Рівняння

де і – безперервна функція в інтервалі називається неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку, функції та – його коефіцієнтами. Якщо в цьому інтервалі, то рівняння набуває вигляду:

і називається однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Якщо рівняння (**) має самі коефіцієнти і , як рівняння (*), воно називається однорідним рівнянням, відповідним неоднорідному рівнянню (*).

Однорідні диференціальні лінійні рівняння другого порядку

Нехай у лінійному рівнянні

І – постійні дійсні числа.

Приватне рішення рівняння шукатимемо у вигляді функції , де - дійсне або комплексне число, Що підлягає визначенню. Диференціюючи по , отримуємо:

Підставляючи у вихідне дифузування, отримуємо:

Звідси, враховуючи, що маємо:

Це рівняння називається характеристичним рівнянням однорідного лінійного дифузування. Характеристичне рівняння і дозволяє знайти . Це рівняння другого ступеня, тому має два корені. Позначимо їх через і. Можливі три випадки:

1) Коріння дійсні та різні. У цьому випадку загальне рішення рівняння:

Приклад 1

2) Коріння дійсні та рівні. У цьому випадку загальне рішення рівняння:

приклад2

Виявились на цій сторінці, намагаючись вирішити завдання на іспиті чи заліку? Якщо так і не змогли скласти іспит - наступного разу домовтеся заздалегідь на сайті про Онлайн допомогу з вищої математики.

Характеристичне рівняння має вигляд:

Рішення характеристичного рівняння:

Загальне рішеннявихідного дифузування:

3) Коріння комплексне. У цьому випадку загальне рішення рівняння:

Приклад 3

Характеристичне рівняння має вигляд:

Розв'язання характеристичного рівняння:

Загальне рішення вихідного дифузування:

Неоднорідні диференціальні лінійні рівняння другого порядку

Розглянемо тепер рішення деяких типів лінійного не однорідного рівняннядругого порядку з постійними коефіцієнтами

де - постійні дійсні числа, - відома безперервна функція в інтервалі . Для знаходження загального рішення такого диференціального рівняння необхідно знати загальне рішення відповідного однорідного диференціального рівняння та приватне рішення. Розглянемо деякі випадки:

Приватне розв'язання диференціального рівняння шукаємо також у формі квадратного тричлена:

Якщо 0 – одноразовий корінь характеристичного рівняння, то

Якщо 0 – дворазовий корінь характеристичного рівняння, то

Аналогічна справа, якщо – багаточлен довільного ступеня

Приклад 4

Вирішимо відповідне однорідне рівняння.

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення однорідного рівняння:

Знайдемо приватне рішення неоднорідного дифузування:

Підставляючи знайдені похідні у вихідне дифузування, отримуємо:

Шукане приватне рішення:

Загальне рішення вихідного дифузування:

Приватне рішення шукаємо у вигляді де - невизначений коефіцієнт.

Підставляючи і вихідне диференціальне рівняння, отримаємо тотожність, звідки знаходимо коефіцієнт.

Якщо – корінь характеристичного рівняння, то окреме рішення вихідного диференціального рівняння шукаємо як , коли – одноразовий корінь, і , коли – двократний корінь.

Приклад 5

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення відповідного однорідного диференціального рівняння:

Знайдемо окреме рішення відповідного неоднорідного диференціального рівняння:

Загальне рішення дифузування:

У цьому випадку приватне рішення шукаємо у формі тригонометричного двочлена:

де і – невизначені коефіцієнти

Підставляючи і вихідне диференціальне рівняння, отримаємо тотожність, звідки знаходимо коефіцієнти.

Ці рівняння визначають коефіцієнти та крім випадку, коли (або коли – коріння характеристичного рівняння). У разі приватне рішення диференціального рівняння шукаємо як:

приклад6

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення відповідного однорідного дифузування:

Знайдемо приватне рішення неоднорідного дифузування

Підставляючи у вихідне дифузування, отримуємо:

Загальне рішення вихідного дифузування:

Збіжність числового ряду
Дано визначення збіжності ряду та докладно розглядаються задачі на дослідження збіжності числових рядів – ознаки порівняння, ознака збіжності Даламбера, ознака збіжності Коші та інтегральна ознака збіжності Коші⁡.

Абсолютна та умовна збіжність ряду
На сторінці розглянуті ряди, що знаходять черги, їх умовна і абсолютна збіжність, ознака збіжності Лейбниця для рядів, що чергуються - міститься коротка теоріяза темою та приклад розв'язання задачі.

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

Методичні вказівки

з вивчення теми «Лінійні диференціальні рівняння другого порядку» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НІСПО)

Гірки, 2013

Лінійні диференціальні рівняння

другого порядку з постійнимикоефіцієнтами

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду

тобто. рівняння, яке містить потрібну функцію та її похідні тільки в першому ступені і не містить їх творів. У цьому рівнянні і
- Деякі числа, а функція
задана на деякому інтервалі
.

Якщо
на інтервалі
, то рівняння (1) набуде вигляду

, (2)

і називається лінійним однорідним . Інакше рівняння (1) називається лінійним неоднорідним .

Розглянемо комплексну функцію

, (3)

де
і
- дійсні функції. Якщо функція (3) є комплексним рішенням рівняння (2), то і дійсна частина
, і уявна частина
рішення
окремо є рішеннями цього однорідного рівняння. Таким чином, всяке комплексне рішеннярівняння (2) породжує два дійсні рішення цього рівняння.

Рішення однорідного лінійного рівняння мають властивості:

Якщо є рішення рівняння (2), то й функція
, де З– довільна стала, також буде рішенням рівняння (2);

Якщо і є рішення рівняння (2), то й функція
також буде вирішенням рівняння (2);

Якщо і є рішення рівняння (2), то їхня лінійна комбінація
також буде рішенням рівняння (2), де і
- Довільні постійні.

Функції
і
називаються лінійно залежними на інтервалі
якщо існують такі числа і
, Не рівні нулю одночасно, що на цьому інтервалі виконується рівність

Якщо рівність (4) має місце лише тоді, коли
і
, то функції
і
називаються лінійно незалежними на інтервалі
.

Приклад 1 . Функції
і
лінійно залежні, оскільки
на всій числовій прямій. У цьому прикладі
.

Приклад 2 . Функції
і
лінійно незалежні на будь-якому інтервалі, тому що рівність
можливо лише у випадку, коли і
, і
.

Побудова загального рішення лінійного однорідного

рівняння

Для того, щоб знайти загальне рішення рівняння (2), потрібно знайти два його лінійно незалежні рішення і . Лінійна комбінація цих рішень
, де і
- Довільні постійні, і дасть загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

Лінійно незалежні рішення рівняння (2) шукатимемо у вигляді

, (5)

де - Деяке число. Тоді
,
. Підставимо ці вирази до рівняння (2):

або
.

Так як
, то
. Таким чином, функція
буде рішенням рівняння (2), якщо буде задовольняти рівняння

. (6)

Рівняння (6) називається характеристичним рівнянням для рівняння (2). Це рівняння є квадратним рівнянням алгебри.

Нехай і є коріння цього рівняння. Вони можуть бути або дійсними та різними, або комплексними, або дійсними та рівними. Розглянемо ці випадки.

Нехай коріння і характеристичного рівняння дійсні та різні. Тоді рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки рівність
може виконуватися лише тоді, коли і
, і
. Тому загальне рішення рівняння (2) має вигляд

,

де і
- Довільні постійні.

Приклад 3
.

Рішення . Характеристичним рівнянням для цього диференціального буде
. Вирішивши це квадратне рівняннязнайдемо його коріння
і
. Функції
і
є рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд
.

Комплексним числом називається вираз виду
, де і - дійсні числа, а
називається уявною одиницею. Якщо
, то число
називається чисто уявним. Якщо ж
, то число
ототожнюється з дійсним числом .

Число називається дійсною частиною комплексного числа, а - уявною частиною. Якщо два комплексні числа відрізняються один від одного тільки знаком уявної частини, то вони зазиваються сполученими:
,
.

Приклад 4 . Розв'язати квадратне рівняння
.

Рішення . Дискримінант рівняння
. Тоді. Аналогічно,
. Таким чином, дане квадратне рівняння має пов'язане комплексне коріння.

Нехай коріння характеристичного рівняння комплексне, тобто.
,
, де
. Рішення рівняння (2) можна записати у вигляді
,
або
,
. За формулами Ейлера

,
.

Тоді,. Як відомо, якщо комплексна функція є рішенням лінійного однорідного рівняння, рішеннями цього рівняння є і дійсна, і уявна частини цієї функції. Таким чином, рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Оскільки рівність

може виконуватися лише в тому випадку, якщо
і
, то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд

де і
- Довільні постійні.

Приклад 5 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Рівняння
є характеристичним для цього диференціального. Вирішимо його і отримаємо комплексне коріння
,
. Функції
і
є лінійно незалежними рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд.

Нехай коріння характеристичного рівняння дійсне і рівне, тобто.
. Тоді рішеннями рівняння (2) є функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки вираз може бути тотожно рівним нулю лише тоді, коли
і
. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Приклад 6 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Характеристичне рівняння
має рівне коріння
. У цьому випадку лінійно-незалежними рішеннями диференціального рівняння є функції
і
. Загальне рішення має вигляд
.

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

та спеціальною правою частиною

Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі загального рішення
відповідного однорідного рівняння та будь-якого приватного рішення
неоднорідного рівняння:
.

У деяких випадках окреме рішення неоднорідного рівняння можна знайти досить просто на вигляд правої частини
рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.

тобто. права частина неоднорідного рівняння є багаточленом ступеня m. Якщо
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді багаточлена ступеня m, тобто.

Коефіцієнти
визначаються у процесі перебування приватного рішення.

Якщо ж
є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді

Приклад 7 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Відповідним однорідним рівнянням для цього рівняння є
. Його характеристичне рівняння
має коріння
і
. Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд
.

Так як
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді функції
. Знайдемо похідні цієї функції
,
і підставимо їх на дане рівняння:

або . Прирівняємо коефіцієнти при та вільні члени:
Вирішивши цю систему, отримаємо
,
. Тоді окреме рішення неоднорідного рівняння має вигляд
, а загальним рішенням даного неоднорідного рівняння буде сума загального рішення відповідного однорідного рівняння та окремого рішення неоднорідного:
.

Нехай неоднорідне рівняння має вигляд

Якщо
не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді. Якщо ж
є корінь характеристичного рівняння кратності k (k=1 або k=2), то цьому випадку приватне рішення неоднорідного рівняння матиме вид .

Приклад 8 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Характеристичне рівняння для відповідного однорідного рівняння має вигляд
. Його коріння
,
. І тут загальне рішення відповідного однорідного рівняння записується як
.

Так як число 3 не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді
. Знайдемо похідні першого та другого порядків:,

Підставимо в диференціальне рівняння:
+ +,
+,.

Прирівняємо коефіцієнти при та вільні члени:

Звідси
,
. Тоді окреме рішення даного рівняння має вигляд
, а загальне рішення

.

Метод Лагранжа варіації довільних постійних

p align="justify"> Метод варіації довільних постійних можна застосовувати до будь-якого неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами незалежно від виду правої частини. Цей метод дозволяє завжди знайти загальне рішення неоднорідного рівняння, якщо відомо загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Нехай
і
є лінійно незалежними рішеннями рівняння (2). Тоді загальним рішенням цього рівняння є
, де і
- Довільні постійні. Суть методу варіації довільних постійних у тому, що загальне рішення рівняння (1) шукається як

де
і
- нові невідомі функції, які потрібно знайти. Оскільки невідомих функцій дві, то їх знаходження необхідні два рівняння, містять ці функції. Ці два рівняння складають систему

яка є лінійною алгебраїчною системою рівнянь щодо
і
. Вирішуючи цю систему, знайдемо
і
. Інтегруючи обидві частини отриманих рівностей, знайдемо

і
.

Підставивши ці вирази (9), отримаємо загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (1).

Приклад 9 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення. Характеристичним рівнянням для однорідного рівняння, що відповідає даному диференціальному рівнянню, є
. Коріння його комплексне
,
. Так як
і
, то
,
, А загальне рішення однорідного рівняння має вигляд. Тоді загальне рішення даного неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді, де
і
- Невідомі функції.

Система рівнянь для знаходження цих невідомих функцій має вигляд

Вирішивши цю систему, знайдемо
,
. Тоді

,
. Підставимо отримані вирази у формулу загального рішення:

Це і є загальне рішення даного диференціального рівняння, отримане методом Лагранжа.

Запитання для самоконтролю знань

Яке диференціальне рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами?

Яке лінійне диференціальне рівняння називається однорідним, яке - неоднорідним?

Якими властивостями має лінійне однорідне рівняння?

Яке рівняння називається характерним для лінійного диференціального рівняння і як воно виходить?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі різних коренів характеристичного рівняння?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі рівних коренівхарактеристичного рівняння?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі комплексного коріння характеристичного рівняння?

Як записується загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння?

У якому вигляді шукається приватне рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо коріння характеристичного рівняння різне і не дорівнює нулю, а права частина рівняння є багаточлен ступеня m?

У якому вигляді шукається окреме рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо серед коренів характеристичного рівняння є один нуль, а права частина рівняння є багаточлен ступеня m?

У чому полягає суть методу Лагранжа?

Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків.
Лінійні ДК другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Приклади розв'язків.

Переходимо до розгляду диференціальних рівняньдругого порядку та диференціальних рівнянь вищих порядків. Якщо Ви погано уявляєте, що таке диференціальне рівняння (або взагалі не розумієте, що це таке), то рекомендую почати з уроку Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. Багато принципів вирішення та базові поняття дифурів першого порядку автоматично поширюються і на диференціальні рівняння вищих порядків, тому дуже важливо спочатку розібратися з рівняннями першого порядку.

Багато читачів може бути упередження, що ДУ 2-го, 3-го та інших. порядків – щось дуже важке і недоступне освоєння. Це не так . Навчитися вирішувати дифури вищого порядкунавряд складніше, ніж «звичайні» ДУ 1-го порядку. А місцями навіть простіше, оскільки в рішеннях активно використовується матеріал шкільної програми.

Найбільш популярні диференціальні рівняння другого порядку. У диференціальне рівняння другого порядку обов'язкововходить друга похідна та не входять

Слід зазначити, що деякі з малюків (і навіть усі відразу) можуть бути відсутніми в рівнянні, важливо, щоб удома був батько. Найпримітивніше диференціальне рівняння другого порядку виглядає так:

Диференціальні рівняння третього порядку в практичних завданнях зустрічаються значно рідше, за моїми суб'єктивними спостереженнями Державну Думувони набрали б приблизно 3-4% голосів.

У диференціальне рівняння третього порядку обов'язкововходить третя похідна та не входятьпохідні вищих порядків:

Найпростіше диференціальне рівняння третього порядку виглядає так: - тато вдома, всі діти на прогулянці.

Аналогічним чином можна визначити диференціальні рівняння 4-го, 5-го та більш високих порядків. У практичні завданнятакі ДУ проскакують вкрай рідко, проте я постараюся навести відповідні приклади.

Диференціальні рівняння вищих порядків, які пропонуються у практичних завданнях, можна поділити на дві основні групи.

1) Перша група – так звані рівняння, що допускають зниження порядку. Налітайте!

2) Друга група – лінійні рівняння вищих порядків із постійними коефіцієнтами. Які ми почнемо розглядати зараз.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

У теорії та практиці розрізняють два типи таких рівнянь – однорідне рівнянняі неоднорідне рівняння.

Однорідне ДК другого порядку з постійними коефіцієнтамимає такий вигляд:
, де і – константи (числа), а правій частині – суворонуль.

Як бачите, особливих труднощів із однорідними рівняннями немає, головне, правильно розв'язати квадратне рівняння.

Іноді зустрічаються нестандартні однорідні рівняння, наприклад, рівняння у вигляді , де за другий похідної є деяка константа , відмінна від одиниці (і, природно, відмінна від нуля). Алгоритм рішення нітрохи не змінюється, слід незворушно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Якщо характеристичне рівняння матиме два різні дійсні корені, наприклад: , то загальне рішення запишеться за звичайною схемою: .

У ряді випадків через помилки в умові можуть вийти «нехороші» коріння, щось на зразок . Що робити, відповідь доведеться записати так:

З «поганим» пов'язаним комплексним корінням на кшталт теж жодних проблем, загальне рішення:

Тобто, загальне рішення у будь-якому випадку існує. Тому що будь-яке квадратне рівняння має два корені.

У заключному параграфі, як і обіцяв, коротко розглянемо:

Лінійні однорідні рівняння вищих порядків

Все дуже схоже.

Лінійне однорідне рівняння третього порядку має такий вигляд:
де - Константи.
Для цього рівняння теж потрібно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Характеристичне рівняння, як багато хто здогадався, виглядає так:
, і воно в будь-якому випадкумає рівно трикореня.

Нехай, наприклад, все коріння дійсне і різне: , Тоді загальне рішення запишеться так:

Якщо один корінь дійсний, а два інших – пов'язані комплексні, то загальне рішення записуємо так:

Особливий випадок, коли всі три корені кратні (однакові). Розглянемо найпростіші однорідне ДК 3-го порядку з самотнім татком: . Характеристичне рівняння має три нульових кореня , що збіглися . Загальне рішення записуємо так:

Якщо характеристичне рівняння має, наприклад, три кратні корені, то загальне рішення, відповідно, таке:

Приклад 9

Розв'язати однорідне диференціальне рівняння третього порядку

Рішення:Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:

, - Отримано один дійсний корінь і два сполучених комплексних кореня.

Відповідь:загальне рішення

Аналогічно можна розглянути лінійне однорідне рівняння четвертого порядку з постійними коефіцієнтами: де - Константи.

Основи вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку (ЛНДУ-2) із постійними коефіцієнтами (ПК)

ЛНДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами $p$ і $q$ має вигляд $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, де $f\left(x \right)$ - безперервна функція.

Щодо ЛНДУ 2-го з ПК справедливі два наступні твердження.

Припустимо, деяка функція $U$ є довільним приватним рішенням неоднорідного диференціального рівняння. Припустимо також, що деяка функція $Y$ є загальним рішенням (ОР) відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тоді ОР ЛНДУ-2 дорівнює сумі зазначених приватного та загального рішень, тобто $ y = U + Y $.

Якщо права частина ЛНДУ 2-го порядку є сумою функцій, тобто $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, то спочатку можна знайти ЧР $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, які відповідають кожній з функцій $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, а вже після цього записати ЧР ЛНДУ-2 у вигляді $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Рішення ЛНДУ 2-го порядку з ПК

Очевидно, що вид того чи іншого ЧР $U$ даного ЛНДУ-2 залежить від конкретного виду його правої частини $f \ left (x \ right) $. Найпростіші випадки пошуку ЧР ЛНДУ-2 сформульовані у вигляді наступних чотирьох правил.

Правило №1.

Права частинаЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тобто називається многочленом ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, де $Q_(n) \left(x\right)$ - інший багаточлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних нулю. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом невизначених коефіцієнтів (НК).

Правило №2.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left( x\right)$ є багаточлен ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, де $Q_(n) \ left(x\right)$ - інший многочлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $\alpha$. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Правило №3.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) $, де $a$, $b$ та $\beta$ - відомі числа. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right )\cdot x^(r) $, де $A$ і $B$ - невідомі коефіцієнти, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $i\cdot \beta$. Коефіцієнти $A$ та $B$ знаходять методом ПК.

Правило №4.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, де $P_(n) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $ n$, а $P_(m) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $m$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, де $Q_(s) \left(x\right)$ і $ R_(s) \left(x\right)$ - багаточлени ступеня $s$, число $s$ - максимальне з двох чисел $n$ і $m$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $ \ alpha + i \ cdot \ beta $. Коефіцієнти багаточленів $Q_(s) \left(x\right)$ і $R_(s) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Метод ПК полягає у застосуванні наступного правила. Для того, щоб знайти невідомі коефіцієнти багаточлена, які входять до складу приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння ЛНДУ-2, необхідно:

• підставити ЧР $U$, записане в загальному вигляді, у ліву частину ЛНДУ-2;
• у лівій частині ЛНДУ-2 виконати спрощення та згрупувати члени з однаковими ступенями $x$;
• в отриманому тотожності прирівняти коефіцієнти при членах з однаковими ступенями $x$ лівої та правої частин;
• вирішити отриману систему лінійних рівняньщодо невідомих коефіцієнтів.

Приклад 1

Завдання: знайти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Знайти також ЧР , задовольняє початковим умовам $y=6$ при $x=0$ і $y"=1$ при $x=0$.

Записуємо відповідне ЛОДУ-2: $y""-3cdot y"-18cdot y=0$.

Характеристичне рівняння: $ k ^ (2) -3 cdot k-18 = 0 $. Коріння характеристичного рівняння: $ k_(1) = -3 $, $ k_ (2) = 6 $. Це коріння дійсне і різне. Таким чином, ОР відповідного ЛОДУ-2 має вигляд: $ Y = C_ (1) \ cdot e ^ (-3 \ cdot x) + C_ (2) \ cdot e ^ (6 \ cdot x) $.

Права частина даного ЛНДУ-2 має вигляд $ \ left (36 \ cdot x + 12 \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $. У ній необхідно розглядати коефіцієнт показника ступеня експоненти $ alpha = 3 $. Цей коефіцієнт не збігається з жодним з коренів характеристичного рівняння. Тому ЧР даного ЛНДУ-2 має вигляд $ U = \ left (A \ cdot x + B \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Шукатимемо коефіцієнти $A$, $B$ методом ПК.

Знаходимо першу похідну ЧР:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Знаходимо другу похідну ЧР:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot Acdot e^(3cdot x) + left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)cdot 3cdot e^(3cdot x) =\left(6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot Bright)cdot e^(3cdot x) .$

Підставляємо функції $U""$, $U"$ і $U$ замість $y""$, $y"$ і $y$ в дане ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ При цьому, оскільки експонента $e^(3\cdot x) $ входить як множник у всі складові, то її можна опустити.

$6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot B-3cdot \left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)-18cdot \left(A\) cdot x+Bright)=36cdot x+12.$

Виконуємо дії у лівій частині отриманої рівності:

$-18cdot Acdot x+3cdot A-18cdot B=36cdot x+12.$

Застосовуємо метод ПК. Отримуємо систему лінійних рівнянь із двома невідомими:

$-18 \ cdot A = 36; $

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Рішення цієї системи таке: $A=-2$, $B=-1$.

ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ для нашої задачі виглядає наступним чином: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

ОР $y=Y+U$ для нашого завдання виглядає наступним чином: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) +\ left(-2cdot x-1right)cdot e^(3cdot x) $.

З метою пошуку ЧР, що задовольняє заданим початковим умовам, знаходимо похідну $y"$ ОР:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Підставляємо в $y$ і $y"$ початкові умови $y=6$ за $x=0$ і $y"=1$ за $x=0$:

$ 6 = C_ (1) + C_ (2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Отримали систему рівнянь:

$ C_ (1) + C_ (2) = 7;

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Вирішуємо її. Знаходимо $C_(1) $ за формулою Крамера, а $C_(2) $ визначаємо з першого рівняння:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Таким чином, ЧР даного диференціального рівняння має вигляд: $y=4cdot e^(-3cdot x) +3cdot e^(6cdot x) +left(-2cdot x-1right ) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Тут ми застосуємо метод варіації постійних Лагранж для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Докладний описцього методу для вирішення рівнянь довільного порядку викладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>.

Приклад 1

Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа:
(1)

Рішення

Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)

Це рівняння другого порядку.

Вирішуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: . Фундаментальна системарішень рівняння (2) має вигляд:
(3) .
Звідси одержуємо загальне рішення однорідного рівняння (2):
(4) .

Варіювати постійні C 1 та C 2 . Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(5) .

Знаходимо похідну:
.
Зв'яжемо функції та рівнянням:
(6) .
Тоді
.

Знаходимо другу похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;



.
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:
(7) .
Тут.

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :
(6) :
(7) .

Розв'язання системи рівнянь

Вирішуємо систему рівнянь (6-7). Випишемо вирази для функцій і:
.
Знаходимо їх похідні:
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

Отже, ми знайшли похідні функції:
;
.
Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку
; ; ; .

.
.

;
.

Відповідь

Приклад 2

Вирішити диференціальне рівняння методом варіації постійних Лагранжа:
(8)

Рішення

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:

(9)
Шукаємо рішення у вигляді. Складаємо характеристичне рівняння:

Це рівняння має комплексне коріння:
.
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(10) .
Загальне рішення однорідного рівняння (9):
(11) .

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

Тепер варіюємо постійні C 1 та C 2 . Тобто замінимо на (11) постійні на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді:
(12) .

Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо до наступної системи рівнянь для визначення функцій і :
(13) :
(14) .
Тут.

Розв'язання системи рівнянь

Вирішуємо цю систему. Випишемо вирази функцій і:
.
З таблиці похідних знаходимо:
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

.
Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на :
.
Тоді
.

Загальне рішення вихідного рівняння:


.