موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

آکادمی کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

رهنمودها

در مورد بررسی موضوع "معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم" توسط دانشجویان گروه حسابداری فرم مکاتبه آموزش (NISPO)

گورکی، 2013

معادلات دیفرانسیل خطی

مرتبه دوم با ثابتضرایب

معادلات دیفرانسیل همگن خطی

یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت معادله شکل نامیده می شود

آن ها معادله ای که تابع مورد نظر و مشتقات آن را فقط تا درجه اول شامل می شود و حاصلضرب آنها را در بر نمی گیرد. در این معادله و
تعدادی اعداد و تابع هستند
در فواصل زمانی داده شده است
.

اگر یک
در فاصله زمانی
، سپس معادله (1) شکل می گیرد

, (2)

و تماس گرفت همگن خطی . در غیر این صورت معادله (1) نامیده می شود خطی ناهمگن .

تابع پیچیده را در نظر بگیرید

, (3)

جایی که
و
توابع واقعی هستند. اگر تابع (3) جواب مختلط معادله (2) باشد، قسمت واقعی آن است
، و قسمت خیالی
راه حل ها
به صورت جداگانه راه حل های مشابه هستند معادله همگن. بنابراین، هر راه حل کاملمعادله (2) دو جواب واقعی این معادله را ایجاد می کند.

راه حل های یک معادله خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

اگر یک جواب معادله (2) و سپس تابع است
، جایی که از جانب- یک ثابت دلخواه، همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر یک و جواب های معادله (2) و سپس تابع هستند
همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر یک و راه حل های معادله (2) و سپس ترکیب خطی آنها هستند
همچنین راه حلی برای معادله (2)، که در آن و
ثابت دلخواه هستند

کارکرد
و
تماس گرفت وابسته به خط در فاصله زمانی
اگر چنین اعدادی وجود داشته باشد و
، که در همان زمان برابر با صفر نیستند، که در این بازه برابری است

اگر برابری (4) فقط زمانی برقرار است که
و
، سپس توابع
و
تماس گرفت مستقل خطی در فاصله زمانی
.

مثال 1 . کارکرد
و
از آنجایی که به صورت خطی وابسته هستند
در امتداد کل خط اعداد در این مثال
.

مثال 2 . کارکرد
و
به صورت خطی در هر بازه ای مستقل هستند، زیرا برابری هستند
تنها در صورتی امکان پذیر است که و
، و
.

ساختمان راه حل مشترکهمگن خطی

معادلات

برای یافتن یک راه حل کلی برای معادله (2)، باید دو تا از راه حل های مستقل خطی آن را پیدا کنید و . ترکیب خطی این راه حل ها
، جایی که و
ثابت های دلخواه هستند و جواب کلی یک معادله همگن خطی را می دهند.

راه حل های مستقل خطی معادله (2) در فرم جستجو می شود

, (5)

جایی که - تعدادی عدد سپس
,
. اجازه دهید این عبارات را با معادله (2) جایگزین کنیم:

یا
.

زیرا
، سپس
. بنابراین تابع
جواب معادله (2) خواهد بود اگر معادله را برآورده خواهد کرد

. (6)

معادله (6) نامیده می شود معادله مشخصه برای معادله (2). این معادله یک معادله درجه دوم جبری است.

اجازه دهید و ریشه های این معادله هستند. آنها می توانند واقعی و متفاوت باشند، یا پیچیده، یا واقعی و برابر. بیایید این موارد را در نظر بگیریم.

بگذار ریشه ها و معادله مشخصهمعتبر و متفاوت سپس جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند، زیرا برابری هستند
فقط زمانی قابل انجام است
، و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد

,

جایی که و
ثابت دلخواه هستند

مثال 3
.

راه حل . معادله مشخصه برای این دیفرانسیل خواهد بود
. حل کردن آن معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا کنید
و
. کارکرد
و
راه حل های معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله شکل دارد
.

عدد مختلط بیان فرم نامیده می شود
، جایی که و اعداد واقعی هستند و
واحد خیالی نامیده می شود. اگر یک
، سپس شماره
صرفاً خیالی نامیده می شود. اگر
، سپس شماره
با یک عدد واقعی مشخص می شود .

عدد جزء واقعی عدد مختلط نامیده می شود و - قسمت خیالی اگر دو عدد مختلط فقط در علامت قسمت خیالی با یکدیگر متفاوت باشند، آنها را مزدوج می نامند:
,
.

مثال 4 . یک معادله درجه دوم را حل کنید
.

راه حل . تمایز معادله
. سپس. به همین ترتیب،
. بنابراین، این معادله درجه دوم دارای ریشه های پیچیده مزدوج است.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه پیچیده باشد، یعنی.
,
، جایی که
. راه حل های معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت
,
یا
,
. طبق فرمول های اویلر

,
.

سپس ،. همانطور که مشخص است، اگر یک تابع مختلط حل یک معادله همگن خطی باشد، جواب های این معادله هر دو بخش واقعی و خیالی این تابع هستند. بنابراین، جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. از برابری

فقط در صورتی قابل انجام است
و
، پس این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد

جایی که و
ثابت دلخواه هستند

مثال 5 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله
برای دیفرانسیل داده شده مشخص است. ما آن را حل می کنیم و ریشه های پیچیده می گیریم
,
. کارکرد
و
راه حل های مستقل خطی معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله شکل دارد.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه واقعی و مساوی باشند، یعنی.
. سپس جواب های معادله (2) توابع هستند
و
. این راه‌حل‌ها به‌طور خطی مستقل هستند، زیرا فقط زمانی که عبارت می‌تواند برابر با صفر باشد
و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد
.

مثال 6 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه
ریشه های مساوی دارد
. در این حالت، جواب های مستقل خطی معادله دیفرانسیل، توابع هستند
و
. راه حل کلی شکل دارد
.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب ثابت

و خاص سمت راست

جواب کلی معادله ناهمگن خطی (1) برابر است با مجموع جواب کلی
معادله همگن مربوطه و هر راه حل خاصی
معادله ناهمگن:
.

در برخی موارد، یک راه حل خاص از یک معادله ناهمگن را می توان به سادگی با شکل سمت راست پیدا کرد.
معادلات (1). بیایید مواردی را که ممکن است در نظر بگیریم.

آن ها سمت راست معادله ناهمگن چند جمله ای درجه است متر. اگر یک
ریشه معادله مشخصه نیست، پس باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در قالب چند جمله ای درجه جستجو کرد. متر، یعنی

شانس
در فرآیند یافتن یک راه حل خاص تعیین می شوند.

اگر
ریشه معادله مشخصه است، پس باید به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن به شکل

مثال 7 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله همگن مربوط به این معادله است
. معادله مشخصه آن
ریشه دارد
و
. جواب کلی معادله همگن شکل دارد
.

زیرا
ریشه معادله مشخصه نیست، پس ما به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن در قالب یک تابع خواهیم بود.
. مشتقات این تابع را بیابید
,
و آنها را در این معادله جایگزین کنید:

یا . ضرایب را برابر کنید و اعضای رایگان:
با حل این سیستم، دریافت می کنیم
,
. سپس راه حل خاصی از معادله ناهمگن شکل می گیرد
و جواب کلی این معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی معادله همگن مربوطه و جواب خاص معادله ناهمگن خواهد بود:
.

اجازه دهید معادله ناهمگن شکل داشته باشد

اگر یک
ریشه معادله مشخصه نیست، پس باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در فرم جستجو کرد. اگر
ریشه معادله تعدد مشخصه است ک (ک= 1 یا ک=2)، در این صورت جواب خاص معادله ناهمگن به شکل .

مثال 8 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه برای معادله همگن مربوطه دارای شکل است
. ریشه های آن
,
. در این حالت جواب کلی معادله همگن متناظر به صورت زیر نوشته می شود
.

از آنجایی که عدد 3 ریشه معادله مشخصه نیست، باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در این شکل جستجو کرد.
. بیایید مشتقات مرتبه اول و دوم را پیدا کنیم:

جایگزینی در معادله دیفرانسیل:
+ +,
+,.

ضرایب را برابر کنید و اعضای رایگان:

از اینجا
,
. سپس راه حل خاصی از این معادله شکل می گیرد
و راه حل کلی

.

روش لاگرانژ تغییر ثابت های دلخواه

روش تغییر ثابت های دلخواه را می توان برای هر معادله خطی ناهمگن با ضرایب ثابت، صرف نظر از شکل سمت راست، اعمال کرد. این روش این امکان را فراهم می کند که در صورت مشخص بودن جواب کلی معادله همگن مربوطه، همیشه یک جواب کلی برای یک معادله ناهمگن پیدا کنیم.

اجازه دهید
و
راه حل های مستقل خطی معادله (2) هستند. سپس جواب کلی این معادله است
، جایی که و
ثابت دلخواه هستند ماهیت روش تغییر ثابت های دلخواه این است که حل کلی معادله (1) به شکل جستجو می شود.

جایی که
و
- ویژگی های ناشناخته جدیدی پیدا می شود. از آنجایی که دو تابع مجهول وجود دارد، برای یافتن آنها به دو معادله حاوی این توابع نیاز است. این دو معادله سیستم را تشکیل می دهند

که یک سیستم جبری خطی از معادلات با توجه به
و
. حل این سیستم، پیدا می کنیم
و
. با ادغام هر دو بخش از برابری های به دست آمده، متوجه می شویم

و
.

با جایگزینی این عبارات به (9)، جواب کلی معادله خطی ناهمگن (1) را بدست می آوریم.

مثال 9 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل. معادله مشخصه برای معادله همگن مربوط به معادله دیفرانسیل داده شده است
. ریشه های آن پیچیده است
,
. زیرا
و
، سپس
,
و جواب کلی معادله همگن به شکل است سپس جواب کلی این معادله ناهمگن را به شکل کجا جستجو می شود
و
- توابع ناشناخته

سیستم معادلات برای یافتن این توابع مجهول شکل دارد

حل این سیستم، پیدا می کنیم
,
. سپس

,
. اجازه دهید عبارات به دست آمده را با فرمول حل کلی جایگزین کنیم:

این جواب کلی این معادله دیفرانسیل است که با روش لاگرانژ به دست می آید.

سوالاتی برای خودکنترلی دانش

کدام معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت می نامند؟

کدام معادله دیفرانسیل خطی را همگن و کدام را ناهمگن می نامند؟

خواص یک معادله همگن خطی چیست؟

چه معادله ای را مشخصه معادله دیفرانسیل خطی می نامند و چگونه به دست می آید؟

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مختلف معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت به چه صورت است ریشه های مساویمعادله مشخصه؟

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مختلط معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی معادله ناهمگن خطی چگونه نوشته می شود؟

در صورتی که ریشه های معادله مشخصه متفاوت و مساوی صفر نباشد و سمت راست معادله چند جمله ای درجه باشد، به چه شکلی به دنبال راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن خطی است. متر?

در صورتی که در بین ریشه های معادله مشخصه یک صفر وجود داشته باشد و سمت راست معادله چند جمله ای درجه باشد، به چه شکلی راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن خطی جستجو می شود. متر?

ماهیت روش لاگرانژ چیست؟

معادلات دیفرانسیلمرتبه دوم و سفارشات بالاتر
DE خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.
نمونه های راه حل

به بررسی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر می پردازیم. اگر تصور مبهمی از معادله دیفرانسیل دارید (یا اصلاً نمی دانید چیست)، توصیه می کنم با درس شروع کنید. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل. بسیاری از اصول راه حل و مفاهیم اولیه دیفرانسیل های مرتبه اول به طور خودکار به معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر گسترش می یابند، بنابراین بسیار مهم است که ابتدا معادلات مرتبه اول را درک کنید.

بسیاری از خوانندگان ممکن است تعصب داشته باشند که DE از دستورات 2، 3، و دیگر چیزی بسیار دشوار و غیرقابل دسترس برای تسلط است. این درست نیست . آموزش حل دیفیوزها مرتبه بالاتربه سختی پیچیده تر از DE های مرتبه اول "معمولی" است. و در برخی جاها حتی ساده تر است، زیرا مواد برنامه درسی مدرسه به طور فعال در تصمیم گیری ها استفاده می شود.

محبوبترین معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم. به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم لزومامشتق دوم و شامل نمی شود

لازم به ذکر است که برخی از نوزادان (و حتی به یکباره) ممکن است در معادله غایب باشند، مهم این است که پدر در خانه بوده است. ابتدایی ترین معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر است:

با توجه به مشاهدات ذهنی من، معادلات دیفرانسیل درجه سوم در کارهای عملی بسیار کمتر رایج هستند. دومای دولتیآنها حدود 3-4 درصد آرا را به دست خواهند آورد.

به یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم لزومامشتق سوم و شامل نمی شودمشتقات مرتبه بالاتر:

ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه سوم به این صورت است: - پدر در خانه است، همه بچه ها برای پیاده روی بیرون هستند.

به طور مشابه، معادلات دیفرانسیل از مرتبه های 4، 5 و بالاتر را می توان تعریف کرد. AT وظایف عملیچنین کنترل از راه دور بسیار به ندرت لغزش می کند، با این حال، من سعی خواهم کرد مثال های مرتبط را ارائه دهم.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتری که در مسائل عملی ارائه می شوند را می توان به دو گروه اصلی تقسیم کرد.

1) گروه اول - به اصطلاح معادلات درجه پایین. پرواز کن!

2) گروه دوم - معادلات خطیسفارشات بالاتر با ضرایب ثابت. که ما همین الان شروع به بررسی آن خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

در تئوری و عمل، دو نوع از این معادلات متمایز می شوند - معادله همگنو معادله ناهمگن.

DE همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابتدارای فرم زیر است:
، جایی که و ثابت هستند (اعداد)، و در سمت راست - موکداصفر

همانطور که می بینید، هیچ مشکل خاصی برای معادلات همگن وجود ندارد، نکته اصلی این است معادله درجه دوم را به درستی حل کنید.

گاهی اوقات معادلات همگن غیر استاندارد وجود دارد، به عنوان مثال، یک معادله در فرم ، جایی که در مشتق دوم مقداری ثابت وجود دارد که متفاوت از وحدت (و البته متفاوت از صفر) است. الگوریتم حل به هیچ وجه تغییر نمی کند، باید با آرامش معادله مشخصه را تنظیم کرد و ریشه های آن را پیدا کرد. اگر معادله مشخصه دو ریشه واقعی متفاوت خواهد داشت، برای مثال: ، سپس راه حل کلی را می توان به روش معمول نوشت: .

در برخی موارد، به دلیل یک اشتباه تایپی در شرایط، ریشه های "بد" می توانند ظاهر شوند، چیزی شبیه به . چه باید کرد، پاسخ باید به این صورت نوشته شود:

با ریشه های پیچیده مزدوج "بد" مانند مشکلی هم نداره، راه حل کلی:

به این معنا که، در هر صورت یک راه حل کلی وجود دارد. زیرا هر معادله درجه دوم دو ریشه دارد.

در پاراگراف پایانی، همانطور که قول داده بودم، به اختصار در نظر خواهیم گرفت:

معادلات همگن خطی مرتبه بالاتر

همه چیز بسیار بسیار شبیه است.

معادله همگن خطی مرتبه سوم به شکل زیر است:
، جایی که ثابت ها هستند.
برای این معادله نیز باید یک معادله مشخصه بسازید و ریشه های آن را پیدا کنید. معادله مشخصه، همانطور که بسیاری حدس زده اند، به این صورت است:
، و آن به هر حالاین دارد دقیقا سهریشه

به عنوان مثال، بگذارید همه ریشه ها واقعی و متمایز باشند: ، سپس راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت:

اگر یک ریشه واقعی و دو ریشه دیگر مختلط باشند، جواب کلی را به صورت زیر می نویسیم:

یک مورد خاص زمانی است که هر سه ریشه مضرب (یکسان) باشند. بیایید ساده ترین DE همگن مرتبه 3 را با یک پدر تنها در نظر بگیریم: . معادله مشخصه دارای سه ریشه صفر منطبق است. راه حل کلی را به صورت زیر می نویسیم:

اگر معادله مشخصه برای مثال دارای سه ریشه چندگانه است، سپس راه حل کلی به ترتیب عبارت است از:

مثال 9

معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم را حل کنید

راه حل:معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

، - یک ریشه واقعی و دو ریشه پیچیده مزدوج به دست می آید.

پاسخ:تصمیم مشترک

به طور مشابه، می‌توانیم یک معادله مرتبه چهارم خطی همگن با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: , جایی که ثابت‌ها هستند.

در اینجا ما از روش تغییر ثابت های لاگرانژ برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی استفاده می کنیم. توصیف همراه با جزئیاتاین روش برای حل معادلات با ترتیب دلخواه در صفحه ارائه شده است
حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه بالاتر به روش لاگرانژ >>> .

مثال 1

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را با ضرایب ثابت با استفاده از تغییرات ثابت لاگرانژ حل کنید:
(1)

راه حل

ابتدا معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم:
(2)

این یک معادله مرتبه دوم است.

معادله درجه دوم را حل می کنیم:
.
ریشه های متعدد: . سیستم اصلی حل معادله (2) به شکل زیر است:
(3) .
بنابراین جواب کلی معادله همگن (2) را بدست می آوریم:
(4) .

ثابت های C را تغییر می دهیم 1 و سی 2 . یعنی ثابت ها و در (4) را با توابع جایگزین می کنیم:
.
ما به دنبال حل معادله اصلی (1) به شکل زیر هستیم:
(5) .

مشتق را پیدا می کنیم:
.
توابع و معادله را به هم وصل می کنیم:
(6) .
سپس
.

مشتق دوم را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی (1) را جایگزین می کنیم:
(1) ;



.
از آنجایی که معادله همگن (2) را برآورده می‌کند، مجموع عبارت‌های هر ستون از سه ردیف آخر صفر است و معادله قبلی می‌شود:
(7) .
اینجا .

همراه با رابطه (6)، سیستمی از معادلات را برای تعیین توابع به دست می آوریم و:
(6) :
(7) .

حل یک سیستم معادلات

سیستم معادلات (6-7) را حل می کنیم. بیایید عباراتی برای توابع و :
.
مشتقات آنها را می یابیم:
;
.

سیستم معادلات (6-7) را با روش کرامر حل می کنیم. ما تعیین کننده ماتریس سیستم را محاسبه می کنیم:

.
با فرمول های کرامر در می یابیم:
;
.

بنابراین، مشتقاتی از توابع را پیدا کردیم:
;
.
بیایید ادغام کنیم (به روش های یکپارچه سازی ریشه ها مراجعه کنید). انجام یک تعویض
; ; ; .

.
.

;
.

پاسخ

مثال 2

معادله دیفرانسیل را با روش تغییر ضرایب لاگرانژ حل کنید:
(8)

راه حل

مرحله 1. حل معادله همگن

ما یک معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم:

(9)
به دنبال راه حل در فرم. معادله مشخصه را می سازیم:

این معادله دارای ریشه های پیچیده است:
.
سیستم اساسی راه حل های مربوط به این ریشه ها به شکل زیر است:
(10) .
حل کلی معادله همگن (9):
(11) .

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

اکنون ثابت های C را تغییر می دهیم 1 و سی 2 . یعنی ثابت های موجود در (11) را با توابع جایگزین می کنیم:
.
ما به دنبال حل معادله اصلی (8) به شکل زیر هستیم:
(12) .

علاوه بر این، روند حل مانند مثال 1 است. ما به سیستم معادلات زیر برای تعیین توابع و :
(13) :
(14) .
اینجا .

حل یک سیستم معادلات

بیایید این سیستم را حل کنیم. بیایید عبارات توابع را بنویسیم و:
.
از جدول مشتقات در می یابیم:
;
.

سیستم معادلات (13-14) را با روش کرامر حل می کنیم. تعیین کننده ماتریس سیستم:

.
با فرمول های کرامر در می یابیم:
;
.

.
از آنجایی که علامت مدول زیر علامت لگاریتم را می توان حذف کرد. صورت و مخرج را در:
.
سپس
.

حل کلی معادله اصلی:


.

معادلات دیفرانسیل مرتبه 2

§یک. روشهای کاهش ترتیب یک معادله

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به شکل زیر است:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( یا دیفرانسیل" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">معادله دیفرانسیل مرتبه دوم). مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل مرتبه دوم (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

اجازه دهید معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر باشد: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

بنابراین، معادله مرتبه دوم https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. با حل آن، بسته به دو ثابت دلخواه، انتگرال کلی معادله دیفرانسیل اصلی را به دست می آوریم: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

راه حل.

از آنجایی که هیچ استدلال صریحی در معادله اصلی وجود ندارد https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25" src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

از آنجا که https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

اجازه دهید معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر باشد: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.

مثال 2جواب کلی معادله را پیدا کنید: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. در صورت امکان تبدیل آن به شکلی که هر دو قسمت معادله مطابق https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif به مشتقات کل تبدیل شوند، ترتیب درجه کاهش می یابد. " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">، (2.1)

کجا https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - توابع از پیش تعریف شده، پیوسته در فاصله ای که در آن راه حل جستجو می شود. با فرض a0(x) ≠ 0، تقسیم بر (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

بدون دلیل فرض کنید که (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height=" 25 src=">، سپس معادله (2.2) را همگن و معادله (2.2) را ناهمگن می نامند.

اجازه دهید ویژگی های راه حل های مرتبه دوم را در نظر بگیریم.

تعریف.ترکیب خطی توابع https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">، (2.3)

سپس ترکیب خطی آنها https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> در (2.3) و نشان می دهد که نتیجه یک هویت است:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

از آنجایی که توابع https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> راه حل های معادله (2.3) هستند، پس هر یک از براکت های موجود در آخرین معادله به طور یکسان برابر با صفر است که باید ثابت شود.

نتیجه 1.از قضیه اثبات شده در https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - حل معادله (2..gif "width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> اگر هیچ یک از این توابع به صورت ترکیب خطی از همه نمایش داده نشود، در یک بازه زمانی مستقل خطی نامیده می شود. دیگران.

در صورت دو تابع https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">، یعنی..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. بنابراین، تعیین Wronsky برای دو تابع مستقل خطی نمی تواند برابر با صفر باشد.

اجازه دهید https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> معادله را برآورده می کند (2..gif" width="42" height="25 src = "> – حل معادله (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> یکسان است. بنابراین،

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">، که در آن تعیین کننده برای حل های مستقل خطی معادله (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> هر دو عامل در سمت راست فرمول (3.2) غیر صفر هستند.

§چهار. ساختار راه‌حل کلی برای لود مرتبه دوم.

قضیه.اگر https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> راه حل های خطی مستقل معادله هستند (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">راه‌حلی برای معادله (2.3) است که از قضیه خصوصیات جواب‌های لودو مرتبه دوم به دست می‌آید..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

ثابت های https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> از این سیستم معادلات جبری خطی به طور منحصر به فردی تعیین می شوند، زیرا تعیین کننده این سیستم https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src="> است:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. با توجه به پاراگراف قبل، در صورتی که دو جواب جزئی مستقل خطی از این معادله شناخته شده باشند، جواب کلی لودو مرتبه 2 به راحتی مشخص می شود. روش ساده برای یافتن جواب های جزئی معادله با ضرایب ثابت پیشنهاد شده توسط L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">، دریافت می کنیم معادله جبریکه به آن مشخصه می گویند:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> حل معادله (5.1) فقط برای آن مقادیر k خواهد بود. که ریشه های معادله مشخصه (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> و راه حل کلی (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. بررسی کنید که این تابع معادله (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> را برآورده کند. این عبارات را جایگزین کنید معادله (5.1)، دریافت می کنیم

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">، زیرا.gif" width="137" height="26 src=" >

راه حل های خصوصی https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> به صورت خطی مستقل هستند، زیرا.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

هر دو براکت در سمت چپ این برابری به طور یکسان برابر با صفر هستند..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> حل معادله (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> به شکل زیر خواهد بود:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

به عنوان مجموع راه حل کلی نشان داده شده است https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

و هر راه حل خاصی https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> راه حلی برای معادله (6.1)..gif خواهد بود. width=" 272" height="25 src="> f(x). این برابری یک هویت است زیرا..gif" width="128" height="25 src="> f(x). بنابراین.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> راه‌حل‌های مستقل خطی برای این معادله هستند. به این ترتیب:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">، و چنین تعیین کننده ای، همانطور که در بالا دیدیم، با صفر..gif" width="19" height="25 src="> از سیستم متفاوت است. معادلات (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> حل معادله خواهد بود

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> وارد معادله (6.5) می شویم.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

جایی که https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> معادله (7.1) در حالتی که سمت راست f(x) دارد نوع خاص. این روش روش ضرایب نامعین نامیده می شود و شامل انتخاب یک راه حل خاص بسته به شکل سمت راست f(x) است. قسمت های مناسب فرم زیر را در نظر بگیرید:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> ممکن است صفر باشد. اجازه دهید شکلی را که در این مورد باید راه حل خاص گرفته شود را مشخص کنیم.

الف) اگر شماره https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

راه حل.

برای معادله https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= ">.

هر دو قسمت را با https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> در قسمت چپ و راست برابری کوتاه می کنیم.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

از سیستم معادلات حاصل می‌یابیم: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> و جواب کلی معادله داده شدهوجود دارد:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

جایی که https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

راه حل.

معادله مشخصه مربوطه به شکل زیر است:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. در نهایت برای حل کلی عبارت زیر را داریم:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> عالی از صفر اجازه دهید شکل یک راه حل خاص را در این مورد نشان دهیم.

الف) اگر شماره https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src="> باشد،

که در آن https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> ریشه معادله مشخصه معادله (5..gif" عرض است ="229 "height="25 src=">,

جایی که https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

راه حل.

ریشه های معادله مشخصه برای معادله https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.

سمت راست معادله ارائه شده در مثال 3 شکل خاصی دارد: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

برای تعریف https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > و معادله داده شده را جایگزین کنید:

با آوردن عبارت‌های مشابه، معادل‌سازی ضرایب در https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

جواب کلی نهایی معادله داده شده این است: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 به ترتیب " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src=">، و یکی از این چند جمله ای ها می تواند برابر با صفر باشد. اجازه دهید شکل یک جواب خاص را در این کلی نشان دهیم. مورد.

الف) اگر شماره https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51"> باشد، (7.2)

جایی که https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

ب) اگر شماره https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> باشد، یک راه حل خاص به نظر می رسد:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. در عبارت (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

مثال 4نوع راه حل خاص معادله را مشخص کنید

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . راه حل کلی برای lod به شکل زیر است:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

ضرایب بیشتر https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > راه حل خاصی برای معادله با سمت راست f1(x) و Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">تغییرهای ثابت دلخواه (روش لاگرانژ) وجود دارد.

یافتن مستقیم یک جواب خاص برای یک خط، به جز در مورد معادله ای با ضرایب ثابت، و علاوه بر آن با عبارت های ثابت خاص، مشکلات زیادی را ایجاد می کند. بنابراین برای یافتن جواب کلی لیندو معمولاً از روش تغییر ضرایب دلخواه استفاده می شود که همیشه امکان یافتن جواب کلی لیندو را به صورت ربع می دهد. سیستم بنیادیراه حل های معادله همگن مربوطه این روش به شرح زیر است.

با توجه به موارد فوق، جواب کلی معادله همگن خطی به صورت زیر است:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ثابت نیست، اما برخی از توابع، در عین حال ناشناخته، f(x). . باید از فاصله گرفته شود. در واقع، در این حالت، تعیین کننده Wronsky در تمام نقاط بازه غیر صفر است، یعنی در کل فضا، ریشه مختلط معادله مشخصه است..gif" width="20" height="25 src= "> راه حل های خاص مستقل خطی شکل:

در فرمول حل کلی، این ریشه با بیانی از فرم مطابقت دارد.