Щоб вирішити однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку, використовують підстановку u = y / x, тобто u - нова невідома функція, яка залежить від іксу. Звідси y=ux. Похідну y' знаходимо за допомогою правила диференціювання твору:y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (оскільки x'=1). Для іншої форми запису: dy = udx + xdu. Після підстановки рівняння спрощуємо і приходимо до рівняння з змінними, що розділяються.

Приклади розв'язання однорідних диференціальних рівнянь 1-го порядку.

1) Розв'язати рівняння

Перевіряємо, що це рівняння однорідне (див. Як визначити однорідне рівняння). Переконавшись, робимо заміну u=y/x, звідки y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. Підставляємо: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Тому що логарифм твору дорівнює сумілогарифмів, ln(ux)=lnu+lnx. Звідси

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Після приведення подібних доданків: u'x+u=u(1+lnu). Тепер розкриваємо дужки

u'x+u=u+u·lnu. В обох частинах стоїть u, звідси u x = u lnu. Оскільки u - функція від іксу, u = du/dx. Підставляємо,

Отримали рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні, навіщо обидві частини множимо на dx і ділимо на x·u·lnu, за умови, що твір x·u·lnu≠0

Інтегруємо:

У лівій частині – табличний інтеграл. У правій - робимо заміну t=lnu, звідки dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Але ми вже обговорювали, що у таких рівняннях замість З зручніше взяти ln│C│. Тоді

ln│t│=ln│x│+ln│C│. За властивістю логарифмів: ln│t│=ln│Сx│. Звідси t = Cx. (За умовою, x> 0). Час робити зворотну заміну: lnu = Cx. І ще одна зворотна заміна:

За якістю логарифмів:

Це загальний інтеграл рівняння.

Згадуємо умову твір x·u·lnu≠0 (а отже, x≠0,u≠0, lnu≠0, звідки u≠1). Але x≠0 із умови, залишається u≠1, звідки x≠y. Очевидно, що y=x (x>0) входять до загальне рішення.

2) Знайти приватний інтеграл рівняння y=x/y+y/x, що задовольняє початковим умовам y(1)=2.

Спочатку перевіряємо, що це рівняння є однорідним (хоча наявність доданків y/x та x/y вже побічно вказує на це). Потім робимо заміну u=y/x, звідки y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. Підставляємо отримані вирази до рівняння:

u'x+u=1/u+u. Спрощуємо:

u'x=1/u. Так як u - функція від іксу, u = du/dx:

Отримали рівняння з змінними, що розділяються. Щоб розділити змінні, множимо обидві частини на dx і u і ділимо на x (x≠0 за умовою, звідси u≠0 теж, отже, втрати рішень при цьому немає).

Інтегруємо:

і оскільки в обох частинах стоять табличні інтеграли, одразу отримуємо

Виконуємо зворотну заміну:

Це загальний інтеграл рівняння. Використовуємо початкову умову y(1)=2, тобто підставляємо отримане рішення y=2, x=1:

3) Знайти загальний інтеграл однорідного рівняння:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Заміна u=y/x, звідки y=ux, dy=xdu+udx. Підставляємо:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Виносимо x² за дужки та ділимо на нього обидві частини (за умови x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Розкриваємо дужки та спрощуємо:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Групуємо складові з du та dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Виносимо спільні множники за дужки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Розділяємо змінні:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для цього обидві частини рівняння ділимо на xu(u²+1)≠0 (відповідно додаємо вимоги x≠0 (вже зазначили), u≠0):

Інтегруємо:

У правій частині рівняння - табличний інтеграл, раціональний дрібу лівій частині розкладаємо на прості множники:

(або у другому інтегралі можна було замість підведення під знак диференціала зробити заміну t=1+u², dt=2udu — кому якийсь спосіб більше подобається). Отримуємо:

За властивостями логарифмів:

Зворотна заміна

Згадуємо умову u≠0. Звідси y≠0. При С=0 y=0, отже, втрати рішень немає, і y=0 входить у загальний інтеграл.

Зауваження

Можна отримати запис рішення в іншому вигляді, якщо зліва залишити доданок з x:

Геометричний сенс інтегральної кривої у разі — сімейство кіл з центрами на осі Oy і проходять через початок координат.

Завдання для самоперевірки:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Перевіряємо, що рівняння є однорідним, після чого виконуємо заміну u=y/x, звідки y=ux, dy=xdu+udx. Підставляємо за умови: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Розділивши обидві частини рівняння на x²≠0 одержуємо: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Звідси dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Спростивши, маємо: dx-xudu=0. Звідси xudu = dx, udu = dx / x. Інтегруємо обидві частини:

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку - це рівняння виду
де f - функція.

Як визначити однорідне диференціальне рівняння

Для того щоб визначити, чи є диференціальне рівняння першого порядку однорідним, потрібно ввести постійну t і замінити y на ty і x на tx : y → ty , x → tx . Якщо t скоротиться, то це однорідне диференціальне рівняння. Похідна y′ за такого перетворення не змінюється.
.

приклад

Визначити, чи є дане рівняння однорідним

Рішення

Робимо заміну y → ty, x → tx.


Ділимо на t 2 .

.
Рівняння не містить t. Отже, це однорідне рівняння.

Метод вирішення однорідного диференціального рівняння

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки y = ux . Покажемо це. Розглянемо рівняння:
(i)
Робимо підстановку:
y = ux,
де u - функція від x. Диференціюємо по x:
y′ =
Підставляємо у вихідне рівняння (i).
,
,
(ii) .
Розділяємо змінні. Помножуємо на dx та ділимо на x (f(u) - u).

При f (u) - u ≠ 0та x ≠ 0 отримуємо:

Інтегруємо:

Таким чином, ми отримали загальний інтеграл рівняння (i)у квадратурах:

Замінимо постійну інтегрування C на ln Cтоді

Опустимо знак модуля, оскільки потрібний знаквизначається вибором знака постійної C. Тоді загальний інтеграл набуде вигляду:

Далі слід розглянути випадок f (u) - u = 0.
Якщо це рівняння має коріння, то вони є рішенням рівняння (ii). Оскільки рівняння (ii)не збігається з вихідним рівнянням, слід переконатися, що додаткові рішеннязадовольняють вихідне рівняння (i).

Щоразу, коли ми, у процесі перетворень, ділимо якесь рівняння на деяку функцію, яку позначимо як g (x, y), то подальші перетворення справедливі при g (x, y) ≠ 0. Тому слід окремо розглядати випадок g (x, y) = 0.

Приклад розв'язання однорідного диференціального рівняння першого порядку

Розв'язати рівняння

Рішення

Перевіримо, чи є дане рівняння однорідним. Робимо заміну y → ty, x → tx. У цьому y′ → y′ .
,
,
.
Скорочуємо на t.

Постійна t скоротилася. Тому рівняння є однорідним.

Робимо підстановку y = ux, де u - функція від x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Підставляємо у вихідне рівняння.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , | X | = x. При x ≤ 0 , | X | = - x. Ми пишемо | x | = x маючи на увазі, що верхній знак відноситься до значень x ≥ 0 , а нижній - до значень x ≤ 0 .
,
Множимо на dx і ділимо на .

У u 2 - 1 ≠ 0 маємо:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні,
.

Застосуємо формулу:
(a + b) (a - b) = a 2 - b 2.
Покладемо a = u , .
.
Візьмемо обидві частини за модулем і логарифмуємо,
.
Звідси
.

Таким чином маємо:
,
.
Опускаємо знак модуля, оскільки потрібний знак забезпечується вибором постійного знака C .

Помножуємо на x і підставляємо ux = y.
,
.
Зводимо у квадрат.
,
,
.

Тепер розглянемо випадок, u 2 - 1 = 0 .
Коріння цього рівняння
.
Легко переконатися, що функції y = x задовольняють вихідне рівняння.

Відповідь

,
,
.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Готові відповіді до прикладів на однорідні диференціальні рівнянняпершого порядку шукають багато студентів (ДК 1 порядку найпоширеніші в навчанні), далі Ви їх зможете детально розібрати. Але перш ніж перейти до розгляду прикладів, рекомендуємо уважно прочитати короткий теоретичний матеріал.
Рівняння виду P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, де функції P(x,y) та Q(x,y) є однорідними функціями одного порядку називають однорідним диференціальним рівнянням(ОДР).

Схема розв'язання однорідного диференціального рівняння

1. Спочатку потрібно застосувати підстановку y=z*x , де z=z(x) – нова невідома функція (таким чином вихідне рівняння зводиться до диференціального рівняння з змінними, що розділяються.
2. Похідна твори дорівнює y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z або в диференціалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далі підставляємо нову функціюу та її похідну y" (або dy ) ДУ з змінними, що розділяютьсящодо x та z.
4. Вирішивши диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, зробимо зворотну заміну y=z*x , тому z= y/х , і отримаємо загальне рішення (загальний інтеграл) диференціального рівняння.
5. Якщо встановлено початкову умову y(x 0)=y 0 , то знаходимо приватне розв'язання задачі Коші. Теоретично все звучить легко, проте практично не всім так весело виходить вирішувати диференціальні рівняння. Тож поглиблення знань розглянемо поширені приклади. На легких завданнях особливо Вас навчити, тому відразу перейдемо до складніших.

Обчислення однорідних диференціальних рівнянь першого порядку

приклад 1.

Рішення: Ділимо праву сторону рівняння на змінну, яка стоїть множником біля похідної. В результаті прийдемо до однорідного диференціального рівняння 0 порядку

І тут багатьом мабуть стало цікаво, Як визначити порядок функції однорідного рівняння?
Питання досить доречне, а відповідь на нього наступне:
у праву сторону підставляємо замість функції та аргументу значення t*x, t*y . При спрощенні отримують параметр "t" до k , його і називають порядком рівняння. У нашому випадку "t" скоротиться, що рівносильно 0-му ступеню або нульовому порядку однорідного рівняння.
Далі праворуч можемо перейти до нової змінної y=zx; z = y / x.
При цьому не забуваємо висловити похідну "y" через похідну нової змінної. За правилом частини знаходимо

Рівняння у диференціалахнабуде вигляду

Спільні доданки у правій та лівій частині скорочуємо та переходимо до диференційного рівняння з розділеними змінними.

Проінтегруємо обидві частини ДК

Для зручності подальших перетворень постійну одразу вносимо під логарифм

За властивостями логарифмів отримане логарифмічне рівнянняеквівалентно наступному

Цей запис ще не рішення (відповідь), необхідно повернутися до виконаної заміни змінних

Таким чином знаходять загальне розв'язання диференціальних рівнянь. Якщо Ви уважно читали попередні уроки, то ми говорили, що схему обчислення рівнянь із розділеними змінними Ви повинні вміти застосовувати вільно і такого роду рівняння доведеться обчислювати для більш складних типівДУ.

приклад 2. Знайти інтеграл диференціального рівняння

Рішення: Схема обчислень однорідних та зведених до них ДУ Вам тепер знайома. Переносимо змінну в праву сторону рівняння, а також у чисельнику та знаменнику виносимо x 2 як загальний множник

Таким чином отримаємо однорідне ДУ нульового порядку.
Наступним кроком вводимо заміну змінних z=y/x, y=z*x , про яку постійно нагадуватимемо, щоб Ви її завчили

Після цього ДК записуємо в диференціалах

Далі перетворимо залежність до диференційного рівняння з відокремленими змінними

та інтегруванням вирішуємо його.

Інтеграли нескладні, інші перетворення виконані з урахуванням властивостей логарифма. Остання дія включає експонування логарифму. Нарешті повертаємось до вихідної заміни та записуємо у формі

Константа "C" набуває будь-якого значення. Всі, хто навчається заочно, мають проблеми на іспитах з даним типом рівнянь, тому прохання уважно подивитися і запам'ятати схему обчислень.

приклад 3. Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення: Як випливає із наведеної вище методики, диференціальні рівняння такого типу вирішують методом запровадження нової змінної.Перепишемо залежність так, щоб похідна була без змінної

Далі з аналізу правої частини бачимо, що скрізь є частка -її і позначаємо за нову невідому
z=y/x, y=z*x.
Знаходимо похідну від y

З урахуванням заміни первісне ДК перепишемо у вигляді

Однакові доданки спрощуємо, а всі, що отримали, зводимо до ДК з відокремленими змінними

Інтегрування обох частин рівності

приходимо до рішення у вигляді логарифмів

Експонуючи залежності знаходимо загальне рішення диференціального рівняння

яке після підстановки в нього початкової заміни змінних набуде вигляду

Тут С - постійна, яку можна визначити з умови Коші. Якщо не задане завдання Коші, то стала приймати довільне дійсне значення.
Ось і вся мудрість у обчисленні однорідних диференціальних рівнянь.

Думаю, що нам варто почати з історії такого славетного математичного інструменту як диференціальні рівняння. Як і всі диференціальні та інтегральні обчислення, ці рівняння були винайдені Ньютоном наприкінці 17 століття. Він вважав саме це своє відкриття настільки важливим, що навіть зашифрував послання, яке сьогодні можна перекласти приблизно так: Усі закони природи описуються диференціальними рівняннями. Це може здатися перебільшенням, але так і є. Будь-який закон фізики, хімії, біології можна описати цими рівняннями.

Величезний внесок у розвиток та створення теорії диференціальних рівнянь зробили математики Ейлер та Лагранж. Вже у 18-му столітті вони відкрили та розвинули те, що зараз вивчають на старших курсах університетів.

Нова віха у вивченні диференціальних рівнянь почалася завдяки Анрі Пуанкаре. Він створив «якісну теорію диференціальних рівнянь», яка у поєднанні з теорією функцій комплексного змінного внесла значний внесок у основу топології – науки про простір та його властивості.

Що таке диференціальні рівняння?

Багато хто боїться одного словосполучення Однак у цій статті ми докладно викладемо всю суть цього дуже корисного математичного апарату, який насправді не такий складний, як здається з назви. Щоб почати розповідати про диференціальні рівняння першого порядку, слід спочатку ознайомитися з основними поняттями, які невід'ємно пов'язані з цим визначенням. І почнемо ми з диференціалу.

Диференціал

Багато хто знає це поняття ще зі школи. Проте все ж таки зупинимося на ньому детальніше. Уявіть графік функції. Ми можемо збільшити його настільки, що будь-який його відрізок набуде вигляду прямої лінії. На ній візьмемо дві точки, що знаходяться нескінченно близько одна до одної. Різниця їх координат (x чи y) буде нескінченно малою величиною. Її називають диференціалом і позначають знаками dy (диференціал від y) і dx (диференціал від x). Дуже важливо розуміти, що диференціал не є кінцевою величиною, і в цьому полягає його зміст та основна функція.

А тепер необхідно розглянути наступний елемент, який стане в нагоді при поясненні поняття диференціального рівняння. Це – похідна.

Похідна

Всі ми, напевно, чули в школі і це поняття. Кажуть, що похідна - це швидкість зростання чи зменшення функції. Однак із цього визначення багато стає незрозумілим. Спробуємо пояснити похідну через диференціали. Повернімося до нескінченно малого відрізка функції з двома точками, які знаходяться на мінімальній відстані один від одного. Але навіть за цю відстань функція встигає змінитися якусь величину. І щоб описати цю зміну і вигадали похідну, яку інакше можна записати як відношення диференціалів: f(x)"=df/dx.

Тепер варто розглянути основні властивості похідної. Їх лише три:

1. Похідну суми або різниці можна представити як суму або різницю похідних: (a+b)"=a"+b" та (a-b)"=a"-b".
2. Друга властивість пов'язана з множенням. Похідна твори - це сума творів однієї функції похідну інший: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Похідну різниці записати можна у вигляді наступної рівності: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всі ці характеристики нам знадобляться для знаходження рішень диференціальних рівнянь першого порядку.

Також бувають приватні похідні. Допустимо, у нас є функція z, яка залежить від змінних x та y. Щоб обчислити приватну похідну цієї функції, скажімо, по x нам необхідно прийняти змінну y за постійну і просто продиференціювати.

Інтеграл

Інше важливе поняття – інтеграл. По суті, це пряма протилежність похідної. Інтеграли бувають декількох видів, але для вирішення найпростіших диференціальних рівнянь нам знадобляться найтривіальніші

Отже, Припустимо, ми маємо деяку залежність f від x. Ми візьмемо від неї інтеграл і отримаємо функцію F(x) (часто її називають первісною), похідна від якої дорівнює початковій функції. Таким чином F(x)"=f(x). Звідси випливає також, що інтеграл від похідної дорівнює початковій функції.

При розв'язанні диференціальних рівнянь дуже важливо розуміти сенс і функцію інтеграла, тому що доведеться часто їх брати для знаходження рішення.

Рівняння бувають різними залежно від власної природи. У наступному розділі ми розглянемо види диференціальних рівнянь першого порядку, та був і навчимося їх вирішувати.

Класи диференціальних рівнянь

"Дифури" діляться по порядку похідних, що у них. Таким чином, буває перший, другий, третій і більш порядок. Їх також можна розділити на кілька класів: прості і в приватних похідних.

У статті ми розглянемо прості диференціальні рівняння першого порядку. Приклади та способи їх вирішення ми також обговоримо у наступних розділах. Розглянемо тільки ОДУ, тому що це найпоширеніші види рівнянь. Звичайні діляться на підвиди: з змінними, що розділяються, однорідні і неоднорідні. Далі ви дізнаєтеся, чим вони відрізняються один від одного, і навчитеся їх вирішувати.

Крім того, ці рівняння можна поєднувати, щоб після нас вийшла система диференціальних рівнянь першого порядку. Такі системи ми також розглянемо та навчимося вирішувати.

Чому ми розглядаємо лише перший порядок? Тому що потрібно починати з простого, а описати все, що пов'язане з диференціальними рівняннями, в одній статті просто неможливо.

Рівняння з змінними, що розділяються

Це, мабуть, найпростіші диференціальні рівняння першого ладу. До них відносяться приклади, які можна записати так: y"=f(x)*f(y). Для вирішення цього рівняння нам знадобиться формула подання похідної як відношення диференціалів: y"=dy/dx. З її допомогою отримуємо таке рівняння: dy/dx=f(x)*f(y). Тепер ми можемо звернутися до методу вирішення стандартних прикладів: розділимо змінні частинами, тобто перенесемо все зі змінною y в частину, де знаходиться dy, і так само зробимо зі змінною x. Отримаємо рівняння виду: dy/f(y)=f(x)dx, яке вирішується взяттям інтегралів з обох частин. Не слід забувати і про константу, яку потрібно ставити після взяття інтегралу.

Рішення будь-якого "дифуру" - це функція залежності x від y (у нашому випадку) або, якщо є чисельна умова, то відповідь у вигляді числа. Розберемо на конкретному прикладі весь перебіг рішення:

Переносимо змінні в різні боки:

Тепер беремо інтеграли. Усі їх можна знайти у спеціальній таблиці інтегралів. І отримуємо:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Якщо потрібно, ми можемо виразити "гравець" як функцію від "ікс". Тепер можна сказати, що наше диференціальне рівняння вирішено, якщо не задано умову. Можлива умова, наприклад, y(п/2)=e. Тоді ми просто підставляємо значення цих змінних у розв'язання та знаходимо значення постійної. У нашому прикладі воно одно 1.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Тепер переходимо до складнішої частини. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку можна записати в загальному виглядітак: y"=z(x,y). Слід зауважити, що права функція від двох змінних однорідна, і її не можна розділити на дві залежності: z від x та z від y. Перевірити, чи є рівняння однорідним чи ні, досить просто : ми робимо заміну x = k * x і y = k * y. Тепер скорочуємо всі k. Якщо всі ці літери скоротилися, значить рівняння однорідне і можна сміливо приступати до його вирішення. .

Нам потрібно зробити заміну: y = t (x) * x, де t - якась функція, яка теж залежить від x. Тоді ми можемо висловити похідну: y"=t"(x)*x+t. Підставляючи все це в наше вихідне рівняння і спрощуючи його, ми отримуємо приклад з змінними t і x, що розділяються. Вирішуємо його та отримуємо залежність t(x). Коли ми її отримали, то просто підставляємо нашу попередню заміну y=t(x)*x. Тоді одержуємо залежність y від x.

Щоб було зрозуміліше, розберемо приклад: x*y"=y-x*e y/x.

Під час перевірки із заміною все скорочується. Отже, рівняння справді однорідне. Тепер робимо іншу заміну, про яку ми говорили: y=t(x)*x та y"=t"(x)*x+t(x). Після спрощення отримуємо наступне рівняння: t"(x)*x=-e t . Вирішуємо приклад з розділеними змінними і отримуємо: e -t =ln(C*x). Нам залишилося тільки замінити t на y/x (адже якщо y =t*x, то t=y/x), ми отримуємо відповідь: e -y/x =ln(x*С).

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Настав час розглянути ще одну велику тему. Ми розберемо неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку. Чим вони відрізняються від попередніх двох? Давайте розберемося. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку загалом можна записати такою рівністю: y" + g(x)*y=z(x). Варто уточнити, що z(x) і g(x) можуть бути постійними величинами.

Тепер приклад: y" - y*x=x 2 .

Існує два способи рішення, і ми по порядку розберемо обидва. Перший – метод варіації довільних констант.

Для того щоб вирішити рівняння цим способом, необхідно спочатку прирівняти праву частину до нуля і вирішити рівняння, що вийшло, яке після перенесення частин набуде вигляду:

ln | y | = x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С = C 1 *e x2/2 .

Тепер треба замінити константу C 1 на функцію v (x), яку ми повинні знайти.

Проведемо заміну похідної:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

І підставимо ці висловлювання у вихідне рівняння:

v"*e x2/2 - x * v * e x2/2 + x * v * e x2/2 = x 2 .

Можна бачити, що в лівій частині скорочуються два доданки. Якщо в якомусь прикладі цього не сталося, то ви щось зробили не так. Продовжимо:

v"*e x2/2 = x 2 .

Тепер вирішуємо нормальне рівняння, в якому потрібно розділити змінні:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 * e - x2/2 dx.

Щоб отримати інтеграл, нам доведеться застосувати тут інтегрування частинами. Однак, це не тема нашої статті. Якщо вам цікаво, ви можете самостійно навчитися виконувати такі дії. Це не складно, і за достатньої навички та уважності не забирає багато часу.

Звернемося до другого способу розв'язання неоднорідних рівнянь: методу Бернуллі. Який підхід швидше та простіше – вирішувати тільки вам.

Отже, при розв'язанні рівняння цим методом необхідно зробити заміну: y=k*n. Тут k і n – деякі залежні від x функції. Тоді похідна виглядатиме так: y"=k"*n+k*n". Підставляємо обидві заміни до рівняння:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групуємо:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Тепер треба прирівняти до нуля те, що знаходиться у дужках. Тепер, якщо об'єднати два рівняння, що виходять, виходить система диференціальних рівнянь першого порядку, яку потрібно вирішити:

Першу рівність вирішуємо як звичайне рівняння. Для цього потрібно розділити змінні:

Беремо інтеграл та отримуємо: ln(n)=x 2 /2. Тоді, якщо виразити n:

Тепер підставляємо рівність, що вийшла, в друге рівняння системи:

k"*e x2/2 = x 2 .

І перетворюючи, отримуємо таку ж рівність, що й у першому методі:

dk = x 2 /e x2/2.

Ми також не розбиратимемо подальших дій. Спершу рішення диференціальних рівнянь першого порядку викликає суттєві труднощі. Однак при глибшому зануренні в тему це починає виходити все краще та краще.

Де застосовуються диференціальні рівняння?

Дуже активно диференціальні рівняння застосовуються у фізиці, тому що майже всі основні закони записуються в диференціальній формі, а ті формули, які ми бачимо – розв'язання цих рівнянь. У хімії вони використовують із тієї ж причини: основні закони виводяться з допомогою. У біології диференціальні рівняння застосовуються для моделювання поведінки систем, наприклад хижак - жертва. Вони також можуть використовуватися для створення моделей розмноження, наприклад, колонії мікроорганізмів.

Як диференціальні рівняння допоможуть у житті?

Відповідь на це запитання проста: ніяк. Якщо ви не вчений або інженер, то навряд чи вам вони знадобляться. Однак для загального розвиткуне завадить знати, що таке диференціальне рівняння та як воно вирішується. І тоді питання сина чи доньки "що таке диференціальне рівняння?" не поставить вас у глухий кут. Ну а якщо ви вчений чи інженер, то й самі розумієте важливість цієї теми у будь-якій науці. Але найголовніше, що тепер питанням "як вирішити диференціальне рівняння першого порядку?" ви завжди зможете дати відповідь. Погодьтеся, завжди приємно, коли розумієш те, що люди навіть бояться розібратися.

Основні проблеми щодо

Основною проблемою у розумінні цієї теми є погана навичка інтегрування та диференціювання функцій. Якщо ви погано берете похідні та інтеграли, то, напевно, варто ще повчитися, освоїти різні методи інтегрування та диференціювання, і лише потім приступати до вивчення того матеріалу, що був описаний у статті.

Деякі люди дивуються, коли дізнаються, що dx можна переносити, адже раніше (у школі) стверджувалося, що дріб dy/dx неподільний. Тут слід почитати літературу по похідної і зрозуміти, що вона є ставленням нескінченно малих величин, якими можна маніпулювати під час вирішення рівнянь.

Багато хто не відразу усвідомлює, що вирішення диференціальних рівнянь першого порядку - це найчастіше функція або інтеграл, що не береться, і ця помилка завдає їм чимало турбот.

Що ще можна вивчити для кращого розуміння?

Найкраще розпочати подальше занурення у світ диференціального обчислення зі спеціалізованих підручників, наприклад, математичного аналізудля студентів нематематичних спеціальностей Потім можна переходити до більш спеціалізованої літератури.

Варто сказати, що, крім диференціальних, є ще інтегральні рівняння, тому вам завжди буде чого прагнути і що вивчати.

Висновок

Сподіваємося, що після прочитання цієї статті у вас з'явилося уявлення про те, що таке диференціальні рівняння та як правильно їх вирішувати.

У будь-якому випадку математика якимось чином стане нам у нагоді в житті. Вона розвиває логіку та увагу, без яких кожна людина як без рук.

Однорідні

На даному уроці ми розглянемо так звані однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Поряд з рівняннями з змінними, що розділяютьсяі лінійними неоднорідними рівняннямицей тип ДК зустрічається практично в будь-якій контрольної роботина тему дифурів. Якщо Ви зайшли на сторінку з пошуковика або не дуже впевнено орієнтуєтеся в диференціальних рівняннях, то спочатку рекомендую пропрацювати вступний урок на тему – Диференціальні рівняння першого порядку. Справа в тому, що багато принципів вирішення однорідних рівнянь і використовувані технічні прийоми будуть точно такими ж, як і для найпростіших рівнянь з змінними, що розділяються.

У чому відмінність однорідних диференціальних рівнянь з інших типів ДУ? Це найпростіше відразу ж пояснити на конкретному прикладі.

Приклад 1

Рішення:
Що в першу чергуслід проаналізувати під час вирішення будь-якогодиференціального рівняння першого порядку? Насамперед необхідно перевірити, а чи не можна одразу розділити змінні за допомогою «шкільних» дій? Зазвичай такий аналіз проводять подумки чи намагаються розділити змінні на чернетці.

У цьому прикладі змінні розділити не можна(можете спробувати перекидати доданки з частини до частини, піднести множники за дужки тощо). До речі, у цьому прикладі, те що, що змінні поділити не можна, досить очевидний через наявність множника .

Виникає питання – як вирішити цей диффур?

Потрібно перевірити, а чи не є дане рівняння однорідним? Перевірка нескладна, і алгоритм перевірки можна сформулювати так:

У вихідне рівняння:

замістьпідставляємо , замістьпідставляємо , похідну не чіпаємо:

Літера лямбда – це умовний параметр, і тут він грає наступну роль: якщо в результаті перетворень вдасться «знищити» ВСІ лямбди і отримати вихідне рівняння, то це диференціальне рівняння є однорідним.

Очевидно, що лямбди відразу скорочуються у показнику ступеня:

Тепер у правій частині виносимо лямбду за дужки:

і обидві частини ділимо на цю саму лямбду:

В результаті Уселямбди зникли як сон, як ранковий туман, і ми отримали початкове рівняння.

Висновок:Дане рівняння є однорідним

Як розв'язати однорідне диференціальне рівняння?

У мене дуже гарна новина. Абсолютно всі однорідні рівняння можна вирішити за допомогою однієї-єдиної (!) стандартної заміни.

Функцію «гравець» слідує замінити творомдеякої функції (теж залежить від «ікс»)та «ікса»:

Майже завжди пишуть коротко:

З'ясовуємо, на що перетвориться похідна за такої заміни, використовуємо правило диференціювання твору. Якщо то:

Підставляємо і у вихідне рівняння:

Що дасть така заміна? Після цієї заміни та проведених спрощень ми гарантованоотримаємо рівняння з змінними, що розділяються. ЗАПАМ'ЯТАЄМОяк перше кохання:) і, відповідно, .

Після підстановки проводимо максимальні спрощення:

Оскільки – це функція, яка від «икс», її похідну можна записати стандартним дробом: .
Таким чином:

Розділяємо змінні, при цьому в лівій частині потрібно зібрати лише «те», а в правій частині – лише «ікси»:

Змінні розділені, інтегруємо:


Згідно з моєю першою технічною порадою зі статті Диференціальні рівняння першого порядкуконстанту у часто доцільно «оформити» як логарифма.

Після того, як рівняння проінтегроване, потрібно провести зворотну заміну, Вона теж стандартна і єдина:
Якщо то
В даному випадку:

У 18-19 випадках із 20 рішення однорідного рівняння записують у вигляді загального інтегралу.

Відповідь:загальний інтеграл:

Чому майже завжди відповідь однорідного рівняння дається як загального інтеграла?
У більшості випадків неможливо виразити «гравець» у явному вигляді (отримати загальне рішення), а якщо і можливо, то найчастіше загальне рішення виходить громіздким та кострубатим.

Так, наприклад, у розглянутому прикладі, загальне рішення можна отримати, навішуємо логарифми на обидві частини загального інтеграла:

- Ну, ще куди не йшло. Хоча, погодьтеся, все одно кривувато.

До речі, у цьому прикладі я не зовсім «пристойно» записав загальний інтеграл. Це не помилка, але у «хорошому» стилі, нагадую, загальний інтеграл прийнято записувати як . Для цього відразу після інтегрування рівняння константу слід записати без жодного логарифму. (ось і виняток із правила!):

І після зворотної заміни отримати загальний інтеграл у «класичному» вигляді:

Отриману відповідь можна перевірити. Для цього потрібно продиференціювати загальний інтеграл, тобто знайти похідну від функції, заданої неявно:

Позбавляємося дробів, помножуючи кожну частину рівняння на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, рішення знайдено правильно.

Бажано завжди проводити перевірку. Але однорідні рівняння неприємні тим, що перевіряти їх загальні інтеграли зазвичай важко – для цього необхідна дуже пристойна техніка диференціювання. У розглянутому прикладі під час перевірки вже довелося знаходити не найпростіші похідні (хоча сам собою приклад досить простий). Якщо зможете перевірити – перевіряйте!

Приклад 2

Перевірити рівняння на однорідність та знайти його загальний інтеграл.

Відповідь записати у вигляді

Це приклад для самостійного рішення – щоб ви освоїлися у самому алгоритмі дій. Перевірку проведете на дозвіллі, т.к. тут вона досить складна, і я навіть не став її приводити, а то ви більше не прийдете до такого маніяка:)

А тепер обіцяний важливий момент, згаданий ще в самому початку теми,
виділю жирними чорними літерами:

Якщо під час перетворень ми «скидаємо» множник (не константу)у знаменник, то РИЗИКУЄМО втратити рішення!

І насправді з цим ми зіткнулися в першому прикладі вступного уроку про диференціальні рівняння. У процесі вирішення рівняння «гравець» опинився в знаменнику: , але, очевидно, є рішенням ДУ і в результаті нерівносильного перетворення (поділу) є всі шанси втратити його! Інша річ, що воно увійшло до загального рішення при нульовому значенні константи. Скидання «ікса» у знаменник теж можна брати до уваги, т.к. не задовольняє вихідного дифуру.

Аналогічна історія з третім рівнянням того ж уроку, під час вирішення якого ми «скинули» у знаменник. Строго кажучи, тут слід перевірити, а чи не є рішенням цього дифуру? Адже є! Але і тут все обійшлося, оскільки ця функція увійшла в загальний інтеграл при .

І якщо з рівняннями, що «розділяються», таке часто;) «прокатує», то з однорідними та деякими іншими диффурами може і «не прокатити». З високою імовірністю.

Проаналізуємо вже вирішені завдання цього уроку: Приклад 1був «скидання» ікса, проте може бути рішенням рівняння . А ось у Приклад 2ми поділили на Але це теж «зійшло з рук»: оскільки , то рішення загубитися не могли, їх тут просто немає. Але «щасливі випадки» я, звичайно, влаштував спеціально, і не факт, що на практиці трапляться саме вони:

Приклад 3

Розв'язати диференціальне рівняння

Чи не так простий приклад? ;-)

Рішення:однорідність цього рівняння очевидна, але все одно – на першому кроціОБОВ'ЯЗКОВО перевіряємо, чи не можна розділити змінні . Бо рівняння теж однорідне, але змінні у ньому спокійнісінько поділяються. Так, бувають такі!

Після перевірки на «розділюваність» проводимо заміну та максимально спрощуємо рівняння:

Розділяємо змінні, ліворуч збираємо "те", праворуч - "ікси":

І ось тут СТОП. При розподілі ми ризикуємо втратити відразу дві функції. Оскільки , це функції:

Перша функція, очевидно, є рішенням рівняння . Перевіряємо другу – підставляємо та її похідну до нашого диффуру:

– отримано правильну рівність, отже, функція є рішенням.

І ці рішення ми ризикуємо втратити.

Крім того, у знаменнику виявився «ікс», проте заміна має на увазі, що він не дорівнює нулю. Запам'ятайте цей факт. Але! Обов'язково перевіряємо, чи є рішенням ВИХІДНОГО диференціального рівняння. Ні не є.

Беремо все це на замітку і продовжуємо:

Треба сказати, що з інтегралом лівої частини пощастило, буває набагато гірше.

Збираємо в правій частині єдиний логарифм і скидаємо пута:

І ось тільки тепер зворотна заміна:

Помножимо всі доданки на:

Тепер слід перевірити – чи увійшли до загального інтегралу «небезпечні» рішення. Так, обидва рішення увійшли в загальний інтеграл при нульовому значенні константи: тому їх не потрібно додатково вказувати в відповіді:

загальний інтеграл:

Перевірка. Навіть не перевірка, а суцільне задоволення:)

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, рішення знайдено правильно.

Для самостійного вирішення:

Приклад 4

Виконати перевірку на однорідність та вирішити диференціальне рівняння

Загальний інтеграл перевірити диференціюванням.

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо кілька прикладів, коли однорідне рівняння поставлено з готовими диференціалами.

Приклад 5

Розв'язати диференціальне рівняння

Це дуже цікавий приклад, прямо цілий трилер!

Рішеннязвикатимемо оформляти компактніше. Спочатку подумки чи чернетці переконуємося у цьому, що змінні тут розділити не можна, після чого проводимо перевірку на однорідність – на чистовику її зазвичай проводять (якщо спеціально не потрібно). Таким чином, майже завжди рішення починається із запису: « Це рівняння є однорідним, проведемо заміну: …».

Якщо однорідне рівняння містить готові диференціали, його можна вирішити модифікованою заміною:

Але я не раджу використовувати таку підстановку, оскільки вийде Велика китайська стіна диференціалів, де потрібне око та око. З технічної точки зору вигідніше перейти до «штрихового» позначення похідної, для цього ділимо всі члени рівняння на:

І вже тут ми здійснили "небезпечне" перетворення!Нульовому диференціалу відповідає - сімейство прямих, паралельних осі. Чи є вони корінням нашого ДУ? Підставимо і у вихідне рівняння:

Ця рівність справедлива, якщо, тобто, при розподілі на ми ризикували втратити рішення, і ми його втратили- так як воно вже не задовольняєотриманому рівнянню .

Слід зауважити, що якби нам спочаткубуло дано рівняння , то про корені мови не йшлося. Але в нас він є, і ми його вчасно відловили.

Продовжуємо рішення стандартною заміною:
:

Після підстановки максимально спрощуємо рівняння:

Розділяємо змінні:

І ось тут знову СТОП: при розподілі ми ризикуємо втратити дві функції. Оскільки , це функції:

Очевидно, що перша функція є рішенням рівняння . Перевіряємо другу - підставляємо і її похідну:

– отримано правильна рівністьОтже, функція теж є рішенням диференціального рівняння.

І при розподілі на ми ці рішення ризикуємо втратити. Втім, вони можуть увійти до спільного інтегралу. Але можуть і не увійти

Беремо це на замітку та інтегруємо обидві частини:

Інтеграл лівої частини стандартно вирішується за допомогою виділення повного квадрата, але в дифурах набагато зручніше використовувати метод невизначених коефіцієнтів:

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, розкладемо підінтегральну функцію на суму елементарних дробів:


Таким чином:

Знаходимо інтеграли:

- Так як у нас намалювалися одні логарифми, то константу теж заштовхуємо під логарифм.

Перед зворотною заміною знову спрощуємо все, що можна спростити:

Скидаємо ланцюги:

І зворотна заміна:

Тепер згадуємо про «втрати»: рішення увійшло до загального інтегралу при , а ось – «пролетіло повз касу», т.к. виявилося у знаменнику. Тому у відповіді воно удостоюється окремої фрази, і так – не забуваємо про втрачене рішення, яке, до речі, теж виявилося внизу.

Відповідь:загальний інтеграл: . Ще рішення:

Тут не так важко висловити загальне рішення:
але це вже понти.

Зручні, проте, для перевірки. Знайдемо похідну:

і підставимо у ліву частину рівняння:

– в результаті отримано права частинарівняння, що потрібно перевірити.

Наступний диффур – самостійно:

Приклад 6

Розв'язати диференціальне рівняння

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Спробуйте заразом для тренування і тут висловити загальне рішення.

У заключній частині уроку розглянемо ще кілька характерних завдань на тему:

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення:Ідемо второваною дорогою. Дане рівняння є однорідним, проведемо заміну:

З «іксом» тут все гаразд, але що з квадратним тричленом? Оскільки він нерозкладний на множники:, то рішень ми точно не втрачаємо. Завжди так! Виділяємо у лівій частині повний квадрат та інтегруємо:

Спрощувати тут нічого, а тому зворотна заміна:

Відповідь:загальний інтеграл:

Приклад 8

Розв'язати диференціальне рівняння

Це приклад самостійного рішення.

Отже:

При нерівносильних перетвореннях ЗАВЖДИ перевіряйте (принаймні, усно), чи не втрачаєте ви рішення!Які це перетворення? Як правило, скорочення на щось або поділ на щось. Так, наприклад, при розподілі потрібно перевірити, чи є функції рішеннями диференціального рівняння. У той же час при поділі на необхідність у такій перевірці вже відпадає – тому, що цей дільник не звертається до нуля.

Ось ще одна небезпечна ситуація:

Тут, позбавляючись, слід перевірити, чи не є рішенням ДК. Часто як такий множник зустрічається «ікс», «ігрок», і скорочуючи на них, ми втрачаємо функції, які можуть бути рішеннями.

З іншого боку, якщо щось спочатку знаходиться в знаменнику, то приводу для такого занепокоєння немає. Так, в однорідному рівнянні можна не турбуватися про функцію, оскільки вона «заявлена» у знаменнику.

Перелічені тонкощі не втрачають актуальності, навіть якщо завдання потребує знайти лише приватне рішення. Існує нехай маленький, але шанс, що ми втратимо саме потрібне приватне рішення. Щоправда завдання Кошіу практичних завданнях з однорідними рівняннями вимагають досить рідко. Проте такі приклади є у статті Рівняння, що зводяться до одноріднихя рекомендую вивчити «за гарячими слідами» щоб закріпити свої навички рішення.

Існують і складніші однорідні рівняння. Складність полягає не в заміні змінної або спрощення, а в досить важких або рідкісних інтегралах, які виникають в результаті поділу змінних. У мене є приклади рішень таких однорідних рівнянь – страшні інтеграли та страшні відповіді. Але про них не будемо, бо на найближчих уроках (див. нижче)ще встигну вас закатувати я хочу вас бачити свіжими та оптимістичними!

Успішного просування!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення:перевіримо рівняння на однорідність, для цього вихідне рівняння замістьпідставимо, а замістьпідставимо:

В результаті отримано вихідне рівняння, отже дане ДК є однорідним.