Диференціальні рівняння для прикладів чайників. Диференціальні рівняння онлайн

Розв'язання диференціальних рівнянь. Завдяки нашому онлайн сервісувам доступне рішення диференціальних рівнянь будь-якого виду і складності: неоднорідні, однорідні, нелінійні, лінійні, першого, другого порядку, з змінними, що розділяються, або не поділяються і т.д. Ви отримуєте розв'язання диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді з докладним описом. Багато хто цікавиться: навіщо потрібно вирішувати диференціальні рівняння онлайн? Даний вид рівнянь дуже поширений у математиці та фізиці, де вирішити багато завдань без обчислення диференціального рівняння буде неможливо. Також диференціальні рівняння поширені економіки, медицині, біології, хімії та інших науках. Рішення такого рівняння в онлайн режимі значно полегшує вам поставлені завдання, дає можливість краще засвоїти матеріал і перевірити себе. Переваги розв'язання диференціальних рівнянь онлайн. Сучасний математичний сервіс сайт дозволяє вирішувати диференціальні рівняння онлайн будь-якої складності. Як ви знаєте, існує велика кількість видів диференціальних рівнянь і для кожного з них передбачені свої способи розв'язання. На нашому сервісі можна знайти рішення диференціальних рівнянь будь-якого порядку і виду в онлайн режимі. Для отримання рішення ми пропонуємо заповнити вихідні дані та натиснути кнопку «Рішення». Помилки в роботі сервісу виключені, тому ви можете бути на 100% впевнені, що отримали правильну відповідь. Вирішуйте диференціальні рівняння разом із нашим сервісом. Вирішити диференціальні рівняння онлайн. За промовчанням у такому рівнянні функція y – це функція від x змінної. Але ви можете ставити і своє позначення змінної. Наприклад, якщо ви вкажете в диференціальному рівнянні y(t), то наш сервіс автоматично визначить, що є функцією від t змінної. Порядок всього диференціального рівняння залежатиме максимального порядку похідної функції, що у рівнянні. Вирішити таке рівняння означає знайти потрібну функцію. Вирішити диференціальні рівняння онлайн допоможе вам наш сервіс. Для вирішення рівняння від вас не потрібно багато зусиль. Необхідно лише ввести у потрібні поля ліву та праву частини вашого рівняння та натиснути кнопку «Рішення». При введенні похідну функції необхідно позначати через апостроф. За лічені секунди ви отримаєте готове докладне рішеннядиференціального рівняння. Наш сервіс є абсолютно безкоштовним. Диференційне рівнянняз змінними, що розділяються. Якщо в диференціальному рівнянні в лівій частині знаходиться вираз, що залежить від y, а правій частині – вираз, який залежить від x, то таке диференціальне рівняння називається з змінними, що розділяються. У лівій частині може бути похідна від y рішення диференціальних рівнянь такого виду буде у вигляді функції y, вираженої через інтеграл від правої частини рівняння. Якщо ж у лівій частині буде диференціал функції від y, то у такому разі інтегруються обидві частини рівняння. Коли змінні в диференціальному рівнянні не розділені, їх потрібно розділити, щоб отримати диференціальне рівняння з розділеними змінними. Лінійне диференціальне рівняння. Лінійним називається диференціальне рівняння, у якого функція та всі її похідні перебувають у першому ступені. Загальний виглядрівняння: y'+a1(x)y=f(x). f(x) та a1(x) – це безперервні функціївід x. Розв'язання диференціальних рівнянь такого типу зводиться до інтегрування двох диференціальних рівнянь із розділеними змінними. Порядок диференціального рівняння. Диференціальне рівняння то, можливо першого, другого, n-го порядку. Порядок диференціального рівняння визначає порядок старшої похідної, що міститься у ньому. У нашому сервісі можна вирішити диференціальні рівняння онлайн першого, другий, третій і т.д. порядку. Рішенням рівняння буде будь-яка функція y=f(x), підставивши яку рівняння, ви отримаєте тотожність. Процес пошуку розв'язання диференціального рівняння називають інтегруванням. Завдання Коші. Якщо крім самого диференціального рівняння задається початкова умова y(x0)=y0, це називається завданням Коші. У рішення рівняння додаються показники y0 і x0 і визначають значення довільної константи C, а потім часткове рішення рівняння при цьому значенні C. Це і є рішенням завдання Коші. Ще завдання Коші називають завданням із граничними умовами, що дуже поширене у фізиці та механіці. Також у вас є можливість поставити завдання Коші, тобто з усіх можливих рішень рівняння вибрати приватне, що відповідає заданим початковим умовам.

Диференціальне рівняння (ДК) - Це рівняння,
де - незалежні змінні, y - функція та - приватні похідні.

Звичайне диференціальне рівняння - це диференціальне рівняння, яке має лише одну незалежну змінну, .

Диференціальне рівняння у приватних похідних - це диференціальне рівняння, яке має дві та більше незалежних змінних.

Слова "звичайні" і "у приватних похідних" можуть опускатися, якщо зрозуміло, яке рівняння розглядається. Надалі розглядаються прості диференціальні рівняння.

Порядок диференціального рівняння - Це порядок старшої похідної.

Ось приклад рівняння першого порядку:

Ось приклад рівняння четвертого порядку:

Іноді диференціальне рівняння першого порядку записується через диференціали:

У цьому випадку змінні x та y є рівноправними. Тобто незалежною змінною може бути як x, так і y. У першому випадку y є функцією від x. У другому випадку x є функцією від y. Якщо необхідно, ми можемо привести це рівняння до виду, в якому входить похідна y′ .
Розділивши це рівняння на dx, ми отримаємо:
.
Оскільки і , то звідси випливає, що
.

Розв'язання диференціальних рівнянь

Похідні від елементарних функцій виражаються елементарними функціями. Інтеграли від елементарних функцій часто виражаються через елементарні функції. З диференціальними рівняннями справа ще гірша. В результаті рішення можна отримати:

• явну залежність функції змінної;

  Розв'язання диференціального рівняння - це функція y = u (x), Яка визначена, n разів диференційована, і .

• неявну залежність у вигляді рівняння типу Φ (x, y) = 0або системи рівнянь;

  Інтеграл диференціального рівняння - це рішення диференціального рівняння, що має неявний вигляд.

• залежність, виражену через елементарні функції та інтеграли від них;

  Розв'язання диференціального рівняння у квадратурах - це знаходження рішення у вигляді комбінації елементарних функцій та інтегралів від них.

• рішення може виражається через елементарні функції.

Оскільки рішення диференціальних рівнянь зводиться до обчислення інтегралів, то до складу рішення входить набір постійних C 1 , C 2 , C 3 ... C n . Кількість постійних дорівнює порядку рівняння. Приватний інтеграл диференціального рівняння - це загальний інтеграл при заданих постійних значеннях C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Використана література:
В.В. Степанов, Курс диференціальних рівнянь, «ЛКІ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Або вже вирішені щодо похідної, або їх можна вирішити щодо похідної .

Спільне рішення диференціальних рівняньтипу на інтервалі X, Який заданий, можна знайти, взявши інтеграл обох частин цієї рівності.

Отримаємо .

Якщо подивитися на властивості невизначеного інтеграла, то знайдемо спільне рішення, яке шукає:

y = F(x) + C,

де F(x)- одна з первісних функцій f(x)на проміжку X, а З- Довільна постійна.

Зверніть увагу, що в більшості завдань інтервал Xне вказують. Це означає, що рішення потрібно знаходити для всіх x, за яких і потрібна функція y, і вихідне рівняння мають сенс.

Якщо потрібно обчислити окреме рішення диференціального рівняння, яке задовольняє початкову умову y(x 0) = y 0, то після обчислення загального інтегралу y = F(x) + Cще необхідно визначити значення постійної C = C 0, використовуючи початкову умову. Тобто константу C = C 0визначають із рівняння F(x 0) + C = y 0, та шукане приватне рішення диференціального рівняння набуде вигляду:

y = F(x) + C0.

Розглянемо приклад:

Знайдемо загальне рішення диференціального рівняння, перевіримо правильність результату. Знайдемо приватне рішення цього рівняння, яке б задовольняло початковій умові .

Рішення:

Після того, як ми проінтегрували задане диференціальне рівняння, отримуємо:

.

Візьмемо цей інтеграл методом інтегрування частинами:

Т.о., є загальним рішенням диференціального рівняння.

Щоб переконатися у правильності результату, перевіримо. Для цього підставляємо рішення, яке ми знайшли у задане рівняння:

.

Тобто, при вихідне рівняння перетворюється на тотожність:

тому загальне рішення диференціального рівняння визначили правильно.

Рішення, яке ми знайшли, є загальним рішенням диференціального рівняння для кожного дійсногозначення аргументу x.

Залишилося обчислити приватне рішення ОДУ, яке б задовольняло початковій умові . Іншими словами, необхідно обчислити значення константи З, при якому буде вірна рівність:

.

.

Тоді, підставляючи З = 2у загальне рішення ОДУ, отримуємо приватне рішення диференціального рівняння, яке задовольняє початкову умову:

.

Звичайне диференціальне рівняння можна вирішити щодо похідної, розділивши 2 частини рівності на f(x). Це перетворення буде рівнозначним, якщо f(x)не перетворюється на нуль ні за яких xз інтервалу інтегрування диференціального рівняння X.

Імовірні ситуації, коли за певних значень аргументу x ∈ Xфункції f(x)і g(x)одночасно перетворюються на нуль. Для таких значень xзагальним рішенням диференціального рівняння буде будь-яка функція y, що у них, т.к. .

Якщо для деяких значень аргументу x ∈ Xвиконується умова , отже, у разі у ОДУ рішень немає.

Для всіх інших xз інтервалу Xзагальне рішення диференціального рівняння визначається з перетвореного рівняння.

Розберемо на прикладах:

приклад 1.

Знайдемо загальне рішення ОДУ: .

Рішення.

З властивостей основних елементарних функцій ясно, що функція натурального логарифмувизначено для невід'ємних значень аргументу, тому областю визначення виразу ln(x+3)є інтервал x > -3 . Отже, задане диференціальне рівняння має сенс для x > -3 . При цих значеннях аргументу вираз x + 3не звертається в нуль, тому можна вирішити ОДУ щодо похідної, розділивши 2 частини на х + 3.

Отримуємо .

Далі проінтегруємо отримане диференціальне рівняння, вирішене щодо похідної: . Для взяття цього інтеграла користуємося шляхом підведення під знак диференціала.

6.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ

При вирішенні різних завдань математики та фізики, біології та медицини досить часто не вдається одразу встановити функціональну залежність у вигляді формули, що зв'язує змінні величини, Які описують досліджуваний процес. Зазвичай доводиться використовувати рівняння, що містять, крім незалежної змінної та невідомої функції, ще її похідні.

Визначення.Рівняння, що пов'язує незалежну змінну, невідому функцію та її похідні різних порядків, називається диференційним.

Невідому функцію зазвичай позначають y(x)або просто y,а її похідні - y", y"і т.д.

Можливі й інші позначення, наприклад: якщо y= x(t), то x"(t), x""(t)- її похідні, а t- незалежна змінна.

Визначення.Якщо функція залежить від однієї змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним. Загальний вигляд звичайного диференціального рівняння:

або

Функції Fі fможуть не містити деяких аргументів, але для того, щоб рівняння були диференціальними, суттєво наявність похідної.

Визначення.Порядок диференціального рівнянняназивається порядок старшої похідної, що входить до нього.

Наприклад, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 – рівняння першого порядку, а y"+ 2 y"+ 5 y= x- Рівняння другого порядку.

При вирішенні диференціальних рівнянь використовується операція інтегрування, що з появою довільної постійної. Якщо дія інтегрування застосовується nраз, то, очевидно, і у рішенні буде утримуватися nдовільних постійних.

6.2. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядкувизначається виразом

Рівняння може не містити у явному вигляді xі y,але обов'язково містить у.

Якщо рівняння можна записати як

то отримаємо диференціальне рівняння першого порядку, дозволене щодо похідної.

Визначення.Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку (6.3) (або (6.4)) є безліч рішень , де З- Довільна постійна.

Графік розв'язання диференціального рівняння називається інтегральної кривої.

Надаючи довільної постійної Зрізні значення можна отримати приватні рішення. На площині xOyзагальне рішення є сімейством інтегральних кривих, відповідних кожному окремому решению.

Якщо задати точку A (x 0 , y 0),через яку має проходити інтегральна крива, то, як правило, з безлічі функцій можна виділити одну – приватне рішення.

Визначення.Приватним рішеннямДиференціального рівняння називається його рішення, що не містить довільних постійних.

Якщо є загальним рішенням, тоді з умови

можна знайти постійну З.Умову називають початковою умовою.

Завдання знаходження приватного розв'язання диференціального рівняння (6.3) або (6.4), що задовольняє початкову умову при називається завданням Коші.Чи завжди це завдання має рішення? Відповідь містить таку теорему.

Теорема Коші(Теорема існування та єдиності рішення). Нехай у диференціальному рівнянні y"= f(x, y)функція f(x, y)і її

приватна похідна визначені та безперервні в деякій

області D,містить точку Тоді в області Dіснує

єдине рішеннярівняння, що задовольняє початкову умову при

Теорема Коші стверджує, що за певних умов існує єдина інтегральна крива y= f(x),проходить через точку Точки, у яких не виконуються умови теореми

Коші, називаються особливими.У цих точках терпить розрив f(x, y) або.

Через особливу точку проходить кілька інтегральних кривих, або жодної.

Визначення.Якщо рішення (6.3), (6.4) знайдено у вигляді f(x, y, C)= 0, не дозволеним щодо у, воно називається спільним інтеграломдиференціального рівняння.

Теорема Коші лише гарантує, що рішення існує. Оскільки єдиного методу знаходження рішення немає, ми розглядатимемо лише деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку, що інтегруються в квадратури.

Визначення.Диференціальне рівняння називається інтегрованим у квадратурах,якщо його рішення зводиться до інтегрування функций.

6.2.1. Диференціальні рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.

Визначення.Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з розділяються змінними,

Права частина рівняння (6.5) є добутком двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної.

Наприклад, рівняння є рівнянням з поділяючою-

мися змінними
а рівняння

не можна уявити у вигляді (6.5).

Враховуючи що , перепишемо (6.5) у вигляді

З цього рівняння отримаємо диференціальне рівняння з розділеними змінними, в якому при диференціалах стоять функції, що залежать лише від відповідної змінної:

Інтегруючи почленно, маємо

де C = C 2 - C 1 - довільна стала. Вираз (6.6) є загальним інтегралом рівняння (6.5).

Розділивши обидві частини рівняння (6.5) на,, ми можемо втратити ті рішення, за яких, Справді, якщо при

то очевидно, є розв'язком рівняння (6.5).

приклад 1.Знайти рішення рівняння, що задовольняє

умові: y= 6 при x= 2 (y(2) = 6).

Рішення.Замінимо у"назавжди . Помножимо обидві частини на

dx,оскільки при подальшому інтегруванні не можна залишати dxу знаменнику:

а потім, розділивши обидві частини на отримаємо рівняння,

яке можна проінтегрувати. Інтегруємо:

Тоді ; потенціюючи, отримаємо y = C. (x + 1) - про-

ше рішення.

За початковими даними визначаємо довільну постійну, підставивши їх у загальне рішення

Остаточно отримуємо y= 2(x + 1) – приватне рішення. Розглянемо ще кілька прикладів розв'язання рівнянь із змінними, що розділяються.

приклад 2.Знайти рішення рівняння

Рішення.Враховуючи що , отримаємо .

Проінтегрувавши обидві частини рівняння, матимемо

звідки

приклад 3.Знайти рішення рівняння Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на ті співмножники, які залежать від змінної, що не збігається зі змінною під знаком диференціала, тобто на та інтегруємо. Тоді отримаємо

і наостанок,

приклад 4.Знайти рішення рівняння

Рішення.Знаючи, що отримаємо. Розді-

лім змінні. Тоді

Інтегруючи, отримаємо

Зауваження.У прикладах 1 і 2 потрібна функція yвиражена явно (загальне рішення). У прикладах 3 та 4 - неявно (загальний інтеграл). Надалі форма рішення не обговорюватиметься.

Приклад 5.Знайти рішення рівняння Рішення.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння , що задовольняє

умові y(e)= 1.

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді

Помножуючи обидві частини рівняння на dxі на, отримаємо

Інтегруючи обидві частини рівняння (інтеграл у правій частині береться частинами), отримаємо

Але за умовою y= 1 при x= e. Тоді

Підставимо знайдені значення Зу загальне рішення:

Отримане вираз називається частковим рішенням диференціального рівняння.

6.2.2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Визначення.Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним,якщо його можна подати у вигляді

Наведемо алгоритм розв'язання однорідного рівняння.

1. Замість yвведемо нову функціюТоді і, отже,

2.У термінах функції uрівняння (6.7) набуває вигляду

тобто заміна зводить однорідне рівняннядо рівняння з змінними, що розділяються.

3. Вирішуючи рівняння (6.8), знаходимо спочатку u, а потім y= Ux.

приклад 1.Вирішити рівняння Рішення.Запишемо рівняння у вигляді

Виробляємо підстановку:
Тоді

Замінимо

Помножимо на dx: Розділимо на xі на тоді

Проінтегрувавши обидві частини рівняння за відповідними змінними, матимемо

або, повертаючись до старих змінних, отримаємо остаточно

приклад 2.Вирішити рівняння Рішення.Нехай тоді

Поділимо обидві частини рівняння на x 2: Розкриємо дужки і перегрупуємо складові:

Переходячи до старих змінних, дійдемо остаточного результату:

приклад 3.Знайти рішення рівняння за умови

Рішення.Виконуючи стандартну заміну отримуємо

або

або

Отже, приватне рішення має вигляд приклад 4.Знайти рішення рівняння

Рішення.

Приклад 5.Знайти рішення рівняння Рішення.

Самостійна робота

Знайти рішення диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються (1-9).

Знайти вирішення однорідних диференціальних рівнянь (9-18).

6.2.3. Деякі програми диференціальних рівнянь першого порядку

Завдання про радіоактивний розпад

Швидкість розпаду Ra (радія) у кожен час пропорційна його готівковій масі. Знайти закон радіоактивного розпаду Ra, якщо відомо, що в початковий момент було Ra і період напіврозпаду Ra дорівнює 1590 років.

Рішення.Нехай у момент маса Ra складає x= x(t)г, причому Тоді швидкість розпаду Ra дорівнює

За умовою завдання

де k

Розділяючи в останньому рівнянні змінні та інтегруючи, отримаємо

звідки

Для визначення Cвикористовуємо початкову умову: при .

Тоді і, отже,

Коефіцієнт пропорційності kвизначаємо із додаткової умови:

Маємо

Звідси та шукана формула

Завдання про швидкість розмноження бактерій

Швидкість розмноження бактерій пропорційна їх кількості. У початковий період було 100 мікробів. Протягом 3 год їхнє число подвоїлося. Знайти залежність кількості бактерій від часу. У скільки разів збільшиться кількість бактерій упродовж 9 год?

Рішення.Нехай x- кількість бактерій у момент t.Тоді, згідно з умовою,

де k- Коефіцієнт пропорційності.

Звідси З умови відомо, що . Значить,

З додаткової умови . Тоді

Шукана функція:

Значить, при t= 9 x= 800, т. е. протягом 9 год кількість бактерій збільшилася 8 раз.

Завдання про збільшення кількості ферменту

У культурі пивних дріжджів швидкість приросту ферменту, що діє, пропорційна його початковій кількості x.Початкова кількість ферменту aпротягом години подвоїлося. Знайти залежність

x(t).

Рішення.За умовою диференціальне рівняння процесу має вигляд

звідси

Але . Значить, C= aі тоді

Відомо також, що

Отже,

6.3. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

6.3.1. Основні поняття

Визначення.Диференціальним рівнянням другого порядкуназивається співвідношення, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її першу та другу похідні.

У окремих випадках у рівнянні можуть бути відсутніми x, уабо у". Однак рівняння другого порядку обов'язково має містити в". У загальному випадкудиференціальне рівняння другого порядку записується як:

або, якщо це можливо, у вигляді, дозволеному щодо другої похідної:

Як і у разі рівняння першого порядку, рівняння другого порядку можуть існувати загальне і приватне рішення. Загальне рішення має вигляд:

Знаходження приватного рішення

за початкових умов-задані

числа) називається завданням Коші.Геометрично це означає, що потрібно знайти інтегральну криву у= у (x),проходить через задану точку і що має в цій точці дотичну яка про-

разує з позитивним напрямом осі Oxзаданий кут. е. (Рис. 6.1). Завдання Коші має єдине рішення, якщо права частинарівняння (6.10), непре-

рівна і має безперервні приватні похідні по у, у"в деякій околиці початкової точки

Для знаходження постійних що входять у приватне рішення, треба дозволити систему

Рис. 6.1.Інтегральна крива