Відеоурок «Графічний спосіб розв'язання систем рівнянь» представляє навчальний матеріалдля освоєння цієї теми. Матеріал містить загальне поняттяпро рішення системи рівнянь, а також детальне поясненняз прикладу, як вирішується система рівнянь графічним способом.

Наочний посібник використовує анімацію для зручнішого та зрозумілішого виконання побудов, а також різні способивиділення важливих понять та деталей для поглибленого розуміння матеріалу, кращого його запам'ятовування.

Відеоурок починається з подання теми. Учням нагадується, що така система рівнянь, і з якими системами рівнянь їм уже довелося ознайомитись у 7 класі. Раніше учням доводилося вирішувати системи рівнянь виду ах+by=c. Поглиблюючи поняття про вирішення систем рівнянь і з метою формування вміння їх вирішувати в даному відеоуроці розглядається рішення системи, що складається з двох рівнянь другого ступеня, а також одного рівняння другого ступеня, а другого - першого ступеня. Нагадується, що таке рішення системи рівнянь. Визначення розв'язання системи як пари значень змінних, що обертають її рівняння під час встановлення в правильну рівність, виводиться на екран. Відповідно до визначення рішення системи, конкретизується завдання. На екран виведено для запам'ятовування, що вирішити систему - означає знайти відповідні рішення або довести їх відсутність.

Пропонується освоїти графічний спосіб розв'язання певної системи рівнянь. Застосування даного способу розглядається на прикладі рішення системи, що складається з рівнянь х 2 + 2 = 16 і у = - х 2 +2х +4. Графічне рішенняСистема починається з побудови графіка кожного з даних рівнянь. Очевидно, графіком рівняння х 2 + у 2 = 16 буде коло. Точки, що належать даному колу, є розв'язком рівняння. Поряд із рівнянням будується на координатної площиниколо радіусом 4 з центром Про на початку координат. Графік другого рівняння є параболою, гілки якої опущені вниз. На координатній площині побудована парабола, що відповідає графіку рівняння. Будь-яка точка, що належить параболі, є рішенням рівняння у=-х 2 +2х+4. Пояснюється, що розв'язання системи рівнянь - точки на графіках, що належать одночасно до графіків обох рівнянь. Це означає, що точки перетину побудованих графіків будуть рішеннями системи рівнянь.

Наголошується, що графічний метод полягає у знаходженні наближеного значення координат точок, що перебувають на перетині двох графіків, які відображають безліч рішень кожного рівняння системи. На малюнку відзначаються координати знайдених точок перетину двох графіків: А, B, C, D[-2;-3,5]. Дані точки – розв'язки системи рівнянь, знайдені графічним способом. Перевірити їх правильність можна, підставивши рівняння і отримавши справедливу рівність. Після підстановки точок рівняння, видно, частина точок дає точне значення рішення, а частина представляє наближене значення рішення рівняння: х 1 =0, у 1 =4; х 2 =2, у 2 ≈3,5; х 3 ≈3,5, 3 =-2; х 4 =-2, у 4 ≈-3,5.

Відеоурок докладно пояснює суть та застосування графічного способу розв'язання системи рівнянь. Це дає можливість використовувати його як відеопосібник на уроці алгебри в школі при вивченні цієї теми. Також матеріал буде корисний при самостійному вивченніучнями і може допомогти пояснити тему під час дистанційного навчання.

Одним із способів розв'язання рівнянь є графічний спосіб. Він заснований на побудові графіків функції та визначення точок їх перетину. Розглянемо графічний спосіб розв'язання квадратного рівняння a*x^2+b*x+c=0.

Перший спосіб вирішення

Перетворимо рівняння a*x^2+b*x+c=0 на вигляд a*x^2 =-b*x-c. Будуємо графіки двох функцій y=a*x^2 (парабола) та y=-b*x-c (пряма). Шукаємо точки перетину. Абсциси точок перетину і будуть рішенням рівняння.

Покажемо на прикладі:розв'язати рівняння x^2-2*x-3=0.

Перетворимо його на x^2 =2*x+3. Будуємо в одній системі координат графіки функції y=x^2 та y=2*x+3.

Графіки перетинаються у двох точках. Їхні абсциси будуть корінням нашого рівняння.

Рішення за формулою

Для переконливості перевіримо це рішення аналітичним шляхом. Вирішимо квадратне рівнянняза формулою:

D = 4-4 * 1 * (-3) = 16.

X1 = (2 +4) / 2 * 1 = 3.

X2 = (2-4) / 2 * 1 = -1.

Значить, рішення збігаються.

Графічний спосіб розв'язання рівнянь має свій недолік, з допомогою нього який завжди можна отримати точне рішення рівняння. Спробуємо розв'язати рівняння x 2 = 3 + x.

Побудуємо в одній системі координат параболу y=x^2 та пряму y=3+x.

Знову отримали схожий малюнок. Пряма та парабола перетинаються у двох точках. Але точні значенняабсцис цих точок ми сказати не можемо, тільки наближені: x-1,3 x-2,3.

Якщо нас влаштовують відповіді такої точності, можна скористатися цим методом, але таке буває рідко. Зазвичай потрібні точні рішення. Тому графічний спосіб використовують рідко, і переважно перевірки вже наявних рішень.

Потрібна допомога у навчанні?

На цьому уроці ми розглядатимемо рішення систем двох рівнянь із двома змінними. Спочатку розглянемо графічне рішення системи двох лінійних рівнянь, специфіку сукупності їх графіків. Далі вирішимо кілька систем графічним способом.

Тема: Системи рівнянь

Урок: Графічний методрозв'язання системи рівнянь

Розглянемо систему

Пару чисел яка одночасно є рішенням першого і другого рівняння системи, називають вирішенням системи рівнянь.

Вирішити систему рівнянь - це означає знайти її рішення, або встановити, що рішень немає. Ми розглянули графіки основних рівнянь, перейдемо до системи.

Приклад 1. Вирішити систему

Рішення:

Це лінійні рівняння, графік кожного з них є пряма. Графік першого рівняння проходить через точки (0; 1) та (-1; 0). Графік другого рівняння проходить через точки (0; -1) та (-1; 0). Прямі перетинаються у точці (-1; 0), і є рішення системи рівнянь ( Рис. 1).

Рішенням системи є пара чисел Підставивши цю пару чисел у кожне рівняння, отримаємо правильну рівність.

Ми отримали єдине рішення лінійної системи.

Згадаймо, що при вирішенні лінійної системи можливі такі випадки:

система має єдине рішення - прямі перетинаються,

система не має рішень - прямі паралельні,

система має безліч рішень - прямі збігаються.

Ми розглянули окремий випадок системи, коли p(x; y) та q(x; y) - лінійні вирази від x та y.

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь

Рішення:

Графік першого рівняння – пряма, графік другого рівняння – коло. Побудуємо перший графік за точками (рис. 2).

Центр кола у точці О(0; 0), радіус дорівнює 1.

Графіки перетинаються т. А(0; 1) і т. В(-1; 0).

Приклад 3. Вирішити систему графічно

Рішення: Побудуємо графік першого рівняння - це коло із центром у т.О(0; 0) і радіусом 2. Графік другого рівняння - парабола. Вона зрушена щодо початку координат на 2 вгору, тобто. її вершина – точка (0; 2) (Рис. 3).

Графіки мають одну загальну точку- Т. А (0; 2). Вона є рішенням системи. Підставимо пару чисел до рівняння, щоб перевірити правильність.

Приклад 4. Вирішити систему

Рішення: Побудуємо графік першого рівняння - це коло із центром у т.О(0; 0) і радіусом 1 (Рис. 4).

Побудуємо графік функції Це ламана (Рис. 5).

Тепер посунемо її на 1 вниз по осі oy. Це і буде графік функції

Помістимо обидва графіки в одну систему координат (Рис. 6).

Отримуємо три точки перетину - т. А (1; 0), т. В (-1; 0), т. С (0; -1).

Ми розглянули графічний спосіб вирішення систем. Якщо можна побудувати графік кожного рівняння і знайти координати точок перетину, цього методу цілком достатньо.

Але часто графічний метод дає змогу знайти лише наближене рішення системи чи відповісти питанням про кількість рішень. Тому потрібні інші методи, більш точні, і ними ми займемося на наступних уроках.

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.

2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.

3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.

4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.

6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.

1. Розділ College.ru з математики ().

2. Інтернет-проект "Завдання" ().

3. Освітній портал«Вирішую ЄДІ» ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №105, 107, 114, 115.

Більш надійні, ніж графічний метод, який розглянули у попередньому параграфі.

Метод підстановки

Цей метод ми застосовували у 7-му класі для вирішення систем лінійних рівнянь. Той алгоритм, який був вироблений у 7-му класі, цілком придатний для вирішення систем будь-яких двох рівнянь (не обов'язково лінійних) із двома змінними х і у (зрозуміло, змінні можуть бути позначені й іншими літерами, що не має значення). Фактично цим алгоритмом ми скористалися у попередньому параграфі, коли задача про двозначному числіпривела до математичної моделі, Що являє собою систему рівнянь Цю систему рівнянь ми вирішили вище за методом підстановки (див. приклад 1 з § 4).

Алгоритм використання методу підстановки при вирішенні системи двох рівнянь із двома змінними х, у.

1. Виразити через х з одного рівняння системи.
2. Підставити отримане вираз замість у інше рівняння системи.
3. Вирішити отримане рівняння щодо х.
4. Підставити по черзі кожен із знайдених на третьому кроці коренів рівняння замість х у вираз у х, отримане на першому кроці.
5. Записати відповідь у вигляді пар значень (х; у), які були знайдені відповідно на третьому та четвертому кроці.

4) Підставимо по черзі кожне зі знайдених значень у формулу х = 5 - Зу. Якщо то
5) Пари (2; 1) та розв'язання заданої системи рівнянь.

Відповідь: (2; 1);

Метод алгебраїчної складання

Цей метод, як і метод підстановки, знайомий вам із курсу алгебри 7-го класу, де він застосовувався для вирішення систем лінійних рівнянь. Суть методу нагадаємо на такому прикладі.

приклад 2.Розв'язати систему рівнянь

Помножимо всі члени першого рівняння системи на 3, а друге рівняння залишимо без зміни:
Віднімемо друге рівняння системи з її першого рівняння:

В результаті алгебраїчної складання двох рівнянь вихідної системи вийшло рівняння, простіше, ніж перше і друге рівняння заданої системи. Цим більш простим рівнянням маємо право замінити будь-яке рівняння заданої системи, наприклад друге. Тоді задана система рівнянь заміниться більш простою системою:

Цю систему можна вирішити шляхом підстановки. З другого рівняння знаходимо Підставивши цей вираз замість у перше рівняння системи, отримаємо

Залишилося підставити знайдені значення х формулу

Якщо х = 2, то

Таким чином, ми знайшли два рішення системи:

Метод запровадження нових змінних

З методом введення нової змінної при вирішенні раціональних рівнянь з однією змінною ви познайомилися в курсі алгебри 8-го класу. Суть цього методу при вирішенні систем рівнянь та сама, але з технічної точки зору є деякі особливості, які ми і обговоримо в наступних прикладах.

приклад 3.Розв'язати систему рівнянь

Введемо нову змінну Тоді перше рівняння системи можна буде переписати до більш простому вигляді: Вирішимо це рівняння щодо змінної t:

Обидва ці значення задовольняють умові , тому є корінням раціонального рівняннязі змінною t. Але значить або звідки знаходимо, що х = 2у, або
Таким чином, за допомогою методу введення нової змінної нам вдалося як би «розшарувати» перше рівняння системи, досить складне на вигляд, на два простіші рівняння:

х = 2 у; у - 2х.

Що ж далі? А далі кожне з двох отриманих простих рівняньпотрібно по черзі розглянути у системі з рівнянням х 2 - у 2 = 3, про яку ми поки що не згадували. Іншими словами, завдання зводиться до вирішення двох систем рівнянь:

Треба знайти рішення першої системи, другої системи та всі отримані пари значень включити у відповідь. Розв'яжемо першу систему рівнянь:

Скористаємося методом підстановки, тим більше, що тут для нього все готове: підставимо вираз 2у замість х у друге рівняння системи. Отримаємо

Оскільки х = 2у, знаходимо відповідно х 1 = 2, х 2 = 2. Тим самим було отримано два рішення заданої системи: (2; 1) і (-2; -1). Розв'яжемо другу систему рівнянь:

Знову скористаємося методом підстановки: підставимо вираз 2х замість у друге рівняння системи. Отримаємо

Це рівняння немає коренів, отже, і система рівнянь немає рішень. Таким чином, у відповідь треба включити лише рішення першої системи.

Відповідь: (2; 1); (-2; -1).

Метод введення нових змінних при вирішенні систем двох рівнянь із двома змінними застосовується у двох варіантах. Перший варіант: вводиться одна нова змінна та використовується лише в одному рівнянні системи. Саме так було в прикладі 3.Другий варіант: вводяться дві нові змінні і використовуються одночасно в обох рівняннях системи. Так буде справа в прикладі 4.

приклад 4.Розв'язати систему рівнянь

Введемо дві нові змінні:

Врахуємо, що тоді

Це дозволить переписати задану системуу значно більш простому вигляді, але щодо нових змінних а та b:

Оскільки а = 1, то з рівняння а + 6 = 2 знаходимо: 1 + 6 = 2; 6 = 1. Таким чином, щодо змінних а та b ми отримали одне рішення:

Повертаючись до змінних х і у, отримуємо систему рівнянь

Застосуємо для вирішення цієї системи метод алгебраїчної складання:

Оскільки з рівняння 2x + y = 3 знаходимо:
Таким чином, щодо змінних х і у ми отримали одне рішення:

Завершимо цей параграф короткою, але досить серйозною теоретичною розмовою. Ви вже нагромадили деякий досвід у вирішенні різних рівнянь: лінійних, квадратних, раціональних, ірраціональних. Ви знаєте, що основна ідея розв'язання рівняння полягає в поступовому переході від одного рівняння до іншого, більш простого, але рівносильного заданого. У попередньому параграфі ми запровадили поняття рівносильності для рівнянь із двома змінними. Використовують це і для систем рівнянь.

Визначення.

Дві системи рівнянь зі змінними х і у називають рівносильними, якщо вони мають одні й самі рішення або якщо обидві системи не мають рішень.

Усі три методи (підстановки, алгебраїчного складання та запровадження нових змінних), які ми обговорили в цьому параграфі, є абсолютно коректними з точки зору рівносильності. Іншими словами, використовуючи ці методи, ми замінюємо одну систему рівнянь іншою, більш простою, але рівносильною початковій системі.

Графічний метод розв'язання систем рівнянь

Ми вже з вами навчилися вирішувати системи рівнянь такими поширеними та надійними способами, як метод підстановки, алгебраїчного складання та запровадження нових змінних. А тепер давайте з вами згадаємо метод, який ви вже вивчали на попередньому уроці. Тобто давайте повторимо, що ви знаєте про графічний спосіб вирішення.

Метод розв'язання систем рівняння графічним способом є побудова графіка кожного з конкретних рівнянь, які входять у цю систему і у однієї координатної площині, і навіть де потрібно знайти перетину точок цих графіків. Для розв'язання цієї системи рівнянь є координати цієї точки (x; y).

Слід згадати, що для графічної системирівнянь властиво мати чи одне єдине вірне рішення, або безліч рішень, або ж не мати рішень взагалі.

А тепер на кожному з цих рішень зупинимося докладніше. Отже, система рівнянь може мати єдине рішення у разі, якщо прямі, які є графіками рівнянь системи, перетинаються. Якщо ці прямі паралельні, то така система рівнянь абсолютно не має рішень. У разі збігу прямих графіків рівнянь системи, тоді така система дозволяє знайти безліч рішень.

Ну а тепер давайте з вами розглянемо алгоритм розв'язання системи двох рівнянь з двома невідомими графічним способом:

По-перше, спочатку ми будуємо з вами графік 1-го рівняння;
Другим етапом буде побудова графіка, що відноситься до другого рівняння;
По-третє, нам необхідно знайти точки перетину графіків.
І в результаті ми отримуємо координати кожної точки перетину, які будуть рішенням системи рівнянь.

Давайте цей метод розглянемо докладніше з прикладу. Нам дана система рівнянь, яку необхідно розв'язати:

Розв'язання рівнянь

1. Спочатку ми з вами будуватимемо графік даного рівняння: x2+y2=9.

Але слід зауважити, що даним графіком рівнянь буде коло, що має центр на початку координат, а його радіус дорівнюватиме трьом.

2. Наступним кроком буде побудова графіка такого рівняння, як: y = x – 3.

У цьому випадку ми повинні побудувати пряму і знайти точки (0; -3) і (3; 0).

3. Дивимося, що в нас вийшло. Ми бачимо, що пряма перетинає коло у двох її точках A і B.

Тепер ми шукаємо координати цих точок. Ми бачимо, що координати (3;0) відповідають точці А, а координати (0;-3) відповідно до точки В.

І що ми отримуємо у результаті?

Отримані при перетині прямої з колом числа (3; 0) і (0; -3), якраз і є рішеннями обох рівнянь системи. А з цього випливає, що ці числа є і рішеннями цієї системи рівнянь.

Тобто, відповіддю цього рішення є числа: (3; 0) та (0; -3).

Початковий рівень

Вирішення рівнянь, нерівностей, систем за допомогою графіків функцій. Візуальний гід (2019)

Багато завдань, які ми звикли обчислювати суто алгебраїчно, можна набагато легше і швидше вирішити, у цьому нам допоможе використання графіків функцій. Ти скажеш "як так?" креслити щось, та й що креслити? Повір мені, іноді це зручніше та простіше. Почнемо? Почнемо з рівнянь!

Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення лінійних рівнянь

Як ти вже знаєш, графіком лінійного рівняння є пряма лінія, звідси назва цього виду. Лінійні рівняння досить легко вирішувати шляхом алгебри - всі невідомі переносимо в один бік рівняння, все, що нам відомо - в іншу і вуаля! Ми знайшли корінь. Зараз я покажу тобі, як це зробити графічним способом.

Отже, у тебе є рівняння:

Як його вирішити?
Варіант 1, і найпоширеніший - перенести невідомі в один бік, а відомі в інший, отримуємо:

А тепер будуємо. Що в тебе вийшло?

Як ти вважаєш, що є коренем нашого рівняння? Правильно, координата точки перетину графіків:

Наша відповідь -

Ось і вся премудрість графічного рішення. Як ти з легкістю можеш перевірити, що коренем нашого рівняння є число!

Як я говорила вище, це найпоширеніший варіант, наближений до алгебраїчному рішеннюАле можна вирішувати і по-іншому. Для розгляду альтернативного рішення повернемося до нашого рівняння:

На цей раз не будемо нічого переносити з боку в бік, а побудуємо графіки безпосередньо, тому що вони зараз є:

Збудував? Дивимося!

Що рішення цього разу? Все вірно. Те саме - координата точки перетину графіків:

І знову наша відповідь - .

Як ти бачиш, з лінійними рівняннямивсе дуже просто. Настав час розглянути щось складніше... Наприклад, графічне розв'язання квадратних рівнянь.

Графічне розв'язання квадратних рівнянь

Отже, тепер приступимо до розв'язання квадратного рівняння. Допустимо, тобі потрібно знайти коріння цього рівняння:

Звичайно, ти можеш зараз почати рахувати через дискримінант, або за теоремою Вієта, але багато хто на нервах помиляється при перемноженні або у зведенні в квадрат, особливо, якщо приклад з великими числами, А калькулятора, як ти знаєш, у тебе на іспиті не буде ... Тому, давай спробуємо трохи розслабитися і помалювати, вирішуючи це рівняння.

Графічно знайти рішення даного рівняння можна у різний спосіб. Розглянемо різні варіанти, А вже ти сам вибереш, який найбільше тобі сподобається.

Спосіб 1. Безпосередньо

Просто будуємо параболу за цим рівнянням:

Щоб зробити це швидко, дам тобі одну маленьку підказку: зручно розпочати побудову з визначення вершини параболи.Визначити координати вершини параболи допоможуть такі формули:

Ти скажеш «Стоп! Формула дуже схожа на формулу знаходження дискримінанта» так, так воно і є, і це є величезним мінусом «прямої» побудови параболи, щоб знайти її коріння. Тим не менш, давай дорахуємо до кінця, а потім я покажу, як це зробити набагато (набагато!) Простіше!

Порахував? Які координати вершини параболи в тебе вийшли? Давай розбиратися разом:

Така сама відповідь? Молодець! І ось ми знаємо вже координати вершини, а для побудови параболи нам потрібно ще… крапок. Як ти вважаєш, скільки мінімум точок нам необхідно? Правильно, .

Ти знаєш, що парабола симетрична щодо своєї вершини, наприклад:

Відповідно, нам необхідно ще дві точки по лівій або правій гілки параболи, а надалі ми ці точки симетрично відобразимо на протилежний бік:

Повертаємося до нашої параболи. Для нашого випадку крапка. Нам потрібно ще дві точки, відповідно, можна взяти позитивні, а можна взяти негативні? Які точки тобі зручніші? Мені зручніше працювати з позитивними, тому я розрахую за в.

Тепер ми маємо три точки, і ми спокійно можемо побудувати нашу параболу, відобразивши дві останні точкищодо її вершини:

Як ти вважаєш, що є рішенням рівняння? Правильно точки, в яких, тобто і. Тому що.

І якщо ми говоримо, що, то значить, що теж має бути рівним, або.

Просто? Це ми закінчили з тобою рішення рівняння складним графічним способом, чи ще буде!

Звичайно, ти можеш перевірити нашу відповідь алгебраїчним шляхом - порахуєш коріння через теорему Вієта чи Дискримінант. Що в тебе вийшло? Теж саме? От бачиш! Тепер подивимося просте графічне рішення, впевнена, воно тобі дуже сподобається!

Спосіб 2. З розбивкою на кілька функцій

Візьмемо все теж наше рівняння: але запишемо його дещо по-іншому, а саме:

Чи можемо ми так записати? Можемо, оскільки перетворення рівносильне. Дивимося далі.

Побудуємо окремо дві функції:

1. - Графіком є ​​проста парабола, яку ти з легкістю побудуєш навіть без визначення вершини за допомогою формул та складання таблиці для визначення інших точок.
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти так само легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Збудував? Порівняємо з тим, що вийшло у мене:

Як ти вважаєш, що в даному випадку є корінням рівняння? Правильно! Координати, які вийшли при перетині двох графіків і, тобто:

Відповідно, рішенням цього рівняння є:

Що скажеш? Погодься, цей спосіб вирішення набагато легший, ніж попередній і навіть легший, ніж шукати коріння через дискримінант! А якщо так, спробуй цим способом вирішити наступне рівняння:

Що в тебе вийшло? Порівняємо наші графіки:

За графіками видно, що відповідями є:

Впорався? Молодець! Тепер подивимося рівняння трохи складніше, а саме, рішення змішаних рівнянь, тобто рівнянь, що містять функції різного виду.

Графічне вирішення змішаних рівнянь

Тепер спробуємо вирішити таке:

Звичайно, можна привести все до спільного знаменника, знайти коріння рівняння, що вийшло, не забувши при цьому врахувати ОДЗ, але ми знову ж таки, спробуємо вирішити графічно, як робили у всіх попередніх випадках.

На цей раз давай побудуємо 2 наступні графіки:

1. - графіком є ​​гіпербола
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Зрозумів? Тепер займися шикуванням.

Ось що вийшло у мене:

Дивлячись на цей малюнок, скажи, що є корінням нашого рівняння?

Правильно, в. Ось і підтвердження:

Спробуй підставити наше коріння у рівняння. Вийшло?

Все вірно! Погодься, графічно вирішувати подібні рівняння одне задоволення!

Спробуй самостійно графічним способом вирішити рівняння:

Даю підказку: перенеси частину рівняння у правий бік, щоб з обох боків виявились найпростіші для побудови функції. Натяк зрозумів? Дій!

Тепер подивимося, що в тебе вийшло:

Відповідно:

1. - кубічна парабола.
2. - Звичайна пряма.

Ну і будуємо:

Як ти вже давно у себе записав, коренем даного рівняння є .

Вирішивши таку велику кількість прикладів, впевнена, ти усвідомив якомога легко і швидко вирішувати рівняння графічним шляхом. Настав час розібратися, як вирішувати таким способом системи.

Графічне вирішення систем

Графічне рішення систем насправді нічим не відрізняється від графічного рішення рівнянь. Ми також будуватимемо два графіки, і їх точки перетину і будуть корінням даної системи. Один графік – одне рівняння, другий графік – інше рівняння. Все дуже просто!

Почнемо з найпростішого – вирішення систем лінійних рівнянь.

Вирішення систем лінійних рівнянь

Припустимо, у нас є така система:

Для початку перетворимо її таким чином, щоб зліва було все, що пов'язано з, а праворуч - що пов'язано з. Іншими словами, запишемо дані рівняння як функцію у звичному для нас вигляді:

А тепер просто будуємо дві прямі. Що у нашому випадку є рішенням? Правильно! Крапка їхнього перетину! І тут необхідно бути дуже уважним! Подумай чому? Натякну: ми маємо справу із системою: у системі є і, і… Натяк зрозумів?

Все вірно! Вирішуючи систему, ми повинні дивитися обидві координати, а не тільки як при розв'язанні рівнянь! Ще один важливий момент – правильно їх записати і не переплутати, де в нас значення, а де значення! Записав? Тепер давай усе порівняємо по порядку:

І відповіді: і. Зроби перевірку - підставь знайдене коріння в систему і переконайся, чи правильно ми її вирішили графічним способом?

Вирішення систем нелінійних рівнянь

А якщо замість однієї прямої, у нас буде квадратне рівняння? Та нічого страшного! Просто ти замість прямої збудуєш параболу! Не віриш? Спробуй вирішити таку систему:

Який наступний наш крок? Правильно, записати так, щоб нам було зручно будувати графіки:

А тепер так взагалі справа за малим – збудував швиденько і ось тобі рішення! Будуємо:

Графіки вийшли такими самими? Тепер відзнач на малюнку рішення системи та грамотно запиши виявлені відповіді!

Все зробив? Порівняй із моїми записами:

Все вірно? Молодець! Ти вже клацаєш подібні завдання, як горішки! А якщо так, дамо тобі систему складніше:

Що ми робимо? Правильно! Записуємо систему так, щоб було зручно будувати:

Трохи тобі підкажу, тому що система виглядає дуже не простою! Будуючи графіки, будуй їх «більше», а головне, не дивуйся кількості точок перетину.

Тож поїхали! Видихнув? Тепер починай будувати!

Ну як? Красиво? Скільки точок перетину в тебе вийшло? У мене три! Давай порівнювати наші графіки:

Так само? Тепер акуратно запиши всі рішення нашої системи:

А тепер ще раз подивися на систему:

Уявляєш, що ти вирішив це за якихось 15 хвилин? Погодься, математика - це все-таки просто, особливо коли дивлячись на вираз, не боїшся помилитися, а береш і вирішуєш! Ти великий молодець!

Графічне розв'язання нерівностей

Графічне вирішення лінійних нерівностей

Після останнього прикладу тобі все під силу! Зараз видихни - в порівнянні з попередніми розділами цей буде дуже легким!

Почнемо ми, як завжди з графічного рішення лінійної нерівності. Наприклад, ось цього:

Для початку проведемо найпростіші перетворення - розкриємо дужки повних квадратів і наведемо такі складові:

Нерівність несувора, тому - не включається в проміжок, і рішенням будуть всі точки, які знаходяться правіше, тому що більше, більше і так далі:

Відповідь:

От і все! Чи легко? Давай вирішимо просту нерівність із двома змінними:

Намалюємо у системі координат функцію.

Такий графік у тебе вийшов? А тепер уважно дивимося, що там у нас у нерівності? Менше? Значить, зафарбовуємо все, що знаходиться ліворуч від нашої прямої. А якби було більше? Правильно, тоді зафарбовували б усе, що знаходиться правіше за нашу пряму. Все просто.

Усі рішення цієї нерівності «затушовані» помаранчевим кольором. Ось і все, нерівність із двома змінними вирішена. Це означає, що координати будь-якої точки із зафарбованої області - і є рішення.

Графічне розв'язання квадратних нерівностей

Тепер розбиратимемося з тим, як графічно вирішувати квадратні нерівності.

Але перш, ніж перейти безпосередньо до справи, давай повторимо деякий матеріал, що стосується квадратної функції.

А за що у нас відповідає дискримінант? Правильно, за положення графіка щодо осі (якщо не пам'ятаєш цього, то тоді точно прочитай теорію про квадратичні функції).

У будь-якому випадку, ось тобі невелика табличка-нагадувачка:

Тепер, коли ми освіжили у пам'яті весь матеріал, перейдемо до справи – вирішимо графічно нерівність.

Відразу тобі скажу, що є два варіанти його вирішення.

Варіант 1

Записуємо нашу параболу як функцію:

За формулами визначаємо координати вершини параболи (так само, як і при розв'язанні квадратних рівнянь):

Порахував? Що в тебе вийшло?

Тепер візьмемо ще дві різних точкиі порахуємо для них:

Починаємо будувати одну гілку параболи:

Симетрично відбиваємо наші точки на іншу галузь параболи:

А тепер повертаємось до нашої нерівності.

Нам необхідно, щоб було менше нуля, відповідно:

Так як у нашій нерівності стоїть знак строго менший, то кінцеві точки ми виключаємо - «виколюємо».

Відповідь:

Довгий спосіб, правда? Зараз я покажу тобі простіший варіант графічного рішення на прикладі тієї самої нерівності:

Варіант 2

Повертаємося до нашої нерівності та відзначаємо потрібні нам проміжки:

Погодься, це набагато швидше.

Запишемо тепер відповідь:

Розглянемо ще один спосіб рішення, який спрощує і алгебраїчну частину, але головне не заплутатися.

Помножимо ліву та праву частини на:

Спробуй самостійно вирішити наступне квадратна нерівністьбудь-яким уподобаним тобі способом: .

Впорався?

Дивись, як графік вийшов у мене:

Відповідь: .

Графічне вирішення змішаних нерівностей

Тепер перейдемо до складніших нерівностей!

Як тобі таке:

Жах, правда? Чесно кажучи, я гадки не маю, як вирішити таке алгебраїчно… Але, воно і не треба. Графічно нічого складного у цьому немає! Очі бояться, а руки роблять!

Перше, з чого ми почнемо, це з побудови двох графіків:

Я не розписуватиму для кожного таблицю - впевнена, ти чудово впораєшся з цим самостійно (ще б пак, стільки прорішати прикладів!).

Розписав? Тепер будуй два графіки.

Порівняємо наші малюнки?

У тебе так само? Чудово! Тепер розставимо точки перетину і кольором визначимо, який графік у нас за ідеєю має бути більшим, тобто. Дивись, що вийшло в результаті:

А тепер просто дивимося, де у нас виділений графік знаходиться вище, ніж графік? Сміливо бери олівець і зафарбовуй цю область! Вона і буде розв'язанням нашої складної нерівності!

На яких проміжках по осі у нас вище, ніж? Правильно, . Це і є відповідь!

Ну ось, тепер тобі під силу і будь-яке рівняння, і будь-яка система, і тим більше будь-яка нерівність!

КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Алгоритм розв'язання рівнянь із використанням графіків функцій:

1. Виразимо через
2. Визначимо тип функції
3. Побудуємо графіки функцій, що вийшли
4. Знайдемо точки перетину графіків
5. Коректно запишемо відповідь (з урахуванням ОДЗ та знаків нерівностей)
6. Перевіримо відповідь (підставимо коріння у рівняння чи систему)

Докладніше про побудову графіків функцій дивись у темі « ».