Вирішення рівняння з двома невідомими методом підстановки. Система рівнянь

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Метод підстановки дозволяє легко вирішити системи лінійних рівнянь будь-якої складності. Суть методу полягає в тому, що, використовуючи перший вираз системи, ми висловлюємо "у", а далі робимо підстановку отриманого виразу у друге рівняння системи замість "у". Оскільки рівняння вже містить два невідомих, лише одне, ми легко знаходимо значення цієї змінної, та був з її допомогою визначаємо значення другий.

Допустимо, дана система лінійних рівнянь наступного виду:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Виразимо \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Виконаємо підстановку отриманого виразу у 2 рівняння:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

Знайдемо значення \

Спростимо та вирішимо рівняння за допомогою відкриття дужок та обліку правил перенесення членів:

Тепер нам відомо значення \ Використовуємо це для знаходження значення \

Відповідь: [[4; 2).

Де можна вирішити систему рівнянь онлайн шляхом підстановки?

Вирішити систему рівнянь ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте.

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

1. Метод підстановки: з будь-якого рівняння системи виражаємо одне невідоме через інше і підставляємо друге рівняння системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.З першого рівняння системи виражаємо учерез хта підставляємо у друге рівняння системи. Отримаємо систему рівносильну вихідній.

Після приведення подібних членів система набуде вигляду:

З другого рівняння знаходимо: . Підставивши це значення рівняння у = 2 - 2х, отримаємо у= 3. Отже, розв'язком цієї системи є пара чисел .

2. Метод алгебраїчної складання: шляхом складання двох рівнянь отримати рівняння з однією змінною

Завдання.Розв'язати систему рівняння:

Рішення.Помноживши обидві частини другого рівняння на 2, отримаємо систему рівносильну вихідній. Склавши два рівняння цієї системи, прийдемо до системи

Після приведення подібних членів дана система набуде вигляду: З другого рівняння знаходимо. Підставивши це значення рівняння 3 х + 4у= 5, отримаємо звідки. Отже, рішенням цієї системи є пара чисел .

3. Метод запровадження нових змінних: шукаємо в системі деякі вирази, що повторюються, які позначимо новими змінними, тим самим спрощуючи вид системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.Запишемо цю систему інакше:

Нехай х + у = u, ху = v.Тоді отримаємо систему

Вирішимо її методом підстановки. З першого рівняння системи висловимо uчерез vі підставимо на друге рівняння системи. Отримаємо систему тобто.

З другого рівняння системи знаходимо v 1 = 2, v 2 = 3.

Підставивши ці значення до рівняння u = 5 - v, отримаємо u 1 = 3,
u 2 = 2. Тоді маємо дві системи

Вирішуючи першу систему, отримаємо дві пари чисел (1; 2), (2; 1). Друга система рішень немає.

Вправи для самостійної роботи

1. Вирішити системи рівнянь шляхом підстановки.

Системою лінійних рівнянь із двома невідомими - це два або кілька лінійних рівнянь, для яких необхідно знайти всі їх загальні рішення. Ми розглядатимемо системи з двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Загальний виглядсистеми з двох лінійних рівнянь із двома невідомими представлені на малюнку нижче:

(a1 * x + b1 * y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Тут х і у невідомі змінні, a1, a2, b1, b2, с1, с2 – деякі речові числа. Рішенням системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими називають пару чисел (x,y) таку, що якщо підставити ці числа до рівняння системи, то кожне із рівнянь системи звертається до правильної рівності. Розглянь один із способів розв'язання системи лінійних рівнянь, а саме спосіб підстановки.

Алгоритм рішення способом підстановки

Алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь способом підстановки:

1. Вибрати одне рівняння (краще вибирати те, де числа менше) і виразити з нього одну змінну через іншу, наприклад, x через y. (можна і у через x).

2. Отриманий вираз підставити замість відповідної змінної в інше рівняння. Таким чином у нас вийде лінійне рівняння з однією невідомою.

3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння та отримуємо рішення.

4. Підставляємо отримане рішення у вираз, отримане у першому пункті, отримуємо другу невідому від рішення.

5. Виконати перевірку одержаного рішення.

приклад

Для того, щоб було зрозуміліше, вирішимо невеликий приклад.

приклад 1.Розв'язати систему рівнянь:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Рішення:

1. З першого рівняння даної системи виражаємо змінну х. Маємо x=(12-2*y);

2. Підставляємо цей вираз у друге рівняння, отримуємо 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3 * y = -18;

3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння: 24 - 4y - 3 * y = -18; 24-7 * y = -18; -7 * y = -42; y=6;

4. Підставляємо отриманий результат у вираз, отриманий у першому пункті. x = (12 -2 * y); x = 12-2 * 6 = 0; x=0;

5. Перевіряємо отримане рішення, для цього підставляємо знайдені числа у вихідну систему.

(x + 2 * y = 12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Здобули вірні рівності, отже, ми правильно знайшли рішення.

Для вирішення системи лінійних рівнянь із двома змінними методомпідстановки надаємо наступним чином:

1) виражаємо одну змінну через іншу в одному з рівнянь системи (х через у або у через х);

2) підставляємо отриманий вираз в інше рівняння системи та отримуємо лінійне рівняння з однією змінною;

3) вирішуємо отримане лінійне рівняння з однією змінною та знаходимо значення цієї змінної;

4) знайдене значення змінної підставляємо у вираз (1) для іншої змінної та знаходимо значення цієї змінної.

приклади. Вирішити шляхом підстановки систему лінійних рівнянь.

Висловимо хчерез у з 1-го рівняння. Отримаємо: х = 7 + у. Підставимо вираз (7+у) замість ху друге рівняння системи.

Ми отримали рівняння: 3 · (7+у)+2у=16. Це рівняння з однією змінною у. Вирішуємо його. Розкриємо дужки: 21+3у+2у=16. Збираємо доданки зі змінною уу лівій частині, а вільні доданки - у правій. При перенесенні доданку з однієї частини рівності в іншу змінюємо знак доданку на протилежний.

Отримуємо: 3у+2у=16-21. Наводимо подібні доданки в кожній частині рівності. 5у = -5. Ділимо обидві частини рівності на коефіцієнт при змінній. у=-5:5; у=-1. Підставляємо це значення уу вираз х = 7 + у і знаходимо х. Отримуємо: х = 7-1; х = 6. Пара значень змінних х=6 і у=-1 є рішенням системи.

Записують: (6; -1). Відповідь: (6; -1). Ці міркування зручно записувати те, як показано нижче, тобто. системи рівнянь - ліворуч один під одним. Праворуч - викладки, необхідні пояснення, перевірка рішення та ін.