Основні поняття, розв'язання систем лінійних нерівностей. Калькулятор онлайн

Розглянемо на прикладах, як вирішити систему лінійних нерівностей.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Щоб вирішити систему, потрібна кожна зі складових її нерівностей. Тільки рішення прийнято записувати не окремо, а разом, поєднуючи їх фігурною дужкою.

У кожній із нерівностей системи невідомі переносимо в один бік, відомі — в іншу з протилежним знаком:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Після спрощення обидві частини нерівності треба поділити на число, що стоїть перед іксом. Першу нерівність ділимо на позитивне число, тому знак нерівності не змінюється. Другу нерівність поділяємо на негативне число, тому знак нерівності треба змінити на протилежний:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Вирішення нерівностей відзначаємо на числових прямих:

У відповідь записуємо перетин рішень, тобто ту частину, де штрихування є на обох прямих.

Відповідь: x∈[-2;1).

У першій нерівності позбудемося дробу. І тому обидві частини помножимо почленно на найменший загальний знаменник 2. При множенні на позитивне число знак нерівності не змінюється.

У другій нерівності розкриваємо дужки. Добуток суми та різниці двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів. У правій частині — квадрат різниці двох виразів.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Невідомі переносимо в один бік, відомі — в інший із протилежним знаком та спрощуємо:

Обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом. У першому нерівності ділимо на негативне число, тому знак нерівності змінюється протилежний. У другому - ділимо на позитивне число, знак нерівності не змінюється:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Обидві нерівності зі знаком «менше» (не істотно, що один знак — строго «менший», інший — нестрогий, «менший або одно»). Можемо не відзначати обидва рішення, а скористатися правилом. Меншим є 1, отже, система зводиться до нерівності

Зазначаємо його рішення на числовій прямій:

Відповідь: x∈(-∞;1].

Розкриваємо дужки. У першому нерівності - . Воно дорівнює сумі кубів цих виразів.

У другому — добуток суми та різниці двох виразів, що дорівнює різниці квадратів. Оскільки тут перед дужками стоїть знак мінус, краще їх розкриття провести у два етапи: спочатку скористатися формулою, а вже потім розкривати дужки, змінюючи знак кожного доданка на протилежний.

Переносимо невідомі в один бік, відомі в інший з протилежним знаком:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Обидва знаки «більше». Використовуючи правило «більшого», зводимо систему нерівностей до однієї нерівності. Більше двох чисел 5, отже,

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Вирішення нерівності відзначаємо на числовій прямій та записуємо відповідь:

Відповідь: x∈(5;∞).

Оскільки в алгебрі системи лінійних нерівностей зустрічається не тільки як самостійні завдання, а й у ході розв'язання різного роду рівнянь, нерівностей і т.д., важливо вчасно засвоїти цю тему.

Наступного разу ми розглянемо приклади розв'язання систем лінійних нерівностей у окремих випадках, коли одне з нерівностей немає рішень чи його рішенням є будь-яке число.

Рубрика: |

Не всі знають, як вирішувати нерівності, які за своєю структурою мають схожі та відмінні рисиіз рівняннями. Рівняння - вправа, що складається з двох частин, між якими стоїть знак рівності, а між частинами нерівності може стояти знак "більше" або "менше". Таким чином, перш ніж знайти рішення конкретної нерівності, ми повинні розуміти, що варто враховувати знак числа (позитивне або негативне), якщо виникає необхідність множення обох частин на якийсь вираз. Цей факт слід враховувати, якщо потрібно для вирішення нерівності зводити в квадрат, оскільки зведення в квадрат проводиться шляхом множення.

Як вирішувати систему нерівностей

Набагато складніше вирішувати системи нерівностей, ніж нормальні нерівності. Як розв'язувати нерівності 9 клас, розглянемо на конкретних прикладах. Слід розуміти, що перед тим, як вирішувати квадратні нерівності (системи) або будь-які інші системи нерівностей, необхідно вирішити кожну нерівність окремо, після чого порівняти їх. Рішенням системи нерівності буде або позитивна, або негативна відповідь (має система рішення або не має рішення).

Завдання - вирішити сукупність нерівностей:

Вирішимо кожну нерівність окремо

Будуємо числову пряму, де зображуємо безліч рішень

Оскільки сукупність - це об'єднання множин рішень, це безліч на числової прямий має бути підкреслено мінімум однією лінією.

Вирішення нерівностей з модулем

Цей приклад покаже, як вирішувати нерівності з модулем. Отже, ми маємо визначення:

Нам необхідно вирішити нерівність:

Перш ніж вирішити таку нерівність, необхідно позбавитися модуля (знака)

Запишемо, ґрунтуючись даними визначення:

Тепер слід вирішувати кожну із систем окремо.

Побудуємо одну числову пряму, де зобразимо безліч рішень.

В результаті у нас вийшла сукупність, що поєднує безліч рішень.

Розв'язання квадратичних нерівностей

Використовуючи числову пряму розглянемо з прикладу розв'язання квадратичних нерівностей. У нас є нерівність:

Нам відомо, що графіком квадратного тричлена є парабола. Також нам відомо, що гілки параболи спрямовані вгору, якщо а>0.

x 2 -3x-4< 0

Користуючись теоремою Вієта знаходимо коріння х 1 = - 1; х 2 = 4

Зобразимо параболу, вірніше, її ескіз.

Таким чином, ми з'ясували, що значення квадратного тричлена будуть меншими за 0 на відрізку від – 1 до 4.

У багатьох виникають питання при вирішенні подвійних нерівностей типу g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Насправді, методів розв'язання нерівностей є кілька, тому ви можете використовувати для вирішення складних нерівностейграфічний метод.

Розв'язання дробових нерівностей

Більше ретельного підходу вимагають собі дробові нерівності. Це зумовлено тим, що в процесі вирішення деяких дробових нерівностейможе змінити знак. Перед тим, як вирішувати дробові нерівності, необхідно знати, що для їх розв'язання використовується метод інтервалів. Дробну нерівність необхідно уявити таким чином, щоб одна сторона від знака виглядала як дробово-раціональне вираження, а друга – «- 0». Перетворюючи нерівність таким чином, ми отримаємо в результаті f(x)/g(x) > (.

Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Методика інтервалів заснована на методі повної індукції, тобто необхідно знайти рішення нерівності перебрати все можливі варіанти. Даний метод вирішення, можливо, і не буде потрібний учням 8-х класів, оскільки вони повинні знати, як вирішувати нерівності 8 клас, які є найпростішими вправами. А ось для старших класів цей метод незамінний, оскільки допомагає вирішити дробові нерівності. Розв'язання нерівностей за допомогою даної методики засноване і на такій властивості безперервної функції, як збереження знака між значеннями, в яких вона обертається на 0.

Побудуємо графік багаточлена. Це безперервна функція, Що набуває значення 0 3 рази, тобто, f(x) дорівнюватиме 0 в точках x 1 , x 2 і x 3 , коренях многочлена. У проміжках між цими точками знак функції зберігається.

Оскільки вирішення нерівності f(x)>0 нам необхідний знак функції, переходимо до координатної прямої, залишивши графік.

f(x)>0 при x(x 1 ; x 2) і при x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) і при х (x 2 ; x 3)

На графіці наочно показані розв'язки нерівностей f(x)f(x)>0 (синім кольором розв'язання першої нерівності, а червоним – другого). Щоб визначити Для визначення знак функції на інтервалі, достатньо того, щоб вам був відомий знак функції в одній із точок. Дана методика дозволяє швидко вирішувати нерівності, в яких ліва частина розкладена на множники, тому що в таких нерівностях досить легко знайти коріння.

На цьому уроці ми розпочнемо вивчення систем нерівностей. Спочатку розглядатимемо системи лінійних нерівностей. На початку уроку розглянемо, звідки і для чого виникають системи нерівностей. Далі вивчимо, що означає вирішити систему, і згадаємо об'єднання та перетин множин. Насамкінець вирішуватимемо конкретні приклади на системи лінійних нерівностей.

Тема: Раціональні нерівності та їх системи

Урок:ОсновніПоняття, розв'язання систем лінійних нерівностей

Досі ми вирішували окремі нерівності та застосовували до них метод інтервалів, це могли бути і лінійні нерівності, і квадратні та раціональні. Тепер перейдемо до вирішення систем нерівностей – спочатку лінійних систем. Подивимося з прикладу, звідки береться необхідність розглядати системи нерівностей.

Знайти область визначення функції

Функція існує, коли існують обидва квадратні корені, тобто.

Як вирішувати таку систему? Необхідно знайти всі x, що задовольняють і першу і другу нерівність.

Зобразимо на осі ox безліч розв'язків першої та другої нерівності.

Проміжок перетину двох променів і є наше рішення.

Такий метод зображення розв'язання системи нерівностей іноді називають методом дахів.

Рішенням системи є перетин двох множин.

Зобразимо це графічно. Маємо безліч А довільної природи і безліч Довільної природи, які перетинаються.

Визначення: Перетином двох множин А і В називається така третя множина, яка складається з усіх елементів, що входять і в А і В.

Розглянемо на конкретних прикладах розв'язання лінійних систем нерівностей, як знаходити перетину множин рішень окремих нерівностей, що входять до системи.

Вирішити систему нерівностей:

Відповідь: (7; 10].

4. Вирішити систему

Звідки може взятися друга нерівність системи? Наприклад, з нерівності

Графічно позначимо розв'язання кожної нерівності та знайдемо проміжок їхнього перетину.

Таким чином, якщо ми маємо систему, в якій одна з нерівностей задовольняє будь-яке значення x, то її можна виключити.

Відповідь: система суперечлива.

Ми розглянули типові опорні завдання, яких зводиться рішення будь-якої лінійної системи нерівностей.

Розглянемо таку систему.

Іноді лінійна система задається подвійною нерівністю, розглянемо такий випадок.

Ми розглянули системи лінійних нерівностей, зрозуміли, звідки з'являються, розглянули типові системи, яких зводяться все лінійні системиі вирішили деякі з них.

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.

2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.

3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.

4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.

6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.

1. Портал Природних наук ().

2. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, російської мови.

4. Центр освіти "Технологія навчання" ().

5. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. № 53; 54; 56; 57.

Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги та посидючості, це вирішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при цьому сильно відрізняються від них. Тому що до їхнього вирішення потрібен особливий підхід.

Властивості, які потрібні для знаходження відповіді

Всі вони застосовуються для того, щоб замінити наявний запис рівносильним. Більшість їх схожа на те, що було в рівняннях. Але є й відмінності.

Функцію, визначену в ОДЗ, або будь-яке число можна додати до обох частин вихідної нерівності.
Аналогічним чином можливе множення, але тільки позитивну функцію чи число.
Якщо це дію виконується з негативними функцією чи числом, то знак нерівності слід замінити протилежний.
Функції, які є невід'ємними, можна зводити на позитивний ступінь.

Іноді вирішення нерівностей супроводжується діями, що дають сторонні відповіді. Їх потрібно виключити, порівнявши область ОДЗ та безліч рішень.

Використання методу інтервалів

Його суть полягає в тому, щоб звести нерівність до рівняння, в якому в правій частині стоїть нуль.

Визначити область, де лежать допустимі значення змінних, тобто ОДЗ.
Перетворити нерівність з допомогою математичних операцій те щоб його правої частини стояв нуль.
Знак нерівності замінити на "=" і розв'язати відповідне рівняння.
На числовій осі відзначити всі відповіді, які вийшли під час рішення, а також інтервали ОДЗ. При суворій нерівності точки потрібно намалювати виколотими. Якщо є знак рівності, їх потрібно зафарбувати.
Визначити знак вихідної функції на кожному інтервалі, що вийшов з точок ОДЗ і відповідей, що ділять його. Якщо під час переходу через точку знак функції не змінюється, вона входить у відповідь. Інакше виключається.
Граничні для ОДЗ точки потрібно додатково перевірити і потім вмикати чи ні у відповідь.
Відповідь, яку виходить, потрібно записати у вигляді об'єднаних множин.

Трохи про подвійні нерівності

Вони використовують у записі одразу два знаки нерівності. Тобто деяка функція обмежена умовами одразу двічі. Такі нерівності вирішуються, як система із двох, коли вихідне розбито на частини. І методі інтервалів вказуються відповіді рішення обох рівнянь.

Для їх вирішення також можна використовувати властивості, зазначені вище. З їхньою допомогою зручно приводити нерівність до рівності нулю.

Як справи з нерівностями, в яких є модуль?

І тут рішення нерівностей використовує такі властивості, причому вони справедливі для позитивного значення «а».

Якщо «х» приймає вираз алгебри, то справедливі такі заміни:

|х|< a на -a < х < a;
|х| > a на х< -a или х >a.

Якщо нерівності несуворі, то формули теж вірні, тільки в них, крім знака більше або менше, з'являється "=".

Як здійснюється розв'язання системи нерівностей?

Це знання знадобиться у випадках, коли дано таке завдання чи є запис подвійного нерівності чи запису з'явився модуль. У такій ситуації рішенням будуть такі значення змінних, які б задовольняли всім нерівностям, що є в записі. Якщо таких чисел немає, система рішень немає.

План, яким виконується розв'язання системи нерівностей:

вирішити кожне з них окремо;
зобразити на числовій осі всі інтервали та визначити їх перетин;
записати відповідь системи, яка і буде об'єднанням того, що вийшло у другому пункті.

Як бути з дрібними нерівностями?

Оскільки під час їх розв'язання може знадобитися зміна знака нерівності, потрібно дуже ретельно і уважно виконувати всі пункти плану. Інакше може вийти протилежна відповідь.

Вирішення дробових нерівностей теж використовує метод інтервалів. І план дій буде таким:

Використовуючи описані властивості, надати дробу такий вигляд, щоб праворуч від знака залишився лише нуль.
Замінити нерівність на «=» і визначити точки, в яких функція дорівнюватиме нулю.
Відзначити їх на координатній осі. При цьому числа, що вийшли в результаті розрахунків у знаменнику, завжди виколоти. Усі інші — з умови нерівності.
Визначити інтервали знаковості.
У відповідь записати об'єднання тих проміжків, знак яких відповідає тому, що був у вихідній нерівності.

Ситуації, коли у нерівності з'являється ірраціональність

Іншими словами, в записі є математичний корінь. Оскільки в шкільному курсі алгебри більша частина завдань йде для квадратного кореня, саме він і буде розглянутий.

Вирішення ірраціональних нерівностей зводиться до того, щоб отримати систему з двох або трьох, які будуть рівносильними вихідному.

Вихідна нерівність	умова	рівносильна система
√ n(х)< m(х)	m(х) менше або дорівнює 0	рішень немає
√ n(х)< m(х)	m(х) більше 0	n(х) більше або дорівнює 0 n(х)< (m(х)) 2
√ n(х) > m(х)		m(х) більше або дорівнює 0 n(х) > (m(х)) 2
√ n(х) > m(х)		n(х) більше або дорівнює 0 m(х) менше 0
√n(х) ≤ m(х)	m(х) менше 0	рішень немає
√n(х) ≤ m(х)	m(х) більше або дорівнює 0	n(х) більше або дорівнює 0 n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(х) ≥ m(х)		m(х) більше або дорівнює 0 n(х) ≥ (m(х)) 2
√n(х) ≥ m(х)		n(х) більше або дорівнює 0 m(х) менше 0
√ n(х)< √ m(х)		n(х) більше або дорівнює 0 n(х) менше m(х)
√n(х) * m(х)< 0		n(х) більше 0 m(х) менше 0
√n(х) * m(х) > 0		n(х) більше 0 m(х) більше 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(х) більше 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(х) дорівнює 0 m(х) -будь-яке
√n(х) * m(х) ≥ 0		n(х) більше 0
√n(х) * m(х) ≥ 0		n(х) дорівнює 0 m(х) -будь-яке

Приклади розв'язання різних видів нерівностей

Для того щоб додати наочності в теорію для розв'язання нерівностей, наведені нижче приклади.

Перший приклад. 2х - 4> 1 + х

Рішення: щоб визначити ОДЗ, досить просто уважно подивитися на нерівність. Воно утворено з лінійних функційтому визначено при всіх значеннях змінної.

Тепер із обох частин нерівності потрібно відняти (1 + х). Виходить: 2х - 4 - (1 + х) > 0. Після того як будуть розкриті дужки і наведені подібні складові нерівність набуде такого вигляду: х - 5 > 0.

Прирівнявши його до нуля, легко знайти його рішення: x = 5.

Тепер цю точку з цифрою 5 потрібно відзначити на координатному промені. Потім перевірити знаки вихідної функції. На першому інтервалі від мінус нескінченності до 5 можна взяти число 0 і підставити його в нерівність, що вийшла після перетворень. Після розрахунків виходить -7> 0. під дугою інтервалу слід підписати знак мінуса.

На наступному інтервалі від 5 до нескінченності можна вибрати число 6. Тоді виходить, що 1 > 0. Під дугою підписано знак +. Цей другий інтервал буде відповіддю нерівності.

Відповідь: x лежить в інтервалі (5; ∞).

Другий приклад. Потрібно вирішити систему двох рівнянь: 3х + 3 ≤ 2х + 1 та 3х - 2 ≤ 4х + 2.

Рішення. ОДЗ цих нерівностей теж лежить у сфері будь-яких чисел, оскільки дано лінійні функції.

Друга нерівність набуде вигляду такого рівняння: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. Після перетворення: -х - 4 =0. З нього виходить значення для змінної, що дорівнює -4.

Ці два числа слід відзначити на осі, зобразивши інтервали. Оскільки нерівність несувора, то всі точки потрібно зафарбувати. Перший інтервал від мінус нескінченності до -4. Нехай буде обрано число -5. Перша нерівність дасть значення -3, а друга 1. Отже, цей проміжок не входить у відповідь.

Другий інтервал від -4 до -2. Можна вибрати число -3 і підставити його в обидві нерівності. У першому та у другому виходить значення -1. Значить, під дугою "-".

На останньому інтервалі від -2 до нескінченності найкращим числом є нуль. Його і слід підставити і знайти значення нерівностей. У першому виходить позитивне число, а другому нуль. Цей проміжок також потрібно виключити з відповіді.

Із трьох інтервалів розв'язанням нерівності є лише один.

Відповідь: x належить [-4; -2].

Третій приклад. |1 - x| > 2 | x - 1 |.

Рішення. Насамперед потрібно визначити точки, у яких функції звертаються у нуль. Для лівого цим числом буде 2, для правого — 1. їх слід зазначити на промені та визначити проміжки знакопостійності.

На першому інтервалі, від мінус нескінченності до 1, функція з лівої частини нерівності приймає позитивні значення, та якщо з правої — негативні. Під дугою потрібно записати поруч два знаки "+" та "-".

Наступний проміжок від 1 до 2. На ньому обидві функції набувають позитивних значень. Значить, під дугою два плюси.

Третій інтервал від 2 до нескінченності дасть такий результат: ліва функція – негативна, права – позитивна.

З урахуванням отриманих знаків необхідно обчислити значення нерівності всім проміжків.

У першому виходить така нерівність: 2 - х > - 2 (х - 1). Мінус перед двійкою у другій нерівності вийшов через те, що ця функція є негативною.

Після перетворення нерівність виглядає так: х > 0. Воно відразу дає значення змінної. Тобто із цього інтервалу у відповідь піде лише проміжок від 0 до 1.

На другому: 2 – х > 2 (х – 1). Перетворення дадуть таку нерівність: -3х + 4 більше за нуль. Його нулем буде значення x = 4/3. З урахуванням знака нерівності виходить, що їх має бути менше цього числа. Це інтервал зменшується до проміжку від 1 до 4/3.

Останній дає такий запис нерівності: - (2 – х) > 2 (х – 1). Його перетворення призводить до такого: -х > 0. Тобто рівняння вірно при меншому нуля. Це означає, що на проміжку, що шукається, нерівність не дає рішень.

На перших двох проміжках граничним виявилося число 1. Його потрібно перевірити окремо. Тобто підставити у вихідну нерівність. Виходить: | 2 - 1 | > 2 |1 - 1|. Підрахунок дає що 1 більше 0. Це вірне твердження, тому одиниця входить у відповідь.

Відповідь: x лежить у проміжку (0; 4/3).

Нерівності та системи нерівностей - це одна з тем, яка проходить у середній школіз алгебри. За рівнем складності вона є не найважчою, тому що має нехитрі правила (про них трохи пізніше). Як правило, розв'язання систем нерівностей школярі засвоюють досить легко. Це пов'язано ще й з тим, що вчителі просто "натягують" своїх учнів на цю тему. І вони не можуть цього не робити, адже вона вивчається і надалі із застосуванням інших математичних величин, а також перевіряється на ОГЕ та ЄДІ. У шкільних підручникахтема, присвячена нерівностям і системам нерівностей, розкрита дуже докладно, тому якщо ви збираєтеся її вивчити, то найкраще вдатися саме до них. Ця стаття лише переказує великі матеріали, і в ній можуть бути деякі опущення.

Поняття системи нерівностей

Якщо звернутися до наукової мови, можна дати визначення поняття " система нерівностей " . Це така математична модель, яка є кілька нерівностей. Від даної моделі, звичайно ж, потрібне рішення, і в його якості виступатиме спільна відповідь для всіх нерівностей системи, запропонованої в завданні (зазвичай у ньому так і пишуть, наприклад: "Розв'яжіть систему нерівностей 4 x + 1 > 2 і 30 - x > 6...”). Однак перед тим як перейти до видів і методів рішень, потрібно ще дещо розібратися.

Системи нерівностей та системи рівнянь

В процесі вивчення нової темидуже часто виникають непорозуміння. З одного боку, все ясно і скоріше хочеться приступити до вирішення завдань, а з іншого - якісь моменти залишаються в "тіні", не зовсім добре осмислюються. Також деякі елементи вже здобутих знань можуть переплітатися з новими. Внаслідок такого "накладення" найчастіше трапляються помилки.

Тому перед тим як розпочати розбір нашої теми, слід згадати про відмінності рівнянь та нерівностей, їх систем. Для цього потрібно ще раз пояснити, що являють собою дані математичні поняття. Рівняння - це завжди рівність, і воно завжди чомусь рівне (в математиці це слово позначається знаком "="). Нерівність ж є такою моделлю, в якій одна величина або більша, або менша за іншу, або містить у собі твердження, що вони неоднакові. Таким чином, у першому випадку доречно говорити про рівність, а в другому, як би це очевидно не звучало із самої назви, про нерівність вихідних даних. Системи рівнянь і нерівностей одна від одної практично не відрізняються і методи їх вирішення однакові. Єдина відмінність у тому, що у першому випадку використовуються рівності, тоді як у другому застосовуються нерівності.

Види нерівностей

Виділяють два види нерівностей: числові та з невідомою змінною. Перший тип є надані величини (цифри), нерівні один одному, наприклад, 8 > 10. Другий - це нерівності, що містять у собі невідому змінну (позначається будь-якою буквою латинського алфавіту, найчастіше X). Ця змінна вимагає свого знаходження. Залежно від того, скільки їх, у математичній моделі розрізняють нерівності з однією (становлять систему нерівностей з однією змінною) або декількома змінними (складають систему нерівностей з кількома змінними).

Два останні види за рівнем своєї побудови та рівнем складності рішення діляться на прості та складні. Прості називають ще лінійними нерівностями. Вони, у свою чергу, поділяються на суворі та несуворі. Суворі конкретно "говорять", що одна величина обов'язково повинна бути або меншою, або більшою, тому це в чистому вигляді нерівність. Можна навести кілька прикладів: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 і т. д. Нестрогі включають ще й рівність. Тобто одна величина може бути більшою або дорівнює іншій величині (знак "≥") або менше або дорівнює іншій величині (знак "≤"). Ще в лінійних нерівностях змінна не стоїть докорінно, квадрат, не ділиться на що-небудь, через що вони називаються "простими". Складні включають невідомі змінні, знаходження яких вимагає виконання більшої кількостіматематичних операцій. Вони часто знаходяться у квадраті, кубі або під коренем, можуть бути модульними, логарифмічними, дробовими та ін. Але оскільки нашим завданням стає необхідність розібратися у вирішенні систем нерівностей, то ми поговоримо про систему лінійних нерівностей. Однак перед цим слід сказати кілька слів про їхні властивості.

Властивості нерівностей

До властивостей нерівностей відносяться такі положення:

Знак нерівності змінюється на зворотний, якщо застосовується операція зі зміни сторін (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , то t 2 ≥ t 1).
Обидві частини нерівності дозволяють додати себе одне й те число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , то t 1 + число ≤ t 2 + число).
Дві та більше нерівностей, що мають знак одного напрямку, дозволяють складати їх ліві та праві частини (наприклад, якщо t 1 ≥ t 2 , t 3 ≥ t 4 , то t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4).
Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на те саме позитивне число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
Дві і більше нерівностей, що мають позитивні члени і знак одного напрямку, дозволяють множити себе один на одного (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 то t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на те саме негативне число, але при цьому знак нерівності змінюється (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
Всі нерівності мають властивість транзитивності (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і t 2 ≤ t 3 , то t 1 ≤ t 3).

Тепер після вивчення основних положень теорії, що стосується нерівностей, можна приступити безпосередньо до розгляду правил розв'язання їх систем.

Вирішення систем нерівностей. Загальні відомості. Способи вирішення

Як мовилося раніше вище, рішенням виступають значення змінної, відповідні всім нерівностей цієї системи. Рішення систем нерівностей - це здійснення математичних процесів, які в результаті призводять до вирішення всієї системи або доводять, що в неї рішень немає. У такому разі кажуть, що змінна відноситься до порожньої числової множини (записується так: літера, що позначає змінну∈ (знак "належить") ø (знак "порожнє безліч"), наприклад, x ∈ ø (читається так: "Змінна "ікс" належить порожній множині"). Вирізняють кілька способів розв'язання систем нерівностей: графічний, алгебраїчний, спосіб підстановки. Варто зауважити, що вони відносяться до тих математичним моделямякі мають кілька невідомих змінних. У разі, коли є лише одна, підійде метод інтервалів.

Графічний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей із кількома невідомими величинами (від двох і вище). Завдяки цьому методу система лінійних нерівностей вирішується досить легко і швидко, тому він є найпоширенішим способом. Це тим, що побудова графіка скорочує обсяг написання математичних операцій. Особливо стає приємним трохи відволіктися від ручки, взяти в руки олівець з лінійкою і почати подальші дії з їх допомогою, коли виконано багато роботи і хочеться невеликого розмаїття. Однак даний методдеякі недолюблюють через те, що доводиться відриватися від завдання та перемикати свою розумову діяльність на малювання. Проте це дуже дієвий спосіб.

Щоб виконати розв'язання системи нерівностей за допомогою графічного способу, необхідно всі члени кожної нерівності перенести до їхньої лівої частини. Знаки зміняться на протилежні, праворуч слід записати нуль, потім потрібно записати кожну нерівність окремо. У результаті нерівностей вийдуть функції. Після цього можна діставати олівець та лінійку: тепер потрібно намалювати графік кожної отриманої функції. Все безліч чисел, яке опиниться в інтервалі їх перетину, буде рішенням системи нерівностей.

Алгебраїчний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей із двома невідомими змінними. Також нерівності повинні мати однаковий знак нерівності (тобто зобов'язані містити або тільки знак "більше", або тільки знак "менше" тощо) Незважаючи на свою обмеженість, цей спосіб ще й складніший. Він застосовується у двох етапах.

Перший включає себе дії з позбавлення однієї з невідомих змінних. Спочатку потрібно її вибрати, потім перевірити наявність чисел перед цієї змінної. Якщо їх немає (тоді змінна виглядатиме, як одиночна буква), то нічого не змінюємо, якщо є (вигляд змінної буде, наприклад, таким - 5y або 12y), то тоді необхідно зробити так, щоб у кожній нерівності число перед обраною змінною було однаковим. Для цього потрібно помножити кожен член нерівностей на загальний множник, наприклад, якщо в першій нерівності записано 3y, а в другій 5y, то необхідно всі члени першої нерівності помножити на 5, а другої - на 3. Вийде 15y і 15y відповідно.

Другий етап розв'язання. Потрібно ліву частину кожної нерівності перенести до їхніх правих частин зі зміною знака кожного члена на протилежний, праворуч записати нуль. Потім настає найцікавіше: порятунок від обраної змінної (по-іншому це називається "скорочення") під час складання нерівностей. Вийде нерівність з однією змінною, яку необхідно вирішити. Після цього слід зробити те саме, тільки з іншою невідомою змінною. Отримані результати будуть рішенням системи.

Спосіб підстановки

Дозволяє вирішити систему нерівностей за наявності можливості ввести нову змінну. Зазвичай цей спосіб застосовується, коли невідома змінна одному члені нерівності зведена в четверту ступінь, а іншому члені має квадрат. Таким чином, даний спосіб спрямований на зниження ступеня нерівностей у системі. Нерівність зразка х 4 - х 2 - 1 ≤ 0 даним способом вирішується так. Вводиться нова змінна, наприклад, t. Пишуть: "Нехай t = х 2", далі модель переписують у новому вигляді. У нашому випадку вийде t 2 - t - 1 ≤0. Цю нерівність потрібно вирішити методом інтервалів (про неї трохи пізніше), потім повернутися до змінної X, потім виконати те саме з іншим нерівністю. Отримані відповіді будуть рішення системи.

Метод інтервалів

Це найпростіший спосіб розв'язання систем нерівностей, і водночас є універсальним і поширеним. Він використовується і в середній школі, і навіть у вищій. Його суть полягає в тому, що учень шукає проміжки нерівності на числовій прямій, що малюється в зошиті (це не графік, а просто звичайна пряма з числами). Там, де проміжки нерівностей перетинаються, є рішення системи. Щоб використати метод інтервалів, необхідно виконати такі кроки:

Усі члени кожної нерівності переносяться до лівої частини зі зміною знака на протилежний (праворуч пишеться нуль).
Нерівності виписуються окремо, визначається рішення кожного з них.
Знаходяться перетину нерівностей на числовій прямій. Усі числа, що знаходяться на цих перетинах, будуть рішенням.

Який спосіб використати?

Очевидно той, який здається найлегшим та зручнішим, але бувають такі випадки, коли завдання вимагають певного методу. Найчастіше в них написано, що потрібно вирішувати за допомогою графіка, або методом інтервалів. Алгебраїчний спосіб і підстановка використовуються вкрай рідко або взагалі не використовуються, оскільки вони досить складні і заплутані, та й до того ж більше застосовуються для вирішення систем рівнянь, а не нерівностей, тому слід вдаватися до малювання графіків і інтервалів. Вони привносять наочність, яка може сприяти ефективному і швидкому проведенню математичних операцій.

Якщо щось не виходить

Під час вивчення тієї чи іншої теми з алгебри, звісно, можуть виникнути проблеми з її розумінням. І це нормально, адже наш мозок влаштований так, що він не здатний усвідомити складний матеріал за один раз. Часто потрібно перечитати параграф, скористатися допомогою вчителя або зайнятися практикою вирішення типових завдань. У нашому випадку вони виглядають, наприклад, так: "Розв'яжіть систему нерівностей 3 x + 1 ≥ 0 і 2 x - 1 > 3". Таким чином, особисте прагнення, допомога сторонніх людей та практика допомагають у розумінні будь-якої складної теми.

Решник?

А ще дуже добре підійде ґедзь, тільки не для списування домашніх завдань, а для самодопомоги. У них можна знайти системи нерівностей із рішенням, подивитися на них (як на шаблони), спробувати зрозуміти, як саме автор рішення впорався із поставленим завданням, а потім спробувати виконати подібне в самостійному порядку.

Висновки

Алгебра – це один із найскладніших предметів у школі. Ну що ж тут вдієш? Математика завжди була такою: комусь вона дається легко, а комусь важко. Але в будь-якому випадку слід пам'ятати, що загальноосвітня програма побудована так, що з нею може впоратися будь-який учень. До того ж треба мати на увазі величезну кількість помічників. Деякі з них були згадані вище.