Вирішення системи рівняння матричним методом. Рішення матриць

Розглянемо систему лінійних рівнянь алгебри(СЛАУ) щодо nневідомих x 1 , x 2 , ..., x n :

Ця система в "згорнутому" вигляді може бути записана так:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Відповідно до правила множення матриць розглянута система лінійних рівняньможе бути записана в матричній формі Ax=b, де

, ,.

Матриця A, стовпцями якої є коефіцієнти за відповідних невідомих, а рядками - коефіцієнти за невідомих у відповідному рівнянні називається матрицею системи. Матриця-стовпець b, елементами якої є праві частини рівнянь системи, називається матрицею правої частини або просто правою частиною системи. Матриця-стовпець x , елементи якої - шукані невідомі, називається рішенням системи.

Система лінійних рівнянь алгебри, записана у вигляді Ax=b, є матричним рівнянням.

Якщо матриця системи невироджена, то в неї існує зворотна матрицяі тоді вирішення системи Ax=bдається формулою:

x=A -1 b.

прикладВирішити систему матричним способом.

Рішеннязнайдемо зворотну матрицю для матриці коефіцієнтів системи

Обчислимо визначник, розкладаючи по першому рядку:

Оскільки Δ ≠ 0 , то A -1 Існує.

Зворотна матриця знайдена правильно.

Знайдемо рішення системи

Отже, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Перевірка:

7. Теорема Кронекера-Капеллі про спільність системи лінійних рівнянь алгебри.

Система лінійних рівняньмає вигляд:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тут а i j та b i (i = ; j = ) - задані, а x j - невідомі дійсні числа. Використовуючи поняття твору матриць, можна переписати систему (5.1) як:

де A = (а i j) - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих системи(5.1), яка називається матрицею системи, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - вектори-стовпці, складені відповідно з невідомих x j і з вільних членів b i .

Упорядкована сукупність nдійсних чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) називається рішенням системи(5.1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x 1 , x 2 ,..., x n кожне рівняння системи перетворюється на арифметичну тотожність; інакше кажучи, якщо існує вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такий, що AC  B.

Система (5.1) називається спільної,або можна розв'язати,якщо вона має по Крайній міріодне рішення. Система називається несумісний,або нерозв'язноюякщо вона не має рішень.

,

утворена шляхом приписування праворуч до матриці A стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи.

Питання спільності системи (5.1) вирішується наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі . Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранги матриць A іA збігаються, тобто. r(A) = r(A) = r.

Для безлічі М рішень системи (5.1) є три можливості:

1) M =  (у цьому випадку система несумісна);

2) M складається з одного елемента, тобто. система має єдине рішення(у цьому випадку система називається певною);

3) M складається з більш ніж одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (5.1) має безліч рішень.

Система має єдине рішення лише у тому випадку, коли r(A) = n. При цьому кількість рівнянь - не менше числаневідомих (mn); якщо m>n, то m-n рівняньє наслідками інших. Якщо 0

Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти розв'язувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамерівського типу:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n.

Системи (5.3) вирішуються одним із таких способів: 1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих; 2) за формулами Крамера; 3) матричним способом.

Приклад 2.12. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 – 3x 2 – 6x 3 + 5x 4 = 0.

Рішення.Виписуємо розширену матрицю системи:

 .

Обчислимо ранг основної матриці системи. Очевидно, що, наприклад, мінор другого порядку в лівому верхньому кутку = 7 0 0; містять його мінори третього порядку дорівнюють нулю:

Отже, ранг основного матриці системи дорівнює 2, тобто. r(A) = 2. Для обчислення рангу розширеної матриці A розглянемо облямовуючий мінор

отже, ранг розширеної матриці r(A) = 3. Оскільки r(A)  r(A), то система несумісна.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Матричний метод дозволяє знаходити рішення СЛАУ (система лінійних рівнянь алгебри) будь-якої складності. Весь процес рішення СЛАУ зводиться до двох основних дій:

Визначення зворотної матриці на основі головної матриці:

Розмноження отриманої зворотної матриці на вектор-стовпець рішень.

Допустимо, дано СЛАУ наступного виду:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Почнемо розв'язання даного рівняння з виписування матриці системи:

Матриця правої частини:

Визначимо зворотну матрицю. Знайти матрицю 2-го порядку можна так: 1 - сама матриця повинна бути невиродженою; 2 - її елементи, які знаходяться на головній діагоналі, міняємо місцями, а у елементів побічної діагоналі виконуємо зміну знака на протилежний, після чого виконуємо розподіл отриманих елементів на визначник матриці. Отримаємо:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 матриці вважаються рівними, якщо дорівнюють їх відповідні елементи. У результаті маємо наступну відповідь рішення СЛАУ:

Де можна вирішити систему рівнянь матричним методом онлайн?

Вирішити систему рівнянь ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте.

Цей онлайн калькулятор вирішує систему лінійних рівнянь матричним способом. Надається дуже докладне рішення. Щоб вирішити систему лінійних рівнянь, виберіть кількість змінних. Вибирайте спосіб обчислення зворотної матриці. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити".

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо таку систему лінійних рівнянь:

Враховуючи визначення зворотної матриці, маємо A −1 A=E, де E- одинична матриця. Отже (4) можна записати так:

Таким чином, для вирішення системи лінійних рівнянь (1) (або (2)), достатньо помножити зворотну до Aматрицю на вектор обмежень b.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь матричним методом

Приклад 1. Розв'язати таку систему лінійних рівнянь матричним методом:

Знайдемо зворотний до матриці A методом Жордана-Гаусса. З правого боку матриці Aзапишемо поодиноку матрицю:

Виключимо елементи одного стовпця матриці нижче головної діагоналі. Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -1/3,-1/3 відповідно:

Виключимо елементи 2-го стовпця матриці нижче за головну діагональ. Для цього складемо рядок 3 з рядком 2, помноженим на -24/51:

Виключимо елементи 2-го стовпця матриці вище за головну діагональ. Для цього складемо рядок 1 з рядком 2, помноженим на -3/17:

Відокремлюємо праву частину матриці. Отримана матриця є зворотною матрицею до A :

Матричний вид запису системи лінійних рівнянь: Ax=b, де

Обчислимо всі алгебраїчні доповнення матриці A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Зворотна матриця обчислюється з наступного виразу.

Системою m лінійних рівнянь із n невідомиминазивається система виду

де a ijі b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – деякі відомі числа, а x 1, ..., x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс iпозначає номер рівняння, а другий j- Номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих записуватимемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи.

Числа, що стоять у правих частинах рівнянь, b 1 ..., b mназиваються вільними членами.

Сукупність nчисел c 1 ..., c nназивається рішеннямданої системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється на рівність після підстановки до нього чисел c 1 ..., c nзамість відповідних невідомих x 1, ..., x n.

Наше завдання полягатиме у знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

Система лінійних рівнянь, що має хоча одне рішення, називається спільної. Інакше, тобто. якщо система не має рішень, то вона називається несумісний.

Розглянемо методи знаходження рішень системи.

МАТРИЧНИЙ МЕТОД РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Матриці дають змогу коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи та матриці стовпці невідомих та вільних членів

Знайдемо твір

тобто. в результаті твору ми отримуємо ліві частини рівнянь цієї системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць цю систему можна записати як

або коротше A∙X=B.

Тут матриці Aі Bвідомі, а матриця Xневідома. Її треба знайти, т.к. її елементи є рішенням цієї системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння розв'язується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, зворотну матрицю A: . Оскільки A -1 A = Eі E∙X = X, то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати ті системи, в яких кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих. Однак, матричний запис системи можливий і у випадку, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця Aне буде квадратною і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A -1 B.

приклади.Розв'язати системи рівнянь.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими:

Визначник третього порядку, який відповідає матриці системи, тобто. складений з коефіцієнтів за невідомих,

називається визначником системи.

Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

Тоді можна довести наступний результат.

Теорема (правило Крамера).Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то система, що розглядається, має одне і тільки одне рішення, причому

Доведення. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо перше рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11елемента a 11, Друге рівняння - на A 21і третє - на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну зі дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: .

Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і випливає твердження теореми.

Отже, зауважимо, що й визначник системи Δ ≠ 0, то система має єдине рішення і назад. Якщо ж визначник системи дорівнює нулю, то система або має безліч рішень, або немає рішень, тобто. несумісна.

приклади.Розв'язати систему рівнянь

МЕТОД ГАУСА

Раніше розглянуті методи можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи має бути відмінний від нуля. Метод Гауса є більш універсальним і придатний для систем із будь-яким числом рівнянь. Він полягає у послідовному виключенні невідомих із рівнянь системи.

Знову розглянемо систему із трьох рівнянь із трьома невідомими:

.

Перше рівняння залишимо без зміни, а з 2-го та 3-го виключимо доданки, що містять x 1. Для цього друге рівняння розділимо на а 21 і помножимо на – а 11 а потім складемо з 1-им рівнянням. Аналогічно третє рівняння розділимо на а 31 і помножимо на – а 11, а потім складемо з першим. В результаті вихідна система набуде вигляду:

Тепер з останнього рівняння виключимо доданок, що містить x 2. Для цього третє рівняння розділимо на , помножимо на і складемо з другим. Тоді матимемо систему рівнянь:

Звідси з останнього рівняння легко знайти x 3, потім із 2-го рівняння x 2і, нарешті, з 1-го – x 1.

При використанні методу Гаусса рівняння за необхідності можна міняти місцями.

Часто замість того, щоб писати нову систему рівнянь, обмежуються тим, що виписують розширену матрицю системи:

і потім призводять до трикутного або діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень.

До елементарним перетвореннямматриці відносяться такі перетворення:

1. перестановка рядків чи стовпців;
2. множення рядка на число, відмінне від нуля;
3. додаток до одного рядка інших рядків.

Приклади:Розв'язати системи рівнянь методом Гаусса.

Таким чином, система має безліч рішень.

Рівняння взагалі, лінійні рівняння алгебри та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце.

Це з тим обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завдань може бути описані і вирішені з допомогою різноманітних рівнянь та його систем. Останнім часом особливу популярність серед дослідників, науковців та практиків набуло математичне моделювання практично у всіх предметних галузях, що пояснюється очевидними його перевагами перед іншими відомими та апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих складних систем. Існує велике різноманіття різних визначень математичної моделі, даних вченими у різні часи, але з погляду, найвдаліше, це таке твердження. Математична модель – ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати та вирішувати рівняння та їх системи – невід'ємна характеристика сучасного фахівця.

Для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри найчастіше використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса і матричний метод.

Матричний метод рішення - метод рішення за допомогою зворотної матриці систем лінійних рівнянь алгебри з ненульовим визначником.

Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати у вектор стовпець X, а вільні члени у вектор стовпець B, то систему лінійних рівнянь алгебри можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A не дорівнюватиме нулю. При цьому розв'язання системи рівнянь можна знайти наступним способом X = A-1 · B, де A-1 – зворотна матриця.

Матричний метод рішення полягає в наступному.

Нехай дана система лінійних рівнянь з nневідомими:

Її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:

Помножимо це матричне рівняння зліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B

Так як A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування цього методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, рівним числу невідомих) є невиродженість матриці A. Необхідною та достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0.

Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0 , дійсно протилежне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Така зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма.

приклад розв'язання неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри.

Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системах лінійних рівнянь алгебри не дорівнює нулю.

Наступним кроком буде обчислення додатків алгебри для елементів матриці, що складається з коефіцієнтів при невідомих. Вони знадобляться для знаходження зворотної матриці.