Диференціал функції у загальному вигляді. §24

ЛЕКЦІЯ 10. ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ. ТЕОРЕМИ ФЕРМА, РОЛЬ, ЛАГРАНЖУ І КОШІ.

1. Диференціал функції

1.1. Визначення диференціалу функції

З поняттям похідної тісно пов'язане інше фундаментальне поняття математичного аналізу- Диференціал функції.

Визначення 1. Функція y = f (x), визначена в деякій околиці точки x називається диференційованою в точці x якщо її прирощення в цій точці

y = f(x + x) − f(x)

має вигляд

y = A · x + α(Δx) · x,

де A – стала, а функція α(Δx) → 0 при x → 0.

Нехай y = f (x) - функція, що диференціюється, тоді дамо наступне визначення.

Визначення 2. Головна лінійна		частина A · x	прирощення	функції f(x)
називається диференціалом функції у точці x і позначається dy.
Таким чином,
y = dy + α(Δx) · x.
Примітка 1. Розмір dy =		x називається	головною лінійною частиною
прирощення y у зв'язку з тим, що інша частина прирощення α(Δx)				x при малих
x стає набагато менше A ·

Твердження 1. Для того щоб функція y = f(x) була диференційованою в точці x необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці похідну.

Доведення. Необхідність. Нехай функція f (x) диференційована у точці

x + α(Δx) · x, при

x → 0. Тоді

A + lim α(Δx) = A.

Тому похідна f′(x) існує і дорівнює A.

Достатність. Нехай існує

f ′ (x), тобто існує межа lim

F′ (x).

F '(x) + α(Δx),

y = f′ (x)Δx + α(Δx) · x.

Остання рівність означає диференціювання функції y = f (x).

1.2. Геометричний зміст диференціала

Нехай l дотична до графіка функції y = f(x) у точці M(x, f(x)) (рис. 1). Покажемо, що dy величина відрізка P Q. Дійсно,

dy = f '(x)Δx = tg α x =

" "l

"" " "

" α

Отже, диференціал dy функції f(x) у точці x дорівнює приросту ординати дотичної l у цій точці.

1.3. Інваріантність форми диференціалу

Якщо x незалежна змінна, то

dy = f '(x) dx.

Допустимо, що x = ϕ(t), де t незалежна змінна, y = f (ϕ(t)). Тоді

dy = (f(ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′(t)dt = dx).

Отже, форма диференціала не змінилася, незважаючи на те, що x не є незалежною змінною. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.

1.4. Застосування диференціала у наближених обчисленнях

З формули y = dy + α(Δx) · x, відкидаючи α(Δx) · x, видно, що за малих

y ≈ dy = f '(x)Δx.

Звідси отримаємо

f(x + x) − f(x) ≈ f′(x)Δx,

f(x + x) ≈ f(x) + f′(x)Δx. (1) Формула (1) і використовується у наближених обчисленнях.

1.5. Диференціали вищих порядків

За визначенням, другим диференціалом від функції y = f(x) у точці x називається диференціал від першого диференціалу у цій точці, який позначається

d2 y = d(dy).

Обчислимо другий диференціал:

d2 y = d(dy) = d(f′(x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(при обчисленні похідної (f '(x)dx)′ враховано, що величина dx не залежить від x і, отже, при диференціюванні є постійною).

Взагалі, диференціалом порядку n функції y = f(x) називається перший

диференціал

від диференціалу

цієї функції, який

позначається через

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x) dxn.

Знайти диференціал функції y = arctg x.

Рішення. dy = (arctg x)′ · dx =

1+x2

Знайти диференціали першого та другого порядків функції v = e2t.

Рішення. dv = 2e2t dt, d2 v = 4e2t dt2.

Порівняти збільшення та диференціал функції y = 2x3 + 5x2.

Рішення. Знаходимо

5x2 =

10x)Δx + (6x + 5)Δx

dy = (6x2 + 10x)dx.

Різниця між збільшенням

y і диференціалом dy є нескінченно мала вищого

порядку порівняно з

x , рівна (6x + 5) x2 + 2x3.

Приклад 4. Обчислити наближене значення площі кола, радіус якого дорівнює 302 м.

Рішення. Скористаємося формулою S = πr2. Вважаючи r = 3 , r = 0, 02 маємо

S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 ​​· 0, 02 = 0, 12π.

Отже, наближене значення площі кола становить 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (м 2).

Приклад 5. Обчислити наближене значення arcsin 0,51 з точністю до 0,001. Рішення. Розглянемо функцію y = arc sin x. Вважаючи x = 0, 5 , x = 0, 01 та

застосовуючи формулу (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ·

(arcsin x)′

≈ arcsin 0, 5 +

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Приклад 6. Обчислити приблизно √ 3

c точністю до 0,0001.

Рішення. Розглянемо функцію y = √3

і покладемо x = 8,

x = 0, 01. Аналогічно

за формулою (1)

(√ 3 x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ · x,

3√ 3 64

· 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Теореми Ферма, Роля, Лагранжа та Коші

Визначення 3. Кажуть, що функція y = f(x) має (або досягає) у точці α локальний максимум(мінімум), якщо знайдеться така околиця U (α) точки α, що для всіх x U (α) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Локальний максимум і локальний мінімум поєднуються загальною назвою

локальний екстремум.

Функція, графік якої зображено на рис. 4, має локальний максимум у точках β, β1 і локальний мінімум у точках α, α1 .

Твердження 2. (Ферма) Нехай функція y = f (x) диференційована у точці α і має у цій точці локальний екстремум. Тоді f′(α) = 0.

Ідея доказу теореми Ферма наступна. Нехай для визначення f (x) має в точці α локальний мінімум. За визначенням f ′ (α) є межа при x → 0 відношення

	f (α + x) - f (α)
Але за досить малих (за абсолютною величиною) x
	f (α + x) - f (α) ≥ 0.
Отже, за таких	x отримуємо
Звідси й випливає, що
	f (α) = lim g (Δx) = 0.
Проведіть повний доказ самостійно.
Твердження 3. (Роль)	Якщо y = f(x) безперервна на			Диференційована на
(a, b) і f(a) = f(b), то існує така точка α(a, b),				що f′(α) = 0.

Доведення. За якістю функцій, безперервних на відрізку, знайдуться такі точки x1, x2, що

екстремум. За умовою теореми f(x) диференційована у точці α. Теорема Ферма f ′ (α) = 0. Теорема доведена.

Теорема Роля має простий геометричний зміст(рис. 5): якщо крайні ординати кривої y = f(x) рівні, то на кривій y = f(x) знайдеться точка, в якій дотична до кривої паралельна осі Ox.

Доведення. Зауважимо, що g(a) = 6 g(b). Справді, інакше для функції g(x) було б виконано умови теореми Ролля. Отже, знайшлася б така точка β(a, b), що g′(β) = 0. Але це суперечить умові теореми.

Розглянемо наступну допоміжну функцію:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g (x) - g (a)). g(b) − g(a)

Функція F (x) безперервна на ,				диференційована на (a, b). Крім того, очевидно,
що′	F(a) = F(b) = 0. Тому за теоремою Ролля знайдеться така точка α(a, b), що
F(α) = 0, тобто.
	f ′ (α)								g′(α) = 0.
			− g(b)
звідси випливає
								f ′ (α)
								g′ (α)

Теорему доведено.

Твердження 5. (Лагранжа) Якщо y = f (x) безперервна на , що диференціюється на (a, b), то знайдеться таке α (a, b), що

F′ (α).

Доведення. Теорема Лагранжа прямо випливає з теореми Коші при g(x) =

Геометрично теорема Лагранжа означає, що на кривій y = f(x) між точками

A і B знайдеться така точка C, яка стосується в якій паралельна хорді AB. y

теорема Ролля на цьому відрізку

виконується. Значення c

визначаємо

рівняння

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, тобто c = 3.

знайти точку

M, в якій

Приклад 8. На дузі

AB кривою y = 2x − x

дотична паралельна хорді

Рішення. Функція y = 2x −x

безперервна і диференційована при всіх значеннях

x. По теоремі Лагранжа між двома значеннями a = 1,

b = 3 існує значення

x = c, що задовольняє рівності y(b) − y(a) = (b − a) ·y′ (c), де y′ = 2 − 2x. Підставивши відповідні значення, отримаємо

y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′ (c),

(2 · 3 − 32 ) − (2 · 1 − 12 ) = (3 − 1) · (2 ​​− 2c),

звідси c = 2, y (2) = 0.

Таким чином, точка M має координати (2; 0).

Приклад 9. На дузі AB кривою, заданою параметричними рівняннями

x = t2, y = t3, знайти точку

M, у якій дотична паралельна хорді AB, якщо

точкам A та B відповідають значення t = 1 і t = 3.

Рішення. Кутовий коефіцієнт хорди AB дорівнює

А кутовий коефіцієнт

дотичної в точці M (при

t = c) дорівнює

y′

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2. Для

визначення з теореми Коші отримуємо рівняння

yt ′ (c)

xt ′ (c)

тобто c = 13/6.

Знайдене значення c задовольняє нерівності 1< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

Будучи нерозривно пов'язаними між собою, вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.

Виникнення поняття про диференціал

Вперше роз'яснив, що таке диференціал, один із творців (поряд з Ісааком Ньютоном) диференціального числення знаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося дуже нечітке і розпливчасте уявлення про деяку нескінченно малу «неподільну» частину будь-якої відомої функції, що представляла дуже малу постійну величину, але не рівну нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був лише один крок до введення уявлення про нескінченно малі прирощення аргументів функцій і відповідні їм прирощення самих функцій, що виражаються через похідні останніх. І цей крок було зроблено практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.

Виходячи з необхідності вирішення насущних практичних завданьмеханіки, які ставила перед наукою промисловість і техніка, що бурхливо розвивалася, Ньютон і Лейбніц створили загальні способизнаходження швидкості зміни функцій (передусім стосовно механічної швидкості руху тіла за відомою траєкторією), що призвело до введення таких понять, як похідна та диференціал функції, а також знайшли алгоритм вирішення зворотної задачі, як за відомою (змінною) швидкістю знайти пройдений шлях, що спричинило появу поняття інтеграла.

У працях Лейбніца і Ньютона вперше з'явилося уявлення у тому, що диференціали - це пропорційні приростам аргументів Δх основні частини прирощень функцій Δу, які можуть бути успішно застосовані до обчислення значень останніх. Інакше кажучи, ними було відкрито, що збільшення функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Δу = y"(x) Δх + αΔх, де α Δх - залишковий член, що прагне до нуля при Δх→ 0, набагато швидше, ніж саме Δх.

Згідно з основоположниками матаналізу, диференціали - це якраз і є перші члени у виразах прирощень будь-яких функцій. Ще не маючи чітко сформульованого поняття межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне похідної функції при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

На відміну від Ньютона, який був насамперед фізиком, і розглядав математичний апарат як допоміжний інструментВивчаючи фізичні завдання, Лейбніц приділяв більшу увагу самому цьому інструментарію, включаючи і систему наочних і зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy=y"(x)dx, аргументу dx та похідної функції у вигляді їх відношення y"(x)=dy/dx.

Сучасне визначення

Що таке диференціал із погляду сучасної математики? Він тісно пов'язаний з поняттям збільшення змінної величини. Якщо змінна y приймає спочатку значення y = y 1 , а потім y = y 2 то різниця y 2 ─ y 1 називається збільшенням величини y.

Приріст може бути позитивним. негативним та рівним нулю. Слово «прирощення» позначається Δ, запис Δу (читається «дельта ігрок») позначає збільшення величини y. отже Δу = y 2 ─ y 1 .

Якщо величину Δу довільної функції y = f (x) можливо представити у вигляді Δу = A Δх + α, де A немає залежності від Δх, тобто A = const при даному х, а доданок α при Δх→0 прагне до йому ще швидше, ніж саме Δх, тоді перший («головний») член, пропорційний Δх, і є для y = f (x) диференціалом, що позначається dy або df(x) (читається «де игрек», «де еф від ікс »). Тому диференціали - це «головні» лінійні щодо Δх складові прирощень функцій.

Механічне тлумачення

Нехай s = f (t) - відстань прямолінійно рухається від початкового положення(t - час перебування у дорозі). Приріст Δs - це шлях точки за інтервал часу Δt, а диференціал ds = f" (t) Δt - це шлях, який точка пройшла б за той же час Δt, якби вона зберегла швидкість f"(t), досягнуту до моменту t . При нескінченно малому Δt уявний шлях ds відрізняється від істинного Δs на нескінченно малу величину, що має вищий порядок щодо Δt. Якщо швидкість момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.

Геометрична інтерпретація

Нехай лінія L є графіком y = f(x). Тоді Δ х= MQ, Δу = QM" (див. рисунок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Δу на дві частини, QN і NM". Перша пропорційна Δх і дорівнює QN = MQ∙tg (кута QMN) = Δх f "(x), тобто QN є диференціал dy.

Друга частина NM" дає різницю Δу ─ dy, при Δх→0 довжина NM" зменшується ще швидше, ніж збільшення аргументу, тобто у неї порядок трохи вище, ніж у Δх. У даному випадку, при f "(x) ≠ 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM" і QN еквівалентні; іншими словами NM" зменшується швидше (порядок трохи її вище), ніж повне збільшення Δу = QM". Це видно на малюнку (з наближенням M" до М відрізок NM" становить все менший відсоток відрізка QM").

Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величині збільшення ординати її дотичної.

Похідна та диференціал

Коефіцієнт A у першому доданку виразу прирощення функції дорівнює величині її похідної f "(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення - dy = f "(x)Δх, або df (x) = f "(x)Δх.

Відомо, що збільшення незалежного аргументу дорівнює його диференціалу х = dx. Відповідно, можна написати: f"(x) dx = dy.

Знаходження (іноді кажуть, «рішення») диференціалів виконується за тими самими правилами, що й для похідних. Перелік їх наведено нижче.

Що універсальніше: збільшення аргументу чи його диференціал

Тут потрібно зробити деякі пояснення. Подання величиною f"(x)Δх диференціала можливе при розгляді х як аргумент. Але функція може бути складною, в якій х може бути функцією деякого аргументу t. Тоді подання диференціала виразом f"(x)Δх, як правило, неможливо; окрім випадку лінійної залежності х = at + b.

Що ж до формули f "(x)dx= dy, то й у разі незалежного аргументу х (тоді dx = Δх), і у разі параметричної залежності х від t, вона представляє диференціал.

Наприклад, вираз 2 x Δх представляє для y = x 2 її диференціал, коли є аргумент. Покладемо тепер х = t 2 і вважатимемо t аргументом. Тоді y = x2 = t4.

Цей вираз не пропорційний Δt і тому тепер 2xΔх не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x2 = t4. Він виявляється дорівнює dy=4t 3 Δt.

Якщо ж взяти вираз 2xdx, воно представляє диференціал y = x 2 при будь-якому аргументі t. Дійсно, при х = t2 отримаємо dx = 2tΔt.

Значить 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, тобто вирази диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.

Заміна прирощень диференціалами

Якщо f "(x) ≠ 0, то Δу та dy еквівалентні (при Δх→0); при f "(x) = 0 (що означає і dy = 0), вони не еквівалентні.

Наприклад, якщо y = x 2 то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy = 2xΔх. Якщо х=3, то маємо Δу = 6Δх + Δх 2 та dy = 6Δх, які еквівалентні внаслідок Δх 2 →0, при х=0 величини Δу = Δх 2 та dy=0 не еквівалентні.

Цей факт, разом із простою структурою диференціала (тобто лінійності по відношенню до Δх), часто використовується в наближених обчисленнях, припущення, що Δу ≈ dy для малих Δх. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж обчислити точне значеннязбільшення.

Наприклад, маємо металевий куб із ребром х=10,00 см. При нагріванні ребро подовжилося на Δх = 0,001 см. Наскільки збільшився об'єм V куба? Маємо V = х 2 так що dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Збільшення обсягу ΔV еквівалентно диференціалу dV, так що ΔV = 3 см 3 . Повне обчислення дало б V =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Але в цьому результаті всі цифри, крім першої, ненадійні; отже, однаково, потрібно округлити його до 3 см 3 .

Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину помилки, що привноситься при цьому.

Диференціал функції: приклади

Спробуємо знайти диференціал функції y = x3, не знаходячи похідної. Дамо аргументу збільшення і визначимо Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Тут коефіцієнт A = 3x 2 не залежить від Δх, так що перший член пропорційний Δх, інший член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 зменшується швидше, ніж приріст аргументу. Отже, член 3x 2 Δх є диференціал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx або d(x 3) = 3x 2 dx.

У цьому d(x 3) / dx = 3x 2 .

Знайдемо тепер dy функції y = 1/x через її похідну. Тоді d(1/x) / dx = ─1/х2. Тому dy = ─ Δх/х2.

Диференціали основних функцій алгебри наведені нижче.

Наближені обчислення із застосуванням диференціалу

Обчислити функцію f(x), а також її похідну f"(x) при x=a часто неважко, а ось зробити те ж саме на околиці точки x=a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближений вираз

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Воно дає наближене значення функції при малих збільшеннях через її диференціал f "(a)Δх.

Отже, дана формула дає наближений вираз для функції кінцевої точки деякої ділянки довжиною Δх у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x=a) і диференціала в тій же початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє рисунок нижче.

Однак відомий і точний вираз значення функції для x=a+Δх, що дається формулою кінцевих прирощень (або, інакше, формулою Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

де точка x = a+ ξ знаходиться на відрізку від x = a до x = a + Δх, хоча точне положення її невідоме. Точна формула дозволяє оцінювати похибку наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти ξ = Δх /2, то хоч вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідний вираз через диференціал.

Оцінка похибки формул за допомогою диференціала

У принципі неточні, і привносять у дані вимірів відповідні помилки. Їх характеризують граничною чи, коротше, граничною похибкою - позитивним числом, явно перевищує цю помилку за абсолютною величиною (чи крайньому разі рівним їй). Граничною називають частки від її поділу на абсолютне значення виміряної величини.

Нехай точна формула y=f(x) використана для обчислення функції y, але значення x є результатом вимірювання і тому привносить у y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку│‌‌Δу│функції y, використовують формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

де │Δх│ є граничною похибкою аргументу. Величину │‌‌Δу│ слід округлити у бік збільшення, т.к. неточною є сама заміна обчислення збільшення обчислення диференціала.

Диференціал ... Для одних це прекрасне далеке, а для інших - незрозуміле слово, пов'язане з математикою. Але якщо це ваше суворе сьогодення, наша стаття допоможе дізнатися, як правильно "приготувати" диференціал і з чим його "подавати".

Під диференціалом у математиці розуміють лінійну частинузбільшення функції. Поняття диференціала нерозривно пов'язане із записом похідною згідно з Лейбницею f′(x 0) = df/dx·x 0 . Виходячи з цього, диференціал першого порядку для функції f, заданої на множині X має такий вигляд: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Як бачите, для отримання диференціала потрібно вміти вільно знаходити похідні. Тому незайвим буде повторити правила обчислення похідних, щоб розуміти, що відбуватиметься надалі. Отже, розглянемо диференціювання на прикладах. Потрібно знайти диференціал функції, заданої у вигляді: y = x 3 -x 4 . Спочатку знайдемо похідну від функції: y = (x 3 -x 4) = = x 3) - (x 4) = 3x 2 -4x 3 . Ну, а тепер отримати диференціал простіше простого: df = (3x3-4x3) dx. Зараз ми отримали диференціал у вигляді формули, на практиці найчастіше цікавить цифрове значення диференціалу при заданих конкретних параметрах х і ∆х. Трапляються випадки, коли функція виражена неявно через х. Наприклад, y = x²-y x. Похідна функції має такий вигляд: 2x-(y x)′. Але як отримати (y x)? Така функція називається складною та диференціюється згідно з відповідним правилом: df/dx = df/dy·dy/dx. В даному випадку: df/dy = x · y x-1, а dy/dx = y′. Тепер збираємо все докупи: y′ = 2x-(x·y x-1·y′). Групуємо всі ігреки з одного боку: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, й у результаті отримуємо: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Виходячи з цього, dy = 2x dx/(1+x x x-1). Звичайно, добре, що такі завдання трапляються нечасто. Але тепер ви готові до них. Крім розглянутих диференціалів першого порядку, ще існують диференціали вищого порядку. Спробуємо знайти диференціал для функції d /d(x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), який буде диференціалом другого порядку для f(x). З формули f′(u) = d/du·f(u), де u = f(x), приймемо u = x 3 . Отримуємо: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3) = 1-4u-3u 2 . Повертаємо заміну та отримуємо відповідь – 1 – x 3 – x 6 , x ≠0. Помічником у знаходженні диференціала також може стати онлайн-сервіс. Природно, що на контрольній чи іспиті ним не скористаєшся. Але при самостійної перевіркиправильності вирішення його роль важко переоцінити. Крім самого результату, він також показує проміжні рішення, графіки та невизначений інтеграл диференціальної функції, а також корені диференціального рівняння. Єдиний недолік - це запис в один рядок функції під час введення, але з часом можна звикнути і до цього. Ну, і звичайно, такий сервіс не справляється зі складними функціями, але все, що простіше, йому по зубах. Практичне застосуваннядиференціал знаходить насамперед у фізиці та економіці. Так, у фізиці часто диференціюванням вирішуються завдання, пов'язані з визначенням швидкості та її похідної – прискорення. А в економіці диференціал є невід'ємною частиною розрахунку ефективності діяльності підприємства та фіскальної політики держави, наприклад ефекту фінансового важеля.

У статті розглянуті типові завдання диференціювання. Курс вищої математики учнів ВНЗ найчастіше містить завдання на використання диференціала в наближених обчисленнях, а також пошук рішень диференціальних рівнянь. Але головне - при чіткому розумінні азів ви з легкістю розправитеся з усіма новими завданнями.

ЛОГАРИФМІЧНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологарифмувати. Для цього надходять у такий спосіб. Якщо потрібно знайти yз рівняння y=f(x), то можна:

приклади.

ПОКАЗНО-СТІПЕННА ФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Показово-статечноюфункцією називається функція виду y = u v, де u=u(x), v=v(x).

Логарифмічне диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-ступеневої функції.

приклади.

ТАБЛИЦЯ ВИРОБНИЧИХ

Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули та правили диференціювання, виведені раніше. Всюди думатимемо u=u(x), v = v (x), З = const. Для похідних основних елементарних функцій користуватимемося теоремою про похідну складної функції.

приклади.

ПОНЯТТЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ФУНКЦІЇ. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ДИФЕРЕНЦІАЛОМ І ВИРОБНИЧИМ

Нехай функція y=f(x)диференційована на відрізку [ a; b]. Похідна цієї функції у певній точці х 0 Î [ a; b] визначається рівністю

.

Отже, за якістю межі

Помножуючи всі члени здобутої рівності на Δ x, Отримаємо:

Δ y = f "(x 0)·Δ x+ a·Δ x.

Отже, нескінченно мале збільшення Δ yдиференційованої функції y=f(x)може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f "(х 0) ≠ 0) головна частина збільшення, лінійна щодо Δ x, а друге – нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δ x. Головну частину збільшення функції, тобто. f "(х 0)·Δ xназивають диференціалом функції у точці х 0 і позначають через dy.

Таким чином, якщо функція y=f(x)має похідну f "(x) у точці x, то твір похідної f "(x) на збільшення Δ xаргументу називають диференціалом функціїі позначають:

Знайдемо диференціал функції y= x. В цьому випадку y" = (x)" = 1 і, отже, dy=dx=Δ x. Таким чином, диференціал dxнезалежної змінної xзбігається з її збільшенням Δ x. Тому формулу (1) ми можемо записати так:

dy = f "(x)dx

Але з цього співвідношення випливає, що . Отже, похідну f "(x) можна як ставлення диференціала функції до диференціалу незалежної змінної.

Раніше ми показали, що з диференціювання функції в точці випливає існування диференціала в цій точці.

Справедливе та зворотне твердження.

Якщо для цього значення xзбільшення функції Δ y = f(x+Δ x) – f(x)можна подати у вигляді Δ y = A·Δ x+ α, де α – нескінченно мала величина, яка б умові , тобто. якщо для функції y=f(x)існує диференціал dy=A·dxв деякій точці x, то ця функція має похідну в точці xі f "(x)=А.

Дійсно, маємо , і тому що при Δ x→0, то .

Таким чином, між диференційованістю функції та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.

приклади.Знайти диференціали функцій:

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІС ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Розглянемо функцію y=f(x)та відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M(x; y),проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через кут, який дотична утворює з позитивним напрямком осі Ox. Дамо незалежну змінну xприріст Δ x, тоді функція отримає збільшення Δ y = NM 1 . значенням x+Δ xі y+Δ yна кривій y = f(x)буде відповідати точка

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

З Δ MNTзнаходимо NT=MN· tg α. Т.к. tg α = f "(x), а MN = Δ x, то NT = f "(x)·Δ x. Але за визначенням диференціалу dy=f "(x)·Δ xтому dy = NT.

Таким чином, диференціал функції f(x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y=f(x) у даній точці х.

ТЕОРЕМА ПРО ІНВАРІАНТНІСТЬ ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Раніше ми бачили, що якщо uє незалежною змінною, то диференціал функції y=f "(u) має вигляд dy = f "(u)du.

Покажемо, що ця форма зберігається у тому випадку, коли uне незалежної змінної, а функцією, тобто. Знайдемо вираз для диференціалу складної функції. Нехай y=f(u), u=g(x)або y = f(g(x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:

.

Отже, за визначенням

Але g"(x)dx= duтому dy=f"(u)du.

Ми довели таку теорему.

Теорема.Диференціал складної функції y=f(u), для якої u=g(x), має той самий вигляд dy=f"(u)duякий він мав би, якби проміжний аргумент uбув незалежною змінною.

Інакше висловлюючись, форма диференціала залежить від цього, є аргумент функції незалежної змінної чи функцією іншого аргументу. Ця властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціалу.

приклад.. Знайти dy.

Враховуючи властивість інваріантності диференціалу, знаходимо

.

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ДО НАБЛИЖЕНИХ ВИЧИСЛЕНЬ

Нехай нам відоме значення функції y 0 =f(x 0 ) та її похідною y 0 " = f "(x 0) у точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції у певній близькій точці x.

Як ми вже з'ясували збільшення функції Δ yможна подати у вигляді суми Δ y=dy+α·Δ x, тобто. збільшення функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δ xдругим доданком у наближених обчисленнях, іноді користуються наближеною рівністю Δ y≈dyабо Δ y» f"(x 0)·Δ x.

Т.к., за визначенням, Δ y = f(x) – f(x 0), то f(x) – f(x 0)≈f"(x 0)·Δ x.

приклади.

ВИРОБНИЧІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Нехай функція y=f(x)диференційована на деякому відрізку [ a; b]. Значення похідної f"(x), взагалі кажучи, залежить від x, тобто. похідна f"(x) являє собою також функцію змінної x. Нехай ця функція має похідну. Диференціюючи її, отримаємо так звану другу похідну від функції f(x).

Похідна від першої похідної називається похідної другого порядкуабо другий похіднийвід цієї функції y=f(x)і позначається y"або" f""(x). Отже, y"" = (y")".

Наприклад, якщо у = х 5 , то y"= 5x 4 , а y""= 20x 4 .

Аналогічно, у свою чергу, похідну другого порядку також можна диференціювати. Похідна від другої похідної називається похідної третього порядкуабо третьої похідноїта позначається y"""або f"""( x).

Взагалі, похідної n-го порядкувід функції f(x)називається похідна (перша) від похідної ( n– 1)-го порядку та позначається символом y(n) або f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Отже, знаходження похідної вищого порядку від цієї функції послідовно знаходять її похідні нижчих порядків.