Розкладання складної передавальної функції. Передатна функція

Можна перетворити, винісши X(s) і Y(s) за дужки і поділивши один на одного:

Отримане вираз називається передавальною

(2.4)

Передатною функцією називається відношення зображення вихідного впливу Y(s) до зображення вхідного X(s) за нульових початкових умов.

Передатна функція є дробово-раціональною функцією комплексної змінної:

Передатна функція має порядок, що визначається порядком полінома знаменника (n).

З (2.4) випливає, що зображення вихідного сигналу можна знайти як

Y(s) = W(s)*X(s).

Оскільки передатна функція системи повністю визначає її динамічні властивості, то початкова задача розрахунку АСР зводиться до її визначення передавальної функції.

Приклади типових ланок

Ланкою системи називається її елемент, що має певні властивості в динамічному відношенні. Ланки систем регулювання може мати різну фізичну природу (електричні, пневматичні, механічні та інших. ланки), але описуватися однаковими ДУ, а співвідношення вхідних і вихідних сигналів у ланках описуватися однаковими передатними функціями. У ТАУ виділяють групу найпростіших ланок, які називають типовими. Статичні та динамічні характеристики типових ланок вивчені досить повно. Типові ланки широко використовуються щодо динамічних характеристик об'єктів управління. Наприклад, знаючи перехідну характеристику, побудовану за допомогою самописного приладу, часто можна визначити, до якого типу ланок відноситься об'єкт управління, а отже, його передатну функцію, диференціальне рівнянняі т.д., тобто. модель об'єкта. Типові ланки. Будь-яка складна ланка може бути представлена як поєднання найпростіших ланок.

До найпростіших типових ланок відносяться:

· Підсилювальне,

· Інерційне (аперіодичне 1-го порядку),

· Інтегруючі (реальне та ідеальне),

· диференціюючі (реальне та ідеальне),

· Аперіодичне 2-го порядку,

· коливальне,

· Запізнювальне.

1) Підсилювальна ланка.

Ланка посилює вхідний сигнал в раз. Рівняння ланки у = К * х, передатна функція W (s) = К. Параметр К називається коефіцієнтом посилення.

Вихідний сигнал такої ланки точно повторює вхідний сигнал, посилений в До раз (рис. 1.18). у = Kx.

При ступінчастому впливі h(t) = K.

Прикладами таких ланок є: механічні передачі, датчики, безінерційні підсилювачі та ін.

2) Інтегрує.

2.1) Ідеальне інтегруюче.

Вихідна величина ідеальної інтегруючої ланки пропорційна нтегралу вхідної величини:

При подачі на вхід ланки ступінчастої дії x(t) = 1 вихідний сигнал постійно зростає (рис. 1.19):

h(t) = Kt.

Це ланка астатичне, тобто. не має встановленого режиму.

Прикладом такої ланки може бути ємність, що наповнюється рідиною. Вхідний параметр - витрата рідини, що надходить, вихідний - рівень. Спочатку ємність порожня і за відсутності витрати рівень дорівнює нулю, але якщо включити подачу рідини, рівень починає поступово збільшуватися.

2.2) Реальне інтегруюче.

Передатна функція цієї ланки має вигляд (рис. 1.20)

Перехідна характеристика на відміну ідеальної ланки є кривою

Прикладом інтегруючого ланки є двигун постійного струму з незалежним збудженням, якщо як вхідний вплив прийняти напругу живлення статора, а вихідного - кут повороту ротора. Якщо напруга на двигун не подається, ротор не рухається і кут його повороту можна прийняти рівним нулю. При подачі напруги ротор починає розкручуватися, а кут повороту спочатку повільно внаслідок інерції, а потім швидше збільшуватися до досягнення певної швидкості обертання.

3) Диференціююче.

3.1) Ідеальне диференціююче.

Вихідна величина пропорційна похідній за часом від вхідної:

При ступінчастому вхідному сигналі вихідний сигнал є імпульсом (d-функцію): h(t) = Kδ(t).

3.2) Реальне диференціююче.

Ідеальні ланки, що диференціюють, фізично не реалізовані. Більшість об'єктів, які є диференціюючими ланками, відносяться до реальних диференційних ланок, передавальні функції яких мають вигляд.

Перехідна характеристика (рис. 1.21):

Приклад ланки: електрогенератор. Вхідний параметр – кут повороту ротора, вихідний – напруга. Якщо ротор повернути на деякий кут, то на клемах з'явиться напруга, але якщо ротор не обертати далі, напруга знизиться до нуля. Різко впасти воно не може через наявність індуктивності у обмотки.

4) Аперіодичне (інерційне).

Зображення ступінчастої дії: X(s) = Хо / s Тоді зображення вихідної величини:

Розкладемо дріб на прості:

Оригінал першого дробу за таблицею:

Постійна Т називається постійного часу. Більшість теплових об'єктів є аперіодичними ланками. Наприклад, при подачі на вхід електричної печі напруги її температура змінюватиметься за аналогічним законом (рис. 1.22).

5) Ланки другого порядку (рис. 1.23)

Ланки мають ДУ та ПФ виду.

При подачі на вхід ступінчастої дії амплітудою Хо перехідна крива матиме один із двох видів: аперіодичний (при Т1 ≥ 2Т2) або коливальний (при Т1< 2Т2).

У зв'язку з цим виділяють ланки другого порядку:

· Аперіодичне 2-го порядку (Т1 ≥ 2Т2),

· Інерційне (Т1< 2Т2),

· Консервативне (Т1 = 0).

6) Запізнювальне.

Якщо при подачі на вхід об'єкта деякого сигналу він реагує на цей сигнал не моментально, а через деякий час, то кажуть, що об'єкт має запізнення.

Запізнення– це інтервал часу з моменту зміни вхідного сигналу до початку зміни вихідного.

Запізнювальна ланка- Це ланка, у якого вихідна величина у точності повторює вхідну величину х з деяким запізненням t.

Кінцевою метою аналізу САР є рішення (якщо це можливо) чи дослідження диференціального рівняння системи загалом. Зазвичай відомі рівняння окремих ланок, що входять до складу САР, і виникає проміжне завдання отримання диференціального рівняння системи відомих ДУ її ланок. При класичній формі подання ДУ це завдання пов'язане зі значними труднощами. Використання поняття передавальної функції значно спрощує її.

Нехай деяка система описується ДУ виду.

Ввівши позначення = p, де p називають оператором, або символом, диференціювання, і звертаючись тепер із цим символом як із звичайним алгебраїчним числом, після винесення x вих і x вх за дужки отримують диференціальне рівняння цієї системи в операторній формі:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x вих = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x вх. (3.38)

Багаточлен від p, що стоїть при вихідній величині,

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

називається власним оператором, а багаточлен при вхідній величині – оператором впливу

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Передаточною функцією називається ставлення оператора впливу до свого оператора:

W(p) = K(p)/D(p) = xвих/xвх. (3.41)

Надалі ми практично всюди використовуватимемо саме операторну форму запису диференціальних рівнянь.

Види з'єднань ланок та алгебра передавальних функцій.

Отримання передавальної функції САР вимагає знання правил знаходження передавальних функцій груп ланок, у яких ланки з'єднані між собою певним чином. Є три типи з'єднань.

1.Послідовне, при якому вихід попередньої ланки є входом для наступного (рис.3.12):

x вих

Рис. 3.14. Зустріч – паралельне з'єднання.

Залежно від цього, складається сигнал зворотний зв'язок х із вхідним сигналом х вх чи віднімається від нього, розрізняють позитивні і негативні зворотні зв'язку.

Як і раніше, базуючись на властивості передавальної функції, можемо написати

W 1 (p) = x вих / (x вх ± х); W 2 (p) = x/x вих; W c = x вих / x вх. (3.44)

Виключивши з перших двох рівнянь внутрішню координату х отримаємо передатну функцію для такого з'єднання:

W c (p) = W 1 (p) / . (3.45)

Слід пам'ятати, що у останньому виразі знак плюс відповідає негативноюзворотнього зв'язку.

У тому випадку, коли якась ланка має кілька входів (як, наприклад, об'єкт регулювання), розглядаються кілька передатних функцій цієї ланки, що відповідають кожному з входів, наприклад, якщо рівняння ланки має вигляд

D(p)y = Kx(p)x + Kz(p)z(3.46)

де K x (p) і K z (p) – оператори впливів відповідно до входів x та z, то ця ланка має передавальні функції по входах х та z:

W x (p) = K x (p) / D (p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (3.47)

Надалі з метою скорочення записів у виразах передавальних функцій та відповідних операторів опускатимемо аргумент «p».

Зі спільного розгляду виразів (3.46) і (3.47) випливає, що

y = W x x + W z z (3.48)

тобто в загальному випадкувихідна величина будь-якої ланки з кількома входами дорівнює сумі творів вхідних величин на передавальні функції за відповідними входами.

Передатна функція САР для обурення.

Звичайний вид структури САР, що працює за відхиленням регульованої величини, такий:

W o z = K z / D об'єкт W o x = K x / D

W p y

-x

Рис.3.15. Замкнена САР.

Звернімо увагу на ту обставину, що регулюючий вплив надходить на об'єкт із зміненим знаком. Зв'язок між виходом об'єкта та його входом через регулятор називається головним зворотним зв'язком (на відміну від можливих додаткових зворотних зв'язків у самому регуляторі). По самому філософського сенсурегулювання дія регулятора спрямована на зменшення відхиленнярегульованої величини, і тому головна зворотний зв'язок завжди негативна.На рис. 3.15:

W o z - передавальна функція об'єкта з обурення;

W o x - передавальна функція об'єкта з регулюючої дії;

W p y - Передатна функція регулятора з відхилення у.

Диференціальні рівняння об'єкта та регулятора виглядають так:

y = W o x x + W o z

x = - W p у y. (3.49)

Підставивши х із другого рівняння до першого і виконавши угруповання, отримуємо рівняння САР:

(1+ W o x W p у) y = W o z z. (3.50)

Звідси передатна функція САР для обурення

W c z = y / z = W o z / (1 + W o x W p у). (3.51)

Подібним шляхом можна отримати і передатну функцію САР з керуючого впливу:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

де W p u -Передавальна функція регулятора з керуючого впливу.

3.4 Вимушені коливання та частотні характеристики САР.

У реальних умовах експлуатації САР нерідко піддається дії періодичних збурювальних сил, що супроводжується періодичними змінами регульованих величин та регулюючих впливів. Такі, наприклад, коливання судна при ході хвилювання, коливання частоти обертання гребного гвинта та інших величин. У ряді випадків амплітуди коливань вихідних величин системи можуть досягати неприпустимо великих значень і це відповідає явищу резонансу. Наслідки резонансу часто згубні для системи, що його випробовує, наприклад, перекидання судна, руйнування двигуна. У системах регулювання такі явища можливі за зміни властивостей елементів, викликаному зносами, заміною, перенастроюванням, відмовами. Тоді виникає необхідність або визначення безпечних діапазонів експлуатаційних умов, або належного налаштування САР. Тут будуть розглянуті ці питання у додатку до лінійних систем.

Нехай деяка система має нижченаведену структуру:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Рис.3.16. САР як вимушених коливань.

Якщо систему діє періодичний вплив х з амплітудою А х і кругової частотою w, то після закінчення перехідного процесу на виході встановляться коливання тієї ж частоти з амплітудою А у і зміщені щодо вхідних коливань на фазовий кут j. Параметри вихідних коливань (амплітуда і фазовий зсув) залежать від частоти сили, що змушує. Завдання полягає у визначенні параметрів вихідних коливань за відомими параметрами коливань на вході.

Відповідно до передавальної функції САР, показаної на рис.3.14, диференціальне рівняння її має вигляд

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Підставимо в (3.53) вирази для х і у, наведені на рис. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Якщо розглядати картину коливань, зміщену на чверть періоду, то в рівнянні (3.54) функції синусів зміняться функціями косінусів:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Помножимо рівняння (3.54) на i = і складемо отримане з (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Застосовуючи формулу Ейлера

exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,

наведемо рівняння (3.56) до виду

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Виконаємо операцію диференціювання за часом, передбачену оператором р=d/dt:

A y exp=

A x exp (iwt). (3.58)

Після простих перетворень, пов'язаних із скороченням на exp(iwt), отримуємо

Права частинавирази (3.59) схожа вираз передавальної функції САР і може бути отримана з нього заміною p=iw. За аналогією вона називається комплексною передатною функцією W(iw), або амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Часто використовують також термін частотна характеристика. Зрозуміло, що цей дріб є функцією комплексного аргументу і може бути представлений ще й у такому вигляді:

W(iw) = M(w) + iN(w), (3.60)

де M(w) і N(w) – відповідно речова та уявна частотні характеристики.

Відношення А у /А х є модуль АФХ і є функцією частоти:

А у / А х = R (w)

і називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ). Фазовий

зсув j = j (w) - також функція частоти і називається фазовою частотною характеристикою (ФЧХ). Обчислюючи R(w) та j(w) для діапазону частот (0…¥), можна побудувати на комплексній площині в координатах M(w) та iN(w) графік АФХ (рис.3.17).

R(ω)

ω cp

ω рез

Рис.3.18. Амплітудно-частотні характеристики.

На АЧХ системи 1 видно резонансний пік, що відповідає найбільшій амплітуді вимушених коливань. Робота в зоні біля резонансної частоти може виявитися згубною і часто взагалі неприпустима правил експлуатації конкретного об'єкта регулювання. АЧХ виду 2 не має резонансного піку і для механічних систем краща. Видно також, що зі збільшенням частоти амплітуда вихідних коливань зменшується. Фізично це легко пояснюється: будь-яка система в силу властивих їй інерційних властивостей легше підкоряється розгойдування низькими частотаминіж високими. Починаючи з деякої частоти, коливання на виході стають незначними, і цю частоту називають частотою зрізу, а діапазон частот нижче частоти зрізу називають смугою пропускання частот. Теоретично автоматичного регулювання за частоту зрізу приймають таку, коли він значення АЧХ в 10 разів менше, ніж за нульової частоті. Властивість системи гасити високочастотні коливання називається властивістю фільтра низьких частот.

Розглянемо методику розрахунку АЧХ з прикладу ланки другого порядку, диференціальне рівняння якого

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

У завданнях вимушених коливань часто використовують більш наочну форму рівняння

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

де називається власною частотою коливань за відсутності згасання, x = T 1 w 0 /2 - коефіцієнт загасання.

Передатна функція виглядає так:

Заміною p = iw отримуємо амплітудно-фазову характеристику

Використовуючи правило розподілу комплексних чисел, отримуємо вираз для АЧХ:

Визначимо резонансну частоту, коли АЧХ має максимум. Це відповідає мінімуму знаменника виразу (3.66). Прирівнюючи нулю похідну знаменника за частотою w, маємо:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

звідки отримуємо значення резонансної частоти, що не дорівнює нулю:

w рез = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Проаналізуємо цей вислів, навіщо розглянемо окремі випадки, яким відповідають різні значеннякоефіцієнта згасання.

1. x = 0. Резонансна частота дорівнює власної, і модуль АЧХ при цьому перетворюється на нескінченність. Це випадок так званого математичного резонансу.

2. . Оскільки частота виражається позитивним числом, та якщо з (68) при цьому випадку виходить або нуль, або уявне число, слід висновок, що з таких значеннях коефіцієнта згасання АЧХ немає резонансного піку (крива 2 на рис.3.18).

3. . АЧХ має резонансний пік, причому зі зменшенням коефіцієнта згасання резонансна частота наближається до власної та резонансний пік стає вищим і гострішим.

1. Передавальні функції та частотні характеристики. Аналогові пристрої апаратури зв'язку

1. Передавальні функції та частотні характеристики

Електричний ланцюг будь-якої складності, що має дві пари затискачів для підключення до джерела та приймача електричної енергії, в техніці зв'язку називають чотириполюсником. Затискачі, до яких підключається джерело, називаються вхідними, а затискачі, до яких приєднується приймач (навантаження) – вихідними затискачами (полюсами).

У загальному виглядічотириполюсник зображують, як показано на рис. 1.1. До входу чотириполюсника 1–1" підключено джерело електричної енергії з комплексним чинним значенням напруги та внутрішнім опором. До вихідних затискачів 2–2" приєднано навантаження з опором. До вхідних затискачів додана напруга з комплексним чинним значенням, до вихідних – з комплексним чинним значенням. Через вхідні затискачі протікає струм із комплексним чинним значенням, через вихідні затискачі – з комплексним чинним значенням. Зауважимо, що в ролі джерела та приймача електричної енергії можуть виступати інші чотириполюсники.

На рис. 1.1 використані символічні позначення напруги та струмів. Це означає, що аналіз електричного кола проводиться для гармонійного коливання певної частоти. Для цього гармонійного коливання можна визначити передатну функцію навантаженого чотириполюсника, Яка буде відношення комплексного діючого значення вихідної електричної величини до комплексного чинного значення вхідної електричної величини.

Якщо вхідним впливом вважати напругу генератора з комплексним чинним значенням, а реакцією чотириполюсника на цей вплив – напруга з комплексним чинним значенням або струм з комплексним чинним значенням, то виходять комплексні передавальні функції загального вигляду:

, (1.1)

. (1.2)

В окремих випадках, коли заданими впливами є напруга на вхідних затискачах чотириполюсника або струм, що протікає через ці затискачі, отримують наступні чотири різновиди передавальних функцій:

- Комплексний коефіцієнт передачі по напрузі (для активних чотириполюсників, наприклад підсилювачів, він носить назву коефіцієнта посилення по напрузі);

- Комплексний коефіцієнт передачі по струму (для активних ланцюгів - коефіцієнт посилення по струму);

- Комплексний передатний опір;

- Комплексна передавальна провідність.

Часто в теорії ланцюгів використовують нормовану або робочу передатну функціючотириполюсники:

, (1.3)

яка виходить шляхом нормування (1.1) множником.

Як усяку комплексну величину Н можна представити у показовій формі:

, (1.4)

де – модуль комплексної передавальної функції, а j – її аргумент.

Розглянемо комплексну передатну функцію по напрузі

Підставляючи (1.5) запис комплексних діючих значень

З порівняння цього виразу з (1.4) видно, що

тобто модуль комплексної передавальної функції по напрузі (або комплексного коефіцієнта посилення по напрузі) показує у скільки разів змінюється діюче значення (амплітуда) гармонійного коливання напруги на виході ланцюга в порівнянні з аналогічним значенням на вході ланцюга, а аргумент цієї функції визначає зсув фаз між гармонійними коливаннями напруги на вході та виході.

Так само можна знайти:

Все сказане вище про коефіцієнт передачі напруги справедливо і коефіцієнта передачі струму.

Якщо ми змінюватимемо частоту гармонійного коливання, то вираз (1.4) слід записати у вигляді:

. (1.6)

Функція частоти називається амплітудно-частотною характеристикою ланцюга(АЧХ). Вона показує, які зміни в амплітуди гармонійних коливань вносить ланцюг на кожній частоті.

Функція частоти називається фазо-частотною характеристикою ланцюга(ФЧХ). Відповідно ця характеристика показує, який фазовий зсув набуває гармонійного коливання кожної частоти при поширенні ланцюга.

Комплексну передатну функцію можна представити також в формі алгебри:

де Re та Im означають реальну та уявну частини комплексної величини.

З теорії комплексних величин відомо, що

Приклад 1.1

Визначити коефіцієнт передачі за напругою АЧХ і ФЧХ ланцюга, зображеної на рис. 1.2, а.

Згідно (1.5) запишемо

Знайдемо комплексну функцію на виході ланцюга:

Підставивши формулу для , отримаємо комплексну передатну функцію:

;

Змінюючи частоту w від 0 до Ґ, можемо зобразити графіки АЧХ та ФЧХ ланцюга (рис. 1.2, бі в).

АЧХ та ФЧХ ланцюга можна уявити єдиним графікомякщо побудувати залежність комплексної передавальної функції від частоти w на комплексній площині. При цьому кінець вектора опише деяку криву, яка називається годографомкомплексної передавальної функції (рис. 1.3).

Часто фахівці оперують поняттям логарифмічної амплітудно-частотної характеристики(ЛАХ):

Значення величини Дооцінюються у децибелах (дБ). В активних ланцюгах, що містять підсилювачі, величину Доназивають ще логарифмічним посиленням. Для пасивних кіл замість коефіцієнта посилення вводять поняття ослаблення ланцюга:

, (1.7)

яке також оцінюється у децибелах.

Приклад 1.2

Відомо, що модуль коефіцієнта передачі напруги ланцюга приймає наступні значення:

f= 0 кГц Н(f) = 1

f= 1 кГц Н(f) = 0,3

f= 2 кГц Н(f) = 0,01

f= 4 кГц Н(f) = 0,001

f= 8 кГц Н(f) = 0,0001

Зобразити графік ослаблення ланцюга.

Значення ослаблення ланцюга, розраховані за (1.7), наведено у таблиці:

f, кГц
А(f), дБ

Графік А(f) наведено на рис. 1.4.

Якщо замість комплексних опорів ємності та індуктивності мати справу з операторними опорами ємності та індуктивність pL, то у виразі потрібно замінити на р.

Операторна передавальна функція ланцюга може бути записана у загальному вигляді як дробово-раціональна функція з речовими коефіцієнтами:

або у вигляді

де - Нулі; – полюси передавальної функції; .

Замінивши на (1.8) оператор рна jw, знову отримаємо комплексну передатну функцію ланцюга

де АЧХ ланцюга

Враховуючи, що є ірраціональною функцією, зазвичай при аналізі та синтезі ланцюгів мають справу з квадратом АЧХ:

де коефіцієнти виходять шляхом об'єднання коефіцієнтів при однакових ступенях змінної w.

Приклад 1.3

Знайти коефіцієнт передачі за напругою та квадрат АЧХ ланцюга, зображеного на рис. 1.5, а.

Коефіцієнт передачі за напругою цього ланцюга дорівнює

де Н = 1, , .

Коріння чисельника цього раціонального дробу, тобто нулі передавальної функції,

Коріння знаменника, або полюси передавальної функції,

На рис. 1.5, бпоказано розташування нулів та полюсів функції при .

За теоремою Вієта

Амплітудно-частотна характеристика визначається шляхом заміни рна та обчислення модуля отриманої функції

Квадрат АЧХ запишеться у вигляді

де ; ;

АЧХ ланцюга зображено на рис. 1.5, в.

Перерахуємо основні властивості операторних передавальних функцій та квадрата АЧХ пасивних ланцюгів:

1. Передавальна функція є дробово-раціональною функцією з речовими коефіцієнтами. Речовість коефіцієнтів пояснюється лише тим, що вони визначаються елементами схеми.

2. Полюси передавальної функції розташовуються в лівій напівплощині комплексної змінної р. На розташування нулів обмежень немає. Доведемо цю властивість на прикладі передавальної функції. Виберемо вхідний вплив або в операторній формі. Зображення вихідної напруги у разі чисельно одно , тобто.

де – поліном чисельника передавальної функції; - Коефіцієнти розкладання дробово-раціональної функції на суму простих дробів.

Перейдемо від зображення до оригіналу:

де у загальному випадку.

У пасивних та стійких активних чотириполюсниках коливання на виході чотириполюсника після припинення впливу повинні мати загасаючий характер. Це означає, що в (1.13) речові частини полюсів повинні бути негативними, тобто полюси повинні знаходитися в лівій напівплощині змінної р.

3. Ступені поліномів чисельників передавальної функції та квадрата АЧХ не перевищують ступенів поліномів знаменників, тобто. nФ m. Якби ця властивість не виконувалася, то на нескінченно більших частотах АЧХ приймала б нескінченно велике значення(оскільки чисельник зростав би зі збільшенням частоти швидше знаменника), тобто ланцюг мав би нескінченне посилення, що суперечить фізичному змісту.

4. Квадрат АЧХ є парною раціональною функцією змінної w з речовими коефіцієнтами. Ця властивість з очевидністю випливає із способу отримання квадрата АЧХ передавальної функції.

5. Квадрат АЧХ не може набувати негативних і нескінченно великих значень при w > 0. Невід'ємність випливає з властивостей квадрата модуля комплексної величини. Кінцевість значень АЧХ на реальних частотах пояснюється так само, як і у властивості 3.

У більшості ланцюгів із залежними джерелами є по Крайній мірідва шляхи проходження сигналу: прямий (від входу до виходу) та зворотний (з виходу на вхід). Зворотний шлях проходження сигналу реалізується за допомогою спеціального ланцюга зворотнього зв'язку(ОС). Таких шляхів, отже і ланцюгів ОС, може бути кілька. Наявність у ланцюгах із залежними джерелами ОС надає їм нові цінні якості, якими не мають ланцюга без ОС. Наприклад, за допомогою ланцюгів ОС можна здійснити температурну стабілізацію режиму роботи ланцюга, зменшити нелінійні спотворення, що виникають у ланцюгах з нелінійними елементами і т.д.

Будь-який ланцюг із зворотним зв'язком можна уявити з двох чотирьохполюсників (рис. 1.6).

Активний лінійний чотириполюсник з передатною функцією напруги є підсилювачем. Його іноді називають основним елементом ланцюга та кажуть, що він утворює канал прямого посилення.

Пасивний чотириполюсник з передатною функцією за напругою називається ланцюгом зворотного зв'язку. На вході ланцюга здійснюється підсумовування вхідної напруги та напруги зворотного зв'язку.

Виведемо формулу передавальної функції з напруги ланцюга, зображеної на рис. 1.6. Нехай на вхід подається напруга. Його операторне зображення. На виході ланцюга виникає напруга. Відповідно до рис. 1.6 його операторне зображення

Операторне зображення можна записати через передавальну функцію ланцюга зворотного зв'язку

Тоді вираз (1.14) можна переписати як

Операторна передатна функція по напрузі ланцюга з ОС (див. рис. 1.6).

. (1.16)

Приклад 1.4

На рис. 1.7 зображено ланцюг на операційному підсилювачі (ОУ), призначений для масштабування напруги. Знайти передатну функцію цього ланцюга.

Отримаємо передатну функцію цього ланцюга як ланцюга із зворотним зв'язком, використовуючи формулу (1.16).

Ланцюгом зворотного зв'язку на схемі рис. 1.7 служить Г-подібний дільник напруги, складений з опорів резистивних і . Вихідна напруга підсилювача надходить на вхід ланцюга ОС; напруга ОС знімається з резистора. Передатна функція напруги ланцюга ОС

Скористаємося формулою (1.16) та врахуємо, що вхідна напруга та напруга зворотного зв'язку не підсумовуються, а віднімаються. Тоді отримаємо передатну функцію масштабного підсилювача:

Враховуючи, що у реальних ОУ значення >> 1, маємо остаточно:

приклад 1.5

Ланка на ОУ з частотно-залежною ОС представлена на рис. 1.8. Знайти передатну функцію цієї ланки.

Щоб проаналізувати прямий шлях проходження сигналу і проходження сигналу ОС, необхідно скористатися методом накладання. Для цього слід по черзі виключати джерела вхідної напруги та напруги зворотного зв'язку, замінюючи їх внутрішнім опором. У разі ідеальних джерел напруги їх внутрішній опір дорівнює нулю. Напруга, прикладена до ланки, послаблюється вхідним ланцюгом, що представляє собою Г-подібний дільник напруги з опорами і плечах. Передатна функція по напрузі такого дільника дорівнює

Ланцюг зворотного зв'язку також є Г-подібним чотириполюсником з передавальною функцією.

Коефіцієнт посилення ОУ.

Відповідно до формули (1.16) отримуємо передатну функцію ланки:

Враховуючи, що >> 1, отримуємо:

Ця ланка може виконувати різні функції залежно від виду опорів та . При ланка перетворюється на інвертуючий масштабний підсилювач; при і – інтегратор; при і - диференціатор.

Приклад 1.6

Ланка другого порядку з регульованим коефіцієнтом посилення представлена на рис. 1.9, а. Знайти передатну функцію цієї ланки.

Аналіз проходження вхідного сигналу і сигналу ланцюга ОС показує, що ланка має вхідний ланцюг, зображену на рис. 1.9, бі ланцюг ОС, показаний на рис. 1.9, в. Передавальні функції цих кіл можна отримати матричним методомнаприклад, розглядаючи кожну ланцюг як каскадне з'єднання відповідних Г-подібних чотириполюсників.

Для вхідного ланцюга

Для ланцюга ОС

. (1.18)

З урахуванням (1.16) отримаємо передатну функцію ланки

. (1.19)

Коефіцієнт передачі підсилювача. Тоді, підставляючи (1.17) та (1.18) на (1.19), після перетворення маємо

Переходячи в (1.16) від оператора рдо оператора , отримуємо комплексну передатну функцію

. (1.20)

Твір є комплексною передатною функцією підсилювача і ланцюга зворотного зв'язку за умови, що зворотний зв'язок розірваний (рис. 1.10). Функцію називають передатною функцією по петлі ОС або петльовим посиленням. Введемо поняття позитивного та негативного зворотного зв'язку. Ці поняття грають помітну роль теорії ланцюгів зі зворотним зв'язком.

Припустимо спочатку, що передавальні функції , , не залежить від частоти і є речовими числами. Така ситуація можлива, коли в ланцюзі відсутні LC-Елементи. У цьому то, можливо як позитивним, і негативним числом. У першому випадку зсув фаз між вхідною і вихідною напругою або, іншими словами, зсув фаз по петлі зворотного зв'язку дорівнює нулю або , k= 0, 1, 2, ... У другому випадку, коли зсув фаз по цій петлі дорівнює або .

Якщо ланцюга зі зворотним зв'язком зсув фаз по петлі дорівнює нулю, то зворотний зв'язок називається позитивноюякщо ж зсув фаз дорівнює , то такий зворотний зв'язок називається негативною.

Передатну функцію можна зобразити у вигляді векторів та показати їх на комплексній площині. При позитивному зворотному зв'язку вектор знаходиться на позитивній речовій півосі, а при негативному зворотному зв'язку - на негативному речовому півосі.

Крива, яку описує кінець вектора за зміни частоти w (рис. 1.11), називається, як відомо, годографом.

Подання у вигляді годографа дозволяє визначити вид зворотного зв'язку у разі частотно-залежного зворотного зв'язку.

Введемо поняття стійкого та нестійкого ланцюга. Ланцюг називається стійкоюякщо вільні коливання з часом прагнуть до нуля. В іншому випадку ланцюг називається нестійкою. З теорії перехідних процесів випливає, що ланцюг є стійким, якщо коріння характеристичного рівняння лежить у лівій напівплощині комплексної змінної р. Якщо коріння такого рівняння лежить у правій напівплощині, то ланцюг є нестійким, тобто він знаходиться в режимі самозбудження. Таким чином, для визначення умов стійкості ланцюга достатньо знайти характеристичне рівняннята його коріння. Як бачимо, умови стійкості можна визначити і не запроваджуючи поняття зворотного зв'язку. Однак тут виникає низка проблем. Справа в тому, що виведення характеристичного рівняння та визначення його коріння є громіздкою процедурою, особливо для ланцюгів високого порядку. Введення поняття зворотний зв'язок полегшує отримання характеристичного рівняння і навіть дає можливість обійтися без нього. Вкрай важливо і те, що поняття зворотного зв'язку адекватно фізичним процесам, що виникають у ланцюзі, тому вони стають наочнішими. Глибоке розуміння фізичних процесів полегшує роботу із створення автогенераторів, підсилювачів тощо.

Розглянемо ланцюг (див. рис. 1.6) і виведемо його характеристичне рівняння. Нехай і, отже, . Тоді з (1.15) випливає:

. (1.22)

Якщо записати передавальну функцію основного ланцюга у вигляді , а ланцюги ОС – , то рівняння (1.22) перепишеться так:

Ця рівність виконується при

Вираз у лівій частині цієї рівності є поліномом, тому (1.23) можна записати у загальному вигляді:

Це і є характеристичне рівняння ланцюга.

Коріння рівняння (1.24) у загальному випадку є комплексними величинами

де . Знаючи коріння характеристичного рівняння, можна записати вихідну напругу:

Щоб напруга не зростала безмежно, всім корінням характеристичного рівняння необхідно мати негативні речові частини, тобто коріння повинні розташовуватися в лівій напівплощині комплексної змінної. Ланцюг з ОС, що володіє такими властивостями, називається абсолютно стійким.

При дослідженні ланцюгів із зворотним зв'язком можуть виникати дві проблеми. Якщо проектований ланцюг має бути стійким, то необхідно мати критерій, який за видом функцій і дозволяв би судити про відсутність коренів характеристичного рівняння у правій напівплощині р. Якщо зворотний зв'язок використовується для створення нестійкого автоколивального ланцюга, слід переконатися, що корені рівняння (1.24) розташовані, навпаки, у правій напівплощині. При цьому необхідно мати таке розташування коріння, при якому самозбудження відбувалося б на потрібній частоті.

Розглянемо критерій стійкості ланцюга, названий критерієм Найквіста, і що дозволяє судити про стійкість ланцюга із зворотним зв'язком за властивостями розімкнутого ланцюга (рис. 1.10).

Передатна функція розімкнутого ланцюга, або петлеве посилення, входить до характеристичного рівняння (1.22):

, (1.26)

Якщо знайдеться така частота w для якої кінець вектора потрапляє в точку з координатами (1, j 0), то це означатиме, що виконується умова (1.26), тобто на цій частоті в ланцюзі відбудеться самозбудження. Значить, за годографом можна визначити, стійкий ланцюг чи ні. Для цього використовується критерій Найквіста, який формулюється так: якщо годограф передавальної функції розімкнутого ланцюга не охоплює крапку з координатами(1, j 0), то при замкнутому ланцюгу зворотного зв'язку ланцюг є стійким.У тому випадку, коли годограф охоплює точку (1, j Х 1 можна записати у вигляді двох умов: у стаціонарному режимі. До= 2, крива 1) та нестійкою ( До= 3, крива 2; До= 4, крива 3) ланцюга.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Що таке комплексна передавальна функція? Які види комплексних передатних функцій чотириполюсника відомі?

2. Визначити коефіцієнт передачі за напругою АЧХ і ФЧХ ланцюга, зображеного на рис. 1.2, а, якщо вихідною напругою є напруга на резисторі R. Побудувати графіки АЧХ та ФЧХ.

Відповідь: ; ; 90 ° - arctg w RC.

3. Визначити коефіцієнт передачі за напругою при холостому ході та коефіцієнт передачі по струму при короткому замиканні для П-подібного чотириполюсника у поздовжню гілка якого включена індуктивність L, а поперечні гілки – ємність З. Відповідь: .

4. Визначити ослаблення, яке вносить ланцюг рис. 1.2, а, при R= 31,8 кОм та = 10 кОм.

Відповідь: 12 дБ.

5. Що таке операторна передатна функція? Як вона пов'язана із комплексною передатною функцією? Як визначити нулі та полюси операторної передавальної функції?

6. Визначити операторну передатну функцію, комплексний коефіцієнт передачі за напругою, АЧХ та квадрат АЧХ послідовного коливального контуру, зображеного на рис. 1.5, а, якщо вихідною напругою є напруга на ємності З. Побудувати графік АЧХ ланцюга.

Відповідь: ; .

7. Перелічити основні властивості операторних передавальних функцій пасивних кіл.

8. Як розраховується передатна функція ланцюга із зворотним зв'язком?

9. Довести, що операторна передатна функція диференціатора на операційному підсилювачі дорівнює (– pRC). Побудувати графік АЧХ такого диференціатора.

11. Визначити передатну функцію фільтра, зображеного на рис. 1.13.

Відповідь: .

12. Що таке годограф петльового посилення? Як за годографом визначити тип зворотного зв'язку?

13. Як формулюється критерій стійкості Найквіста? Для яких кіл він використовується?

14. Визначити комплексну передатну функцію розімкнутого ланцюга, зображеного на рис. 1.13. Дослідіть залежність стійкості ланцюга від величини коефіцієнта посилення До.

Перетворення ДУ Лапласом дає можливість ввести зручне поняття передавальної функції, що характеризує динамічні властивості системи.

Наприклад, операторне рівняння

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можна перетворити, винісши X(s) і Y(s) за дужки і поділивши один на одного:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Отримане вираз називається передавальною функцією.

(2.4)

Передатна функція є дробово-раціональною функцією комплексної змінної:

де B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - поліном чисельника,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a ns - поліном знаменника.

Передатна функція має порядок, що визначається порядком полінома знаменника (n).

З (2.4) випливає, що зображення вихідного сигналу можна знайти як

Y(s) = W(s)*X(s).

Оскільки передатна функція системи повністю визначає її динамічні властивості, то початкова задача розрахунку АСР зводиться до визначення її передавальної функції.

2.6.2 Приклади типових ланок

У ТАУ виділяють групу найпростіших ланок, які називають типовими. Статичні та динамічні характеристики типових ланок вивчені досить повно. Типові ланки широко використовуються щодо динамічних характеристик об'єктів управління. Наприклад, знаючи перехідну характеристику, побудовану з допомогою самописного приладу, часто можна визначити, якого типу ланок належить об'єкт управління, отже, його передатну функцію, диференціальне рівняння тощо. модель об'єкта. Типові ланки Будь-яка складна ланка може бути представлена як поєднання найпростіших ланок.

До найпростіших типових ланок відносяться:

підсилювальне,

інерційне (аперіодичне 1-го порядку),

інтегруючі (реальне та ідеальне),

диференціюючі (реальне та ідеальне),

аперіодичне 2-го порядку,

коливальне,

запізнювальне.

1) Підсилювальна ланка.

Ланка посилює вхідний сигнал в раз. Рівняння ланки у = К * х, передатна функція W (s) = К. Параметр К називається коефіцієнтом посилення .

Вихідний сигнал такої ланки точно повторює вхідний сигнал, посилений в раз (див. малюнок 1.18).

При ступінчастому вплив h(t) = K.

Прикладами таких ланок є: механічні передачі, датчики, безінерційні підсилювачі та ін.

2) Інтегрує.

2.1) Ідеальне інтегруюче.

Вихідна величина ідеальної інтегруючої ланки пропорційна інтегралу вхідної величини:

; W(s) =

При подачі на вхід ланки ступінчастої дії x(t) = 1 вихідний сигнал постійно зростає (див. рис. 1.19):

Це ланка астатичне, тобто. не має встановленого режиму.

2.2) Реальне інтегрує.

П редаточна функція цієї ланки має вигляд

W(s) =
.

Перехідна характеристика на відміну ідеальної ланки є кривою (див. рис. 1.20):

h(t) = K. (t - T) + K . T. e-t/T.

3) Диференціююче.

3.1) Ідеальне диференціююче.

Вихідна величина пропорційна похідній за часом від вхідної:

; W(s) = K*s

При ступінчастому вхідному сигналі вихідний сигнал є імпульс (-функцію): h(t) = K . (t).

3.2) Реальне диференціююче.

W(s) =
.

Перехідна характеристика:
.

4) Аперіодичне (інерційне).

Цій ланці відповідають ДК та ПФ виду

; W(s) =
.

Визначимо характер зміни вихідної величини цієї ланки під час подачі на вхід ступінчастої дії величини х 0 .

Зображення ступінчастої дії: X(s) = . Тоді зображення вихідної величини:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

Розкладемо дріб на прості:

=
+ =
= -
= -

Оригінал першого дробу за таблицею: L -1 () = 1, другий:

L -1 ( } = .

Тоді остаточно отримуємо

y(t) = K x 0 (1 - ).

Постійна Т називається постійного часу.

Більшість теплових об'єктів є аперіодичними ланками. Наприклад, при подачі на вхід електричної печі напруги її температура змінюватиметься за аналогічним законом (див. рисунок 1.22).

5) Ланки другого порядку

Ланки мають ДК та ПФ виду

W(s) =
.

При подачі на вхід ступінчастої дії амплітудою х 0 перехідна крива матиме один із двох видів: аперіодичний (при Т 1  2Т 2) або коливальний (при Т 1< 2Т 2).

У зв'язку з цим виділяють ланки другого порядку:

аперіодичне 2-го порядку (Т 1  2Т 2),

інерційне (Т 1< 2Т 2),

консервативний (Т 1 = 0).

6) Запізнювальне.

Запізнення– це інтервал часу з моменту зміни вхідного сигналу до початку зміни вихідного.

Запізнювальна ланка – це ланка, у якої вихідна величина у точно повторює вхідну величину х з деяким запізненням :

y(t) = x(t - ).

Передатна функція ланки:

W(s) = e -  s .

Приклади запізнювань: рух рідини трубопроводом (скільки рідини було закачано на початку трубопроводу, стільки її вийде в кінці, але через деякий час, поки рідина рухається трубою), рух вантажу конвеєром (запізнювання визначається довжиною конвеєра і швидкістю руху стрічки) і т.д. .д.

ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ

Видавництво ОмДТУ

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Державне освітня установа

вищого професійної освіти

«Омський державний технічний університет»

ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ

Методичні вказівки до практичних робіт

Видавництво ОмДТУ

Упорядник Є. В. Шендалева, канд. техн. наук

Видання містить методичні вказівкидля проведення практичних робіт з теорії автоматичного управління.

Призначено для студентів спеціальності 200503 «Стандартизація та сертифікація», які вивчають дисципліну «Основи автоматичного управління».

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради

Омського державного технічного університету

технічний університет», 2011

Необхідність використання методології теорії управління для фахівців зі стандартизації та сертифікації виникає при визначенні:

1) кількісних та (або) якісних характеристик властивостей об'єкта випробувань як результату впливу на нього при його функціонуванні, при моделюванні об'єкта та (або) впливів, закон зміни яких необхідно забезпечити за допомогою системи автоматичного управління;

2) динамічних властивостей об'єкта вимірювань та випробувань;

3) впливу динамічних властивостей засобів вимірювань на результати вимірювань та випробувань об'єкта.

Методи дослідження об'єктів розглянуто у практичних роботах.

Практична робота 1

Динамічні функції

Завдання 1.1

Знайти вагову функцію w(t) за відомою перехідною функцією

h(t) = 2 (1-e -0,2 t).

Рішення

w(t)=h¢( t), тому при диференціюванні вихідного виразу

w(t) = 0,4e -0,2 t .

Завдання 1.2

Знайти передатну функцію системи з диференціального рівняння 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Початкові умови – нульові.

Рішення

Диференціальне рівняння перетворять на стандартну формурозподілом на коефіцієнт при доданку y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Отримане рівняння перетворять за Лапласом

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

і потім записують у вигляді передавальної функції:

де s= a + i w – оператор Лапласа.

Завдання 1.3

Знайти передавальну функцію W(s) системи за відомою ваговою функцією w(t)=5–t.

Рішення

Перетворення Лапласа

. (1.1)

Використовуючи зв'язок між передавальною функцією та ваговою функцією W(s) = w(s), отримаємо

Перетворення Лапласу можна отримати розрахунковим шляхом (1.1), за допомогою таблиць перетворення Лапласу або за допомогою пакету програмного забезпечення Matlab. Програма Matlab наведена нижче.

syms s t

x=5-t% тимчасова функція

y=laplace(x)% функція, перетворена за Лапласом.

Завдання 1.4

За передатною функцією системи знайти її реакцію на одиничний ступінчастий вплив (перехідну функцію)

Рішення

Зворотне перетворення Лапласу

, (1.2)

де с – абсциса збіжності x(s).

За принципом суперпозиції, справедливим для лінійних систем

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

де h(t) - перехідна функція всієї системи;

h 1 (t) – перехідна функція інтегруючої ланки

;

h 2 (t) – перехідна функція підсилювальної ланки

Відомо що h 1 (t)=k 1 × t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), тоді h(t)=k 1 × t+k 2 ×δ( t).

Зворотне перетворення Лапласа можна отримати розрахунковим шляхом (1.2), за допомогою таблиць перетворення Лапласа або за допомогою пакета Matlab. Програма Matlab наведена нижче.

syms s k1 k2% позначення символьних змінних

y=k1/s+k2% функція, перетворена за Лапласом

x=ilaplace(y)% тимчасова функція.

Завдання 1.5

Знайти амплітудно-частотну та фазочастотну характеристику за відомою передатною функцією системи

Рішення

Для визначення амплітудно-частотної (АЧХ) та фазочастотної характеристики (ФЧХ) необхідно перейти від передавальної функції до амплітудно-фазової характеристики W(i w), для чого змінити аргумент s → i w

Потім подати АФХ у вигляді W(i w)= P(w)+ iQ(w), де P(w) – дійсна частина, Q(w) – уявна частина АФГ. Для отримання дійсної та уявної частини АФГ необхідно помножити чисельник та знаменник на комплексне число, сполучене виразом у знаменнику:

АЧХ та ФЧХ визначають відповідно за формулами

, ;

Амплітудно-фазову характеристику W(j w) можна подати у вигляді

Завдання 1.6

Визначити сигнал y(t) на виході системи за відомим вхідним сигналом і передавальною функцією системи

x(t)=2sin10 t; .

Відомо, що при дії вхідного сигналу x(t)=B sinw tна систему вихідний сигнал y(t) також буде гармонійним, але відрізнятиметься від вхідного амплітудою та фазою

y(t) = B× A(w) sin,

де A(w) - АЧХ системи; j(w) - ФЧХ системи.

По передавальній функції визначимо АЧХ та ФЧХ

j(w)=-arctg0,1w.

На частоті w = 10с -1 A(10) = 4/ = 2 і j(10) = -arctg1 = -0,25p.

Тоді y(t) = 2×2 sin(10 t-0,25p) = 4 sin(10 t-0,25 p).

Контрольні питання:

1. Визначте поняття вагової функції.

2. Визначте поняття перехідної функції.

3. З якою метою використовують перетворення Лапласа в описах динамічних ланок?

4. Які рівняння називають лінійними диференціальними?

5. З якою метою при переході до рівняння в операторному вигляді вихідне диференціальне рівняння перетворять на стандартну форму?

6. Яким чином із знаменника амплітудно-фазової характеристики усувають вираз із уявним числом?

7. Вкажіть команду прямого перетворення Лапласа у програмному пакеті Matlab.

8. Вкажіть команду зворотного перетворення Лапласа у програмному пакеті Matlab.

Практична робота 2

Передавальні функції

Завдання 2.1

Знайти передатну функцію системи за її структурною схемою.

Рішення

Основними способами з'єднання ланок у структурних схемах є: паралельне, послідовне та з'єднання ланок зі зворотним зв'язком (типові ділянки ланок).

Передатна функція системи паралельно з'єднаних ланок дорівнює сумі передатних функцій окремих ланок (рис. 2.1)

. (2.1)

Рис. 2.1. Паралельне з'єднання ланок

Передатна функція системи послідовно з'єднаних ланок дорівнює добутку передатних функцій окремих ланок (рис. 2.2)

(2.2)

Рис. 2.2. Послідовне з'єднання ланок

Зворотним зв'язком називають передачу сигналу з виходу ланки на його вхід, де сигнал зворотного зв'язку алгебраїчно підсумовується зовнішнім сигналом (рис. 2.3).

Рис. 2.3 З'єднання зі зворотним зв'язком: а) позитивним, б) негативним

Передаточна функція з'єднання з позитивним зворотним зв'язком

, (2.3)

передатна функція з'єднання з негативним зворотним зв'язком

. (2.4)

Визначення передавальної функції складної системи керування виробляють поетапно. Для цього виділяють ділянки, що містять послідовні, паралельні сполуки та з'єднання зі зворотним зв'язком (типові ділянки ланок) (рис. 2.4)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

Рис. 2.4. Структурна схема системи керування

Потім обрану типову ділянку ланок замінюють однією ланкою з розрахованою передатною функцією та повторюють процедуру розрахунку (рис. 2.5 – 2.7).

Рис. 2.5. Заміна паралельного з'єднання та з'єднання зі зворотним зв'язком однією ланкою

Рис. 2.6. Заміна з'єднання зі зворотним зв'язком однією ланкою

Рис. 2.7. Заміна послідовного з'єднання однією ланкою

(2.5)

Завдання 2.2

Визначити передатну функцію, якщо передавальні функції ланок, що входять до її складу:

Рішення

При підстановці (2.5) передавальних функцій ланок

Перетворення структурної схеми щодо вхідного керуючого впливу (рис. 2.7, 2.11) можна отримати розрахунковим шляхом (2.5) або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab. Програма Matlab наведена нижче.

W1=tf(,)% передавальна функція W 1

W2=tf(,)% передавальна функція W 2

W3=tf(,)% передавальна функція W 3

W4=tf(,)% передавальна функція W 4

W5=tf(,)% передавальна функція W 5

W34 = parallel (W3, W4)% паралельне з'єднання ( W 3 + W 4)

W25 = feedback (W2, W5)

W134 = feedback (W1, W34)% негативний зворотний зв'язок

W12345 = series (W134, W25)% послідовне з'єднання ( W 134 × W 25)

W=feedback(W12345,1)

Завдання 2.3.

Знайти передатну функцію замкнутої системи по впливу, що обурює

Рішення

Для того, щоб визначити передатну функцію складної системи по впливу, що обурює, необхідно спростити її і розглянути щодо обурюючого вхідного впливу (рис. 2.8 – 2.12).

Рис.2.8. Вихідна структурна схема автоматичної системи

Рис. 2.9. Спрощення структурної схеми

Рис. 2.10. Спрощена структурна схема

Рис. 2.11. Структурна схема щодо вхідного керуючого впливу

Рис. 2.12. Структурна схема системи щодо впливу, що обурює

Після приведення структурної схеми до одноконтурної передатна функція по впливу, що обурює. f(t)

(2.6)

Перетворення структурної схеми щодо впливу, що обурює (рис. 2.12) можна отримати розрахунковим шляхом (2.6) або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab.

W1=tf(,)% передавальна функція W 1

W2=tf(,)% передавальна функція W 2

W3=tf(,)% передавальна функція W 3

W4=tf(,)% передавальна функція W 4

W5=tf(,)% передавальна функція W 5

W34 = parallel (W3, W4)% паралельне з'єднання

W25 = feedback (W2, W5)% негативний зворотний зв'язок

W134 = feedback (W1, W34)% негативний зворотний зв'язок

Wf = feedback (W25, W134)% негативний зворотний зв'язок.

Завдання 2. 4

Визначити передатну функцію замкнутої системи для помилки.

Рішення

Структурна схема визначення передавальної функції замкнутої системи для помилки управління зображено на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Структурна схема системи щодо помилки управління

Передатна функція замкнутої системи для помилки

(2.7)

При підстановці числових значень

Перетворення структурної схеми щодо сигналу помилки керування (рис. 2.13) можна отримати розрахунковим шляхом (2.7) або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab.

W1=tf(,)% передавальна функція W 1

W2=tf(,)% передавальна функція W 2

W3=tf(,)% передавальна функція W 3

W4=tf(,)% передавальна функція W 4

W5=tf(,)% передавальна функція W 5

W34 = parallel (W3, W4)% паралельне з'єднання)

W25 = feedback (W2, W5)% негативний зворотний зв'язок

W134 = feedback (W1, W34)% негативний зворотний зв'язок

We = feedback (1, W134 * W25)% негативний зворотний зв'язок

Контрольні питання:

1. Перерахуйте основні способи з'єднання ланок у структурних схемах.

2. Визначте передатну функцію системи паралельно з'єднаних ланок.

3. Визначте передатну функцію системи послідовно з'єднаних ланок.

4. Визначте передатну функцію з позитивним зворотним зв'язком.

5. Визначте передатну функцію з негативним зворотним зв'язком.

6. Визначте передатну функцію лінії зв'язку.

7. За допомогою якої команди Matlab визначається передатна функція двох паралельно з'єднаних ланок?

8. За допомогою якої команди Matlab визначається передатна функція двох послідовно з'єднаних ланок?

9. За допомогою якої команди Matlab визначається передатна функція ланки, охопленої зворотним зв'язком?

10. Зобразіть структурну схему системи для визначення передавальної функції з керуючого впливу.

11. Напишіть передатну функцію з керуючої дії.

12. Зобразіть структурну схему системи для визначення передавальної функції за параметром, що обурює.

13. Напишіть передатну функцію за параметром, що обурює.

14. Зобразіть структурну схему системи визначення передавальної функції помилки управління.

15. Напишіть передатну функцію для помилки керування.

Практична робота 3

Розкладання складної передавальної функції