آزمون مجدد مستقل و فرمول برنولی. توزیع دو جمله ای

فرمول برنولی- فرمولی در نظریه احتمال که به شما امکان می دهد احتمال وقوع یک رویداد را بیابید A (\displaystyle A)در آزمون های مستقل فرمول برنولی به شما این امکان را می دهد که از تعداد زیادی محاسبات - جمع و ضرب احتمالات - با تعداد کافی آزمایش خلاص شوید. نام آن برگرفته از ریاضیدان برجسته سوئیسی یاکوب برنولی است که این فرمول را استخراج کرده است.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 3

✪ نظریه احتمال. 22. فرمول برنولی. حل مسئله

✪ فرمول برنولی

✪ 20 آزمون تکرار فرمول برنولی

زیرنویس

جمله بندی

قضیه.اگر احتمال p (\displaystyle p)رویداد A (\displaystyle A)در هر آزمایش ثابت است، سپس احتمال P k , n (\displaystyle P_(k,n))که رویداد A (\displaystyle A)دقیقا میاد k (\displaystyle k)یک بار در n (\displaystyle n)تست های مستقل برابر است با: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k))، جایی که q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

اثبات

بگذار برگزار شود n (\displaystyle n)آزمون‌های مستقل، و مشخص است که در نتیجه هر آزمون، یک رویداد A (\displaystyle A)با یک احتمال می آید P (A) = p (\displaystyle P\چپ(A\راست)=p)و بنابراین با احتمال اتفاق نمی افتد P (A ¯) = 1 - p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\راست)=1-p=q). اجازه دهید، همچنین، در دوره آزمون های احتمال p (\displaystyle p)و q (\displaystyle q)بدون تغییر باقی می ماند. احتمال اینکه در نتیجه چقدر است n (\displaystyle n)آزمون مستقل، رویداد A (\displaystyle A)دقیقا میاد k (\displaystyle k)یک بار؟

به نظر می رسد که می توان به طور دقیق تعداد ترکیبات "موفق" نتایج آزمون را که رویداد برای آنها محاسبه کرد. A (\displaystyle A)می آید k (\displaystyle k)یک بار در n (\displaystyle n)آزمایش‌های مستقل، دقیقاً تعداد «ترکیب‌ها» است n (\displaystyle n)بر k (\displaystyle k) :

C n (k) = n! ک! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

در عین حال، از آنجایی که همه کارآزمایی ها مستقل هستند و نتایج آنها ناسازگار است (رویداد A (\displaystyle A)یا رخ می دهد یا نه)، پس احتمال به دست آوردن یک ترکیب "موفق" دقیقاً این است: .

در نهایت، به منظور یافتن این احتمال که n (\displaystyle n)رویداد آزمون مستقل A (\displaystyle A)دقیقا میاد k (\displaystyle k)بارها، باید احتمال به دست آوردن تمام ترکیبات "موفق" را جمع آوری کنید. احتمال به دست آوردن تمام ترکیبات "موفق" یکسان و برابر است p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k))، تعداد ترکیبات "موفق" است C n (k) (\displaystyle C_(n)(k))، بنابراین در نهایت می گیریم:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

آخرین عبارت چیزی نیست جز فرمول برنولی. همچنین ذکر این نکته مفید است که به دلیل کامل بودن گروه رویدادها، درست خواهد بود:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

در نظر گرفتن توزیع دو جمله ای، انتظارات ریاضی، واریانس، حالت آن را محاسبه کنید. با استفاده از تابع MS EXCEL (BINOM.DIST)، تابع توزیع و نمودارهای چگالی احتمال را رسم خواهیم کرد. اجازه دهید پارامتر توزیع p را تخمین بزنیم، انتظارات ریاضیتوزیع و انحراف معیار. همچنین توزیع برنولی را در نظر بگیرید.

تعریف. بگذار آنها برگزار شود nآزمون‌هایی که در هر یک از آنها فقط 2 رویداد می‌تواند رخ دهد: رویداد "موفقیت" با احتمال پ یا رویداد "شکست" با احتمال q =1-p (به اصطلاح طرح برنولی،برنولیآزمایش های).

احتمال بدست آوردن دقیقا ایکس موفقیت در اینها n تست ها برابر است با:

تعداد موفقیت در نمونه ایکس یک متغیر تصادفی است که دارد توزیع دو جمله ای(انگلیسی) دو جمله ایتوزیع) پو n– پارامترهای این توزیع هستند.

به خاطر داشته باشید که برای درخواست طرح های برنولیو به همین ترتیب توزیع دو جمله ای،شرایط زیر باید رعایت شود:

• هر آزمایش باید دقیقاً دو نتیجه داشته باشد که به طور مشروط «موفقیت» و «شکست» نامیده می شود.
• نتیجه هر آزمون نباید به نتایج آزمون های قبلی (استقلال آزمون) بستگی داشته باشد.
• میزان موفقیت پ باید برای تمام تست ها ثابت باشد.

توزیع دو جمله ای در MS EXCEL

در MS EXCEL، از نسخه 2010، برای توزیع دو جمله اییک تابع BINOM.DIST() وجود دارد، نام انگلیسی- BINOM.DIST()، که به شما امکان می دهد احتمال دقیق بودن نمونه را محاسبه کنید ایکس"موفقیت ها" (یعنی تابع چگالی احتمال p(x)، فرمول بالا را ببینید)، and تابع توزیع انتگرال(احتمالی که نمونه خواهد داشت ایکسیا کمتر "موفقیت"، از جمله 0).

قبل از MS EXCEL 2010، EXCEL دارای تابع BINOMDIST() بود که به شما امکان محاسبه را نیز می دهد. تابع توزیعو چگالی احتمالی p(x). BINOMDIST () در MS EXCEL 2010 برای سازگاری باقی مانده است.

فایل مثال حاوی نمودارها است چگالی توزیع احتمالو .

توزیع دو جمله ایتعیین را دارد ب(n; پ) .

توجه داشته باشید: برای ساخت تابع توزیع انتگرالنوع نمودار تناسب کامل برنامه، برای چگالی توزیع – هیستوگرام با گروه بندی. برای اطلاعات بیشتر در مورد نمودار ساختمان، مقاله انواع اصلی نمودارها را مطالعه کنید.

توجه داشته باشید: برای راحتی نوشتن فرمول ها در فایل نمونه، نام پارامترها ایجاد شده است توزیع دو جمله ای: n و p.

فایل مثال، محاسبات احتمالات مختلف را با استفاده از توابع MS EXCEL نشان می دهد:

همانطور که در تصویر بالا مشاهده می شود، فرض می شود که:

• جامعه نامتناهی که نمونه از آن ساخته شده است شامل 10٪ (یا 0.1) عناصر خوب (پارامتر) است. پ، آرگومان تابع سوم =BINOM.DIST())
• برای محاسبه این احتمال که در یک نمونه 10 عنصری (پارامتر n، آرگومان دوم تابع) دقیقاً 5 عنصر معتبر وجود خواهد داشت (آگومان اول)، باید فرمول را بنویسید: =BINOM.DIST(5، 10، 0.1، FALSE)
• آخرین، چهارمین عنصر تنظیم شده = FALSE، i.e. مقدار تابع برگردانده می شود چگالی توزیع.

اگر مقدار آرگومان چهارم = TRUE باشد، تابع BINOM.DIST() مقدار را برمی گرداند. تابع توزیع انتگرالیا به سادگی تابع توزیع. در این صورت می توانید احتمال اینکه تعداد اقلام خوب نمونه از یک محدوده معین مثلاً 2 یا کمتر (شامل 0) باشد را محاسبه کنید.

برای این کار باید فرمول زیر را بنویسید:
= BINOM.DIST(2, 10, 0.1, TRUE)

توجه داشته باشید: برای مقدار غیرصحیح x، . به عنوان مثال، فرمول های زیر همان مقدار را برمی گرداند:
=BINOM.DIST( 2 ; ده 0.1; درست است، واقعی)
=BINOM.DIST( 2,9 ; ده 0.1; درست است، واقعی)

توجه داشته باشید: در فایل نمونه چگالی احتمالیو تابع توزیعهمچنین با استفاده از تعریف و تابع COMBIN() محاسبه می شود.

شاخص های توزیع

AT فایل نمونه در برگه مثالفرمول هایی برای محاسبه برخی از شاخص های توزیع وجود دارد:

• =n*p;
• (انحراف استاندارد مربع) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

ما فرمول را استخراج می کنیم انتظارات ریاضی توزیع دو جمله ایاستفاده كردن طرح برنولی.

طبق تعریف، یک متغیر تصادفی X در طرح برنولی(متغیر تصادفی برنولی) دارد تابع توزیع:

این توزیع نامیده می شود توزیع برنولی.

توجه داشته باشید: توزیع برنولی- مورد خاص توزیع دو جمله ایبا پارامتر n=1.

بیایید 3 آرایه از 100 عدد با احتمال موفقیت متفاوت تولید کنیم: 0.1; 0.5 و 0.9. برای انجام این کار، در پنجره نسل اعداد تصادفی پارامترهای زیر را برای هر احتمال p تنظیم کنید:

توجه داشته باشید: اگر گزینه را تنظیم کنید پراکندگی تصادفی (دانه تصادفی، سپس می توانید مجموعه تصادفی خاصی از اعداد تولید شده را انتخاب کنید. به عنوان مثال، با تنظیم این گزینه = 25، می توانید مجموعه های مشابهی از اعداد تصادفی را در رایانه های مختلف تولید کنید (البته اگر سایر پارامترهای توزیع یکسان باشند). مقدار گزینه می تواند مقادیر صحیح را از 1 تا 32767 بگیرد. نام گزینه پراکندگی تصادفیمی تواند گیج شود. بهتر است به این صورت ترجمه شود تعداد را با اعداد تصادفی تنظیم کنید.

در نتیجه 3 ستون 100 عددی خواهیم داشت که بر اساس آنها مثلاً می توان احتمال موفقیت را تخمین زد. پطبق فرمول: تعداد موفقیت/100(سانتی متر. برگه فایل نمونه تولید برنولی).

توجه داشته باشید: برای توزیع های برنولیبا p=0.5، می توانید از فرمول =RANDBETWEEN(0;1) استفاده کنید که مربوط به .

تولید اعداد تصادفی توزیع دو جمله ای

فرض کنید 7 مورد معیوب در نمونه وجود دارد. این به این معنی است که "بسیار محتمل" است که نسبت محصولات معیوب تغییر کرده است. پکه از ویژگی های فرآیند تولید ماست. اگرچه این وضعیت "بسیار محتمل" است، اما این احتمال وجود دارد (خطر آلفا، خطای نوع 1، "هشدار نادرست") که پبدون تغییر باقی ماند و افزایش تعداد محصولات معیوب به دلیل نمونه گیری تصادفی بود.

همانطور که در شکل زیر مشاهده می شود، 7 تعداد محصولات معیوب قابل قبول برای فرآیندی با 0.21=p در همان مقدار است. آلفا. این نشان می دهد که وقتی از آستانه اقلام معیوب در یک نمونه فراتر رفت، پ"احتمالا" افزایش یافته است. عبارت "به احتمال زیاد" به این معنی است که تنها 10٪ احتمال (100٪ - 90٪) وجود دارد که انحراف درصد محصولات معیوب بالاتر از آستانه فقط به دلایل تصادفی باشد.

بنابراین، فراتر رفتن از آستانه تعداد محصولات معیوب در نمونه ممکن است به عنوان سیگنالی باشد که فرآیند ناراحت شده و شروع به تولید b در بارهدرصد بالاتر محصولات معیوب

توجه داشته باشید: قبل از MS EXCEL 2010، EXCEL یک تابع CRITBINOM() داشت که معادل BINOM.INV() است. CRITBINOM() در MS EXCEL 2010 و بالاتر برای سازگاری باقی مانده است.

رابطه توزیع دو جمله ای با سایر توزیع ها

اگر پارامتر n توزیع دو جمله ایبه بی نهایت تمایل دارد و پبه 0 تمایل دارد، سپس در این مورد توزیع دو جمله ایمی توان تقریب زد.
ممکن است برای فرمول شرایط زمانی که تقریب توزیع پواسونخوب کار می کند:

• پ<0,1 (کمتر پو بیشتر n، هر چه تقریب دقیق تر باشد)
• پ>0,9 (با توجه به اینکه q=1- پ، محاسبات در این مورد باید با استفاده از q(آ ایکسنیاز به تعویض دارد n- ایکس). بنابراین، کمتر qو بیشتر n، هر چه تقریب دقیق تر باشد).

در 0.1<=p<=0,9 и n*p>10 توزیع دو جمله ایمی توان تقریب زد.

در نوبتش، توزیع دو جمله ایزمانی که اندازه جمعیت N باشد می تواند به عنوان یک تقریب خوب عمل کند توزیع فرا هندسیبسیار بزرگتر از اندازه نمونه n (یعنی N>>n یا n/N<<1).

در مورد رابطه توزیع های فوق می توانید در مقاله بیشتر بخوانید. نمونه هایی از تقریب هم در آنجا آورده شده و شرایط در چه زمانی امکان پذیر است و با چه دقتی توضیح داده شده است.

مشاوره: می توانید در مورد سایر توزیع های MS EXCEL در مقاله بخوانید.

بیایید برای مدت طولانی به چیزهای بلند فکر نکنیم - بیایید بلافاصله با یک تعریف شروع کنیم.

- این زمانی است که n آزمایش مستقل از همان نوع انجام می شود که در هر یک از آنها ممکن است یک رویداد A مورد علاقه ما ظاهر شود و احتمال این رویداد P (A) \u003d p مشخص است. تعیین احتمال اینکه رویداد A دقیقاً k بار در طول n آزمایش رخ دهد، مورد نیاز است.

کارهایی که طبق طرح برنولی حل می شوند بسیار متنوع هستند: از کارهای ساده (مانند "احتمال اینکه تیرانداز از هر 10 بار 1 بار ضربه بزند") تا کارهای بسیار شدید (مثلاً وظایف درصد یا کارت بازی) . در واقعیت، این طرح اغلب برای حل مشکلات مربوط به کنترل کیفیت محصول و قابلیت اطمینان مکانیسم های مختلف مورد استفاده قرار می گیرد که قبل از شروع کار باید تمام ویژگی های آنها شناخته شود.

برگردیم به تعریف. از آنجایی که ما در مورد آزمایشات مستقل صحبت می کنیم، و در هر آزمایش احتمال رویداد A یکسان است، تنها دو نتیجه ممکن است:

1. A وقوع رویداد A با احتمال p است.
2. "نه A" - رویداد A ظاهر نشد، که با احتمال q = 1 - p اتفاق می افتد.

مهم ترین شرطی که بدون آن طرح برنولی معنای خود را از دست می دهد، ثبات است. مهم نیست چقدر آزمایش انجام می دهیم، ما به همان رویداد A علاقه مند هستیم که با احتمال یکسان p اتفاق می افتد.

اتفاقاً نمی توان همه مسائل در نظریه احتمال را به شرایط ثابت تقلیل داد. هر معلم ماهر در ریاضیات عالی در این مورد به شما خواهد گفت. حتی چیزی به سادگی چیدن توپ های رنگی از جعبه آزمایشی با شرایط ثابت نیست. آنها توپ دیگری بیرون آوردند - نسبت رنگ ها در جعبه تغییر کرد. بنابراین، احتمالات نیز تغییر کرده است.

اگر شرایط ثابت باشد، می‌توان احتمال وقوع A را دقیقاً k برابر از n ممکن به‌طور دقیق تعیین کرد. این واقعیت را در قالب یک قضیه بیان می کنیم:

اجازه دهید احتمال وقوع رویداد A در هر آزمایش ثابت و برابر با p باشد. سپس احتمال اینکه در n آزمایش مستقل رویداد A دقیقا k بار ظاهر شود با فرمول محاسبه می شود:

که در آن C n k تعداد ترکیبات است، q = 1 - p.

این فرمول نام دارد: جالب است بدانید که مشکلات زیر بدون استفاده از این فرمول به طور کامل حل می شوند. به عنوان مثال، می توانید فرمول های جمع احتمال را اعمال کنید. با این حال، مقدار محاسبه به سادگی غیر واقعی خواهد بود.

یک وظیفه. احتمال تولید محصول معیوب روی دستگاه 0.2 است. این احتمال را تعیین کنید که در یک دسته از 10 قطعه تولید شده در یک ماشین معین دقیقا k بدون نقص باشد. مشکل k = 0، 1، 10 را حل کنید.

با این شرط، ما علاقه مند به رویداد A انتشار محصولات بدون نقص هستیم، که هر بار با احتمال p = 1 - 0.2 = 0.8 اتفاق می افتد. ما باید احتمال وقوع این رویداد را k بار تعیین کنیم. رویداد A با رویداد "نه A" مخالف است، یعنی. تولید محصول معیوب

بنابراین، ما داریم: n = 10; p=0.8; q = 0.2.

بنابراین، احتمال اینکه تمام قطعات در دسته معیوب هستند (k = 0)، تنها یک قسمت معیوب (k = 1) و اینکه اصلاً قطعات معیوب وجود ندارد (k = 10) را پیدا می کنیم:

یک وظیفه. سکه 6 بار پرتاب می شود. گم شدن نشان و دم به همان اندازه محتمل است. این احتمال را پیدا کنید که:

1. نشان ملی سه بار سقوط خواهد کرد.
2. نشان یک بار سقوط خواهد کرد.
3. نشان رسمی حداقل دو بار ظاهر می شود.

بنابراین، ما به رویداد A علاقه مند هستیم، زمانی که نشان ملی می افتد. احتمال این رویداد 0.5 = p است. رویداد A با رویداد "نه A" مقابله می شود، وقتی که به دنبال آن می آید، که با احتمال q = 1 - 0.5 = 0.5 اتفاق می افتد. باید احتمال افتادن نشان را k بار تعیین کرد.

بنابراین، داریم: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

اجازه دهید احتمال افتادن نشان سه بار را تعیین کنیم، یعنی. k = 3:

حالا بیایید این احتمال را تعیین کنیم که نشان فقط یک بار بیرون بیفتد، یعنی. k = 1:

باقی مانده است که مشخص شود با چه احتمالی نشان حداقل دو بار از بین می رود. مشکل اصلی در عبارت "نه کمتر" است. معلوم می شود که هر k، به جز 0 و 1، برای ما مناسب است، یعنی. شما باید مقدار مجموع X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6) را پیدا کنید.

توجه داشته باشید که این مجموع نیز برابر است با (1 - P 6 (0) - P 6 (1))، یعنی. از بین همه گزینه های ممکن، کافی است آنهایی را که در زمانی که نشان 1 بار افتاد (k = 1) یا اصلاً بیرون نیفتاد (k = 0) "قطع" کنید. از آنجایی که P 6 (1) قبلاً می دانیم، همچنان باید P 6 (0) را پیدا کنیم:

یک وظیفه. احتمال اینکه یک تلویزیون عیوب پنهان داشته باشد 0.2 است. انبار 20 تلویزیون دریافت کرد. کدام رویداد بیشتر محتمل است: وجود دو تلویزیون با نقص پنهان در این دسته یا سه؟

رویداد مورد علاقه A وجود یک نقص پنهان است. مجموع تلویزیون ها n = 20، احتمال نقص پنهان p = 0.2. بر این اساس، احتمال دریافت یک تلویزیون بدون نقص پنهان q = 1 - 0.2 = 0.8 است.

ما شرایط شروع طرح برنولی را دریافت می کنیم: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

بیایید احتمال دریافت دو تلویزیون معیوب (k = 2) و سه (k = 3) را پیدا کنیم:

\[\begin(آرایه)(l)(P_(20))\left(2 \راست) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

بدیهی است که P 20 (3) > P 20 (2)، یعنی. احتمال داشتن سه تلویزیون با نقص پنهان بیشتر به احتمال زیاد فقط دو تلویزیون از این قبیل است. علاوه بر این، تفاوت ضعیف نیست.

یک نکته کوچک در مورد فاکتوریل بسیاری از مردم با دیدن ورودی "0!" احساس مبهم ناراحتی را تجربه می کنند. (بخوانید "فاکتوریل صفر"). بنابراین، 0! = 1 طبق تعریف

P.S. و بزرگترین احتمال در آخرین کار این است که چهار تلویزیون با نقص پنهان تهیه کنید. حساب کنید و خودتان ببینید.

همچنین ببینید:

ممنون که خواندید و با دیگران به اشتراک گذاشتید

هنگام حل مسائل احتمالی، فرد اغلب با موقعیت هایی مواجه می شود که در آن یک آزمایش یکسان بارها تکرار می شود و نتیجه هر آزمایش مستقل از نتایج آزمایش های دیگر است. این آزمایش نیز نامیده می شود طرح تست های مستقل مکرریا طرح برنولی.

نمونه هایی از تست های مجدد:

1) بیرون آوردن چندبار یک توپ از کوزه، مشروط بر اینکه توپی که پس از ثبت رنگ آن بیرون آورده شده، دوباره به داخل کوزه گذاشته شود.

2) تکرار تیراندازی توسط یک تیرانداز به یک هدف، مشروط بر اینکه احتمال ضربه موفقیت آمیز با هر شلیک یکسان باشد (نقش صفر کردن در نظر گرفته نشده است).

بنابراین، اجازه دهید به عنوان یک نتیجه از آزمون ممکن است دو نتیجه: یا یک رویداد ظاهر می شود ولی، یا رویداد مخالف آن. بیایید آزمایشات برنولی را انجام دهیم. این بدان معنی است که همه n کارآزمایی مستقل هستند. احتمال وقوع رویداد $A$ در هر آزمون فردی یا منفرد ثابت است و از آزمونی به آزمون دیگر تغییر نمی‌کند (یعنی آزمایش‌ها در شرایط یکسان انجام می‌شوند). اجازه دهید احتمال وقوع رویداد $A$ را در یک آزمایش واحد با حرف $p$ نشان دهیم، یعنی. $p=P(A)$، و احتمال رخداد مخالف (رویداد $A$ رخ نداد) با حرف $q=P(\overline(A))=1-p$ داده می‌شود.

سپس احتمال این که رویداد ولیدر اینها ظاهر خواهد شد nدقیقا تست میکنه کبار، بیان شده است فرمول برنولی

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

توزیع تعداد موفقیت ها (وقوع یک رویداد) نامیده می شود توزیع دو جمله ای.

ماشین حساب آنلاین برای فرمول برنولی

برخی از رایج ترین انواع مشکلات که از فرمول برنولی استفاده می کنند در مقالات تحلیل شده و با ماشین حساب آنلاین ارائه شده است، می توانید با استفاده از لینک ها به سراغ آنها بروید:

نمونه هایی از راه حل های مسائل در فرمول برنولی

مثال.یک گلدان حاوی 20 توپ سفید و 10 توپ سیاه است. 4 توپ خارج می شود و هر توپ خارج شده قبل از کشیدن گلوله بعدی به داخل ظرف برگردانده می شود و توپ های داخل ظرف مخلوط می شوند.

فرمول برنولی حل مسئله

احتمال سفید بودن 2 توپ از 4 توپ کشیده شده را پیدا کنید.

راه حل.رویداد ولی- یه توپ سفید گرفتم سپس احتمالات
, .
با توجه به فرمول برنولی، احتمال مورد نیاز است
.

مثال.احتمال اینکه خانواده ای با 5 فرزند بیش از 3 دختر نداشته باشد را تعیین کنید. احتمال پسر و دختر داشتن یکسان فرض می شود.

راه حل.احتمال دختر دار شدن
، سپس .

بیایید احتمالات عدم وجود دختر در خانواده را پیدا کنیم، یک، دو یا سه دختر متولد شده اند:

, ,

, .

بنابراین، احتمال مورد نظر

.

مثال.در میان قطعات پردازش شده توسط کارگر، به طور متوسط ​​4٪ غیر استاندارد وجود دارد. احتمال غیر استاندارد بودن دو قسمت از 30 قسمتی که برای تست گرفته شده است را پیدا کنید.

راه حل.در اینجا تجربه در بررسی کیفیت هر یک از 30 قسمت نهفته است.

رویداد A "ظاهر یک قطعه غیر استاندارد" است، احتمال آن . از اینجا، با فرمول برنولی، متوجه می شویم
.

مثال.برای هر شلیک فردی از تفنگ، احتمال اصابت به هدف 0.9 است. این احتمال را پیدا کنید که از 20 شلیک تعداد شوت های موفق حداقل 16 و حداکثر 19 باشد.

راه حل.ما با فرمول برنولی محاسبه می کنیم:

مثال.محاکمه های مستقل تا زمان برگزاری ادامه دارد ولیاتفاق نخواهد افتاد کیک بار. احتمال آن را پیدا کنید nآزمایشات (n ³ k)، اگر در هر یک از آنها .

راه حل.رویداد AT- دقیقا nتست های قبل ک-مین وقوع رویداد ولیمحصول دو رویداد زیر است:

D-in nآزمون هفتم ولیاتفاق افتاد؛

ج - اول (n–1)آزمون هفتم ولیظاهر شد (k-1)یک بار.

قضیه ضرب و فرمول برنولی احتمال لازم را می دهد:

لازم به ذکر است که استفاده از قانون دو جمله ای اغلب با مشکلات محاسباتی همراه است. بنابراین با افزایش ارزش ها nو متراستفاده از فرمول های تقریبی (پواسون، مویور-لاپلاس) که در بخش های بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت، به مصلحت می باشد.

آموزش تصویری فرمول برنولی

برای کسانی که در توضیح ویدیوی متوالی بصری تر هستند، یک ویدیوی 15 دقیقه ای:

فرمول احتمال کل: نظریه و نمونه هایی از حل مسئله

فرمول احتمال کل و احتمالات شرطی رویدادها

فرمول احتمال کل نتیجه قواعد اساسی نظریه احتمال - قاعده جمع و قاعده ضرب است.

فرمول احتمال کل به شما امکان می دهد تا احتمال یک رویداد را پیدا کنید آ، که فقط با هر یک از آنها می تواند رخ دهد nرویدادهای متقابل انحصاری که در صورت مشخص بودن احتمالات آنها یک سیستم کامل را تشکیل می دهند و احتمالات مشروط تحولات آبا توجه به هر یک از رویدادهای سیستم برابر با .

وقایع را فرضیه نیز می نامند، آنها متقابلاً انحصاری هستند. بنابراین ، در ادبیات می توانید نام آنها را نه با حرف بیابید ب، اما با یک نامه اچ(فرضیه).

برای حل مشکلات با چنین شرایطی باید 3، 4، 5 یا در حالت کلی را در نظر گرفت nامکان وقوع یک رویداد آبا هر رویداد

با استفاده از قضایای جمع و ضرب احتمالات، مجموع حاصل ضرب احتمال هر یک از رویدادهای سیستم را به دست می آوریم. احتمال شرطی تحولات آبرای هر رویداد در سیستم

21 آزمایش برنولی. فرمول برنولی

یعنی احتمال یک اتفاق آبا فرمول قابل محاسبه است

یا به طور کلی

,

که نامیده می شود فرمول احتمال کل .

فرمول احتمال کل: نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1سه گلدان با ظاهر یکسان وجود دارد: در اولی 2 توپ سفید و 3 گلوله سیاه، در دومی 4 گلوله سفید و یکی سیاه و در سومی سه توپ سفید وجود دارد. شخصی به طور تصادفی به یکی از کوزه ها نزدیک می شود و یک توپ را از آن بیرون می آورد. استفاده از فرصت فرمول احتمال کل، احتمال سفید بودن توپ را پیدا کنید.

راه حل. رویداد آ- ظاهر یک توپ سفید. ما سه فرضیه را مطرح می کنیم:

- اولین کوزه انتخاب شده است.

- کوزه دوم انتخاب شده است.

- کوزه سوم انتخاب شده است.

احتمالات رویداد مشروط آبرای هر یک از فرضیه ها:

, , .

ما فرمول احتمال کل را اعمال می کنیم، در نتیجه - احتمال لازم:

.

مثال 2در کارخانه اول از هر 100 لامپ به طور متوسط ​​90 لامپ استاندارد تولید می شود، در کارخانه دوم 95، در کارخانه سوم 85 لامپ و خروجی این کارخانه ها به ترتیب 50، 30 و 20 درصد است. تمام لامپ های برق عرضه شده به مغازه های یک منطقه خاص. احتمال خرید یک لامپ استاندارد را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید احتمال به دست آوردن یک لامپ استاندارد را به عنوان نشان دهیم آو اتفاقاتی که لامپ خریداری شده به ترتیب در کارخانه های اول، دوم و سوم ساخته شده است. با شرط، احتمالات این رویدادها مشخص است: , و احتمالات شرطی رویداد آدر مورد هر یک از آنها: , , . اینها احتمالات دستیابی به یک لامپ استاندارد است، مشروط بر اینکه به ترتیب در کارخانه های اول، دوم و سوم ساخته شود.

رویداد آاگر رویدادی رخ دهد یا ک– لامپ در اولین کارخانه ساخته شده و استاندارد یا یک رویداد است L- لامپ در کارخانه دوم ساخته شده و استاندارد یا یک رویداد است م- لامپ در کارخانه سوم تولید شده و استاندارد می باشد.

سایر احتمالات برای وقوع رویداد آنه بنابراین، رویداد آمجموع وقایع است ک, Lو مکه ناسازگار هستند با استفاده از قضیه جمع احتمال، احتمال یک رویداد را نشان می دهیم آمانند

و با قضیه ضرب احتمال بدست می آوریم

به این معنا که، یک مورد خاص از فرمول احتمال کل.

با جایگزینی احتمالات در سمت چپ فرمول، احتمال رویداد را بدست می آوریم آ:

آیا زمان برای بررسی راه حل ندارید؟ شما می توانید یک کار سفارش دهید!

مثال 3هواپیما در حال فرود در فرودگاه است. اگر آب و هوا اجازه دهد، خلبان هواپیما را فرود می آورد و علاوه بر ابزار، از مشاهده بصری نیز استفاده می کند. در این حالت، احتمال فرود موفقیت آمیز است. اگر فرودگاه ابری با ابرهای کم باشد، خلبان هواپیما را فرود می‌آورد و فقط روی ابزار جهت گیری می‌کند. در این مورد، احتمال فرود موفقیت آمیز است. .

دستگاه هایی که فرود کور را فراهم می کنند دارای قابلیت اطمینان هستند (احتمال عملکرد بدون خرابی) پ. در صورت وجود ابر کم و ابزار فرود کور ناموفق، احتمال فرود موفقیت آمیز است. . آمار نشان می دهد که در ک٪ از فرودها، فرودگاه با ابرهای کم پوشیده شده است. پیدا کردن احتمال کامل رویدادآ- فرود ایمن هواپیما

راه حل. فرضیه ها:

- بدون ابرهای کم ارتفاع؛

- پوشش ابر کم وجود دارد.

احتمالات این فرضیه ها (رویدادها):

;

احتمال شرطی

احتمال شرطی دوباره با فرمول احتمال کل با فرضیه ها پیدا می شود

- دستگاه های فرود کور کار می کنند.

- دستگاه های فرود کور از کار افتادند.

احتمالات این فرضیه ها عبارتند از:

با توجه به فرمول احتمال کل

مثال 4دستگاه می تواند در دو حالت عادی و غیر عادی کار کند. حالت عادی در 80٪ از تمام موارد عملکرد دستگاه مشاهده می شود، و غیر طبیعی - در 20٪ موارد. احتمال خرابی دستگاه در زمان معین تیبرابر با 0.1؛ در غیر طبیعی 0.7. پیدا کردن احتمال کاملخرابی دستگاه به موقع تی.

راه حل. ما مجدداً احتمال خرابی دستگاه را به عنوان نشان می دهیم آ. بنابراین، در مورد عملکرد دستگاه در هر حالت (رویدادها)، احتمالات با شرط مشخص می شود: برای حالت عادی 80٪ () برای حالت غیر طبیعی - 20٪ (). احتمال رویداد آ(یعنی خرابی دستگاه) بسته به اولین رویداد (حالت عادی) 0.1 () است. بسته به رویداد دوم (حالت غیر طبیعی) - 0.7 ( ). ما این مقادیر را با فرمول احتمال کل (یعنی مجموع حاصلضرب احتمال هر یک از رویدادهای سیستم و احتمال شرطی رویداد) جایگزین می کنیم. آبا توجه به هر یک از رویدادهای سیستم) و نتیجه لازم را داریم.

تعریف تست های مستقل مکرر. فرمول های برنولی برای محاسبه احتمال و محتمل ترین عدد. فرمول های مجانبی برای فرمول برنولی (محلی و انتگرال، قضایای لاپلاس). با استفاده از قضیه انتگرال. فرمول پواسون، برای رویدادهای تصادفی بعید.

تست های مستقل مکرر

در عمل، باید با چنین کارهایی برخورد کرد که می‌توان آن‌ها را به‌عنوان آزمون‌های مکرر نشان داد، که در نتیجه هر یک ممکن است رویداد A ظاهر شود یا نباشد. در عین حال، نتیجه مورد علاقه، نتیجه هر «آزمایش فردی» نیست، بلکه تعداد کل وقوع رویداد A در نتیجه تعداد معین آزمایش است. در چنین مسائلی، فرد باید بتواند احتمال را تعیین کند. از هر تعداد m از وقوع رویداد A در نتیجه n کارآزمایی حالتی را در نظر بگیرید که کارآزمایی ها مستقل هستند و احتمال وقوع رویداد A در هر آزمایش ثابت است. چنین کارآزمایی ها نامیده می شوند. استقلالی های تکراری

نمونه ای از آزمایش مستقل، آزمایش مناسب بودن محصولات گرفته شده از یکی از تعدادی دسته است. اگر این دسته ها دارای درصد عیوب یکسانی باشند، احتمال معیوب بودن محصول انتخابی در هر مورد یک عدد ثابت است.

فرمول برنولی

بیایید از مفهوم استفاده کنیم اتفاق سخت، که به معنای ترکیب چندین رویداد ابتدایی است که شامل ظهور یا عدم ظهور رویداد A در آزمون i است. اجازه دهید n کارآزمایی مستقل انجام شود که در هر یک از آنها رویداد A می تواند با احتمال p ظاهر شود یا با احتمال q=1-p ظاهر نشود. رویداد B_m را در نظر بگیرید، که شامل این واقعیت است که رویداد A در این n آزمایش دقیقاً m بار رخ می دهد و بنابراین، دقیقاً (n-m) بار رخ نخواهد داد. مشخص کن A_i~(i=1،2،\ldots،(n))وقوع رویداد A , a \overline(A)_i - عدم وقوع رویداد A در آزمایش i-ام. با توجه به ثابت بودن شرایط آزمون، داریم

رویداد A می‌تواند m بار در توالی‌ها یا ترکیب‌های مختلف ظاهر شود و با رویداد مخالف \overline(A) متناوب ظاهر شود. تعداد ترکیب‌های ممکن از این نوع برابر است با تعداد ترکیب‌های n عنصر توسط m، یعنی C_n^m. بنابراین، رویداد B_m را می توان به عنوان مجموع رویدادهای پیچیده ای که با یکدیگر ناسازگار هستند نشان داد و تعداد عبارت ها برابر با C_n^m است:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n)،

که در آن رویداد A در هر محصول m بار و \overline(A) - (n-m) بار اتفاق می‌افتد.

احتمال هر رویداد ترکیبی موجود در فرمول (3.1)، با توجه به قضیه ضرب احتمال برای رویدادهای مستقل، برابر با p^(m)q^(n-m) است. از آنجایی که تعداد کل چنین رویدادهایی برابر است با C_n^m، پس با استفاده از قضیه احتمال جمع برای رویدادهای ناسازگار، احتمال رویداد B_m را به دست می آوریم (آن را با P_(m,n) نشان می دهیم).

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(یا)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

فرمول (3.2) نامیده می شود فرمول برنولیو آزمایشات مکرر که شرط استقلال و پایداری احتمالات وقوع رویداد A را در هر یک از آنها برآورده می کند نامیده می شود. آزمایشات برنولی، یا طرح برنولی.

مثال 1. احتمال فراتر رفتن از میدان تحمل هنگام ماشینکاری قطعات روی ماشین تراش 0.07 است. این احتمال را تعیین کنید که از پنج قسمتی که به طور تصادفی در حین جابجایی انتخاب شده اند، یکی از ابعاد قطر با تلورانس مشخص شده مطابقت ندارد.

راه حل. شرایط مشکل الزامات طرح برنولی را برآورده می کند. بنابراین، با فرض n=5,\,m=1,\,p=0,\!07، با فرمول (3.2) بدست می آوریم

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\تقریبا 0,\!262.

مثال 2. مشاهدات نشان داده است که در برخی مناطق در ماه سپتامبر 12 روز بارانی وجود دارد. احتمال اینکه از 8 روز تصادفی در این ماه، 3 روز بارانی باشد چقدر است؟

راه حل.

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

محتمل ترین تعداد وقوع رویداد

به احتمال زیاد ظاهررویداد A در n آزمایش مستقل، عددی m_0 نامیده می‌شود که احتمال مربوط به این عدد از یا، مطابق با حداقل، نه کمتر از احتمال هر یک از اعداد احتمالی دیگر رویداد A. برای تعیین محتمل ترین عدد، نیازی به محاسبه احتمالات تعداد احتمالی وقوع رویداد نیست، کافی است تعداد آزمایشات n و احتمال وقوع رویداد A را در یک آزمایش جداگانه بدانیم. فرض کنید P_(m_0,n) احتمال مربوط به محتمل ترین عدد m_0 را نشان می دهد. با استفاده از فرمول (3.2) می نویسیم

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

با توجه به تعریف محتمل ترین عدد، احتمال وقوع رویداد A به ترتیب m_0+1 و m_0-1 برابر، حداقل نباید از احتمال P_(m_0,n) تجاوز کند.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

با جایگزینی مقدار P_(m_0,n) و عبارات احتمالات P_(m_0+1,n) و P_(m_0-1,n) به نابرابری ها، به دست می آوریم

با حل این نابرابری ها برای m_0 به دست می آوریم

M_0\geqslant(np-q)،\quad m_0\leqslant(np+p)

با ترکیب آخرین نابرابری ها، یک نابرابری مضاعف بدست می آوریم که برای تعیین محتمل ترین عدد استفاده می شود:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

از آنجایی که طول بازه تعریف شده توسط نابرابری (3.4) برابر با یک است، یعنی.

(np+p)-(np-q)=p+q=1،

و یک رویداد می تواند در n آزمایش فقط تعداد صحیح بار رخ دهد، پس باید در نظر داشت که:

1) اگر np-q یک عدد صحیح است، پس دو مقدار از محتمل ترین عدد وجود دارد، یعنی: m_0=np-q و m"_0=np-q+1=np+p.

2) اگر np-q یک عدد کسری است، پس یک عدد محتمل وجود دارد، یعنی: تنها عدد صحیح بین اعداد کسری به دست آمده از نامساوی (3.4).

3) اگر np یک عدد صحیح باشد، یک عدد محتمل وجود دارد، یعنی: m_0=np.

برای مقادیر بزرگ n، استفاده از فرمول (3.3) برای محاسبه احتمال مربوط به محتمل ترین عدد ناخوشایند است. اگر در برابری (3.3) فرمول استرلینگ را جایگزین کنیم

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n)))،

برای n به اندازه کافی بزرگ معتبر است و محتمل ترین عدد m_0=np را می گیریم، سپس فرمولی برای محاسبه تقریبی احتمال مربوط به محتمل ترین عدد بدست می آوریم:

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

مثال 2. مشخص است که \frac(1)(15) برخی از محصولات عرضه شده توسط کارخانه به پایگاه معاملاتی تمامی الزامات استاندارد را برآورده نمی کند. دسته ای از محصولات به تعداد 250 عدد به پایگاه تحویل داده شد. محتمل ترین تعداد محصولاتی را که الزامات استاندارد را برآورده می کنند پیدا کنید و احتمال اینکه این لات حاوی محتمل ترین تعداد محصولات باشد را محاسبه کنید.

راه حل. با شرط n=250،\,q=\frac(1)(15)،\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). با توجه به نابرابری (3.4) داریم

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

جایی که 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. بنابراین، محتمل ترین تعداد محصولاتی که الزامات استاندارد را برآورده می کنند در یک دسته 250 قطعه است. برابر با 234. با جایگزینی داده ها به فرمول (3.5)، احتمال داشتن محتمل ترین تعداد آیتم ها در دسته را محاسبه می کنیم:

P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\ approx0,\!101

قضیه لاپلاس محلی

استفاده از فرمول برنولی برای مقادیر بزرگ n بسیار دشوار است. به عنوان مثال، اگر n=50,\,m=30,\,p=0,\!1سپس برای یافتن احتمال P_(30,50) باید مقدار عبارت را محاسبه کرد.

P_(30،50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

طبیعتاً این سؤال مطرح می شود که آیا می توان بدون استفاده از فرمول برنولی احتمال بهره را محاسبه کرد؟ معلوم می شود می توانید. قضیه لاپلاس محلی یک فرمول مجانبی ارائه می دهد که به شما امکان می دهد تا احتمال وقوع رویدادها را دقیقاً m بار در n آزمایش پیدا کنید، اگر تعداد آزمایش ها به اندازه کافی زیاد باشد.

قضیه 3.1. اگر احتمال p وقوع رویداد A در هر آزمایش ثابت و متفاوت از صفر و یک باشد، آنگاه احتمال P_(m,n) که رویداد A در n آزمایش دقیقاً m بار ظاهر شود تقریباً برابر است (به طور دقیق تر، بزرگتر n) به مقدار تابع

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))در .

جداول حاوی مقادیر تابع هستند \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2))، مربوط به مقادیر مثبت آرگومان x است. برای مقادیر آرگومان منفی، از همان جداول استفاده می شود، زیرا تابع \varphi(x) زوج است، یعنی. \varphi(-x)=\varphi(x).

بنابراین، تقریباً احتمال اینکه رویداد A در n آزمایش دقیقاً m بار ظاهر شود،

P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x)جایی که x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

مثال 3. اگر احتمال وقوع رویداد A در هر آزمایش 0.2 باشد، احتمال وقوع رویداد A را دقیقا 80 بار در 400 آزمایش بیابید.

راه حل. با شرط n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. ما از فرمول لاپلاس مجانبی استفاده می کنیم:

P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (ایکس).

بیایید مقدار x تعریف شده توسط داده های مسئله را محاسبه کنیم:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

با توجه به جدول adj، 1 را پیدا می کنیم \varphi(0)=0,\!3989. احتمال مورد نظر

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

فرمول برنولی تقریباً به همین نتیجه منجر می شود (محاسبات به دلیل دست و پا گیر بودن آنها حذف شده است):

P_(80,100)=0,\!0498.

قضیه انتگرال لاپلاس

فرض کنید n آزمایش مستقل انجام شود که در هر یک از آنها احتمال وقوع رویداد A ثابت و برابر با p است. لازم است احتمال P_((m_1,m_2),n) محاسبه شود که رویداد A در n آزمایش حداقل m_1 و حداکثر m_2 بار ظاهر شود (برای اختصار می گوییم "از m_1 تا m_2 بار"). این را می توان با استفاده از قضیه انتگرال لاپلاس انجام داد.

قضیه 3.2. اگر احتمال p وقوع رویداد A در هر آزمایش ثابت و متفاوت از صفر و یک باشد، تقریباً احتمال P_((m_1,m_2),n) آن رویداد A در آزمایش‌ها از m_1 تا m_2 بار ظاهر می‌شود.

P_((m_1،m_2)،n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,جایی که .

هنگام حل مسائلی که نیاز به استفاده از قضیه انتگرال لاپلاس دارند، از جداول خاصی استفاده می شود، زیرا انتگرال نامعین \int(e^(-x^2/2)\,dx)بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شود. جدول انتگرال \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzدر برنامه داده شده است 2، که در آن مقادیر تابع \Phi(x) برای مقادیر مثبت x، برای x داده می شود<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 می تواند \Phi(x)=0،\!5 را بگیرد.

بنابراین، تقریباً احتمال اینکه رویداد A در n آزمایش مستقل از m_1 تا m_2 بار ظاهر شود،

P_((m_1،m_2)،n)\approx\Phi(x"")-\Phi(x")،جایی که x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

مثال 4. احتمال اینکه قطعه ای برخلاف استانداردها ساخته شده باشد، p=0,\!2. این احتمال را پیدا کنید که از بین 400 قطعه غیراستاندارد به طور تصادفی انتخاب شده از 70 تا 100 قطعه وجود داشته باشد.

راه حل. با شرط p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. بیایید از قضیه انتگرال لاپلاس استفاده کنیم:

P_((70,100),400)\approx\Phi(x"")-\Phi(x").

اجازه دهید محدودیت های ادغام را محاسبه کنیم:

پایین تر

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1،\!25،

بالا

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2،\!5،

به این ترتیب

P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

طبق برنامه جدول. 2 پیدا کردن

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

احتمال مورد نظر

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

کاربرد قضیه انتگرال لاپلاس

اگر عدد m (تعداد وقوع رویداد A در n آزمایش مستقل) از m_1 به m_2 تغییر کند، کسر \frac(m-np)(\sqrt(npq))تغییر خواهد کرد \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"قبل از \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". بنابراین، قضیه انتگرال لاپلاس را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

بیایید این وظیفه را تعیین کنیم که احتمال این را پیدا کنیم که قدر مطلق انحراف فرکانس نسبی \frac(m)(n) از احتمال ثابت p از عدد داده شده \varepsilon>0 تجاوز نکند. به عبارت دیگر، احتمال نابرابری را پیدا می کنیم \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon، که همان است -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. این احتمال به صورت زیر نشان داده می شود: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). با در نظر گرفتن فرمول (3.6)، برای این احتمال، به دست می آوریم

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\درست).

مثال 5. احتمال غیر استاندارد بودن قطعه، p=0,\!1. این احتمال را بیابید که از بین 400 قطعه به طور تصادفی انتخاب شده، فراوانی نسبی ظاهر قطعات غیر استاندارد از احتمال p=0,\!1 در مقدار مطلق بیش از 0.03 انحراف داشته باشد.

راه حل. با شرط n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. ما باید احتمال را پیدا کنیم P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). با استفاده از فرمول (3.7) بدست می آوریم

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

طبق برنامه جدول. 2، \Phi(2)=0،\!4772 را پیدا می کنیم، بنابراین 2\Phi(2)=0،\!9544. بنابراین، احتمال مورد نظر تقریباً برابر با 0.9544 است. معنای نتیجه به‌دست‌آمده به این صورت است: اگر تعداد نمونه‌های 400 قسمتی به اندازه کافی را برداریم، تقریباً در 44/95 درصد از این نمونه‌ها انحراف فرکانس نسبی از احتمال ثابت p=0,\!1 در مقدار مطلق از 0.03 تجاوز نخواهد کرد.

فرمول پواسون برای رویدادهای غیر محتمل

اگر احتمال p وقوع یک رویداد در یک آزمایش جداگانه نزدیک به صفر باشد، حتی برای اعداد بزرگآزمون n، اما با مقدار کمی حاصلضرب np، احتمالات P_(m, n) به دست آمده با فرمول لاپلاس به اندازه کافی دقیق نیستند و نیاز به فرمول تقریبی دیگری وجود دارد.

قضیه 3.3. اگر احتمال p وقوع رویداد A در هر آزمایش ثابت اما کوچک باشد، تعداد آزمایش‌های مستقل n به اندازه کافی بزرگ است، اما مقدار حاصلضرب np=\lambda کوچک باقی می‌ماند (بیش از ده)، آنگاه احتمال وجود دارد. که رویداد A در این آزمایش‌ها m بار اتفاق می‌افتد،

P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

برای ساده کردن محاسبات با استفاده از فرمول پواسون، جدولی از مقادیر تابع پواسون گردآوری شده است. \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(به پیوست 3 مراجعه کنید).

مثال 6. فرض کنید احتمال ساخت یک قطعه غیر استاندارد 0.004 باشد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 1000 قطعه، 5 قطعه غیر استاندارد وجود داشته باشد.

راه حل. اینجا n=1000،p=0.004،~\lambda=np=1000\cdot0،\!004=4. هر سه عدد الزامات قضیه 3.3 را برآورده می کنند، بنابراین برای یافتن احتمال رویداد مورد نظر P_(51000) از فرمول پواسون استفاده می کنیم. با توجه به جدول مقادیر تابع پواسون (برنامه 3) با \lambda=4;m=5 دریافت می کنیم P_(5,1000)\approx0,\!1563.

بیایید با استفاده از فرمول لاپلاس احتمال همان رویداد را پیدا کنیم. برای این کار ابتدا مقدار x مربوط به m=5 را محاسبه می کنیم:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

بنابراین با توجه به فرمول لاپلاس، احتمال مورد نظر

P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ 1763

و طبق فرمول برنولی مقدار دقیق آن

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.

به این ترتیب، خطای مربوطهمحاسبه احتمالات P_(51000) با استفاده از فرمول تقریبی لاپلاس

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196، یا 13،\!6\%

و طبق فرمول پواسون -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\ approx0,\!007، یا 0،\!7\%

یعنی چند برابر کمتر.
به بخش بعدی بروید
یک بعدی متغیرهای تصادفی جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات باید کنترل های ActiveX فعال شوند!

کارآزمایی‌های مستقل مکرر در صورتی کارآزمایی برنولی نامیده می‌شوند که هر کارآزمایی فقط دو نتیجه ممکن داشته باشد و احتمال نتایج برای همه کارآزمایی‌ها یکسان باقی بماند.

معمولاً این دو نتیجه "موفقیت" (S) یا "شکست" (F) نامیده می شوند و احتمالات مربوطه را نشان می دهند. پو q. واضح است که پ 0, q³ 0 و پ+q=1.

فضای رویداد ابتدایی هر آزمایش شامل دو رویداد Y و H است.

فضای رویدادهای ابتدایی nآزمایشات برنولی Ω شامل 2 nرویدادهای ابتدایی، که توالی (زنجیره) از nنمادهای Y و H. هر رویداد ابتدایی یکی از نتایج احتمالی دنباله است nآزمایشات برنولی از آنجایی که آزمون ها مستقل هستند، بنابراین، طبق قضیه ضرب، احتمالات ضرب می شوند، یعنی احتمال هر دنباله خاص حاصلضرب با جایگزین کردن نمادهای U و H توسط پو qبه ترتیب، به عنوان مثال: آر( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

توجه داشته باشید که نتیجه آزمون برنولی اغلب با 1 و 0 نشان داده می شود و سپس رویداد ابتدایی در دنباله nتست های برنولی - زنجیره ای متشکل از صفر و یک وجود دارد. به عنوان مثال:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

آزمایشات برنولی مهمترین طرحی است که در نظریه احتمال در نظر گرفته شده است. این طرح به افتخار ریاضیدان سوئیسی جی. برنولی (1654-1705) نامگذاری شده است که این مدل را به طور عمیق در آثار خود مورد مطالعه قرار داده است.

مشکل اصلی که در اینجا مورد توجه ما خواهد بود این است: احتمال وقوع این رویداد چقدر است nآزمایشات برنولی اتفاق افتاد مترموفقیت؟

اگر این شرایط برآورده شود، این احتمال وجود دارد که در طول آزمایشات مستقل، یک رویداد دقیقا رعایت خواهد شد متر بار (مهم نیست در کدام آزمایش)، توسط فرمول برنولی:

(21.1)

جایی که - احتمال وقوع در هر آزمون، و
احتمال این است که در یک تجربه معین یک رویداد اتفاق نیفتاد.

اگر در نظر بگیریم پ n (متر)به عنوان یک تابع متر، سپس یک توزیع احتمال را تعریف می کند که به آن دو جمله ای می گویند. بیایید این رابطه را بررسی کنیم پ n (متر)از جانب متر, 0£ متر£ n.

تحولات بمتر ( متر = 0, 1, ..., n) متشکل از تعداد متفاوتی از وقوع رویداد ولیکه در nتست ها، ناسازگار هستند و یک گروه کامل را تشکیل می دهند. در نتیجه،
.

نسبت را در نظر بگیرید:

=
=
=
.

از این رو نتیجه می شود که پ n (m+1)>پ n (متر)،اگر (ن- m) p> (m+1)q، یعنی عملکرد پ n (م) افزایش می یابد اگر متر< np- q. به همین ترتیب، پ n (m+1)< پ n (متر)،اگر (ن- m) p< (m+1)q، یعنی پ n (متر)کاهش می یابد اگر متر> np- q.

بنابراین یک عدد وجود دارد متر 0، که در آن پ n (متر)به بالاترین مقدار خود می رسد. بیایید پیدا کنیم متر 0 .

با توجه به معنی عدد متر 0 داریم پ n (م 0)³ پ n (م 0 -1) و پ n (م 0) ³ پ n (م 0 +1)، از این رو

, (21.2)

. (21.3)

حل نابرابری های (21.2) و (21.3) نسبت به متر 0، دریافت می کنیم:

پ/ متر 0 ³ q/(n- متر 0 +1) Þ متر 0 £ np+ پ,

q/(n- متر 0 ) ³ پ/(متر 0 +1) Þ متر 0 ³ np- q.

پس عدد مورد نظر متر 0 نابرابری ها را برآورده می کند

np- q£ متر 0 £ np+p. (21.4)

زیرا پ+q=1، سپس طول بازه تعریف شده توسط نابرابری (21.4) برابر با یک است و حداقل یک عدد صحیح وجود دارد. متر 0 ارضا کننده نابرابری ها (21.4):

1) اگر np - qیک عدد صحیح است، پس دو مقدار وجود دارد متر 0، یعنی: متر 0 = np - qو متر 0 = np - q + 1 = np + پ;

2) اگر np - q- کسری، پس یک عدد وجود دارد متر 0، یعنی تنها عدد صحیح بین اعداد کسری به دست آمده از نامساوی (21.4).

3) اگر npیک عدد صحیح است، پس یک عدد وجود دارد متر 0، یعنی متر 0 = np.

عدد متر 0 به محتمل ترین یا محتمل ترین مقدار (تعداد) وقوع رویداد گفته می شود آدر یک سری از nتست های مستقل