СИСТЕМА ОДНОРОДНИХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Системою однорідних лінійних рівняньназивається система виду

Зрозуміло, що в цьому випадку , т.к. всі елементи одного зі стовпців у цих визначниках дорівнюють нулю.

Оскільки невідомі перебувають за формулами , то у разі, коли Δ ≠ 0, система має єдине нульове рішення x = y = z= 0. Проте, у багатьох завданнях цікаве питання, чи має однорідна система рішення відмінні від нульового.

Теорема.Для того, щоб система лінійних однорідних рівняньмала ненульове рішення, необхідно та достатньо, щоб Δ ≠ 0.

Отже, якщо визначник Δ ≠ 0, то система має єдине рішення. Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.

приклади.

ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ

Нехай задана квадратна матриця , X- Деяка матриця-стовпець, висота якої збігається з порядком матриці A. .

У багатьох завданнях доводиться розглядати рівняння щодо X

де λ – деяке число. Зрозуміло, що з будь-яким λ це рівняння має нульове рішення .

Число λ, за якого це рівняння має ненульові рішення, називається власним значеннямматриці A, а Xпри такому λ називається власним векторомматриці A.

Знайдемо власний вектор матриці A. Оскільки E∙X = X, то матричне рівняння можна переписати у вигляді або . У розгорнутому вигляді це рівняння можна переписати як системи лінійних рівнянь. Дійсно .

І, отже,

Отже, отримали систему однорідних лінійних рівнянь визначення координат x 1, x 2, x 3вектора X. Щоб система мала ненульові рішення необхідно достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю, тобто.

Це рівняння 3-го ступеня щодо λ. Воно називається характеристичним рівняннямматриці Aі служить визначення власних значень λ.

Кожному власному значенню відповідає власний вектор Xкоординати якого визначаються із системи при відповідному значенні λ.

приклади.

Векторні Алгебри. ПОНЯТТЯ ВЕКТРОРА

При вивченні різних розділів фізики зустрічаються величини, що повністю визначаються завданням їх чисельних значень, наприклад, довжина, площа, маса, температура тощо. Такі величини називаються скалярними. Однак, крім них зустрічаються і величини, для визначення яких, крім чисельного значення, необхідно знати також їх напрямок у просторі, наприклад, сила, що діє на тіло, швидкість та прискорення тіла при його русі у просторі, напруженість магнітного поляу цій точці простору тощо. Такі величини називають векторними.

Введемо суворе визначення.

Спрямованим відрізкомназвемо відрізок, щодо кінців якого відомо, який із них перший, а який другий.

Векторназивається спрямований відрізок, має певну довжину, тобто. це відрізок певної довжини, у якого одна з точок, що обмежують його, приймається за початок, а друга - за кінець. Якщо A- Початок вектора, B– його кінець, вектор позначається символом, крім того, вектор часто позначається однією літерою . На малюнку вектор позначається відрізком, яке напрямок стрілкою.

Модулемабо довжиноювектора називають довжину визначального його спрямованого відрізка. позначається | чи ||.

До векторів відноситимемо і так званий нульовий вектор, у якого початок і кінець збігаються. Він позначається. Нульовий вектор немає певного напрями і модуль його дорівнює нулю ||=0.

Вектори і називаються колінеарнимиякщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. При цьому якщо вектори і однаково спрямовані, писатимемо, протилежно.

Вектори, розташовані на прямих, паралельних одній площині, називаються компланарними.

Два вектори і називаються рівнимиякщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині. У цьому випадку пишуть.

З визначення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собі, поміщаючи його початок будь-яку точку простору.

Наприклад.

ЛІНІЙНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Умноження вектора на число.

   Добутком вектора на число λ називається новий вектортакий, що:

   Добуток вектора на число λ позначається.

   

   Наприклад,є вектор, спрямований у той самий бік, як і вектор , і має довжину, удвічі меншу, ніж вектор .

   Введена операція має наступні властивостями:

2. Складання векторів.

   Нехай і – два довільні вектори. Візьмемо довільну точку Oі побудуємо вектор. Після цього з точки Aвідкладемо вектор. Вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, називається сумоюцих векторів і позначається .

   

   Сформульоване визначення складання векторів називають правилом паралелограма, так як ту саму суму векторів можна отримати в такий спосіб. Відкладемо від крапки Oвектори та . Збудуємо на цих векторах паралелограм ОАВС. Оскільки вектори , то вектор , що є діагоналлю паралелограма, проведеної з вершини O, буде очевидно сумою векторів.

   

   Легко перевірити наступні властивості складання векторів.

3. Різниця векторів.

   Вектор, колінеарний даному вектору, рівний йому за довжиною і протилежно спрямований, називається протилежнимвектор для вектора і позначається . Протилежний вектор можна як результат множення вектора на число λ = –1: .

Власні значення (числа) та власні вектори.
Приклади рішень

Будь собою

З обох рівнянь випливає, що .

Припустимо, тоді: .

В результаті: - Другий власний вектор.

Повторимо важливі моменти розв'язання:

- Отримана система неодмінно має спільне рішення(Рівняння лінійно залежні);

- «Ігрек» підбираємо таким чином, щоб він був цілим і перша «іксова» координата - цілою, позитивною і якнайменше.

– перевіряємо, що окреме рішення задовольняє кожному рівнянню системи.

Відповідь .

Проміжних «контрольних точок» було цілком достатньо, тому перевірка рівностей у принципі справа зайва.

У різних джерелах інформації координати власних векторів часто записують над стовпці, а рядки, наприклад: (і, якщо чесно, я сам звик записувати їх рядками). Такий варіант прийнятний, але у світлі теми лінійних перетвореньтехнічно зручніше використовувати вектори-стовпці.

Можливо, рішення здалося вам дуже довгим, але це тільки тому, що я докладно прокоментував перший приклад.

Приклад 2

Матриці

Тренуємося самостійно! Зразок чистового оформлення завдання наприкінці уроку.

Іноді потрібно виконати додаткове завдання, а саме:

записати канонічне розкладання матриці

Що це таке?

Якщо власні вектори матриці утворюють базис, то вона уявна у вигляді:

Де – матриця складена з координат власних векторів, – діагональнаматриця з відповідними власними числами.

Таке розкладання матриці називають канонічнимабо діагональним.

Розглянемо матрицю першого прикладу. Її власні вектори лінійно незалежні(Неколлінеарні) і утворюють базис. Складемо матрицю з їх координат:

на головної діагоналіматриці у відповідному порядкурозташовуються власні числа, інші елементи дорівнюють нулю:
– ще раз наголошую на важливості порядку: «двійка» відповідає 1-му вектору і тому розташовується в 1-му стовпці, «трійка» – 2-му вектору.

За звичайним алгоритмом знаходження зворотної матриціабо методом Гауса-Жорданазнаходимо . Ні, це не друкарська помилка! - Перед вами рідкісне, як сонячне затемненняподія, коли зворотна збіглася з вихідною матрицею.

Залишилося записати канонічне розкладання матриці:

Систему можна вирішити за допомогою елементарних перетвореньі в наступних прикладах ми вдамося до даним методом. Але тут набагато швидше спрацьовує «шкільний» спосіб. З 3-го рівняння виразимо: - Підставимо в друге рівняння:

Оскільки перша координата нульова, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає, що .

І знову зверніть увагу на обов'язкову наявність лінійної залежності. Якщо виходить лише тривіальне рішення , або неправильно знайдено власне число, або з помилкою складена / вирішена система.

Компактні координати дає значення

Власний вектор:

І ще раз – перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи. У наступних пунктах та в наступних завданнях рекомендую прийняти це побажання за обов'язкове правило.

2) Для власного значення за таким же принципом отримуємо таку систему:

З 2-го рівняння системи виразимо: - Підставимо в третє рівняння:

Оскільки «зетова» координата дорівнює нулю, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає лінійна залежність .

Нехай

Перевіряємо, що рішення задовольняє кожному рівняння системи.

Отже, власний вектор: .

3) І, нарешті, власному значенню відповідає система:

Друге рівняння виглядає найпростішим, тому з нього висловимо і підставимо в 1-е та 3-е рівняння:

Все добре - виявилася лінійна залежність, яку підставляємо у вираз:

Через війну «ікс» і «игрек» виявилися виражені через «зет»: . На практиці не обов'язково домагатися саме таких взаємозв'язків, у деяких випадках зручніше висловити і через або через. Або навіть «паровозиком» – наприклад, «ікс» через «гравець», а «гравець» через «зет»

Припустимо, тоді:

Перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи та записуємо третій власний вектор

Відповідь: власні вектори:

Геометрично ці вектори задають три різні просторові напрямки. ("туди назад"), за котрими лінійне перетворенняпереводить ненульові вектори (власні вектори) в колінеарні вектори.

Якби за умовою потрібно було знайти канонічне розкладання , то це можливо, т.к. різним своїм числам відповідають різні лінійно незалежні власні вектори. Складаємо матрицю з їх координат, діагональну матрицю з відповіднихвласних значень та знаходимо зворотну матрицю .

Якщо ж за умовою потрібно записати матрицю лінійного перетворення в базисі із власних векторів, То відповідь даємо у вигляді . Різниця є, і різниця суттєва!Бо ця матриця – є матриця «де».

Завдання з більш простими обчисленнями для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею

При знаходженні своїх чисел постарайтеся не доводити справу до многочлена третього ступеня. Крім того, ваші рішення систем можуть відрізнятись від моїх рішень – тут немає однозначності; та вектори, які ви знайдете, можуть відрізнятись від векторів зразка з точністю до пропорційності їх відповідних координат. Наприклад, і . Естетичніше уявити відповідь у вигляді , але нічого страшного, якщо зупиніться і на другому варіанті. Однак усьому є розумні межі, версія виглядає вже не дуже добре.

Зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Як вирішувати завдання у разі кратних власних чисел?

Загальний алгоритм залишається незмінним, але тут є свої особливості, і деякі ділянки рішення доцільно витримати в більш строгому академічному стилі:

Приклад 6

Знайти власні числа та власні вектори

Рішення

Звичайно ж, оприбуткуємо казковий перший стовпець:

І, після розкладання квадратного тричлена на множники:

В результаті отримані власні числа, два з яких є кратними.

Знайдемо власні вектори:

1) З одиноким солдатом розробимося за «спрощеною» схемою:

З останніх двох рівнянь чітко проглядається рівність, яку, очевидно, слід підставити в 1-е рівняння системи:

Кращої комбінації не знайти:
Власний вектор:

2-3) Тепер знімаємо пару вартових. В даному випадку може вийти або два, або одинВласний вектор. Незважаючи на кратність коренів, підставимо значення в визначник , який приносить нам наступну однорідну систему лінійних рівнянь:

Власні вектори – це точно вектори
фундаментальної системи рішень

Власне, протягом усього уроку ми тільки й займалися тим, що знаходили вектори фундаментальної системи. Просто до певного часу цей термін особливо не був потрібний. До речі, ті спритні студенти, які у маскхалатах проскочили тему однорідних рівнянь, будуть змушені вкурити її зараз.

Єдина дія полягала у видаленні зайвих рядків. В результаті отримана матриця "один на три" з формальною "сходинкою" посередині.
- Базова змінна, - вільні змінні. Вільних змінних дві, отже, векторів фундаментальної системи теж два.

Висловимо базову змінну через вільні змінні: . Нульовий множник перед «іксом» дозволяє приймати йому будь-які значення (що добре видно і з системи рівнянь).

У контексті цього завдання загальне рішення зручніше записати не в рядок, а в стовпець:

Парі відповідає власний вектор:
Парі відповідає власний вектор:

Примітка : досвідчені читачі можуть підібрати дані вектори та усно – просто аналізуючи систему , але тут потрібні деякі знання: змінних - три, ранг матриці системи– одиниця, отже, фундаментальна система рішеньскладається із 3 – 1 = 2 векторів. Втім, знайдені вектори чудово проглядаються і без цих знань на інтуїтивному рівні. У цьому навіть «красивее» запишеться третій вектор: . Однак застерігаю, в іншому прикладі простого підбору може і не виявитися, саме тому застереження призначене для досвідчених людей. Крім того, а чому б не взяти як третій вектор, скажімо, ? Адже його координати теж задовольняють кожному рівняння системи і вектори. лінійно незалежні. Такий варіант, в принципі, придатний, але «кривуватий», оскільки «інший» вектор є лінійною комбінацією векторів фундаментальної системи.

Відповідь: власні числа: , власні вектори:

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти власні числа та власні вектори

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що й у 6-му та 7-му прикладі виходить трійка лінійно незалежних власних векторів, і тому вихідна матриця представима в канонічному розкладанні . Але така малина буває далеко не у всіх випадках:

Приклад 8

Рішення: складемо і розв'яжемо характеристичне рівняння:

Визначник розкриємо по першому стовпцю:

Подальші спрощення проводимо згідно з розглянутою методикою, уникаючи багаточлена 3-го ступеня:

- Власні значення.

Знайдемо власні вектори:

1) З коренем труднощів немає:

Не дивуйтесь, крім комплекту в ході також змінні - різниці тут ніякої.

З 3-го рівняння виразимо - підставимо в 1-е та 2-е рівняння:

З обох рівнянь випливає:

Нехай тоді:

2-3) Для кратних значень отримуємо систему .

Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Найбільш просто влаштовані матриці діагонального вигляду. Виникає питання, чи не можна знайти базис, у якому матриця лінійного оператора мала б діагональний вигляд. Такий базис існує.
Нехай дано лінійний простір R n і лінійний оператор A, що діє в ньому; у цьому випадку оператор A переводить R n у себе, тобто A: R n → R n .

Визначення. Ненульовий вектор називається власним вектором оператора A якщо оператор A переводить в колінеарний йому вектор, тобто . Число λ називається власним значенням або власним числом оператора A, що відповідає власному вектору.
Зазначимо деякі властивості власних чисел та власних векторів.
1. Будь-яка лінійна комбінація власних векторів оператора A, відповідальних одному й тому власному числу λ, є власним вектором з тим самим власним числом.
2. Власні вектори оператора A з попарно різними власними числами λ 1 , λ 2 , …, λ m лінійно незалежні.
3. Якщо власні числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то власному числу λ відповідає не більше m лінійно незалежних власних векторів.

Отже, якщо є n лінійно незалежних власних векторів , відповідних різним власним числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , всі вони лінійно незалежні, отже, їх можна вважати базис простору R n . Знайдемо вид матриці лінійного оператора A у базисі з його власних векторів, для чого подіємо оператором A на базисні вектори: тоді .
Таким чином, матриця лінійного оператора A в базисі його власних векторів має діагональний вигляд, причому по діагоналі стоять власні числа оператора A.
Чи існує інший базис, у якому матриця має діагональний вигляд? Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема. Матриця лінійного оператора A у базисі (i = 1..n) має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли всі вектори базису - власні вектори оператора A.

Правило відшукання власних чисел та власних векторів

Нехай дано вектор , де x 1 x 2 … x n - координати вектора щодо базису і - власний вектор лінійного оператора A, що відповідає власному числу , тобто . Це співвідношення можна записати у матричній формі

. (*)

Рівняння (*) можна як рівняння для відшукання , причому , тобто нас цікавлять нетривіальні рішення, оскільки власний вектор може бути нульовим. Відомо, що нетривіальні рішення однорідної системи лінійних рівнянь існують тоді і тільки тоді, коли det(A - λE) = 0. Таким чином, для того, щоб λ було власним числом оператора A необхідно і достатньо, щоб det(A - λE) = 0.
Якщо рівняння (*) докладно розписати в координатній формі, то отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь:

(1)
де - матриця лінійного оператора.

Система (1) має ненульове рішення, якщо її визначник D дорівнює нулю

Здобули рівняння для знаходження власних чисел.
Це рівняння називається характеристичним рівнянням, яке ліва частина - характеристичним многочленом матриці (оператора) A. Якщо характеристичний многочлен немає речових коренів, то матриця A немає власних векторів і її не можна призвести до діагональному виду.
Нехай λ 1 , λ 2 , …, λ n - речові корені характеристичного рівняння, причому серед них можуть бути і кратні. Підставляючи по черзі ці значення систему (1), знаходимо власні вектори.

приклад 12. Лінійний оператор A діє в R 3 згідно із законом , де x 1 , x 2 , .., x n - координати вектора в базисі , , . Знайти власні числа та власні вектори цього оператора.
Рішення. Будуємо матрицю цього оператора:
.
Складаємо систему визначення координат власних векторів:

Складаємо характеристичне рівняння та вирішуємо його:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Підставляючи λ = -1 у систему, маємо:
або
Так як , то залежних змінних два, а вільне одне.
Нехай x 1 - вільне невідоме, тоді Вирішуємо цю систему будь-яким способом і знаходимо загальне рішення цієї системи: Фундаментальна системарішень складається з одного рішення, оскільки n – r = 3 – 2 = 1.
Безліч власних векторів, що відповідають своєму числу λ = -1, має вигляд: , де x 1 - будь-яке число, відмінне від нуля. Виберемо з цієї множини один вектор, наприклад, поклавши x 1 = 1: .
Розмірковуючи аналогічно, знаходимо власний вектор, що відповідає власному числу = 3: .
У просторі R 3 базис складається з трьох лінійно незалежних векторів, ми отримали тільки два лінійно незалежних власних вектора, з яких базис в R 3 скласти не можна. Отже, матрицю A лінійного оператора призвести до діагонального вигляду не можемо.

приклад 13. Дано матрицю .
1. Довести, що вектор є власним вектором матриці A. Знайти власне число, що відповідає цьому власному вектору.
2. Знайти базис, у якому матриця A має діагональний вигляд.
Рішення.
1. Якщо , то - власний вектор

.
Вектор (1, 8, -1) – власний вектор. Власне число = -1.
Діагональний вигляд матриця має в базисі, що складається зі своїх векторів. Один із них відомий. Знайдемо решту.
Власні вектори шукаємо із системи:

Характеристичне рівняння: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Знайдемо власний вектор, що відповідає власному числу = -3:

Ранг матриці цієї системи дорівнює двом і дорівнює числу невідомих, тому ця система має тільки нульове рішення x 1 = x 3 = 0. x 2 тут може бути будь-яким, відмінним від нуля, наприклад, x 2 = 1. Таким чином, вектор (0 ,1,0) є власним вектором, що відповідає λ = -3. Перевіримо:
.
Якщо λ = 1, то одержуємо систему
Ранг матриці дорівнює двом. Останнє рівняння викреслюємо.
Нехай x 3 – вільне невідоме. Тоді x 1 = -3 x 3, 4 x 2 = 10 x 1 - 6 x 3 = -30 x 3 - 6 x 3, x 2 = -9 x 3.
Вважаючи x 3 = 1, маємо (-3,-9,1) - власний вектор, що відповідає власному числу λ = 1. Перевірка:

.
Так як власні числа дійсні і різні, то вектори, що їм відповідають, лінійно незалежні, тому їх можна прийняти за базис R 3 . Таким чином, у базисі , , матриця A має вигляд:
.
Не всяку матрицю лінійного оператора A:R n → R n можна призвести до діагонального вигляду, оскільки для деяких лінійних операторів лінійно незалежних власних векторів може бути менше n. Однак, якщо матриця симетрична, кореню характеристичного рівняння кратності m відповідає рівно m лінійно незалежних векторів.

Визначення. Симетричною матрицею називається квадратна матриця, в якій елементи, симетричні щодо головної діагоналі, дорівнюють, тобто в якій .
Зауваження. 1. Усі власні числа симетричної матриці речові.
2. Власні вектори симетричної матриці, що відповідають попарно різним власним числам, ортогональні.
Як один з численних додатків вивченого апарату, розглянемо завдання визначення виду кривої другого порядку.

У першій частині викладені положення, мінімально необхідні для розуміння хемометрики, а в другій частині - факти, які необхідно знати для глибшого розуміння методів багатовимірного аналізу. Виклад ілюструється прикладами, виконаними в робочій книзі Excel Matrix.xls, що супроводжує цей документ.

Посилання на приклади розміщені в тексті як об'єкти Excel. Ці приклади мають абстрактний характер, вони не прив'язані до завдань аналітичної хімії. Реальні приклади використання матричної алгебри в хемометриці розглянуті в інших текстах, присвячених різноманітним хемометричним додаткам.

Більшість вимірів, які проводяться в аналітичній хімії, є не прямими, а непрямими. Це означає, що в експерименті замість значення шуканого аналіту C (концентрації) виходить інша величина x(Сигнал), пов'язана, але не рівна C, тобто. x(C) ≠ С. Як правило, вид залежності x(C) не відомий, однак, на щастя, в аналітичній хімії більшість вимірів пропорційні. Це означає, що при збільшенні концентрації С aраз, сигнал X збільшиться стільки ж., тобто. x(a C) = a x(C). Крім того, сигнали ще й адитивні, так що сигнал від проби, в якій присутні дві речовини з концентраціями C 1 і C 2 буде дорівнює сумісигналів кожного компонента, тобто. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2). Пропорційність та адитивність разом дають лінійність. Можна навести багато прикладів, що ілюструють принцип лінійності, але досить згадати два самих яскравих прикладів- хроматографію та спектроскопію. Друга особливість, властива експерименту в аналітичній хімії – це багатоканальність. Сучасне аналітичне обладнання одночасно вимірює сигнали багатьох каналів. Наприклад, вимірюється інтенсивність пропускання світла одночасно кількох довжин хвиль, тобто. Спектр. Тому в експерименті ми маємо справу з безліччю сигналів x 1 , x 2 ,...., x n , що характеризують набір концентрацій C 1 ,C 2 , ..., C m речовин, присутніх в системі, що вивчається.

Рис. 1 Спектри

Отже, аналітичний експеримент характеризується лінійністю та багатовимірністю. Тому зручно розглядати експериментальні дані як вектори та матриці та маніпулювати з ними, використовуючи апарат матричної алгебри. Плідність такого підходу ілюструє приклад, показаний на де представлені три спектри, зняті для 200 довжин хвиль від 4000 до 4796 cm -1 . Перший ( x 1) та другий ( x 2) спектри отримані для стандартних зразків, у яких концентрація двох речовин A і B відомі: у першому зразку [A] = 0.5, [B] = 0.1, а в другому зразку [A] = 0.2, [B] = 0.6. Що можна сказати про новий, невідомий зразок, спектр якого позначений x 3 ?

Розглянемо три експериментальні спектри x 1 , x 2 та x 3 як три вектори розмірності 200. Засобами лінійної алгебри можна легко показати, що x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 тому у третьому зразку очевидно присутні тільки речовини A і B в концентраціях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 і [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Базові відомості

1.1 Матриці

Матрицеюназивається прямокутна таблиця чисел, наприклад

Рис. 2 Матриця

Матриці позначаються великими напівжирними літерами ( A), а їх елементи - відповідними малими літерамиз індексами, тобто. a ij. Перший індекс нумерує рядки, а другий – стовпці. У хемометриці прийнято позначати максимальне значення індексу тієї ж літерою, як і сам індекс, але великої. Тому матрицю Aможна також записати як ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Для наведеної у прикладі матриці I = 4, J= 3 і a 23 = −7.5.

Пара чисел Iі Jназивається розмірністю матриці та знається як I× J. Прикладом матриці в хемометриці може бути набір спектрів, отриманий для Iзразків на Jдовжини хвиль.

1.2. Найпростіші операції з матрицями

Матриці можна множити на числа. У цьому кожен елемент множиться цього числа. Наприклад -

Рис. 3 Розмноження матриці на число

Дві матриці однакової розмірності можна поелементно складатиі віднімати. Наприклад,

Рис. 4 Додавання матриць

В результаті множення на число та додавання виходить матриця тієї ж розмірності.

Нульовою матрицею називається матриця, що складається з нулів. Вона позначається O. Очевидно, що A+O = A, A−A = Oта 0 A = O.

Матрицю можна транспонувати. У цій операції матриця перевертається, тобто. рядки та стовпці змінюються місцями. Транспонування позначається штрихом, Aабо індексом A t. Таким чином, якщо A = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), то A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). Наприклад

Рис. 5 Транспонування матриці

Очевидно, що ( A t) t = A, (A+B) t = A t + B t.

1.3. Розмноження матриць

Матриці можна перемножуватиале тільки в тому випадку, коли вони мають відповідні розмірності. Чому це так, буде ясно з визначення. Добутком матриці A, розмірністю I× K, та матриці B, розмірністю K× J, називається матриця C, розмірністю I× J, елементами якої є числа

Таким чином для твору ABнеобхідно, щоб число стовпців у лівій матриці Aдорівнювало числу рядків у правій матриці B. Приклад твору матриць -

Рис.6 Добуток матриць

Правило перемноження матриць можна сформулювати так. Для того, щоб знайти елемент матриці C, що стоїть на перетині i-ого рядка та j-ого стовпця ( c ij) треба поелементно перемножити i-ий рядок першої матриці Aна j-ий стовпець другої матриці Bта скласти всі результати. Так у наведеному прикладі, елемент з третього рядка та другого стовпця, виходить як сума поелементних творів третього рядка Aта другого стовпця B

Рис.7 Елемент твору матриць

Добуток матриць залежить від порядку, тобто. AB ≠ BA, хоча б з міркувань розмірності. Говорять, що воно некомутативно. Однак добуток матриць асоціативний. Це означає, що ABC = (AB)C = A(BC). З іншого боку, воно ще й дистрибутивно, тобто. A(B+C) = AB+AC. Очевидно, що AO = O.

1.4. Квадратні матриці

Якщо число стовпців матриці дорівнює числу її рядків ( I = J = N), то така матриця називається квадратною. У цьому розділі ми розглядатимемо лише такі матриці. Серед цих матриць можна виділити матриці, що мають особливі властивості.

Одиничноюматрицею (позначається I,а інколи E) називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю, за винятком діагональних, які дорівнюють 1, тобто.

Очевидно AI = IA = A.

Матриця називається діагональної, якщо всі її елементи, крім діагональних ( a ii) Дорівнюють нулю. Наприклад

Рис. 8 Діагональна матриця

Матриця Aназивається верхньою трикутної, Якщо всі її елементи, що лежать нижче діагоналі, дорівнюють нулю, тобто. a ij= 0, при i>j. Наприклад

Рис. 9 Верхня трикутна матриця

Аналогічно визначається нижня трикутна матриця.

Матриця Aназивається симетричною, якщо A t = A. Іншими словами a ij = a ji. Наприклад

Рис. 10 Симетрична матриця

Матриця Aназивається ортогональні, якщо

A t A = AA t = I.

Матриця називається нормальноюякщо

1.5. Слід та визначник

Слідомквадратної матриці A(позначається Tr( A) або Sp( A)) називається сума її діагональних елементів,

Наприклад,

Рис. 11 Слід матриці

Очевидно, що

Sp(α) A) = Sp( A) та

Sp( A+B) = Sp ( A)+ Sp( B).

Можна показати, що

Sp( A) = Sp ( A t), Sp( I) = N,

а також, що

Sp( AB) = Sp ( BA).

Іншою важливою характеристикою квадратної матриці є її визначник(позначається det ( A)). Визначення визначника в загальному випадкудосить складно, тому ми почнемо з найпростішого варіанту – матриці Aрозмірністю (2×2). Тоді

Для матриці (3×3) визначник дорівнюватиме

У разі матриці ( N× N) визначник обчислюється як сума 1 · 2 · 3 · ... · N= N! доданків, кожен з яких дорівнює

Індекси k 1 , k 2 ,..., k Nвизначаються як всілякі впорядковані перестановки rчисел у наборі (1, 2, ... , N). Обчислення визначника матриці – це складна процедура, яку практично здійснюється за допомогою спеціальних програм. Наприклад,

Рис. 12 Визначник матриці

Відзначимо лише очевидні властивості:

det( I) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Вектори

Якщо матриця складається лише з одного стовпця ( J= 1), то такий об'єкт називається вектором. Точніше, вектором-стовпцем. Наприклад

Можна розглядати і матриці, що складаються з одного рядка, наприклад

Цей об'єкт також є вектором, але вектор-рядок. При аналізі даних важливо розуміти, з якими векторами ми маємо справу – зі стовпцями чи рядками. Так спектр, знятий одного зразка можна як вектор-рядок. Тоді набір спектральних інтенсивностей на якійсь довжині хвилі для всіх зразків слід трактувати як вектор-стовпець.

Розмірністю вектора називається кількість його елементів.

Зрозуміло, кожен вектор-стовпець можна перетворити на вектор-рядок транспонуванням, тобто.

У тих випадках, коли форма вектора спеціально не обговорюється, а просто говориться вектор, то мають на увазі вектор-стовпець. Ми також дотримуватимемося цього правила. Вектор позначається малою прямою напівжирною літерою. Нульовим вектором називається вектор, всі елементи якого рани нулю. Він позначається 0 .

1.7. Найпростіші операції з векторами

Вектори можна складати і множити числа так само, як це робиться з матрицями. Наприклад,

Рис. 13 Операції з векторами

Два вектори xі yназиваються колінеарнимиякщо існує таке число α, що

1.8. Твори векторів

Два вектори однакової розмірності Nможна перемножити. Нехай є два вектори x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t і y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t. Керуючись правилом перемноження "рядок на стовпець", ми можемо скласти з них два твори: x t yі xy t. Перший твір

називається скалярнимабо внутрішнім. Його результат – це число. Для нього також використовується позначення ( x,y)= x t y. Наприклад,

Рис. 14 Внутрішній (скалярний) твір

Другий твір

називається зовнішнім. Його результат – це матриця розмірності ( N× N). Наприклад,

Рис. 15 Зовнішній твір

Вектор, скалярний твіряких одно нулю, називаються ортогональними.

1.9. Норма вектора

Скалярне твір вектора себе називається скалярним квадратом. Ця величина

визначає квадрат довжинивектора x. Для позначення довжини (названої також нормоювектора) використовується позначення

Наприклад,

Рис. 16 Норма вектора

Вектор одиничної довжини (|| x|| = 1) називається нормованим. Ненульовий вектор ( x ≠ 0 ) можна нормувати, розділивши їх у довжину, тобто. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Тут e = x/||x|| - Нормований вектор.

Вектори називаються ортонормованими, якщо всі вони нормовані та попарно ортогональні.

1.10. Кут між векторами

Скалярний твір визначає і кутφ між двома векторами xі y

Якщо вектори ортогональні, то cosφ = 0 і φ = π/2, а якщо вони колінеарні, то cosφ = 1 та φ = 0.

1.11. Векторне подання матриці

кожну матрицю Aрозміру I× Jможна подати як набір векторів

Тут кожен вектор a jє j-им стовпцем, а вектор-рядок b iє i-им рядком матриці A

1.12. Лінійно залежні вектори

Вектори однакової розмірності ( N) можна складати та множити на число, також як матриці. В результаті вийде вектор тієї ж розмірності. Нехай є кілька векторів однієї розмірності x 1 , x 2 ,...,x K і стільки ж чисел α 1 , 2 ,...,α K. Вектор

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α K x K

називається лінійною комбінацієювекторів x k .

Якщо є такі ненульові числа α k ≠ 0, k = 1,..., K, що y = 0 , то такий набір векторів x kназивається лінійно залежним. Інакше вектори називаються лінійно незалежними. Наприклад, вектори x 1 = (2, 2) t і x 2 = (−1, −1) t лінійно залежні, т.к. x 1 +2x 2 = 0

1.13. Ранг матриці

Розглянемо набір з Kвекторів x 1 , x 2 ,...,x Kрозмірності N. Ранг цієї системи векторів називається максимальне число лінійно-незалежних векторів. Наприклад у наборі

є тільки два лінійно незалежні вектори, наприклад x 1 та x 2 тому її ранг дорівнює 2.

Очевидно, що якщо векторів у наборі більше, ніж їх розмірність ( K>N), то вони обов'язково лінійно залежні.

Рангом матриці(позначається rank ( A)) називається ранг системи векторів, з яких вона складається. Хоча будь-яку матрицю можна уявити двома способами (вектори стовпці чи рядки), це впливає величину рангу, т.к.

1.14. зворотна матриця

Квадратна матриця Aназивається невиродженою, якщо вона має єдину зворотнуматрицю A-1 , що визначається умовами

AA −1 = A −1 A = I.

Зворотна матриця існує для всіх матриць. Необхідною та достатньою умовою невиродженості є

det( A) ≠ 0 або rank( A) = N.

Звернення матриці – це складна процедура, для виконання якої існують спеціальні програми. Наприклад,

Рис. 17 Звернення матриці

Наведемо формули для найпростішого випадку - матриці 2×2

Якщо матриці Aі Bневироджені, то

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Псевдозворотна матриця

Якщо матриця Aвироджена та зворотна матрицяне існує, то в деяких випадках можна використовувати псевдозворотнуматрицю, яка визначається як така матриця A+ , що

AA + A = A.

Псевдобрітельна матриця - не єдина і її вид залежить від способу побудови. Наприклад для прямокутної матриціможна використовувати метод Мура-Пенроуза.

Якщо кількість стовпців менше числарядків, то

A + =(A t A) −1 A t

Наприклад,

Рис. 17a Псевдообіг матриці

Якщо ж кількість стовпців більше числарядків, то

A + =A t ( AA t) −1

1.16. Розмноження вектора на матрицю

Вектор xможна множити на матрицю Aвідповідної розмірності. При цьому вектор-стовпець множиться праворуч Ax, а вектор рядок - ліворуч x t A. Якщо розмірність вектора J, а розмірність матриці I× Jто в результаті вийде вектор розмірності I. Наприклад,

Рис. 18 Розмноження вектора на матрицю

Якщо матриця A- Квадратна ( I× I), то вектор y = Axмає ту ж розмірність, що і x. Очевидно, що

A(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Тому матриці можна як лінійні перетворення векторів. Зокрема Іх = x, Ox = 0 .

2. Додаткова інформація

2.1. Системи лінійних рівнянь

Нехай A- матриця розміром I× J, а b- Вектор розмірності J. Розглянемо рівняння

Ax = b

щодо вектора x, розмірності I. По суті - це система з Iлінійних рівнянь з Jневідомими x 1 ,...,x J. Рішення існує в тому, і тільки в тому випадку, коли

rank( A) = Rank ( B) = R,

де B- це розширена матриця розмірності I×( J+1), що складається з матриці A, доповненою стовпцем b, B = (A b). Інакше рівняння несумісні.

Якщо R = I = J, то рішення єдине

x = A −1 b.

Якщо R < I, то існує безліч різних рішень, які можна виразити через лінійну комбінацію J−Rвекторів. Система однорідних рівнянь Ax = 0 з квадратною матрицею A (N× N) має нетривіальне рішення ( x ≠ 0 ) і тоді, коли det( A) = 0. Якщо R= Rank ( A)<N, то існують N−Rлінійно-незалежних рішень.

2.2. Білінійні та квадратичні форми

Якщо A- це квадратна матриця, а xі y- Вектор відповідної розмірності, то скалярний добуток виду x t Ayназивається білінійноїформою, яка визначається матрицею A. При x = yвираз x t Axназивається квадратичноїформою.

2.3. Позитивно визначені матриці

Квадратна матриця Aназивається позитивно визначеноюякщо для будь-якого ненульового вектора x ≠ 0 ,

x t Ax > 0.

Аналогічно визначаються негативно (x t Ax < 0), невід'ємно (x t Ax≥ 0) та позитивно (x t Ax≤ 0) певні матриці.

2.4. Розкладання Холецького

Якщо симетрична матриця Aпозитивно визначена, існує єдина трикутна матриця Uз позитивними елементами, для якої

A = U t U.

Наприклад,

Рис. 19 Розкладання Холецького

2.5. Полярне розкладання

Нехай A- це невироджена квадратна матриця розмірності N× N. Тоді існує однозначне полярнеподання

A = SR,

де S- це невід'ємна симетрична матриця, а R- це ортогональна матриця. Матриці Sі Rможуть бути визначені явно:

S 2 = AA t або S = (AA t) ½ і R = S −1 A = (AA t) −½ A.

Наприклад,

Рис. 20 Полярне розкладання

Якщо матриця Aвироджена, то розкладання не єдине - а саме: Sяк і раніше одна, а ось Rможе бути багато. Полярне розкладання представляє матрицю Aяк комбінацію стиснення/розтягування Sта повороту R.

2.6. Власні вектори та власні значення

Нехай A- Це квадратна матриця. Вектор vназивається власним векторомматриці A, якщо

Av = λ v,

де число λ називається власним значеннямматриці A. Таким чином, перетворення, яке виконує матриця Aнад вектором v, зводиться до простого розтягування або стиснення коефіцієнтом λ. Власний вектор визначається з точністю до множення константу α ≠ 0, тобто. якщо v- Власний вектор, то і α v- Власний вектор.

2.7. Власні значення

У матриці A, Розмірністю ( N× N) не може бути більше ніж Nвласних значень. Вони задовольняють характеристичного рівняння

det( A − λ I) = 0,

що є алгебраїчним рівнянням N-го порядку. Зокрема, для матриці 2×2 характеристичне рівняння має вигляд

Наприклад,

Рис. 21 Власні значення

Набір власних значень λ 1 ,..., λ Nматриці Aназивається спектром A.

Спектр має різноманітні властивості. Зокрема

det( A) = λ 1 ×...×λ N, Sp ( A) = λ 1 +...+λ N.

Власні значення довільної матриці можуть бути комплексними числами, але якщо матриця симетрична ( A t = A), то її власні значення речові.

2.8. Власні вектори

У матриці A, Розмірністю ( N× N) не може бути більше ніж Nвласних векторів, кожен із яких відповідає своєму власному значенню. Для визначення власного вектора v nпотрібно вирішити систему однорідних рівнянь

(A − λ n I)v n = 0 .

Вона має нетривіальне рішення, оскільки det( A −λ n I) = 0.

Наприклад,

Рис. 22 Власні вектори

Власні вектори симетричної матриці ортогональні.

Власний вектор квадратної матриці - це вектор, який при множенні на задану матрицю дає в результаті колінеарний вектор. Простими словами, При множенні матриці на власний вектор останній залишається тим самим, але помноженим на деяке число.

Визначення

Власний вектор - це ненульовий вектор V, який при множенні на квадратну матрицю Mперетворюється на себе, збільшеного на деяке число λ. У запису алгебрице виглядає так:

M × V = ? × V,

де - власне число матриці M.

Розглянемо числовий приклад. Для зручності запису числа в матриці відокремлюватиме крапкою з комою. Нехай у нас є матриця:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Помножимо її на вектор-стовпець:

• V = -2;

При множенні матриці на вектор-стовпець ми отримуємо також вектор-стовпець. Суворою математичною мовою формула множення матриці 2 × 2 на вектор-стовпець буде виглядати так:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означає елемент матриці M, що стоїть у першому рядку та першому стовпці, а M22 - елемент, розташовані у другому рядку та другому стовпці. Для нашої матриці ці елементи дорівнюють M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-стовпця ці значення дорівнюють V11 = –2, V21 = 1. Відповідно до цієї формули ми отримаємо наступний результат добутку квадратної матриці на вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6×(-2) + 10×(1)=-2.

Для зручності запишемо вектор стовпець у рядок. Отже, ми помножили квадратну матрицю на вектор (-2; 1), у результаті отримали вектор (4; -2). Очевидно, що це той самий вектор, помножений на = -2. Лямбда у разі позначає власне число матриці.

Власний вектор матриці - колінеарний вектор, тобто об'єкт, який не змінює свого положення в просторі при множенні його на матрицю. Поняття колінеарності у векторній алгебрі подібне до терміну паралельності в геометрії. У геометричній інтерпретації колінеарні вектори - це паралельні спрямовані відрізки різної довжини. Ще з часів Евкліда ми знаємо, що в одній прямій існує нескінченна кількість паралельних їй прямих, тому логічно припустити, що кожна матриця має нескінченну кількість власних векторів.

З попереднього прикладу видно, що власними векторами може бути і (-8; 4), і (16; -8), і (32, -16). Все це колінеарні вектори, що відповідають власному числу = -2. При множенні вихідної матриці на ці вектори ми так само буде отримувати в результаті вектор, який відрізняється від вихідного в 2 рази. Саме тому під час вирішення завдань на пошук власного вектора потрібно знайти лише лінійно незалежні векторні об'єкти. Найчастіше для матриці розміром n × n існує n кількість власних векторів. Наш калькулятор заточений під аналіз квадратних матриць другого порядку, тому практично завжди в результаті буде знайдено два власні вектори, за винятком випадків, коли вони збігаються.

У прикладі вище ми наперед знали свій вектор вихідної матриці і наочно визначили число лямбда. Однак на практиці все відбувається навпаки: спочатку знаходиться власні числа і тільки потім власні вектори.

Алгоритм рішення

Давайте знову розглянемо вихідну матрицю M і спробуємо знайти обидва її власні вектори. Отже, матриця виглядає як:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Для початку нам необхідно визначити власне число, для чого потрібно обчислити детермінант наступної матриці:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Дана матриця отримана шляхом віднімання невідомої з елементів на головній діагоналі. Детермінант визначається за стандартною формулою:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так як наш вектор має бути не нульовим, отримане рівняння приймаємо як лінійно залежне та прирівнюємо наш детермінант detA до нуля.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Розкриємо дужки та отримаємо характеристичне рівняння матриці:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через дискримінант

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корінь із дискримінанта дорівнює sqrt(D) = 14, отже, λ1 = -2, λ2 = 12. Тепер для кожного значення лямбда потрібно знайти власний вектор. Виразимо коефіцієнти системи для = -2.

• М − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

У цій формулі E - це поодинока матриця. На підставі отриманої матриці складемо систему лінійних рівнянь:

2x + 4y = 6x + 12y,

де x та y - елементи власного вектора.

Зберемо всі ікси зліва, а всі ігреки праворуч. Вочевидь, що - 4x = 8y. Розділимо вираз на - 4 і отримаємо x = -2y. Тепер ми можемо визначити перший власний вектор матриці, прийнявши будь-які значення невідомих (згадуємо нескінченність лінійно залежних власних векторів). Приймемо y = 1, тоді x = -2. Отже, перший власний вектор має вигляд V1 = (–2; 1). Поверніться до початку статті. Саме на цей векторний об'єктми примножували матрицю для демонстрації поняття власного вектора.

Тепер знайдемо власний вектор для λ = 12.

• М - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Складемо таку саму систему лінійних рівнянь;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Тепер приймемо x = 1, отже, y = 3. Таким чином, другий власний вектор виглядає як V2 = (1; 3). При множенні вихідної матриці на цей вектор, в результаті завжди буде такий самий вектор, помножений на 12. На цьому алгоритм рішення закінчується. Тепер ви знаєте як вручну визначити власний вектор матриці.

• визначник;
• слід, тобто суму елементів головної діагоналі;
• ранг, тобто максимальна кількістьлінійно незалежних рядків/стовпців.

Програма діє за наведеним вище алгоритмом, максимально скорочуючи процес рішення. Важливо зазначити, що у програмі лямбда позначена літерою "c". Давайте розглянемо чисельний приклад.

Приклад роботи програми

Спробуємо визначити власні вектори для наступної матриці:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Введемо ці значення в комірки калькулятора і отримаємо відповідь у такому вигляді:

• Ранг матриці: 2;
• Детермінант матриці: 18;
• Слід матриці: 19;
• Розрахунок власного вектора: c 2 - 19,00 c + 18,00 (характеристичне рівняння);
• Розрахунок власного вектора: 18 (перше значення лямбда);
• Розрахунок власного вектора: 1 (друге значення лямбда);
• Система рівнянь вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• Система рівнянь вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Власний вектор 1: (1; 1);
• Власний вектор 2: (-3,25; 1).

Таким чином, ми отримали два лінійно незалежні власні вектори.

Висновок

Лінійна алгебра та аналітична геометрія – стандартні предмети для будь-якого першокурсника технічної спеціальності. Велика кількість векторів і матриць жахає, а в таких громіздких обчисленнях легко зробити помилку. Наша програма дозволить студентам перевірити свої викладки або автоматично розв'яже завдання на пошук власного вектора. У нашому каталозі є інші калькулятори з лінійної алгебри, використовуйте їх у своєму навчанні або роботі.