Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Конспект лекції для студентів бухгалтерського факультету

заочної форми здобуття освіти (НІСПО)

Гірки, 2013

Диференціальні рівняння першого порядку

Поняття диференціального рівняння. Загальне та приватне рішення

При вивченні різних явищ часто не вдається знайти закон, який безпосередньо пов'язує незалежну змінну та шукану функцію, але можна встановити зв'язок між функцією, що шукається, і її похідними.

Співвідношення, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її похідні, називається диференціальним рівнянням :

Тут x- незалежна змінна, y- Шукана функція,
- похідні функції, що шукається. При цьому у співвідношенні (1) обов'язкова наявність хоча б однієї похідної.

Порядок диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить до рівняння.

Розглянемо диференціальне рівняння

. (2)

Так до цього рівняння входить похідна тільки першого порядку, то воно зв ється диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо рівняння (2) можна дозволити щодо похідної та записати у вигляді

, (3)

то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку у нормальній формі.

У багатьох випадках доцільно розглядати рівняння виду

яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, записаним у диференційній формі.

Так як
, то рівняння (3) можна записати у вигляді
або
де можна вважати
і
. Це означає, що рівняння (3) перетворено на рівняння (4).

Запишемо рівняння (4) у вигляді
. Тоді
,
,
де можна вважати
, тобто. отримано рівняння виду (3). Таким чином, рівняння (3) та (4) рівносильні.

Рішенням диференціального рівняння (2) або (3) називається будь-яка функція
, Яка при підстановці її в рівняння (2) або (3) звертає його в тотожність:

або
.

Процес знаходження всіх рішень диференціального рівняння називається його інтегруванням , а графік рішення
диференціального рівняння називається інтегральної кривої цього рівняння.

Якщо рішення диференціального рівняння отримано у неявному вигляді
, то воно називається інтегралом даного диференціального рівняння.

Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається сімейство функцій виду
, що залежить від довільної постійної З, кожна з яких є рішенням даного диференціального рівняння при будь-якому допустимому значенні довільної постійної З. Таким чином, диференціальне рівняння має безліч рішень.

Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, одержуване з формули загального рішення при конкретному значенні довільної постійної З, включаючи
.

Завдання Коші та її геометрична інтерпретація

Рівняння (2) має безліч рішень. Щоб із цієї множини виділити одне рішення, яке називається приватним, потрібно задати деякі додаткові умови.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (2) за заданих умов називається завданням Коші . Це є однією з найважливіших теорії диференціальних рівнянь.

Формулюється завдання Коші так: серед усіх розв'язків рівняння (2) знайти таке рішення
, в якому функція
приймає задане числове значення , якщо незалежна змінна x приймає задане числове значення , тобто.

,
, (5)

де D- Область визначення функції
.

Значення називається початковим значенням функції , а – початковим значенням незалежної змінної . Умова (5) називається початковою умовою або умовою Коші .

З геометричного погляду завдання Коші для диференціального рівняння (2) можна сформулювати так: з безлічі інтегральних кривих рівняння (2) виділити ту, що проходить через задану точку
.

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Одним з найпростіших видів диференціальних рівнянь є диференціальне рівняння першого порядку, що не містить функції, що шукається:

. (6)

Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, отримаємо:
або

. (7)

Отже, (7) є загальним рішенням рівняння (6).

Приклад 1 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини отриманого рівняння:
,
. Остаточно запишемо
.

Приклад 2 . Знайти рішення рівняння
за умови
.

Рішення . Знайдемо загальне рішення рівняння:
,
,
,
. За умовою
,
. Підставимо у загальне рішення:
або
. Знайдене значення довільної постійної підставимо у формулу загального рішення:
. Це і є окреме рішення диференціального рівняння, що задовольняє задану умову.

Рівняння

(8)

Називається диференціальним рівнянням першого порядку, що не містить незалежної змінної . Запишемо його у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини останнього рівняння:
або
- загальне рішення рівняння (8).

приклад . Знайти загальне рішення рівняння
.

Рішення . Запишемо це рівняння у вигляді:
або
. Тоді
,
,
,
. Таким чином,
- Загальне рішення даного рівняння.

Рівняння виду

(9)

інтегрується за допомогою поділу змінних. Для цього рівняння запишемо у вигляді
, а потім за допомогою операцій множення та поділу наводимо його до такої форми, щоб в одну частину входила тільки функція від хта диференціал dx, а в другу частину – функція від ута диференціал dy. Для цього обидві частини рівняння потрібно помножити на dxта розділити на
. В результаті отримаємо рівняння

, (10)

в якому змінні хі урозділені. Проінтегруємо обидві частини рівняння (10):
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння (9).

Приклад 3 . Проінтегрувати рівняння
.

Рішення . Перетворимо рівняння та розділимо змінні:
,
. Проінтегруємо:
,
або – загальний інтеграл цього рівняння.
.

Нехай рівняння задано у вигляді

Таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку з змінними, що розділяються. у симетричній формі.

Для поділу змінних потрібно обидві частини рівняння поділити на
:

. (12)

Отримане рівняння називається диференціальним рівнянням з розділеними змінними . Проінтегруємо рівняння (12):

.(13)

Співвідношення (13) є загальним інтегралом диференціального рівняння (11).

Приклад 4 . Проінтегрувати диференціальне рівняння.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді

і розділимо обидві його частини на
,
. Отримане рівняння:
є рівнянням із розділеними змінними. Проінтегруємо його:

,
,

,
. Остання рівність є загальним інтегралом даного диференціального рівняння.

Приклад 5 . Знайти окреме рішення диференціального рівняння
, що задовольняє умову
.

Рішення . Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Розділимо змінні:
. Проінтегруємо це рівняння:
,
,
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння. За умовою
. Підставимо в загальний інтеграл і знайдемо З:
,З=1. Тоді вираз
є окремим рішенням даного диференціального рівняння, записаним як приватного інтеграла.

Лінійні диференційне рівнянняпершого порядку

Рівняння

(14)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку . Невідома функція
та її похідна входять до цього рівняння лінійно, а функції
і
безперервні.

Якщо
, то рівняння

(15)

називається лінійним однорідним . Якщо
, то рівняння (14) називається лінійним неоднорідним .

Для знаходження рішення рівняння (14) зазвичай використовують метод підстановки (Бернуллі) , Суть якого в наступному.

Рішення рівняння (14) будемо шукати у вигляді виконання двох функцій

, (16)

де
і
- Деякі безперервні функції. Підставимо
та похідну
рівняння (14):

функцію vбудемо підбирати таким чином, щоб виконувалася умова
. Тоді
. Отже, знаходження рішення рівняння (14) потрібно вирішити систему диференціальних рівнянь

Перше рівняння системи є однорідним лінійним рівнянням і вирішити його можна методом поділу змінних:
,
,
,
,
. Як функція
можна взяти одне з окремих рішень однорідного рівняння, тобто. при З=1:
. Підставимо у друге рівняння системи:
або
. Тоді
. Таким чином, загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку має вигляд
.

Приклад 6 . Розв'язати рівняння
.

Рішення . Рішення рівняння будемо шукати у вигляді
. Тоді
. Підставимо до рівняння:

або
. функцію vвиберемо таким чином, щоб виконувалася рівність
. Тоді
. Вирішимо перше з цих рівнянь методом поділу змінних:
,
,
,
,. функцію vпідставимо у друге рівняння:
,
,
,
. Загальним рішенням цього рівняння є
.

Запитання для самоконтролю знань

Що називається диференціальним рівнянням?

Що називається порядком диференціального рівняння?

Яке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку?

Як записується диференціальне рівняння першого порядку у диференційній формі?

Що називається розв'язком диференціального рівняння?

Що називається інтегральною кривою?

Що називається загальним рішенням диференціального рівняння першого ладу?

Що називається приватним розв'язком диференціального рівняння?

Як формулюється завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку?

Якою є геометрична інтерпретація задачі Коші?

Як записується диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, в симетричній формі?

Яке рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку?

Яким способом можна розв'язати лінійне диференціальне рівняння першого ладу й у чому суть цього?

Завдання для самостійної роботи

Розв'язати диференціальні рівняння з змінними, що розділяються:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Згадаймо завдання, яке стояло перед нами під час знаходження певних інтегралів:

чи dy = f(x)dx. Її рішення:

і зводиться до обчислення невизначеного інтеграла. Насправді частіше зустрічається складніше завдання: знайти функцію y, якщо відомо, що вона задовольняє співвідношення виду

Це співвідношення пов'язує незалежну змінну x, невідому функцію yта її похідні до порядку nвключно, називаються .

У диференціальне рівняння входить функція під знаком похідних (чи диференціалів) тієї чи іншої системи. Порядок найвищої називається порядком (9.1) .

Диференційне рівняння:

- першого порядку,

Другого порядку,

- п'ятого порядку і т.д.

Функція, яка задовольняє даному диференціальному рівнянню, називається його розв'язком , або інтегралом . Вирішити його означає знайти всі його рішення. Якщо для шуканої функції yвдалося отримати формулу, яка дає всі рішення, то ми говоримо, що знайшли його спільне рішення , або загальний інтеграл .

Загальне рішення містить nдовільних постійних і має вигляд

Якщо отримано співвідношення, яке пов'язує x, yі nдовільних постійних, у вигляді, не дозволеному щодо y -

то таке співвідношення називається загальним інтегралом рівняння (9.1).

Завдання Коші

Кожне конкретне рішення, тобто кожна конкретна функція, яка задовольняє даному диференціальному рівнянню та не залежить від довільних постійних, називається приватним рішенням , чи приватним інтегралом. Щоб отримати приватні рішення (інтеграли) із загальних, треба постійним надавати конкретні числові значення.

Графік приватного рішення називається інтегральною кривою. Загальне рішення, яке містить усі приватні рішення, є сімейством інтегральних кривих. Для рівняння першого порядку ця родина залежить від однієї довільної постійної, для рівняння n-го порядку - від nдовільних постійних.

Завдання Коші полягає у знаходженні приватного рішення для рівняння n-го порядку, що задовольняє nпочатковим умовам:

за якими визначаються n постійних з 1, з 2,..., c n.

Диференціальні рівняння 1-го порядку

Для невирішеного щодо похідної диференціальне рівняння 1-го порядку має вигляд

або для дозволеного щодо

Приклад 3.46. Знайти загальне рішення рівняння

Рішення.Інтегруючи, отримаємо

де С - довільна стала. Якщо надамо конкретні числові значення, то отримаємо приватні рішення, наприклад,

Приклад 3.47. Розглянемо зростаючу грошову суму, покладену в банк за умови нарахування 100 r складних відсотків на рік. Нехай Yo початкова грошова сума, а Yx - після закінчення xроків. При нарахуванні відсотків один раз на рік, отримаємо

де x = 0, 1, 2, 3, .... При нарахуванні відсотків двічі на рік, отримаємо

де x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... При нарахуванні відсотків nраз на рік і якщо xприймає послідовно значення 0, 1/n, 2/n, 3/n,... тоді

Позначити 1/n = h , тоді попередня рівність матиме вигляд:

При необмеженому збільшенні n(при ) у межі приходимо до процесу зростання грошової суми при безперервному нарахуванні відсотків:

таким чином видно, що при безперервній зміні xЗакон зміни грошової маси виражається диференціальним рівнянням 1-го порядку. Де Y x - невідома функція, x- незалежна змінна, r- Постійна. Вирішимо дане рівняння, для цього перепишемо його таким чином:

звідки , або де через P позначено e C .

З початкових умов Y(0) = Yo , знайдемо P: Yo = Pe o , звідки, Yo = P. Отже, рішення має вигляд:

Розглянемо друге економічне завдання. Макроекономічні моделі теж описуються лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку, що описує зміну доходу чи випуску продукції Y як функцій часу.

Приклад 3.48. Нехай національний дохід Y зростає зі швидкістю, пропорційною його величиною:

і нехай, дефіцит у витратах уряду прямо пропорційний доходу Y з коефіцієнтом пропорційності q. Дефіцит у витратах призводить до зростання національного боргу D:

Початкові умови Y = Yo та D = Do при t = 0. З першого рівняння Y = Yoe kt . Підставляючи Y отримуємо dD/dt = qYoe kt. Загальне рішення має вигляд
D = (q/k) Yoe kt +С, де С = const, що визначається з початкових умов. Підставляючи початкові умови, отримуємо Do = (q/k) Yo + С. Отже, остаточно,

D = Do + (q / k) Yo (e kt -1),

звідси видно, що національний борг зростає з тією ж відносною швидкістю k, як і національний дохід.

Розглянемо найвищі диференціальні рівняння n-го порядку, це рівняння виду

Його загальне рішення отримаємо за допомогою nразів інтегрувань.

Приклад 3.49.Розглянемо приклад y """ = cos x.

Рішення.Інтегруючи, знаходимо

Загальне рішення має вигляд

Лінійні диференціальні рівняння

В економіці велике застосування мають розглянемо рішення таких рівнянь. Якщо (9.1) має вигляд:

воно називається лінійним, де рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - задані функції. Якщо f(x) = 0, то (9.2) називається однорідними, інакше - неоднорідним. Загальне рішення рівняння (9.2) дорівнює сумі будь-якого його приватного рішення y(x)та загального рішення однорідного рівняння відповідного йому:

Якщо коефіцієнти р o (x), р 1 (x), ..., р n (x) постійні, то (9.2)

(9.4) називається лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтамипорядку n .

Для (9.4) має вигляд:

Можна покласти без обмеження спільності р o = 1 та записати (9.5) у вигляді

Шукатимемо рішення (9.6) у вигляді y = e kx , де k - константа. Маємо: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Підставимо отримані вирази в (9.6), матимемо:

(9.7) є рівняння алгебри, його невідомим є k, Воно називається характеристичним. Характеристичне рівняння має ступінь nі nкоріння, серед яких можуть бути як кратні, так і комплексні. Нехай k 1 , k 2 ,..., k n - дійсні та різні, тоді - приватні рішення (9.7), а загальне

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:

Його характеристичне рівняння має вигляд

(9.9)

його дискримінант D = р 2 – 4q залежно від знака D можливі три випадки.

1. Якщо D>0, то коріння k 1 і k 2 (9.9) дійсні та різні, і загальне рішення має вигляд:

Рішення.Характеристичне рівняння: k 2 + 9 = 0, звідки k = ± 3i, a = 0, b = 3, загальне рішення має вигляд:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку застосовуються щодо економічної моделі павутиноподібного типу із запасами товарів, де швидкість зміни ціни P залежить від величини запасу (див. параграф 10). Якщо попит і пропозиція є лінійними функціями ціни, тобто

а - є постійна, що визначає швидкість реакції, процес зміни ціни описується диференціальним рівнянням:

За приватне рішення можна взяти постійну

що має сенс ціни рівноваги. Відхилення задовольняє однорідне рівняння

(9.10)

Характеристичне рівняння буде таким:

У разі член позитивний. Позначимо . Коріння характеристичного рівняння k 1,2 = ± i w, тому загальне рішення (9.10) має вигляд:

де C і довільні постійні вони визначаються з початкових умов. Набули закону зміни ціни в часі:

Введіть своє диференціальне рівняння, для введення похідної використовується апостроa """, натисніть submit отримайте рішення

Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади розв'язків.
Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Диференціальні рівняння (ДК). Ці два слова зазвичай жахають середньостатистичного обивателя. Диференціальні рівняння здаються чимось позамежним і важким у освоєнні та багатьом студентам. Уууууу… диференціальні рівняння, як би мені це все пережити?!

Така думка і такий настрій докорінно невірний, бо насправді ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ – ЦЕ ПРОСТО І НАВІТЬ ЗАХИБНО. Що потрібно знати та вміти, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння? Для успішного вивченнядифурів ви повинні добре вміти інтегрувати та диференціювати. Чим якісніше вивчені теми Похідна функції однієї змінноїі Невизначений інтеграл, тим легше розібратися в диференціальних рівняннях. Скажу більше, якщо у вас більш менш пристойні навички інтегрування, то тема практично освоєна! Чим більше інтегралів різних типів ви можете вирішувати – тим краще. Чому? Прийде багато інтегрувати. І диференціювати. Також наполегливо рекомендуюнавчитися знаходити.

У 95% випадків у контрольні роботизустрічаються 3 типи диференціальних рівнянь першого порядку: рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглянемо цьому уроці; однорідні рівнянняі лінійні неоднорідні рівняння. Початківцям вивчати дифури раджу ознайомитися з уроками саме в такій послідовності, причому після вивчення перших двох статей не завадить закріпити свої навички на додатковому практикумі. рівняння, що зводяться до однорідних.

Є ще рідкісні типи диференціальних рівнянь: рівняння у повних диференціалах , рівняння Бернуллі та інших. Найбільш важливими з двох останніх видів є рівняння в повних диференціалах, оскільки крім цього ДК я розглядаю новий матеріал – приватне інтегрування.

Якщо у вас у запасі всього день-два, то для надшвидкої підготовкиє бліц-курсу pdf-форматі.

Отже, орієнтири розставлені – поїхали:

Спочатку згадаємо звичайні рівняння алгебри. Вони містять змінні та числа. Найпростіший приклад: . Що означає вирішити нормальне рівняння? Це означає знайти безліч чисел, які задовольняють даному рівнянню. Легко помітити, що дитяче рівняння має єдине коріння: . Для приколу зробимо перевірку, підставимо знайдений корінь у наше рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, рішення знайдено правильно.

Дифури влаштовані приблизно так само!

Диференціальне рівняння першого порядкув загальному випадку містить:
1) незалежну змінну;
2) залежну змінну (функцію);
3) першу похідну функції: .

У деяких рівняннях 1-го порядку може бути відсутнім «ікс» або (і) «ігрок», але це не суттєво – важливощоб у ДК булаперша похідна , та не булопохідних вищих порядків - і т.д.

Що значить ?Вирішити диференціальне рівняння – це означає знайти безліч усіх функцій, які задовольняють даному рівнянню. Така безліч функцій часто має вигляд (довільна постійна), який називається загальним рішенням диференціального рівняння.

Приклад 1

Розв'язати диференціальне рівняння

Повний боєкомплект. З чого почати Рішення?

Насамперед потрібно переписати похідну трохи в іншому вигляді. Згадуємо громіздке позначення, яке багатьом з вас, напевно, здавалося безглуздим і непотрібним. У дифурах рулить саме воно!

На другому кроці дивимося, чи не можна розділити змінні?Що означає розділити змінні? Грубо кажучи, у лівій частинінам потрібно залишити тільки «Ігреки», а у правій частиніорганізувати тільки «ікси». Поділ змінних виконується за допомогою «шкільних» маніпуляцій: винесення за дужки, перенесення доданків з частини до частини зі зміною знака, перенесення множників з частини до частини за правилом пропорції тощо.

Диференціали і – це повноправні множники та активні учасники бойових дій. У прикладі змінні легко розділяються перекиданням множників за правилом пропорції:

Змінні розділені. У лівій частині – лише «ігреки», у правій частині – лише «ікси».

Наступний етап - інтегрування диференціального рівняння. Все просто, навішуємо інтеграли на обидві частини:

Зрозуміло, що інтеграли треба взяти. В даному випадку вони табличні:

Як ми пам'ятаємо, до будь-якої первісної приписується константа. Тут два інтеграли, але константу достатньо записати один раз (т.к. константа + константа все одно дорівнює іншій константі). Найчастіше її поміщають у праву частину.

Строго кажучи, після того, як взяті інтеграли, диференціальне рівняння вважається вирішеним. Єдине, що у нас «гравець» не виражений через «ікс», тобто рішення представлене у неявномувигляді. Рішення диференціального рівняння у неявному вигляді називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Тобто – це спільний інтеграл.

Відповідь у такій формі цілком прийнятна, але чи немає кращого варіанта? Давайте спробуємо отримати загальне рішення.

Будь ласка, запам'ятайте перший технічний прийом, він дуже поширений і часто застосовується у практичних завданнях: якщо у правій частині після інтегрування з'являється логарифм, то константу у багатьох випадках (але не завжди!) теж доцільно записати під логарифмом.

Тобто, ЗАМІСТЬзаписи зазвичай пишуть .

Навіщо це потрібно? А для того, щоб легше було висловити «гравець». Використовуємо властивість логарифмів . В даному випадку:

Тепер логарифми та модулі можна прибрати:

Функція представлена ​​у явному вигляді. Це і є спільним рішенням.

Відповідь: загальне рішення: .

Відповіді багатьох диференціальних рівнянь досить легко перевірити. У нашому випадку це робиться дуже просто, беремо знайдене рішення та диференціюємо його:

Після чого підставляємо і похідну у вихідне рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, загальне рішення задовольняє рівнянню , що потрібно перевірити.

Надаючи константі різні значення, можна отримати нескінченно багато приватних рішеньдиференціального рівняння. Зрозуміло, кожна з функцій , , і т.д. задовольняє диференційного рівняння.

Іноді загальне рішення називають сімейством функцій. У цьому прикладі загальне рішення – це сімейство лінійних функцій, А точніше, сімейство прямих пропорційностей.

Після ґрунтовного розжовування першого прикладу доречно відповісти на кілька наївних питаньпро диференціальні рівняння:

1)У цьому прикладі нам удалося розділити змінні. Чи завжди це можна зробити?Ні не завжди. І навіть частіше змінні не можна розділити. Наприклад, в однорідних рівняннях першого порядкунеобхідно спочатку провести заміну. В інших типах рівнянь, наприклад, у лінійному неоднорідному рівнянні першого порядку, потрібно використовувати різні прийоми та методи для знаходження загального рішення. Рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглядаємо на першому уроці – найпростіший тип диференціальних рівнянь.

2) Чи можна проінтегрувати диференціальне рівняння?Ні не завжди. Дуже легко придумати «наворочене» рівняння, яке не проінтегрувати, крім того, існують інтеграли, що не беруться. Але такі ДУ можна вирішити приблизно за допомогою спеціальних методів. Даламбер і Коші гарантують... …тьху, lurkmore.to недавно начитався, мало не додав «з того світу».

3) У цьому прикладі ми отримали рішення у вигляді загального інтегралу . Чи завжди можна із загального інтеграла знайти загальне рішення, тобто висловити «гравець» у явному вигляді?Ні не завжди. Наприклад: . Ну і як тут висловити «Ігрек»?! У разі відповідь слід записати як загального інтеграла. Крім того, іноді загальне рішення знайти можна, але воно записується настільки громіздко і коряво, що краще залишити відповідь у вигляді загального інтеграла

4) ...мабуть, поки що достатньо. У першому прикладі нам зустрівся ще один важливий момент, але щоб не накрити «чайників» лавиною нової інформації, Залишу його до наступного уроку.

Поспішати не будемо. Ще одне просте ДК і ще один типовий прийом рішення:

Приклад 2

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову

Рішення: за умовою потрібно знайти приватне рішенняДУ, що задовольняє задану початкову умову. Така постановка питання також називається завданням Коші.

Спочатку знаходимо спільне рішення. У рівнянні немає змінної "ікс", але це не повинно бентежити, головне, в ньому є перша похідна.

Переписуємо похідну у потрібному вигляді:

Очевидно, що змінні можна розділити, хлопчики – ліворуч, дівчатка – праворуч:

Інтегруємо рівняння:

Загальний інтеграл отримано. Тут константу я намалював із надрядковою зірочкою, справа в тому, що дуже скоро вона перетвориться на іншу константу.

Тепер пробуємо загальний інтеграл перетворити на загальне рішення (виразити «гравець» у явному вигляді). Згадуємо старе, добре, шкільне: . В даному випадку:

Константа у показнику виглядає якось некошерно, тому її зазвичай спускають із небес на землю. Якщо докладно, відбувається це так. Використовуючи властивість ступенів, перепишемо функцію так:

Якщо це константа, то теж деяка константа, переозначимо її буквою :

Запам'ятайте «знос» константи – це другий технічний прийом, який часто використовують під час вирішення диференціальних рівнянь.

Отже, загальне рішення: . Така ось симпатична родина експоненційних функцій.

На завершальному етапі потрібно знайти приватне рішення, що задовольняє задану початкову умову. Це також просто.

У чому завдання? Необхідно підібрати такезначення константи, щоб виконувалася умова.

Оформити можна по-різному, але найзрозуміліше, мабуть, буде так. У загальне рішення замість «ікса» підставляємо нуль, а замість «гравця» двійку:



Тобто,

Стандартна версія оформлення:

Тепер у загальне рішення підставляємо знайдене значення константи:
- Це і є потрібне нам приватне рішення.

Відповідь: приватне рішення:

Виконаємо перевірку. Перевірка приватного рішення включає два етапи:

Спочатку необхідно перевірити, а чи справді знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову? Замість «ікса» підставляємо нуль і дивимося, що вийде:
– так, дійсно отримано двійку, отже, початкова умова виконується.

Другий етап уже знайомий. Беремо отримане приватне рішення та знаходимо похідну:

Підставляємо і у вихідне рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Висновок: приватне рішення знайдено правильно.

Переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 3

Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення:Переписуємо похідну у потрібному нам вигляді:

Оцінюємо, чи можна поділити змінні? Можна, можливо. Переносимо другий доданок у праву частину зі зміною знака:

І перекидаємо множники за правилом пропорції:

Змінні розділені, інтегруємо обидві частини:

Повинен попередити, чи наближається судний день. Якщо ви погано вивчили невизначені інтеграли, Вирішували мало прикладів, то діватися нікуди - доведеться їх освоювати зараз.

Інтеграл лівої частини легко знайти , з інтегралом від котангенсу розправляємось стандартним прийомом, який ми розглядали на уроці Інтегрування тригонометричних функційв минулому році:

У правій частині у нас вийшов логарифм, і, згідно з моєю першою технічною рекомендацією, константу теж слід записати під логарифмом.

Тепер пробуємо спростити загальний інтеграл. Оскільки в нас одні логарифми, то їх цілком можна (і потрібно) позбутися. За допомогою відомих властивостеймаксимально «упаковуємо» логарифми. Розпишу дуже докладно:

Упаковка завершена, щоб бути варварською обдертою:

Чи можна висловити «ігрок»? Можна, можливо. Треба звести у квадрат обидві частини.

Але робити це не потрібно.

Третя технічна рада:якщо для отримання загального рішення потрібно зводити у ступінь або добувати коріння, то в більшості випадківслід утриматися від цих дій та залишити відповідь у вигляді загального інтеграла. Справа в тому, що загальне рішення виглядатиме просто жахливо - з великим корінням, знаками та іншим трешем.

Тому відповідь запишемо як загального інтеграла. Гарним тономвважається уявити його як , тобто, у правій частині, наскільки можна, залишити лише константу. Робити це не обов'язково, але завжди вигідно порадувати професора;-)

Відповідь:загальний інтеграл:

! Примітка: загальний інтеграл будь-якого рівняння можна записати не єдиним способом. Таким чином, якщо ваш результат не збігся із заздалегідь відомою відповіддю, то це ще не означає, що ви неправильно вирішили рівняння.

Загальний інтеграл також перевіряється досить легко, головне, вміти знаходити похідну від функції, заданої неявно. Диференціюємо відповідь:

Примножуємо обидва доданки на :

І ділимо на:

Отримано точно вихідне диференціальне рівняння , отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 4

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення.

Нагадую, що алгоритм складається із двох етапів:
1) знаходження загального рішення;
2) знаходження необхідного приватного рішення.

Перевірка теж проводиться у два кроки (див. зразок у Прикладі №2), потрібно:
1) переконатися, що знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову;
2) перевірити, що окреме рішення взагалі задовольняє диференціальному рівнянню.

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти окреме рішення диференціального рівняння , що задовольняє початкову умову . Виконати перевірку.

Рішення:Спочатку знайдемо загальне рішення. Дане рівняння вже містить готові диференціали і, отже, рішення спрощується. Розділяємо змінні:

Інтегруємо рівняння:

Інтеграл ліворуч – табличний, інтеграл праворуч – беремо методом підведення функції під знак диференціалу:

Загальний інтеграл отримано, чи вдало висловити загальне рішення? Можна, можливо. Навішуємо логарифми на обидві частини. Оскільки вони позитивні, знаки модуля зайві:

(Сподіваюся, всім зрозуміло перетворення, такі речі треба вже знати)

Отже, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові.
У загальне рішення замість "ікса" підставляємо нуль, а замість "гравця" логарифм двох:

Більш звичайне оформлення:

Підставляємо знайдене значення константи у загальне рішення.

Відповідь:приватне рішення:

Перевірка: Спочатку перевіримо, чи виконано початкову умову:
- Все гуд.

Тепер перевіримо, чи задовольняє взагалі знайдене приватне рішення диференційному рівнянню. Знаходимо похідну:

Дивимося на вихідне рівняння: - Воно представлено в диференціалах. Є два способи перевірки. Можна зі знайденої похідної висловити диференціал:

Підставимо знайдене приватне рішення та отриманий диференціал у вихідне рівняння :

Використовуємо основну логарифмічну тотожність:

Отримано правильну рівність, отже, приватне рішення знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки дзеркальних і звичніший: із рівняння висловимо похідну, для цього розділимо всі штуки на:

І в перетворене ДК підставимо отримане приватне рішення та знайдену похідну. В результаті спрощень теж має вийти правильна рівність.

Приклад 6

Розв'язати диференціальне рівняння. Відповідь подати у вигляді загального інтеграла.

Це приклад для самостійного рішення, повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Які труднощі підстерігають при вирішенні диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються?

1) Не завжди очевидно (особливо «чайнику»), що змінні можна розділити. Розглянемо умовний приклад: . Тут необхідно провести винесення множників за дужки: і відокремити коріння: . Як діяти далі – зрозуміло.

2) Складнощі при самому інтегруванні. Інтеграли нерідко виникають не найпростіші, і якщо є вади у навичках знаходження невизначеного інтегралу, то з багатьма диффурами доведеться туго. До того ж у укладачів збірок і методик популярна логіка «якщо диференціальне рівняння є простим, то нехай хоч інтеграли будуть складнішими».

3) Перетворення з константою. Як всі помітили, з константою в диференціальних рівняннях можна поводитися досить вільно, і деякі перетворення не завжди зрозумілі новачкові. Розглянемо ще один умовний приклад: . У ньому доцільно помножити всі складові на 2: . Отримана константа - це теж якась константа, яку можна позначити через: . Так, якщо в правій частині логарифм, то константу доцільно переписати у вигляді іншої константи: .

Біда ж полягає в тому, що з індексами часто не морочаться і використовують одну і ту ж літеру. В результаті запис рішення приймає такий вигляд:

Що за брехня? Відразу помилки! Строго кажучи – так. Однак з змістовної точки зору – помилок немає, адже в результаті перетворення константи, що варіюється, все одно виходить варіюється константа.

Або інший приклад, припустимо, що в ході вирішення рівняння отримано загальний інтеграл. Така відповідь виглядає негарно, тому у кожного доданка доцільно змінити знак: . Формально тут знову помилка - справа слід було б записати. Але неформально мається на увазі, що «мінус це» – це все одно константа ( яка з тим самим успіхом набуває будь-яких значень!)тому ставити «мінус» не має сенсу і можна використовувати ту ж літеру.

Я намагатимуся уникати недбалого підходу, і все-таки проставляти у констант різні індекси при їх перетворенні.

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння. Виконати перевірку.

Рішення:Це рівняння допускає поділ змінних. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Константу тут не обов'язково визначати під логарифм, оскільки нічого путнього з цього не вийде.

Відповідь:загальний інтеграл:

Перевірка: Диференціюємо відповідь (неявну функцію):

Позбавляємося дробів, для цього множимо обидва доданки на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 8

Знайти приватне рішення дистанційного керування.
,

Це приклад самостійного рішення. Єдина підказка - тут вийде загальний інтеграл, і, правильніше кажучи, потрібно вимудритися знайти не приватне рішення, а приватний інтеграл. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Ця стаття є відправною точкою вивчення теорії диференціальних рівнянь. Тут зібрані основні визначення та поняття, які постійно фігуруватимуть у тексті. Для кращого засвоєння та розуміння визначення мають приклади.

Диференціальне рівняння (ДК)– це рівняння, до якого входить невідома функція під знаком похідної чи диференціала.

Якщо невідома функція є функцією однієї змінної, то диференціальне рівняння називають звичайним(скорочено ОДУ - звичайне диференціальне рівняння). Якщо ж невідома функція є функцією багатьох змінних, то диференціальне рівняння називають рівнянням у приватних похідних.

Максимальний порядок похідної невідомої функції, що входить у диференціальне рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Ось приклади ОДУ першого, другого та п'ятого порядків відповідно

Як приклади рівнянь у приватних похідних другого порядку наведемо

Далі ми розглядатимемо лише прості диференціальні рівняння n-ого порядку виду або , де Ф(x, y) = 0 невідома функція, задана неявно (якщо можливо, її записуватимемо в явному поданні y = f(x) ).

Процес знаходження рішень диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

Розв'язання диференціального рівняння- це неявно задана функціяФ(x, y) = 0 (у деяких випадках функцію y можна виразити через аргумент x явно), яка перетворює диференціальне рівняння на тотожність.

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ.

Рішення диференціального рівняння завжди шукається на заздалегідь заданому інтервалі X.

Чому ми про це говоримо окремо? Та тому, що в умовах багатьох завдань про інтервал X не згадують. Тобто зазвичай умова завдань формулюється так: «знайдіть рішення звичайного диференціального рівняння ». У цьому випадку мається на увазі, що рішення слід шукати для всіх x, при яких і функція y, що шукається, і вихідне рівняння мають сенс.

Рішення диференціального рівняння часто називають інтегралом диференціального рівняння.

Функції або можна назвати рішенням диференціального рівняння.

Одним із рішень диференціального рівняння є функція. Справді, підставивши цю функцію у вихідне рівняння, отримаємо тотожність . Неважко помітити, що іншим рішенням цього ОДУ є, наприклад, . Таким чином, диференціальні рівняння можуть мати безліч розв'язків.

Загальне вирішення диференціального рівняння- Це безліч рішень, що містить все без винятку рішення цього диференціального рівняння.

Загальне рішення диференціального рівняння ще називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Повернемося, наприклад. Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд або де C - довільна постійна. Вище ми вказали два рішення цього ОДУ, які виходять із загального інтеграла диференціального рівняння під час підстановки С = 0 і C = 1 відповідно.

Якщо рішення диференціального рівняння задовольняє спочатку заданим додатковим умовам, його називають приватним розв'язком диференціального рівняння.

Приватним рішенням диференціального рівняння , що задовольняє умову y(1)=1 є . Справді, і .

Основними завданнями теорії диференціальних рівнянь є завдання Коші, крайові завдання та завдання знаходження загального розв'язання диференціального рівняння на якомусь заданому інтервалі X .

Завдання Коші- Це завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовамде - числа.

Крайове завдання- Це завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння другого порядку, що задовольняє додатковим умовам в граничних точках x 0 і x 1:
f (x 0) = f 0 f (x 1) = f 1 де f 0 і f 1 - задані числа.

Крайове завдання часто називають граничним завданням.

Просте диференціальне рівняння n-ого порядку називається лінійнимякщо воно має вигляд , а коефіцієнти є безперервні функції аргументу x на інтервалі інтегрування.

Розв'язання диференціальних рівнянь. Завдяки нашому онлайн сервісувам доступне рішення диференціальних рівнянь будь-якого виду і складності: неоднорідні, однорідні, нелінійні, лінійні, першого, другого порядку, з змінними, що розділяються, або не поділяються і т.д. Ви отримуєте розв'язання диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді з докладним описом. Багато хто цікавиться: навіщо потрібно вирішувати диференціальні рівняння онлайн? Даний вид рівнянь дуже поширений у математиці та фізиці, де вирішити багато завдань без обчислення диференціального рівняння буде неможливо. Також диференціальні рівняння поширені економіки, медицині, біології, хімії та інших науках. Рішення такого рівняння в онлайн режимі значно полегшує вам поставлені завдання, дає можливість краще засвоїти матеріал і перевірити себе. Переваги розв'язання диференціальних рівнянь онлайн. Сучасний математичний сервіс сайт дозволяє вирішувати диференціальні рівняння онлайн будь-якої складності. Як ви знаєте, існує велика кількість видів диференціальних рівнянь і для кожного з них передбачені свої способи розв'язання. На нашому сервісі можна знайти рішення диференціальних рівнянь будь-якого порядку і виду в онлайн режимі. Для отримання рішення ми пропонуємо заповнити вихідні дані та натиснути кнопку «Рішення». Помилки в роботі сервісу виключені, тому ви можете бути на 100% впевнені, що отримали правильну відповідь. Вирішуйте диференціальні рівняння разом із нашим сервісом. Вирішити диференціальні рівняння онлайн. За промовчанням у такому рівнянні функція y – це функція від x змінної. Але ви можете ставити і своє позначення змінної. Наприклад, якщо ви вкажете в диференціальному рівнянні y(t), то наш сервіс автоматично визначить, що є функцією від t змінної. Порядок всього диференціального рівняння залежатиме максимального порядку похідної функції, що у рівнянні. Вирішити таке рівняння означає знайти потрібну функцію. Вирішити диференціальні рівняння онлайн допоможе вам наш сервіс. Для вирішення рівняння від вас не потрібно багато зусиль. Необхідно лише ввести у потрібні поля ліву та праву частини вашого рівняння та натиснути кнопку «Рішення». При введенні похідну функції необхідно позначати через апостроф. За лічені секунди ви отримаєте готове докладне рішеннядиференціального рівняння. Наш сервіс є абсолютно безкоштовним. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються. Якщо в диференціальному рівнянні в лівій частині знаходиться вираз, що залежить від y, а правій частині – вираз, який залежить від x, то таке диференціальне рівняння називається з змінними, що розділяються. У лівій частині може бути похідна від y рішення диференціальних рівнянь такого виду буде у вигляді функції y, вираженої через інтеграл від правої частини рівняння. Якщо ж у лівій частині буде диференціал функції від y, то у такому разі інтегруються обидві частини рівняння. Коли змінні в диференціальному рівнянні не розділені, їх потрібно розділити, щоб отримати диференціальне рівняння з розділеними змінними. Лінійне диференціальне рівняння. Лінійним називається диференціальне рівняння, у якого функція та всі її похідні перебувають у першому ступені. Загальний виглядрівняння: y'+a1(x)y=f(x). f(x) та a1(x) – це безперервні функції від x. Розв'язання диференціальних рівнянь такого типу зводиться до інтегрування двох диференціальних рівнянь із розділеними змінними. Порядок диференціального рівняння. Диференціальне рівняння то, можливо першого, другого, n-го порядку. Порядок диференціального рівняння визначає порядок старшої похідної, що міститься у ньому. У нашому сервісі можна вирішити диференціальні рівняння онлайн першого, другий, третій і т.д. порядку. Рішенням рівняння буде будь-яка функція y=f(x), підставивши яку рівняння, ви отримаєте тотожність. Процес пошуку розв'язання диференціального рівняння називають інтегруванням. Завдання Коші. Якщо крім самого диференціального рівняння задається початкова умова y(x0)=y0, це називається завданням Коші. У рішення рівняння додаються показники y0 і x0 і визначають значення довільної константи C, а потім часткове рішення рівняння при цьому значенні C. Це і є рішенням завдання Коші. Ще завдання Коші називають завданням із граничними умовами, що дуже поширене у фізиці та механіці. Також у вас є можливість поставити завдання Коші, тобто з усіх можливих рішень рівняння вибрати приватне, що відповідає заданим початковим умовам.