سیستم اساسی راه حل های سیستم را پیدا کنید. مجموعه اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی

سیستم های معادلات خطی، که تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شوند همگن :

هر سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه ثابت است صفر (ناچیز ) راه حل. این سوال مطرح می شود که تحت چه شرایطی یک سیستم همگن راه حل غیرمعمولی خواهد داشت.

قضیه 5.2.یک سیستم همگن یک راه حل غیر اساسی دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس اصلی باشد تعداد کمترناشناخته های او

نتیجه. یک سیستم همگن مربعی یک راه حل غیر بدیهی دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نباشد.

مثال 5.6.مقادیر پارامتر l را که در آن سیستم دارای راه حل های بی اهمیت است، تعیین کنید و این راه حل ها را پیدا کنید:

راه حل. این سیستم زمانی که تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد یک راه حل غیر ضروری خواهد داشت:

بنابراین، زمانی که l=3 یا l=2 باشد، سیستم بی اهمیت است. برای l=3، رتبه ماتریس اصلی سیستم 1 است. سپس تنها یک معادله باقی می‌گذاریم و با فرض اینکه y=آو z=ب، ما گرفتیم x=b-a، یعنی

برای l=2، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است. سپس، مینور را به عنوان مبنای انتخاب کنید:

ما یک سیستم ساده شده دریافت می کنیم

از اینجا متوجه می شویم که x=z/4، y=z/2. باور کردن z=4آ، ما گرفتیم

مجموعه همه راه حل های یک سیستم همگن دارای اهمیت بسیار زیادی است ویژگی خطی : اگر ستون X 1 و X 2 - محلول های یک سیستم همگن AX = 0, سپس هر ترکیب خطی از آنهاآ ایکس 1 + ب ایکس 2 نیز راه حلی برای این سیستم خواهد بود. در واقع، از آن زمان تبر 1 = 0 و تبر 2 = 0 ، آن آ(آ ایکس 1 + ب ایکس 2) = الف تبر 1 + ب تبر 2 = a · 0 + b · 0 = 0. به دلیل این خاصیت است که اگر یک سیستم خطی بیش از یک جواب داشته باشد، تعداد بی نهایت از این جواب ها وجود خواهد داشت.

ستون های مستقل خطی E 1 , E 2 , E kکه محلول های یک سیستم همگن هستند نامیده می شوند سیستم اساسی راه حل ها سیستم همگن معادلات خطی اگر تصمیم مشترکاین سیستم را می توان به صورت ترکیبی خطی از این ستون ها نوشت:

اگر یک سیستم همگن داشته باشد nمتغیرها، و رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر است با r، آن ک = n-r.

مثال 5.7.سیستم اصلی حل معادلات خطی زیر را بیابید:

راه حل. بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم:

بنابراین، مجموعه راه حل های این سیستم معادلات، یک زیرفضای خطی از ابعاد را تشکیل می دهد n-r= 5 - 2 = 3. بیایید مینور را به عنوان پایه انتخاب کنیم

.

سپس با رها کردن تنها معادلات اصلی (بقیه ترکیبی خطی از این معادلات) و متغیرهای اصلی (بقیه، به اصطلاح متغیرهای آزاد را به سمت راست حرکت می دهیم)، یک سیستم ساده شده از معادلات را به دست می آوریم:

باور کردن ایکس 3 = آ, ایکس 4 = ب, ایکس 5 = ج، ما پیدا می کنیم

, .

باور کردن آ= 1, b = c= 0، ما اولین راه حل اساسی را به دست می آوریم. باور کردن ب= 1, a = c= 0، راه حل اصلی دوم را به دست می آوریم. باور کردن ج= 1, a = b= 0، سومین راه حل اساسی را به دست می آوریم. در نتیجه، سیستم بنیادی معمولی راه حل ها شکل خواهد گرفت

با استفاده از سیستم بنیادی، جواب کلی یک سیستم همگن را می توان به صورت زیر نوشت

ایکس = aE 1 + بودن 2 + cE 3. آ

اجازه دهید به برخی از خواص راه حل های یک سیستم ناهمگن معادلات خطی توجه کنیم AX=Bو رابطه آنها با سیستم معادلات همگن مربوطه AX = 0.

حل کلی یک سیستم ناهمگنبرابر است با مجموع جواب کلی سیستم همگن مربوطه AX = 0 و یک راه حل خاص دلخواه سیستم ناهمگن. در واقع، اجازه دهید Y 0 یک راه حل خاص دلخواه از یک سیستم ناهمگن است، به عنوان مثال. AY 0 = ب، و Y- راه حل کلی یک سیستم ناهمگن، به عنوان مثال. AY=B. با کم کردن یک برابری از دیگری، به دست می آوریم
آ(Y-Y 0) = 0، یعنی. Y-Y 0 جواب کلی سیستم همگن مربوطه است تبر=0. از این رو، Y-Y 0 = ایکس، یا Y=Y 0 + ایکس. Q.E.D.

اجازه دهید سیستم ناهمگن به شکل AX = B باشد 1 + ب 2 . سپس جواب کلی چنین سیستمی را می توان به صورت X = X نوشت 1 + ایکس 2 , جایی که AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. این ویژگی یک ویژگی جهانی از هر سیستم خطی به طور کلی (جبری، دیفرانسیل، تابعی و غیره) را بیان می کند. در فیزیک به این خاصیت می گویند اصل برهم نهی، در مهندسی برق و رادیو - اصل برهم نهی. به عنوان مثال، در نظریه مدارهای الکتریکی خطی، جریان در هر مدار را می توان به صورت مجموع جبری جریان های ناشی از هر منبع انرژی به طور جداگانه به دست آورد.

سیستم های خطی معادلات همگن - دارای شکل ∑a k i x i = 0 است. که در آن m > n یا m یک سیستم همگن از معادلات خطی همیشه سازگار است، زیرا rangA = rangB. بدیهی است که راه حلی متشکل از صفر دارد که به آن می گویند ناچیز.

هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای یافتن یک راه حل غیر ضروری و اساسی برای SLAE طراحی شده است. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود (به مثال راه حل مراجعه کنید).

دستورالعمل ها. بعد ماتریس را انتخاب کنید:

تعداد متغیرها: 2 3 4 5 6 7 8 و تعداد خطوط 2 3 4 5 6

خواص سیستم های معادلات همگن خطی

برای اینکه سیستم داشته باشد راه حل های غیر پیش پا افتاده، لازم و کافی است که رتبه ماتریس آن کمتر از تعداد مجهولات باشد.

قضیه. یک سیستم در حالت m=n یک راه حل غیر ضروری دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده این سیستم برابر با صفر باشد.

قضیه. هر ترکیب خطی از راه حل های یک سیستم نیز راه حلی برای آن سیستم است.
تعریف. مجموعه راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی نامیده می شود سیستم اساسی راه حل ها، اگر این مجموعه از راه حل های مستقل خطی تشکیل شده باشد و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این راه حل ها باشد.

قضیه. اگر رتبه r ماتریس سیستم کمتر از تعداد n مجهولات باشد، یک سیستم اساسی از راه حل ها متشکل از راه حل های (n-r) وجود دارد.

الگوریتم حل سیستم معادلات همگن خطی

1. پیدا کردن رتبه ماتریس.
2. ما مینور اصلی را انتخاب می کنیم. مجهولات وابسته (اساسی) و مجهول آزاد را تشخیص می دهیم.
3. ما آن معادلات سیستم را خط می زنیم که ضرایب آنها در ضرایب پایه جزئی قرار نمی گیرند، زیرا آنها پیامدهای دیگر هستند (طبق قضیه بر اساس جزئی).
4. اصطلاحات معادلات حاوی مجهولات آزاد را به آن منتقل می کنیم سمت راست. در نتیجه، سیستمی از معادلات r با مجهولات r، معادل معادله داده شده، به دست می آوریم که تعیین کننده آن غیر صفر است.
5. سیستم حاصل را با حذف مجهولات حل می کنیم. ما روابطی را پیدا می کنیم که متغیرهای وابسته را از طریق متغیرهای آزاد بیان می کند.
6. اگر رتبه ماتریس با تعداد متغیرها برابر نباشد، آن را پیدا می کنیم راه حل اساسیسیستم های.
7. در مورد rang = n یک راه حل ساده داریم.

مثال. اساس سیستم بردارها (a 1, a 2,...,a m) را بیابید و بردارها را بر اساس پایه رتبه بندی و بیان کنید. اگر 1 =(0,0,1,-1) و 2 =(1,1,2,0) و 3 =(1,1,1,1) و 4 =(3,2,1 ,4) و 5 =(2,1,0,3).
بیایید ماتریس اصلی سیستم را بنویسیم:

خط سوم را در (3-) ضرب کنید. بیایید خط 4 را به 3 اضافه کنیم:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

خط چهارم را در (2-) ضرب کنید. بیایید خط 5 را در (3) ضرب کنیم. بیایید خط 5 را به خط 4 اضافه کنیم:
بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:
بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.
سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
با استفاده از روش حذف مجهولات، یک راه حل غیر ضروری پیدا می کنیم:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 , x 3 را از طریق متغیرهای آزاد x 4 بیان می کند، یعنی یک راه حل کلی پیدا کردیم:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

ما به صیقل دادن فناوری خود ادامه خواهیم داد تحولات ابتدایی بر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط ​​به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک های فنی، بسیاری نیز وجود خواهد داشت اطلاعات جدید، پس لطفا سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است هر کسمعادله سیستم صفر است مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و اول از همه چیزی که نظر شما را جلب می کند به اصطلاح است ناچیزراه حل . بی اهمیت برای کسانی که اصلا معنی صفت را نمی فهمند یعنی بدون خودنمایی. البته نه از نظر آکادمیک، اما به طور قابل درک =) ...چرا دور بوش بزنیم، بیایید ببینیم آیا این سیستم راه حل دیگری دارد یا خیر:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر عبارت‌های آزاد نیست - هرچه باشد، مهم نیست که با صفرها چه می‌کنید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -3 شد.

(2) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.

تقسیم خط سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست می آید ، و، درخواست سکته مغزی معکوسبا روش گاوس، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: یک سیستم همگن معادلات خطی دارد فقط یک راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 قطعه).

بیایید رادیو خود را گرم کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی هماهنگ کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

برای ادغام نهایی الگوریتم، اجازه دهید کار نهایی را تجزیه و تحلیل کنیم:

مثال 7

یک سیستم همگن را حل کنید، پاسخ را به صورت برداری بنویسید.

راه حل: بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل گام به گام در آوریم:

(1) علامت سطر اول تغییر کرده است. یک بار دیگر توجه را به تکنیکی جلب می کنم که بارها با آن مواجه شده است، که به شما امکان می دهد عمل بعدی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

(1) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد. خط اول ضرب در 2 به خط 4 اضافه شد.

(3) سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها حذف شده است.

در نتیجه، یک ماتریس گام استاندارد به دست می آید و راه حل در امتداد مسیر خنثی شده ادامه می یابد:

- متغیرهای اساسی؛
– متغیرهای رایگان

اجازه دهید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم. از معادله 2:

- جایگزینی در معادله 1:

بنابراین راه حل کلی این است:

از آنجایی که در مثال مورد بررسی سه متغیر آزاد وجود دارد، سیستم بنیادی شامل سه بردار است.

بیایید یک مقدار سه گانه را جایگزین کنیم حل کلی را وارد کنید و برداری را بدست آورید که مختصات آن هر معادله سیستم همگن را برآورده کند. و دوباره تکرار می کنم که بسیار توصیه می شود هر بردار دریافتی را بررسی کنید - زمان زیادی نمی برد، اما کاملاً از شما در برابر خطاها محافظت می کند.

برای ارزش های سه گانه بردار را پیدا کنید

و در نهایت برای این سه بردار سوم را دریافت می کنیم:

پاسخ: ، جایی که

کسانی که مایل به اجتناب از مقادیر کسری هستند می توانند سه قلوها را در نظر بگیرند و پاسخ را به شکل معادل دریافت کنند:

صحبت از کسری. بیایید به ماتریس به دست آمده در مسئله نگاه کنیم و اجازه دهید از خود بپرسیم: آیا می توان راه حل بیشتر را ساده کرد؟ به هر حال، در اینجا ابتدا متغیر پایه را از طریق کسری بیان کردیم، سپس از طریق کسری، متغیر پایه را بیان کردیم، و باید بگویم که این فرآیند ساده ترین و خوشایندترین نبود.

راه حل دوم:

ایده این است که تلاش کنید سایر متغیرهای پایه را انتخاب کنید. بیایید به ماتریس نگاه کنیم و به دو مورد در ستون سوم توجه کنیم. پس چرا یک صفر در بالا نداشته باشیم؟ بیایید یک تغییر اساسی دیگر را انجام دهیم:

شما میتونید سفارش بدید راه حل دقیقوظیفه ی شما!!!

تا بفهمی چیه سیستم تصمیم گیری اساسیبا کلیک کردن بر روی آن می توانید یک فیلم آموزشی برای همان مثال مشاهده کنید. حالا بیایید به توصیف واقعی همه کارهای ضروری بپردازیم. این به شما کمک می کند تا ماهیت این موضوع را با جزئیات بیشتری درک کنید.

چگونه می توان سیستم اساسی راه حل های یک معادله خطی را پیدا کرد؟

بیایید به عنوان مثال سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیریم:

بیایید راه حلی برای این موضوع پیدا کنیم سیستم خطیمعادلات برای شروع، ما شما باید ماتریس ضرایب سیستم را بنویسید.

بیایید این ماتریس را به یک مثلث تبدیل کنیم.سطر اول را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(11)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(21)$، باید اولی را از خط دوم کم کنید و تفاوت را در خط دوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، باید اولی را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(41)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

سطر اول و دوم را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(22)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(32)$، باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(42)$، باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(52)$، باید عدد دوم ضرب در 3 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

ما آن را می بینیم سه خط آخر یکسان است، پس اگر سومی را از چهارم و پنجم کم کنید، صفر می شوند.

با توجه به این ماتریس بنویس سیستم جدیدمعادلات.

می بینیم که ما فقط سه معادله خطی مستقل و پنج مجهول داریم، بنابراین سیستم اساسی راه حل ها از دو بردار تشکیل می شود. پس ما ما باید دو مجهول آخر را به سمت راست منتقل کنیم.

اکنون، شروع به بیان مجهولاتی می کنیم که در سمت چپ هستند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند. با آخرین معادله شروع می کنیم، ابتدا $x_3$ را بیان می کنیم، سپس نتیجه حاصل را جایگزین معادله دوم می کنیم و $x_2$ را بیان می کنیم و سپس در معادله اول و در اینجا $x_1$ را بیان می کنیم. بنابراین، ما تمام مجهولاتی را که در سمت چپ قرار دارند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند بیان کردیم.

سپس به جای $x_4$ و $x_5$، می‌توانیم هر عددی را جایگزین کنیم و $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم. هر پنج عدد از این اعداد ریشه های سیستم اصلی معادلات ما خواهند بود. برای یافتن بردارهایی که در FSRباید 1 را به جای $x_4$، و 0 را به جای $x_5$ جایگزین کنیم، $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم، و سپس برعکس $x_4=0$ و $x_5=1$.