Вирішити дробовий інтеграл. Інтегрування раціональних дробів

Як відомо, будь-яку раціональну функцію від деякої змінної x можна розкласти на багаточлен та найпростіші, елементарні дроби. Є чотири типи найпростіших дробів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Тут a, A, B, b, c – дійсні числа. Рівняння x 2 + bx + c = 0не має дійсних коренів.

Інтегрування дробів перших двох типів

Інтегрування перших двох дробів виконується за допомогою наступних формул з таблиці інтегралів:
,
, n ≠ - 1 .

1. Інтегрування дробу першого типу

Дроб першого типу підстановкою t = x - a приводиться до табличного інтегралу:
.

2. Інтегрування дробу другого типу

Дроб другого типу приводиться до табличного інтегралу тією ж підстановкою t = x - a :

.

3. Інтегрування дробу третього типу

Розглянемо інтеграл від дробу третього типу:
.
Обчислюватимемо його в два прийоми.

3.1. Крок 1. Виділимо в чисельнику похідну знаменника

Виділимо в чисельнику дробу похідну від знаменника. Позначимо: u = x 2 + bx + c. Диференціюємо: u′ = 2 x + b. Тоді
;
.
Але
.
Ми опустили знак модуля, оскільки .

Тоді:
,
де
.

3.2. Крок 2. Обчислюємо інтеграл з A = 0, B = 1

Тепер обчислюємо інтеграл, що залишився:
.

Наводимо знаменник дробу до сумі квадратів:
,
де.
Ми вважаємо, що рівняння x 2 + bx + c = 0не має коріння. Тому.

Зробимо підстановку
,
.
.

Отже,
.

Тим самим ми знайшли інтеграл від дробу третього типу:

,
де.

4. Інтегрування дробу четвертого типу

І нарешті, розглянемо інтеграл від дробу четвертого типу:
.
Обчислюємо його у три прийоми.

4.1) Виділяємо в чисельнику похідну знаменника:
.

4.2) Обчислюємо інтеграл
.

4.3) Обчислюємо інтеграли
,
використовуючи формулу приведення:
.

4.1. Крок 1. Виділення у чисельнику похідної знаменника

Виділимо в чисельнику похідну знаменника, як ми це робили в . Позначимо u = x 2 + bx + c. Диференціюємо: u′ = 2 x + b. Тоді
.

.
Але
.

Остаточно маємо:
.

4.2. Крок 2. Обчислення інтегралу з n = 1

Обчислюємо інтеграл
.
Його обчислення викладено у .

4.3. Крок 3. Висновок формули наведення

Тепер розглянемо інтеграл
.

Наводимо квадратний тричлен до суми квадратів:
.
Тут.
Робимо підстановку.
.
.

Виконуємо перетворення та інтегруємо вроздріб.




.

Помножимо на 2(n - 1):
.
Повертаємося до x та I n .
,
;
;
.

Отже, для In ми отримали формулу приведення:
.
Послідовно застосовуючи цю формулу, ми зведемо інтеграл I n до I 1 .

приклад

Обчислити інтеграл

Рішення

1. Виділимо в чисельнику похідну знаменника.
;
;


.
Тут
.

2. Обчислюємо інтеграл від найпростішого дробу.

.

3. Застосовуємо формулу наведення:

для інтегралу.
У нашому випадку b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Виписуємо цю формулу для n = 2 та n = 3 :
;
.
Звідси

.

Остаточно маємо:

.
Знаходимо коефіцієнт при .
.

Все вищевикладене у попередніх пунктах дозволяє нам сформулювати основні правила інтегрування раціонального дробу.

1. Якщо раціональний дріб неправильний, то його подають у вигляді суми багаточлена та правильного раціонального дробу (див. п. 2).

Цим самим інтегрування неправильного раціонального дробу зводять до інтегрування багаточлена та правильного раціонального дробу.

2. Розкладають знаменник правильного дробу на множники.

3. Правильний раціональний дріб розкладають на суму найпростіших дробів. Цим самим інтегрування правильного раціонального дробу зводять до інтегрування найпростіших дробів.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайти.

Рішення. Під інтегралом стоїть неправильний раціональний дріб. Виділяючи цілу частину, отримаємо

Отже,

Помічаючи, що , розкладемо правильний раціональний дріб

на найпростіші дроби:

(Див. формулу (18)). Тому

Таким чином, остаточно маємо

Приклад 2. Знайти

Рішення. Під інтегралом стоїть правильний раціональний дріб.

Розкладаючи її на найпростіші дроби (див. формулу (16)), отримаємо

Матеріал, викладений у цій темі, спирається на відомості, подані в темі "Раціональні дроби. Розкладання раціональних дробів на елементарні (найпростіші) дроби" . Дуже раджу хоча б швидко переглянути цю тему перед тим, як переходити до читання даного матеріалу. Крім того, нам буде потрібна таблиця невизначених інтегралів.

Нагадаю кілька термінів. Про них йшлося у відповідній темі, тому тут обмежуся коротким формулюванням.

Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцією або раціональним дробом. Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильною.

Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати

Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратне рівняння$x^2+px+q=0$. Дискримінант цього рівняння $D=p^2-4q$. Власне, умова $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладемо на множники.

Приклади раціональних дробів (правильних та неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти. Тут нас цікавитимуть лише питання їхнього інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен із чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проінтегрувати, використовуючи формули, вказані нижче. Нагадаю, що з інтегруванні дробів типу (2) і (4) передбачається $n=2,3,4,ldots$. Формули (3) та (4) вимагають виконання умови $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)

Для $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ робиться заміна $t=x+\frac(p)(2)$, після отриманий інтерал розбивається на два. Перший обчислюватиметься за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)

Обчислення такого інтеграла розібрано на прикладі №7 (див. третину).

Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):

1. Якщо підінтегральний дріб є елементарним, то застосувати формули (1)-(4).
2. Якщо підінтегральний дріб не є елементарним, то подати його у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1)-(4).

Вказаний вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечну гідність – він універсальний. Тобто. користуючись цим алгоритмом можна проінтегрувати будь-якураціональний дріб. Саме тому майже всі заміни змінних у невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрична підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після заміни отримати під інтералом раціональний дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосування цього алгоритму розберемо на прикладах, попередньо зробивши невелику примітку.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

У принципі цей інтеграл нескладно отримати без механічного застосування формули . Якщо винести константу $7$ за знак інтеграла і врахувати, що $dx=d(x+9)$, то отримаємо:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Для детальної інформації рекомендую подивитися тему. Там докладно пояснюється, як вирішуються такі інтеграли. До речі, формула доводиться тими самими перетвореннями, що були застосовані у цьому пункті під час вирішення "вручну".

2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу , слід врахувати, що коефіцієнт перед $x$ (число 4) доведеться прибрати. Для цього цю четвірку просто винесемо за дужки:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Тепер настала черга і для застосування формули:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можна обійтися і застосування формули . І навіть без винесення константи $4$ за дужки. Якщо врахувати, що $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, то отримаємо:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Детальні пояснення щодо знаходження подібних інтегралів дано у темі "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)".

3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Цей дріб має структуру $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, де $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однак, щоб переконатися, що це дійсно елементарний дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Вирішимо цей приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити в чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Саме вираз $2x+10$ нам і належить вичленувати в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $4x+7$, але це ненадовго. Застосуємо до чисельника таке перетворення:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Тепер у чисельнику з'явився необхідний вираз $2x+10$. І наш інтеграл можна переписати у такому вигляді:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Розіб'ємо підінтегральний дріб на два. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоєм":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Поговоримо спершу перший інтеграл, тобто. про $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Оскільки $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в чисельнику підінтегрального дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $( 2x+10)dx$ запишемо $d(x^2+10x+34)$.

Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо в знаменнику повний квадрат: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $dx=d(x+5)$. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Якщо в першому інтегралі зробити заміну $u=x^2+10x+34$, то він набуде вигляду $\int\frac(du)(u)$ і візьметься простим застосуванням другої формули з . Що ж до другого інтеграла, то для нього здійснена заміна $u=x+5$, після якої він набуде вигляду $\int\frac(du)(u^2+9)$. Це чистої водиодинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5)^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули, що, власне, не дивно. Взагалі, формула доводиться тими самими способами, які ми використовували для знаходження цього інтеграла. Вважаю, що у уважного читача тут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:

Питання №1

Якщо інтегралу $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів , ми отримаємо таке:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Чому ж у рішенні був відсутній модуль?

Відповідь на запитання №1

Питання цілком закономірне. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $x^2+10x+34$ за будь-якого $x\in R$ більший за нуль. Це зовсім нескладно показати кількома шляхами. Наприклад, оскільки $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ і $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$ . Можна розсудити і інакше, не залучаючи виділення повного квадрата. Оскільки $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ при будь-якому $x\in R$ (якщо цей логічний ланцюжок викликає подив, раджу подивитися графічний методрішення квадратних нерівностей). У кожному разі, оскільки $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, тобто. замість модуля можна використовувати звичайні дужки.

Усі пункти прикладу №1 вирішено, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C $.

Приклад №2

Знайти інтеграл $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На перший погляд підінтегральний дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ дуже схожа на елементарну дріб третього типу, тобто. на $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Здається, що єдина відмінність - це коефіцієнт $3$ перед $x^2$, але коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак це схожість здається. Для дробу $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ обов'язковою є умова $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коефіцієнт перед $x^2$ не дорівнює одиниці, тому перевірити умову $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тому вираз $3x^2-5x-2$ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не є елементаним дробом третього типу, і застосовувати до інтегралу $\int\frac(7x+12)(3x^2- 5x-2)dx$ формулу не можна.

Ну що ж, якщо заданий раціональний дріб не є елементарним, то його потрібно подати у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися. Як розкласти раціональний дріб на елементарні докладно написано. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotleft(x+frac(1)(3)right)(x-2). $$

Подинтеральний дріб представимо в такому вигляді:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Тепер розкладемо дріб $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарні:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3) \right). $$

Щоб знайти коефіцієнти $A$ і $B$, є два стандартні шляхи: метод невизначених коефіцієнтів і метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $x=2$, а потім $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Оскільки коефіцієнти знайдено, залишилося лише записати готове розкладання:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі акуратніший варіант:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Повертаючись до вихідного інтегралу, підставимо до нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу . Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Відповідь: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | + C $.

Приклад №3

Знайти інтеграл $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. У чисельнику розташований многочлен другого ступеня, а знаменнику - многочлен третього ступеня. Оскільки ступінь многочлена у чисельнику менше ступеня многочлена у знаменнику, тобто. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$

Нам залишиться лише розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу. Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Відповідь: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4|-\ln|x-9|+C$.

Продовження аналізу прикладів цієї теми розташоване в другій частині.

Як я вже зазначав, в інтегральному обчисленні немає зручної формули для інтегрування дробу. І тому спостерігається сумна тенденція: чим «навороченіший» дріб, тим важче знайти від нього інтеграл. У зв'язку з цим доводиться вдаватися до різних хитрощів, про які я зараз і розповім. Підготовлені читачі можуть одразу скористатися змістом:

• Метод підведення під знак диференціалу для найпростіших дробів

Метод штучного перетворення чисельника

Приклад 1

До речі, розглянутий інтеграл можна вирішити і шляхом заміни змінної, позначаючи , але запис рішення вийде значно довшим.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення. Слід зазначити, що тут метод заміни змінної не пройде.

Увага, важливо! Приклади №№1,2 є типовими та зустрічаються часто. У тому числі подібні інтеграли нерідко виникають у ході вирішення інших інтегралів, зокрема при інтегруванні ірраціональних функцій (коренів).

Розглянутий прийом працює і у випадку, якщо старший ступінь чисельника, більший за старший ступінь знаменника.

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Починаємо підбирати чисельник.

Алгоритм підбору чисельника приблизно такий:

1) У чисельнику мені потрібно організувати, але там. Що робити? Покладаю в дужки і множу на : .

2) Тепер намагаюся розкрити ці дужки, що вийде? . Хмм ... вже краще, але ніякої двійки при спочатку в чисельнику немає. Що робити? Потрібно домножити на:

3) Знову розкриваю дужки: . А ось і перший успіх! Потрібний вийшов! Але проблема в тому, що з'явився зайвий доданок. Що робити? Щоб вираз не змінилося, я зобов'язаний додати до своєї конструкції те саме:
. Жити полегшало. А чи не можна ще раз у чисельнику організувати?

4) Можна. Пробуємо: . Розкриваємо дужки другого доданку:
. Вибачте, але в мене взагалі було на попередньому кроці, а не. Що робити? Потрібно домножити другий доданок на:

5) Знову для перевірки розкриваю дужки у другому доданку:
. Ось тепер нормально: отримано із остаточної конструкції пункту 3! Але знову є маленьке «але», з'явилося зайве доданок, отже, я повинен додати до свого виразу:

Якщо все виконано правильно, то при розкритті всіх дужок у нас має вийти вихідний чисельник підінтегральної функції. Перевіряємо:
Гуд.

Таким чином:

Готово. В останньому доданку я застосував метод підведення функції під диференціал.

Якщо знайти похідну від відповіді та привести вираз до спільного знаменника, то в нас вийде точно вихідна підінтегральна функція . Розглянутий метод розкладання на суму – не що інше, як зворотне дію до приведення висловлювання до спільного знаменника.

Алгоритм підбору чисельника в подібних прикладах краще виконувати на чернетці. За деяких навичок виходитиме і подумки. Пригадую рекордний випадок, коли я виконував підбір для 11-го ступеня, і розкладання чисельника зайняло майже два рядки Верда.

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення.

Метод підведення під знак диференціалу для найпростіших дробів

Переходимо до розгляду такого типу дробів.
, , , (коефіцієнти і не дорівнюють нулю).

Насправді пара випадків з арксинусом та арктангенсом вже прослизала на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі. Вирішуються такі приклади способом підведення функції під знак диференціала та подальшим інтегруванням за допомогою таблиці. Ось ще типові прикладиз довгим та високим логарифмом:

Приклад 5

Приклад 6

Тут доцільно взяти до рук таблицю інтегралів і простежити, за якими формулами і якздійснюється перетворення. Зверніть увагу, як і навіщовиділяються квадрати у даних прикладах. Зокрема, у прикладі 6 спочатку необхідно подати знаменник у вигляді потім підвести під знак диференціалу. А зробити це все потрібно для того, щоб скористатися стандартною табличною формулою .

Та що дивитися, спробуйте самостійно вирішити приклади №№7,8, тим паче вони досить короткі:

Приклад 7

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл:

Якщо Вам вдасться виконати ще й перевірку даних прикладів, великий респект – Ваші навички диференціювання на висоті.

Метод виділення повного квадрата

Інтеграли виду, (Коефіцієнти і не дорівнюють нулю) вирішуються методом виділення повного квадрата, який вже фігурував на уроці Геометричні перетворення графіків.

Насправді такі інтеграли зводяться до одного з чотирьох табличних інтегралів, які ми щойно розглянули. А досягається це за допомогою знайомих формул скороченого множення:

Формули застосовуються саме у такому напрямі, тобто, ідея методу у тому, щоб у знаменнику штучно організувати висловлювання або , та був перетворити їх у .

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

Це найпростіший приклад, в якому при доданку – одиничний коефіцієнт(а не якесь число чи мінус).

Дивимося на знаменник, тут вся справа явно зведеться. Починаємо перетворення знаменника:

Очевидно, що потрібно додавати 4. І щоб вираз не змінилося – цю ж четвірку і віднімати:

Тепер можна застосувати формулу:

Після того, як перетворення закінчено ЗАВЖДИбажано виконати Зворотній хід: , все нормально, помилок немає.

Чистове оформлення прикладу, що розглядається, має виглядати приблизно так:

Готово. Підведенням «халявної» складної функціїпід знак диференціалу: , в принципі, можна було знехтувати

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл:

Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл:

Що робити, коли перед знаходиться мінус? У цьому випадку, необхідно винести мінус за дужки і розмістити доданки в необхідному нам порядку: . Константу(«двійку» у цьому випадку) не чіпаємо!

Тепер у дужках додаємо одиначку. Аналізуючи вираз, приходимо до висновку, що і за дужкою потрібно один - додати:

Тут вийшла формула, застосовуємо:

ЗАВЖДИвиконуємо на чернетці перевірку:
, Що і потрібно перевірити.

Чистове оформлення прикладу виглядає приблизно так:

Ускладнюємо завдання

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл:

Тут при доданку вже не одиничний коефіцієнт, а «п'ятірка».

(1) Якщо знаходиться константа, то її відразу виносимо за дужки.

(2) І взагалі цю константу завжди краще винести за межі інтеграла, щоб вона не заважала під ногами.

(3) Очевидно, що все зведеться до формули . Треба розібратися в доданку, а саме, отримати «двійку»

(4) Ага, . Значить, до виразу додаємо, і цей же дріб віднімаємо.

(5) Тепер виділяємо повний квадрат. У загальному випадкутакож треба обчислити, але тут у нас вимальовується формула довгого логарифму , і дію виконувати немає сенсу, чому – стане ясно трохи нижче.

(6) Власне, можна застосувати формулу , Тільки замість «ікс» у нас, що не скасовує справедливість табличного інтеграла. Строго кажучи, пропущено один крок – перед інтегруванням функцію слід підвести під знак диференціала: Але, як я вже неодноразово наголошував, цим часто нехтують.

(7) У відповіді під коренем бажано розкрити всі дужки назад:

Важко? Це ще найскладніше в інтегральному обчисленні. Хоча приклади, що розглядаються, не так складні, скільки вимагають хорошої техніки обчислень.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл:

Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.

Існують інтеграли з корінням у знаменнику, які за допомогою заміни зводяться до інтегралів розглянутого типу, про них можна прочитати у статті Складні інтегралиале вона розрахована на дуже підготовлених студентів.

Підведення чисельника під знак диференціалу

Це заключна частина уроку, проте інтеграли такого типу зустрічаються досить часто! Якщо накопичилася втома, може, воно краще завтра почитати? ;)

Інтеграли, які ми розглядатимемо, схожі на інтеграли попереднього параграфа, вони мають вигляд: або (Коефіцієнти , і не дорівнюють нулю).

Тобто, у чисельнику у нас з'явилася лінійна функція. Як вирішувати такі інтеграли?

Тут ми наводимо докладні рішеннятрьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
, , .

Приклад 1

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, оскільки підінтегральний вираз є дробом із багаточленів. Ступінь багаточлена знаменника ( 3 ) менше ступеня багаточлена чисельника ( 4 ). Тому спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.

1. Виділимо цілу частину дробу. Ділимо x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Звідси
.

2. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно розв'язати кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Підставимо x = 1 :
.

1 . Ділимо на x - 1 :

Звідси
.
Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Коріння рівняння: , .
Тоді
.

3. Розкладемо дріб на найпростіші.

.

Отже, ми знайшли:
.
Інтегруємо.

Відповідь

Приклад 2

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут у чисельнику дробу - багаточлен нульового ступеня ( 1 = x 0). У знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки 0 < 3 , то дріб правильний. Розкладемо її на найпростіші дроби.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 3 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 3, -1, -3 .
Підставимо x = 1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = 1 . Ділимо x 3 + 2 x - 3на x - 1 :

Отже,
.

Вирішуємо квадратне рівняння:
x 2+x+3=0.
Знаходимо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 3 = -11. Оскільки D< 0 , то рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Підставимо x = 1 . Тоді x - 1 = 0 ,
.

Підставимо в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Прирівняємо в (2.1) коефіцієнти при x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Інтегруємо.
(2.2) .
Для обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника та наведемо знаменник до суми квадратів.

;
;
.

Обчислюємо I 2 .


.
Оскільки рівняння x 2+x+3=0не має дійсних коренів, то x 2 + x + 3 > 0. Тому знак модуля можна опустити.

Поставляємо в (2.2) :
.

Відповідь

Приклад 3

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут під знаком інтеграла стоїть дріб із багаточленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 3 . Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює 4 . Оскільки 3 < 4 , то дріб правильний. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = -1 . Ділимо на x - (-1) = x + 1:


Отже,
.

Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли ще один корінь x = -1 . Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.

Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0 не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2. Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:
.
Звільняємося від знаменника дробу, множимо на (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Підставимо x = -1 . Тоді x + 1 = 0 ,
.

Продиференціюємо (3.1) :

;

.
Підставимо x = -1 та врахуємо, що x + 1 = 0 :
;
; .

Підставимо в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Прирівняємо в (3.1) коефіцієнти при x 3 :
;
1 = B + C;
.

Отже, ми знайшли розкладання на найпростіші дроби:
.

3. Інтегруємо.


.