Виробнича функція, властивості, еластичність. Виробнича функція фірми - Реферат

Вступ …………………………………………………………………………..3

Глава I .4

1.1. Фактори виробництва……………………………………………………….4

1.2. Виробнича функція та її економічний зміст…………….9

1.3. Еластичність заміщення факторов………………………………………..13

1.4. Еластичність виробничої функції та віддача від масштабу………16

1.5. Властивості виробничої функції та основні характеристики виробничої функції……………………………………………………..19

Розділ II. Види виробничих функций………………………………..23

2.1. Визначення лінійно - однорідних виробничих функций……...23

2.2. Види лінійно-однорідних виробничих функций………………..25

2.3. Інші види виробничих функций………………………………...28

Додаток……………………………………………………………………..30

Заключение……………………………………………………………………...32

Список використаної літератури…………………………………………...34

Вступ

В умовах сучасного суспільстважодна людина не може споживати тільки те, що вона сама виробляє. Для найповнішого задоволення своїх потреб люди змушені обмінюватися тим, що вони виробляють. Без постійного виробництва благ було б споживання. Тому великий інтерес представляє аналіз закономірностей, які у процесі виробництва благ, які формують надалі їх пропозицію над ринком.

Виробничий процес - це основне та первісне поняття економіки. Що ж розуміється під виробництвом?

Кожен знає, що виробництво благ та послуг на порожньому місці неможливе. Для того, щоб виготовити меблі, продукти харчування, одяг та інші товари, необхідно мати відповідні вихідні матеріали, обладнання, приміщення, клаптик землі, фахівців, які організують виробництво. Все, необхідне організації процесу виробництва називають чинниками виробництва. Традиційно до факторів виробництва відносять капітал, працю, землю та підприємництво.

Для організації виробничого процесу необхідні фактори виробництва повинні бути присутніми у певній кількості. Залежність максимального обсягу виробленого продукту від витрат факторів, що використовуються виробничою функцією .

Глава I . Виробничі функції, основні поняття та визначення .

1.1. Чинники виробництва

Матеріальна основа будь-якої економіки утворюється із виробництва. Від того, якою мірою в країні розвинене виробництво залежить в цілому економіка цієї країни.

У свою чергу, джерелами будь-якого виробництва є ресурси, які має те чи інше суспільство. "Ресурси - наявність засобів праці, предметів праці, грошей, товарів або людей для використання в даний час або в майбутньому".

Таким чином, фактори виробництва - це сукупність тих природних, матеріальних, соціальних і духовних сил (ресурсів), які можуть бути використані в процесі створення товарів, послуг та інших цінностей. Інакше кажучи, чинники виробництва – те, що надає певний вплив саме виробництво.

У економічної теоріїресурси прийнято поділяти на три групи:

1. Праця – сукупність фізичних та розумових здібностей людини, які можуть використовуватися у процесі виготовлення товару чи надання послуги.

2. Капітал (фізичний) – будівлі, споруди, верстати, устаткування, транспортні засоби, необхідних виробництва.

3. Природні ресурси – земля та її надра, водоймища, ліси тощо. Все те, що можна використовувати у виробництві у натуральному, необробленому вигляді.

Саме наявність чи відсутність у країні факторів виробництва зумовлює її економічний розвиток. Чинники виробництва, певною мірою, є потенціалом економічного зростання. Від того, як ці фактори використовуються, залежить загальне становищесправ економіки країни.

Надалі, розвиток теорії « трьох факторів» призвело до більш розширеного визначення факторів виробництва. В даний час до них відносять:

2. землю ( природні ресурси);

3. капітал;

4. підприємницьку здатність;

Слід зазначити, що ці чинники тісно взаємопов'язані між собою. Наприклад, продуктивність праці різко зростає під час використання результатів науково-технічного прогресу.

Таким чином, фактори виробництва, - це такі фактори, які надають певний вплив на процес виробництва. Так, наприклад, збільшивши капітал шляхом придбання нового виробничого обладнання, можна збільшити обсяги виробництва та збільшити виторг від реалізації продукції.

Необхідно розглянути існуючі фактори виробництва.

Праця є доцільною діяльністю людини, за допомогою якої вона перетворює природу і пристосовує її для задоволення своїх потреб. В економічній теорії під працею як фактором виробництва маються на увазі будь-які розумові та фізичні зусилля, що додаються людьми у процесі господарської діяльності.

Говорячи про працю необхідно зупинитися на таких поняттях, як продуктивність праці та інтенсивність праці. Інтенсивність праці характеризує напруженість праці, яка визначається ступенем витрачання фізичної та розумової енергії в одиницю часу. Інтенсивність праці збільшується при прискоренні роботи конвеєра, збільшенні кількості устаткування, що одночасно обслуговується, зменшенні втрат робочого часу. Продуктивність праці показує, скільки продукції виробляється на одиницю часу.

Для підвищення продуктивність праці вирішальну роль грає прогрес науку й техніки. Так, наприклад, впровадження на початку ХХ століття конвеєрів призвело до різкого стрибка продуктивності праці. Конвеєрна організація виробництва базувалася на принципі дробового розподілу праці.

Науково-технічна революція призвела до змін у характері праці. Праця стала більш кваліфікованою, фізична працямає дедалі менше значення у процесі виробництва.

Говорячи про землю, як фактор виробництва, мають на увазі не тільки саму землю як таку, а й воду, повітря та інші природні ресурси.

Капітал як фактор виробництва ототожнюється із засобами виробництва. Капітал складається з благ тривалого користування, створених економічною системою виробництва інших товарів. Інший погляд на капітал пов'язаний із його грошовою формою. Капітал, коли він втілений у ще інвестованих фінансах, є сума грошей. В усіх цих визначеннях є загальна ідея, саме капітал характеризується здатністю приносити дохід.

Розрізняють фізичний чи основний, оборотний та людський капітал. Фізичний капітал – це матеріалізований у будинках, верстатах та обладнанні капітал, що функціонує в процесі виробництва кілька років. Інший вид капіталу, що включає сировину, матеріали, енергетичні ресурси, витрачається за виробничий цикл. Він має назву оборотного капіталу. Кошти, витрачені на оборотний капітал, повністю повертаються до підприємця після реалізації продукції. Витрати на основний капітал не можуть бути відшкодовані так швидко. Людський капітал виникає як наслідок освіти, професійної підготовкита підтримки фізичного здоров'я.

Підприємницька здатність – особливий чинник виробництва, з якого збираються інші чинники виробництва, у ефективну комбінацію.

Науково-технічний прогрес є важливим двигуном економічного зростання. Він охоплює низку явищ, що характеризують вдосконалення процесу виробництва. Науково-технічний прогрес включає вдосконалення технологій, нові методи та форми управління та організації виробництва. Науково-технічний прогрес дозволяє по-новому комбінувати ці ресурси з метою збільшення кінцевого випуску продукції. При цьому зазвичай виникають нові, більш ефективні галузі. Зростання ефективності праці стає основним чинником виробництва.

Але необхідно розуміти, що не існує прямої залежності між факторами виробництва та обсягом продукції, що випускається. Наприклад, приймаючи працювати нових працівників, підприємство створює передумови випуску додаткового обсягу продукції. Але в той же час, кожен залучений новий працівник збільшує для підприємства витрати на оплату праці. Крім цього, немає гарантії, що випущена додатково продукція буде затребувана покупцем, і що підприємство отримає прибуток від реалізації цієї продукції.

Таким чином, говорячи про залежність між факторами виробництва та обсягом продукції, необхідно розуміти, що дана залежність визначається розумним поєднанням цих факторів з урахуванням наявного попиту на продукцію, що випускається.

Важливу роль розумінні проблеми поєднання факторів виробництва грає так звана теорія граничної корисності та граничних витрат, суть якої полягає в тому, що кожна додаткова одиниця однотипного блага приносить меншу користь споживачеві, і вимагає зростання витрат від виробника. Сучасна теорія виробництва спирається на концепцію спадної віддачі або граничного продуктуі вважає, що це чинники виробництва взаємозалежно беруть участь у створенні продукту.

Головне завдання будь-якого підприємства є максимізація прибутку. Один із способів досягнення цього – розумне поєднання факторів виробництва. Але хто може визначити, які пропорції факторів виробництва є прийнятними для того чи іншого підприємства, тієї чи іншої галузі? Питання полягає в тому, скільки та яких факторів виробництва необхідно використовувати для отримання максимально можливого прибутку.

Саме ця проблема і є однією з проблем, що вирішується математичною економікою, а спосіб її вирішення - Виявлення математичної залежності між використовуваними факторами виробництва та обсягом випуску продукції, тобто, у побудові виробничої функції.

1.2. Виробнича функція та її економічний зміст

Що таке функція з погляду математичної науки?

Функція – це залежність однієї змінної від іншого (інших) змінної, виражена так:

де х- незалежна змінна, а y- Залежна від xфункція.

Зміна змінної xведе до зміни функції y .

Функція двох змінних виражається залежністю: z = f(x, y). Трьох змінних: Q = f (x, y, z), і так далі.

Наприклад, площа кола: S ( r )=π r 2 - є функція його радіусу, і що більше радіус, то більше вписувалося площа кола.

Виходить, що виробнича функція – це математична залежністьміж максимальним обсягом випуску продукції в одиницю часу і комбінацією факторів, що його створюють, при рівні знань і технологій. При цьому головне завдання математичної економіки з практичної точки зору полягає у виявленні цієї залежності, тобто у побудові виробничої функції для конкретної галузі або конкретного підприємства.

У теорії виробництва в основному використовують двофакторну виробничу функцію, яка в загальному виглядізаписується наступним чином:

Q = f ( K , L ), (1.1)

При цьому такі фактори, як технічний прогрес та підприємницька здатність вважаються незмінними у відносно короткому проміжку часу і такими, що не впливають на обсяг випуску продукції, а фактор «земля» розглядається разом з «капіталом».

Виробнича функція визначає взаємозв'язок випуску продукції Q з факторами виробництва: капіталом K, працею L. Виробнича функція визначає безліч технічно ефективних способів виробництва заданого обсягу продукції. Технічна ефективність виробництва характеризується використанням найменшої кількості ресурсів за даного обсягу виробництва. Наприклад, спосіб виробництва вважається більш ефективним, якщо він передбачає використання хоча б одного ресурсу в меншому, а решти не в більшій кількостініж інші способи. Якщо ж один спосіб передбачає використання одних ресурсів у більшому, а інших у меншій кількості, ніж інший спосіб, тоді ці способи не можна порівняти з технічної ефективності. У цьому випадку обидва способи розглядаються як технічно ефективні, а їх порівняння використовують економічну ефективність. Найбільш економічно ефективним способом виробництва даного обсягу продукції вважається той, у якому витрати на використання ресурсів мінімальні.

Графічно кожен спосіб можна уявити точкою, координати якої характеризують мінімальну кількість ресурсів L і K, а виробничу функцію - лінією рівного випуску або ізоквантою. Кожна изокванта представляє безліч технічно ефективних засобів виробництва певного обсягу продукції. Чим далі від початку координат розташована ізокванта, тим більший обсяг випуску вона надає. На малюнку 1.1. наведено три ізокванти, що відповідають випуску 100, 200 і 300 одиниць продукції, так що можна сказати, що для випуску 200 одиниць продукції необхідно взяти або K 1 одиниць капіталу і L 1 одиниць праці, або K 2 одиниць капіталу та L 2 одиниць праці, або якусь їхню комбінацію, надану ізоквантою Q 2 =200.

Q 3 = 300

Малюнок 1.1. Ізокванти, що представляють різні рівні випуску

Необхідно дати визначення таким поняттям як ізокванту та ізокосту.

Ізокванта - крива, що представляє собою всілякі поєднання двох витрат, що забезпечують заданий постійний обсяг виробництва (на малюнку 1.1 представлена суцільною лінією).

Ізокоста - лінія, утворена безліччю точок, що показують скільки поєднуються факторів виробництва чи ресурсів можна придбати за наявних коштів (на малюнку 1.1. представлена пунктирною лінією- Дотична до ізокванте в точці поєднання ресурсів).

Точка торкання ізокванти та ізокости – це оптимальне поєднання факторів для конкретного підприємства. Точка торкання знаходиться шляхом розв'язання системи двох рівнянь, що виражають ізокванту та ізокосту.

Основними властивостями виробничої функції є:

1. Безперервність функції, тобто її графік представляє суцільну, безперервну лінію;

2. Виробництво неможливе за відсутності хоча б одного з факторів;

3. Збільшення витрат кожного з факторів при постійних кількостях іншого призводить до збільшення випуску продукції;

4. Можна зберегти випускати продукцію на постійному рівні, заміщаючи кілька чинників додатковим використанняміншого. Тобто зменшення використання праці можна компенсувати додатковим використанням капіталу (наприклад, купуючи нове виробниче обладнання, яке обслуговується меншою кількістю працівників).

1.3. Еластичність заміщення факторів

З вищевикладеного можна дійти невтішного висновку у тому, що основним питанням виробничої функції є питання правильної комбінації чинників виробництва, коли він рівень випуску продукції буде оптимальний, тобто, що приносить найбільшу прибуток. З метою пошуку оптимальної комбінації необхідно відповісти на запитання: На яку величину треба збільшити витрати одного фактора при зниженні витрат іншого на одиницю. Питання співвідношення витрат факторів виробництва, що заміщають один одного, вирішується за допомогою введення такого поняття, як

Мірою взаємозамінності факторів виробництва служить гранична норма технічного заміщення MRTS (marginal rate of technical substitution), яка показує, наскільки одиниць можна зменшити один із факторів зі збільшенням іншого фактора на одиницю, зберігаючи випуск незмінним.

Граничну норму технічного заміщення характеризує нахил ізоквант. Більш крутий нахил ізокванти показує, що, при збільшенні кількості праці на одиницю, потрібно буде відмовитися від кількох одиниць капіталу для збереження даного рівнявиробництва. MRTS виражається формулою:

MRTS L , K = DK/DL

Ізокванти можуть мати різну конфігурацію.

Лінійна изокванты малюнку 1.2(а) передбачає досконалу замещаемость виробничих ресурсів, тобто, цей випуск то, можливо отриманий з допомогою або лише праці, або лише капіталу, або з допомогою комбінації цих ресурсів.

Ізокванта, представлена малюнку 1.2(б) характерна випадку жорсткої доповнюваності ресурсів. У цьому випадку відомий лише один технічно ефективний спосібвиробництва. Таку ізокванту іноді називають ізоквантою Леонтьєвського типу (див. далі), на ім'я економіста В.В. Леонтьєва, який запропонував такий тип ізокванти. На малюнку 1.2(в) показана ламана ізокванта, яка передбачає наявність кількох методів виробництва (P). При цьому гранична норма технічного заміщення при русі вздовж ізокванти зверху вниз зменшується. Ізокванта подібної конфігурації використовується в лінійному програмуванні – методі економічного аналізу. Ламана ізокванта реалістично представляє виробничі можливості сучасних виробництв. Нарешті, малюнку 1.2(г) представлена изокванта, що передбачає можливість безперервної, але з досконалої заміщуваності ресурсів.

K а) KQ 2 б)

Малюнок 1.2. Можливі конфігурації ізоквант.

1.4. Еластичність виробничої функції та віддача від масштабу.

Граничний продукт деякого ресурсу характеризує абсолютну зміну випуску продукту, що припадає на одиницю зміни витрати цього ресурсу, причому зміни передбачаються малими. Для виробничої функції граничний продукт i- того ресурсу дорівнює приватної похідної: .

Вплив відносної зміни витрати i-того фактора на випуск продукту, представлений також у відносній формі, характеризується приватною еластичністю випуску за витратами цього продукту:

Для простоти будемо позначати. Приватна еластичність виробничої функції дорівнює відношенню граничного продукту даного ресурсу для його середнього продукту.

Розглянемо окремий випадок, коли еластичність виробничої функції за деяким аргументом – стала величина.

Якщо стосовно вихідним значенням аргументів x 1 , x 2 ,…,x n один із аргументів (i-тий) зміниться в один раз, а інші стануть на колишніх рівнях, то зміна випуску продукту описується статечною функцією: . Вважаючи I=1, знайдемо, що A=f(x 1 ,…,x n), і тому .

У загальному випадку, коли еластичність – змінна величина, рівність (1) є наближеним значеннях I, близьких до одиниці, тобто. при I=1+e, і тим паче точним, що ближче e/до нуля.

Нехай тепер витрати всіх ресурсів змінилися I раз. Послідовно застосовуючи щойно описаний прийом до x 1 , x 2 ,…, x n можна переконатися в тому, що тепер

Сума приватних еластичності деякої функції за всіма її аргументами отримала назву повної еластичності функції. Вводячи позначення для повної еластичності виробничої функції, ми можемо уявити отриманий результат у вигляді

Рівність (2) показує, що повна еластичність виробничої функції дозволяє дати віддачі від масштабу числове вираз. Нехай витрата всіх ресурсів трохи збільшилася зі збереженням усіх пропорцій (I>1). Якщо E>1, то випуск продукції збільшився більше, ніж у I раз (зростаюча віддача від масштабу), і якщо E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

Виділення короткого та тривалого періодів при описі характеристик виробництва – груба схематизація. Зміна обсягів споживання різних ресурсів – енергії, матеріалів, робочої сили, верстатів, будівель тощо – потребує різного часу. Припустимо, що ресурси перенумеровані в порядку зменшення рухливості: найшвидше можна змінити x 1 , а потім x 2 і т. д., а зміна x n вимагає найбільшого часу. Можна виділити надкороткий або нульовий період, коли не може змінитися жоден фактор; 1-й період, коли змінюється лише х 1; 2-й період, що допускає зміну х 1 і х 2 і т.д.; нарешті, тривалий, чи n-й період, протягом якого можуть змінитися обсяги всіх ресурсів. Різних періодів, таким чином, виявляється n+1.

Розглядаючи деякий проміжний за величиною, k-й період, ми можемо говорити відповідної цього періоду віддачі від масштабу, маю на увазі пропорційне зміна обсягів тих ресурсів, які у період можуть змінюватися, тобто. x 1, x 2, ..., x k. Обсяги x k +1 , x n при цьому зберігають фіксовані значення. Відповідний цьому показник віддачі масштабу дорівнює e 1 +e 2 +…+e k .

Подовжуючи період, ми додаємо до цієї суми такі доданки, доки не вийде значення E для тривалого періоду.

Оскільки виробнича функція зростає за кожним аргументом, всі еластичність e 1 позитивні. Звідси випливає, що триваліший період, то більша віддача від масштабу.

1.5. Властивості виробничої функції

Для кожного виду виробництва може бути побудована своя виробнича функція, проте кожна з них матиме наступні фундаментальні властивості:

1. Існує межа зростання обсягу виробництва, що досягається за допомогою збільшення використання одного ресурсу за інших рівних параметрів. Прикладом може бути неможливість збільшення обсягу виробництва (при досягненні конкретного значення) на певному підприємстві з допомогою залучення нових працівників при заданих основних фондах. Можна досягти такої точки, коли кожен окремий працівник не буде забезпечений засобами праці для роботи, робочим місцем, його присутність стане на заваді іншим зайнятим, і приріст виробництва від найму цього граничного працівника наближатиметься до нуля або навіть стане негативним.

2. Є певна взаємна доповнюваність (комплементарність) факторів виробництва, але без скорочення обсягу виробництва можлива і певна взаємна їхня замінність. Наприклад, для отримання цього врожаю певний розмір посівної площі може бути оброблений великою кількістю робітників вручну, без застосування добрив та сучасних засобів виробництва. На цій же ділянці для виробництва необхідної кількості врожаю може працювати кілька працівників, які використовують складні машини та різноманітні добрива. Слід зазначити, що за умови взаємодоповнення жоден із традиційних ресурсів (земля, праця, капітал) не може бути повністю витіснений іншими (не буде взаємодоповнення). Механізм взаємозаміщення діє на протилежній посилці: деякий вид ресурсу може бути заміщений іншим. Взаємодоповнення та взаємозаміщення мають протилежну спрямованість. Якщо взаємодоповнення вимагає обов'язкової наявності всіх ресурсів, то взаємозаміщення у своїй крайній формі може призвести до повного виключення одного з них.

Аналіз виробничої функції передбачає необхідність розмежування короткострокового та довгострокового періодів часу. У першому випадку мається на увазі такий часовий інтервал, протягом якого обсяг виробництва може регулюватися лише за допомогою зміни кількості використовуваних змінних факторів, тоді як постійні витрати залишаються незмінними. Фактори виробництва, витрати яких незмінні в короткостроковому періодічасу називаються постійними.

Відповідно фактори виробництва, розмір яких змінюється у короткостроковому періоді – змінні. Довгостроковий період розглядається як інтервал, який достатній для того, щоб підприємство могло змінити витрати всіх факторів виробництва. Це означає, що в даному випадку немає меж для зростання обсягу виробництва і всі фактори стають змінними. У найбільш загальному вигляді відмінності короткострокового та довгострокового інтервалів можуть бути зведені до наступного.

По-перше, це стосується умов господарювання. У короткостроковому періоді значне розширення обсягу виробництва неможливе, обмежується наявними виробничими потужностями фірми. У тривалому періоді фірма має більше свободи щодо збільшення обсягів випуску, оскільки всі фактори виробництва стають змінними.

По-друге, потрібно враховувати специфіку витрат виробництва. Короткостроковий період характеризується наявністю як постійних, і змінних витрат виробництва, у довгостроковому періоді всі витрати стають постійними.

По-третє, короткостроковий період передбачає сталість фірм, які працюють у цій галузі. У довгостроковому періоді є реальна можливість виходу чи вступу у галузь нових конкурентів.

По-четверте, слід визначити можливості отримання економічного прибутку в аналізовані періоди. У разі довгострокового періоду економічний прибуток дорівнює нулю. У короткостроковому періоді економічний прибуток може бути як позитивним, так і негативним.

ПФ задовольняє наступному ряду властивостей:

1) без ресурсів немає випуску, тобто. f(0,0,a)=0;

2) за відсутності хоча б однієї з ресурсів немає випуску, тобто. ;

3) із зростанням витрат хоча б одного ресурсу обсяг випуску зростає;

4) зі зростанням витрат одного ресурсу за постійної кількості іншого ресурсу обсяг випуску зростає, тобто. якщо x>0, то ;

5) із зростанням витрат одного ресурсу при незмінній кількості іншого ресурсу величина приросту випуску на кожну додаткову одиницю i-го ресурсу не зростає (закон спаду ефективності), тобто. якщо то ;

6) у разі зростання одного ресурсу гранична ефективність іншого ресурсу зростає, тобто. якщо x>0, то ;

7) ПФ є однорідною функцією, тобто. ; при р>1 маємо зростання ефективності виробництва зростання масштабу виробництва; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Глава II . Види виробничих функцій

2.1. Визначення лінійно - однорідних виробничих функцій

Виробнича функція називається однорідного ступеня n, якщо при множенні ресурсів на деяке число k отриманий обсяг виробництва в kn раз відрізнятиметься від початкового. Умови однорідності виробничої функції записуються так:

Q = f (kL, kK) = knQ

Наприклад, у день витрачається 9 годин праці (L) та 9 годин роботи машин (К). Нехай при цьому поєднанні факторів L і K фірма може виробляти в день продукції на суму 200 тис. рублів. У цьому випадку виробнича функція Q = F(L,K) буде представлена такою рівністю:

Q = F(9; 9) = 200 000, де F - певного виду алгебраїчна формула, в яку підставляються значення L і T.

Припустимо, фірма приймає рішення збільшити роботу капіталу та застосування праці вдвічі, що призводить до зростання обсягу продукції до 600 тис. рублів. Отримуємо, що множення факторів виробництва на 2 призводить до збільшення обсягу виробництва в 3 рази, тобто, використовуючи умови однорідності виробничої функції:

Q = f (kL, kK) = knQ, отримуємо:

Q = f (2L, 2K) = 2×1,5×Q, тобто, у разі ми маємо справу з однорідної виробничої функцією ступеня 1,5.

Показник ступеня n називається ступенем однорідності.

Якщо n = 1, то кажуть, що функція однорідна першого ступеня чи лінійно однорідна. Лінійно однорідна виробнича функція представляє інтерес тим, що для неї характерна постійна віддача, тобто, при збільшенні факторів виробництва обсяг продукції постійно збільшується в однаковій мірі.

Якщо n>1, то виробнича функція демонструє зростаючу віддачу, тобто зростання факторів виробництва веде до ще більшого зростання обсягу виробництва (наприклад: збільшення факторів вдвічі веде до збільшення обсягу в 2 рази; в 3 рази - до збільшення в 6 разів ;в 4 рази - до збільшення в 12 разів і т.д.) Якщо n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).

2.2. Види лінійно-однорідних виробничих функцій

Прикладами лінійно однорідних виробничих функцій є виробнича функція Кобба-Дугласа та виробнича функція із постійною еластичністю заміщення.

Вперше виробнича функція розрахована в 1920-і роки для обробної промисловості США економістами Коббом і Дугласом. Дослідження Пола Дугласа у сфері обробної промисловості США та подальша їхня обробка Чарльзом Коббом призвели до появи математичного вираження, що описує вплив застосування праці та капіталу на вироблення продукції в обробній галузі, у вигляді рівності:

Ln(Q) = Ln(1,01) + 0,73×Ln(L) + 0.27×Ln(K)

У загальному вигляді виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Q = AK α L β ν

lnQ = lnA + α lnK + βlnL + lnν

Якщо α+β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1 то спостерігається зростаюча віддача від масштабів використання факторів виробництва (рис. 1.2.б).

У виробничій функції Кобба-Дугласа статечні коефіцієнти α і β у сумі виражають ступінь однорідності виробничої функції:

Гранична норма технічного заміщення капіталу працею при даній технології визначається за такою формулою:

׀MRTS L , K ׀ =

Якщо уважно подивитися на функцію Кобба-Дугласа для обробної промисловості США, розраховану в 1920-і роки, то можна ще раз, вже на конкретному прикладі відзначити, що виробнича функція є математичним виразом (через певну форму алгебри) залежності обсягів виробництва (Q) від обсягів використання факторів виробництва (Lі K). Так, надаючи конкретні значення змінним L і K можна визначити передбачувані обсяги випуску продукції (Q) для обробної промисловості США 1920-ті роки.

Еластичність заміщення у виробничій функції Кобба-Дуглас завжди дорівнює 1.

Але виробнича функція Кобба-Дуглас мала деякі недоліки. Для подолання обмеження функції Кобба-Дугласа, яка завжди є однорідною в першому ступені, в 1961 р. декількома економістами (К. Ерроу, Х. Ченері, Б. Мінхас та Р. Солоу) було запропоновано виробничу функцію з постійною еластичність заміщення. Це лінійно однорідна виробнича функція із постійною еластичністю заміщення ресурсів. Пізніше було запропоновано і виробнича функція зі змінною еластичністю заміщення. Вона являє собою узагальнення виробничої функції з постійною еластичністю заміщення, що допускає зміну еластичності заміщення зі зміною відносин між ресурсами, що витрачаються.

Лінійно однорідна виробнича функція з постійною еластичністю заміщення ресурсів має такий вигляд:

Q = а -1/b,

Еластичність заміщення факторів для даної виробничої функції визначається формулою:

2.3. Інші види виробничих функцій

Іншим видом виробничої функції є лінійна виробнича функція, яка має такий вигляд:

Q(L,K) = aL + bK

Ця виробнича функція є однорідною першого ступеня, отже, вона має постійну віддачу від масштабів виробництва. Графічно дана функціяпредставлена малюнку 1.2, а.

Економічний сенслінійної виробничої функції у тому, що вона описує таке виробництво, у якому чинники є взаємозамінними, тобто, має значення – використовувати лише працю чи лише капітал. Але в реального життятака ситуація практично не можлива, тому що будь-яка машина все одно обслуговується людиною.

Коефіцієнти a і b функції, що знаходяться при змінних L і Kпоказують пропорції, в яких один фактор може бути заміщений іншим. Наприклад, якщо a=b=1, це означає, що 1 годину праці може бути замінений 1 годиною машинного часу у тому, щоб зробити такий самий обсяг продукції.

Слід зазначити, що у деяких видах господарської діяльностіпрацю і капітал взагалі не можуть замінити один одного і повинні використовуватися у фіксованій пропорції: 1 робітник – 2 верстати, 1 автобус – 1 водій. У цьому випадку еластичність заміщення факторів дорівнює нулю, а технологія виробництва відображається виробничою функцією Леонтьєва:

Q(L,K) = min(; ),

Якщо, наприклад, на кожному автобусі далекого прямуваннямає бути два водії, то за наявності в автобусному парку 50 автобусів та 90 водіїв одночасно можуть обслуговуватися лише 45 маршрутів:
min(90/2;50/1) = 45.

додаток

Приклади вирішення завдань із використанням виробничих функцій

Завдання 1

Фірма, що займається річковими перевезеннями, використовує працю перевізників (L) та пороми (K). Виробнича функція має вигляд . Ціна одиниці капіталу дорівнює 20, ціна одиниці праці дорівнює 20. Яким буде нахил ізокости? Яку кількість праці та капіталу має залучити фірма для здійснення 100 перевезень?

3. капітал;

4. підприємницька спроможність;

5. Науково-технічний прогрес.

Усі ці фактори тісно взаємопов'язані між собою.

Виробнича функція – це математична залежність між максимальним обсягом випуску продукції в одиницю часу та комбінацією факторів, що його створюють, за наявного рівня знань та технологій. При цьому головне завдання математичної економіки з практичної точки зору полягає у виявленні цієї залежності, тобто у побудові виробничої функції для конкретної галузі чи конкретного підприємства.

У теорії виробництва в основному використовують двофакторну виробничу функцію, яка у загальному вигляді виглядає так:

Q = f ( K , L ), де Q – обсяг виробництва; К – капітал; L – працю.

Питання співвідношення витрат заміщають один одного факторів виробництва вирішується за допомогою такого поняття, як еластичність заміщення факторів виробництва.

Еластичність заміщення - це співвідношення витрат факторів виробництва, що заміщають один одного, при незмінному обсязі випуску продукції. Це свого роду коефіцієнт, що показує рівень ефективності заміщення одного чинника виробництва іншим.

Мірою взаємозамінності факторів виробництва служить гранична норма технічного заміщення MRTS, яка показує, наскільки одиниць можна зменшити один із факторів зі збільшенням іншого фактора на одиницю, зберігаючи випуск незмінним.

Ізокванта - крива, що є всілякими поєднаннями двох витрат, що забезпечують заданий постійний обсяг виробництва.

Кошти зазвичай обмежені. Лінія, утворена безліччю точок, що показують скільки поєднуються чинників виробництва чи ресурсів можна придбати за наявних коштів, називається изокостой. Таким чином, оптимальним поєднанням факторів для конкретного підприємства є спільне рішеннярівнянь ізокости та ізокванти. Графічно – це точка торкання ліній ізокости та ізокванти.

Виробнича функція може бути записана в різних алгебраїчних формах. Як правило, економісти працюють із лінійно однорідними виробничими функціями.

У роботі також були розглянуті конкретні приклади вирішення завдань із застосуванням виробничих функцій, які дозволили зробити висновок про їхню велику практичної значимостів економічної діяльностібудь-якого підприємства.

Список використаної літератури

1. Доугерті До. Введення в економетрику. - М.: Фінанси та статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстоп'ятенко О.В., Черемних Ю.П. Математичні методив економіці: Підручник. - М: Вид. "ДІС", 1997.

3. Курс економічної теорії: підручник. - Кіров: "АСА", 1999.

4. Мікроекономіка. За ред. Проф. Яковлєвої Є.Б. - М.: СПб. Пошук, 2002.

5. Салманов О. Математична економіка. - М.: BHV, 2003.

6. Чураков Є.П. Математичні методи обробки експериментальних даних економіки. - М.: Фінанси та статистика, 2004.

7. Шелобаєв С.І. Математичні методи та моделі в економіці, фінансах, бізнесі. - М.: Юніті-Дана, 2000.

Великий комерційний словник. / За редакцією Рябової Т.Ф. - М.: Війна і мир, 1996. С. 241.

ВСЕРОСІЙСЬКИЙ ЗАТОВНИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ

КАФЕДРА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОДІВ І МОДЕЛЕЙ

ЕКОНОМЕТРИКА

Виробничі функції

(Матеріали до лекції)

Підготувала доцент кафедри

Філонова Є.С. (філія у м. Орлі)

Текст лекції на тему "Виробничі функції"

з дисципліни «Економетрика»

План:

Вступ

Поняття виробничої функції однієї змінної

Виробничі функції кількох змінних

Властивості та основні характеристики виробничих функцій

Приклади використання виробничих функцій у завданнях економічного аналізу, прогнозування та планування

Основні висновки

Тести контролю засвоєного матеріалу

Література

Вступ

В умовах сучасного суспільства жодна людина не може споживати тільки те, що вона сама виробляє. Для найповнішого задоволення своїх потреб люди змушені обмінюватися тим, що вони виробляють. Без постійного виробництва благ було б споживання. Тому великий інтерес представляє аналіз закономірностей, які у процесі виробництва благ, які формують надалі їх пропозицію над ринком.

Виробничий процес - це основне та первісне поняття економіки. Що ж розуміється під виробництвом?

Поняття виробничої функції однієї змінної

Розгляд поняття «виробнича функція» почнемо з найпростішого випадку, коли виробництво обумовлено лише одним фактором. В цьому випадку пвиробнича функція –це функція, незалежна змінна якої набуває значення використовуваного ресурсу (фактора виробництва), а залежна змінна – значення обсягів продукції, що випускається

У цій формулі у є функція однієї змінної x. У зв'язку з цим виробнича функція (ПФ) називається одноресурсною чи однофакторною. Її область визначення – безліч невід'ємних дійсних чисел. Символ f є характеристикою виробничої системи, що перетворює ресурс на випуск. У мікроекономічної теорії прийнято вважати, що y - максимально можливий обсяг випуску продукції, якщо ресурс витрачається або використовується у кількості одиниць. У макроекономіці таке розуміння не зовсім коректне: можливо, при іншому розподілі ресурсів між структурними одиницями економіки випуск міг би бути й більшим. У цьому випадку ПФ – статистично стійкий зв'язок між витратами ресурсу та випуском. Більш правильною є символіка

де а - Вектор параметрів ПФ.

приклад 1. Візьмемо ПФ f у вигляді f(x)=ax b , де х – величина затрачуваного ресурсу (наприклад, робочого часу), f(x) – обсяг продукції, що випускається (наприклад, кількість готових до відправки холодильників). Величини а та b – параметри ПФ f. Тут a та b – позитивні числа та число b1, вектор параметрів є двовимірним вектором (a,b). ПФ у = ax b є типовим представником широкого класу однофакторних ПФ.

Графік ПФ зображено малюнку 1

На графіку видно, що зі зростанням величини ресурсу, що витрачається, y зростає. однак при цьому кожна додаткова одиниця ресурсу дає все менший приріст обсягу y продукції, що випускається. Зазначена обставина (зростання обсягу у і зменшення приросту обсягу у зі зростанням величини х) відбиває фундаментальне становище економічної теорії (добре підтверджується практикою), зване законом спадної ефективності (зменшуваної продуктивності або спадної віддачі).

Як простий приклад візьмемо однофакторную виробничу функцію, що характеризує виробництво фермером будь-якого сільськогосподарського продукту. Нехай усі фактори виробництва, такі як величина земельних угідь, наявність у фермера сільськогосподарської техніки, посівного матеріалу, кількість праці, вкладеної у виробництво продукту, залишаються рік у рік постійними величинами. Змінюється лише один фактор – кількість добрив, що застосовуються. Залежно від цього змінюється величина одержуваного продукту. Спочатку, зі зростанням змінного фактора, вона збільшується досить швидко, потім зростання загального продукту сповільнюється, а починаючи з певних обсягів добрив, що застосовується, величина одержуваного продукту починає зменшуватися. Подальше збільшення змінного чинника це не дає збільшення продукту.

ПФ можуть мати різні сфери використання. Принцип "витрати-випуск" може бути реалізований як на мікро-, так і макроекономічному рівні. Спочатку зупинимося на мікроекономічному рівні. ПФ у=ax b , розглянута вище, може бути використана для опису взаємозв'язку між величиною витрачається або використовуваного ресурсу х протягом року на окремому підприємстві (фірмі) та річним випуском продукції цього підприємства (фірми). У ролі виробничої системи тут виступає окреме підприємство (фірма) – маємо мікроекономічну ПФ (МІПФ). На мікроекономічному рівні у ролі виробничої системи може бути також галузь, міжгалузевий виробничий комплекс. МІПФ будуються та використовуються в основному для вирішення завдань аналізу та планування, а також завдань прогнозування.

ПФ може бути використана для опису взаємозв'язку між річними витратами праці в масштабі регіону чи країни загалом та річним кінцевим випуском продукції (або доходом) цього регіону чи країни загалом. Тут у ролі виробничої системи виступає регіон чи країна загалом – маємо макроекономічний рівень та макроекономічну ПФ (МАПФ). МАПФ будуються та активно використовуються для вирішення всіх трьох типів завдань (аналізу, планування та прогнозування).

Точне тлумачення понять затрачуваного чи використовуваного ресурсу і продукції, а також вибір одиниць їх вимірювання залежать від характеру і масштабу виробничої системи, особливостей завдань, наявності вихідних даних. На мікроекономічному рівні витрати та випуск можуть вимірюватися як у натуральних, так і у вартісних одиницях (показниках). Річні витрати можуть бути виміряні в человеко-часах чи рублях виплаченої зарплати; випуск продукції може бути представлений у штуках або інших натуральних одиницях або у вигляді своєї вартості.

На макроекономічному рівні витрати та випуск вимірюються, як правило, у вартісних показниках і являють собою вартісні агрегати, тобто сумарні величини творів обсягів затрачуваних ресурсів та продуктів, що випускаються на їх ціни.

Виробничі функції кількох змінних

Перейдемо тепер до розгляду виробничих функцій кількох змінних.

Виробнича функція кількох змінних– це функція, незалежні змінні якої приймають значення обсягів витрачаються або використовуваних ресурсів (число змінних n дорівнює кількості ресурсів), а значення функції має сенс величин обсягів випуску:

y = f (x) = f (x 1, ..., х n). (2)

У формулі (2) у (у 0) - скалярна, а х - векторна величина, x 1, ..., х n -координати вектора х, тобто f (x 1, ..., х n) є числова функція декількох змінних x 1, ..., х n. У зв'язку з цим ПФ f(x 1 ,...,х n) називають багаторесурсною або багатофакторною. Більш правильною є така символіка f(x 1 ,...,х n ,а), де а вектор параметрів ПФ.

За економічним змістом всі змінні цієї функції невід'ємні, отже, областю визначення багатофакторної ПФ є безліч n-мірних векторів х, всі координати x 1, ..., х яких невід'ємні числа.

Для окремого підприємства (фірми), що випускає однорідний продукт, ПФ f(x 1 ,...,х n) може пов'язувати обсяг випуску із витратами робочого дня за різними видами праці, різних видів сировини, комплектуючих виробів, енергії, основного капіталу. ПФ такого типу характеризують діючу технологію підприємства (фірми).

При побудові ПФ для регіону чи країни загалом як величину річного випуску Y частіше беруть сукупний продукт (дохід) регіону чи країни, який зазвичай обчислюється в незмінних, а чи не в поточних цінах, як ресурсів розглядають основний капітал (х 1 (=К) – обсяг використовуваного протягом року основного капіталу) і живу працю (х 2 (=L) – кількість одиниць затрачуваної протягом року живої праці), що обчислюються зазвичай у вартісному вираженні. Таким чином, будують двофакторну ПФ Y=f(K,L). Від двофакторних ПФ переходять до трифакторних. Крім того, якщо ПФ будується за даними тимчасових рядів, то як особливий фактор зростання виробництва може бути включений технічний прогрес.

ПФ y=f(x 1 x 2) називається статичної, якщо її параметри та її характеристика f не залежать від часу t, хоча обсяги ресурсів та обсяг випуску можуть залежати від часу t, тобто можуть мати уявлення у вигляді часових рядів: x 1 (0), x 1 (1),…, x 1 (Т); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t) = f(x 1 (t), x 2 (t)). Тут t - номер року, t = 0,1, ..., Т; t= 0 – базовий рік тимчасового проміжку, що охоплює роки 1,2,…,Т.

приклад 2.Для моделювання окремого регіону чи країни загалом (тобто на вирішення завдань на макроекономічному, і навіть на мікроекономічному рівні) часто використовується ПФ виду y=
, де а 0, а 1, а 2 - параметри ПФ. Це позитивні постійні (часто а 1 і 2 такі, що а 1 + а 2 = 1). ПФ щойно наведеного виду називається ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) на ім'я двох американських економістів, які запропонували її використовувати у 1929 р.

ПФКД активно застосовується для вирішення різноманітних теоретичних та прикладних завдань завдяки своїй структурній простоті. ПФКД належить до класу, про, мультиплікативних ПФ (МПФ). У додатках ПФКД х 1 =К дорівнює обсягу використовуваного основного капіталу (обсягу використовуваних основних фондів - у вітчизняній термінології),
- Витратам живої праці, тоді ПФКД набуває вигляду, що часто використовується в літературі:

Y=
.

Історична довідка

У 1927 р. Пол Дуглас, економіст за освітою, виявив, що й поєднати графіки залежність від часу логарифмів показників реального обсягу випуску (Y), капітальних вкладень (К) та витрат праці (L), то відстані від точок графіка показників випуску до точок графіків показників витрат праці та капіталу становитимуть постійну пропорцію. Потім він звернувся до математика Чарльза Кобба з проханням знайти математичну залежність, що має таку особливість, і Кобб запропонував таку функцію:

Ця функція була запропонована приблизно 30 роками раніше Філіпом Вікстідом, як було вказано Ч.Коббом і П.Дугласом у їхній класичній роботі (1929 р.), але вони були першими, хто використав для її побудови емпіричні дані. Автори не описують, як вони насправді підібрали функцію, але імовірно вони використовували форму регресійного аналізу, оскільки посилалися на «теорію найменших квадратів».

приклад 3.Лінійна ПФ (ЛПФ) має вигляд:
(двофакторна) та (багатофакторна). ЛПФ належить до класу про адитивних ПФ (АПФ). Перехід від мультиплікативної ПФ до адитивної здійснюється за допомогою операції логарифмування. Для двофакторної мультиплікативної ПФ

цей перехід має вигляд: . Вводячи відповідну заміну, отримаємо адитивну ПФ.

Якщо сума показників ступеня в ПФ Кобба-Дугласа дорівнює одиниці, її можна записати в дещо іншій формі:

тобто.
.

Дроби
називаються відповідно продуктивністю праці та капіталовооруженністю праці. Використовуючи нові символи, отримуємо

тобто. із двофакторної ПФКД отримаємо формально однофакторну ПФКД. У зв'язку з тим, що 0 1

Зазначимо, що дріб називається продуктивністю капіталу чи капіталовіддачею, зворотні дроби називаються відповідно капіталомісткістю та трудомісткістю випуску.

ПФ називається динамічної, якщо:

час t фігурує як самостійної змінної величини (ніби самостійного фактора виробництва), що впливає на обсяг продукції, що випускається;

Параметри ПФ та її характеристика f залежать від часу t.

Зазначимо, що якщо параметри ПФ оцінювалися за даними часових рядів (обсягів ресурсів та випуску) тривалістю років, то екстраполяційні розрахунки за такою ПФ слід проводити не більше ніж на 1/3 років вперед.

При побудові ПФ науково-технічний прогрес (НТП) може бути врахований за допомогою введення множника НТП
де параметр р (р>0) характеризує темп приросту випуску під впливом НТП:

(T = 0,1, ..., Т).

Ця ПФ – найпростіший приклад динамічної ПФ; вона включає нейтральний, тобто нематеріалізований в одному з факторів технічний прогрес. У більш складних випадках технічний прогрес може впливати безпосередньо на продуктивність праці або капіталовіддачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) або Y(t)=f(A(t)× K(t), L(t)). Він називається, відповідно, трудозберігаючим чи капіталозберігаючим НТП.

приклад 4.Наведемо варіант ПФКД з урахуванням НТП

Розрахунок чисельних значень параметрів такої функції проводиться за допомогою кореляційного та регресійного аналізу.

Вибір аналітичної форми ПФ
диктується передусім теоретичними міркуваннями, які мають враховувати особливості взаємозв'язків між конкретними ресурсами чи економічних закономірностей. Оцінка параметрів ПФ зазвичай проводиться шляхом найменших квадратів.

Властивості та основні характеристики виробничих функцій

Для конкретного продукту потрібно поєднання різноманітних чинників. Незважаючи на це, різні виробничі функції мають низку загальних властивостей.

Для визначеності обмежимося виробничими функціями двох змінних
. Насамперед необхідно відзначити, що така виробнича функція визначена в невід'ємному ортанті двовимірної площини, тобто при. ПФ задовольняє наступному ряду властивостей:

Подібно до лінії рівня цільової функціїОптимізаційне завдання, для ПФ також має місце аналогічне поняття. Лінія рівня ПФ– це безліч точок, на яких ПФ приймає постійне значення. Іноді лінії рівня називають ізоквантамиПФ. Зростання одного фактора та зменшення іншого можуть відбуватися таким чином, що загальний обсяг виробництва залишається на колишньому рівні. Ізокванти якраз і визначають всі можливі комбінації факторів виробництва, необхідні досягнення заданого рівня продукції.

З малюнка 2 видно, що вздовж ізокванти випуск продукції постійний, тобто приріст випуску відсутня. Математично це означає, що повний диференціал ПФ на ізокванті дорівнює нулю:

Ізокванти мають наступні властивостями:

Ізокванти не перетинаються.

Більшій віддаленості ізокванти від початку координат відповідає більший рівень продукції, що випускається.

Ізокванти - криві, що знижуються, мають негативний нахил.

Ізокванти є подібністю кривих байдужості з тією лише різницею, що вони відбивають ситуацію над сфері споживання, а сфері виробництва.

Негативний нахил ізоквант пояснюється тим, що збільшення використання одного фактора при певному обсязівипуску продукту завжди супроводжуватиметься зменшенням кількості іншого чинника. Крутизна нахилу ізокванти характеризується граничною нормою технологічного заміщення факторів виробництва (MRTS) . Розглянемо цю величину з прикладу двухфакторной виробничої функції Q(y,x). Гранична норма технологічного заміщення вимірюється співвідношенням зміни фактора до зміни фактора х. Оскільки заміна факторів відбувається у протилежному відношенні, то математичний виразпоказника MRTS береться зі знаком мінус:

На малюнку 3 зображено одну з ізоквант ПФ Q(y,x)

Якщо взяти якусь точку на цій ізокванті, наприклад, точку А і провести до неї дотичну КМ, то тангенс кута дасть нам значення MRTS:

Можна зазначити, що у верхній частині ізокванти кут буде досить великий, що говорить про те, що для зміни фактора на одиницю потрібні значні зміни фактора y. Отже, у цій частині кривої значення MRTS буде велике. У міру руху вниз по ізокванте значення граничної норми технологічного заміщення поступово зменшуватиметься. Це означає, що для збільшення фактора на одиницю потрібно незначне зменшення фактора y. При повній замінності факторів ізокванти з кривих перетворюються на прямі.

Один із найцікавіших прикладів використання ізоквант ПФ – це дослідження ефект масштабу виробництва (див. властивість 7).

Що ефективніше для економіки: один великий завод чи кілька малих підприємств? Відповідь на це питання не така проста. Планова економіка відповідала нею однозначно, віддаючи пріоритет промисловим гігантам. З переходом до ринкової економіки розпочалося повсюдне розукрупнення створених раніше об'єднань. Де золота середина? Доказову відповідь це питання можна отримати, дослідивши ефект масштабу виробництва.

Уявімо, що на взуттєвій фабриці керівництво прийняло рішення значну частину отриманого прибутку направити на розвиток виробництва з метою збільшення обсягів продукції, що виробляється. Припустимо, що капітал (устаткування, верстати, виробничі площі) збільшено вдвічі. Чисельність працівників збільшилася у такій самій пропорції. Виникає питання, що станеться в такому випадку з обсягом продукції, що випускається?

З аналізу малюнку 5

слідують три варіанти відповіді:

Кількість продукції зросте вдвічі (постійна віддача від масштабу);

Збільшиться більш, ніж удвічі (зростаюча віддача від масштабу);

Збільшиться, але менше, ніж удвічі (зменшується віддача від масштабу).

Постійна віддача масштабу виробництва пояснюється однорідністю змінних чинників. При пропорційному збільшенні капіталу праці на такому виробництві середня і гранична продуктивність цих чинників залишиться незмінною. У такому разі байдуже, чи працюватиме одне велике підприємство або замість нього буде створено два дрібні.

При спадній віддачі від масштабу невигідно створювати велике виробництво. Причиною низької ефективності у разі, зазвичай, є додаткові витрати, пов'язані з управлінням подібним виробництвом, складності координації великого виробництва.

Зростаюча віддача від масштабу, як правило, характерна для тих виробництв, де можлива широка автоматизація виробничих процесів, застосування потокових і конвеєрних ліній. Але з тенденцією зростання віддачі від масштабу потрібно бути дуже обережним. Рано чи пізно вона перетворюється на постійну, а потім і на спадну віддачу від масштабу.

Зупинимося деякі характеристики виробничих функцій, найважливіших для економічного аналізу. Розглянемо їх на прикладі ПФ виду
.

Як було зазначено вище, ставлення
(i=1,2) називається середньою продуктивністю i-го ресурсу або середнім випуском по i-му ресурсу. Перша приватна похідна ПФ
(i=1,2) називається граничною продуктивністю i-го ресурсу або граничним випуском по i-му ресурсу. Цю граничну величину іноді інтерпретують, використовуючи близьке до неї ставлення малих кінцевих величин
. Наближено вона показує, на скільки одиниць збільшиться обсяг випуску y якщо обсяг витрат i-го ресурсу збільшиться на одну (досить малу) одиницю при постійних обсягах іншого затрачуваного ресурсу.

Наприклад, у ПФКД для середніх продуктивностей основного капіталу у/К та праці у/L використовуються відповідно терміни капіталовіддача та продуктивність праці:

Визначимо для цієї функції граничні продуктивності факторів:

Таким чином, якщо
, то
(i=1,2), тобто гранична продуктивність i-го ресурсу не більша за середню продуктивність цього ресурсу. Відношення граничної продуктивності
i-го фактора для його середньої продуктивності називається еластичністю випуску по i-му фактору виробництва

або наближено

Таким чином, еластичність випуску (обсягу виробництва) за деяким фактором (коефіцієнт еластичності) наближено визначається як відношення темпів приросту до темпів приросту цього фактора, тобто вказує на скільки відсотків збільшиться випуск у, якщо витрати i-го ресурсу збільшаться на один відсоток при постійних обсягах іншого ресурсу.

Сума +=Еназивається еластичністю виробництва. Наприклад, для ПФКД = , і Е=.

Приклади використання виробничих функцій у завданнях економічного аналізу, прогнозування та планування

Виробничі функції дозволяють кількісно проаналізувати найважливіші економічні залежності у сфері виробництва. Вони дають можливість оцінити середню та граничну ефективність різних ресурсів виробництва, еластичність випуску за різними ресурсами, граничні норми заміщення ресурсів, ефект від масштабу виробництва та багато іншого.

приклад 1.Припустимо, що процес виробництва описується за допомогою функції випуску

Оцінимо основні характеристики цієї функції способу виробництва, у якому К=400, а L=200.

Рішення.

Граничні продуктивності факторів.

Для розрахунку цих величин визначимо приватні похідні функції щодо кожного з факторів:

Таким чином, гранична продуктивність фактора праця вчетверо перевищує аналогічну величину для фактора капіталу.

Еластичність виробництва.

Еластичність виробництва визначається сумою еластичності випуску по кожному фактору, тобто

Гранична норма заміщення ресурсів.

Вище у тексті ця величина позначалася
і дорівнювала
. Таким чином, у нашому прикладі

тобто для заміщення одиниці праці у цій точці необхідні чотири одиниці ресурсів капіталу.

Рівняння ізокванти.

Для визначення форми ізокванти необхідно зафіксувати значення обсягу випуску (Y). Нехай, наприклад, Y = 500. Для зручності приймемо L функцією До, тоді рівняння ізокванти набуде вигляду

Гранична норма заміщення ресурсів визначає тангенс кута нахилу дотичної ізокванте у відповідній точці. Використовуючи результати п. 3, можна сказати, що точка торкання розташована у верхній частині ізокван, так як кут досить великий.

приклад 2.Розглянемо функцію Кобба-Дугласа у загальному вигляді

Припустимо, що K та L подвоюються. Таким чином, новий рівень випуску (Y) запишеться так:

Визначимо ефект від масштабу виробництва у випадках, якщо
>1, =1 і

Якщо, наприклад, =1,2, а
=2,3, то Y збільшується більше, ніж удвічі; якщо =1, а =2, то подвоєння і L призводить до подвоєння Y; якщо =0,8, а =1,74, то Y збільшується менше, ніж удвічі.

Таким чином, приклад 1 міг спостерігатися постійний ефект від масштабу виробництва.

Історична довідка

У своїй першій статті Ч.Кобб та П.Дуглас спочатку передбачали постійну віддачу від масштабу. Згодом вони послабили це припущення, воліючи оцінювати рівень віддачі від масштабу виробництва.

Основне завдання виробничих функцій все ж таки – дати вихідний матеріал для найбільш ефективних управлінських рішень. Проілюструємо питання ухвалення оптимальних рішень на основі використання виробничих функцій.

приклад 3.Нехай дана виробнича функція, що пов'язує обсяг випуску продукції підприємства з чисельністю робітників , виробничими фондами та обсягом використовуваних верстатно-годин

звідки отримаємо рішення
, У якому у=2. Оскільки, наприклад, точка (0,2,0) належить допустимої області й у ній у=0, робимо висновок, що точка (1,1,1) – точка глобального максимуму. Економічні висновки з одержаного рішення очевидні.

На закінчення відзначимо, що виробничі функції можна використовуватиме екстарполяції економічного ефекту виробництва, у заданий період майбутнього. Як і у разі звичайних економетричних моделей, економічний прогноз починають із оцінки прогнозних значень факторів виробництва. При цьому можна використовувати найбільш підходящий у кожному окремому випадку спосіб економічного прогнозу.

Основні висновки

Тести для перевірки засвоєного матеріалу

Виберіть правильну відповідь.

Що характеризує виробнича функція?

а) загальний обсяг використаних виробничих ресурсів;

Б) найефективніший спосіб технологічної організації виробництва;

В) взаємозв'язок витрат та максимального обсягу випуску продукції;

Г) спосіб мінімізації прибутку за умови мінімізації витрат.

Яке із представлених рівнянь є рівняння виробничої функції Кобба-Дугласа?

Г) y=
.

3. Що характеризує виробнича функція з одним змінним чинником?

а) залежність обсягу виробництва від ціни на фактор,

б) залежність, коли він чинник х змінюється, проте інші залишаються постійними,

В) залежність, за якої всі фактори змінюються, а фактор х залишається постійним,

Г) залежність між факторами х та у.

4. Карта ізоквант – це:

А) набір ізоквант, що показує випускати продукцію при певному поєднанні чинників;

Б) довільний набір ізоквант, що показує граничну норму продуктивності змінних факторів;

В) комбінації ліній, що характеризують граничну норму технологічного заміщення.

Вірні чи невірні твердження?

Виробнича функція відбиває взаємозв'язок використовуваних чинників виробництва та відношення граничних продуктивностей цих факторов.

Функція Кобба-Дугласа - це виробнича функція, що показує максимальний обсяг продукту при використанні праці та капіталу.

Немає межі зростання виробленого продукту при одному змінному чиннику виробництва.

Ізокванта - це крива рівного продукту.

Изокванта показує всі можливі комбінації використання двох змінних чинників отримання максимального продукту.

Література

Доугерті К. Введення в економетрику. - М.: Фінанси та статистика, 2001.

Замков О.О., Толстоп'ятенко О.В., Черемних Ю.П. Математичні методи економіки: Підручник. - М: Вид. "ДІС", 1997.

Курс економічної теорії: підручник. - Кіров: "АСА", 1999.

Мікроекономіка / За ред. Проф. Яковлєвої Є.Б. - М.: СПб. Пошук, 2002.

Світова економіка. Варіанти аудиторних праць для викладачів. - М.: ВЗФЕД, 2001.

Овчинніков Г.П.. Мікроекономіка. - Санкт-Петербург: Вид-во ім. Володарського, 1997.

Політична економія; економічна енциклопедія - М: Вид. «Рад. Енциклопедія», 1979.

Виробничими функціями називаються економіко-математичні моделі, що пов'язують змінні величинивитрат із величинами випуску. Поняття "витрати" та "випуск" мають відношення, як правило, до процесу виробництва продукції; це пояснює походження назви цього типу моделей. Якщо розглядається економіка регіону чи країни загалом, то розробляються агреговані виробничі функції, у яких випуском є показник сукупного суспільного продукту. Приватними випадками виробничих функцій є функції випуску (Залежність обсягу виробництва від наявності чи споживання ресурсів), функції витрат (зв'язок обсягу продукції та витрат виробництва), функції капітальних витрат (Залежність капітальних вкладень від виробничої потужностістворюваних підприємств) та ін.

Широко використовуються мультиплікативні форми представлення виробничих функцій. У найзагальнішому вигляді мультиплікативна виробнича функція записується так:

Тут коефіцієнт А визначає розмірність величин і залежить від обраних одиниць виміру витрат та випуску. Помножувачі X i представляють фактори, що впливають, і можуть мати різний економічний зміст залежно від того, які фактори впливають на величину випуску. Р. Ступінні параметри α, β, ..., γ показують ту частку в прирості кінцевого продукту, яку вносить кожен із факторів-співмножників; вони називаються коефіцієнтами еластичності виробництва щодо витрат відповідного ресурсу та показують, на скільки відсотків зростає випуск зі збільшенням витрат даного ресурсу на один відсоток.

Сума коефіцієнтів еластичності має важливе значенняхарактеристики властивостей виробничої функції. Припустимо, що витрати всіх видів ресурсів зростають у k разів. Тоді величина випуску відповідно до (7.16) складе

Отже, якщо , то зі збільшенням витрат на до Якщо випуск збільшується також у k разів; виробнича функція у разі є лінійно однорідної. При Е > 1 таке ж збільшення витрат призведе до зростання випуску більш ніж до раз, а при Е < 1 – менее чем в до разів (так званий ефект масштабу).

Як приклад мультиплікативних виробничих функцій можна навести широко відому виробничу функцію Кобба - Дугласа:

N - Національний дохід;

А - Коефіцієнт розмірності;

L, К - обсяги прикладеної праці та основного капіталу відповідно;

α і β – коефіцієнти еластичності національного доходу та праці L та капіталу До.

Ця функція застосовувалася американськими дослідниками під час аналізу розвитку США у 30-х роках минулого століття.

Ефективність використання ресурсів характеризується двома основними показниками: середня (абсолютна ) ефективність ресурсу

і гранична ефективність ресурсу

Економічний сенс величини μi очевидний; залежно від типу ресурсу вона характеризує такі показники, як продуктивність праці, фондовіддача та ін. v i показує граничний приріст випуску продукту зі збільшенням витрат i-го ресурсу на " малу одиницю " (на 1 крб., на 1 нормо-годину тощо.).

Безліч точок n -мірного простору факторів виробництва (ресурсів), що задовольняють умову сталості випуску Р (Х ) = С, називається ізоквантою. Найважливішими властивостями ізокванту є такі: ізокванти не перетинаються один з одним; більшої величинивипуску відповідає більш віддалена від початку координат ізокванту; якщо всі ресурси абсолютно необхідні для виробництва, то ізокванти не мають загальних точокз координатними гіперплощинами та з осями координат.

У матеріальному виробництві велике значеннянабуває поняття взаємозамінності ресурсів. Теоретично виробничих функцій можливості заміщення ресурсів характеризують виробничу функцію з погляду різних комбінацій витрат ресурсів, які ведуть одному й тому рівні випуску продукту. Пояснимо це на умовному прикладі. Нехай виробництво певної кількості сільгосппродукції потребує 10 працівників та 2 т добрив, а при внесенні до ґрунту лише 1 т добрив буде потрібно вже 12 працівників для отримання того ж урожаю. Тут 1 т добрив (перший ресурс) замінюється працею двох працівників (другий ресурс).

Умови еквівалентної взаємозамінності ресурсів у певній точці випливають із рівності dP = 0:

Звідси гранична норма заміщення (еквівалентної замінності) будь-яких двох ресурсів k і l задається формулою

(7.20)

Гранична норма заміщення як показник виробничої функції характеризує відносну ефективність факторів виробництва, що допускають взаємну заміну, при русі вздовж ізокванти. Наприклад, функції Кобба – Дугласа гранична норма заміщення витрат праці витратами капіталу, тобто. виробничими фондами, має вигляд

(7.21)

Знак мінус у правих частинах формул (7.20) та (7.21) означає, що при фіксованому обсязі виробництва збільшенню одного із взаємозамінних ресурсів відповідає зменшення іншого.

Приклад 7.1.Розглянемо приклад виробничої функції Кобба – Дугласа, на яку відомі коефіцієнти еластичності випуску з праці та капіталу: α = 0,3; β = 0,7, а також витрати праці та капіталу: L = 30 тис. чол.; До = 490 млн руб. У цих умовах гранична норма заміщення виробничих фондіввитратами праці дорівнює

Таким чином, у цьому умовному прикладі в тих точках двовимірного простору ( L, К ), де ресурси праці та капіталу взаємозамінні, зменшення виробничих фондів на 7 тис. руб. може бути компенсовано збільшенням витрат праці на 1 чол., І навпаки.

З поняттям граничної норми заміщення пов'язане поняття еластичність заміщення ресурсів. Коефіцієнт еластичності заміщення характеризує відношення відносної зміни співвідношення витрат ресурсів k і l до відносної зміни граничної норми заміщення цих ресурсів:

Цей коефіцієнт показує, наскільки відсотків має змінитися відношення між взаємозамінними ресурсами, щоб гранична норма заміщення цих ресурсів змінилася на 1%. Чим вище еластичність заміни ресурсів, тим більш широких межах вони можуть замінювати один одного. При нескінченній еластичності () немає меж взаємозамінності ресурсів. При нульовій еластичності заміщення () можливість заміни відсутня; у цьому випадку ресурси взаємодоповнюють один одного і обов'язково мають використовуватись у певному співвідношенні.

Розглянемо на додаток до функції Кобба – Дугласа деякі інші виробничі функції, які широко використовуються як економетричні моделі. Лінійна виробнича функція має вигляд

- Оцінювані параметри моделі;

, - фактори виробництва, взаємозамінні в будь-яких пропорціях (еластичність заміщення).

Ізокванти цієї виробничої функції утворюють сімейство паралельних гіперплощин у невід'ємному ортанті n -мірного простору факторів

У багатьох дослідженнях застосовуються виробничі функції з постійною еластичністю заміщення.

(7.23)

Виробнича функція (7.23) є однорідною функцією ступеня п. Усі еластичності заміщення ресурсів рівні між собою:

внаслідок цього дана функція називається функцією з постійною еластичністю заміщення (функцією CES ). Якщо , еластичність заміщення менше одиниці; якщо , Величина більше одиниці; при функція CES перетворюється на мультиплікативну статечну виробничу функцію (7.16).

Двофакторна функція CES має вигляд

При п = 1 і р = 0 ця функція перетворюється на функцію типу функції Кобба – Дугласа (7.17).

Крім виробничих функцій з постійними коефіцієнтамиеластичності випуску від ресурсів та постійною еластичністю заміщення ресурсів в економічному аналізі та прогнозуванні застосовуються і функції більш загального виду. Як приклад можна навести функцію

Ця функція відрізняється від функції Кобба - Дугласа множником, де z = K/L – фондозброєність (капіталовозброєність) праці, і в ній еластичність заміщення приймає різні значеннязалежно від рівня капіталовооруженності праці. У зв'язку з цим ця функція відноситься до типу виробничих функцій із змінною еластичністю заміщення (функції VES ).

Перейдемо до розгляду низки питань практичного використання виробничих функцій в економіці

чеському аналізі. Макроекономічні виробничі функції застосовуються як інструмент прогнозування обсягів валової продукції, кінцевого продукту та національного доходу для аналізу порівняльної ефективності факторів виробництва. Так, важливою умовою зростання виробництва та продуктивності праці є збільшення фондоозброєності праці. Якщо для функції Кобба – Дуглас

задати умову лінійної однорідності, то із співвідношення між продуктивністю праці ( P/L ) та фондоозброєністю праці ( K/L )

(7.24)

слід, що продуктивність праці зростає повільніше фондовооруженности, оскільки . Цей висновок, як і інші результати аналізу з урахуванням виробничих функцій, завжди справедливий для статичних виробничих функцій, які враховують вдосконалення технічних засобів праці та якісних характеристик використовуваних ресурсів, тобто. без урахування технічного прогресу. Для оцінки параметрів моделі (7.24) її лінеаризують шляхом логарифмування:

Поряд з кількісним збільшенням використовуваних обсягів ресурсів ( трудових ресурсів, виробничих фондів і т.д.) найважливішим чинником зростання виробництва є науково-технічний прогрес, що полягає у вдосконаленні технічних засобів і технології, підвищенні кваліфікації працюючих, поліпшенні організації управління виробництвом. Статичні економетричні моделі, у тому числі статичні виробничі функції, не враховують фактор технічного прогресу, тому використовуються динамічні макроекономічні виробничі функції, параметри яких визначаються шляхом обробки часових рядів. Технічний прогрес зазвичай відбивають у виробничих функціях як тенденції розвитку, що залежить від часу.

Наприклад, функція Кобба – Дугласа з урахуванням фактора технічного прогресу набуває наступного вигляду:

У моделі (7.25) множник відбиває тенденцію розвитку, пов'язану з науково-технічним прогресом. У цьому множнику t – час, а λ – темп приросту випуску продукції завдяки технічного прогресу. При практичному використанні моделі (7.25) для оцінки її параметрів проводиться лінеаризація шляхом логарифмування, аналогічно моделі (7.24):

Слід особливо відзначити, що при побудові виробничих функцій, як і для багатофакторних економетричних моделей, дуже важливим моментом є правильний відбір факторів, що впливають. Зокрема, необхідно позбавлятися явищ мультиколінеарності факторів та явищ автокореляції всередині кожного з них. Це питання детально описано у параграфі 7.1 цього розділу. При оцінці параметрів виробничих функцій на основі статистичних спостережень, включаючи часові ряди, основним методом є метод найменших квадратів.

Розглянемо застосування виробничих функцій для економічного аналізу та прогнозування на умовному прикладі в галузі економіки праці.

Приклад 7.2. Нехай обсяг випуску продукції галузі характеризується виробничою функцією на кшталт функції Кобба – Дугласа:

Р - Обсяг випуску продукції (млн руб.);

Т - чисельність працівників галузі (тис. чол.);

Ф - Середньорічна вартість основних виробничих фондів (млн руб.).

Допустимо, параметри цієї виробничої функції відомі та рівні: а = 0,3; β = 0,7; коефіцієнт розмірності А = = 0,6 (тис. руб. / Чол.) 0,3. Відома також величина середньорічної вартості основних виробничих фондів Ф = 900 млн руб. У цих умовах потрібно:

1) визначити кількість працівників галузі, необхідне для випуску продукції обсягом 300 млн руб.;
2) з'ясувати, як зміниться випускати продукцію зі збільшенням чисельності працюючих па 1% і тієї ж обсягах виробничих фондів;
3) оцінити взаємозамінність матеріальних та трудових ресурсів.

Щоб відповісти на запитання першого завдання, лінеаризуємо цю виробничу функцію шляхом логарифмування з натуральної основи;

звідки випливає, що

Підставляючи вихідні дані, отримаємо

Звідси (тис. Чол.).

Розглянемо друге завдання. Оскільки ця виробнича функція є лінійно однорідною; відповідно до цього коефіцієнти аїр є коефіцієнтами еластичності випуску з праці та фондів відповідно. Отже, збільшення кількості працюючих галузі на 1% за постійного обсягу виробничих фондів призведе до зростання випуску продукції на 0,3%, тобто. випуск становитиме 300,9 млн руб.

Переходячи до третього завдання, розрахуємо граничну норму заміщення виробничих фондів трудовими ресурсами. Відповідно до формули (7.21)

Таким чином, за умови взаємозамінності ресурсів для забезпечення сталості випуску (тобто при русі по ізокванті) зменшення виробничих фондів галузі на 3,08 тис. руб. може бути відшкодовано збільшенням трудових ресурсів на 1 чол., І навпаки.

Іншим видом виробничої функції є лінійна виробнича функція, яка має такий вигляд:

Q(L,K) = aL + bK

Економічний зміст лінійної виробничої функції полягає в тому, що вона описує таке виробництво, в якому фактори є взаємозамінними, тобто не має значення використовувати тільки працю або тільки капітал. Але в реальному житті така ситуація практично не можлива, тому що будь-яка машина все одно обслуговується людиною.

Необхідно зазначити, що в деяких видах господарської діяльності праця та капітал взагалі не можуть замінити один одного і повинні використовуватися у фіксованій пропорції: 1 робітник – 2 верстати, 1 автобус – 1 водій. У цьому випадку еластичність заміщення факторів дорівнює нулю, а технологія виробництва відображається виробничою функцією Леонтьєва:

Q(L,K) = min(; ),

Якщо, наприклад, на кожному автобусі далекого прямування має бути два водії, то за наявності в автобусному парку 50 автобусів та 90 водіїв одночасно можуть обслуговуватись лише 45 маршрутів:
min(90/2;50/1) = 45.

додаток

Приклади вирішення завдань із використанням виробничих функцій

Завдання 1

Рішення

Ізокоста задається рівнянням:

де C - величина загальних витрат (деяка константа). Звідси:

тобто. нахил цієї прямої дорівнює -1.

Оптимальна кількість праці та капіталу для 100 перевезень визначається як точка дотику ізокванти та ізокости при деякому C . Вирішуючи рівняння ізокванти отримуємо:

√(L×K) = 100/10 = 10, тоді .

Тоді . Так як загальні витрати при цьому повинні бути мінімальні, то, мінімізуючи C L, знайдемо кількість праці L: та . Кількість капіталу знайдемо за формулою .

Відповідь: Для здійснення 100 перевезень фірма має залучити 10 одиниць праці та 10 одиниць капіталу.

Завдання 2

Виробнича функція має вигляд , де Y- кількість продукції за день, L- годинник праці, K- Години роботи машин. Припустимо, що в день витрачається 9 годин праці та 9 годин роботи машин.

Яке максимальна кількістьпродукції, виробленої протягом дня? Припустимо, фірма подвоїла витрати обох чинників. Визначте ефект масштабу виробництва.

Рішення

В умовах завдання в день проводиться одиниць продукції. Якщо витрати обох чинників подвоюються, випуск стає рівним , тобто. теж подвоюється. Тоді й ефект від зміни масштабу виробництва, що визначається з умови, дорівнює одиниці.

Завдання 3

У короткостроковому періоді виробнича функція фірми має вигляд: , де L - число робітників. За якого рівня зайнятості загальний випуск буде максимальним?

Рішення

Щоб відповісти на питання задачі, потрібно знайти точку максимуму функції Y(L). Продиференціюємо її L і прирівняємо похідну до нуля: . Отримуємо квадратне рівняння, дискримінант якого , а коріння . Оскільки один із коренів негативний, беремо . Кількість робочих - ціле число, тому округляючи, отримуємо .

Висновок

Ресурси в економіці виступають як фактори виробництва, до яких належать:

2. земля (природні ресурси);

3. капітал;

4. підприємницька спроможність;

5. Науково-технічний прогрес.

Усі ці фактори тісно взаємопов'язані між собою.

Q = f (K, L),де Q – обсяг виробництва; К – капітал; L – працю.

Кошти зазвичай обмежені. Лінія, утворена безліччю точок, що показують скільки поєднуються чинників виробництва чи ресурсів можна придбати за наявних коштів, називається изокостой. Таким чином, оптимальним поєднанням факторів для конкретного підприємства є загальне вирішення рівнянь ізокости та ізокванти. Графічно – це точка торкання ліній ізокости та ізокванти.

У роботі також було розглянуто конкретні приклади вирішення завдань із застосуванням виробничих функцій, які дозволили зробити висновок про їхню велику практичну значущість в економічній діяльності будь-якого підприємства.

Список використаної літератури

1. Доугерті До. Введення в економетрику. - М.: Фінанси та статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстоп'ятенко О.В., Черемних Ю.П. Математичні методи економіки: Підручник. - М: Вид. "ДІС", 1997.

3. Курс економічної теорії: підручник. - Кіров: "АСА", 1999.

4. Мікроекономіка. За ред. Проф. Яковлєвої Є.Б. - М.: СПб. Пошук, 2002.

5. Салманов О. Математична економіка. - М.: BHV, 2003.

6. Чураков Є.П. Математичні методи обробки експериментальних даних економіки. - М.: Фінанси та статистика, 2004.

7. Шелобаєв С.І. Математичні методи та моделі в економіці, фінансах, бізнесі. - М.: Юніті-Дана, 2000.

1 Великий комерційний словник. / За редакцією Рябової Т.Ф. - М.: Війна і мир, 1996. С. 241.

В умовах сучасного суспільства жодна людина не може споживати тільки те, що вона сама виробляє. Кожен індивід виступає над ринком у двох ролях: як споживач і як виробник. Без постійного виробництва благне було б споживання. На відоме питання «Що робити?» відповідають споживачі на ринку, «голосуючи» вмістом свого гаманця за ті товари, які їм справді потрібні. На запитання «Як зробити?» повинні відповісти ті фірми, які виробляють товари ринку.

В економіці присутні два види благ: споживчі блага та фактори виробництва (ресурси) – це блага, необхідні для організації процесу виробництва

Неокласична теорія традиційно до факторів виробництва відносила капітал, землю та робочу силу.

У 70-ті роки XIX століттяАльфредом Маршаллом було виділено четвертий чинник виробництва – організація. Далі Йозефом Шумпетером цей фактор був названий підприємництвом.

Таким чином, виробництво є процес поєднання таких чинників як капітал, працю, земля та підприємництво з метою отримання нових благ та послуг, необхідних споживачам.

Для організації виробничого процесу необхідні фактори виробництва повинні бути присутніми у певній кількості.

Залежність максимального обсягу виробленого продукту від витрат факторів, що використовуються, називається виробничою функцією:

де Q - максимальний обсяг продукту, який можливо зробити при заданій технології та певних факторах виробництва; K – витрати капіталу; L – витрати праці; M – витрати сировини, матеріалів.

Для укрупненого аналізу та прогнозування використовується виробнича функція, яка називається функцією Кобба-Дугласа:

Q = k · K · L · M ,

де Q – максимальний обсяг продукту при заданих факторах виробництва; K, L, M – відповідно витрати капіталу, праці, матеріалів; k - коефіцієнт пропорційності, чи масштабності; , , , - показники еластичності обсягу виробництва відповідно до капіталу, праці та матеріалів, або коефіцієнти приросту Q, що припадають на 1% приросту відповідного фактора:

+ + = 1

Незважаючи на те, що для виробництва конкретного продукту потрібно поєднання різних факторів, виробнича функція має низку загальних властивостей:

фактори виробництва взаємодоповнюють. Це означає, що процес виробництва можливий лише за наборі певних чинників. Відсутність одного з перерахованих факторів унеможливить виробництво запланованого продукту.

Існує певна взаємозамінність факторів. У процесі виробництва один фактор може бути замінений у певній пропорції іншим. Взаємозамінність означає можливості повного виключення з виробничого процесу будь-якого чинника.

Прийнято розглядати 2 різновиди виробничої функції: з одним змінним фактором та з двома змінними факторами.

а) виробництво з одним змінним фактором;

Припустимо, що у найзагальнішому вигляді виробнича функція з одним змінним чинником має вигляд:

де y – const, x – величина змінного фактора.

Щоб відбити вплив змінного чинника виробництва, вводяться поняття сукупного (загального), середнього і граничного продукту.

Сукупний продукт (TP) - це кількість економічного блага, вироблена з використанням деякої кількості змінного фактора.Ця загальна кількість виробленого продукту змінюється зі збільшенням використання змінного чинника.

Середній продукт (AP) (середня продуктивність ресурсу)- це відношення загального продукту до кількості використаного у виробництві змінного фактора:

Граничний продукт (MP) (гранична продуктивність ресурсу) зазвичай визначається як приріст сукупного продукту, отриманий в результаті нескінченно малого збільшення кількості використаного змінного фактора:

На графіці зображено співвідношення MP, AP та TP.

Сукупний продукт (Q) з зростанням використання у виробництві змінного фактора (х) буде збільшуватися, однак це зростання має певні межі в рамках заданої технології. На першій стадії виробництва (ОА) збільшення витрат праці сприяє все більш повному використанню капіталу: гранична та загальна продуктивність праці зростають. Це виявляється у зростанні граничного та середнього продукту, при цьому MP > АР. У точці А" граничний продукт досягає свого максимуму. На другій стадії (AБ) величина граничного продукту зменшується і в точці Б стає рівною середньому продукту (MP = АР). Якщо першої стадії (0A) сукупний продукт зростає повільніше, ніж використане кількість змінного чинника, то другої стадії (АБ) сукупний продукт зростає швидше, ніж використане кількість змінного чинника (рис. 5-1а). На третій стадії виробництва (БВ) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (после точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фактора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Він стверджує, що зі зростанням використання будь-якого виробничого фактора (при незмінності інших) рано чи пізно досягається така точка, в якій додаткове застосування змінного фактора веде до зниження відносного і надалі абсолютного обсягів випуску продукції.

б) виробництво із двома змінними чинниками.

Припустимо, що у найзагальнішому вигляді виробнича функція з двома змінними факторами має вигляд:

де x та y - величини змінного фактора.

Як правило, розглядається 2 одночасно і взаємодоповнювані та взаємозамінні фактори: праця і капітал.

Цю функцію можна надати графічно з використанням ізокванти :

Ізокванта, або крива рівного продукту, відображає всі можливі комбінації двох факторів, які можуть бути використані для виробництва певного обсягу продукту.

Зі збільшенням обсягів використовуваних змінних факторів виникає можливість випуску більшого обсягу продукції. Ізокванта, що відображає виробництво більшого обсягу продукту, буде розташована правіше і вище попередньої ізокванти.

Кількість використаних факторів x і y може постійно змінюватися, відповідно зменшуватиметься або збільшуватиметься максимальний випуск продукту. Отже, може виникнути безліч ізоквант, відповідних різним обсягам своєї продукції, які утворюють карту ізоквант.

Ізокванти є подібністю кривих байдужості з тією лише різницею, що вони відбивають ситуацію над сфері споживання, а сфері виробництва. Тобто ізокванти мають властивості, близькі кривим байдужості.

Негативний нахил ізоквант пояснюється тим, що збільшення використання одного фактора за певного обсягу випуску продукту завжди супроводжуватиметься зменшенням кількості іншого фактора.

Так само як криві байдужості, розташовані на різній відстані від початку координат, характеризують різний рівень корисності для споживача, так і ізокванти дають інформацію про різних рівняхвиходу продукції.

Проблему замінності одного фактора іншим можна вирішити, розрахувавши граничну норму технологічного заміщення (MRTS xy або MRTS LK).

Гранична норма технологічного заміщення вимірюється співвідношенням зміни фактора до зміни фактора x. Оскільки заміна факторів відбувається у зворотному відношенні, то математичний вираз показника MRTS x,y береться зі знаком мінус:

MRTS x,y = абоMRTS LK =

Якщо ми візьмемо якусь точку на ізокванті, наприклад, точку A і проведемо до неї дотичну KM, то тангенс кута дасть нам значення MRTS x,y:

Можна відзначити, що у верхній частині ізокванти кут буде досить великий, що говорить про те, що для зміни фактора x на одиницю потрібні значні зміни фактора y. Отже, у цій частині кривої значення MRTS x, y буде велике.

У міру руху вниз по ізокванте значення граничної норми технологічного заміщення поступово зменшуватиметься. Це означає, що збільшення фактора x на одиницю знадобиться незначне зменшення фактора y.

У реальних виробничих процесах зустрічається два виняткові випадки у конфігурації ізоквант:

Це ситуація, коли два змінних фактори ідеально взаємозамінні, При повній замінності факторів виробництва MRTS x, y = const. Подібну ситуацію можна уявити за можливості повної автоматизації виробництва. Тоді в точці A весь процес виробництва складатиметься із витрат капіталу. У точці B всі машини будуть замінені робочими руками, а в точках C і D капітал і працю доповнюватимуть одна одну.

У ситуації з жорсткою доповнюваністю факторів гранична норма технологічного заміщення дорівнюватиме 0 (MRTS x, y = 0). Якщо ми візьмемо сучасний таксопарк з постійною кількістю машин (y 1), для роботи на яких необхідна певна кількість водіїв (x 1), то можна сказати, що кількість пасажирів, що обслуговуються, протягом доби не збільшиться, якщо ми збільшимо чисельність водійського складу до x 2 , x 3 ... x n . Обсяг виробленого продукту збільшиться з Q 1 до Q 2 тільки в тому випадку, якщо збільшиться кількість машин, що використовуються в таксопарку і чисельність водіїв.

Кожен виробник, набуваючи чинники в організацію виробництва, має певні обмеження у засобах.

Припустимо, що змінними чинниками виступають праця (фактор x) і капітал (фактор y). Вони мають певні ціни, які на період аналізу залишаються незмінними (P x , P y - const).

Виробник може набувати необхідних факторів у певному поєднанні, яке не виходить за рамки його бюджетних можливостей. Тоді його витрати на придбання фактора x складуть P x · x, фактор y відповідно - P y · y. Загальні витрати (С) становитимуть:

C = P x · X + P y · Y або
.

Для праці та капіталу:

або

Графічне зображення функції витрат (С) називається ізокостій (прямий рівних витрат, тобто це все комбінації ресурсів, використання яких веде до однакових витрат, витрачених на виробництво).Будується ця пряма за двома точками аналогічно бюджетної лінії (у рівновазі споживача).

Нахил даної прямої визначається:

Зі збільшенням коштів на придбання змінних факторів, тобто зі зменшенням бюджетних обмежень, лінія ізокости зрушуватиметься вправо та вгору:

C 1 = P x · X 1 + P y · Y 1 .

Графічно ізокости виглядають так само, як бюджетна лінія споживача. При постійних цінах ізокости є прямі паралельні лінії з негативним кутом нахилу. Чим більші бюджетні можливості виробника, тим далі від початку координат відстоїть ізокост.

Графік ізокости у разі зменшення ціни на фактор x переміститься по осі абсцис з точки x 1 x 2 відповідно до збільшення застосування цього фактора в процесі виробництва (рис. а).

А у разі збільшення ціни на фактор y виробник зможе меншу кількість цього фактора залучити до виробництва. Графік ізокости по осі ординат переміститься з точки y 1 y 2 .

Маючи можливості виробництва (ізокванти) та бюджетні обмеження виробника (ізокости), можна визначити рівновагу. Для цього сумісний карту ізоквант із ізокостою. Та ізокванта, стосовно якої ізокоста займе положення дотичної, визначить найбільший обсяг виробництва, за заданих бюджетних можливостей. Точка торкання ізокванти ізокостій буде точкою найбільш раціональної поведінки виробника.

При аналізі ізокванти ми з'ясували, що її нахил у будь-якій точці визначається кутом нахилу дотичної, або нормою технологічного заміщення:

MRTS x,y =

Ізокоста у точці E збігається з дотичною. Нахил ізокости, як ми визначили раніше, дорівнює кутовому коефіцієнту . Виходячи з цього, можна визначити точку рівноваги споживача як рівність співвідношень між цінами на фактори виробництва та зміною цих факторів.

або

Привівши дану рівність до показників граничного продукту змінного фактора виробництва, в даному випадку це MP x і MP y отримаємо:

або

Це рівновага виробника чи правило найменших витрат.

Для праці та капіталу рівновага виробника виглядатиме так:

Припустимо, ціни ресурсів залишаються незмінними, тоді як бюджет виробника постійно зростає. Поєднавши точки перетину ізоквант з ізокостами, ми отримаємо лінію OS - "шлях розвитку" (аналогічну лінії рівня життя в теорії поведінки споживача). Ця лінія показує темпи зростання співвідношення між факторами у процесі розширення виробництва. На малюнку, наприклад, працю під час розвитку виробництва використовується більшою мірою, ніж капітал. Форма кривої " шлях розвитку " залежить, по-перше, від форми изоквант і, по-друге, від ціни ресурси (співвідношення між якими визначає нахил изокост). Лінія "шлях розвитку" може бути прямою або кривою, що виходить із початку координат.

Якщо відстані між ізоквантами зменшуються, це свідчить про те, що існує зростаюча економія від масштабу, тобто збільшення випуску досягається за відносної економії ресурсів. І фірмі необхідно нарощувати обсяги виробництва, оскільки це призводить до відносної економії наявних ресурсів.

Якщо відстані між ізоквантами збільшуються, це свідчить про спадання економії від масштабу. Зменшена економія від масштабу свідчить про те, що мінімально ефективний розмір підприємства вже досягнуто і подальше нарощування виробництва є недоцільним.

У разі коли збільшення виробництва потребує пропорційного збільшення ресурсів, говорять про постійну економію від масштабу.

Таким чином, аналіз випуску за допомогою ізокванту дозволяє визначити технічну ефективність виробництва. Перетин ізоквант з ізокостою дозволяє визначити не тільки технологічну, а й економічну ефективність, тобто вибрати технологію (трудо-або капіталозберігаючу, енерго- або матеріалозберігаючу і т. д.), що дозволяє забезпечити максимальний випуск продукції при тих коштах, якими має в своєму розпорядженні виробник в організацію виробництва.