Геометрія – наука не проста. Вона може стати в нагоді як для шкільної програми, так і в реального життя. Знання багатьох формул та теорем спростить геометричні обчислення. Одна з найбільш простих фігуру геометрії – це трикутник. Один із різновидів трикутників, рівносторонній, має свої особливості.

Особливості рівностороннього трикутника

Згідно з визначенням, трикутник – це багатогранник, який має три кути та три сторони. Це плоска двовимірна фігура, її властивості вивчаються в середній школі. За типом кута розрізняють гострокутні, тупокутні та прямокутні трикутники. Прямокутний трикутник – така геометрична фігура, де один із кутів дорівнює 90º. Такий трикутник має два катети (вони створюють прямий кут), і одну гіпотенузу (вона знаходиться навпроти прямого кута). Залежно від того, які величини відомі, існує три простих способуобчислити гіпотенузу прямокутного трикутника.

Перший спосіб знайти гіпотенузу прямокутного трикутника. теорема Піфагора

Теорема Піфагора - найдавніший спосіб обчислити будь-яку зі сторін прямокутного трикутника. Звучить вона так: "У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Таким чином, щоб обчислити гіпотенузу, слід вивести квадратний коріньіз суми двох катетів у квадраті. Для наочності наведені формули та схема.

Другий спосіб. Обчислення гіпотенузи за допомогою 2-х відомих величин: катета та прилеглого кута

Одна з властивостей прямокутного трикутника свідчить, що відношення довжини катета до довжини гіпотенузи, рівносильне косинусу кута між етичним катетом і гіпотенузою. Назвемо відомий нам кут α. Тепер завдяки відомому визначенню можна легко сформулювати формулу для обчислення гіпотенузи: Гіпотенуза = катет/cos(α)

Третій спосіб. Обчислення гіпотенузи за допомогою 2х відомих величин: катета та протилежного кута

Якщо відомий протилежний кут, можна знову скористатися властивостями прямокутного трикутника. Відношення довжини катета та гіпотенузи рівносильне синусу протилежного кута. Знову назвемо відомий кутα. Тепер для обчислень застосуємо трохи іншу формулу:
Гіпотенуза = катет/sin (α)

Приклади, які допоможуть розібратися з формулами

Для більш глибокого розуміння кожної з формул слід розглянути наочні приклади. Отже, припустимо, дано прямокутний трикутник, де є такі дані:

• Катет – 8 см.
• Прилеглий кут cosα1 – 0.8.
• Протилежний кут sinα2 – 0.8.

По теоремі Піфагора: Гіпотенуза = корінь квадратний (36 + 64) = 10 см.
За величиною катета та прилеглого кута: 8/0.8 = 10 см.
За величиною катета та протилежного кута: 8/0.8 = 10 см.

Розібравшись у формулі, можна легко обчислити гіпотенузу з будь-якими даними.

Відео: Теорема Піфагора

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні красиві назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у зовсім незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… у темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач про прямокутний трикутник можна просто заповнити такі прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звісно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звісно, ​​. Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

ВИМІР ПЛОЩІВ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА 1 .

__________
1 Піфагор - грецький вчений, який жив близько 2500 років тому (564-473 р. до н.е.).
_________

Нехай дано прямокутний трикутник, сторони якого а, bі з(чорт. 267).

Збудуємо на його сторонах квадрати. Площа цих квадратів відповідно дорівнює а 2 , b 2 та з 2 . Доведемо, що з 2 = а 2 + b 2 .

Побудуємо два квадрати МКОР і М"К"О"Р" (чорт. 268, 269), прийнявши за бік кожного з них відрізок, що дорівнює сумі катетів прямокутного трикутника АВС.

Виконавши у цих квадратах побудови, показані на кресленнях 268 і 269, побачимо, що квадрат МКОР розбився на два квадрати з площами а 2 та b 2 і чотири рівні прямокутні трикутники, кожен з яких дорівнює прямокутному трикутнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" розбився на чотирикутник (він на кресленні 269 заштрихований) і чотири прямокутні трикутники, кожен з яких також дорівнює трикутнику АВС. Заштрихований чотирикутник - квадрат, оскільки сторони його рівні (кожна дорівнює гіпотенузі трикутника АВС, тобто. з), а кути - прямі / 1 + / 2 = 90 °, звідки / 3 = 90 °).

Таким чином, сума площ квадратів, побудованих на катетах (на кресленні 268 ці квадрати заштриховані), дорівнює площі квадрата МКОР без суми площ чотирьох рівних трикутників, а площа квадрата, побудованого на гіпотенузі (на кресленні 269 цей квадрат теж заштрихований), дорівнює площі М"К"О"Р", що дорівнює квадрату МКОР, без суми площ чотирьох таких же трикутників. Отже, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Отримуємо формулу з 2 = а 2 + b 2 , де з- гіпотенуза, аі b- Катети прямокутного трикутника.

Теорему Піфагора коротко прийнято формулювати так:

Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

З формули з 2 = а 2 + b 2 можна отримати такі формули:

а 2 = з 2 - b 2 ;
b 2 = з 2 - а 2 .

Цими формулами можна використовувати для знаходження невідомої сторони прямокутного трикутника по двох даних сторонам.
Наприклад:

а) якщо дано катети а= 4 см, b=3 см, можна знайти гіпотенузу ( з):
з 2 = а 2 + b 2, тобто. з 2 = 4 2 + 3 2; з 2 = 25, звідки з= √25 =5 (см);

б) якщо дані гіпотенуза з= 17 см та катет а= 8 см, то можна знайти інший катет ( b):

b 2 = з 2 - а 2, тобто. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, звідки b= √225 = 15 (см).

Наслідок: Якщо у двох прямокутних трикутниках АВС та А 1 В 1 С 1 гіпотенузи зі з 1 рівні, а катет bтрикутника АВС більше катета b 1 трикутника А 1 В 1 C 1 ,
то катет атрикутника АВС менше катета а 1 трикутника А 1 В 1 C 1 . (Зробити креслення, що ілюструє це слідство.)

Насправді, на підставі теореми Піфагора отримаємо:

а 2 = з 2 - b 2 ,
а 1 2 = з 1 2 - b 1 2

У записаних формулах зменшувані рівні, а віднімається в першій формулі більше віднімається в другій формулі, отже, перша різниця менше другої,
тобто. а 2 < а 1 2 . Звідки а< а 1 .

Вправи.

1. Користуючись кресленням 270, довести теорему Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника.

2. Один катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, інший – 5 см. Обчислити довжину гіпотенузи цього трикутника.

3. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, один із катетів дорівнює 8 см. Обчислити довжину іншого катета цього трикутника.

4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 37 см, один із його катетів дорівнює 35 см. Обчислити довжину іншого катета цього трикутника.

5. Побудувати квадрат, за площею вдвічі більший за цей.

6. Побудувати квадрат, за площею вдвічі меншим від даного. Вказівка.Провести у даному квадратідіагоналі. Квадрати, збудовані на половинах цих діагоналей, будуть шуканими.

7. Катети прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 12 см і 15 см. Обчислити довжину гіпотенузи цього трикутника з точністю до 0,1 см.

8. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20 см, один із його катетів дорівнює 15 см. Обчислити довжину іншого катета з точністю до 0,1 см.

9. Якої довжини мають бути сходи, щоб їх можна було приставити до вікна, що знаходиться на висоті 6 м, якщо нижній кінець сходів повинен відстояти від будівлі на 2,5 м? (Чорт. 271.)

теорема Піфагора- Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення

між сторонами прямокутного трикутника.

Вважається, що доведено грецьким математиком Піфагором, на честь якого названо.

Геометричне формулювання теореми Піфагора.

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,

побудованих на катетах.

Алгебраїчне формулювання теореми Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b:

Обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, воно не

потребує поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та

вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотний теорема Піфагора.

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то

трикутник прямокутний.

Або, іншими словами:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, bі c, такий, що

існує прямокутний трикутник із катетами aі bта гіпотенузою c.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.

Теорема Піфагор для рівностороннього трикутника.

Докази теореми Піфагора.

На даний момент у науковій літературізафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема

Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття

можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них:

докази методом площ, аксіоматичніі екзотичні докази(наприклад,

за допомогою диференціальних рівнянь).

1. Доказ теореми Піфагора через трикутники.

Наступний доказ алгебраїчного формулювання - найпростіший з доказів, що будуються

безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо

її заснування через H.

Трикутник ACHподібний до трикутника ABЗ двома кутами. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC.

Ввівши позначення:

отримуємо:

,

що відповідає -

Склавши a 2 та b 2, отримуємо:

або , що потрібно було довести.

2. Підтвердження теореми Піфагора шляхом площ.

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони

використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

• Доказ через рівнодоповнюваність.

Розташуємо чотири рівні прямокутні

трикутника так, як показано на малюнку

праворуч.

Чотирикутник зі сторонами c- Квадратом,

тому що сума двох гострих кутів 90°, а

розгорнутий кут - 180 °.

Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,

площі квадрата зі стороною ( a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутниківі

Що і потрібно було довести.

3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.

​

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і

спостерігаючи зміну сторониa, ми можемо

записати наступне співвідношення для нескінченно

малих прирощень сторінзі a(використовуючи подобу

трикутників):

Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:

Більш загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетів:

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо:

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді:

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній

пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними

вкладами від збільшення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення

(в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:

теорема Піфагора

Як пояснити, наприклад, таку виняткову увагу з боку математиків і любителів математики до теореми Піфагора? Чому багато хто з них не задовольнявся вже відомими доказами, а знаходив свої, довівши за двадцять п'ять порівняно доступних для огляду століть кількість доказів до кількох сотень?
Коли мова йдепро теорему Піфагора, незвичайне починається вже з її назви. Вважається, що сформулював її вперше аж ніяк не Піфагор. Сумнівним вважають і те, що він надав її доказ. Якщо Піфагор - реальна особа (деякі сумніваються навіть у цьому!), то жив він, швидше за все, у VI-V ст. до зв. е. Сам він нічого не писав, називав себе філософом, що означало, в його розумінні, «що прагне мудрості», заснував піфагорійський союз, члени якого займалися музикою, гімнастикою, математикою, фізикою та астрономією. Очевидно, був він і чудовим оратором, про що свідчить наступна легенда, що стосується перебування його в місті Кротоні: «Перша поява Піфагора перед народом у Кротоні почалася промовою до юнаків, в якій він так суворо, але разом з тим і так захоплююче виклав обов'язки юнаків, що старі у місті просили не залишити їх без повчання. У цій другій промові він вказував на законність і чистоту вдач, як на основи сімейства; у наступних двох він звернувся до дітей та жінок. Наслідком останньої промови, в якій він особливо засуджував розкіш, було те, що до храму Гери були доставлені тисячі дорогоцінних суконь, бо жодна жінка не наважувалася більше показуватися в них на вулиці...» Проте ще в другому столітті нашої ери, тобто через 700 років, жили і творили цілком реальні люди, неабиякі вчені, що знаходилися явно під впливом піфагорійського союзу і відносяться з великою повагою до того, що згідно з легендою створив Піфагор.
Безперечно також, що інтерес до теореми викликається і тим, що вона займає в математиці одне з центральних місць, і задоволенням авторів доказів, які подолали труднощі, про які добре сказав римський поет Квінт Горацій Флакк, який жив до нашої ери: «Важко добре висловити загальновідомі факти».
Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника:
.
Алгебраїчне формулювання:
У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Тобто позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b: a 2 +b 2 =c 2 . Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання є більш елементарним, воно не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотний теорема Піфагора. Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що
a 2 + b 2 = c 2 існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Докази

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її основу через H. Трикутник ACH подібний до трикутника ABC по двох кутах.
Аналогічно, трикутник CBH подібний до ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

або

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

Доказ через рівнодоповнюваність

1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку.
2. Чотирьохкутник із сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90°, а розгорнутий кут - 180°.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.



Що і потрібно було довести.

Докази через рівноскладність

Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється на два квадрати, побудованих на катетах.

Доказ Евкліда

Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK. Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °). Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне. Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABC і JHI рівні по побудові). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI та GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній кроку доказі надається читачеві.