Можна перетворити, винісши X(s) і Y(s) за дужки і поділивши один на одного:

Отримане вираз називається передавальною

(2.4)

Передатною функцією називається відношення зображення вихідного впливу Y(s) до зображення вхідного X(s) за нульових початкових умов.

Передатна функція є дробово-раціональною функцією комплексної змінної:

Передатна функція має порядок, що визначається порядком полінома знаменника (n).

З (2.4) випливає, що зображення вихідного сигналу можна знайти як

Y(s) = W(s)*X(s).

Оскільки передатна функція системи повністю визначає її динамічні властивості, то початкова задача розрахунку АСР зводиться до визначення її передавальної функції.

Приклади типових ланок

Ланкою системи називається її елемент, що має певні властивості в динамічному відношенні. Ланки систем регулювання може мати різну фізичну природу (електричні, пневматичні, механічні та інших. ланки), але описуватися однаковими ДУ, а співвідношення вхідних і вихідних сигналів у ланках описуватися однаковими передатними функціями. У ТАУ виділяють групу найпростіших ланок, які називають типовими. Статичні та динамічні характеристики типових ланок вивчені досить повно. Типові ланки широко використовуються щодо динамічних характеристик об'єктів управління. Наприклад, знаючи перехідну характеристику, побудовану за допомогою самописного приладу, часто можна визначити, до якого типу ланок відноситься об'єкт управління, а отже, його передатну функцію, диференціальне рівнянняі т.д., тобто. модель об'єкта. Типові ланки. Будь-яка складна ланка може бути представлена ​​як поєднання найпростіших ланок.

До найпростіших типових ланок відносяться:

· Підсилювальне,

· Інерційне (аперіодичне 1-го порядку),

· Інтегруючі (реальне та ідеальне),

· диференціюючі (реальне та ідеальне),

· Аперіодичне 2-го порядку,

· коливальне,

· Запізнювальне.

1) Підсилювальна ланка.

Ланка посилює вхідний сигнал в раз. Рівняння ланки у = К * х, передатна функція W (s) = К. Параметр К називається коефіцієнтом посилення.

Вихідний сигнал такої ланки точно повторює вхідний сигнал, посилений в До раз (рис. 1.18). у = Kx.

При ступінчастому впливі h(t) = K.

Прикладами таких ланок є: механічні передачі, датчики, безінерційні підсилювачі та ін.

2) Інтегрує.

2.1) Ідеальне інтегруюче.

Вихідна величина ідеальної інтегруючої ланки пропорційна нтегралу вхідної величини:

При подачі на вхід ланки ступінчастої дії x(t) = 1 вихідний сигнал постійно зростає (рис. 1.19):

h(t) = Kt.

Це ланка астатичне, тобто. не має встановленого режиму.

Прикладом такої ланки може бути ємність, що наповнюється рідиною. Вхідний параметр - витрата рідини, що надходить, вихідний - рівень. Спочатку ємність порожня і за відсутності витрати рівень дорівнює нулю, але якщо включити подачу рідини, рівень починає поступово збільшуватися.

2.2) Реальне інтегруюче.

Передатна функція цієї ланки має вигляд (рис. 1.20)

Перехідна характеристика на відміну ідеальної ланки є кривою

Прикладом інтегруючого ланки є двигун постійного струму з незалежним збудженням, якщо як вхідний вплив прийняти напругу живлення статора, а вихідного - кут повороту ротора. Якщо напруга на двигун не подається, ротор не рухається і кут його повороту можна прийняти рівним нулю. При подачі напруги ротор починає розкручуватися, а кут повороту спочатку повільно внаслідок інерції, а потім швидше збільшуватися до досягнення певної швидкості обертання.

3) Диференціююче.

3.1) Ідеальне диференціююче.

Вихідна величина пропорційна похідній за часом від вхідної:

При ступінчастому вхідному сигналі вихідний сигнал є імпульсом (d-функцію): h(t) = Kδ(t).

3.2) Реальне диференціююче.

Ідеальні ланки, що диференціюють, фізично не реалізовані. Більшість об'єктів, які є диференціюючими ланками, відносяться до реальних диференційних ланок, передавальні функції яких мають вигляд

Перехідна характеристика (рис. 1.21):

Приклад ланки: електрогенератор. Вхідний параметр – кут повороту ротора, вихідний – напруга. Якщо ротор повернути на деякий кут, то на клемах з'явиться напруга, але якщо ротор не обертати далі, напруга знизиться до нуля. Різко впасти воно не може через наявність індуктивності у обмотки.

4) Аперіодичне (інерційне).

Зображення ступінчастої дії: X(s) = Хо / s Тоді зображення вихідної величини:

Розкладемо дріб на прості:

Оригінал першого дробу за таблицею:

Постійна Т називається постійного часу. Більшість теплових об'єктів є аперіодичними ланками. Наприклад, при подачі на вхід електричної печі напруги її температура змінюватиметься за аналогічним законом (рис. 1.22).

5) Ланки другого порядку (рис. 1.23)

Ланки мають ДУ та ПФ виду.

При подачі на вхід ступінчастої дії амплітудою Хо перехідна крива матиме один із двох видів: аперіодичний (при Т1 ≥ 2Т2) або коливальний (при Т1< 2Т2).

У зв'язку з цим виділяють ланки другого порядку:

· Аперіодичне 2-го порядку (Т1 ≥ 2Т2),

· Інерційне (Т1< 2Т2),

· Консервативне (Т1 = 0).

6) Запізнювальне.

Якщо при подачі на вхід об'єкта деякого сигналу він реагує на цей сигнал не моментально, а через деякий час, то кажуть, що об'єкт має запізнення.

Запізнення– це інтервал часу з моменту зміни вхідного сигналу до початку зміни вихідного.

Запізнювальна ланка- Це ланка, у якого вихідна величина у точності повторює вхідну величину х з деяким запізненням t.

Типові ланки лінійних системможна визначати різними еквівалентними способами, зокрема за допомогою так званої передавальної функції, що має, як правило, дробово-раціональний вигляд, тобто. представляє собою відношення двох поліномів:

де b i та a j – коефіцієнти поліномів. Це т.зв. параметри передавальної функції чи ланки.

Передатна функція пов'язує зображення Y(p) вихідного сигналу y(t) ланки із зображенням X(p) його вхідного сигналу x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

тобто. дозволяє за будь-яким відомим вхідним сигналом x(t) знайти вихідний y(t). Це означає, що з погляду ТАУ передавальна функція повністю характеризує систему управління або її ланку. Це саме можна сказати і щодо сукупності коефіцієнтів поліномів чисельника і знаменника передавальної функції.

Передавальною функцією ланкиW(p) називається відношення перетворення Лапласа вихідної величини до перетворення Лапласа вхідної величини

2. Короткі відомості про позиційні ланки

До позиційних ланок відносяться такі типові динамічні ланки:

Безінерційна ланка,

Аперіодична ланка першого порядку,

Аперіодична ланка другого порядку,

Коливальна ланка,

Консервативна ланка.

Тимчасові показники позиційних ланок зведені в табл. 1. Тут же вказані передавальні функції ланок.

а).Безінерційна ланка.

Ця ланка у статиці, а й у динаміці описується алгебраїчним рівнянням

х вих = k x вх (2.1)

Передатна функція ланки дорівнює постійній величині

W(p) = x вих (р)/х вх (р) = k (2.2)

Прикладом такої ланки є: механічний редуктор (без урахування явища скручування та люфту), безінерційний (широкополосний) електронний підсилювач, дільник напруги тощо. Багато датчиків сигналів, як, наприклад, потенціометричні датчики, індукційні датчики, трансформатори і сельсини, що обертаються, фотоелементи і т.п., також можуть розглядатися як безінерційні ланки.

Взагалі, безінерційна ланка є деякою ідеалізацією реальних ланок. Насправді всі ланки характеризуються деякою інерційністю, тому жодна ланка не в змозі рівномірно пропускати всі частоти від 0 до . Зазвичай до такого виду ланки зводиться одна з реальних ланок, розглянутих нижче, наприклад аперіодична або коливальна, якщо можна знехтувати впливом динамічних процесів у цій ланці (тобто постійним часом).

б)Аперіодична ланка 1-го порядку

Ця ланка описується диференціальним рівнянням

, (2.3)

де Т- постійна часу, з,

k -коефіцієнт передачі ланки.

Передатна функція ланки має вигляд

(2.4)

Аперіодична ланка – найпростіша з тих ланок, які мають інерцію. Справді, ця ланка не відразу, спочатку швидко, а потім все більш поступово реагує на ступінчасту дію. Це відбувається тому, що у фізичному оригіналі аперіодичного ланки є один накопичуючий елемент (а також один або кілька елементів, що споживають енергію), енергія, запасена в якому, не може змінюватися стрибком у часі - для цього знадобилася б нескінченна потужність.

Як приклади аперіодичних ланок 1-го порядку можна вказати: двигун будь-якого типу (електричний, гідравлічний, пневматичний), генератор постійного струму, електричні RC- І LR- Ланцюги, магнітний підсилювач, резервуар з газом, нагрівальна піч. Робочі процеси у цих ланках описуються загальним рівнянням (2.3).

в)Аперіодична ланка 2-го порядку

Диференціальне рівняння ланки має вигляд:

(2.5)

При цьому коріння характеристичного рівняння

p 2 + T 1  p+1=0 (2.6)

повинні бути речовими, що виконуватиметься за умови

T 1  2  T 2 (2.7)

Після нескладних перетворень отримаємо

(3.54)

Правило:передатна функція системи з негативноюзворотним зв'язком дорівнює дробу, в чисельнику якої стоїть передавальна функція прямого каналу , а знаменник є сумою одиниці та добутку передавальних функцій прямого та зворотного каналів системи.

В разі позитивноюзворотного зв'язку формула (3.54) набуває вигляду

(3.55)

Насправді зазвичай зустрічаються системи з негативним зворотним зв'язком, котрим передатна функція перебуває у співвідношенні (3.54).

3.3.4. Правило перенесення

У деяких випадках для отримання загальної передавальної функції системи за допомогою структурних перетворень зручніше було б перенести точку застосування сигналу через ланку ближче до виходу або входу. При такому перетворенні структурної схеми слід дотримуватись правила:передатна функція системи має залишатися незмінною.

Розглянемо ситуацію, коли точка програми сигналу переноситься через ланку ближче до виходу. Вихідна структура системи показано на рис. 3.31. Визначимо для неї результуючу передатну функцію

Перенесемо точку застосування сигналу через ланку з передатною функцією додавши до цього каналу деяку передатну функцію Отримаємо структурну схему перетвореної системи (рис. 332).

Рис. 3.32. Структурна схема перетвореної системи.

Для неї передатна функція має вигляд

Оскільки при перетворенні структури системи її передатна функція не повинна змінитися, прирівнявши праві частини виразів (3.56) і (3.57), визначимо передатну функцію, що шукається.

Таким чином, при перенесенні точки програми сигналу ближче до виходу системи в канал слід додати функцію передавання ланки, через яке переноситься сигнал.

Аналогічний правиломожна сформулювати для перенесення точки програми сигналу ближче до входу системи: до відповідного каналу слід додати зворотну передатну функцію ланки, через яку переноситься сигнал.

Приклад 3.1

Визначити загальну передатну функцію системи, структурну схему якої наведено на рис. 3.33.

Попередньо визначимо передавальні функції типових з'єднань ланок: передаточна функція паралельного з'єднанняланок

а передатна функція послідовно з'єднаних ланок

Рис. 3.33.Структурна схема системи

З урахуванням введених позначень структуру системи можна спричинити виду, зображеному на рис. 3.34.

Використовуючи структурні перетворення, запишемо загальну передатну функцію системи

Підставляючи натомість та їх значення, отримаємо остаточно

Приклад 3.2

Визначити передатну функцію системи автоматичного супроводу мети станції радіолокації , структурна схема якої представлена ​​на рис. 3.35.

Рис. 3.35.Структурна схема системи автоматичного супроводу цілі

Тут – передавальна функція приймача системи; - Передатна функція фазового детектора; - Передавальна функція підсилювача потужності; - Передавальна функція двигуна; - Передатна функція редуктора; - Передатна функція датчика частоти обертання антени; - Передатна функція коригувального пристрою.

Використовуючи правила структурних перетворень, запишемо

передавальну функцію

Визначимо передатну функцію внутрішнього контуру

та прямого каналу системи

Визначимо повну передатну функцію системи

Підставляючи замість проміжних передавальних функцій вихідні значення отримаємо остаточно

3.4. Структурні схеми, що відповідають диференційним рівнянням

Другий спосіб складання структурної схеми заснований на використанні диференціальних рівнянь. Розглянемо його для об'єкта, поведінка якого описують векторно-матрические рівняння (2.1), (2.2):

(3.59)

Проінтегруємо рівняння стану (3.59) за часом і визначимо змінні стани і виходу у вигляді

(3.60)

Рівняння (3.60) є основними упорядкування схеми.

Рис. 3.36.Структурна схема, що відповідає рівнянням
стану об'єкта

Структурну схему, що відповідає рівнянням (3.60), зручніше зображати, починаючи з вихідних змінних y, причому вхідні та вихідні змінні об'єкта бажано розташовувати на одній горизонтальній прямій (рис. 3.36).

Для одноканального об'єкта структурну схему можна скласти за рівнянням (2.3), дозволивши його щодо старшої похідної

Проінтегрувавши (3.61) nраз, отримаємо

(3.62)

Системі рівнянь (3.62) відповідає структурна схема, наведена на рис. 3.37.

Рис. 3.37.Структурна схема, що відповідає рівнянню (3.61)

Як бачимо, одноканальний об'єкт управління, поведінка якого описує рівняння (3.61), структурно завжди можна подати у вигляді ланцюжка з nпослідовно з'єднаних інтеграторів із зворотними зв'язками.

Приклад 3.3

Зобразити структурну схему об'єкта, модель якого задана наступною системою диференціальних рівнянь:

Попередньо проінтегруємо рівняння стану

Рис. 3.38.Ілюстрація складання структурної схеми
за рівняннями стану

Відповідно до інтегральних рівнянь на рис. 3.38 зобразимо структурну схему системи.

3.5. Перехід від передавальної функції до канонічного опису

Обговоримо найбільш відомі способиперетворення математичної моделіоб'єкта у вигляді довільної передавальної функції до опису змінних станів. З цією метою використовуємо відповідні структурні схеми. Зазначимо, що це завдання неоднозначна, оскільки змінні стану об'єкта можна вибирати по-різному (див. подразд. 2.2).

Розглянемо два варіанти переходу до опису в змінних станах від передавальної функції об'єкта

(3.63)

де Попередньо представимо (3.63) у вигляді добутку двох передавальних функцій:

Кожному з цих уявлень (3.63) відповідає своя проста модель у змінних станах, яка називається канонічною формою.

3.5.1. Перша канонічна форма

Розглянемо перетворення математичної моделі системи із передатною функцією (3.64). Її структурну схему можна у вигляді двох послідовно з'єднаних ланок
(Рис. 3.39).

Рис. 3.39.Структурне уявлення системи (3.64)

Для кожної ланки системи запишемо відповідне операторне рівняння

(3.66)

Визначимо з першого рівняння (3.66) старшу похідну змінної zщо відповідає значенню в операторній формі

Отримане вираз дозволяє представити перше рівняння (3.66) у вигляді ланцюжка з nінтеграторів із зворотними зв'язками (див. підрозд. 3.5), а вихідна змінна yформується відповідно до другого рівняння (3.66) як сума змінної zі її mпохідних (рис. 3.40).

Рис. 3.40.Схема, що відповідає рівнянням (3.66)

Використовуючи структурні перетворення, отримаємо структурну схему системи, наведену на рис. 3.41.

Рис. 3.41.Структурна схема, що відповідає канонічній формі

Зазначимо, що структурна схема, що відповідає передавальній функції (3.64), складається з ланцюжка nінтеграторів, де n- Порядок системи. Причому у зворотному зв'язку перебувають коефіцієнти знаменника вихідної передавальної функції (коефіцієнти характеристичного полінома), а прямому зв'язку - коефіцієнти полінома її чисельника.

Від отриманої структурної схеми неважко перейти до моделі системи у змінних станах. З цією метою вихід кожного інтегратора приймемо за змінну стан

що дозволяє записати диференціальні рівняння стану та рівняння виходу системи (3.63) у вигляді

(3.67)

Систему рівнянь (3.67) можна подати у векторно-матричній формі (2.1) з наступними матрицями:

Модель системи у змінних станах (3.67) будемо називати першою канонічною формою.

3.5.2. Друга канонічна форма

Розглянемо другий спосіб переходу від передавальної функції (3.63) до опису змінних стану, для чого структуру системи (3.65) схематично представимо на рис. 3.42.

Рис. 3.42.Структурне уявлення передавальної функції (3.65)

Її операторні рівняння мають вигляд

(3.68)

Аналогічно попередньому випадку представимо перше рівняння (3.68) у вигляді ланцюжка з nінтеграторів із зворотними зв'язками, а вхідний вплив zсформуємо відповідно до другого рівняння (3.68) у вигляді суми управління uі mйого похідних (рис. 3.43).

Внаслідок структурних перетворень отримаємо структурну схему системи, наведену на рис. 3.44. Як бачимо, і в цьому випадку структурна схема, що відповідає передавальній функції (3.65), складається з ланцюжка nінтеграторів. У зворотному зв'язку також розташовуються коефіцієнти характеристичного полінома, а прямому зв'язку - коефіцієнти полінома її чисельника.

Рис. 3.43.Схема, що відповідає рівнянням (3.68)

Рис. 3.44.Структурна схема, що відповідає передавальній функції (3.65)

Знову як змінні стани виберемо вихідні величини інтеграторів і запишемо щодо них диференціальні рівняння стану та рівняння виходу

(3.69)

За рівняннями (3.69) визначимо матриці

Модель системи в змінних станах типу (3.69) будемо називати другий канонічної формою.

Зазначимо, що матриця Aнезмінна для першої чи другої канонічних форм та містить коефіцієнти знаменника вихідної передавальної функції (3.63). Коефіцієнти чисельника передавальної функції (3.63) містять матрицю C(у разі першої канонічної форми) або матриця B(у разі другої канонічної форми). Тому рівняння стану, відповідні двом канонічним уявленням системи, можуть бути записані безпосередньо по передавальної функції (3.63) без переходу до структурних схем, наведених на рис. 3.40 та 3.43.

Як бачимо, перехід від передавальної функції до опису змінних станів є завданням неоднозначним. Ми розглянули варіанти переходу до канонічного опису, які найчастіше використовують у теорії автоматичного управління.

Приклад 3.4

Отримати два варіанти канонічного опису та відповідних структурних схем для системи, модель якої має вигляд

Використовуємо подання передавальної функції у вигляді (3.64) та запишемо для неї операторні рівняння

від яких перейдемо до структурної схеми, наведеної на рис. 3.45.

Рис. 3.45.Структурна схема, що відповідає першій канонічній формі

На підставі цієї структурної схеми запишемо рівняння першої канонічної форми у вигляді

Для переходу до другої канонічної форми представимо передатну функцію системи у вигляді (3.65) і запишемо для неї наступні операторні рівняння:

яким відповідає структурна схема, наведена на рис. 3.46.

Рис. 3.46.Структурна схема, що відповідає другій канонічній формі

Запишемо тепер модель системи у вигляді другої канонічної форми

3.6. Область застосування структурного методу

Структурний метод зручний при розрахунку лінійних автоматичних систем, але має обмеження. Метод передбачає використання передавальних функцій, тому може застосовуватися, як правило, за нульових початкових умов.

При використанні структурного методу необхідно дотримуватись наступного правила: при будь-якому перетворенні системи її порядок не повинен зменшуватися, тобто неприпустимо скорочення однакових множників у чисельнику та знаменнику передавальної функції. Скорочуючи однакові множники, ми цим викидаємо із системи реально існуючі ланки. Проілюструємо це твердження прикладом.

Приклад 3.5

Розглянемо систему, що складається з інтегруючого та диференціюючого ланок, які з'єднані послідовно.

Перший варіант з'єднання ланок показано на рис. 3.47.

Використовуючи структурні перетворення, знайдемо загальну передатну функцію

Звідси випливає, що таке з'єднання ланок еквівалентно безинерционному ланці, т. е. сигнал на виході системи повторює сигнал її вході. Покажемо це, розглядаючи рівняння окремих ланок. Вихідний сигнал інтегруючої ланки визначається співвідношенням

де - Початкова умова на інтеграторі. Сигнал на виході диференціює ланки, а отже, і всієї системи має вигляд

що відповідає висновку, зробленому на основі аналізу загальної передавальної функції ланок.

Другий варіант з'єднання ланок показано на рис. 3.48, т. е. ланки змінили місцями. Передатна функція системи та сама, що й у першому випадку,

Однак, тепер вихід системи не повторює вхідний сигнал. У цьому вся можна переконатися, розглядаючи рівняння ланок. Сигнал на виході ланки, що диференціює, відповідає рівнянню

а на виході системи визначається співвідношенням

Як бачимо, у другому випадку вихідний сигнал відрізняється від сигналу на виході першої системи на величину початкового значення, незважаючи на те, що обидві системи мають ту саму передатну функцію.

Висновок

У розділі розглянуті динамічні характеристики типових ланок, у тому числі складаються системи управління довільної конфігурації. Обговорено особливості структурних схем, побудованих на основі передавальних функцій та диференціальних рівнянь. Наведено два способи переходу від передавальної функції системи через структурні схеми до її моделей у вигляді змінних станів, що відповідають різним канонічним формам.

Слід зазначити, що уявлення системи як структурної схеми дозволяє часом оцінити її статику і динаміку і дає, сутнісно, ​​структурний портрет системи.

3.1. Зобразити структурну схему системи, диференціальне рівняння якої має вигляд:

а)

в)

3.2. Зобразити структурну схему системи, модель якої представлена ​​у змінних станах:

а) б)

в) г)

3.3. Визначити передавальні функції систем, якщо їх структурні схеми мають вигляд, наведений на рис. 3.49.

Рис. 3.49.Структурні схеми завдання 3.3

3.4. Відомі структурні схеми системи (рис. 3.50). Записати їх моделі в змінні стани.

Рис. 3.50.Структурні схеми завдання 3.4

3.5. Відома структурна схема системи (рис. 3.51).

Рис. 3.51.

1. Визначити передатну функцію у припущенні, що

2. Визначити передатну функцію вважаючи

3. Записати модель системи у змінних станах.

4. Повторити пп. 1 та 2 для системи, структурна схема якої наведена на рис. 3.52.

Рис. 3.52.Структурна схема до завдання 3.5

3.6 .

3.7. Зобразити структурну схему, що відповідає першій канонічній формі опису системи, що має передатну функцію

1. Записати першу канонічну форму.

2. Зобразити структурну схему, що відповідає другій канонічній формі опису системи.

3. Записати другу канонічну форму.

3.8. Зобразити структурну схему, що відповідає першій канонічній формі опису системи, що має передатну функцію

1. Записати першу канонічну форму.

2. Зобразити структурну схему, що відповідає другій канонічній формі опису системи.

3. Записати другу канонічну форму.

Література

1. Андрєєв Ю.М.Управління кінцевими лінійними об'єктами. - М: Наука, 1978.

2. Бесекерський В.А.,Попов Є.П. Теорія автоматичного регулювання. - М: Наука, 1974.

3. Єрофєєв А. А.Теорія автоматичного керування. – СПб.: Полі-техніка, 1998.

4. Іващенко Н.М.Автоматичне регулювання. - М: Машино-будівля, 1978.

5. Первозванський А.А.Курс теорії автоматичного керування. - М: Вищ. шк., 1986.

6. Попов Є.П.Теорія лінійних систем автоматичного регулювання та управління. - М: Вищ. шк., 1989.

7. Коновалов Г.Ф.Радіоавтоматика. - М: Вищ. шк., 1990.

8. Філіпс Ч.,Харбор Р.Системи управління із зворотним зв'язком. – М.: Лабораторія базових знань, 2001.

Кінцевою метою аналізу САР є рішення (якщо це можливо) чи дослідження диференціального рівняння системи загалом. Зазвичай відомі рівняння окремих ланок, що входять до складу САР, і виникає проміжне завдання отримання диференціального рівняння системи відомих ДУ її ланок. При класичній формі подання ДУ це завдання пов'язане зі значними труднощами. Використання поняття передавальної функції значно спрощує її.

Нехай деяка система описується ДУ виду.

Ввівши позначення = p, де p називають оператором, або символом, диференціювання, і звертаючись тепер із цим символом як із звичайним алгебраїчним числом, після винесення x вих і x вх за дужки отримують диференціальне рівняння цієї системи в операторній формі:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x вих = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x вх. (3.38)

Багаточлен від p, що стоїть при вихідній величині,

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

називається власним оператором, а багаточлен при вхідній величині – оператором впливу

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Передаточною функцією називається ставлення оператора впливу до свого оператора:

W(p) = K(p)/D(p) = xвих/xвх. (3.41)

Надалі ми практично всюди використовуватимемо саме операторну форму запису диференціальних рівнянь.

Види з'єднань ланок та алгебра передавальних функцій.

Отримання передавальної функції САР вимагає знання правил знаходження передавальних функцій груп ланок, у яких ланки з'єднані між собою певним чином. Є три типи з'єднань.

1.Послідовне, при якому вихід попередньої ланки є входом для наступного (рис.3.12):

x вих

Рис. 3.14. Зустріч – паралельне з'єднання.

Залежно від цього, складається сигнал зворотний зв'язок х із вхідним сигналом х вх чи віднімається від нього, розрізняють позитивні і негативні зворотні зв'язку.

Як і раніше, базуючись на властивості передавальної функції, можемо написати

W 1 (p) = x вих / (x вх ± х); W 2 (p) = x/x вих; W c = x вих / x вх. (3.44)

Виключивши з перших двох рівнянь внутрішню координату х отримаємо передатну функцію для такого з'єднання:

W c (p) = W 1 (p) / . (3.45)

Слід пам'ятати, що у останньому виразі знак плюс відповідає негативноюзворотнього зв'язку.

У тому випадку, коли якась ланка має декілька входів (як, наприклад, об'єкт регулювання), розглядаються кілька передатних функцій цієї ланки, що відповідають кожному з входів, наприклад, якщо рівняння ланки має вигляд

D(p)y = Kx(p)x + Kz(p)z(3.46)

де K x (p) і K z (p) - оператори впливів відповідно до входів x і z, то ця ланка має передавальні функції по входах х та z:

W x (p) = K x (p) / D (p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (3.47)

Надалі з метою скорочення записів у виразах передавальних функцій та відповідних операторів опускатимемо аргумент «p».

Зі спільного розгляду виразів (3.46) і (3.47) випливає, що

y = W x x + W z z (3.48)

тобто в загальному випадкувихідна величина будь-якої ланки з кількома входами дорівнює сумі творів вхідних величин на передавальні функції за відповідними входами.

Передатна функція САР для обурення.

Звичайний вид структури САР, що працює за відхиленням регульованої величини, такий:

W o z = K z / D об'єкт W o x = K x / D

W p y

z

y

-x

Рис.3.15. Замкнена САР.

Звернімо увагу на ту обставину, що регулюючий вплив надходить на об'єкт із зміненим знаком. Зв'язок між виходом об'єкта та його входом через регулятор називається головним зворотним зв'язком (на відміну від можливих додаткових зворотних зв'язків у самому регуляторі). По самому філософського сенсурегулювання дія регулятора спрямована на зменшення відхиленнярегульованої величини, і тому головна зворотний зв'язок завжди негативна.На рис. 3.15:

W o z - передавальна функція об'єкта з обурення;

W o x - передавальна функція об'єкта з регулюючої дії;

W p y - Передатна функція регулятора з відхилення у.

Диференціальні рівняння об'єкта та регулятора виглядають так:

y = W o x x + W o z

x = - W p у y. (3.49)

Підставивши х із другого рівняння до першого і виконавши угруповання, отримуємо рівняння САР:

(1+ W o x W p у) y = W o z z. (3.50)

Звідси передатна функція САР для обурення

W c z = y / z = W o z / (1 + W o x W p у). (3.51)

Подібним шляхом можна отримати і передатну функцію САР з керуючого впливу:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

де W p u -Передавальна функція регулятора з керуючого впливу.

3.4 Вимушені коливання та частотні характеристики САР.

У реальних умовах експлуатації САР нерідко піддається дії періодичних збурювальних сил, що супроводжується періодичними змінами регульованих величин та регулюючих впливів. Такі, наприклад, коливання судна при ході хвилювання, коливання частоти обертання гребного гвинта та інших величин. У ряді випадків амплітуди коливань вихідних величин системи можуть досягати неприпустимо великих значень, і це відповідає явищу резонансу. Наслідки резонансу часто згубні для системи, що його випробовує, наприклад, перекидання судна, руйнування двигуна. У системах регулювання такі явища можливі зміні властивостей елементів, викликаному зносами, заміною, перенастроюванням, відмовими. Тоді виникає необхідність або визначення безпечних діапазонів експлуатаційних умов, або належного налаштування САР. Тут будуть розглянуті ці питання у додатку до лінійних систем.

Нехай деяка система має нижченаведену структуру:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Рис.3.16. САР як вимушених коливань.

Якщо систему діє періодичний вплив х з амплітудою А х і кругової частотою w, то після закінчення перехідного процесу на виході встановляться коливання тієї ж частоти з амплітудою А у і зміщені щодо вхідних коливань на фазовий кут j. Параметри вихідних коливань (амплітуда і фазовий зсув) залежать від частоти сили, що змушує. Завдання полягає у визначенні параметрів вихідних коливань за відомими параметрами коливань на вході.

Відповідно до передавальної функції САР, показаної на рис.3.14, диференціальне рівняння її має вигляд

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Підставимо в (3.53) вирази для х і у, наведені на рис. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Якщо розглядати картину коливань, зміщену на чверть періоду, то в рівнянні (3.54) функції синусів зміняться функціями косінусів:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Помножимо рівняння (3.54) на i = і складемо отримане з (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Застосовуючи формулу Ейлера

exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,

наведемо рівняння (3.56) до виду

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Виконаємо операцію диференціювання за часом, передбачену оператором р=d/dt:

A y exp=

A x exp (iwt). (3.58)

Після простих перетворень, пов'язаних із скороченням на exp(iwt), отримуємо

Права частинавирази (3.59) схожа вираз передавальної функції САР і може бути отримана з нього заміною p=iw. За аналогією вона називається комплексною передатною функцією W(iw), або амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Часто використовують також термін частотна характеристика. Зрозуміло, що цей дріб є функцією комплексного аргументу і може бути представлений ще й у такому вигляді:

W(iw) = M(w) + iN(w), (3.60)

де M(w) і N(w) – відповідно речова та уявна частотні характеристики.

Відношення А у /А х є модуль АФХ і є функцією частоти:

А у / А х = R (w)

і називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ). Фазовий

зсув j = j (w) - також функція частоти і називається фазовою частотною характеристикою (ФЧХ). Обчислюючи R(w) та j(w) для діапазону частот (0…¥), можна побудувати на комплексній площині в координатах M(w) та iN(w) графік АФХ (рис.3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω рез

Рис.3.18. Амплітудно-частотні характеристики.

На АЧХ системи 1 видно резонансний пік, що відповідає найбільшій амплітуді вимушених коливань. Робота в зоні біля резонансної частоти може виявитися згубною і часто взагалі неприпустима правил експлуатації конкретного об'єкта регулювання. АЧХ виду 2 не має резонансного піку і для механічних систем краща. Видно також, що зі збільшенням частоти амплітуда вихідних коливань зменшується. Фізично це легко пояснюється: будь-яка система в силу властивих їй інерційних властивостей легше підкоряється розгойдування низькими частотаминіж високими. Починаючи з деякої частоти, коливання на виході стають незначними, і цю частоту називають частотою зрізу, а діапазон частот нижче частоти зрізу називають смугою пропускання частот. Теоретично автоматичного регулювання за частоту зрізу приймають таку, коли він значення АЧХ в 10 разів менше, ніж за нульової частоті. Властивість системи гасити високочастотні коливання називається властивістю фільтра низьких частот.

Розглянемо методику розрахунку АЧХ з прикладу ланки другого порядку, диференціальне рівняння якого

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

У завданнях вимушених коливань часто використовують більш наочну форму рівняння

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

де називається власною частотою коливань за відсутності згасання, x = T 1 w 0 /2 - коефіцієнт загасання.

Передатна функція виглядає так:

Заміною p = iw отримуємо амплітудно-фазову характеристику

Використовуючи правило розподілу комплексних чисел, отримуємо вираз для АЧХ:

Визначимо резонансну частоту, коли АЧХ має максимум. Це відповідає мінімуму знаменника виразу (3.66). Прирівнюючи нулю похідну знаменника за частотою w, маємо:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

звідки отримуємо значення резонансної частоти, що не дорівнює нулю:

w рез = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Проаналізуємо цей вислів, навіщо розглянемо окремі випадки, яким відповідають різні значеннякоефіцієнта згасання.

1. x = 0. Резонансна частота дорівнює власної, і модуль АЧХ при цьому перетворюється на нескінченність. Це випадок так званого математичного резонансу.

2. . Оскільки частота виражається позитивним числом, та якщо з (68) при цьому випадку виходить або нуль, або уявне число, слід висновок, що з таких значеннях коефіцієнта згасання АЧХ немає резонансного піку (крива 2 на рис.3.18).

3. . АЧХ має резонансний пік, причому зі зменшенням коефіцієнта згасання резонансна частота наближається до власної та резонансний пік стає вищим і гострішим.

1. Передавальні функціїта частотні характеристики. Аналогові пристрої апаратури зв'язку

1. Передавальні функції та частотні характеристики

Електричний ланцюг будь-якої складності, що має дві пари затискачів для підключення до джерела та приймача електричної енергії, в техніці зв'язку називають чотириполюсником. Затискачі, до яких підключається джерело, називаються вхідними, а затискачі, до яких приєднується приймач (навантаження) – вихідними затискачами (полюсами).

У загальному виглядічотириполюсник зображують, як показано на рис. 1.1. До входу чотириполюсника 1-1" підключено джерело електричної енергії з комплексним чинним значенням напруги і внутрішнім опором. До вихідних затискачів 2-2" приєднано навантаження з опором. До вхідних затискачів додана напруга з комплексним чинним значенням, до вихідних – з комплексним чинним значенням. Через вхідні затискачі протікає струм із комплексним чинним значенням, через вихідні затискачі – з комплексним чинним значенням. Зауважимо, що в ролі джерела та приймача електричної енергії можуть виступати інші чотириполюсники.

На рис. 1.1 використані символічні позначення напруги та струмів. Це означає, що аналіз електричного кола проводиться для гармонійного коливання певної частоти. Для цього гармонійного коливання можна визначити передатну функцію навантаженого чотириполюсника, яка буде відношення комплексного діючого значення вихідної електричної величини до комплексного значення вхідної електричної величини.

Якщо вхідним впливом вважати напругу генератора з комплексним чинним значенням, а реакцією чотириполюсника на цей вплив – напруга з комплексним чинним значенням або струм з комплексним чинним значенням, то виходять комплексні передавальні функції загального вигляду:

, (1.1)

. (1.2)

В окремих випадках, коли заданими впливами є напруга на вхідних затискачах чотириполюсника або струм, що протікає через ці затискачі, отримують наступні чотири різновиди передавальних функцій:

- Комплексний коефіцієнт передачі по напрузі (для активних чотириполюсників, наприклад підсилювачів, він носить назву коефіцієнта посилення по напрузі);

- Комплексний коефіцієнт передачі по струму (для активних ланцюгів - коефіцієнт посилення по струму);

- Комплексний передатний опір;

- Комплексна передавальна провідність.

Часто в теорії ланцюгів використовують нормовану або робочу передатну функціючотириполюсники:

, (1.3)

яка виходить шляхом нормування (1.1) множником.

Як усяку комплексну величину Н можна представити у показовій формі:

, (1.4)

де – модуль комплексної передавальної функції, а j – її аргумент.

Розглянемо комплексну передатну функцію по напрузі

Підставляючи (1.5) запис комплексних діючих значень

.

З порівняння цього виразу з (1.4) видно, що

,

тобто модуль комплексної передавальної функції по напрузі (або комплексного коефіцієнта посилення по напрузі) показує у скільки разів змінюється діюче значення (амплітуда) гармонійного коливання напруги на виході ланцюга в порівнянні з аналогічним значенням на вході ланцюга, а аргумент цієї функції визначає зсув фаз між гармонійними коливаннями напруги на вході та виході.

Так само можна знайти:

.

Все сказане вище про коефіцієнт передачі напруги справедливо і коефіцієнта передачі струму.

Якщо ми змінюватимемо частоту гармонійного коливання, то вираз (1.4) слід записати у вигляді:

. (1.6)

Функція частоти називається амплітудно-частотною характеристикою ланцюга(АЧХ). Вона показує, які зміни в амплітуди гармонійних коливань вносить ланцюг на кожній частоті.

Функція частоти називається фазо-частотною характеристикою ланцюга(ФЧХ). Відповідно ця характеристика показує, який фазовий зсув набуває гармонійного коливання кожної частоти при поширенні ланцюга.

Комплексну передатну функцію можна представити також в формі алгебри:

де Re та Im означають реальну та уявну частини комплексної величини.

З теорії комплексних величин відомо, що

Приклад 1.1

Визначити коефіцієнт передачі за напругою АЧХ і ФЧХ ланцюга, зображеної на рис. 1.2, а.

Згідно (1.5) запишемо

Знайдемо комплексну функцію на виході ланцюга:

Підставивши формулу для , отримаємо комплексну передатну функцію:

;

Змінюючи частоту w від 0 до Ґ, можемо зобразити графіки АЧХ та ФЧХ ланцюга (рис. 1.2, бі в).

АЧХ та ФЧХ ланцюга можна уявити єдиним графікомякщо побудувати залежність комплексної передавальної функції від частоти w на комплексній площині. При цьому кінець вектора опише деяку криву, яка називається годографомкомплексної передавальної функції (рис. 1.3).

Часто фахівці оперують поняттям логарифмічної амплітудно-частотної характеристики(ЛАХ):

.

Значення величини Дооцінюються у децибелах (дБ). В активних ланцюгах, що містять підсилювачі, величину Доназивають ще логарифмічним посиленням. Для пасивних кіл замість коефіцієнта посилення вводять поняття ослаблення ланцюга:

, (1.7)

яке також оцінюється у децибелах.

Приклад 1.2

Відомо, що модуль коефіцієнта передачі напруги ланцюга приймає наступні значення:

f= 0 кГц Н(f) = 1

f= 1 кГц Н(f) = 0,3

f= 2 кГц Н(f) = 0,01

f= 4 кГц Н(f) = 0,001

f= 8 кГц Н(f) = 0,0001

Зобразити графік ослаблення ланцюга.

Значення ослаблення ланцюга, розраховані за (1.7), наведено у таблиці:

f, кГц
А(f), дБ

Графік А(f) наведено на рис. 1.4.

Якщо замість комплексних опорів ємності та індуктивності мати справу з операторними опорами ємності та індуктивність pL, то у виразі потрібно замінити на р.

Операторна передавальна функція ланцюга може бути записана у загальному вигляді як дробово-раціональна функція з речовими коефіцієнтами:

або у вигляді

де - Нулі; – полюси передавальної функції; .

Замінивши на (1.8) оператор рна jw, знову отримаємо комплексну передатну функцію ланцюга

,

де АЧХ ланцюга

Враховуючи, що є ірраціональною функцією, зазвичай при аналізі та синтезі ланцюгів мають справу з квадратом АЧХ:

де коефіцієнти виходять шляхом об'єднання коефіцієнтів при однакових ступенях змінної w.

Приклад 1.3

Знайти коефіцієнт передачі за напругою та квадрат АЧХ ланцюга, зображеного на рис. 1.5, а.

Коефіцієнт передачі за напругою цього ланцюга дорівнює

де Н = 1, , .

Коріння чисельника цього раціонального дробу, тобто нулі передавальної функції,

.

Коріння знаменника, або полюси передавальної функції,

.

На рис. 1.5, бпоказано розташування нулів та полюсів функції при .

За теоремою Вієта

.

Амплітудно-частотна характеристика визначається шляхом заміни рна та обчислення модуля отриманої функції

.

Квадрат АЧХ запишеться у вигляді

де ; ;

.

АЧХ ланцюга зображено на рис. 1.5, в.

Перерахуємо основні властивості операторних передавальних функцій та квадрата АЧХ пасивних ланцюгів:

1. Передавальна функція є дробово-раціональною функцією з речовими коефіцієнтами. Речовість коефіцієнтів пояснюється лише тим, що вони визначаються елементами схеми.

2. Полюси передавальної функції розташовуються в лівій напівплощині комплексної змінної р. На розташування нулів обмежень немає. Доведемо цю властивість на прикладі передавальної функції. Виберемо вхідний вплив або в операторній формі. Зображення вихідної напруги у разі чисельно одно , тобто.

де – поліном чисельника передавальної функції; - Коефіцієнти розкладання дробово-раціональної функції на суму простих дробів.

Перейдемо від зображення до оригіналу:

де у загальному випадку.

У пасивних та стійких активних чотириполюсниках коливання на виході чотириполюсника після припинення впливу повинні мати загасаючий характер. Це означає, що в (1.13) речові частини полюсів повинні бути негативними, тобто полюси повинні знаходитися в лівій напівплощині змінної р.

3. Ступені поліномів чисельників передавальної функції та квадрата АЧХ не перевищують ступенів поліномів знаменників, тобто. nФ m. Якби ця властивість не виконувалася, то на нескінченно більших частотах АЧХ приймала б нескінченно велике значення(оскільки чисельник зростав би зі збільшенням частоти швидше знаменника), тобто ланцюг мав би нескінченне посилення, що суперечить фізичному змісту.

4. Квадрат АЧХ є парною раціональною функцією змінної w з речовими коефіцієнтами. Ця властивість з очевидністю випливає із способу отримання квадрата АЧХ передавальної функції.

5. Квадрат АЧХ не може набувати негативних і нескінченно великих значень при w > 0. Невід'ємність випливає з властивостей квадрата модуля комплексної величини. Кінцевість значень АЧХ на реальних частотах пояснюється так само, як і у властивості 3.

У більшості ланцюгів із залежними джерелами є по Крайній мірідва шляхи проходження сигналу: прямий (від входу до виходу) та зворотний (з виходу на вхід). Зворотний шлях проходження сигналу реалізується за допомогою спеціального ланцюга зворотнього зв'язку(ОС). Таких шляхів, отже і ланцюгів ОС, може бути кілька. Наявність у ланцюгах із залежними джерелами ОС надає їм нові цінні якості, якими не мають ланцюга без ОС. Наприклад, за допомогою ланцюгів ОС можна здійснити температурну стабілізацію режиму роботи ланцюга, зменшити нелінійні спотворення, що виникають у ланцюгах з нелінійними елементами і т.д.

Будь-який ланцюг із зворотним зв'язком можна уявити, що складається з двох чотирьохполюсників (рис. 1.6).

Активний лінійний чотириполюсник з передатною функцією напруги є підсилювачем. Його іноді називають основним елементом ланцюга та кажуть, що він утворює канал прямого посилення.

Пасивний чотириполюсник з передатною функцією за напругою називається ланцюгом зворотного зв'язку. На вході ланцюга здійснюється підсумовування вхідної напруги та напруги зворотного зв'язку.

Виведемо формулу передавальної функції з напруги ланцюга, зображеної на рис. 1.6. Нехай на вхід подається напруга. Його операторне зображення. На виході ланцюга виникає напруга. Відповідно до рис. 1.6 його операторне зображення

Операторне зображення можна записати через передавальну функцію ланцюга зворотного зв'язку

Тоді вираз (1.14) можна переписати як

Операторна передатна функція по напрузі ланцюга з ОС (див. рис. 1.6).

. (1.16)

Приклад 1.4

На рис. 1.7 зображено ланцюг на операційному підсилювачі (ОУ), призначений для масштабування напруги. Знайти передатну функцію цього ланцюга.

Отримаємо передатну функцію цього ланцюга як ланцюга із зворотним зв'язком, використовуючи формулу (1.16).

Ланцюгом зворотного зв'язку на схемі рис. 1.7 служить Г-подібний дільник напруги, складений з опорів резистивних і . Вихідна напруга підсилювача надходить на вхід ланцюга ОС; напруга ОС знімається з резистора. Передатна функція напруги ланцюга ОС

Скористаємося формулою (1.16) та врахуємо, що вхідна напруга та напруга зворотного зв'язку не підсумовуються, а віднімаються. Тоді отримаємо передатну функцію масштабного підсилювача:

.

Враховуючи, що у реальних ОУ значення >> 1, маємо остаточно:

приклад 1.5

Ланка на ОУ з частотно-залежною ОС представлена ​​на рис. 1.8. Знайти передатну функцію цієї ланки.

Щоб проаналізувати прямий шлях проходження сигналу і проходження сигналу ОС, необхідно скористатися методом накладання. Для цього слід по черзі виключати джерела вхідної напруги та напруги зворотного зв'язку, замінюючи їх внутрішнім опором. У разі ідеальних джерел напруги їх внутрішній опір дорівнює нулю. Напруга, прикладена до ланки, послаблюється вхідним ланцюгом, що представляє собою Г-подібний дільник напруги з опорами і плечах. Передатна функція по напрузі такого дільника дорівнює

Ланцюг зворотного зв'язку також є Г-подібним чотириполюсником з передавальною функцією.

Коефіцієнт посилення ОУ.

Відповідно до формули (1.16) отримуємо передатну функцію ланки:

Враховуючи, що >> 1, отримуємо:

.

Ця ланка може виконувати різні функції залежно від виду опорів та . При ланка перетворюється на інвертуючий масштабний підсилювач; при і – інтегратор; при і - диференціатор.

Приклад 1.6

Ланка другого порядку з регульованим коефіцієнтом посилення представлена ​​на рис. 1.9, а. Знайти передатну функцію цієї ланки.

Аналіз проходження вхідного сигналу і сигналу ланцюга ОС показує, що ланка має вхідний ланцюг, зображену на рис. 1.9, бі ланцюг ОС, показаний на рис. 1.9, в. Передавальні функції цих кіл можна отримати матричним методомнаприклад, розглядаючи кожну ланцюг як каскадне з'єднання відповідних Г-подібних чотириполюсників.

Для вхідного ланцюга

Для ланцюга ОС

. (1.18)

З урахуванням (1.16) отримаємо передатну функцію ланки

. (1.19)

Коефіцієнт передачі підсилювача. Тоді, підставляючи (1.17) та (1.18) на (1.19), після перетворення маємо

.

Переходячи в (1.16) від оператора рдо оператора , отримуємо комплексну передатну функцію

. (1.20)

Твір є комплексною передатною функцією підсилювача і ланцюга зворотного зв'язку за умови, що зворотний зв'язок розірваний (рис. 1.10). Функцію називають передатною функцією по петлі ОС або петльовим посиленням. Введемо поняття позитивного та негативного зворотного зв'язку. Ці поняття грають помітну роль теорії ланцюгів зі зворотним зв'язком.

Припустимо спочатку, що передавальні функції , , не залежить від частоти і є речовими числами. Така ситуація можлива, коли в ланцюзі відсутні LC-Елементи. У цьому то, можливо як позитивним, і негативним числом. У першому випадку зсув фаз між вхідною і вихідною напругою або, іншими словами, зсув фаз по петлі зворотного зв'язку дорівнює нулю або , k= 0, 1, 2, ... У другому випадку, коли зсув фаз по цій петлі дорівнює або .

Якщо ланцюга зі зворотним зв'язком зсув фаз по петлі дорівнює нулю, то зворотний зв'язок називається позитивноюякщо ж зсув фаз дорівнює , то такий зворотний зв'язок називається негативною.

Передатну функцію можна зобразити у вигляді векторів та показати їх на комплексній площині. При позитивному зворотному зв'язку вектор знаходиться на позитивній речовій півосі, а при негативному зворотному зв'язку - на негативному речовому півосі.

Крива, яку описує кінець вектора за зміни частоти w (рис. 1.11), називається, як відомо, годографом.

Подання у вигляді годографа дозволяє визначити вид зворотного зв'язку у разі частотно-залежного зворотного зв'язку.

Введемо поняття стійкого та нестійкого ланцюга. Ланцюг називається стійкоюякщо вільні коливання з часом прагнуть до нуля. В іншому випадку ланцюг називається нестійкою. З теорії перехідних процесів випливає, що ланцюг є стійким, якщо коріння характеристичного рівняння лежить у лівій напівплощині комплексної змінної р. Якщо коріння такого рівняння лежить у правій напівплощині, то ланцюг є нестійким, тобто він знаходиться в режимі самозбудження. Таким чином, для визначення умов стійкості ланцюга достатньо знайти характеристичне рівняннята його коріння. Як бачимо, умови стійкості можна визначити і не запроваджуючи поняття зворотного зв'язку. Однак тут виникає низка проблем. Справа в тому, що виведення характеристичного рівняння та визначення його коріння є громіздкою процедурою, особливо для ланцюгів високого порядку. Введення поняття зворотний зв'язок полегшує отримання характеристичного рівняння і навіть дає можливість обійтися без нього. Вкрай важливо і те, що поняття зворотного зв'язку адекватно фізичним процесам, що виникають у ланцюзі, тому вони стають наочнішими. Глибоке розуміння фізичних процесів полегшує роботу із створення автогенераторів, підсилювачів тощо.

Розглянемо ланцюг (див. рис. 1.6) і виведемо його характеристичне рівняння. Нехай і, отже, . Тоді з (1.15) випливає:

. (1.22)

Якщо записати передавальну функцію основного ланцюга у вигляді , а ланцюги ОС – , то рівняння (1.22) перепишеться так:

Ця рівність виконується при

Вираз у лівій частині цієї рівності є поліномом, тому (1.23) можна записати у загальному вигляді:

Це і є характеристичне рівняння ланцюга.

Коріння рівняння (1.24) у загальному випадку є комплексними величинами

де . Знаючи коріння характеристичного рівняння, можна записати вихідну напругу:

Щоб напруга не зростала безмежно, всім корінням характеристичного рівняння необхідно мати негативні речові частини, тобто коріння повинні розташовуватися в лівій напівплощині комплексної змінної. Ланцюг з ОС, що володіє такими властивостями, називається абсолютно стійким.

При дослідженні ланцюгів із зворотним зв'язком можуть виникати дві проблеми. Якщо ланцюг, що проектується, повинен бути стійким, то необхідно мати критерій, який за видом функцій і дозволяв би судити про відсутність коренів характеристичного рівняння в правій напівплощині р. Якщо зворотний зв'язок використовується для створення нестійкого автоколивального ланцюга, слід переконатися, що корені рівняння (1.24) розташовані, навпаки, у правій напівплощині. При цьому необхідно мати таке розташування коріння, при якому самозбудження відбувалося б на потрібній частоті.

Розглянемо критерій стійкості ланцюга, названий критерієм Найквіста, і що дозволяє судити про стійкість ланцюга із зворотним зв'язком за властивостями розімкнутого ланцюга (рис. 1.10).

Передатна функція розімкнутого ланцюга, або петлеве посилення, входить до характеристичного рівняння (1.22):

, (1.26)

Якщо знайдеться така частота w для якої кінець вектора потрапляє в точку з координатами (1, j 0), то це означатиме, що виконується умова (1.26), тобто на цій частоті в ланцюзі відбудеться самозбудження. Значить, за годографом можна визначити, стійкий ланцюг чи ні. Для цього використовується критерій Найквіста, який формулюється так: якщо годограф передавальної функції розімкнутого ланцюга не охоплює крапку з координатами(1, j 0), то при замкнутому ланцюгу зворотного зв'язку ланцюг є стійким.У тому випадку, коли годограф охоплює точку (1, j Х 1 можна записати у вигляді двох умов: у стаціонарному режимі. До= 2, крива 1) та нестійкою ( До= 3, крива 2; До= 4, крива 3) ланцюга.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Що таке комплексна передавальна функція? Які види комплексних передатних функцій чотириполюсника відомі?

2. Визначити коефіцієнт передачі за напругою АЧХ і ФЧХ ланцюга, зображеного на рис. 1.2, а, якщо вихідною напругою є напруга на резисторі R. Побудувати графіки АЧХ та ФЧХ.

Відповідь: ; ; 90 ° - arctg w RC.

3. Визначити коефіцієнт передачі за напругою при холостому ході та коефіцієнт передачі по струму при короткому замиканні для П-подібного чотириполюсника в поздовжню гілка якого включена індуктивність L, а поперечні гілки – ємність З. Відповідь: .

4. Визначити ослаблення, яке вносить ланцюг рис. 1.2, а, при R= 31,8 кОм та = 10 кОм.

Відповідь: 12 дБ.

5. Що таке операторна передатна функція? Як вона пов'язана із комплексною передатною функцією? Як визначити нулі та полюси операторної передавальної функції?

6. Визначити операторну передатну функцію, комплексний коефіцієнт передачі за напругою, АЧХ та квадрат АЧХ послідовного коливального контуру, зображеного на рис. 1.5, а, якщо вихідною напругою є напруга на ємності З. Побудувати графік АЧХ ланцюга.

Відповідь: ; .

7. Перелічити основні властивості операторних передавальних функцій пасивних кіл.

8. Як розраховується передатна функція ланцюга із зворотним зв'язком?

9. Довести, що операторна передатна функція диференціатора на операційному підсилювачі дорівнює (– pRC). Побудувати графік АЧХ такого диференціатора.

11. Визначити передатну функцію фільтра, зображеного на рис. 1.13.

Відповідь: .

12. Що таке годограф петльового посилення? Як за годографом визначити тип зворотного зв'язку?

13. Як формулюється критерій стійкості Найквіста? Для яких кіл він використовується?

14. Визначити комплексну передатну функцію розімкнутого ланцюга, зображеного на рис. 1.13. Дослідіть залежність стійкості ланцюга від величини коефіцієнта посилення До.