Dsv x توسط قانون توزیع داده می شود. متغیرهای تصادفی گسسته

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "متغیرهای تصادفی".

یک وظیفه 1 . 100 بلیط در قرعه کشی صادر شده است. یک برد 50 دلاری بازی شد. و ده برد هر کدام 10 دلار. قانون توزیع مقدار X - هزینه یک سود احتمالی را پیدا کنید.

راه حل. مقادیر احتمالی X: x 1 = 0; ایکس 2 = 10 و x 3 = 50. از آنجایی که 89 بلیط «خالی» وجود دارد، پس ص 1 = 0.89، احتمال برنده شدن 10 c.u است. (10 بلیط) - ص 2 = 0.10 و برای برد 50 c.u. -پ 3 = 0.01. به این ترتیب:

	0,89	0,10	0,01

کنترل آسان: .

یک وظیفه 2. احتمال اینکه خریدار از قبل با تبلیغات محصول آشنا شده باشد 0.6 است (p = 0.6). کنترل کیفیت انتخابی تبلیغات توسط خریداران نظرسنجی قبل از اولین کسی که آگهی را از قبل مطالعه کرده است انجام می شود. یک سری توزیع از تعداد خریداران مصاحبه شده انجام دهید.

راه حل. با توجه به شرط مسئله p = 0.6. از: q=1 -p = 0.4. با جایگزینی این مقادیر، دریافت می کنیم:و یک سری توزیع بسازید:

پی		0,24

یک وظیفه 3. یک کامپیوتر از سه عنصر مستقل تشکیل شده است: یک واحد سیستم، یک مانیتور و یک صفحه کلید. با یک افزایش شدید ولتاژ، احتمال خرابی هر عنصر 0.1 است. بر اساس توزیع برنولی، قانون توزیع را برای تعداد عناصر خراب در طول موج برق در شبکه ترسیم کنید.

راه حل. در نظر گرفتن توزیع برنولی(یا دو جمله ای): احتمال اینکه در n تست ها، رویداد A دقیقا ظاهر می شودک یک بار: ، یا:

	q n					پ n

AT بیایید به وظیفه برگردیم

مقادیر احتمالی X (تعداد خرابی):

x 0 = 0 - هیچ یک از عناصر شکست خورد.

x 1 = 1 - شکست یک عنصر.

x 2 = 2 - شکست دو عنصر.

x 3 = 3 - شکست همه عناصر.

از آنجایی که، بر اساس شرط، p = 0.1، سپس q = 1 - p = 0.9. با استفاده از فرمول برنولی به دست می آوریم

, ,

, .

کنترل: .

بنابراین، قانون توزیع مطلوب:

	0,729	0,243	0,027	0,001

وظیفه 4. تولید 5000 گلوله احتمال اینکه یک کارتریج معیوب باشد . احتمال اینکه دقیقاً 3 کارتریج معیوب در کل دسته وجود داشته باشد چقدر است؟

راه حل. مناسب توزیع پواسون: این توزیع برای تعیین احتمال اینکه با توجه به مقدار بسیار بزرگ استفاده می شود

تعداد آزمایشات (آزمایش انبوه)، که در هر یک از آنها احتمال رویداد A بسیار کم است، رویداد A k بار رخ می دهد: ، جایی که .

در اینجا n \u003d 5000، p \u003d 0.0002، k \u003d 3. ما پیدا می کنیم، سپس احتمال مورد نظر: .

وظیفه 5. هنگام شلیک قبل از اولین ضربه با احتمال برخورد p = 0.6 برای شلیک، باید احتمال وقوع ضربه در شلیک سوم را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید توزیع هندسی را اعمال کنیم: let تست های مستقل، که در هر کدام رویداد A احتمال وقوع p را دارد (و عدم وقوع q = 1 – p). آزمایشات به محض وقوع رویداد A پایان می یابند.

در چنین شرایطی، احتمال وقوع رویداد A در آزمون k با فرمول تعیین می شود: در اینجا p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4؛ k \u003d 3. بنابراین، .

وظیفه 6. اجازه دهید قانون توزیع یک متغیر تصادفی X داده شود:

پیدا کردن ارزش مورد انتظار.

راه حل. .

توجه داشته باشید که معنای احتمالی انتظار ریاضی، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است.

وظیفه 7. واریانس یک متغیر تصادفی X را با قانون توزیع زیر پیدا کنید:

راه حل. اینجا .

قانون توزیع مربع X 2 :

ایکس 2

واریانس مورد نیاز: .

پراکندگی درجه انحراف (پراکندگی) یک متغیر تصادفی را از انتظارات ریاضی آن مشخص می کند.

وظیفه 8. اجازه دهید مقدار تصادفیبر اساس توزیع داده شده است:

			10 متر

پیداش کن ویژگی های عددی.

راه حل: m, m 2 ,

م 2 ، م.

در مورد یک متغیر تصادفی X می توان گفت - انتظار ریاضی آن 6.4 متر با واریانس 13.04 متر است. 2 ، یا - انتظار ریاضی آن 6.4 متر با انحراف m است. فرمول دوم واضح تر است.

یک وظیفه 9. مقدار تصادفیایکس توسط تابع توزیع داده شده است:
.

این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمایش، مقدار X مقدار موجود در بازه را به خود بگیرد. .

راه حل. احتمال اینکه X از یک بازه معین مقداری بگیرد برابر است با افزایش تابع انتگرال در این بازه، یعنی. . در مورد ما و بنابراین

.

یک وظیفه 10. متغیر تصادفی گسستهایکس توسط قانون توزیع ارائه شده است:

تابع توزیع را پیدا کنید F(x ) و نمودار آن را بسازید.

راه حل. زیرا تابع توزیع,

برای ، سپس

در ;

در ;

در ;

در ;

نمودار مربوطه:

وظیفه 11.متغیر تصادفی پیوستهایکس توسط تابع توزیع دیفرانسیل ارائه شده است: .

احتمال ضربه را پیدا کنید X به فاصله

راه حل. توجه داشته باشید که این یک مورد خاص از قانون توزیع نمایی است.

بیایید از فرمول استفاده کنیم: .

یک وظیفه 12. مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی گسسته X را که توسط قانون توزیع داده شده است، بیابید:

	–5
	X 2: x2 . , جایی که تابع لاپلاس است. مقادیر این تابع با استفاده از جدول پیدا می شود. در مورد ما: . با توجه به جدول پیدا می کنیم:، بنابراین:

متغیر تصادفیمتغیری نامیده می شود که در نتیجه هر آزمون، بسته به دلایل تصادفی، یک مقدار ناشناخته قبلی را به خود می گیرد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ نشان داده می شوند با حروف لاتین: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ متغیرهای تصادفی می توانند باشند گسستهو مداوم.

متغیر تصادفی گسسته- این یک متغیر تصادفی است که مقادیر آن نمی تواند بیش از قابل شمارش باشد، یعنی محدود یا قابل شمارش. شمارش پذیری به این معنی است که مقادیر یک متغیر تصادفی قابل شمارش است.

مثال 1 . اجازه دهید مثال هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را بیاوریم:

الف) تعداد ضربه به هدف با شلیک $n$، در اینجا مقادیر ممکن $0،\ 1،\ \dots،\ n$ هستند.

ب) تعداد نشان هایی که هنگام پرتاب سکه افتادند، در اینجا مقادیر ممکن $0,\ 1,\ \dots,\ n$ هستند.

ج) تعداد کشتی هایی که وارد کشتی شده اند (مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش).

د) تعداد تماس هایی که به صرافی می رسد (مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش).

1. قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته.

یک متغیر تصادفی گسسته $X$ می‌تواند مقادیر $x_1,\dots,\ x_n$ را با احتمالات $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ بگیرد. مطابقت بین این مقادیر و احتمالات آنها نامیده می شود قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. به عنوان یک قاعده، این مکاتبات با استفاده از جدولی مشخص می شود که در خط اول آن مقادیر $x_1،\dots،\ x_n$ نشان داده شده است و در خط دوم احتمالات مربوط به این مقادیر $ است. p_1،\dots،\ p_n$.

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(آرایه)$

مثال 2 . اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد نقاط پرتاب شده در هنگام ریختن تاس باشد. چنین متغیر تصادفی $X$ می تواند طول بکشد مقادیر زیر$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. احتمالات همه این مقادیر برابر با 1/6 دلار است. سپس قانون توزیع احتمال برای متغیر تصادفی $X$:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(آرایه)$

اظهار نظر. از آنجایی که در قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ رویدادهای $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ شکل می‌گیرند. گروه کاملرویدادها، پس مجموع احتمالات باید برابر با یک باشد، یعنی $\sum(p_i)=1$.

2. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفیمقدار "مرکزی" آن را مشخص می کند. برای یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی به عنوان مجموع حاصل از مقادیر $x_1،\dots،\ x_n$ و احتمالات $p_1،\dots،\ p_n$ مربوط به این مقادیر محاسبه می‌شود، به عنوان مثال: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. در ادبیات انگلیسی از علامت دیگری $E\left(X\right)$ استفاده می شود.

ویژگی های انتظار$M\چپ(X\راست)$:

1. $M\left(X\right)$ بین کوچکترین و بالاترین ارزش هامتغیر تصادفی $X$.
2. انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت، یعنی. $M\left(C\right)=C$.
3. عامل ثابت را می توان از علامت انتظار خارج کرد: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

مثال 3 . بیایید انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ را از مثال $2$ پیدا کنیم.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

می توانیم متوجه شویم که $M\left(X\right)$ بین کوچکترین ($1$) و بزرگترین ($6$) مقادیر متغیر تصادفی $X$ قرار دارد.

مثال 4 . مشخص است که انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ برابر است با $M\left(X\right)=2$. انتظارات ریاضی متغیر تصادفی $3X+5$ را بیابید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ دریافت می کنیم. cdot 2 +5=11$.

مثال 5 . مشخص است که انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ برابر است با $M\left(X\right)=4$. انتظارات ریاضی متغیر تصادفی $2X-9$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ دریافت می کنیم. cdot 4 -9=-1$.

3. پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته.

مقادیر احتمالی متغیرهای تصادفی با انتظارات ریاضی برابر می توانند به طور متفاوتی در اطراف مقادیر متوسط ​​آنها پراکنده شوند. مثلا در دو گروه دانشجویی معدلبرای امتحان در تئوری احتمال برابر با 4 بود ، اما در یک گروه همه دانش آموزان خوبی بودند و در گروه دیگر - فقط سه نفر و دانش آموزان ممتاز. بنابراین، نیاز به چنین مشخصه عددی یک متغیر تصادفی وجود دارد که گستردگی مقادیر یک متغیر تصادفی را حول انتظارات ریاضی آن نشان دهد. این ویژگی پراکندگی است.

پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته X$ است:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

در ادبیات انگلیسی از علامت $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ استفاده می شود. اغلب واریانس $D\left(X\right)$ با فرمول $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) محاسبه می شود چپ(X \راست)\راست))^2$.

خواص پراکندگی$D\چپ(X\راست)$:

1. پراکندگی همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است، یعنی. $D\left(X\راست)\ge 0$.
2. پراکندگی از یک ثابت برابر با صفر است، یعنی. $D\left(C\right)=0$.
3. ضریب ثابت را می توان از علامت پراکندگی خارج کرد، مشروط بر اینکه مربع باشد، یعنی. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها، یعنی. $D\left(X+Y\right)=D\چپ(X\راست)+D\چپ(Y\راست)$.
5. واریانس تفاوت متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها، یعنی. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

مثال 6 . اجازه دهید واریانس متغیر تصادفی $X$ را از مثال $2$ محاسبه کنیم.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\راست))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\راست))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\راست))^2=((35)\over (12))\تقریبا 2.92.$$

مثال 7 . مشخص است که واریانس متغیر تصادفی $X$ برابر است با $D\left(X\right)=2$. واریانس متغیر تصادفی $4X+1$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= را پیدا می کنیم 16D\ چپ(X\راست)=16\cdot 2=32$.

مثال 8 . مشخص است که واریانس $X$ برابر است با $D\left(X\right)=3$. واریانس متغیر تصادفی $3-2X$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= را پیدا می کنیم 4D\ چپ(X\راست)=4\cdot 3=12$.

4. تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته.

روش نمایش یک متغیر تصادفی گسسته در قالب یک سری توزیع، تنها روش نیست و مهمتر از همه، جهانی نیست، زیرا یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان با استفاده از یک سری توزیع مشخص کرد. راه دیگری برای نشان دادن یک متغیر تصادفی وجود دارد - تابع توزیع.

تابع توزیعمتغیر تصادفی $X$ یک تابع $F\left(x\right)$ است که احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقداری کمتر از مقدار ثابت $x$، یعنی $F\left(x\) را تعیین می کند. راست)$ )=P\چپ(X< x\right)$

ویژگی های تابع توزیع:

1. $0\le F\چپ(x\راست)\le 1$.
2. احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقادیری را از بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ بگیرد برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع توزیع در انتهای این بازه : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - بدون کاهش.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \right)=1\ )$.

مثال 9 . اجازه دهید تابع توزیع $F\left(x\right)$ را برای قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ از مثال $2$ پیدا کنیم.

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(آرایه)$

اگر $x\le 1$، پس واضح است که $F\left(x\right)=0$ (شامل $x=1$$F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

اگر 1 دلار< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

اگر 2 دلار< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

اگر 3 دلار< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

اگر 4 دلار< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

اگر 5 دلار< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

اگر $x > 6$، آنگاه $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\راست) + P\left(X=4\راست)+P\left(X=5\راست)+P\چپ(X=6\راست)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

بنابراین $F(x)=\left\(\begin(ماتریس)
0،\ در\ x\le 1،\\
1/6، در \ 1< x\le 2,\\
1/3،\ در\ 2< x\le 3,\\
1/2، در \ 3< x\le 4,\\
2/3،\ در\ 4< x\le 5,\\
5/6، \ در \ 4< x\le 5,\\
1،\ برای \ x > 6.
\end(ماتریس)\right.$

همانطور که مشخص است، متغیر تصادفی تماس گرفت متغیر، که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی به خود بگیرد. متغیرهای تصادفی نشان می دهند حروف بزرگالفبای لاتین (X، Y، Z) و مقادیر آنها با حروف کوچک مربوطه (x، y، z) است. متغیرهای تصادفی به دو دسته ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند.

متغیر تصادفی گسسته یک متغیر تصادفی نامیده می شود که فقط مجموعه ای محدود یا نامتناهی (قابل شمارش) از مقادیر با احتمالات غیر صفر معین را می گیرد.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابعی است که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوط به آنها مرتبط می کند. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد.

1 . قانون توزیع را می توان با جدول ارائه کرد:

که در آن λ> 0، k = 0، 1، 2، ….

که در)با استفاده از تابع توزیع F(x) ، که برای هر مقدار x این احتمال را تعیین می کند که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x بگیرد، یعنی. F(x) = P(X< x).

ویژگی های تابع F(x)

3 . قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی تنظیم کرد - چند ضلعی توزیع (چند ضلعی) (مشکل 3 را ببینید).

توجه داشته باشید که برای رفع برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد، دانستن یک یا چند عدد که مهمترین ویژگی های قانون توزیع را منعکس می کند، کافی است. این می تواند عددی باشد که معنای "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد یا عددی باشد که اندازه متوسط ​​انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط ​​آن را نشان می دهد. اعدادی از این نوع را مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می نامند.

ویژگی های عددی پایه یک متغیر تصادفی گسسته :

• انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی گسسته M(X)=Σ x i p i.
  برای توزیع دو جمله ای M(X)=np، برای توزیع پواسون M(X)=λ
• پراکندگی متغیر تصادفی گسسته D(X)=M2یا D(X) = M(X 2) - 2. تفاوت X–M(X) را انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن می گویند.
  برای توزیع دو جمله ای D(X)=npq، برای توزیع پواسون D(X)=λ
• انحراف معیار (انحراف معیار) σ(X)=√D(X).

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته"

وظیفه 1.

صادر شده 1000 بلیط بخت آزمایی: 5 نفر از آنها 500 روبل، 10 - 100 روبل، 20 - 50 روبل، 50 - 10 روبل برنده می شوند. قانون توزیع احتمال متغیر تصادفی X - برد در هر بلیط را تعیین کنید.

راه حل. با توجه به شرایط مسئله، مقادیر زیر برای متغیر تصادفی X ممکن است: 0، 10، 50، 100 و 500.

تعداد بلیت های بدون برنده شدن 1000 - (5+10+20+50) = 915، سپس P(X=0) = 915/1000 = 0.915 است.

به طور مشابه، ما همه احتمالات دیگر را پیدا می کنیم: P(X=0) = 50/1000=0.05، P(X=50) = 20/1000=0.02، P(X=100) = 10/1000=0.01، P(X = 500) = 5/1000 = 0.005. قانون به دست آمده را در قالب یک جدول ارائه می کنیم:

انتظار ریاضی X را بیابید: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

وظیفه 3.

این دستگاه از سه عنصر مستقل تشکیل شده است. احتمال شکست هر عنصر در یک آزمایش 0.1 است. یک قانون توزیع برای تعداد عناصر شکست خورده در یک آزمایش ترسیم کنید، یک چند ضلعی توزیع بسازید. تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته را بیابید.

راه حل. 1. متغیر تصادفی گسسته X=(تعداد عناصر ناموفق در یک آزمایش) مقادیر ممکن زیر را دارد: x 1 = 0 (هیچ یک از عناصر دستگاه شکست خورد)، x 2 = 1 (یک عنصر شکست خورد)، x 3 =2 ( دو عنصر ناموفق ) و x 4 \u003d 3 (سه عنصر ناموفق بود).

خرابی عناصر مستقل از یکدیگر است، احتمال خرابی هر عنصر با یکدیگر برابر است، بنابراین قابل اجرا است. فرمول برنولی . با توجه به اینکه با شرط n=3، p=0.1، q=1-p=0.9، احتمال مقادیر را تعیین می کنیم:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
بررسی کنید: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

بنابراین، مورد نظر قانون دوجمله ایتوزیع X به شکل زیر است:

در محور آبسیسا، مقادیر ممکن x i و در محور ارتین، احتمالات مربوطه р i را رسم می کنیم. بیایید نقاط M 1 (0؛ 0.729)، M 2 (1؛ 0.243)، M 3 (2؛ 0.027)، M 4 (3؛ 0.001) را بسازیم. با اتصال این نقاط با پاره خط، چند ضلعی توزیع مورد نظر را بدست می آوریم.

3. تابع توزیع F(x) = P(X را پیدا کنید

برای x ≤ 0 داریم F(x) = P(X<0) = 0;
برای 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
برای 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
برای 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
برای x > 3 F(x) = 1 خواهد بود، زیرا واقعه قطعی است

نمودار تابع F(x)

4. برای توزیع دوجمله ای X:
- انتظارات ریاضی М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- پراکندگی D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- میانگین انحراف معیارσ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

تعریف 2.3. یک متغیر تصادفی که با X نشان داده می شود، اگر مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر را بگیرد، گسسته نامیده می شود. مجموعه یک مجموعه محدود یا قابل شمارش است.

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیرید.

1. دو سکه یکبار پرتاب می شود. تعداد نشان ها در این آزمایش یک متغیر تصادفی است ایکس. مقادیر ممکن آن 0،1،2 است، یعنی. مجموعه ای محدود است

2. تعداد تماس‌های آمبولانس در یک بازه زمانی مشخص ثبت می‌شود. مقدار تصادفی ایکس- تعداد تماس ها مقادیر احتمالی آن 0، 1، 2، 3، ... است، یعنی. =(0,1,2,3,...) یک مجموعه قابل شمارش است.

3. 25 دانش آموز در گروه هستند. در یک روز، تعداد دانش آموزانی که به کلاس ها آمده اند ثبت می شود - یک متغیر تصادفی ایکس. مقادیر ممکن آن عبارتند از: 0، 1، 2، 3، ...، 25 یعنی. =(0، 1، 2، 3، ...، 25).

اگرچه تمام 25 نفر در مثال 3 نمی توانند کلاس ها را از دست بدهند، اما متغیر تصادفی است ایکسمی تواند این مقدار را بگیرد. این بدان معنی است که مقادیر یک متغیر تصادفی احتمالات متفاوتی دارند.

یک مدل ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید.

اجازه دهید یک آزمایش تصادفی انجام شود که مربوط به فضای محدود یا قابل شمارش رویدادهای ابتدایی است. اجازه دهید نگاشت این فضا را بر روی مجموعه اعداد واقعی در نظر بگیریم، به عنوان مثال، ما هر رویداد ابتدایی را با یک عدد واقعی مرتبط می‌کنیم. مجموعه اعداد در این مورد می تواند متناهی یا قابل شمارش باشد، یعنی. یا

سیستم زیرمجموعه‌ها که شامل هر زیرمجموعه‌ای از جمله یک نقطه‌ای است، یک جبر از یک مجموعه عددی (به طور محدود یا قابل شمارش) را تشکیل می‌دهد.

از آنجایی که هر رویداد ابتدایی با احتمالات خاصی همراه است p i(در مورد همه متناهی)، و سپس می توانیم به هر مقدار از متغیر تصادفی یک احتمال مشخص نسبت دهیم. p i، به طوری که .

اجازه دهید ایکسیک عدد واقعی دلخواه است. مشخص کن R X (x)احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسارزشی برابر با ایکس، یعنی P X (x) \u003d P (X \u003d x). سپس تابع R X (x)فقط برای آن ارزش ها می تواند مقادیر مثبت بگیرد ایکس، که به یک مجموعه محدود یا قابل شمارش تعلق دارند و برای تمام مقادیر دیگر، احتمال این مقدار P X (x)=0.

بنابراین مجموعه مقادیر - جبر را به عنوان سیستمی از هر زیر مجموعه و برای هر رویداد تعریف کرده ایم ( X=x) احتمال را مقایسه کرد برای هر، یعنی یک فضای احتمال ایجاد کرد.

به عنوان مثال، فضای رویدادهای ابتدایی آزمایشی که شامل دو بار انداختن یک سکه متقارن است از چهار رویداد ابتدایی تشکیل شده است:

هنگامی که یک سکه دو بار پرتاب شد، دو مشبک از بین رفت. هنگامی که یک سکه دو بار پرتاب شد، دو نشان بیرون افتاد.

روی اولین پرتاب سکه، یک رنده بیرون می‌افتد و روی دوم، یک نشان.

در اولین پرتاب سکه، نشان بیرون افتاد و در دومی، رنده.

اجازه دهید متغیر تصادفی ایکستعداد انصراف های شبکه است. در و مجموعه ای از مقادیر آن تعریف شده است . همه زیر مجموعه های ممکن، از جمله زیر مجموعه های یک نقطه ای، یک جبر را تشکیل می دهند، یعنی. =(Ø، (1)، (2)، (0،1)، (0،2)، (1،2)، (0،1،2)).

احتمال وقوع یک رویداد ( X=x i}, і = 1،2،3، آن را به عنوان احتمال وقوع یک رویداد که نمونه اولیه آن است تعریف می کنیم:

بنابراین، در رویدادهای ابتدایی ( X = x i) یک تابع عددی تنظیم کنید R X، بنابراین .

تعریف 2.4. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته مجموعه ای از جفت اعداد است (xi، p i)، که x i مقادیر ممکن متغیر تصادفی است، و p i احتمالاتی است که با آن این مقادیر را می گیرد، و .

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته، جدولی است که مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه را فهرست می کند:

			…		…
			…		…

به چنین جدولی ردیف توزیع می گویند. برای بصری بیشتر سریال توزیع، به صورت گرافیکی به تصویر کشیده شده است: روی محور اوهنقطه بگذارید x iو از آنها عمود بر طول بکشید p i. نقاط حاصل به هم متصل شده و چند ضلعی به دست می آید که یکی از اشکال قانون توزیع است (شکل 2.1).

بنابراین، برای تنظیم یک متغیر تصادفی گسسته، باید مقادیر و احتمالات مربوطه را تنظیم کنید.

مثال 2.2.هر بار که یک سکه با یک احتمال رها می شود، پذیرنده نقدی دستگاه فعال می شود آر. وقتی کار کرد، سکه ها پایین نمی آیند. اجازه دهید ایکس- تعداد سکه هایی که باید قبل از فعال شدن پذیرنده نقدی دستگاه کاهش یابد. یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی گسسته بسازید ایکس.

راه حل.مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی ایکس: x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2، ...، x k \u003d k، ...بیایید احتمالات این مقادیر را پیدا کنیم: ص 1احتمال این است که کشو پول در اولین فرود کار کند، و p 1 = p; ص 2 -احتمال اینکه دو تلاش انجام شود. برای این کار لازم است: 1) در اولین تلاش، گیرنده پول کار نکند. 2) در تلاش دوم - کار کرد. احتمال این اتفاق است (1-r)r. به همین ترتیب و غیره، . محدوده توزیع ایکسشکل خواهد گرفت

	1	2	3	…	به	…
	آر	qp	q 2 p		q r -1 p

توجه داشته باشید که احتمالات r بهیک تصاعد هندسی با مخرج تشکیل دهید: 1–p=q, q<1, بنابراین این توزیع احتمال نامیده می شود هندسی.

اجازه دهید فرض کنیم که یک مدل ریاضی ساخته شده است آزمایش توسط یک متغیر تصادفی گسسته توصیف شده است ایکس، و محاسبه احتمالات وقوع حوادث دلخواه را در نظر بگیرید.

اجازه دهید یک رویداد دلخواه شامل مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر باشد x i: A= {x 1، x 2،...، x i، ...) .رویداد ولیرا می توان به عنوان اتحادی از رویدادهای ناسازگار به شکل : . سپس با استفاده از اصل 3 کلموگروف , ما گرفتیم

از آنجایی که احتمال وقوع حوادث را برابر با احتمال وقوع حوادثی که نمونه اولیه آنها هستند تعیین کرده ایم. این به این معنی است که احتمال هر رویداد ، ، را می توان با فرمول محاسبه کرد ، زیرا این رویداد را می توان به عنوان یک اتحاد از رویدادها نشان داد ، که در آن .

سپس تابع توزیع F(х) = Р(-<Х<х) طبق فرمول یافت می شود. نتیجه این است که تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ایکسناپیوسته است و در پرش ها افزایش می یابد، یعنی یک تابع پله ای است (شکل 2.2):

اگر مجموعه متناهی باشد، تعداد جمله های فرمول محدود است و اگر قابل شمارش باشد، تعداد عبارت ها نیز قابل شمارش است.

مثال 2.3.دستگاه فنی از دو عنصر تشکیل شده است که مستقل از یکدیگر کار می کنند. احتمال خرابی عنصر اول در زمان T 0.2 و احتمال خرابی عنصر دوم 0.1 است. مقدار تصادفی ایکس- تعداد عناصر شکست خورده در زمان T. تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

راه حل.فضای رویدادهای ابتدایی آزمایش، که شامل بررسی قابلیت اطمینان دو عنصر از یک دستگاه فنی است، توسط چهار رویداد ابتدایی تعیین می‌شود، , , : - هر دو عنصر در نظم خوبی هستند. - عنصر اول قابل استفاده است، دومی معیوب است. - عنصر اول معیوب است، دومی قابل استفاده است. - هر دو عنصر معیوب هستند. هر یک از رویدادهای ابتدایی را می توان در قالب رویدادهای ابتدایی فضاها بیان کرد و ، جایی که - اولین عنصر قابل سرویس است. - عنصر اول از کار افتاده است. - عنصر دوم قابل استفاده است. - عنصر دوم از کار افتاده است. سپس، و از آنجایی که عناصر دستگاه فنی مستقل از یکدیگر کار می کنند، پس

8. احتمال اینکه مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته به بازه تعلق داشته باشد چقدر است؟

تصادفی گسستهمتغیرها به متغیرهای تصادفی گفته می‌شوند که فقط مقادیری را می‌گیرند که از یکدیگر دور هستند و می‌توان آن‌ها را از قبل شمارش کرد.
قانون توزیع
قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات متناظر آنها رابطه برقرار می کند.
محدوده توزیع یک متغیر تصادفی گسسته فهرستی از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابع نامیده می شود:
,
که برای هر مقدار آرگومان x این احتمال را تعیین می کند که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از این x بگیرد.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته
,
مقدار یک متغیر تصادفی گسسته کجاست. - احتمال پذیرش مقادیر X متغیر تصادفی.
اگر یک متغیر تصادفی مجموعه ای قابل شمارش از مقادیر ممکن را بگیرد، آنگاه:
.
انتظارات ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در n آزمایش مستقل:
,

پراکندگی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته
پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته:
یا .
واریانس تعداد وقوع یک رویداد در n کارآزمایی مستقل
,
که در آن p احتمال وقوع رویداد است.
انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته:
.

مثال 1
قانون توزیع احتمال را برای یک متغیر تصادفی گسسته (d.r.v.) X بسازید - عدد k حداقل یک "شش" در n = 8 پرتاب یک جفت تاس. چند ضلعی توزیع را رسم کنید. مشخصه های عددی توزیع (حالت توزیع، انتظار ریاضی M(X)، واریانس D(X)، انحراف معیار s(X)) را بیابید. راه حل:بیایید نماد را معرفی کنیم: رویداد A - "در حین پرتاب یک جفت تاس، شش حداقل یک بار ظاهر شدند." برای یافتن احتمال P(A) = p رویداد A، راحت‌تر است ابتدا احتمال P(Ā) = q رویداد مقابل Ā را پیدا کنید - "هنگام پرتاب یک جفت تاس، شش تاس حتی ظاهر نشدند. یک بار".
از آنجایی که احتمال عدم نمایش "شش" هنگام پرتاب یک قالب 5/6 است، پس با قضیه ضرب احتمال
P(Ā) = q = = .
به ترتیب،
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
آزمایش‌های موجود در مسئله طبق طرح برنولی انجام می‌شود؛ بنابراین، d.r.v. اندازه ایکس- عدد کحذف حداقل یک شش در هنگام پرتاب دو تاس از قانون دوجمله ای توزیع احتمال تبعیت می کند:

که در آن = تعداد ترکیبات از nبر ک.

راحت است که محاسبات انجام شده برای این مشکل را در قالب یک جدول ترتیب دهید:
توزیع احتمال d.r.v. ایکس º ک (n = 8; پ = ; q = )

ک
پ.ن(ک)

چند ضلعی (چند ضلعی) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته ایکسدر شکل نشان داده شده است:

برنج. چندضلعی توزیع احتمال d.r.v. ایکس=ک.
خط عمودی انتظارات ریاضی توزیع را نشان می دهد م(ایکس).

اجازه دهید ویژگی های عددی توزیع احتمال d.r.v را پیدا کنیم. ایکس. حالت توزیع 2 است (اینجا پ 8 (2) = 0.2932 حداکثر). انتظارات ریاضی طبق تعریف عبارتند از:
م(ایکس) = = 2,4444,
جایی که xk = کمقدار پذیرفته شده توسط d.r.v است. ایکس. پراکندگی D(ایکس) توزیع ها را با فرمول پیدا می کنیم:
D(ایکس) = = 4,8097.
انحراف استاندارد (RMS):
s( ایکس) = = 2,1931.

مثال 2
متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع ارائه شده است

تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید.

راه حل.اگر، پس (مشخصیت سوم).
اگر پس از آن . واقعا، ایکسمی تواند مقدار 1 را با احتمال 0.3 بگیرد.
اگر پس از آن . در واقع، اگر نابرابری را برآورده کند
، آنگاه برابر است با احتمال وقوع رویدادی که می توان آن را زمانی انجام داد ایکسمقدار 1 (احتمال این رویداد 0.3 است) یا مقدار 4 (احتمال این رویداد 0.1 است) را می گیرد. از آنجایی که این دو رویداد با هم ناسازگار هستند، پس بر اساس قضیه جمع، احتمال یک رویداد برابر است با مجموع احتمالات 0.3 + 0.1=0.4. اگر پس از آن . در واقع، واقعه مسلم است، بنابراین، احتمال آن برابر با یک است. بنابراین، تابع توزیع را می توان به صورت تحلیلی به صورت زیر نوشت:

نمودار این تابع:
اجازه دهید احتمالات مربوط به این مقادیر را پیدا کنیم. با این شرایط احتمال خرابی دستگاه ها برابر است: پس احتمالات عملیاتی شدن دستگاه ها در مدت گارانتی برابر است با:




قانون توزیع به شکل زیر است: