Неоднорідні диференціальні рівняння із спеціальною правою частиною. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Неоднорідні диференційне рівняннядругого порядку з постійними коефіцієнтами

Структура загального рішення Лінійне неоднорідне рівняння даного типу має вигляд: де p, q− постійні числа (які можуть бути як дійсними, так і комплексними). Для кожного такого рівняння можна записати відповідне однорідне рівняння: Теорема: Загальне рішення не однорідного рівнянняє сумою загального рішення y 0 (x) відповідного однорідного рівняння та приватного розв'язання y 1 (x) неоднорідного рівняння: Нижче ми розглянемо два способи розв'язання неоднорідних диференціальних рівнянь. Метод варіації постійних Якщо спільне рішення y 0 асоційованого однорідного рівняння відомо, то загальне рішення неоднорідного рівнянняможна знайти, використовуючи метод варіації постійних. Нехай загальне рішення однорідного диференціального рівняння другого порядку має вигляд: Замість постійних C 1 та C 2 будемо розглядати допоміжні функції C 1 (x) та C 2 (x). Шукатимемо ці функції такими, щоб рішення задовольняло неоднорідне рівняння з правою частиною f(x). Невідомі функції C 1 (x) та C 2 (x) визначаються із системи двох рівнянь: Метод невизначених коефіцієнтів Права частина f(x) неоднорідного диференціального рівняння часто є багаточлен, експоненційну або тригонометричну функцію, або деяку комбінацію зазначених функцій. У цьому випадку рішення зручніше шукати за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Підкреслимо, що даний методпрацює лише для обмеженого класу функцій у правій частині, таких як В обох випадках вибір приватного рішення має відповідати структурі правої частини неоднорідного диференціального рівняння. У випадку 1, якщо число α в експоненційної функціїзбігається з коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення міститиме додатковий множник x s, де s− кратність кореня α у характеристичному рівнянні. У разі 2, якщо число α + βiзбігається з коренем характеристичного рівняння, то вираз для приватного рішення міститиме додатковий множник x. Невідомі коефіцієнти можна визначити підстановкою знайденого виразу для приватного вирішення вихідне неоднорідне диференціальне рівняння. Принцип суперпозиції Якщо права частина неоднорідного рівняння є сумукількох функцій виду то приватне рішення диференціального рівняння також буде сумою приватних рішень, побудованих окремо для кожного доданка у правій частині.

Приклад 1

Розв'язати диференціальне рівняння y"" + y= sin(2 x). Рішення. Спочатку ми розв'яжемо відповідне однорідне рівняння y"" + y= 0. У разі коріння характеристичного рівняння є чисто уявними: Отже, загальне рішення однорідного рівняння визначається виразом Повернемося знову до неоднорідного рівняння. Шукатимемо його рішення у вигляді використовуючи метод варіації постійних. Функції C 1 (x) та C 2 (x) можна знайти з наступної системи рівнянь: Висловимо похідну C 1 " (x) з першого рівняння: Підставляючи у друге рівняння, знаходимо похідну C 2 " (x): Звідси слідує що Інтегруючи вирази для похідних C 1 " (x) та C 2 " (x), отримуємо: де A 1 , A 2 – постійні інтегрування. Тепер підставимо знайдені функції C 1 (x) та C 2 (x) у формулу для y 1 (x) і запишемо загальне рішення неоднорідного рівняння:

Приклад 2

Знайти загальне рішення рівняння y""+y" −6y = 36x. Рішення. Скористаємося методом невизначених коефіцієнтів. Права частина заданого рівнянняявляє собою лінійну функцію f(x)= ax + b. Тому шукатимемо приватне рішення у вигляді Похідні рівні: Підставляючи це у диференціальне рівняння, отримуємо: Останнє рівняння є тотожністю, тобто справедливо для всіх xтому прирівняємо коефіцієнти при доданках з однаковими ступенями xу лівій та правій частині: З отриманої системи знаходимо: A = −6, B= −1. В результаті, приватне рішення записується у вигляді Тепер знайдемо загальне розв'язання однорідного диференціального рівняння. Обчислимо коріння допоміжного характеристичного рівняння: Отже, загальне рішення відповідного однорідного рівняння має вигляд: Отже, загальне рішення вихідного неоднорідного рівняння виражається формулою

Загальний інтеграл ДК.

Розв'язати диференціальне рівняння

Але найцікавіше, що відомий відповідь: , точніше, треба ще додати константу: Загальний інтеграл є рішенням диференціального рівняння .

Метод варіації довільних постійних. Приклади рішень

Метод варіації довільних постійних застосовується на вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. Цей урок призначений для студентів, які вже більш-менш добре орієнтуються в темі. Якщо ви тільки починаєте знайомитися з ДК, тобто. є чайником, то рекомендую почати з першого уроку: Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. А якщо вже закінчуєте, будь ласка, відкиньте можливу упереджену думку, що метод складний. Тому що він простий.

У яких випадках застосовують метод варіації довільних постійних?

1) Метод варіації довільної постійної можна використовувати при вирішенні лінійного неоднорідного ДК 1-го порядку. Якщо рівняння першого порядку, те й стала (константа) теж одна.

2) Метод варіації довільних постійних використовують для вирішення деяких лінійних неоднорідних рівнянь другого порядку. Тут варіюються дві постійні (константи).

Логічно припустити, що урок складатиметься з двох параграфів. Ось написав цю пропозицію, і хвилин десять болісно думав, яку б ще розумну хрень додати для плавного переходу до практичних прикладів. Але чомусь думок після свят немає жодних, хоча ніби й не зловживав нічим. Тому одразу візьмемося за перший параграф.

Метод варіації довільної постійної для лінійного неоднорідного рівняння першого порядку

Перед розглядом методу варіації довільної постійної бажано бути знайомим із статтею Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. На тому уроці ми відпрацьовували перший спосіб вирішеннянеоднорідного ДК 1-го порядку. Цей перший спосіб вирішення, нагадую, називається метод заміниабо метод Бернуллі(не плутати з рівнянням Бернуллі!!!)

Зараз ми розглянемо другий спосіб вирішення– метод варіації довільної постійної. Я наведу лише три приклади, причому візьму їх із вищезгаданого уроку. Чому так мало? Тому що насправді рішення другим способом буде дуже схожим на рішення першим способом. Крім того, за моїми спостереженнями, метод варіації довільних постійних застосовується рідше за метод заміни.

Приклад 1

Знайти загальне рішення диференціального рівняння (Діффур з Прімера №2 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Дане рівняння є лінійним неоднорідним і має знайомий вигляд:

На першому етапі необхідно вирішити простіше рівняння: Тобто тупо обнуляємо праву частину - замість пишемо нуль. Рівняння я називатиму допоміжним рівнянням.

У цьому прикладі необхідно вирішити наступне допоміжне рівняння:

Перед нами рівняння з змінними, що розділяються, Рішення якого (сподіваюся) вже не представляє для вас складнощів:

Отже: – загальне рішення допоміжного рівняння .

На другому кроці замінимоконстанту деякою поки щоневідомою функцією, яка залежить від «ікс»:

Звідси і назва методу – варіюємо константу. Як варіант, константа може бути деякою функцією, яку ми маємо зараз знайти.

У вихідномунеоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Підставимо і в рівняння:

Контрольний момент – два доданки в лівій частині скорочуються. Якщо цього немає, слід шукати помилку вище.

В результаті заміни отримано рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні та інтегруємо.

Яка благодать, експоненти також скорочуються:

До знайденої функції приплюсовуємо «нормальну» константу:

На заключному етапі згадуємо нашу заміну:

Функцію щойно знайдено!

Таким чином, загальне рішення:

Відповідь:спільне рішення:

Якщо ви роздрукуєте два способи рішення, то легко помітите, що в обох випадках ми знаходили ті самі інтеграли. Відмінність лише алгоритмі решения.

Тепер щось складніше, другий приклад я теж прокоментую:

Приклад 2

Знайти загальне рішення диференціального рівняння (Діффур з Прімера №8 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Наведемо рівняння до виду:

Обнулимо праву частину і вирішимо допоміжне рівняння:

Розділяємо змінні та інтегруємо: Загальне рішення допоміжного рівняння:

У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

За правилом диференціювання твору:

Підставимо і у вихідне неоднорідне рівняння:

Два складові в лівій частині скорочуються, значить ми на вірному шляху:

Інтегруємо частинами. Смачна буква з формули інтегрування частинами у нас вже задіяна у рішенні, тому використовуємо, наприклад, букви «а» і «бе»:

В підсумку:

Тепер згадуємо проведену заміну:

Відповідь:спільне рішення:

Метод варіації довільних постійних для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Часто доводилося чути думку, що метод варіації довільних постійних рівняння другого порядку – штука не з легких. Але я припускаю наступне: швидше за все, метод багатьом здається важким, оскільки зустрічається не так часто. А насправді особливих складнощів немає – перебіг рішення чіткий, прозорий, зрозумілий. І красивий.

Для освоєння методу бажано вміти розв'язувати неоднорідні рівняння другого порядку способом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Цей спосіб докладно розглянуто у статті Неоднорідні ДК 2-го порядку. Згадуємо, що лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:

Метод підбору, який розглядався на згаданому вище уроці, проходить лише в обмеженому ряді випадків, коли в правій частині знаходяться багаточлени, експоненти, синуси, косинуси. Але що робити, коли справа, наприклад, дріб, логарифм, тангенс? У такій ситуації на допомогу таки приходить метод варіації постійних.

Приклад 4

Знайти загальне рішення диференціального рівняння другого порядку

Рішення:У правій частині даного рівняння знаходиться дріб, тому одразу можна сказати, що метод підбору приватного рішення не прокочує. Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Ніщо не віщує грози, початок рішення цілком звичайне:

Знайдемо спільне рішеннявідповідного однорідногорівняння:

Складемо та вирішимо характеристичне рівняння: – отримано пов'язане комплексне коріння, тому загальне рішення:

Зверніть увагу на запис загального рішення – якщо є дужки, їх розкриваємо.

Тепер робимо практично той же трюк, що і для рівняння першого порядку: варіюємо константи, замінюючи їх невідомими функціями. Тобто, загальне рішення неоднорідногорівняння будемо шукати у вигляді:

Де – поки щоневідомі функції.

Схоже на звалище побутових відходів, але зараз усе розсортуємо.

Як невідомі виступають похідні функцій. Наша мета – знайти похідні, причому знайдені похідні повинні задовольняти і першому та другому рівнянню системи.

Звідки беруться "ігреки"? Їх приносить лелека. Дивимося на отримане раніше загальне рішення та записуємо:

Знайдемо похідні:

Із лівими частинами розібралися. Що праворуч?

– це права частина вихідного рівняння, у разі:

На лекції вивчаються ЛНДУ – лінійні неоднорідні диференціальні рівняння. Розглядається структура загального рішення, рішення ЛНДУ методом варіації довільних постійних, рішення ЛНДУ з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального виду. Розглянуті питання застосовуються щодо вимушених коливань у фізиці, електротехніці та електроніці, теорії автоматичного управління.

1. Структура загального рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2 порядку.

Розглянемо спочатку лінійне неоднорідне рівняння довільного порядку:

З урахуванням позначення можна записати:

При цьому вважатимемо, що коефіцієнти та права частина цього рівняння безперервні на певному інтервалі.

Теорема. Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння у певній галузі є сума будь-якого його і загального рішення відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.

Доведення.Нехай Y – певне розв'язання неоднорідного рівняння.

Тоді під час встановлення цього рішення у вихідне рівняння отримуємо тотожність:

Нехай
- фундаментальна системарішень лінійного однорідного рівняння
. Тоді загальне рішення однорідного рівняння можна записати як:

Зокрема, для лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2 порядку структура загального рішення має вигляд:

де
- фундаментальна система розв'язків відповідного однорідного рівняння, а
- якесь окреме рішення неоднорідного рівняння.

Таким чином, для вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння необхідно знайти загальне рішення відповідного однорідного рівняння та якимось чином знайти одне окреме рішення неоднорідного рівняння. Зазвичай воно знаходиться підбором. Способи підбору приватного рішення розглянемо у таких питаннях.

2. Метод варіації

Насправді зручно застосовувати метод варіації довільних постійних.

Для цього спочатку знаходять загальне рішення відповідного однорідного рівняння у вигляді:

Потім, вважаючи коефіцієнти C iфункціями від х, шукається рішення неоднорідного рівняння:

Можна довести, що для знаходження функцій C i (x) треба розв'язати систему рівнянь:

приклад.Вирішити рівняння

Вирішуємо лінійне однорідне рівняння

Рішення неоднорідного рівняння матиме вигляд:

Складаємо систему рівнянь:

Вирішимо цю систему:

Зі співвідношення знайдемо функцію А(х).

Тепер знаходимо В(х).

Підставляємо отримані значення формулу загального рішення неоднорідного рівняння:

Остаточна відповідь:

Взагалі кажучи, метод варіації довільних постійних придатний знаходження рішень будь-якого лінійного неоднорідного рівняння. Але т.к. Знаходження фундаментальної системи рішень відповідного однорідного рівняння може бути досить складним завданням, цей метод переважно застосовується для неоднорідних рівнянь із постійними коефіцієнтами.

3. Рівняння з правою частиною спеціального виду

Видається уявити вид приватного рішення залежно від виду правої частини неоднорідного рівняння.

Розрізняють такі випадки:

I. Права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння має вигляд:

де - багаточлен ступеня m.

Тоді приватне рішення шукається у вигляді:

Тут Q(x) - багаточлен того ж ступеня, що й P(x) , але з невизначеними коефіцієнтами, а r- Число, що показує скільки разів число  є коренем характеристичного рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.

приклад.Вирішити рівняння
.

Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння:

Тепер знайдемо окреме рішення вихідного неоднорідного рівняння.

Порівняємо праву частину рівняння з виглядом правої частини, розглянутим вище.

Приватне рішення шукаємо у вигляді:
, де

Тобто.

Тепер визначимо невідомі коефіцієнти Аі У.

Підставимо приватне рішення у вигляді у вихідне неоднорідне диференціальне рівняння.

Отже, приватне рішення:

Тоді загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння:

ІІ. Права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння має вигляд:

Тут Р 1 (х)і Р 2 (х)- багаточлени ступеня m 1 та m 2 відповідно.

Тоді приватне рішення неоднорідного рівняння матиме вигляд:

де число rпоказує скільки разів число
є коренем характеристичного рівняння для відповідного однорідного рівняння, а Q 1 (x) і Q 2 (x) - багаточлени ступеня не вище m, де m- великий із ступенів m 1 і m 2 .

Зведена таблиця видів приватних рішень

для різних видів правих частин

Зауважимо, що якщо права частина рівняння є комбінацією виразів розглянутого вище виду, то рішення перебуває як комбінація рішень допоміжних рівнянь, кожне з яких має праву частину, що відповідає виразу, що входить до комбінації.

Тобто. якщо рівняння має вигляд:
, то приватне рішення цього рівняння буде
де у 1 і у 2 – приватні розв'язки допоміжних рівнянь

і

Для ілюстрації вирішимо розглянутий вище приклад іншим способом.

приклад.Вирішити рівняння

Праву частину диференціального рівняння подаємо у вигляді суми двох функцій f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- sin x).

Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:

Отримуємо: тобто.

Разом:

Тобто. шукане приватне рішення має вигляд:

Загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння:

Розглянемо приклади застосування описаних методів.

Приклад 1.Вирішити рівняння

Складемо характеристичне рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння:

Тепер знайдемо окреме рішення неоднорідного рівняння у вигляді:

Скористаємося методом невизначених коефіцієнтів.

Підставляючи вихідне рівняння, отримуємо:

Приватне рішення має вигляд:

Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння:

приклад.Вирішити рівняння

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення однорідного рівняння:

Приватне розв'язання неоднорідного рівняння:
.

Знаходимо похідні та підставляємо їх у вихідне неоднорідне рівняння:

Отримуємо загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння:

Ця стаття розкриває питання рішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами. Буде розглянуто теорію разом із прикладами наведених завдань. Для розшифровки незрозумілих термінів необхідно звертатися до теми про основні визначення та поняття теорії диференціальних рівнянь.

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння (ЛНДУ) другого порядку з постійними коефіцієнтами виду y "" + p · y " + q · y = f (x) , де довільними числами є p і q а наявна функція f (х) безперервна на інтервалі інтегрування x.

Перейдемо до формулювання теореми загального рішення ЛНДУ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Теорема загального рішення ЛДНУ

Загальним рішенням, що знаходиться на інтервалі х, неоднорідного диференціального рівняння виду y(n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) з безперервними коефіцієнтами інтегрування на x інтервалі f 0 (x), f 1 (x),. . . , f n - 1 (x) та безперервною функцією f (x) дорівнює сумі загального рішення y 0 яке відповідає ЛОДУ і яким-небудь приватним рішенням y ~ , де вихідним неоднорідним рівнянням є y = y 0 + y ~ .

Звідси видно, що розв'язання такого рівняння другого порядку має вигляд y = y 0 + y ~ . Алгоритм знаходження y 0 розглянутий у статті про лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Після цього слід переходити до визначення y ~ .

Вибір приватного рішення ЛНДУ залежить від виду наявної функції f (x) , що знаходиться в правій частині рівняння. Для цього необхідно розглянути окремо рішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку за постійних коефіцієнтів.

Коли f (x) вважається багаточленом n -ого ступеня f (x) = P n (x) , звідси випливає, що приватне рішення ЛНДУ знаходимо за формулою виду y ~ = Q n (x) · x γ , де Q n ( x) є багаточленом ступеня n, r – це кількість нульових коренів характеристичного рівняння. Значення y ~ є приватним рішенням y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) , тоді наявні коефіцієнти, які визначені багаточленом
Q n (x) відшукуємо за допомогою методу невизначених коефіцієнтів з рівності y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Приклад 1

Обчислити за теоремою Коші y "" - 2 y " = x 2 + 1, y (0) = 2, y "(0) = 1 4 .

Рішення

Інакше кажучи, необхідно перейти до приватного розв'язання лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами y "" - 2 y " = x 2 + 1 , яке задовольнятиме задані умови y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Загальним рішенням лінійного неоднорідного рівняння є сума загального рішення, яке відповідає рівнянню y 0 або окремому рішенню неоднорідного рівняння y ~ , тобто y = y 0 + y ~ .

Для початку знайдемо загальне рішення для ЛНДУ, а потім – приватне.

Перейдемо до знаходження y0. Запис характеристичного рівняння допоможе знайти коріння. Отримуємо, що

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Отримали, що коріння різні та дійсні. Тому запишемо

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Знайдемо y~. Видно, що права частина заданого рівняння є багаточленом другого ступеня, тоді один із коренів дорівнює нулю. Звідси отримаємо, що приватним рішенням для y~ буде

y ~ = Q 2 (x) · x γ = (A x 2 + B x + C) · x = A x 3 + B x 2 + C x де значення А, В, С приймають невизначені коефіцієнти.

Знайдемо їх із рівності виду y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Тоді отримаємо, що:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Прирівнявши коефіцієнти з однаковими показниками ступенів x отримаємо систему лінійних виразів - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . При розв'язанні будь-яким із способів знайдемо коефіцієнти і запишемо: A = - 1 6 , B = - 1 4 , C = - 3 4 і y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.

Цей запис називається загальним рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.

Для знаходження приватного рішення, яке задовольняє умовам y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 потрібно визначити значення C 1і C 2, Виходячи з рівності виду y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Отримуємо, що:

y(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Працюємо з отриманою системою рівнянь виду C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 де C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Застосувавши теорему Коші, маємо, що

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Відповідь: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Коли функція f (x) представляється у вигляді добутку багаточлена зі ступенем n і експоненти f (x) = P n (x) · e a x , тоді звідси отримуємо, що приватним рішенням ЛНДУ другого порядку буде рівняння виду y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ , де Q n (x) є многочленом n-го ступеня, а r - кількістю коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють α.

Коефіцієнти, що належать Q n (x) знаходяться по рівності y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Приклад 2

Знайти загальне рішення диференціального рівняння виду y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Рішення

Рівняння загального вигляду y = y 0 + y ~. Зазначене рівняння відповідає ЛОДУ y "" - 2 y " = 0. За попереднім прикладом видно, що його коріння дорівнює k 1 = 0і k 2 = 2 і y 0 = C 1 + C 2 e 2 x за характеристичним рівнянням.

Видно, що правою частиною рівняння є x 2 + 1 · e x. Звідси ЛНДУ знаходиться через y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , де Q n (x) є багаточленом другого ступеня, де α = 1 і r = 0 , тому що у характеристичного рівняння відсутній корінь, рівний 1 . Звідси отримуємо, що

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А, В, С є невідомими коефіцієнтами, які можна знайти по рівності y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Отримали, що

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показники при однакових коефіцієнтах прирівнюємо та отримуємо систему лінійних рівнянь. Звідси і знаходимо А, В, С:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Відповідь:видно, що y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 є приватним рішенням ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - загальним рішенням для неоднорідного дифузування другого порядку.

Коли функція записується як f(x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , а А 1і В 1є числами, тоді приватним рішенням ЛНДУ вважається рівняння виду y = A cos β x + B sin β x · x γ , де А і В вважаються невизначеними коефіцієнтами, а r числом комплексно пов'язаних коренів, що відносяться до характеристичного рівняння, що дорівнює ± i β . У цьому випадку пошук коефіцієнтів проводиться за рівною y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Приклад 3

Знайти загальне рішення диференціального рівняння виду y "+ 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Рішення

Перед написанням характеристичного рівняння знаходимо y0. Тоді

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Маємо пару комплексно пов'язаних коренів. Перетворимо та отримаємо:

y 0 = e 0 · (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Коріння з характеристичного рівняння вважається сполученою парою ± 2 i тоді f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Звідси видно, що пошук y ~ буде здійснюватися з y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) · x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x. Невідомі Коефіцієнти А і В будемо шукати з рівності виду y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Перетворюємо:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) · x)" = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Тоді видно, що

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Необхідно прирівняти коефіцієнти синусів та косінусів. Отримуємо систему виду:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Слід, що y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x .

Відповідь:загальним рішенням вихідного ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами вважається

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x

Коли f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) тоді y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ.Маємо, що r – це число комплексно пов'язаних пар коренів, що відносяться до характеристичного рівняння, дорівнюють α ± i β , де P n (x) , Q k (x) , L m (x) та N m (x)є многочленами ступеня n, k, т, m, де m = m a x (n, k). Знаходження коефіцієнтів L m (x)і N m (x)виробляється, виходячи з рівності y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Приклад 4

Знайти загальне рішення y " + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Рішення

За умовою видно, що

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Тоді m = ma x (n, k) = 1 . Виробляємо знаходження y 0 попередньо записавши характеристичне рівняння виду:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Отримали, що коріння є дійсним і різним. Звідси y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Далі необхідно шукати загальне рішення, виходячи з неоднорідного рівняння y ~ виду

y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) · x 0 = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Відомо, що А, В, є коефіцієнтами, r = 0 , тому що відсутня пара сполучених коренів, що відносяться до характеристичного рівняння з α ± i β = 3 ± 5 · i . Дані коефіцієнти знаходимо з отриманої рівності:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Знаходження похідної та подібних доданків дає

E 3 x · ((15 A + 23 C) · x · sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) · sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) + + 8 · x · cos (5 x) - 5 · cos (5 x))

Після прирівнювання коефіцієнтів отримуємо систему виду

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

З усього випливає, що

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Відповідь:тепер отримано загальне рішення заданого лінійного рівняння:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Алгоритм рішення ЛДНУ

Будь-який інший вид функції f(x) для вирішення передбачає дотримання алгоритму розв'язання:

• знаходження загального рішення відповідного лінійного однорідного рівняння, де y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , де y 1і y 2є лінійно незалежними приватними рішеннями ЛОДУ, З 1і З 2вважаються довільними постійними;
• прийняття як загального рішення ЛНДУ y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• визначення похідних функції через систему виду C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) · y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1 "(x) + C 2 " (x) · y 2 "(x) = f (x), а знаходження функцій C 1 (x)і C 2 (x) за допомогою інтегрування.

Приклад 5

Знайти загальне рішення для y" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Рішення

Переходимо до написання характеристичного рівняння, попередньо записавши y 0 , y "+ 36 y = 0 . Запишемо і вирішимо:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Маємо, що запис загального рішення заданого рівняння набуде вигляду y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необхідно перейти до визначення похідних функцій C 1 (x)і C 2 (x)за системою з рівняннями:

C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2 "(x) · sin (6 x) = 0 C 1 "(x) · (cos (6 x))" + C 2 "(x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2 "(x) · sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (- 6 sin (6) x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Необхідно зробити рішення щодо C 1 "(x)і C 2 "(x)за допомогою будь-якого способу. Тоді запишемо:

C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Кожне із рівнянь слід проінтегрувати. Тоді запишемо рівняння:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Звідси випливає, що загальне рішення матиме вигляд:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 · cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 · sin (6 x) = = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)

Відповідь: y = y 0 + y ~ = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter