Знайти точку симетричну даної щодо прямої. Як знайти точку, симетричну щодо прямої

Пряму у просторі завжди можна визначити як лінію перетину двох непаралельних площин. Якщо рівняння однієї площини , рівняння другої площини, тоді рівняння прямої задається вигляді

тут неколлінеарен
. Ці рівняння називаються загальними рівняннями прямий у просторі.

Канонічні рівняння прямої

Будь-який ненульовий вектор, що лежить на даній прямій або паралельний їй, називається напрямним вектором цієї прямої.

Якщо відома точка
прямий та її напрямний вектор
, то канонічні рівняння прямої мають вигляд:

. (9)

Параметричні рівняння прямої

Нехай задані канонічні рівняння прямої

.

Звідси отримуємо параметричні рівняння прямої:

(10)

Ці рівняння зручні при знаходженні точки перетину прямої та площини.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки
і
має вигляд:

.

Кут між прямими

Кут між прямими

і

дорівнює куту між їх напрямними векторами. Отже, його можна обчислити за формулою (4):

Умови паралельності прямих:

.

Умови перпендикулярності площин:

Відстань точки від прямої

П усть дана точка
та пряма

.

З канонічних рівнянь прямої відомі точки
, що належить прямий, та її напрямний вектор
. Тоді відстань точки
від прямої дорівнює висоті паралелограма, побудованого на векторах і
. Отже,

.

Умова перетину прямих

Дві непаралельні прямі

,

перетинаються тоді і лише тоді, коли

.

Взаємне розташування прямої та площини.

Нехай задані пряма
та площину. Кут між ними можна знайти за формулою

.

Завдання 73.Написати канонічні рівняння прямої

(11)

Рішення. Для того щоб записати канонічні рівняння прямої (9), необхідно знати будь-яку точку, що належить прямої, і напрямний вектор прямої.

Знайдемо вектор , паралельний даній прямий. Оскільки він має бути перпендикулярний до нормальних векторів даних площин, тобто.

,
, то

.

Із загальних рівнянь прямої маємо, що
,
. Тоді

.

Бо точка
будь-яка точка прямої, то її координати повинні задовольняти рівнянь прямої і одну з них можна задати, наприклад,
, дві інші координати знайдемо із системи (11):

Звідси,
.

Таким чином, канонічні рівняння шуканої прямої мають вигляд:

або
.

Завдання 74.

і
.

Рішення.З канонічних рівняньпершої прямої відомі координати точки
, що належить прямий, та координати напрямного вектора
. З канонічних рівнянь другої прямої також відомі координати точки
та координати напрямного вектора
.

Відстань між паралельними прямими дорівнює відстані точки
від другої прямої. Ця відстань обчислюється за формулою

.

Знайдемо координати вектора
.

Обчислимо векторний твір
:

.

Завдання 75.Знайти точку симетричну точку
щодо прямої

.

Рішення. Запишемо рівняння площини перпендикулярної до цієї прямої і проходить через точку . Як її вектор нормалі можна взяти напрямний вектор прямий. Тоді
. Отже,

Знайдемо точку
точку перетину даної прямої та площини П. Для цього запишемо параметричні рівняння прямої, використовуючи рівняння (10), отримаємо

Отже,
.

Нехай
точка симетрична точці
щодо цієї прямої. Тоді точка
середина відрізка
. Для знаходження координат точки використовуємо формули координат середини відрізка:

,
,
.

Отже,
.

Завдання 76.Написати рівняння площини, що проходить через пряму
і

а) через точку
;

б) перпендикулярно площині.

Рішення.Запишемо загальні рівнянняданої прямої. Для цього розглянемо дві рівності:

Це означає, що площина, що шукається, належить пучку площин з утворюючими і її рівняння може бути записано у вигляді (8):

а) Знайдемо
і з умови, що площина проходить через точку
Отже, її координати повинні задовольняти рівняння площини. Підставимо координати точки
в рівняння пучка площин:

Знайдене значення
підставимо на рівняння (12). отримаємо рівняння шуканої площини:

б) Знайдемо
і з умови, що площина, що шукається, перпендикулярна площині. Вектор нормалі даної площини
, Вектор нормалі шуканої площини(див. рівняння пучка площин (12).

Два вектори перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний твіродно нулю. Отже,

Підставимо знайдене значення
рівняння пучка площин (12). Отримаємо рівняння шуканої площини:

Завдання для самостійного вирішення

Завдання 77.Привести до канонічного виду рівняння прямих:

1)
2)

Завдання 78.Написати параметричні рівняння прямої
, якщо:

1)
,
; 2)
,
.

Завдання 79. Написати рівняння площини, що проходить через точку
перпендикулярно до прямої

Завдання 80.Написати рівняння прямої, що проходить точку
перпендикулярно до площини.

Завдання 81.Знайти кут між прямими:

1)
і
;

2)
і

Завдання 82.Довести паралельність прямих:

і
.

Завдання 83.Довести перпендикулярність прямих:

і

Завдання 84.Обчислити відстань точки
від прямої:

1)
; 2)
.

Завдання 85.Обчислити відстань між паралельними прямими:

і
.

Завдання 86. У рівняннях прямий
визначити параметр так, щоб ця пряма перетиналася з прямою і знайти точку їхнього перетину.

Завдання 87. Показати, що пряма
паралельна площині
, а пряма
лежить у цій площині.

Завдання 88. Знайти точку симетричну точку щодо площини
, якщо:

1)
, ;

2)
, ;.

Завдання 89.Написати рівняння перпендикуляра, опущеного з точки
на пряму
.

Завдання 90. Знайти точку симетричну точку
щодо прямої
.

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4-х кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший, і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямив загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найпильнішу увагу звернемо на знаменник – це точно скалярний твірнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функції легко знайти сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

Таїти не буду, сам підбираю прямі в тому порядку, щоб кут вийшов позитивним. Так красивіше, але не більше.

Для перевірки рішення можна взяти транспортир та виміряти кут.

Спосіб другий

Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом і не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна знайти за допомогою формули:

Умова перпендикулярності прямих виражається рівністю , звідки, до речі, слід дуже корисний взаємозв'язок кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: , яка використовується в деяких завданнях.

Алгоритм рішення схожий на попередній пункт. Але спочатку перепишемо наші прямі у потрібному вигляді:

Таким чином, кутові коефіцієнти:

1) Перевіримо, чи будуть прямі перпендикулярні:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Використовуємо формулу:

Відповідь:

Другий спосіб доречно використовувати тоді, коли рівняння прямих спочатку задано з кутовим коефіцієнтом. Слід зазначити, якщо хоча б одна пряма паралельна осі ординат, то формула не застосовна взагалі, оскільки для таких прямих кутовий коефіцієнт не визначений (див. статтю Рівняння прямої на площині).

Є й третій спосіб розв'язання. Ідея полягає в тому, щоб обчислити кут між напрямними векторами прямих за допомогою формули, розглянутої на уроці Скалярний добуток векторів:

Тут уже йдеться не про орієнтований вугілля, а «просто про вугілля», тобто результат свідомо буде позитивним. Загвоздка полягає в тому, що може вийти тупий кут (не той, який потрібний). У цьому випадку доведеться робити застереження, що кут між прямими – це менший кут, і з «пі» радіан (180-ти градусів) віднімати арккосинус, що вийшов.

Бажаючі можуть вирішувати завдання третім способом. Але я рекомендую все-таки дотримуватись першого підходу з орієнтованим кутом, тому що він широко поширений.

Приклад 11

Знайти кут між прямими.

Це приклад самостійного рішення. Спробуйте вирішити його двома способами.

Якось затихла по ходу справи казка. Тому що немає ніякого Кащея Безсмертного. Є я, причому, не надто запарений. Якщо чесно, думав, стаття значно довша вийде. Але все одно візьму нещодавно придбану шапочку з окулярами і піду купатися у вересневій озерній воді. Відмінно знімає втому та негативну енергетику.

До зустрічі!

І пам'ятайте, Бабу-Ягу ніхто не скасовував =)

Рішення та відповіді:

Приклад 3:Рішення : Знайдемо напрямний вектор прямий :

Рівняння прямий складемо по точці і напрямному вектору . Так як одна з координат напрямного вектора нульова, рівняння перепишемо у вигляді:

Відповідь :

Приклад 5:Рішення :
1) Рівняння прямої складемо по двох точках :

2) Рівняння прямої складемо по двох точках :

3) Відповідні коефіцієнти при змінних не пропорційні: , Отже, прямі перетинаються.
4) Знайдемо точку :


Примітка : тут перше рівняння системи помножено на 5, потім з 1-го рівняння почленно віднімається 2-е.
Відповідь :

Постановка задачі. Знайти координати точки , симетричній точці щодо площини.

План розв'язання.

1. Знаходимо рівняння прямої, яка перпендикулярна даній площині та проходить через точку . Так пряма перпендикулярна заданій площині, то її напрямного вектора можна взяти вектор нормалі площини, тобто.

.

Тому рівняння прямої буде

.

2. Знаходимо точку перетину прямий та площині (див. задачу 13).

3. Крапка є серединою відрізка, де точка є точкою симетричної точки тому

Завдання 14. Знайти точку , симетричну точці щодо площині.

Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно заданій площині:

.

Знайдемо точку перетину прямої та площини.

Звідки – точка перетину прямої та площини. є серединою відрізка, тому

Тобто. .

Однорідні координати площини. Афінні перетворення на площині.

Нехай М хі у

М(х, уМе (х, у 1) у просторі (рис. 8).

Ме (х, у

Ме (х, у ху.

(hx, hy, h), h  0,

Зауваження

h(наприклад, h

Справді, вважаючи h

Зауваження

приклад 1.

b) на кут (Рис. 9).

1-й крок.

2 крок.Поворот на кут 

матриця відповідного перетворення.

3 крок.Перенесення на вектор А(а, b)

матриця відповідного перетворення.

Приклад 3

 вздовж осі абсцис і

1-й крок.

матриця відповідного перетворення.

2 крок.

3 крок.

отримаємо остаточно

Зауваження

[R], [D], [M], [T],

Нехай М- довільна точка площини з координатами хі у, обчисленими щодо заданої прямолінійної координатної системи Однорідними координатами цієї точки називається будь-яка трійка одночасно нерівних нулю чисел х 1 , х 2 , х 3 пов'язаних із заданими числами х і у наступними співвідношеннями:

При вирішенні завдань комп'ютерної графіки однорідні координати зазвичай вводяться так: довільною точкою М(х, у) площині ставиться у відповідність точка Ме (х, у 1) у просторі (рис. 8).

Зауважимо, що довільна точка на прямій, що з'єднує початок координат, точку 0(0, 0, 0), з точкою Ме (х, у 1) може бути задана трійкою чисел виду (hx, hy, h).

Вектор з координатами hx, hy є напрямним вектором прямої, що з'єднує точки 0 (0, 0, 0) і Ме (х, у 1). Ця пряма перетинає площину z = 1 у точці (х, у, 1), яка однозначно визначає точку (х, у) координатної площини ху.

Тим самим між довільною точкою з координатами (х, у) та безліччю трійок чисел виду

(hx, hy, h), h  0,

встановлюється (взаємно однозначне) відповідність, що дозволяє вважати числа hx, hy, h новими координатами цієї точки.

Зауваження

Однорідні координати, що широко використовуються в проективній геометрії, дозволяють ефективно описувати так звані невласні елементи (по суті ті, якими проективна площина відрізняється від звичної нам евклідової площини). Докладніше про нові можливості, що надаються введеними однорідними координатами, йдеться у четвертому розділі цього розділу.

У проективній геометрії для однорідних координат прийнято таке позначення:

х: у: 1 або, більш загально, x 1: х 2: х 3

(Нагадаємо, що тут неодмінно потрібно, щоб числа х 1, х 2, х 3 одночасно, в нуль не зверталися).

Застосування однорідних координат виявляється зручним при вирішенні найпростіших завдань.

Розглянемо, наприклад, питання, пов'язані із зміною масштабу. Якщо пристрій відображення працює лише з цілими числами (або якщо необхідно працювати тільки з цілими числами), то для довільного значення h(наприклад, h= 1) точку з однорідними координатами

уявити не можна. Однак при розумному виборі h можна досягти того, щоб координати цієї точки були цілими числами. Зокрема, при h = 10 для прикладу, що розглядається, маємо

Розглянемо інший випадок. Щоб результати перетворення не призводили до арифметичного переповнення, точки з координатами (80000 40000 1000) можна взяти, наприклад, h=0,001. В результаті отримаємо (80 40 1).

Наведені приклади показують корисність використання однорідних координат під час проведення розрахунків. Однак основною метою введення однорідних координат у комп'ютерній графіці є їх безперечна зручність у застосуванні до геометричних перетворень.

За допомогою трійок однорідних координат та матриць третього порядку можна описати будь-яке афінне перетворення площини.

Справді, вважаючи h= 1, порівняємо два записи: позначену символом * і нижченаведену, матричну:

Неважко помітити, що після перемноження виразів, що стоять у правій частині останнього співвідношення, ми отримаємо обидві формули (*) і правильну числову рівність 1=1.

Зауваження

Іноді в літературі використовується інший запис - запис по стовпцях:

Такий запис еквівалентний наведеному вище запису по рядках (і виходить з нього транспонуванням).

Елементи довільної матриці афінного перетворення не несуть явно вираженого геометричного сенсу. Тому, щоб реалізувати те чи інше відображення, тобто знайти елементи відповідної матриці за заданим геометричним описом, необхідні спеціальні прийоми. Зазвичай побудова цієї матриці відповідно до складності розглянутої задачі і з описаними вище окремими випадками розбивають на кілька етапів.

На кожному етапі шукається матриця, що відповідає тому чи іншому з виділених вище випадків А, Б, В або Г, які мають добре виражені геометричні властивості.

Випишемо відповідні матриці третього порядку.

А. Матриця обертання (rotation)

Б. Матриця розтягування (стиснення) (dilatation)

В. Матриця відображення (reflection)

Г. Матриця перенесення (translation)

Розглянемо приклади афінних перетворень площини.

приклад 1.

Побудувати матрицю повороту навколо точки А (а,b) на кут (Рис. 9).

1-й крок.Перенесення вектор – А (-а, -b) для поєднання центру повороту з початком координат;

матриця відповідного перетворення.

2 крок.Поворот на кут 

матриця відповідного перетворення.

3 крок.Перенесення на вектор А(а, b)для повернення центру повороту до попереднього положення;

матриця відповідного перетворення.

Перемножимо матриці в тому ж порядку, як вони виписані:

В результаті отримаємо, що шукане перетворення (у матричному записі) буде виглядати так:

Елементи отриманої матриці (особливо в останньому рядку) не так легко запам'ятати. У той же час кожна з трьох матриць, що перемножуються, за геометричним описом відповідного відображення легко будується.

Приклад 3

Побудувати матрицю розтягування з коефіцієнтами розтягування вздовж осі абсцис і вздовж осі ординат та з центром у точці А(а, b).

1-й крок.Перенесення на вектор -А(-а, -b) для поєднання центру розтягування з початком координат;

матриця відповідного перетворення.

2 крок.Розтягнення вздовж координатних осей з коефіцієнтами  та  відповідно; матриця перетворення має вигляд

3 крок.Перенесення на вектор А(а, b) повернення центру розтягування в колишнє положення; матриця відповідного перетворення –

Перемнож.матриці в тому ж порядку

отримаємо остаточно

Зауваження

Розмірковуючи таким чином, тобто розбиваючи запропоноване перетворення на етапи, що підтримуються матрицями[R], [D], [M], [T], можна побудувати матрицю будь-якого афінного перетворення за його геометричним описом.

Зрушення реалізується додаванням, а масштабування та поворот - множенням.

Перетворення масштабування (дилатація) щодо початку координат має вигляд:

або в матричній формі:

де Dx,Dy- Коефіцієнти масштабування по осях, а

- матриця масштабування.

При D > 1 відбувається розширення, при 0<=D<1- сжатие

Перетворення повороту щодо початку координат має вигляд:

або в матричній формі:

де φ – кут повороту, а

- матриця повороту.

Примітка:Стовпці та рядки матриці повороту являють собою взаємно ортогональні одиничні вектори. Насправді квадрати довжин векторів-рядків дорівнюють одиниці:

cosφ·cosφ+sinφ·sinφ = 1 і (-sinφ) ·(-sinφ)+cosφ·cosφ = 1,

а скалярний добуток векторів-рядків є

cosφ·(-sinφ) + sinφ·cosφ= 0.

Так як скалярний добуток векторів A · B = |A| ·| B| В· cosψ, де | A| - Довжина вектора A, |B| - Довжина вектора B, а ψ – найменший позитивний кут між ними, то з рівності 0 скалярного добутку двох векторів-рядків довжини 1 слідує, що кут між ними дорівнює 90 °.

Нехай дано деяку пряму, задану лінійним рівнянням, і точку, задану своїми координатами (x0, y0) і не лежить на цій прямій. Потрібно виявити точку, яка була б симетрична цій точці щодо даної прямої, тобто збігалася б з нею, якщо площину подумки зігнути навпіл по цій прямій.

Інструкція

1. Зрозуміло, що обидві точки - задана і бажана - повинні лежати однією прямий, причому ця пряма має бути перпендикулярна даної. Таким чином, перша частина завдання полягає в тому, щоб виявити рівняння прямої, яка була б перпендикулярна до певної даної прямої і при цьому проходила б через дану точку.

2. Пряма може бути задана двома способами. Канонічне рівняння прямої виглядає так: Ax + By + C = 0, де A, B, і C – константи. Також пряму можна визначити за допомогою лінійної функції: y = kx + b, де k - кутовий показник, b - зміщення. Ці два способи взаємозамінні, і від будь-якого можна перейти до іншого. Якщо Ax + By + C = 0, то y = – (Ax + C)/B. Інакше кажучи, у лінійній функції y = kx + b кутовий показник k = -A/B, а усунення b = -C/B. Для поставленого завдання зручніше міркувати, виходячи з канонічного рівняння прямої.

3. Якщо дві прямі перпендикулярні один до одного, і рівняння першої прямої Ax + By + C = 0, то рівняння 2-ї прямої має виглядати Bx – Ay + D = 0, де D - константа. Щоб знайти певне значення D, потрібно додатково знати, через яку точку проходить перпендикулярна пряма. У цьому випадку це точка (x0, y0). Отже, D має задовольняти рівності: Bx0 – Ay0 + D = 0, тобто D = Ay0 – Bx0.

4. Після того як перпендикулярна пряма виявлена, необхідно визначити координати точки її перетину з цією. Для цього потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Її рішення дасть числа (x1, y1), що є координатами точки перетину прямих.

5. Бажана точка повинна лежати на виявленій прямій, причому її відстань до точки перетину повинна дорівнювати відстані від точки перетину до точки (x0, y0). Координати точки, симетричної точки (x0, y0), можна, таким чином, виявити, вирішивши систему рівнянь: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Але можна зробити простіше. Якщо точки (x0, y0) і (x, y) знаходяться на рівних відстанях від точки (x1, y1), і всі три точки лежать на одній прямій, то: x – x1 = x1 – x0, y – y1 = y1 – y0.Отже, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Підставивши ці значення у друге рівняння першої системи і спростивши вирази, легко переконатися, що права частина стає однакова лівою. Додатково розглядати перше рівняння вже немає сенсу, оскільки відомо, що точки (x0, y0) і (x1, y1) йому задовольняють, а точка (x, y) свідомо лежить тієї ж прямий.