Як знайти довжину відрізка координатної площині. Знаходження координат середини відрізка: приклади, рішення

Якщо ви добре заточеним олівцем доторкнетесь до листа зошита, то залишиться слід, який дає уявлення про точку. (Рис. 3).

Зазначимо на аркуші паперу дві точки A та B. Ці точки можна з'єднати різними лініями (рис. 4). А як з'єднати точки A та B найкоротшою лінією? Це можна зробити за допомогою лінійки (рис. 5). Отриману лінію називають відрізком.

Крапка та відрізок – приклади геометричних фігур.

Точки A та B називають кінцями відрізка.

Існує єдиний відрізок, кінцями якого є точки A та B. Тому відрізок позначають, записуючи точки, які є його кінцями. Наприклад, відрізок малюнку 5 позначають однією з двох способів: AB чи BA. Читають "відрізок AB" або "відрізок BA".

На малюнку 6 зображено три відрізки. Довжина відрізка AB дорівнює 1 см. Він міститься у відрізку MN рівно три рази, а у відрізку EF – рівно 4 рази. Говоритимемо, що довжина відрізка MN дорівнює 3 см, а довжина відрізка EF – 4 см.

Також прийнято говорити: "відрізок MN дорівнює 3 см", "відрізок EF дорівнює 4 см". Пишуть: MN = 3 див, EF = 4 див.

Довжини відрізків MN та EF ми виміряли одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 см. Для вимірювання відрізків можна вибрати інші одиниці довжининаприклад: 1 мм, 1 дм, 1 км. На малюнку 7 довжина відрізка дорівнює 17 мм. Він виміряний одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 мм, за допомогою лінійки з поділками. Також за допомогою лінійки можна побудувати (накреслити) відрізок заданої довжини (рис. 7).

Взагалі, виміряти відрізок означає підрахувати, скільки одиничних відрізків у ньому міститься.

Довжина відрізка має таку властивість.

Якщо відрізку AB відзначити точку C, то довжина відрізка AB дорівнює сумі довжин відрізків AC і CB(Рис. 8).

Пишуть: AB = AC + CB.

На малюнку 9 зображено два відрізки AB та CD. Ці відрізки при накладенні співпадуть.

Два відрізки називають рівними, якщо вони збігатимуться при накладенні.

Отже, відрізки AB і CD рівні. Пишуть: AB = CD.

Рівні відрізки мають рівні довжини.

З двох нерівних відрізків більшим вважатимемо той, у другого довжина більше. Наприклад, на малюнку 6 відрізок EF більший від відрізка MN.

Довжину відрізка AB називають відстаннюміж точками A та B.

Якщо кілька відрізків розташувати так, як показано на малюнку 10, то вийде геометрична фігура, яку називають ламана. Зауважимо, що це відрізки малюнку 11 ламану не утворюють. Вважають, що відрізки утворюють ламану, якщо кінець першого відрізка збігається з кінцем другого, а інший кінець другого відрізка - з кінцем третього і т.д.

Точки A, B, C, D, E − вершини ламаної ABCDE, точки A та E − кінці ламаної, а відрізки AB, BC, CD, DE – її ланки(Див. рис. 10).

Довжиною ламаноїназивають суму довжин всіх її ланок.

На малюнку 12 зображено дві ламані, кінці яких збігаються. Такі ламані називають замкнутими.

приклад 1 . Відрізок BC на 3 см менший від відрізка AB, довжина якого дорівнює 8 см (рис. 13). Знайдіть довжину відрізка AC.

Рішення. Маємо: BC = 8 − 3 = 5 (см).

Скориставшись властивістю довжини відрізка можна записати AC = AB + BC. Звідси AC = 8 + 5 = 13(см).

Відповідь: 13 см.

приклад 2 . Відомо, що MK = 24 см, NP = 32 см, MP = 50 см (рис. 14). Знайдіть довжину відрізка NK.

Рішення. Маємо: MN = MP – NP.

Звідси MN = 50 - 32 = 18 (см).

Маємо: NK = MK − MN.

Звідси NK = 24 - 18 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

У статті нижче будуть висвітлені питання знаходження координат середини відрізка за наявності як вихідні дані координат його крайніх точок. Але, перш ніж приступити до вивчення питання, запровадимо низку визначень.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відрізок- Пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки, звані кінцями відрізка. Як приклад нехай це будуть точки A та B і відповідно відрізок A B .

Якщо відрізок A B продовжити в обидві сторони від точок A і B ми отримаємо пряму A B . Тоді відрізок A B – частина отриманої прямої, обмежена точками A і B . Відрізок A B поєднує точки A і B, що є його кінцями, а також безліч точок, що лежать між. Якщо, наприклад, взяти будь-яку довільну точку K , що лежить між точками A і B можна сказати, що точка K лежить на відрізку A B .

Визначення 2

Довжина відрізка- Відстань між кінцями відрізка при заданому масштабі (відрізку одиничної довжини). Довжину відрізка A B позначимо так: A B .

Визначення 3

Середина відрізка- Крапка, що лежить на відрізку і рівновіддалена від його кінців. Якщо середину відрізка A B позначити точкою C , то вірною буде рівність: A C = C B

Вихідні дані: координатна пряма O x і точки, що не збігаються на ній: A і B . Цим точкам відповідають дійсні числа x A та x B . Точка C – середина відрізка A B: необхідно визначити координату x C .

Оскільки точка C є серединою відрізка АВ, вірним буде рівність: | А З | = | З У | . Відстань між точками визначається модулем різниці їх координат, тобто.

| А З | = | З У | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тоді можливі дві рівності: x C - x A = x B - x C і x C - x A = - (x B - x C)

З першої рівності виведемо формулу для координати точки C: x C = x A + x B 2 (напівсума координат кінців відрізка).

З другої рівності отримаємо: x A = x B що неможливо, т.к. у вихідних даних - незбігаючі точки. Таким чином, формула визначення координат середини відрізка A B з кінцями A (x A) і B (x B):

Отримана формула буде основою визначення координат середини відрізка на площині чи просторі.

Вихідні дані: прямокутна система координат на площині О x y , дві довільні точки, що не збігаються з заданими координатами A x A , y A та B x B , y B . Крапка C – середина відрізка A B . Необхідно визначити координати x C та y C для точки C .

Візьмемо для аналізу випадок, коли точки A і B не збігаються і не лежать на одній координатній прямій чи прямій, перпендикулярній до однієї з осей. A x, A y; B x , B y і C x , C y - проекції точок A , B і C на осі координат (прямі О х та О y).

Відповідно до побудови прямі A A x , B B x , C C x паралельні; прямі також паралельні між собою. Сукупно з цим за теоремою Фалеса з рівності А С = С слідують рівності: А x С x = С x В x і А y С y = С y В y , і вони у свою чергу свідчать про те, що точка С x - середина відрізка А x x , а С y - середина відрізка А y В y . І тоді, спираючись на отриману раніше формулу, отримаємо:

x C = x A + x B 2 і y C = y A + y B 2

Цими формулами можна скористатися у випадку, коли точки A і B лежать на одній координатній прямій або прямій, перпендикулярній одній з осей. Проводити детальний аналіз цього випадку не будемо, розглянемо його лише графічно:

Резюмуючи все вище сказане, координати середини відрізка A B на площині з координатами кінців A (x A , y A) і B (x B , y B) визначаються як:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Вихідні дані: система координат x y z і дві довільні точки із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити координати точки C , що є серединою відрізка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z та C x , C y , C z - проекції всіх заданих точок на осі системи координат.

Відповідно до теореми Фалеса вірні рівності: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Отже, точки C x , C y , C z є серединами відрізків A x B x , A y B y , A z B z відповідно. Тоді, для визначення координат середини відрізка у просторі вірні формули:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Отримані формули можна застосовувати також у випадках, коли точки A і B лежать на одній з координатних прямих; на прямій, перпендикулярній до однієї з осей; в однієї координатної площиниабо площині, перпендикулярної до однієї з координатних площин.

Визначення координат середини відрізка через координати радіус-векторів його кінців.

Формулу для знаходження координат середини відрізка також можна вивести відповідно до тлумачення алгебри векторів.

Вихідні дані: прямокутна декартова система координат O x y, точки із заданими координатами A (x A, y A) і B (x B, x B). Крапка C – середина відрізка A B .

Відповідно до геометричного визначення дій над векторами вірною буде рівність: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C у разі – точка перетину діагоналей паралелограма, побудованого з урахуванням векторів O A → і O B → , тобто. точка середини діагоналей. Координати радіус-вектора точки дорівнюють координатам точки, тоді вірні рівності: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Виконаємо деякі операції над векторами в координатах та отримаємо:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Отже, точка C має координати:

x A + x B 2 , y A + y B 2

За аналогією визначається формула для знаходження координат середини відрізка у просторі:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Приклади розв'язання задач на знаходження координат середини відрізка

Серед завдань, що передбачають використання отриманих вище формул, зустрічаються, як і ті, в яких безпосередньо стоїть питання розрахувати координати середини відрізка, так і такі, що передбачають приведення заданих умов до цього питання: найчастіше використовується термін «медіана», що має на меті знаходження координат одного з кінців відрізка, і навіть поширені завдання на симетрію, вирішення яких загалом також має викликати труднощів після вивчення справжньої теми. Розглянемо характерні приклади.

Приклад 1

Початкові дані:на площині – точки із заданими координатами А (- 7, 3) та В (2, 4). Необхідно знайти координати середини відрізка АВ.

Рішення

Позначимо середину відрізка A B точкою C . Координати її визначатимуться як напівсума координат кінців відрізка, тобто. точок A та B .

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Відповідь: координати середини відрізка АВ - 5 2 , 7 2 .

Приклад 2

Початкові дані:відомі координати трикутника АВС: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , - 8) . Необхідно знайти довжину медіани АМ.

Рішення

1. За умовою завдання A M – медіана, отже M є точкою середини відрізка B C . Насамперед знайдемо координати середини відрізка B C , тобто. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (-8) 2 = - 3

1. Оскільки тепер нам відомі координати обох кінців медіани (точки A та М), можемо скористатися формулою для визначення відстані між точками та порахувати довжину медіани А М:

A M = (6 - (-1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Відповідь: 58

Приклад 3

Початкові дані:у прямокутній системі координат тривимірного простору заданий паралелепіпед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Задано координати точки C 1 (1 , 1 , 0) , а також визначено точку M , що є серединою діагоналі B D 1 і має координати M (4 , 2 , - 4) . Потрібно розрахувати координати точки А.

Рішення

Діагоналі паралелепіпеда мають перетин в одній точці, яка при цьому є серединою всіх діагоналей. Виходячи з цього твердження, можна мати на увазі, що відома за умовами завдання точка М є серединою відрізка АС 1 . Спираючись на формулу для знаходження координат середини відрізка у просторі, знайдемо координати точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Відповідь:координати точки А (7, 3, - 8).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Існує ціла група завдань (що входять до екзаменаційних типів завдань), пов'язана з координатною площиною. Це завдання починаючи з найелементарніших, які вирішуються усно (визначення ординати або абсциси заданої точки, або точки симетричної заданої та інші), закінчуючи завданнями в яких потрібне якісне знання, розуміння та гарні навички (завдання пов'язані з кутовим коефіцієнтом прямої).

Поступово ми з вами розглянемо їх. У цій статті почнемо з елементарних. Це прості завданняна визначення: абсциси та ординати крапки, довжини відрізка, середини відрізка, синуса або косинуса кута нахилу прямої.Більшості ці завдання будуть нецікавими. Але викласти їх вважаю за необхідне.

Справа в тому, що не всі навчаються у школі. Дуже багато хто здає ЄДІ через 3-4 і більше років після її закінчення і що таке абсцису та ординату пам'ятають неясно. Розбиратимемо й інші завдання, пов'язані з координатною площиною, не пропустіть, підпишіться, на оновлення блогу. Тепер немної теорії.

Побудуємо на координатній площині точку з координатами х= 6, y=3.

Кажуть, що абсцис точки А дорівнює шести, ордината точки А дорівнює трьом.

Якщо висловитися просто, то ось ох це вісь абсцис, ось оу це ось ординат.

Тобто, абсцис це точка на осі ох в яку проектується точка задана на координатній площині; ордината це точка на осі оу в яку проектується обумовлена ​​точка.

Довжина відрізка на координатній площині

Формула визначення довжини відрізка, якщо відомі координати його кінців:

Як ви бачите, довжина відрізка - це довжина гіпотенузи в прямокутному трикутнику з катетами рівними

Х В – Х А та У В – У А

* * *

Середина відрізка. Її Координати.

Формула для знаходження координат середини відрізка:

Рівняння прямої проходить через дві дані точки

Формула рівняння прямої походить через дві дані точки має вигляд:

де (х 1; у 1) і (х 2; у 2 ) координати заданих точок.

Підставивши значення координат у формулу, вона наводиться до вигляду:

y = kx + b, де k - це кутовий коефіцієнт прямий

Ця інформація нам знадобиться при вирішенні іншої групи завдань, пов'язаних з координатною площиною. Стаття про це буде, не пропустіть!

Що ще можна додати?

Кут нахилу прямої (або відрізка) це кут між віссю оХ і цієї прямої, лежить в межах від 0 до 180 градусів.

Розглянемо завдання.

З точки (6; 8) опущений перпендикуляр на вісь ординат. Знайдіть ординату основи перпендикуляра.

Основа перпендикуляра опущеного на вісь ординат матиме координати (0;8). Ордината дорівнює восьми.

Відповідь: 8

Знайдіть відстань від точки Aз координатами (6; 8) до осі ординат.

Відстань від точки А до осі ординат дорівнює абсцисі точки А.

Відповідь: 6.

A(6;8) щодо осі Ox.

Крапка симетрична точкаА щодо осі оХ має координати (6; - 8).

Ордината дорівнює мінусу восьми.

Відповідь: – 8

Знайдіть ординату точки, симетричній точці A(6; 8) щодо початку координат.

Точка симетрична точці А щодо початку координат має координати (-6; - 8).

Її ордината дорівнює – 8.

Відповідь: -8

Знайдіть абсцису середини відрізка, що з'єднує точкиO(0;0) та A(6;8).

Для того, вирішити поставлене завдання, необхідно знайти координати середини відрізка. Координати кінців нашого відрізка (0; 0) та (6; 8).

Обчислюємо за такою формулою:

Отримали (3; 4). Абсцис дорівнює трьом.

Відповідь: 3

*Абсцис середини відрізка можна визначити без обчислення за формулою, побудувавши цей відрізок на координатній площині на аркуші в клітину. Середину відрізка нескладно визначити по клітинах.

Знайдіть абсцису середини відрізка, що з'єднує точки A(6;8) та B(–2;2).

Для того, вирішити поставлене завдання, необхідно знайти координати середини відрізка. Координати кінців нашого відрізка (–2;2) та (6;8).

Обчислюємо за такою формулою:

Отримали (2; 5). Абсцис дорівнює двом.

Відповідь: 2

*Абсцис середини відрізка можна визначити без обчислення за формулою, побудувавши цей відрізок на координатній площині на аркуші в клітину.

Знайдіть довжину відрізка, що з'єднує точки (0; 0) і (6; 8).

Довжина відрізка при даних координатах його кінців обчислюється за такою формулою:

у разі маємо О(0;0) і А(6;8). Значить,

*Порядок координат при відніманні не має значення. Можна від абсциси та ординати точки Про відняти абсцису та ординату точки А:

Відповідь:10

Знайдіть косинус кута нахилу відрізка, що з'єднує точки O(0;0) та A(6; 8), з віссю абсцис.

Кут нахилу відрізка – це кут між цим відрізком та віссю оХ.

З точки А опустимо перпендикуляр на вісь оХ:

Тобто, кут нахилу відрізка це кутВОАв прямокутному трикутникуАВО.

Косинусом гострого кутау прямокутному трикутнику є

відношення прилеглого катета до гіпотенузи

Необхідно знайти гіпотенузуОА.

За теоремою Піфагора:У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

Таким чином, косинус кута нахилу дорівнює 0,6

Відповідь: 0,6

З точки (6; 8) опущений перпендикуляр на вісь абсцис. Знайдіть абсцису основи перпендикуляра.

Через точку (6;8) проведено пряму, паралельну осі абсцис. Знайдіть ординату її точки перетину з віссю оУ.

Знайдіть відстань від точки Aз координатами (6; 8) до осі абсцис.

Знайдіть відстань від точки Aз координатами (6; 8) до початку координат.

Існують три основні системи координат, що використовуються в геометрії, теоретичній механіці, інших розділах фізики: декартова, полярна та сферична. У цих системах координат вся точка має три координати. Знаючи координати 2-х точок, можна визначити відстань між цими двома точками.

Вам знадобиться

• Декартові, полярні та сферичні координати кінців відрізка

Інструкція

1. Розгляньте для початку прямокутну декартову систему координат. Розташування точки у просторі у цій системі координат визначається координатами x, y та z. З початку координат до точки проводиться радіус-вектор. Проекції цього радіусу-вектора на координатні осі і будуть координатамицієї точки.Нехай у вас зараз є дві точки з координатами x1,y1,z1 та x2,y2 та z2 відповідно. Позначте за r1 і r2, відповідно, радіус-вектори першої та другої точки. Мабуть, що відстань між цими двома точками дорівнюватиме модулю вектора r = r1-r2, де (r1-r2) – векторна різниця. Координати вектора r, мабуть, будуть наступними: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тоді модуль вектора r або відстань між двома точками дорівнюватиме: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

2. Розгляньте зараз полярну систему координат, в якій координата точки задаватиметься радіальною координатою r (радіус-вектор у площині XY), кутовою координатою? (кутом між вектором r і віссю X) і координатою z, аналогічною координаті z в декартовій системі. Полярні координати точки можна перевести в декартові подальшим чином: x = r * cos?, y = r * sin? Тоді відстань між двома точками з координатами r1, ?1 ,z1 і r2, ?2, z2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2) )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

3. Тепер розгляньте сферичну систему координат. У ній розташування точки задається трьома. координатами r, ? і?. r - відстань від початку координат до точки,? і? – азимутальний та зенітний кут відповідно. Кут? аналогічний куту з таким самим позначенням у полярній системі координат, а? – кут між радіус-вектором r та віссю Z, причому 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 і r2, ?2 і?2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1) )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Відео на тему