Що таке серединний перпендикуляр у трикутнику. Чотири чудові точки трикутника

На попередньому уроці ми розглянули властивості бісектриси кута як укладеного у трикутник, так і вільного. Трикутник включає три кути і для кожного з них розглянуті властивості бісектриси зберігаються.

Теорема:

Бісектриси АА 1 ВВ 1 СС 1 трикутника перетинаються в одній точці О (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо спочатку дві бісектриси ВР 1 і СС 1 . Вони перетинаються, точка перетину існує. Щоб довести це, припустимо неприємне: нехай дані бісектриси не перетинаються, у такому разі вони паралельні. Тоді пряма ЗС є січною і сума кутів , це суперечить тому, що у всьому трикутнику сума кутів.

Отже, точка Про перетин двох бісектрис існує. Розглянемо її властивості:

Точка Про лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена від його сторін ВА та НД. Якщо ОК - перпендикуляр до НД, OL - перпендикуляр до ВА, то довжини цих перпендикулярів дорівнюють - . Також точка Про лежить на бісектрисі кута і рівновіддалена від його сторін CВ та СА, перпендикуляри ОМ та ОК рівні.

Набули такі рівності:

тобто всі три перпендикуляри, опущені з точки О на сторони трикутника, рівні між собою.

Нас цікавить рівність перпендикулярів OL та ОМ. Ця рівність говорить про те, що точка О рівновіддалена від сторін кута, звідси випливає, що вона лежить на його бісектрисі АА 1 .

Таким чином, ми довели, що всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Крім того, трикутник складається з трьох відрізків, отже нам слід розглянути властивості окремого відрізка.

Задано відрізок АВ. У будь-якого відрізка є середина і через неї можна провести перпендикуляр - позначимо його за р. Таким чином, р – серединний перпендикуляр.

Рис. 2. Ілюстрація до теореми

Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка.

Довести, що (рис. 2).

Доведення:

Розглянемо трикутники та . Вони прямокутні і рівні, тому що мають загальний катет ОМ, а катети АТ та ОВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутний трикутник, рівних за двома катетами. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто, що потрібно було довести.

Справедлива зворотна теорема.

Кожна точка, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Заданий відрізок АВ, серединний перпендикуляр щодо нього р, точка М, рівновіддалена від кінців відрізка. Довести, що точка М лежить на серединному перпендикулярі відрізку (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його заснування, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.

Пряму та зворотну теореми можна узагальнити.

Крапка лежить на серединному перпендикулярі до відрізка тоді і лише тоді, коли вона рівновіддалена від кінців цього відрізка.

Отже, повторимо, що в трикутнику три відрізки і до кожного з них застосовується властивість серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Задано трикутник. Перпендикуляри для його сторін: Р 1 до сторони ВС, Р 2 до сторони АС, Р 3 до сторони АВ.

Довести, що перпендикуляри Р 1 , Р 2 та Р 3 перетинаються у точці О (рис. 4).

Рис. 4. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо два серединні перпендикуляри Р 2 і Р 3 вони перетинаються, точка перетину Про існує. Доведемо цей факт від неприємного - нехай перпендикуляри Р 2 і Р 3 паралельні. Тоді кут розгорнутий, що суперечить тому факту, що сума трьох кутів трикутника становить . Отже, існує точка Про перетин двох з трьох серединних перпендикулярів. Властивості точки О: вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АВ, отже вона рівновіддалена від кінців відрізка АВ: . Також вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС, отже, . Набули такі рівності.

У трикутнику є так звані чотири чудові точки: точка перетину медіан. Точка перетину бісектрис, точка перетину висот та точка перетину серединних перпендикулярів. Розглянемо кожну їх.

Точка перетину медіан трикутника

Теорема 1

Про перетин медіан трикутника: Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину щодо $2:1$ починаючи з вершини.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його медіани. Бо медіани ділять сторони навпіл. Розглянемо середню лінію $A_1B_1$ (Мал. 1).

Малюнок 1. Медіани трикутника

За теоремою 1, $AB||A_1B_1$ і $AB=2A_1B_1$, отже, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Отже, трикутники $ABM$ і $A_1B_1M$ подібні за першою ознакою подібності трикутників. Тоді

Аналогічно доводиться, що

Теорему доведено.

Точка перетину бісектрис трикутника

Теорема 2

Про перетин бісектрис трикутника: Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $AM,\BP,\CK$ його бісектриси. Нехай точка $O$ - точка перетину бісектрис $AM\ і BP$. Проведемо з цієї точки перпендикуляри до сторін трикутника (рис. 2).

Малюнок 2. Бісектриси трикутника

Теорема 3

Кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін.

По теоремі 3, маємо: $ OX = OZ, \ OX = OY $. Отже, $ OY = OZ $. Значить точка $O$ рівновіддалена від сторін кута $ACB$ і, отже, лежить на його бісектрисі $CK$.

Теорему доведено.

Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника

Теорема 4

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються лише у точці.

Доведення.

Нехай дано трикутник $ ABC $, $ n, \ m, \ p $ його серединні перпендикуляри. Нехай точка $ O $ - точка перетину серединних перпендикулярів $ n і $ $ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединні перпендикуляри трикутника

Для доказу нам знадобиться така теорема.

Теорема 5

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.

За теоремою 3, маємо: $ OB = OC, \ OB = OA $. Отже, $OA=OC$. Значить, точка $O$ рівновіддалена від кінців відрізка $AC$ і, отже, лежить на його серединному перпендикулярі $p$.

Теорему доведено.

Точка перетину висот трикутника

Теорема 6

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його висоти. Проведемо через кожну вершину трикутника пряму, паралельну до протилежної вершині стороні. Отримуємо новий трикутник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Висоти трикутника

Оскільки $AC_2BC$ і $B_2ABC$ паралелограми із загальною стороною, то $AC_2=AB_2$, тобто точка $A$ -- середина сторони $C_2B_2$. Аналогічно, отримуємо, що точка $ B $ - середина сторони $ C_2A_2 $, а точка $ C $ - середина сторони $ A_2B_2 $. З побудови маємо, що $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Отже, $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ - серединні перпендикуляри трикутника $A_2B_2C_2$. Тоді, за теоремою 4, маємо, що висоти $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ перетинаються в одній точці.

Словник термінів планіметрії- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї Ж З І К Л М Н О П Р С … Вікіпедія

Колінеарні точки

Конкурентні прямі- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Окружність Аполонія- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Перетворення площини- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Чевіана- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Глосарій планіметрії– Ця сторінка глосарій. також основну статтю: Планіметрія Тут зібрані визначення термінів планіметрії. Курсивом виділено посилання на терміни у цьому словнику (на цій сторінці) … Вікіпедія

Завдання Аполлонія- Завдання Аполлонія побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена… Вікіпедія

Завдання Аполонія- Завдання Аполлонія побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена, але… … Вікіпедія

Діаграма Вороного- випадкової множини точок на площині Діаграма Вороної кінцевої множини точок S на площині представляє таке розбиття площини, при якому … Вікіпедія

Теорема:

Бісектриси АА 1 ВВ 1 СС 1 трикутника перетинаються в одній точці О (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Отже, точка Про перетин двох бісектрис існує. Розглянемо її властивості:

Набули такі рівності:

тобто всі три перпендикуляри, опущені з точки О на сторони трикутника, рівні між собою.

Таким чином, ми довели, що всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Крім того, трикутник складається з трьох відрізків, отже нам слід розглянути властивості окремого відрізка.

Рис. 2. Ілюстрація до теореми

Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка.

Довести, що (рис. 2).

Доведення:

Розглянемо трикутники та . Вони прямокутні і рівні, тому що мають загальний катет ОМ, а катети АТ і ОВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутні трикутники, рівних за двома катетами. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто, що потрібно було довести.

Справедлива зворотна теорема.

Кожна точка, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Рис. 3. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.

Пряму та зворотну теореми можна узагальнити.

Теорема:

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Задано трикутник. Перпендикуляри для його сторін: Р 1 до сторони ВС, Р 2 до сторони АС, Р 3 до сторони АВ.

Довести, що перпендикуляри Р 1 , Р 2 та Р 3 перетинаються у точці О (рис. 4).

Рис. 4. Ілюстрація до теореми

Доведення: