Рівняння прямої по точці та нормальному вектору. Загальне рівняння прямої на площині

Лінії рівняння на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.

Визначення. Рівнянням лініїназивається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через певний незалежний параметр t.

Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В  0, С  0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А  0, С  0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А  0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1.

Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1  х 2 і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб
=k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити
, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожен ненульовий вектор ( 1 ,  2), компоненти якого задовольняють умові А 1 + В 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1A + (-1)B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0.

за х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то розділивши на –С, отримаємо:
або

, де

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямий з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

З = 1,
, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число
, Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcos + ysin - p = 0 –

нормальне рівняння прямої.

Знак  нормуючого множника треба вибирати так, щоб С< 0.

р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а  - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад.Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

приклад.Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рівняння прямої має вигляд:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не підходить за умовою завдання.

Разом:
або х + у - 4 = 0.

приклад.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рівняння прямої має вигляд:
де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кутміж цими прямими визначатиметься як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 та А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 =  А, В 1 =  В. Якщо ще й 1 =  З, то прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння пряме, що проходить через дану точку

перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 , у 0 ), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.

Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

.

Теорему доведено.

приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k = . Тоді y =
. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню:
звідки b = 17. Разом:
.

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналітична геометрія у просторі.

Рівняння лінії у просторі.

Рівняння прямої в просторі по точці та

напрямний вектор.

Візьмемо довільну пряму та вектор (m, n, p), паралельний даній прямий. Вектор називається напрямним векторомпрямий.

На прямій візьмемо дві довільні точки М 0 (x0, y0, z0) і M(x, y, z).

z

M 1

Позначимо радіус- вектори цих точок як і , очевидно, що - =
.

Т.к. вектори
і колінеарні, то вірне співвідношення
= t де t – деякий параметр.

Отже, можна записати: = + t.

Т.к. цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути подане в координатній формі:

Перетворивши цю систему та прирівнявши значення параметра t, отримуємо канонічні рівнянняпрямий у просторі:

.

Визначення. Напрямними косинусамипрямий називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

;

.

Звідси отримаємо: m: n: p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтамипрямий. Т.к. - ненульовий вектор, тоm, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. І тут у рівнянні прямої слід прирівняти нулю відповідні чисельники.

Рівняння прямої у просторі, що проходить

через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координати цих точок повинні задовольняти отримане вище рівняння прямої:

.

Крім того, для точки М1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки у просторі.

Загальні рівняння прямої у просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0, де

- Нормаль площини; - радіус- вектор довільної точки площини.

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто викликають труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, що вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо) .

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мовою чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом у вирішенні завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку У– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташування векторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів і може набувати значення в інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний добуток векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається в аналітичній геометрії, це скаляр.

Знак векторного твору визначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина, то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідні під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, Задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомились із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили завдання щодо знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

Загальне рівнянняпрямий:

Часткові випадки загального рівняння прямої:

а якщо C= 0, рівняння (2) матиме вигляд

Ax + By = 0,

і пряма, яка визначається цим рівнянням, проходить через початок координат, оскільки координати початку координат x = 0, y= 0 задовольняють цього рівняння.

б) Якщо у загальному рівнянні прямий (2) B= 0, то рівняння набуде вигляду

Ax + З= 0, або .

Рівняння не містить змінної y, а пряма паралельна осі, що визначається цим рівнянням Ой.

в) Якщо у загальному рівнянні прямий (2) A= 0, то це рівняння набуде вигляду

By + З= 0, або ;

рівняння не містить змінної x, а пряма паралельна осі, яка їм визначається Ox.

Слід запам'ятати: якщо пряма паралельна якійсь координатній осі, то її рівнянні відсутня член, що містить координату, однойменну з цією віссю.

г) При C= 0 і A= 0 рівняння (2) набуває вигляду By= 0, або y = 0.

Це рівняння осі Ox.

д) При C= 0 і B= 0 рівняння (2) запишеться у вигляді Ax= 0 або x = 0.

Це рівняння осі Ой.

Взаємне розташування прямих на площині. Кут між прямими на площині. Умови паралельності прямих. Умови перпендикулярності прямих.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Вектори S 1 та S 2 називаються напрямними для своїх прямих.

Кут між прямими l 1 і l 2 визначається кутом між напрямними векторами.
Теорема 1: cos кута між l 1 і l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2:Для того, щоб 2 прямі дорівнювали необхідно і достатньо:

Теорема 3:щоб 2 прямі були перпендикулярні необхідно і достатньо:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Загальне рівняння площини та її окремі випадки. Рівняння площини у відрізках.

Загальне рівняння площини:

Ax + By + Cz + D = 0

Приватні випадки:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат

2. З=0 Ax+By+D = 0 – площина || OZ

3. У=0 Ax+Cz+d = 0 – площина || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – площина || OX

5. A=0 та D=0 By+Cz = 0 – площина проходить через OX

6. В=0 та D=0 Ax+Cz = 0 – площина проходить через OY

7. C=0 та D=0 Ax+By = 0 – площина проходить через OZ

Взаємне розташування площин та прямих ліній у просторі:

1. Кутом між прямими в просторі називається кут між їх напрямними векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Кутом між площинами визначається через кут між їхніми нормальними векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Косинус кута між прямою та площиною можна знайти через sin кута між напрямним вектором прямої та нормальним вектором площини.

4. 2 Прямі || у просторі, коли їх || напрямні вектора

5. 2 поверхні || коли || нормальний вектор

6. Аналогічно вводяться поняття перпендикулярності прямих та площин.

Запитання №14

Різні види рівняння прямої лінії на площині (рівняння прямої у відрізках, з кутовим коефіцієнтом та ін.)

Рівняння прямої у відрізках:
Припустимо, що у загальному рівнянні прямий:

1. С = 0 Ах + Ву = 0 - Пряма проходить через початок координат.

2. а = 0 Ву + С = 0 у =

3. в = 0 Ах + С = 0 х =

4. в = С = 0 Ах = 0 х = 0

5. а = С = 0 Ву = 0 у = 0

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

Будь-яка пряма, не рівна осі ОУ (Не =0), може бути записана в слід. вигляді:

k = tgα α – кут між прямою та позитивно спрямованою лінією ОХ

b – точка перетину прямої з віссю ОУ

Док-во:

Ах + Ву + С = 0

Ву = -Ах-С |:

Рівняння прямої за двома точками:

Питання №16

Кінцева межа функції у точці та при x→∞

Кінцева межа в точці х 0:

Число А називається межею функції y = f(x) при x→х 0 якщо для будь-якого Е > 0 існує б > 0 таке, що при х ≠x 0 , що задовольняє нерівності | х - х 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Межа позначається: = A

Кінцева межа в точці +∞:

Число А називається межею функції y = f(x) при x → + ∞ , якщо будь-якого Е > 0 існує З > 0, таке що з x > C виконується нерівність |f(x) - A|< Е

Межа позначається: = A

Кінцева межа в точці -∞:

Число А називається межею функції y = f(x) при x→-∞,якщо для будь-якого Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташуваннядвох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядізалежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний прямий, заданою рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний змісткоефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямої.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доведення. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Пряма, що проходить через точку K(x 0 ; y 0) і паралельна прямий y = kx + a знаходиться за формулою:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Де k – кутовий коефіцієнт прямий.

Альтернативна формула:
Пряма, що проходить через точку M 1 (x 1 ; y 1) і паралельна прямий Ax+By+C=0 представляється рівнянням

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку K( ;) паралельно прямий y = x + .

Приклад №1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (-2,1) і при цьому:
а) паралельно прямий 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно до прямої 2x+3y -7 = 0.
Рішення . Представимо рівняння з кутовим коефіцієнтом як y = kx + a . Для цього перенесемо всі значення крім y в праву частину: 3y = -2x + 7 Потім розділимо праву частину коефіцієнт 3 . Отримаємо: y = -2/3x + 7/3
Знайдемо рівняння NK, що проходить через точку K(-2;1), паралельно прямий y = -2/3 x + 7/3
Підставляючи x 0 = -2, k = -2 / 3 , y 0 = 1 отримаємо:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
або
y = -2/3 x - 1/3 або 3y + 2x +1 = 0

Приклад №2. Написати рівняння прямої, паралельної прямої 2x + 5y = 0 і твірної разом з осями координат трикутник, площа якого дорівнює 5.
Рішення . Так як прямі паралельні, то рівняння шуканої прямої 2x + 5y + C = 0. Площа прямокутного трикутникаде a і b його катети. Знайдемо точки перетину шуканої прямої з осями координат:
;
.
Отже, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Підставимо у формулу для площі: . Отримуємо два рішення: 2x + 5y + 10 = 0 та 2x + 5y – 10 = 0 .

Приклад №3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (-2; 5) і паралельна пряма 5x-7y-4=0 .
Рішення. Цю пряму можна уявити рівнянням y = 5 / 7 x - 4 / 7 (тут a = 5 / 7). Рівняння шуканої прямої є y – 5 = 5/7 (x – (-2)), тобто. 7(y-5)=5(x+2) або 5x-7y+45=0.

Приклад №4. Розв'язавши приклад 3 (A=5, B=-7) за формулою (2), знайдемо 5(x+2)-7(y-5)=0.

Приклад №5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 5) і паралельної прямої 7x+10=0.
Рішення. Тут A = 7, B = 0. Формула (2) дає 7(x+2)=0, тобто. x+2=0. Формула (1) не застосовна, оскільки дане рівняння не можна дозволити щодо y (дана пряма паралельна осі ординат).