بدان معنی است که تمام نقاط در منطقه جی"برابر" در رابطه با ضربه زدن به آن با یک نقطه تصادفی پرتاب شده. با فرض اینکه احتمال یک رویداد ولی- ضربه زدن به نقطه پرتاب شده بر روی یک شکل g- متناسب با مساحت این رقم و بستگی به موقعیت آن نسبت به جی، نه از فرم g، پیدا کردن

مبانی نظریه احتمال

طرح:

1. رویدادهای تصادفی

2. تعریف کلاسیک احتمال

3. محاسبه احتمالات رویداد و ترکیبات

4. احتمال هندسی

اطلاعات نظری

رویدادهای تصادفی

پدیده تصادفی- پدیده ای که نتیجه آن بدون ابهام تعیین می شود. این مفهوم را می توان در یک مفهوم نسبتاً گسترده تفسیر کرد. یعنی: همه چیز در طبیعت کاملا تصادفی است، ظهور و تولد هر فردی یک پدیده تصادفی است، انتخاب کالا در فروشگاه نیز یک پدیده تصادفی است، نمره گرفتن در امتحان یک پدیده تصادفی است، بیماری و بهبودی تصادفی است. پدیده ها و غیره

نمونه هایی از پدیده های تصادفی:

~ تیراندازی از تفنگ نصب شده در زیر زاویه داده شدهبه افق اصابت آن به هدف تصادفی است، اما اصابت یک پرتابه در یک "چنگال" خاص یک الگو است. شما می توانید فاصله نزدیکتر و فراتر از آن را مشخص کنید که پرتابه پرواز نخواهد کرد. مقداری "پراکندگی چنگال پوسته ها" را دریافت کنید

~ یک بدن چندین بار وزن می شود. به بیان دقیق، هر بار نتایج متفاوتی به دست می‌آید، البته با مقدار بسیار ناچیزی، اما متفاوت.

~ هواپیمایی که در امتداد یک مسیر پرواز می کند دارای یک راهرو پروازی خاص است که هواپیما می تواند در داخل آن مانور دهد، اما هرگز دقیقاً همان مسیر را نخواهد داشت.

~ یک ورزشکار هرگز نمی تواند یک مسافت را با زمان یکسان بدود. نتایج او نیز در محدوده عددی خاصی خواهد بود.

تجربه، آزمایش، مشاهده آزمون هستند

آزمایش- مشاهده یا تحقق مجموعه خاصی از شرایط که به طور مکرر انجام می شود و به طور منظم در همان توالی، مدت زمان، با رعایت سایر پارامترهای یکسان تکرار می شود.

بیایید عملکرد ورزشکار شلیک به یک هدف را در نظر بگیریم. برای تولید آن باید شرایطی مانند آمادگی ورزشکار، پر کردن اسلحه، هدف گیری و ... را رعایت کرد. " ضربه " و " از دست دادن " رویدادهایی هستند که در نتیجه یک شلیک می باشند.

رویداد- نتیجه آزمایش کیفی

یک رویداد ممکن است رخ دهد یا ممکن است رخ ندهد رویدادها با حروف بزرگ نشان داده می شوند با حروف لاتین. به عنوان مثال: D "تیرانداز به هدف برخورد کرد". S="توپ سفید کشیده شده". K="به صورت تصادفی گرفته شده است بلیط بخت آزماییبدون سود."

پرتاب سکه یک آزمایش است. سقوط "نشان" او یک رویداد است، سقوط "شماره" او دومین رویداد است.

هر آزمونی شامل وقوع چندین رویداد است. برخی از آنها ممکن است در یک زمان معین توسط محقق مورد نیاز باشند، در حالی که برخی دیگر ممکن است مورد نیاز نباشند.

رویداد تصادفی نامیده می شود، اگر تحت اجرای مجموعه خاصی از شرایط باشد اسممکن است اتفاق بیفتد یا اتفاق نیفتد. در ادامه به جای گفتن «مجموعه شرایط S برآورده شده است» به اختصار خواهیم گفت: «آزمایش انجام شد». بنابراین، رویداد به عنوان نتیجه آزمون در نظر گرفته خواهد شد.

~ تیرانداز به هدفی که به چهار منطقه تقسیم شده است شلیک می کند. ضربه یک آزمایش است. ضربه زدن به ناحیه خاصی از هدف یک رویداد است.

~ توپ های رنگی در کوزه وجود دارد. یک توپ به طور تصادفی از کوزه بیرون کشیده می شود. بیرون آوردن یک توپ از کوزه یک آزمایش است. ظهور یک توپ با رنگ خاص یک رویداد است.

انواع رویدادهای تصادفی

1. گفته می شود که رویدادها ناسازگار هستنددر صورتی که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع سایر وقایع در همان محاکمه باشد.

~ یک قسمت به طور تصادفی از یک جعبه با قطعات گرفته شد. ظاهر یک قطعه استاندارد ظاهر یک قطعه غیر استاندارد را حذف می کند. رویدادها € یک بخش استاندارد ظاهر شد" و با یک قسمت غیر استاندارد ظاهر شد" - ناسازگار است.

~ یک سکه پرتاب می شود. شکل ظاهری «نشان» ظاهر کتیبه را مستثنی می کند. رویدادهای "یک نشان ظاهر شد" و "کتیبه ظاهر شد" ناسازگار هستند.

چندین رویداد شکل می گیرد گروه کامل،اگر حداقل یکی از آنها در نتیجه آزمایش ظاهر شود. به عبارت دیگر، وقوع حداقل یکی از رویدادهای گروه کامل، یک رویداد مسلم است.

به ویژه، اگر رویدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند، به صورت زوجی ناسازگار باشند، در نتیجه یک و تنها یکی از این رویدادها در نتیجه آزمایش ظاهر می شود.

~ دو بلیت قرعه کشی پول و لباس خریداری شد. یک و تنها یکی از رویدادهای زیر باید رخ دهد:

1. "برنده ها روی بلیط اول افتاد و روی بلیط دوم افتاد"

2. "برنده ها روی بلیط اول نبود و روی بلیط دوم افتاد"

3. "برنده ها روی هر دو بلیط افتاد"

4. "هر دو بلیط برنده نشدند."

این رویدادها یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار دوتایی را تشکیل می دهند،

~ تیرانداز به سمت هدف شلیک کرد. یکی از دو رویداد زیر حتما رخ خواهد داد: ضربه، از دست دادن. این دو رویداد جدا از هم یک گروه کامل را تشکیل می دهند.

2. رویدادها نامیده می شوند به همان اندازه ممکن استاگر دلیلی برای این باور وجود داشته باشد که هیچ کدام از دیگری امکان پذیرتر نیست.

~ ظاهر شدن " نشان " و پیدایش کتیبه در هنگام پرتاب سکه ، به همان اندازه ممکن است. در واقع، فرض بر این است که سکه از یک ماده همگن ساخته شده است، شکل استوانه ای منظمی دارد و وجود ضرب سکه بر گم شدن یک یا آن روی سکه تأثیری ندارد.

~ ظاهر شدن یک یا چند نقطه روی یک تاس پرتاب شده یک رویداد به همان اندازه محتمل است. در واقع، فرض بر این است که قالب از یک ماده همگن ساخته شده است، شکل یک چند وجهی منظم دارد و وجود نقاط بر از دست دادن هیچ صورت تأثیری ندارد.

3. رویداد نامیده می شود معتبر،اگر نمی تواند اتفاق بیفتد

4. رویداد نامیده می شود غیر قابل اعتماداگر نمی تواند اتفاق بیفتد

5. رویداد نامیده می شود مقابلبه برخی از رویدادها اگر متشکل از عدم وقوع آن رویداد باشد. رویدادهای متضاد با هم سازگار نیستند، اما یکی از آنها لزوماً باید رخ دهد. رویدادهای متضاد معمولاً به عنوان نفی نامیده می شوند. یک خط تیره بالای حرف نوشته شده است. وقایع برعکسند: A و Ā; U و Ū و غیره .

تعریف کلاسیک احتمال

احتمال یکی از مفاهیم اساسی نظریه احتمال است.

تعاریف متعددی از این مفهوم وجود دارد. اجازه دهید تعریفی ارائه دهیم که به آن کلاسیک می گویند. در مرحله بعد نشان می دهیم طرف های ضعیفاز این تعریف و ما تعاریف دیگری ارائه می دهیم که به ما امکان می دهد بر کاستی های تعریف کلاسیک غلبه کنیم.

وضعیت را در نظر بگیرید: یک جعبه حاوی 6 توپ یکسان است که 2 توپ قرمز، 3 توپ آبی و 1 توپ سفید است. بدیهی است که امکان کشیدن یک توپ رنگی (یعنی قرمز یا آبی) به طور تصادفی از یک کوزه بیشتر از امکان کشیدن یک توپ سفید است. این احتمال را می توان با عددی مشخص کرد که به آن احتمال یک رویداد (ظاهر یک توپ رنگی) می گویند.

احتمال- عددی که درجه احتمال وقوع رویداد را مشخص می کند.

در وضعیت مورد بررسی، به این موارد اشاره می کنیم:

رویداد A = "بیرون کشیدن یک توپ رنگی".

هر یک از نتایج احتمالی آزمایش (آزمایش شامل بیرون آوردن یک توپ از کوزه است) نامیده می شود. نتیجه و رویداد ابتدایی (ممکن).نتایج اولیه را می توان با حروف با شاخص های زیر نشان داد، به عنوان مثال: k 1 , k 2 .

در مثال ما، 6 توپ وجود دارد، بنابراین 6 نتیجه ممکن وجود دارد: یک توپ سفید ظاهر شد. یک توپ قرمز ظاهر شد. یک توپ آبی ظاهر شد و غیره. به راحتی می توان دید که این نتایج یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار دوتایی را تشکیل می دهند (فقط یک توپ لزوماً ظاهر می شود) و به همان اندازه محتمل هستند (توپ به طور تصادفی خارج می شود، توپ ها یکسان هستند و کاملاً مخلوط می شوند).

پیامدهای اولیه، که در آن رویداد مورد علاقه ما رخ می دهد، ما تماس خواهیم گرفت نتایج مطلوباین رخداد. در مثال ما، رویداد مورد علاقه است ولی(ظاهر یک توپ رنگی) 5 نتیجه زیر:

بنابراین رویداد ولیمشاهده می شود اگر یکی در آزمون رخ دهد، مهم نیست کدام یک از نتایج اولیه که به نفع آن است ولی.این ظاهر هر توپ رنگی است که 5 قطعه آن در جعبه وجود دارد

در مثال در نظر گرفته شده از نتایج ابتدایی 6; که 5 نفر طرفدار این رویداد هستند ولی.در نتیجه، P(A)= 5/6. این عدد می دهد کمی سازیدرجه امکان ظهور یک توپ رنگی.

تعریف احتمال:

احتمال رویداد Aنسبت تعداد پیامدهای مطلوب برای این رویداد به تعداد کل همه پیامدهای ابتدایی ناسازگار به همان اندازه ممکن است که یک گروه کامل را تشکیل می دهند.

P(A)=m/n یا P(A)=m: n، که در آن:

m تعداد نتایج ابتدایی است که به نفع آنهاست ولی؛

پ- تعداد تمام نتایج ابتدایی ممکن آزمون.

در اینجا فرض می شود که نتایج ابتدایی ناسازگار، به همان اندازه محتمل هستند و یک گروه کامل را تشکیل می دهند.

ویژگی های زیر از تعریف احتمال به دست می آید:

1. احتمال وقوع یک رویداد معین برابر با یک است.

در واقع، اگر رویداد قابل اعتماد باشد، هر یک از نتایج ابتدایی آزمون به نفع رویداد است. در این مورد m = nاز این رو p=1

2. احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

در واقع، اگر رویداد غیرممکن باشد، هیچ یک از نتایج اولیه محاکمه به نفع واقعه نیست. در این مورد m=0، بنابراین p=0.

3.احتمال یک رویداد تصادفی عددی مثبت بین صفر و یک است. 0تی< n.

در مباحث بعدی، قضایایی ارائه خواهد شد که از احتمالات شناخته شده برخی رویدادها، امکان یافتن احتمالات سایر رویدادها را فراهم می کند.

اندازه گیری. در گروه دانش آموزان 6 دختر و 4 پسر وجود دارد. احتمال اینکه دانش آموزی که به صورت تصادفی انتخاب شده دختر شود چقدر است؟ آیا این یک مرد جوان خواهد بود؟

p dev = 6 / 10 = 0.6 p jun = 4 / 10 = 0.4

مفهوم "احتمال" در دوره های مدرن و دقیق نظریه احتمال بر اساس نظریه مجموعه ها ساخته شده است. بیایید نگاهی به برخی از این رویکرد بیندازیم.

فرض کنید که در نتیجه آزمایش یک و تنها یکی از رویدادهای زیر رخ می دهد: w i(i=1، 2، .... n). تحولات w i، نامیده میشود رویدادهای ابتدایی (نتایج ابتدایی). Oنتیجه می شود که رویدادهای ابتدایی به صورت زوجی ناسازگار هستند. مجموعه تمام رویدادهای ابتدایی که می توانند در یک آزمایش ظاهر شوند نامیده می شود فضای رویداد ابتداییΩ (حرف یونانی امگا سرمایه)، و خود رویدادهای ابتدایی - نقاط در این فضا.

رویداد ولیبا زیرمجموعه ای (از فضای Ω) مشخص می شود که عناصر آن نتایج اولیه مطلوب هستند ولی؛رویداد ATیک زیر مجموعه Ω است که عناصر آن نتایجی هستند که به نفع آن هستند AT،بنابراین، مجموعه همه رویدادهایی که می‌توانند در آزمون رخ دهند، مجموعه‌ای از همه زیر مجموعه‌های Ω است. یک زیرمجموعه خالی از فضای Ω یک رویداد غیرممکن است (برای هیچ نتیجه ای از آزمون رخ نمی دهد).

رویدادهای ابتدایی از میان همه رویدادها با موضوعات متمایز می شوند، "هر یک از آنها فقط یک عنصر Ω را شامل می شود

به هر نتیجه ابتدایی w iبا یک عدد مثبت مطابقت دهید p iاحتمال این نتیجه و مجموع همه است p iبرابر با 1 یا با علامت جمع، این واقعیت به صورت یک عبارت نوشته می شود:

طبق تعریف، احتمال P(A)تحولات ولیبرابر است با مجموع احتمالات نتایج اولیه مطلوب ولی.بنابراین، احتمال یک رویداد معین برابر با یک است، غیر ممکن - به صفر، دلخواه - بین صفر و یک است.

اجازه دهید یک مورد خاص مهم را در نظر بگیریم، زمانی که همه پیامدها به یک اندازه محتمل هستند. بنابراین احتمال هر نتیجه 1/n است. اجازه دهید رویداد ولیبه نفع m نتایج است.

احتمال رویداد ولیبرابر است با مجموع احتمالات نتایج مطلوب ولی:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

تعریف کلاسیک احتمال به دست می آید.

هنوز هست بدیهیرویکرد به مفهوم "احتمال". در سیستم بدیهیات پیشنهادی. Kolmogorov A.N.، مفاهیم تعریف نشده، رویداد و احتمال ابتدایی هستند. ساخت یک نظریه احتمال منطقی کامل بر اساس تعریف بدیهی یک رویداد تصادفی و احتمال آن است.

در اینجا بدیهیاتی وجود دارد که احتمال را تعریف می کنند:

1. هر رویداد ولییک عدد واقعی غیر منفی اختصاص داد P(A).به این عدد احتمال وقوع می گویند. ولی.

2. احتمال یک رویداد معین برابر با یک است:

3. احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای ناسازگار زوجی برابر با مجموع احتمالات این رویدادها است.

بر اساس این بدیهیات، خواص احتمالات برای رابطه بین آنها به صورت قضایا استخراج می شود.